Vektorlarning skalyar mahsuloti mavzusidagi barcha formulalar. Vektorlarning skalyar mahsulotini qanday topish mumkin. Koordinatalar bo'yicha vektorlarning skalyar ko'paytmasining ta'rifi

Skalyar mahsulot vektorlar (bundan buyon matnda SP deb yuritiladi). Aziz do'stlar! Matematika imtihoniga vektorlarni yechish uchun bir qator masalalar kiradi. Biz allaqachon ba'zi muammolarni ko'rib chiqdik. Siz ularni "Vektorlar" toifasida ko'rishingiz mumkin. Umuman olganda, vektorlar nazariyasi oddiy, asosiysi uni izchil o'rganishdir. Maktab matematika kursida vektorlar bilan hisob-kitoblar va harakatlar oddiy, formulalar murakkab emas. Ichiga qarash . Ushbu maqolada vektorlarning qo'shma korxonasi bo'yicha vazifalarni tahlil qilamiz (imtihonga kiritilgan). Endi nazariyaga "cho'milish":

H Vektorning koordinatalarini topish uchun uning oxiri koordinatalaridan ayirish kerakuning boshlanishining tegishli koordinatalari

Va yana:

*Vektor uzunligi (modul) quyidagicha aniqlanadi:

Bu formulalarni yod olish kerak!!!

Vektorlar orasidagi burchakni ko'rsatamiz:

0 dan 180 0 gacha o'zgarishi mumkinligi aniq(yoki 0 dan Pi gacha radianlarda).

Skayar ko'paytmaning belgisi haqida ba'zi xulosalar chiqarishimiz mumkin. Vektorlarning uzunligi ijobiy, aniq. Demak, skalar mahsulotning belgisi vektorlar orasidagi burchak kosinusining qiymatiga bog'liq.

Mumkin holatlar:

1. Agar vektorlar orasidagi burchak keskin (0 0 dan 90 0 gacha) bo'lsa, u holda burchakning kosinasi ijobiy qiymatga ega bo'ladi.

2. Agar vektorlar orasidagi burchak o'tmas bo'lsa (90 0 dan 180 0 gacha), u holda burchakning kosinasi manfiy qiymatga ega bo'ladi.

*Nol gradusda, ya'ni vektorlar bir xil yo'nalishga ega bo'lganda, kosinus birga teng bo'ladi va shunga mos ravishda natija ijobiy bo'ladi.

180 o da, ya'ni vektorlar qarama-qarshi yo'nalishga ega bo'lsa, kosinus minus birga teng,va natija salbiy bo'ladi.

Endi MUHIM NOKTA!

90 o da, ya'ni vektorlar bir-biriga perpendikulyar bo'lganda, kosinus nolga teng, shuning uchun qo'shma korxona nolga teng. Bu fakt (natija, xulosa) biz gaplashayotgan ko'plab muammolarni hal qilishda qo'llaniladi nisbiy pozitsiya vektorlar, shu jumladan matematika bo'yicha ochiq topshiriqlar bankiga kiritilgan vazifalar.

Biz bayonotni shakllantiramiz: agar berilgan vektorlar perpendikulyar to'g'rilarda yotgan bo'lsa, skalyar mahsulot nolga teng bo'ladi.

Shunday qilib, SP vektorlari uchun formulalar:

Agar vektorlarning koordinatalari yoki ularning boshlanishi va oxiri nuqtalarining koordinatalari ma'lum bo'lsa, biz har doim vektorlar orasidagi burchakni topishimiz mumkin:

Vazifalarni ko'rib chiqing:

27724 a va b vektorlarning ichki mahsulotini toping.

Ikki formuladan biri yordamida vektorlarning skalyar mahsulotini topishimiz mumkin:

Vektorlar orasidagi burchak noma'lum, lekin biz vektorlarning koordinatalarini osongina topamiz va keyin birinchi formuladan foydalanamiz. Ikkala vektorning boshlanishi koordinata koordinatasiga to'g'ri kelganligi sababli, bu vektorlarning koordinatalari ularning uchlari koordinatalariga teng, ya'ni

Vektorning koordinatalarini qanday topish mumkinligi maqolada tasvirlangan.

Biz hisoblaymiz:

Javob: 40

Vektorlarning koordinatalarini toping va formuladan foydalaning:

Vektorning koordinatalarini topish uchun vektor oxiri koordinatalaridan uning boshlanishining mos keladigan koordinatalarini ayirish kerak, ya'ni

Skayar mahsulotni hisoblaymiz:

Javob: 40

a va b vektorlar orasidagi burchakni toping. Javobingizni darajalarda bering.

Vektorlarning koordinatalari quyidagi shaklga ega bo'lsin:

Vektorlar orasidagi burchakni topish uchun vektorlarning skalyar mahsuloti formulasidan foydalanamiz:

Vektorlar orasidagi burchakning kosinusu:

Demak:

Ushbu vektorlarning koordinatalari:

Keling, ularni formulaga kiritamiz:

Vektorlar orasidagi burchak 45 daraja.

