Matritsaning teskari tomonini hisoblang. Algebraik qo'shimchalar yordamida teskari matritsani hisoblash algoritmi: qo'shma (qo'shma) matritsa usuli. Iqtisodiy tahlilda matritsa usuli

Matritsa algebra - teskari matritsa

teskari matritsa

Teskari matritsa matritsa deb ataladi, u o'ngda ham, chapda ham berilgan matritsa bilan ko'paytirilganda identifikatsiya matritsasini beradi.
Matritsani matritsaga teskari belgilaymiz VA orqali, keyin ta'rifga muvofiq biz quyidagilarni olamiz:

qaerda E Shaxsiyat matritsasi.
Kvadrat matritsa deb nomlangan maxsus bo'lmagan (buzilib ketmaydigan) agar uning determinanti nolga teng bo'lmasa. Aks holda, deyiladi maxsus (buzilib ketgan) yoki yakka.

Quyidagi teorema mavjud: har bir bema'ni matritsa teskari tomonga ega.

Teskari matritsani topish amali deyiladi shikoyat qilish matritsalar. Matritsaning teskari algoritmini ko'rib chiqing. Biron bir matritsa berilsin n- tartib:

bu erda Δ \u003d det A ≠ 0.

Elementning algebraik komplementimatritsalar n - tartib VA matritsaning determinanti ( n –1) o'chirish natijasida olingan buyurtma men- qator va jmatritsaning ustuni VA:

Keling, deb nomlanganlarni tuzaylik biriktirilgan matritsa:

matritsaning mos keladigan elementlarining algebraik qo'shimchalari qaerda VA.
Matritsa qatorlari elementlarining algebraik to'ldirilishini unutmang VA matritsaning tegishli ustunlariga joylashtirilgan à , ya'ni matritsa bir vaqtning o'zida ko'chiriladi.
Matritsaning barcha elementlarini ajratish Ã Δ bilan - matritsaning determinantining qiymati VA, natijada teskari matritsani olamiz:

Teskari matritsaning bir qator maxsus xususiyatlarini ta'kidlaymiz:
1) berilgan matritsa uchun VA uning teskari matritsasi faqat bitta;
2) agar teskari matritsa bo'lsa, unda o'ng teskari va chapga teskari matritsalar unga to'g'ri keladi;
3) maxsus (degeneratsiya qilingan) kvadrat matritsaning teskari matritsasi yo'q.

Teskari matritsaning asosiy xususiyatlari:
1) teskari matritsaning determinanti va asl matritsaning determinanti o'zaro qiymatlardir;
2) kvadrat matritsalar ko'paytmasining teskari matritsasi teskari tartibda olingan omillarning teskari matritsalari ko'paytmasiga teng:

3) matritsaning transpozitsiyasi berilgan transpozitsiyasiga teskari:

PRI menga r. Berilgan matritsaning teskarisini hisoblang.

Har qanday noaniq matritsa A uchun mavjud va bundan tashqari noyob A -1 matritsasi mavjud

A * A -1 \u003d A -1 * A \u003d E,

bu erda E A bilan bir xil tartibdagi identifikatsiya matritsasi A -1 matritsa A matritsaga teskari deb ataladi.

Agar kimdir unutgan bo'lsa, identifikatsiya matritsasida, diagonali bilan to'ldirilganidan tashqari, boshqa barcha pozitsiyalar nol bilan to'ldiriladi, bu identifikatsiya matritsasining namunasi:

Qo'shilgan matritsa usuli bilan teskari matritsani topish

Teskari matritsa quyidagi formula bilan aniqlanadi:

bu erda A ij - a ij elementlari.

O'sha. teskari matritsani hisoblash uchun ushbu matritsaning determinantini hisoblash kerak. Keyin uning barcha elementlari uchun algebraik qo'shimchalarni toping va ulardan yangi matritsa tuzing. Keyinchalik, ushbu matritsani tashishingiz kerak. Va yangi matritsaning har bir elementini asl matritsaning determinantiga bo'ling.