Javob: 45

Tekis masalada a = (a x ; a y ) va b = (b x ; b y ) vektorlarning skalyar ko‘paytmasini quyidagi formula yordamida topish mumkin:

a b = a x b x + a y b y

Fazoviy masalalar uchun vektorlarning skalyar mahsuloti formulasi

Fazoviy masalada a = (a x ; a y ; a z ) va b = (b x ; b y ; b z ) vektorlarning skalyar ko‘paytmasini quyidagi formula yordamida topish mumkin:

a b = a x b x + a y b y + a z b z

n o‘lchamli vektorlarning nuqta hosilasi formulasi

n o‘lchamli fazoda a = (a 1 ; a 2 ; ... ; a n ) va b = (b 1 ; b 2 ; ... ; b n ) vektorlarining skalyar ko‘paytmasini quyidagi yordamida topish mumkin. quyidagi formula:

a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Vektorlarning nuqta hosilasining xossalari

1. Vektorning o'zi bilan skalyar ko'paytmasi har doim noldan katta yoki teng:

2. Vektorning o‘zi bilan skalyar ko‘paytmasi nolga teng bo‘ladi, agar vektor nol vektorga teng bo‘lsagina:

a a = 0<=>a = 0

3. Vektorning o'z-o'zidan skalyar ko'paytmasi uning modulining kvadratiga teng:

4. Skalyar ko‘paytirish amali kommunikativ hisoblanadi:

5. Agar nolga teng bo‘lmagan ikkita vektorning skalyar ko‘paytmasi nolga teng bo‘lsa, bu vektorlar ortogonal bo‘ladi:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>a ┴ b

6. (aa) b = a(a b)

7. Skayar ko‘paytirish amali distributivdir:

(a + b) c = a c + b c

Vektorlarning skalyar mahsulotini hisoblash uchun topshiriqlarga misollar

Tekis masalalar uchun vektorlarning skalyar mahsulotini hisoblash misollari

a = (1; 2) va b = (4; 8) vektorlarining skalyar ko'paytmasini toping.

Yechim: a b = 1 4 + 2 8 = 4 + 16 = 20.

a va b vektorlarning uzunliklari |a| bo'lsa, ularning skalyar ko'paytmasini toping = 3, |b| = 6, vektorlar orasidagi burchak esa 60˚.

Yechim: a · b = |a| |b| cos a = 3 6 cos 60˚ = 9.

p = a + 3b va q = 5a - 3 b vektorlarning ichki mahsulotini toping, agar ularning uzunliklari |a| = 3, |b| = 2, a va b vektorlari orasidagi burchak esa 60˚.

Yechim:

p q = (a + 3b) (5a - 3b) = 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b =

5 |a| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 \u003d 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 \u003d 45 +36 -36 \u003d 45.

Fazoviy masalalar uchun vektorlarning skalyar mahsulotini hisoblash misoli

a = (1; 2; -5) va b = (4; 8; 1) vektorlarining skalyar ko'paytmasini toping.

Yechim: a b = 1 4 + 2 8 + (-5) 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

n o'lchovli vektorlar uchun nuqta mahsulotini hisoblash misoli

a = (1; 2; -5; 2) va b = (4; 8; 1; -2) vektorlarining skalyar ko'paytmasini toping.

Yechim: a b = 1 4 + 2 8 + (-5) 1 + 2 (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Vektor va vektorning o'zaro ko'paytmasi deyiladi uchinchi vektor , quyidagicha aniqlanadi:

2) perpendikulyar, perpendikulyar. (1"")

3) vektorlar butun fazoning asosi kabi (ijobiy yoki salbiy) yo'naltirilgan.

Belgilang: .

jismoniy ma'no vektor mahsuloti

O nuqtaga nisbatan kuch momenti; radius - kuch qo'llash nuqtasi vektori, keyin

bundan tashqari, agar O nuqtaga o'tkazilsa, unda uchlik asosning vektori sifatida yo'naltirilishi kerak.

1. Ta'rif va oddiy xossalari. Nolga teng bo'lmagan a va b vektorlarni olib, ularni ixtiyoriy O nuqtadan chetga qo'yamiz: OA = a va OB = b. AOB burchagining qiymati a va b vektorlar orasidagi burchak deb ataladi va belgilanadi (a, b). Agar ikkita vektordan kamida bittasi nolga teng bo'lsa, ular orasidagi burchak, ta'rifga ko'ra, to'g'ri hisoblanadi. E'tibor bering, ta'rifga ko'ra, vektorlar orasidagi burchak kamida 0 va eng ko'p . Bundan tashqari, ikkita nolga teng bo'lmagan vektor orasidagi burchak 0 ga teng bo'ladi, agar bu vektorlar ko'p yo'nalishli va teng bo'lsa. agar ular qarama-qarshi yo'nalishda bo'lsa.

Vektorlar orasidagi burchak O nuqtasini tanlashga bog'liq emasligini tekshirib ko'raylik. Bu vektorlar kollinear bo'lsa, bu aniq. Aks holda, biz ixtiyoriy O nuqtasini chetga surib qo'yamiz 1 vektorlar O 1 A 1 = a va o 1 IN 1 = b va AOB va A uchburchaklar ekanligini unutmang 1 HAQIDA 1 IN 1 uch tomondan teng, chunki |OA| = |O 1 A 1 | = |a|, |OB| = |O 1 IN 1 | = |b|, |AB| = |A 1 IN 1 | = |b–a|. Demak, AOB va A burchaklari 1 HAQIDA 1 IN 1 teng.

Endi biz ushbu paragrafda asosiy narsani berishimiz mumkin

(5.1) Ta'rif. Ikki vektor a va b (ab bilan belgilanadi) skalyar mahsuloti sondir 6 , bu vektorlarning uzunliklari va vektorlar orasidagi burchakning kosinuslari mahsulotiga teng. Qisqacha aytganda:

ab = |a||b|cos (a, b).

Skayar ko'paytmani topish operatsiyasi vektorlarni skaler ko'paytirish deyiladi. Vektorning o'zi bilan aa skalyar ko'paytmasi bu vektorning skalyar kvadrati deyiladi va a bilan belgilanadi 2 .

(5.2) Vektorning skalyar kvadrati uning uzunligi kvadratiga teng.

 Agar |a|  0, keyin (a, a) = 0, qaerdan a 2 = |a||a|cos0 = |a| 2 . Agar a = 0 bo'lsa, u holda a 2 = |a| 2 = 0. 

(5.3) Koshi tengsizligi. Ikki vektorning skalyar ko'paytmasining moduli omillar modullarining ko'paytmasidan oshmaydi: |ab| |a||b|. Bunday holda, a va b vektorlari kollinear bo'lgandagina tenglikka erishiladi.

 Ta'rifi bo'yicha |ab| = ||a||b|cos (a,b)| = |a||b||cos (a,b)|  |a||b. Bu Koshi tengsizligini isbotlaydi. Endi e'tibor beraylik. nolga teng bo'lmagan a va b vektorlar uchun undagi tenglik faqat va faqat |cos bo'lganda erishiladi (a,b)| = 1, ya'ni. da (a,b) = 0 yoki (a,b) =  . Ikkinchisi a va b vektorlari birgalikda yo'naltirilgan yoki qarama-qarshi yo'naltirilganligi bilan tengdir, ya'ni. kollinear. Agar a va b vektorlardan kamida bittasi nolga teng bo'lsa, ular kollinear va |ab| = |a||b| = 0. 

2. Skayar ko‘paytirishning asosiy xossalari. Bularga quyidagilar kiradi:

(CS1) ab = ba (kommutativlik);

(CS2) (xa)b = x(ab) (assotsiativlik);

(CS3) a(b+c) = ab + ac (distributivlik).

Bu erda kommutativlik aniq, chunki ab =  ba. x = 0 uchun assotsiativlik ham aniq. Agar x > 0 bo'lsa

(ha) b = |ga||b|cos (xa,b) = |x||a||b|cos (xa,b) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),

uchun (xa, b) = (a,b) (xa va a vektorlarning koordinatsiyasidan - 21-rasm). Agar x< 0, keyin

(xa)b = |x||a||b|cos (xa,b) = –x|a||b|(–cos (a,b)) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),

uchun (xa, b) = –  (a,b) (xa va a vektorlarining qarama-qarshi yo'nalishidan - 22-rasm). Shunday qilib, assotsiativlik ham isbotlangan.

Distribyutorlikni isbotlash qiyinroq. Buning uchun bizga shunday kerak

(5.4) Lemma. a l chiziqqa parallel nolga teng bo'lmagan vektor va b ixtiyoriy vektor bo'lsin. Keyin ortogonal proyeksiyab"b vektorining l chizig'iga teng
.



Agar b = 0 bo'lsa, u holdab" = 0 va ab = 0, shuning uchun bu holda lemma to'g'ri bo'ladi. Quyida biz b" vektori nolga teng emas deb faraz qilamiz. Bunday holda, l to'g'ri chiziqning ixtiyoriy O nuqtasidan biz OA = a va OB = b vektorlarini chetga qo'yamiz, shuningdek, B nuqtadan l to'g'ri chiziqqa perpendikulyar BB "ni tushiramiz. Ta'rifi bo'yicha.OB" = b"Va (a,b) =  AOW. Belgilamoq AOB orqali va quyidagi uchta holatning har biri uchun lemmani alohida isbotlang:

1)  <  /2. Keyin a va vektorlari birgalikda rahbarlik qilgan (23-rasm) va

b" = =
=
.

2)  >  /2. Keyin a va vektorlarib"qarama-qarshi yo'naltirilgan (24-rasm) va

b" = – = –
= .

3)  =  /2. Keyinb" = 0 va ab = 0, qaerdanb" =
= 0. 

Endi biz (CS3) ning taqsimlanishini isbotlaymiz. a vektor nolga teng bo'lsa, aniq. Keling, a  0. Keyin l chiziqni torting || a va bilan belgilangb"Vac" b va c vektorlarining unga va orqali ortogonal proyeksiyalarid" d = b + c vektorining unga ortogonal proyeksiyasi bo'lsin. 3.5 teorema bo'yicha.d" = b"+ c". Lemma 5.4 ni oxirgi tenglikka qo'llasak, biz tenglikka erishamiz
=
. Uni skalyar ravishda a ga ko'paytirsak, buni topamiz 2 =
, bu erdan ad = ab+ac, isbotlanishi kerak edi.