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Matritsa uchun A -1 ni toping

Yechish.Matrixli birikma usuli bilan A -1 ni topaylik. Bizda det A \u003d 2 bor. A matritsa elementlarining algebraik qo'shimchalarini topaylik, bu holda matritsa elementlarining algebraik qo'shimchalari matritsaning o'zi mos keladigan elementlari bo'ladi, formulaga muvofiq belgi bilan olinadi.

Bizda A 11 \u003d 3, A 12 \u003d -4, A 21 \u003d -1, A 22 \u003d 2. Biz biriktirilgan matritsani hosil qilamiz

Biz A * matritsasini tashiymiz:

Quyidagi formula bo'yicha teskari matritsani topamiz:

Biz olamiz:

Agar biriktirilgan matritsa usuli yordamida A -1 ni toping

Yechim.Birinchidan, teskari matritsa mavjudligiga ishonch hosil qilish uchun berilgan matritsaning ta'rifini hisoblaymiz. Bizda ... bor

Bu erda biz ikkinchi qator elementlariga oldin (-1) ga ko'paytirilgan uchinchi qator elementlarini qo'shdik va keyin ikkinchi qatorda determinantni kengaytirdik. Berilgan matritsa nolga teng bo'lganligi sababli teskari matritsa mavjud. Qo'shilgan matritsani qurish uchun ushbu matritsa elementlarining algebraik qo'shimchalarini topamiz. Bizda ... bor

Formulaga muvofiq

a * matritsasini tashish:

Keyin formula bo'yicha

Elementar transformatsiyalar usuli bilan teskari matritsani topish

Formuladan kelib chiqadigan teskari matritsani topish usulidan tashqari (biriktirilgan matritsa usuli), teskari matritsani topish uchun elementar transformatsiyalar usuli deb nomlangan usul mavjud.

Elementar matritsali transformatsiyalar

Quyidagi transformatsiyalar elementar matritsali transformatsiyalar deb ataladi:

1) qatorlarni (ustunlarni) almashtirish;

2) qatorni (ustunni) nolga teng songa ko'paytirish;

3) qator (ustun) elementlariga ilgari ma'lum bir songa ko'paytirilib, boshqa qator (ustun) ning tegishli elementlarini qo'shish.

A -1 matritsasini topish uchun (n; 2n) buyruqlarning to'rtburchagi B \u003d (A | E) matritsasini quramiz, ajratish chizig'i orqali o'ng tomon A matritsasiga E matritsasini beramiz:

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

Elementar konvertatsiya qilish usulidan foydalanib, agar A -1 ni toping

Keling, B matritsasini hosil qilamiz:

B matritsasining qatorlarini a 1, a 2, a 3 bilan belgilaymiz. B matritsasi qatorlarida quyidagi transformatsiyalarni bajaramiz.

Ta'rif 1: matritsa degenerat deyiladi, agar uning determinanti nolga teng bo'lsa.

Ta'rif 2: matritsa noaniq deb ataladi, agar uning determinanti nolga teng bo'lmasa.

"A" matritsasi deyiladi teskari matritsaagar A * A-1 \u003d A-1 * A \u003d E sharti bajarilsa (identifikatsiya matritsasi).

Kvadrat matritsa faqat degeneratsiz bo'lsa, uni qaytarib olish mumkin.

Matritsani teskari hisoblash sxemasi:

1) agar "A" matritsaning determinantini hisoblang ∆ A \u003d 0, keyin teskari matritsa mavjud emas.

2) "A" matritsasining barcha algebraik qo'shimchalarini toping.

3) algebraik komplektlar matritsasini yarating (Aij)

4) algebraik qo'shimchalar matritsasini o'tkazing (Aij) T

5) Transpozitsiya qilingan matritsani ushbu matritsaning determinantiga teskari tomonga ko'paytiring.

6) Tekshirish:

Bir qarashda bu qiyin tuyulishi mumkin, ammo aslida hamma narsa juda oddiy. Barcha echimlar oddiy arifmetik amallarga asoslangan, qaror qabul qilishda asosiy narsa "-" va "+" belgilari bilan adashmaslik va ularni yo'qotmaslikdir.