Biz tomonidan isbotlangan vektorlarni skalyar ko'paytirish xossalari sonlarni ko'paytirishning tegishli xossalariga o'xshaydi. Lekin sonlarni ko'paytirishning barcha xossalari vektorlarni skalyar ko'paytirishga o'tmaydi. Bu erda odatiy misollar:

) Agar ab = 0 bo'lsa, bu a = 0 yoki b = 0 degani emas. Misol: to'g'ri burchak hosil qiluvchi ikkita nolga teng bo'lmagan vektor.

2) Agar ab = ac bo'lsa, a vektor nolga teng bo'lmasa ham, bu b = c degani emas. Misol: b va c bir xil uzunlikdagi ikki xil vektor bo'lib, a vektori bilan teng burchaklar hosil qiladi (25-rasm).

3) har doim a(bc) = (ab)c, degan to'g'ri emas: agar faqat bc uchun bunday tenglikning haqiqiyligi, ab 0 a va c vektorlari kollinear ekanligini bildiradi.

3. Vektorlarning ortogonalligi. Ikki vektor ortogonal deyiladi, agar ular orasidagi burchak to'g'ri bo'lsa. Vektorlarning ortogonalligi belgi bilan ko'rsatilgan .

Vektorlar orasidagi burchakni aniqlaganimizda, biz nol vektor va boshqa har qanday vektor orasidagi burchakni to'g'ri chiziq sifatida ko'rib chiqishga kelishib oldik. Shuning uchun nol vektor har qandayga ortogonaldir. Bu kelishuv bizga buni isbotlash imkonini beradi

(5.5) Ikki vektorning ortogonallik belgisi. Ikki vektor ortogonal bo'ladi, agar ularning nuqta mahsuloti 0 bo'lsa.

 a va b ixtiyoriy vektorlar bo'lsin. Agar ulardan kamida bittasi nolga teng bo'lsa, ular ortogonal bo'lib, ularning skalyar ko'paytmasi 0 ga teng bo'ladi. Demak, bu holda teorema to'g'ri bo'ladi. Keling, ikkala vektor ham nolga teng deb faraz qilaylik. Ta'rifga ko'ra, ab = |a||b|cos (a, b). Chunki bizning taxminimiz bo'yicha |a| raqamlari va |b| 0 ga teng emas, u holda ab = 0 cos (a, b) = 0  (a, b) = /2, bu isbotlanishi kerak edi.

Ab = 0 tengligi ko'pincha vektorlarning ortogonalligining ta'rifi sifatida qabul qilinadi.

(5.6) Xulosa. Agar a vektor a vektorlarining har biriga ortogonal bo'lsa 1 , …, A P , u holda ularning har qanday chiziqli birikmalariga ham ortogonal bo'ladi.

 Tenglikdan aa ekanligini qayd etish kifoya 1 = … = aa P = 0 a(x) tengligini bildiradi 1 A 1 + … +x P A P ) = x 1 (ah 1 ) + … + x P (ah P ) = 0. 

Xulosa 5.6 dan chiziq va tekislikning perpendikulyarligi uchun maktab mezonini chiqarish oson. Haqiqatan ham, MN qandaydir chiziq kesishuvchi ikkita AB va AC chiziqlarga perpendikulyar bo'lsin. U holda MN vektori AB va AC vektorlariga ortogonal bo'ladi. ABC tekisligida istalgan DE to'g'ri chiziqni olaylik. DE vektori kollinear bo'lmagan AB va AC vektorlariga koplanar va shuning uchun ularda kengayadi. Lekin u holda u MN vektoriga ham ortogonal bo'ladi, ya'ni MN va DE chiziqlar perpendikulyar bo'ladi. Ma’lum bo‘lishicha, MN to‘g‘ri ABC tekisligidan istalgan to‘g‘riga perpendikulyar bo‘lib, u isbotlanishi kerak edi.

4. Ortonormal asoslar. (5.7) Ta'rif. Vektor fazoning asosi ortonormal deyiladi, agar birinchidan, uning barcha vektorlari birlik uzunligiga ega bo'lsa, ikkinchidan, uning istalgan ikkita vektori ortogonal bo'lsa.

Uch o'lchovli fazodagi ortonormal bazis vektorlari odatda i, j va k harflari bilan, vektor tekisligida esa i va j harflari bilan belgilanadi. Ikki vektorning ortogonallik belgisini va vektor skalyar kvadratining uning uzunligi kvadratiga tengligini hisobga olib, V fazoning asosi (i,j,k) uchun ortonormallik shartlari. 3 shunday yozilishi mumkin:

(5.8) i 2 = j 2 = k 2 = 1 , ij = ik = jk = 0,

va vektor tekisligining asosi (i,j) quyidagicha:

(5.9) i 2 = j 2 = 1 , ij = 0.

a va b vektorlari ortonormal bazisda (i,j,k) V bo‘shliqlarga ega bo‘lsin 3 koordinatalar (a 1 , A 2 , A 3 ) va (b 1 b 2 ,b 3 ) mos ravishda. Keyinab = (A 1 i+A 2 j+A 3 k)(b 1 i+b 2 j+b 3 k) = a 1 b 1 i 2 +a 2 b 2 j 2 +a 3 b 3 k 2 +a 1 b 2 ij+a 1 b 3 ik+a 2 b 1 ji+a 2 b 3 jk+a 3 b 1 ki+a 3 b 2 kj = a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 . a (a) vektorlarining skalyar mahsuloti formulasi shunday tuzilgan 1 , A 2 , A 3 ) va b(b 1 ,b 2 ,b 3 ) V fazoning ortonormal asosidagi koordinatalari bilan berilgan 3 :

(5.10) ab = a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 .

a(a) vektorlari uchun 1 , A 2 ) va b(b 1 ,b 2 ) vektor tekisligida ortonormal asosda ularning koordinatalari bilan berilgan, u shaklga ega

(5.11) ab = a 1 b 1 +a 2 b 2 .

(5.10) formulaga b = a ni almashtiramiz. Ma’lum bo‘lishicha, ortonormal asosda a 2 = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 . Chunki a 2 = |a| 2 , biz a (a) vektorining uzunligini topish uchun shunday formulani olamiz 1 , A 2 , A 3 ) V fazoning ortonormal asosidagi koordinatalari bilan aniqlanadi 3 :

(5.12) |a| =
.

Vektor tekisligida (5.11) ga binoan, u shaklni oladi

(5.13) |a| =
.

(5.10) formulaga b = i, b = j, b = k ni almashtirsak, yana uchta foydali tenglikni olamiz:

(5.14) ai = a 1 , aj = a 2 , ak = a 3 .

Vektorlarning skalyar mahsulotini va vektor uzunligini topish uchun koordinata formulalarining soddaligi ortonormal asoslarning asosiy afzalligi hisoblanadi. Ortonormal bo'lmagan asoslar uchun bu formulalar, umuman olganda, noto'g'ri va bu holda ularni qo'llash qo'pol xatodir.

5. Yo‘nalish kosinuslari. Ortonormal asosda (i,j,k) V bo'shliqlarni oling 3 vektor a(a 1 , A 2 , A 3 ). Keyinai = |a||i|cos (a,i) = |a|cos (a, i).Boshqa tomondan, ai = a 1 5.14 formula bo'yicha. Ma'lum bo'ladiki

(5.15) a 1 = |a|cos (a, i).

va xuddi shunday,

A 2 = |a|cos (a, j) va 3 = |a|cos (a, k).

Agar a vektor birlik bo'lsa, bu uchta tenglik juda oddiy shaklni oladi:

(5.16) A 1 = cos (a, i),A 2 = cos (a, j),A 3 = cos (a, k).

Ortonormal bazis vektorlari bilan vektor hosil qilgan burchaklarning kosinuslari berilgan bazisdagi bu vektorning yo'nalish kosinuslari deyiladi. 5.16 formulalardan ko'rinib turibdiki, ortonormal asosdagi birlik vektorining koordinatalari uning yo'nalishi kosinuslariga teng.

5.15 dan kelib chiqadiki, a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = |a| 2 (chunki 2  (a,i)+cos 2  (a,j)+cos 2  (a, k)). Boshqa tomondan, a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = |a| 2 . Ma'lum bo'ladiki

(5.17) nolga teng bo'lmagan vektorning kvadrat yo'nalish kosinuslari yig'indisi 1 ga teng.

Bu fakt ba'zi muammolarni hal qilish uchun foydalidir.

(5.18) Muammo. To'g'ri to'rtburchak parallelepipedning diagonali uning ikkita qirrasi bir xil 60 burchakli burchakdan chiqadigan holda hosil bo'ladi. . Ushbu cho'qqidan uchinchi qirrasi chiqqanda u qanday burchak hosil qiladi?

 V fazoning ortonormal asosini ko'rib chiqaylik 3 , vektorlari berilgan tepadan chiqadigan parallelepipedning qirralari bilan ifodalanadi. Diagonal vektor bu asosning ikkita vektori bilan 60 burchak hosil qilganligi sababli , uning uchta yo'nalishli kosinuslaridan ikkitasining kvadratlari cos ga teng 2 60  = 1/4. Demak, uchinchi kosinusning kvadrati 1/2 ga, bu kosinusning oʻzi esa 1/
. Shunday qilib, kerakli burchak 45 ga teng . 

Vektorlar orasidagi burchak

$\overrightarrow(a)$ va $\overrightarrow(b)$ berilgan ikkita vektorni ko'rib chiqing. $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ va $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ vektorlarini ixtiyoriy tanlangan $O$ nuqtadan chetga surib qo'yamiz, keyin $AOB$ burchagi deyiladi. $\overrightarrow(a)$ va $\overrightarrow(b)$ vektorlari orasidagi burchak (1-rasm).