Keling, teskari matritsani hisoblash orqali siz bilan birgalikda amaliy vazifani hal qilaylik.

Vazifa: quyidagi rasmda ko'rsatilgan teskari "A" matritsasini toping:

Biz hamma narsani teskari matritsani hisoblash rejasida ko'rsatilganidek aniq hal qilamiz.

1. Birinchi narsa "A" matritsasining determinantini topishdir:

Izoh:

Biz uning asosiy funksiyalaridan foydalanib, saralashimizni soddalashtirdik. Birinchidan, biz 2 va 3-qatorlarga bir qatorga ko'paytirib, birinchi qator elementlarini qo'shdik.

Ikkinchidan, biz determinantning 2 va 3 ustunlarini o'zgartirdik va uning xususiyatlariga ko'ra biz uning oldidagi belgini o'zgartirdik.

Uchinchidan, biz ikkinchi qatorning umumiy faktorini (-1) tashladik va shu bilan belgini yana o'zgartirdik va u ijobiy bo'ldi. Biz misolning boshidagi kabi 3-qatorni ham soddalashtirdik.

Biz uchburchak determinantni qo'lga kiritdik, unda diagonali ostidagi elementlar nolga teng bo'ladi va 7 xususiyati bo'yicha u diagonali elementlari ko'paytmasiga teng. Natijada, biz oldik ∆ A \u003d 26, shuning uchun teskari mavjud.

A11 \u003d 1 * (3 + 1) \u003d 4

A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

A13 \u003d 1 * 1 \u003d 1

A21 \u003d -1 * (- 6) \u003d 6

A22 \u003d 1 * (3-0) \u003d 3

A23 \u003d -1 * (1 + 4) \u003d -5

A31 \u003d 1 * 2 \u003d 2

A32 \u003d -1 * (- 1) \u003d -1

A33 \u003d 1+ (1 + 6) \u003d 7

3. Keyingi qadam, hosil bo'lgan qo'shimchalardan matritsani tuzishdir:

5. Ushbu matritsani determinantning teskari tomoniga, ya'ni 1/26 ga ko'paytiring:

6. Xo'sh, endi biz quyidagilarni tekshirishimiz kerak:

Tekshiruv davomida biz identifikatsiya matritsasini oldik, shuning uchun echim mutlaqo to'g'ri bajarildi.

Teskari matritsani hisoblashning 2 usuli.

1. Elementar matritsani o'zgartirish

2. Elementar transformator orqali teskari matritsa.

Elementar matritsani o'zgartirish quyidagilarni o'z ichiga oladi:

1. Satrni nolga teng songa ko'paytirish.

2. Istalgan satrga songa ko'paytirilgan yana bir satr qo'shish.

3. Matritsa qatorlarini almashtirish.

4. Elementar transformatsiyalar zanjirini qo'llagan holda, biz boshqa matritsani olamiz.

VA -1 = ?

1. (A | E) ~ (E | A -1 )

2. A -1 * A \u003d E

Haqiqiy raqamlar bilan amaliy misolni ko'rib chiqamiz.

Vazifa: Matritsaning teskari tomonini toping.

Qaror:

Tekshiramiz:

Yechim haqida bir oz tushuntirish:

Birinchidan, biz matritsaning 1 va 2 qatorlarini qayta joylashtirdik, so'ngra birinchi qatorni (-1) ga ko'paytirdik.

Shundan so'ng, birinchi qator (-2) ga ko'paytirildi va matritsaning ikkinchi qatoriga qo'shildi. Keyin biz 2-qatorni 1/4 ga ko'paytirdik.

Transformatsiyaning yakuniy bosqichi ikkinchi qatorni 2 ga ko'paytirib, birinchisidan qo'shish edi. Natijada, biz chap tomonda identifikatsiya matritsasiga egamiz, shuning uchun teskari o'ngdagi matritsa.

Tekshirgandan so'ng, biz yechim to'g'ri ekanligiga ishonch hosil qildik.