1-rasm.

Bu erda e'tibor bering, agar $\overrightarrow(a)$ va $\overrightarrow(b)$ vektorlari koordinatsiyali bo'lsa yoki ulardan biri nol vektor bo'lsa, vektorlar orasidagi burchak $0^0$ ga teng.

Belgilash: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Vektorlarning skalyar mahsuloti haqida tushuncha

Matematik jihatdan bu ta'rifni quyidagicha yozish mumkin:

Skayar mahsulot ikki holatda nolga teng bo'lishi mumkin:

Agar vektorlardan biri nol vektor bo'lsa (Bundan buyon uning uzunligi nolga teng).

Agar vektorlar o'zaro perpendikulyar bo'lsa (ya'ni $cos(90)^0=0$).

Shuni ham yodda tutingki, agar bu vektorlar orasidagi burchak o'tkir bo'lsa, ichki mahsulot noldan katta bo'ladi (chunki $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) , va agar bu vektorlar orasidagi burchak toʻq boʻlsa, noldan kichik (chunki $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

Skayar kvadrat tushunchasi skalyar ko'paytma tushunchasi bilan bog'liq.

Ta'rif 2

$\overrightarrow(a)$ vektorining skalyar kvadrati bu vektorning o'zi bilan skalyar ko'paytmasidir.

Skalar kvadrat ekanligini tushunamiz

Skalar ko'paytmani vektorlar koordinatalari bo'yicha hisoblash

Ta'rifdan kelib chiqadigan nuqta mahsulotining qiymatini topishning standart usuliga qo'shimcha ravishda, boshqa usul ham mavjud.

Keling, ko'rib chiqaylik.

$\overrightarrow(a)$ va $\overrightarrow(b)$ vektorlari mos ravishda $\left(a_1,b_1\right)$ va $\left(a_2,b_2\right)$ koordinatalariga ega boʻlsin.

Teorema 1

$\overrightarrow(a)$ va $\overrightarrow(b)$ vektorlarining skalyar koʻpaytmasi mos keladigan koordinatalar koʻpaytmalari yigʻindisiga teng.

Matematik jihatdan buni quyidagicha yozish mumkin

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Isbot.

Teorema isbotlangan.

Ushbu teorema bir nechta ma'noga ega:

Xulosa 1: $\overrightarrow(a)$ va $\overrightarrow(b)$ vektorlari perpendikulyar bo'ladi, agar $a_1a_2+b_1b_2=0$ bo'lsa.

Natija 2: Vektorlar orasidagi burchakning kosinusu $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Vektorlarning nuqta hosilasining xossalari

Har qanday uchta vektor va haqiqiy $k$ soni uchun quyidagilar to'g'ri bo'ladi:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Bu xususiyat skalyar kvadrat ta'rifidan kelib chiqadi (2-ta'rif).

siljish qonuni:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Bu xususiyat ichki mahsulotning ta'rifidan kelib chiqadi (1-ta'rif).

Tarqatish qonuni:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\o'ng)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end (sanoqlash)

1-teorema bo'yicha bizda:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\o'ng)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\o'ng)a_3+\left(b_1+b_2\o'ng)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

Birlashma qonuni:$\left(k\overrightarrow(a)\o'ng)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end (sanoqlash)

1-teorema bo'yicha bizda:

\[\left(k\overrightarrow(a)\o'ng)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\o'ng)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Vektorlarning skalyar mahsulotini hisoblash masalasiga misol

1-misol

$\overrightarrow(a)$ va $\overrightarrow(b)$ vektorlarining ichki mahsulotini toping, agar $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ va $\left|\overrightarrow(b)\right| = 2$ va ular orasidagi burchak $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$.

Yechim.

1 ta'rifidan foydalanib, biz olamiz

$(30)^0:$ uchun

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

$(45)^0:$ uchun

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

$(90)^0:$ uchun

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

$(135)^0:$ uchun

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ o'ng)=-3\sqrt(2)\]

Agar masalada vektorlarning uzunligi ham, ular orasidagi burchak ham “kumush laganda” berilgan bo‘lsa, masalaning sharti va uning yechimi quyidagicha ko‘rinadi:

1-misol Vektorlar berilgan. Vektorlarning uzunliklari va ular orasidagi burchak quyidagi qiymatlar bilan ifodalansa, ularning skalyar mahsulotini toping:

Boshqa ta'rif ham to'g'ri bo'lib, u 1-ta'rifga to'liq tengdir.

Ta'rif 2. Vektorlarning skalyar ko‘paytmasi bu vektorlardan birining uzunligi va boshqa vektorning bu vektorlarning birinchisi tomonidan aniqlangan o‘qga proyeksiyasining ko‘paytmasiga teng son (skalar) hisoblanadi. 2-ta'rifga muvofiq formula:

Keyingi muhim nazariy nuqtadan keyin ushbu formula yordamida muammoni hal qilamiz.

Koordinatalar bo'yicha vektorlarning skalyar ko'paytmasining ta'rifi

Agar ko'paytirilgan vektorlar ularning koordinatalari bilan berilgan bo'lsa, xuddi shu raqamni olish mumkin.

Ta'rif 3. Vektorlarning nuqta mahsuloti - bu ularning tegishli koordinatalarining juft ko'paytmalari yig'indisiga teng son.

Sirtda

Agar ikkita vektor va tekislikda ularning ikkitasi aniqlansa Dekart koordinatalari

u holda bu vektorlarning nuqta mahsuloti ularning tegishli koordinatalarining juft ko‘paytmalari yig‘indisiga teng bo‘ladi:

2-misol Vektorning vektorga parallel o'qga proyeksiyasining son qiymatini toping.

Yechim. Vektorlarning skalyar ko‘paytmasini ularning koordinatalarining juft ko‘paytmalarini qo‘shish orqali topamiz:

Endi biz hosil bo'lgan skalyar ko'paytmani vektor uzunligi va vektorning vektorga parallel o'qqa proyeksiyasi (formulaga muvofiq) ko'paytmasiga tenglashtirishimiz kerak.

Vektor uzunligini quyidagicha topamiz Kvadrat ildiz uning koordinatalari kvadratlari yig'indisidan:

Tenglama yozing va uni yeching:

Javob. Istalgan raqamli qiymat minus 8.

Kosmosda

Agar ikkita vektor va fazoda ularning uchta dekart to'rtburchaklar koordinatalari bilan aniqlangan bo'lsa

u holda bu vektorlarning skalyar ko'paytmasi ham ularning tegishli koordinatalarining juft ko'paytmalari yig'indisiga teng, faqat uchta koordinata mavjud:

Skalyar ko'paytmani ko'rib chiqilayotgan usulda topish vazifasi skalyar ko'paytmaning xususiyatlarini tahlil qilgandan keyin amalga oshiriladi. Chunki topshiriqda ko'paytirilgan vektorlar qanday burchak hosil qilishini aniqlash kerak bo'ladi.

Vektorlarning nuqta hosilasining xossalari

Algebraik xossalari

1. (kommutativ xususiyat: ularning skalyar ko'paytmasining qiymati ko'paytirilgan vektorlar joylarini o'zgartirishdan o'zgarmaydi).

2. (son omilga nisbatan assotsiativ xususiyat: vektorning qandaydir omilga va boshqa vektorga ko'paytirilgan skalyar ko'paytmasi bu vektorlarning bir xil koeffitsientga ko'paytirilgan skalyar ko'paytmasiga teng).

3. (vektorlar yig'indisiga nisbatan taqsimlovchi xususiyat: ikkita vektor yig'indisining uchinchi vektor bo'yicha skalyar ko'paytmasi birinchi vektorning uchinchi vektorga va ikkinchi vektorning uchinchi vektorga bo'lgan skalyar ko'paytmalarining yig'indisiga teng).

4. (noldan katta vektorning skalyar kvadrati) if nolga teng bo'lmagan vektor, va agar nol vektor bo'lsa.

Geometrik xossalar

O'rganilayotgan operatsiya ta'riflarida biz allaqachon ikkita vektor orasidagi burchak tushunchasiga to'xtalib o'tdik. Ushbu kontseptsiyaga aniqlik kiritish vaqti keldi.

Yuqoridagi rasmda ikkita vektor ko'rinadi, ular umumiy boshlanishga keltiriladi. Va siz e'tibor berishingiz kerak bo'lgan birinchi narsa: bu vektorlar orasida ikkita burchak bor - φ 1 Va φ 2 . Ushbu burchaklardan qaysi biri vektorlarning skalyar mahsulotining ta'riflari va xossalarida ko'rinadi? Ko'rib chiqilayotgan burchaklarning yig'indisi 2 ga teng π va shuning uchun bu burchaklarning kosinuslari tengdir. Nuqta mahsulotining ta'rifi uning ifoda qiymatini emas, balki faqat burchakning kosinusini o'z ichiga oladi. Ammo xususiyatlarda faqat bitta burchak hisobga olinadi. Va bu oshmaydigan ikkita burchakdan biri π ya'ni 180 daraja. Ushbu burchak rasmda quyidagicha ko'rsatilgan φ 1 .

1. Ikki vektor chaqiriladi ortogonal Va bu vektorlar orasidagi burchak to'g'ri (90 daraja yoki π /2 ) agar bu vektorlarning skalyar mahsuloti nolga teng :

Vektor algebrasida ortogonallik ikki vektorning perpendikulyarligidir.

2. Ikki nolga teng bo'lmagan vektor hosil qiladi o'tkir burchak (0 dan 90 darajagacha yoki bir xil bo'lsa, kamroq π nuqta mahsuloti ijobiy .

3. Ikki nolga teng bo'lmagan vektor hosil qiladi to'g'ri burchak (90 dan 180 darajagacha, yoki bir xil - ko'proq π /2 ) agar va faqat agar nuqta mahsuloti manfiy .

3-misol Vektorlar koordinatalarda berilgan:

Berilgan vektorlarning barcha juftlarining nuqta mahsulotini hisoblang. Ushbu juft vektorlar qanday burchakni (o'tkir, to'g'ri, o'tmas) hosil qiladi?