Ko'rib turganingizdek, matritsaning teskarisini hisoblash juda oson.

Ushbu ma'ruzadan so'ng, men ham bunday matritsaning xususiyatlariga ozgina vaqt ajratmoqchiman.

Algebraik qo'shimchalar va voyaga etmaganlar

Uchinchi tartibning determinantiga ega bo'laylik: .

Kichikushbu elementga mos keladi a ij uchinchi tartibning determinanti, berilgan element turgan kesishgan satr va ustunni o'chirish orqali berilganlardan olingan ikkinchi darajadagi determinant deb ataladi, ya'ni. men- qator va justun. Berilgan elementga mos keladigan kichik bolalar a ij belgilaydi M ij.

misol uchun, kichik M 12elementga mos keladi a 12, aniqlovchi bo'ladi , bu berilgan determinantdan 1-satr va 2-ustunni o'chirish yo'li bilan olinadi.

Shunday qilib, uchinchi darajadagi determinantni aniqlaydigan formuladan ko'rinib turibdiki, bu determinant 1-qator elementlari mos keladigan balog'atga etmaganlar ko'paytmasi yig'indisiga teng; elementga mos keladigan kichik a 12, "-" belgisi bilan olingan, ya'ni. biz buni yozishimiz mumkin

.

(1)

Xuddi shunday, biz ikkinchi darajali va yuqori darajadagi determinantlar uchun voyaga etmaganlarning ta'riflarini kiritishimiz mumkin.

Keling, yana bitta kontseptsiyani tanishtiramiz.

Algebraik komplementelement a ij determinant uning kichik deyiladi M ij(-1) i + j ga ko'paytiriladi.

Elementning algebraik komplementi a ij belgilangan A ij.

Ta'rifdan, biz elementning algebraik komplementi va uning minori o'rtasidagi bog'liqlik tenglik bilan ifodalanishini aniqlaymiz A ij \u003d (–1) i + j M ij.

Misol uchun,

Misol. Determinant berilgan. Topmoq A 13, A 21, A 32.

Elementlarning algebraik qo'shimchalari yordamida (1) formulani quyidagi shaklda yozish mumkinligini ko'rish oson:

Ushbu formulaga o'xshab, siz determinantning parchalanishini istalgan satr yoki ustun elementlariga kiritishingiz mumkin.

Masalan, determinantni 2-qator elementlari bilan faktorizatsiyasini quyidagicha olish mumkin. Determinantning 2-xususiyatiga ko'ra bizda:

Olingan determinantni 1-qator elementlari bo'yicha kengaytiramiz.

.

(2)

Bu erdan beri (2) formuladagi ikkinchi tartibning determinantlari elementlarning kichiklari 21, a 22, a 23... Shunday qilib, ya'ni biz 2-qator elementlari bo'yicha determinantning parchalanishini oldik.

Xuddi shunday, siz uchinchi qator elementlari bo'yicha determinantning faktorizatsiyasini olishingiz mumkin. Determinantlarning 1 xossasidan (transpozitsiya haqida) foydalanib, shunga o'xshash kengayishlar ustun elementlari bo'yicha kengayish uchun ham tegishli ekanligini ko'rsatishi mumkin.

Shunday qilib, quyidagi teorema to'g'ri.

Teorema (ma'lum bir qatorda yoki ustunda determinantning kengayishi to'g'risida). Determinant uning har qanday qatorlari (yoki ustunlari) elementlari ko'paytmalarining algebraik qo'shimchalari bilan yig'indisiga teng.

Yuqorida aytilganlarning barchasi har qanday yuqori darajadagi determinantlar uchun ham amal qiladi.

Misollar.

Teskari matritsa

Teskari matritsa tushunchasi faqat uchun kiritilgan kvadrat matritsalar.

Agar a A Kvadrat matritsa, keyin teskari uning uchun matritsa belgilangan matritsadir A -1 va shartni qondirish. (Ushbu ta'rif raqamlarni ko'paytirish bilan o'xshashlik bilan kiritilgan)

Ushbu maqolada biz chiziqli algebraik tenglamalar tizimini echishning matritsa usuli haqida gaplashamiz, uning ta'rifini topamiz va echimiga misollar keltiramiz.

Ta'rif 1

Teskari matritsa usuli noma'lumlar soni tenglamalar soniga teng bo'lgan taqdirda SLAElarni echish uchun ishlatiladigan usul.

1-misol

N noma'lum bo'lgan n chiziqli tenglamalar tizimining echimini toping:

11 x 1 + a 12 x 2 +. ... ... + a 1 n x n \u003d b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 +. ... ... + a n n x n \u003d b n

Matritsali yozuv : A × X \u003d B

bu erda A \u003d a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n - tizim matritsasi.

X \u003d x 1 x 2-x n - noma'lum ustun,

B \u003d b 1 b 2 ⋮ b n - erkin koeffitsientlar ustuni.

Biz olgan tenglamadan siz X ni ifodalashingiz kerak. Buning uchun chapdagi matritsa tenglamasining ikkala tomonini A - 1 ga ko'paytirish kerak:

A - 1 × A × X \u003d A - 1 × B.

A - 1 × A \u003d E bo'lgani uchun, E × X \u003d A - 1 × B yoki X \u003d A - 1 × B.

Izoh

A matritsaga teskari matritsa faqat d e t A shart nolga teng bo'lmagan taqdirda mavjud bo'lish huquqiga ega. Shuning uchun teskari matritsa usuli bilan SLAE ni echishda, avvalo, d e t A

Agar d e t A nolga teng bo'lmagan taqdirda, tizim faqat bitta echimga ega: teskari matritsa usuli yordamida. Agar d e t A \u003d 0 bo'lsa, u holda tizimni bu usul bilan echib bo'lmaydi.

Teskari matritsa usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini echishga misol

2-misol

Biz teskari matritsa usuli bilan SLAE ni hal qilamiz:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 \u003d 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 \u003d 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 \u003d 2

Qanday hal qilish kerak?

• Biz tizimni A X \u003d B matritsa tenglamasi shaklida yozamiz, bu erda

A \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X \u003d x 1 x 2 x 3, B \u003d 1 3 2.

• Ushbu tenglamadan Xni ifodalaymiz:

• A matritsaning determinantini toping:

det A \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 \u003d 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) \u003d - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 \u003d - 25

d e t A 0 ga teng emas, shuning uchun teskari matritsali eritma usuli ushbu tizim uchun mos keladi.

• Birlashma matritsasi yordamida teskari A - 1 matritsasini toping. A matritsaning mos keladigan elementlariga A i j algebraik qo'shimchalarini hisoblaymiz:

A 11 \u003d (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 \u003d - 10 + 4 \u003d - 6,

A 12 \u003d (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 \u003d - (5 - 12) \u003d 7,

A 13 \u003d (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 \u003d - 1 + 6 \u003d 5,

A 21 \u003d (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 \u003d - (- 20 + 3) \u003d 17,

A 22 \u003d (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 \u003d 1,

A 23 \u003d (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 \u003d - (- 2 + 12) \u003d - 10,

A 31 \u003d (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 \u003d - 16 + 6 \u003d - 10,

A 32 \u003d (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 \u003d - (8 - 3) \u003d - 5,

A 33 \u003d (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 \u003d - 4 + 4 \u003d 0.

• A matritsaning algebraik qo'shimchalaridan tashkil topgan A * birlashma matritsasini yozamiz:

A * \u003d - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• Biz teskari matritsani quyidagi formula bo'yicha yozamiz:

A - 1 \u003d 1 d e t A (A *) T: A - 1 \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0,

• A - 1 teskari matritsani B bo'sh atamalar ustuniga ko'paytiramiz va tizimga yechim olamiz:

X \u003d A - 1 × B \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 \u003d - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 \u003d - 1 0 1

Javob : x 1 \u003d - 1; x 2 \u003d 0; x 3 \u003d 1

Agar matnda xatolikni ko'rsangiz, iltimos, uni tanlang va Ctrl + Enter tugmachalarini bosing