Yechim. Tegishli koordinatalarning mahsulotlarini qo'shish orqali hisoblaymiz.

Biz manfiy sonni oldik, shuning uchun vektorlar o'tmas burchak hosil qiladi.

Biz ijobiy raqamni oldik, shuning uchun vektorlar o'tkir burchak hosil qiladi.

Biz nolga erishdik, shuning uchun vektorlar to'g'ri burchak hosil qiladi.

Biz ijobiy raqamni oldik, shuning uchun vektorlar o'tkir burchak hosil qiladi.

O'z-o'zini tekshirish uchun siz foydalanishingiz mumkin onlayn kalkulyator Vektorlarning nuqta mahsuloti va ular orasidagi burchakning kosinusu .

4-misol Ikki vektorning uzunligi va ular orasidagi burchak berilgan:

Sonning qaysi qiymatida vektorlar ortogonal (perpendikulyar) ekanligini aniqlang.

Yechim. Polinomlarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra vektorlarni ko'paytiramiz:

Endi har bir atamani hisoblaymiz:

Keling, tenglama tuzamiz (ko'paytmaning nolga tengligi), o'xshash shartlarni beramiz va tenglamani yechamiz:

Javob: biz qiymatni oldik λ = 1,8 , bunda vektorlar ortogonaldir.

5-misol vektor ekanligini isbotlang vektorga ortogonal (perpendikulyar).

Yechim. Ortogonallikni tekshirish uchun vektorlarni va ko'phadlarni ko'paytiramiz, uning o'rniga masala sharoitida berilgan ifodani almashtiramiz:

Buni amalga oshirish uchun birinchi ko'phadning har bir a'zosini ikkinchisining har bir a'zosiga ko'paytirish va hosil bo'lgan mahsulotlarni qo'shish kerak:

Natijada, to'lanadigan fraktsiya kamayadi. Quyidagi natija olinadi:

Xulosa: ko'paytirish natijasida biz nolga erishdik, shuning uchun vektorlarning ortogonalligi (perpendikulyarligi) isbotlangan.

Muammoni o'zingiz hal qiling va keyin yechimni ko'ring

6-misol vektorlarning uzunliklari berilgan va bu vektorlar orasidagi burchak π /4. Qaysi qiymatda ekanligini aniqlang μ vektorlar va o'zaro perpendikulyar.

O'z-o'zini tekshirish uchun siz foydalanishingiz mumkin onlayn kalkulyator Vektorlarning nuqta mahsuloti va ular orasidagi burchakning kosinusu .

Vektorlarning skalyar ko'paytmasi va n o'lchovli vektorlar ko'paytmasining matritsali tasviri

Ba'zan aniqlik uchun ikkita ko'paytiriladigan vektorni matritsalar shaklida ko'rsatish foydali bo'ladi. Keyin birinchi vektor satr matritsasi, ikkinchisi esa ustun matritsasi sifatida ifodalanadi:

Keyin vektorlarning skalyar mahsuloti bo'ladi bu matritsalarning mahsuloti :

Natija biz allaqachon ko'rib chiqqan usul bilan olingan natija bilan bir xil. Biz bitta raqamni oldik va matritsa qatorining matritsa ustuniga ko'paytmasi ham bitta raqam.

Matritsa ko'rinishida mavhum n o'lchovli vektorlarning mahsulotini ko'rsatish qulay. Shunday qilib, ikkita to'rt o'lchovli vektorning ko'paytmasi to'rt elementli ustunli matritsaning to'rt elementli ko'paytmasi bo'ladi, ikkita besh o'lchovli vektorning ko'paytmasi besh elementli qator matritsasining mahsuloti bo'ladi. ustun matritsasi ham besh elementli va hokazo.

7-misol Vektor juftlarining nuqta mahsulotini toping

matritsali tasvirdan foydalanish.

Yechim. Birinchi vektor juftligi. Birinchi vektorni satr matritsasi, ikkinchisini esa ustun matritsasi sifatida ifodalaymiz. Ushbu vektorlarning skalyar ko‘paytmasini qator matritsasining ustun matritsasiga ko‘paytmasi sifatida topamiz:

Xuddi shunday, biz ikkinchi juftlikni ifodalaymiz va topamiz:

Ko'rib turganingizdek, natijalar 2-misoldagi bir xil juftliklar bilan bir xil.

Ikki vektor orasidagi burchak

Ikki vektor orasidagi burchakning kosinus formulasini chiqarish juda chiroyli va ixchamdir.

Vektorlarning nuqta mahsulotini ifodalash

(1)

V koordinata shakli, avval ortsning skalyar ko'paytmasini topamiz. Vektorning o'zi bilan skalyar mahsuloti ta'rifi bo'yicha:

Yuqoridagi formulada yozilgan narsa quyidagilarni anglatadi: vektorning o'zi bilan skalyar ko'paytmasi uning uzunligi kvadratiga teng. Nolning kosinasi birga teng, shuning uchun har bir orthning kvadrati birga teng bo'ladi: