Oddiy chiziqli tenglamalarni yechish. Chiziqli tenglamalar. Yechish, misollar Bo‘lish tenglamalarini yechish usullari

Qavslarni ochib, o'xshash atamalarni keltirgandan so'ng shaklni oladigan bitta noma'lum tenglama

ax + b = 0, bu erda a va b ixtiyoriy sonlar deyiladi chiziqli tenglama noma'lum biri bilan. Bugun biz ushbu chiziqli tenglamalarni qanday hal qilishni aniqlaymiz.

Masalan, barcha tenglamalar:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - chiziqli.

Tenglamani haqiqiy tenglikka aylantiruvchi noma'lumning qiymati deyiladi qaror yoki tenglamaning ildizi .

Masalan, agar 3x + 7 = 13 tenglamada noma'lum x o'rniga 2 raqamini qo'ysak, biz to'g'ri tenglikni olamiz 3 2 +7 = 13. Bu x = 2 qiymati yechim yoki ildiz ekanligini anglatadi. tenglamaning.

X = 3 qiymati esa 3x + 7 = 13 tenglamasini haqiqiy tenglikka aylantirmaydi, chunki 3 2 +7 ≠ 13. Bu x = 3 qiymati tenglamaning yechimi yoki ildizi emasligini bildiradi.

Har qanday chiziqli tenglamalarni yechish shakldagi tenglamalarni yechishga qisqartiradi

ax + b = 0.

Erkin hadni tenglamaning chap tomonidan o'ngga o'tkazamiz, b oldidagi belgini teskari tomonga o'zgartiramiz.

Agar a ≠ 0 bo'lsa, u holda x = ‒ b/a .

1-misol. 3x + 2 =11 tenglamani yeching.

Keling, tenglamaning chap tomonidan 2 ni o'ngga o'tkazamiz, 2 ning oldidagi belgini teskari tomonga o'zgartiramiz.
3x = 11 - 2.

Keling, ayirish amalini bajaramiz
3x = 9.

X topish uchun mahsulotni ma'lum koeffitsientga bo'lish kerak, ya'ni
x = 9:3.

Bu x = 3 qiymati tenglamaning yechimi yoki ildizi ekanligini bildiradi.

Javob: x = 3.

Agar a = 0 va b = 0 bo'lsa, u holda biz 0x = 0 tenglamani olamiz. Bu tenglamaning cheksiz ko'p yechimlari bor, chunki har qanday sonni 0 ga ko'paytirganda biz 0 ni olamiz, lekin b ham 0 ga teng. Bu tenglamaning yechimi istalgan sondir.

2-misol. 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1 tenglamasini yeching.

Qavslarni kengaytiramiz:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Mana bir nechta o'xshash atamalar:
0x = 0.

Javob: x - har qanday raqam.

Agar a = 0 va b ≠ 0 bo'lsa, u holda 0x = - b tenglamani olamiz. Bu tenglamaning yechimi yo'q, chunki istalgan sonni 0 ga ko'paytirganda biz 0 ni olamiz, lekin b ≠ 0.

3-misol. x + 8 = x + 5 tenglamasini yeching.

Chap tomonida noma’lumlar, o‘ng tomonida esa bo‘sh shartlarni guruhlaymiz:
x – x = 5 – 8.

Mana bir nechta o'xshash atamalar:
0x = ‒ 3.

Javob: yechim yo'q.

Yoniq 1-rasm chiziqli tenglamani yechish sxemasini ko'rsatadi

Bitta o'zgaruvchili tenglamalarni yechishning umumiy sxemasini tuzamiz. Keling, 4-misolning yechimini ko'rib chiqaylik.

4-misol. Aytaylik, biz tenglamani yechishimiz kerak

1) Tenglamaning barcha aʼzolarini maxrajlarning eng kichik umumiy karrali 12 ga koʻpaytiring.

2) Qisqartirilgandan keyin biz olamiz
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Noma'lum va bepul shartlarni o'z ichiga olgan atamalarni ajratish uchun qavslarni oching:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Keling, bir qismda noma'lumlarni o'z ichiga olgan atamalarni, ikkinchisida esa erkin atamalarni guruhlaymiz:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Keling, shunga o'xshash atamalarni keltiraylik:
- 22x = - 154.

6) - 22 ga bo'linadi, biz olamiz
x = 7.

Ko'rib turganingizdek, tenglamaning ildizi etti.

Umuman shunday tenglamalarni quyidagi sxema yordamida yechish mumkin:

a) tenglamani butun son shakliga keltiring;

b) qavslarni ochish;

v) tenglamaning bir qismida noma’lum, ikkinchi qismida erkin hadlarni o‘z ichiga olgan hadlarni guruhlash;

d) o'xshash a'zolarni olib kelish;

e) o'xshash hadlarni keltirgandan keyin olingan ah = b ko'rinishdagi tenglamani yeching.

Biroq, bu sxema har bir tenglama uchun kerak emas. Ko'p oddiy tenglamalarni yechishda siz birinchisidan emas, ikkinchisidan boshlashingiz kerak ( Misol. 2), uchinchi ( Misol. 13) va hatto beshinchi bosqichdan boshlab, 5-misolda bo'lgani kabi.

5-misol. 2x = 1/4 tenglamani yeching.

Noma'lum x = 1/4: 2 ni toping,
x = 1/8 .

Keling, asosiy davlat imtihonida topilgan ba'zi chiziqli tenglamalarni echishni ko'rib chiqaylik.

6-misol. 2 (x + 3) = 5 – 6x tenglamani yeching.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 – 6

Javob: - 0,125

7-misol.– 6 (5 – 3x) = 8x – 7 tenglamani yeching.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Javob: 2.3

8-misol. Tenglamani yeching

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

9-misol. f (x + 2) = 3 7 bo'lsa, f(6) ni toping

Yechim

Biz f (6) ni topishimiz kerak va biz f (x + 2) ni bilamiz,
keyin x + 2 = 6.

Biz x + 2 = 6 chiziqli tenglamani yechamiz,
x = 6 – 2, x = 4 ni olamiz.

Agar x = 4 bo'lsa
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Javob: 27.

Agar sizda hali ham savollaringiz bo'lsa yoki tenglamalarni echishni chuqurroq tushunmoqchi bo'lsangiz, JADVALdagi darslarimga yoziling. Men sizga yordam berishdan xursand bo'laman!

TutorOnline shuningdek, o'qituvchimiz Olga Aleksandrovnaning chiziqli tenglamalarni va boshqalarni tushunishga yordam beradigan yangi video darsini tomosha qilishni tavsiya qiladi.

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.

Ushbu videoda biz bir xil algoritm yordamida echiladigan chiziqli tenglamalarning butun to'plamini tahlil qilamiz - shuning uchun ular eng oddiy deb ataladi.

Birinchidan, aniqlaymiz: chiziqli tenglama nima va qaysi biri eng oddiy deb ataladi?

Chiziqli tenglama - bu faqat bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan va faqat birinchi darajali tenglama.

Eng oddiy tenglama qurilishni anglatadi:

Boshqa barcha chiziqli tenglamalar algoritmdan foydalangan holda eng soddaga qisqartiriladi:

1. Agar mavjud bo'lsa, qavslarni kengaytiring;
2. Oʻzgaruvchisi boʻlgan shartlarni teng belgisining bir tomoniga, oʻzgaruvchisi boʻlmagan shartlarni esa boshqa tomoniga koʻchiring;
3. Tenglik belgisining chap va o'ng tomoniga o'xshash shartlarni bering;
4. Olingan tenglamani $x$ o'zgaruvchining koeffitsientiga bo'ling.

Albatta, bu algoritm har doim ham yordam bermaydi. Gap shundaki, ba'zida bu hiyla-nayranglardan keyin $x$ o'zgaruvchisining koeffitsienti nolga teng bo'lib chiqadi. Bunday holda, ikkita variant mavjud:

1. Tenglama umuman yechimga ega emas. Misol uchun, $0\cdot x=8$ kabi narsa paydo bo'lganda, ya'ni. chap tomonda nol, o'ngda esa noldan boshqa raqam. Quyidagi videoda biz bu holatning mumkin bo'lgan bir nechta sabablarini ko'rib chiqamiz.
2. Yechim barcha raqamlardir. Bu mumkin bo'lgan yagona holat tenglama $0\cdot x=0$ konstruktsiyasiga qisqartirilganda bo'ladi. Qaysi $x$ o'rniga qo'ymasak ham, "nol nolga teng" bo'lib chiqadi, ya'ni. to'g'ri raqamli tenglik.

Keling, bularning barchasi hayotiy misollar yordamida qanday ishlashini ko'rib chiqaylik.

Tenglamalarni yechishga misollar

Bugun biz chiziqli tenglamalar bilan shug'ullanamiz va faqat eng oddiylari. Umuman olganda, chiziqli tenglama aynan bitta o'zgaruvchini o'z ichiga olgan har qanday tenglikni anglatadi va u faqat birinchi darajaga boradi.

Bunday inshootlar taxminan bir xil tarzda hal qilinadi:

1. Avvalo, agar mavjud bo'lsa, qavslarni kengaytirishingiz kerak (oxirgi misolimizda bo'lgani kabi);
2. Keyin shunga o'xshash narsalarni birlashtiring
3. Nihoyat, o'zgaruvchini ajratib oling, ya'ni. o'zgaruvchi bilan bog'liq bo'lgan hamma narsani - u mavjud bo'lgan atamalarni - bir tomonga siljiting va unsiz qolgan hamma narsani boshqa tomonga o'tkazing.

Keyin, qoida tariqasida, hosil bo'lgan tenglikning har bir tomoniga o'xshash narsalarni olib kelishingiz kerak, shundan so'ng "x" koeffitsientiga bo'lish qoladi va biz yakuniy javobni olamiz.

Nazariy jihatdan, bu yoqimli va sodda ko'rinadi, ammo amalda hatto tajribali o'rta maktab o'quvchilari ham juda oddiy chiziqli tenglamalarda haqoratli xatolarga yo'l qo'yishlari mumkin. Odatda, qavslarni ochishda yoki "ortiqcha" va "minuslarni" hisoblashda xatolarga yo'l qo'yiladi.

Bundan tashqari, chiziqli tenglamaning umuman yechimlari bo'lmasligi yoki yechim butun son chizig'i bo'lishi sodir bo'ladi, ya'ni. har qanday raqam. Ushbu nozikliklarni bugungi darsimizda ko'rib chiqamiz. Ammo biz, siz allaqachon tushunganingizdek, eng oddiy vazifalardan boshlaymiz.

Oddiy chiziqli tenglamalarni yechish sxemasi

Birinchidan, yana bir bor eng oddiy chiziqli tenglamalarni echish uchun butun sxemani yozishga ruxsat bering:

1. Agar mavjud bo'lsa, qavslarni kengaytiring.
2. Biz o'zgaruvchilarni ajratamiz, ya'ni. Biz "X" ni o'z ichiga olgan hamma narsani bir tomonga, "X" lari bo'lmagan hamma narsani boshqa tomonga o'tkazamiz.
3. Biz shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz.
4. Biz hamma narsani "x" koeffitsientiga ajratamiz.

Albatta, bu sxema har doim ham ishlamaydi, unda ma'lum nozikliklar va fokuslar mavjud va endi biz ular bilan tanishamiz.

Oddiy chiziqli tenglamalarning haqiqiy misollarini yechish

Vazifa № 1

Birinchi qadam bizdan qavslarni ochishni talab qiladi. Ammo ular bu misolda yo'q, shuning uchun biz bu bosqichni o'tkazib yuboramiz. Ikkinchi bosqichda biz o'zgaruvchilarni ajratishimiz kerak. E'tibor bering: biz faqat individual shartlar haqida gapiramiz. Keling, buni yozamiz:

Biz chap va o'ngda shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz, lekin bu erda allaqachon qilingan. Shuning uchun biz to'rtinchi bosqichga o'tamiz: koeffitsientga bo'ling:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Shunday qilib, biz javob oldik.

Vazifa № 2

Biz ushbu muammoda qavslarni ko'rishimiz mumkin, shuning uchun ularni kengaytiramiz:

Chapda ham, o'ngda ham taxminan bir xil dizaynni ko'ramiz, lekin keling, algoritmga muvofiq harakat qilaylik, ya'ni. o'zgaruvchilarni ajratish:

Mana shunga o'xshashlar:

Bu qanday ildizlarda ishlaydi? Javob: har qanday uchun. Shuning uchun $x$ har qanday son ekanligini yozishimiz mumkin.

Vazifa № 3

Uchinchi chiziqli tenglama qiziqroq:

\[\chap(6-x \o'ng)+\chap(12+x \o'ng)-\chap(3-2x \o'ng)=15\]

Bu erda bir nechta qavslar bor, lekin ular hech narsa bilan ko'paytirilmaydi, ular oldida turli xil belgilar mavjud. Keling, ularni ajratamiz:

Bizga ma'lum bo'lgan ikkinchi bosqichni bajaramiz:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Keling, hisob-kitob qilaylik:

Biz oxirgi bosqichni bajaramiz - hamma narsani "x" koeffitsientiga bo'ling:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Chiziqli tenglamalarni yechishda eslash kerak bo'lgan narsalar

Agar biz juda oddiy vazifalarni e'tiborsiz qoldirsak, men quyidagilarni aytmoqchiman:

• Yuqorida aytganimdek, har bir chiziqli tenglamaning yechimi yo'q - ba'zida oddiygina ildizlar yo'q;
• Ildizlar bo'lsa ham, ular orasida nol bo'lishi mumkin - buning hech qanday yomon joyi yo'q.

Nol - bu boshqalar bilan bir xil raqam, siz uni hech qanday tarzda kamsitmasligingiz yoki nolga erishsangiz, unda siz noto'g'ri ish qilgansiz deb o'ylamasligingiz kerak.

Yana bir xususiyat qavslarning ochilishi bilan bog'liq. Iltimos, diqqat qiling: ularning oldida "minus" bo'lsa, biz uni olib tashlaymiz, lekin qavs ichida biz belgilarni o'zgartiramiz qarama-qarshi. Va keyin biz uni standart algoritmlar yordamida ochishimiz mumkin: biz yuqoridagi hisob-kitoblarda ko'rgan narsamizni olamiz.

Ushbu oddiy haqiqatni tushunish sizga o'rta maktabda ahmoqona va xafagarchilikka yo'l qo'ymaslikka yordam beradi, chunki bunday narsalarni qilish odatiy holdir.

Murakkab chiziqli tenglamalarni yechish

Keling, murakkabroq tenglamalarga o'tamiz. Endi konstruktsiyalar murakkablashadi va turli xil o'zgarishlarni amalga oshirishda kvadrat funktsiya paydo bo'ladi. Biroq, biz bundan qo'rqmasligimiz kerak, chunki agar muallifning rejasiga ko'ra, biz chiziqli tenglamani yechayotgan bo'lsak, unda transformatsiya jarayonida kvadrat funktsiyani o'z ichiga olgan barcha monomiallar albatta bekor qilinadi.

Misol № 1

Shubhasiz, birinchi qadam qavslarni ochishdir. Buni juda ehtiyotkorlik bilan qilaylik:

Endi maxfiylikni ko'rib chiqaylik:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Mana shunga o'xshashlar:

Shubhasiz, bu tenglamaning yechimi yo'q, shuning uchun biz buni javobda yozamiz:

\[\varnothing\]

yoki hech qanday ildiz yo'q.

Misol № 2

Biz xuddi shu harakatlarni bajaramiz. Birinchi qadam:

Keling, o'zgaruvchi bilan hamma narsani chapga, usiz esa o'ngga siljitamiz:

Mana shunga o'xshashlar:

Shubhasiz, bu chiziqli tenglamaning yechimi yo'q, shuning uchun biz uni quyidagicha yozamiz:

\[\varnothing\],

yoki hech qanday ildiz yo'q.

Yechimning nuanslari

Ikkala tenglama ham to'liq yechilgan. Bu ikki iboradan misol tariqasida biz yana bir bor amin bo‘ldikki, hatto eng oddiy chiziqli tenglamalarda ham hamma narsa unchalik oddiy bo‘lmasligi mumkin: bitta, yoki hech biri, yoki cheksiz ko‘p ildizlar bo‘lishi mumkin. Bizning holatlarimizda biz ikkita tenglamani ko'rib chiqdik, ikkalasining ham ildizi yo'q.

Lekin men sizning e'tiboringizni yana bir faktga qaratmoqchiman: qavslar bilan qanday ishlash va ularning oldida minus belgisi bo'lsa, ularni qanday ochish kerak. Ushbu ifodani ko'rib chiqing:

Ochishdan oldin hamma narsani "X" ga ko'paytirish kerak. E'tibor bering: ko'payadi har bir alohida atama. Ichkarida ikkita atama mavjud - mos ravishda ikkita atama va ko'paytiriladi.

Va faqat bu oddiy ko'rinadigan, ammo juda muhim va xavfli o'zgarishlar tugagandan so'ng, siz qavsni undan keyin minus belgisi borligi nuqtai nazaridan ochishingiz mumkin. Ha, ha: faqat hozir, o'zgartirishlar tugallangandan so'ng, biz qavslar oldida minus belgisi borligini eslaymiz, ya'ni pastdagi hamma narsa shunchaki belgilarni o'zgartiradi. Shu bilan birga, qavslarning o'zi yo'qoladi va eng muhimi, oldingi "minus" ham yo'qoladi.

Ikkinchi tenglama bilan ham xuddi shunday qilamiz:

Men bu mayda-chuyda, arzimasdek ko‘ringan faktlarga bejiz e’tibor berayotganim yo‘q. Chunki tenglamalarni yechish har doim elementar o'zgarishlar ketma-ketligi bo'lib, bu erda oddiy harakatlarni aniq va malakali bajara olmaslik yuqori sinf o'quvchilarining mening oldimga kelishiga va yana shunday oddiy tenglamalarni yechishni o'rganishiga olib keladi.

Albatta, kun keladiki, siz bu ko'nikmalarni avtomatizm darajasiga ko'tarasiz. Endi har safar juda ko'p o'zgarishlarni amalga oshirishingiz shart emas, siz hamma narsani bitta satrga yozasiz. Ammo siz endigina o'rganayotganingizda, har bir harakatni alohida yozishingiz kerak.

Bundan ham murakkab chiziqli tenglamalarni yechish

Biz hozir hal qilmoqchi bo'lgan narsani eng oddiy vazifa deb atash qiyin, ammo ma'no o'zgarishsiz qolmoqda.

Vazifa № 1

\[\left(7x+1 \o'ng)\left(3x-1 \o'ng)-21((x)^(2))=3\]

Birinchi qismdagi barcha elementlarni ko'paytiramiz:

Keling, bir oz maxfiylik qilaylik:

Mana shunga o'xshashlar:

Keling, oxirgi bosqichni bajaramiz:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Mana bizning yakuniy javobimiz. Va yechish jarayonida bizda kvadratik funktsiyaga ega koeffitsientlar bo'lganiga qaramay, ular bir-birini bekor qildi, bu esa tenglamani kvadrat emas, chiziqli qiladi.

Vazifa № 2

\[\chap(1-4x \o'ng)\chap(1-3x \o'ng)=6x\chap(2x-1 \o'ng)\]

Keling, birinchi qadamni diqqat bilan bajaramiz: birinchi qavsdagi har bir elementni ikkinchisidan har bir elementga ko'paytiring. O'zgarishlardan keyin jami to'rtta yangi atama bo'lishi kerak:

Endi har bir atamada ko'paytirishni diqqat bilan bajaramiz:

Keling, "X" harfi bo'lgan shartlarni chapga, bo'lmaganlarini esa o'ngga o'tkazamiz:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Mana shunga o'xshash atamalar:

Yana bir bor yakuniy javobni oldik.

Yechimning nuanslari

Bu ikki tenglama haqida eng muhim eslatma quyidagicha: biz bir nechta haddan iborat bo'lgan qavslarni ko'paytirishni boshlaganimizdan so'ng, bu quyidagi qoidaga muvofiq amalga oshiriladi: biz birinchi haddan birinchisini olamiz va har bir element bilan ko'paytiramiz. ikkinchisi; keyin birinchi elementdan ikkinchi elementni olamiz va xuddi shunday ikkinchi elementning har bir elementiga ko'paytiramiz. Natijada biz to'rtta muddatga ega bo'lamiz.

Algebraik yig'indi haqida

Ushbu oxirgi misol bilan men o'quvchilarga algebraik yig'indi nima ekanligini eslatmoqchiman. Klassik matematikada $1-7$ deganda biz oddiy qurilishni nazarda tutamiz: bittadan yettini ayirish. Algebrada biz quyidagilarni nazarda tutamiz: "bir" raqamiga biz boshqa raqamni qo'shamiz, ya'ni "minus etti". Algebraik yig'indi oddiy arifmetik yig'indidan shunday farq qiladi.

Barcha o'zgarishlarni, har bir qo'shish va ko'paytirishni amalga oshirayotganda, yuqorida tavsiflanganlarga o'xshash konstruktsiyalarni ko'rishni boshlasangiz, polinomlar va tenglamalar bilan ishlashda algebrada hech qanday muammo bo'lmaydi.

Va nihoyat, keling, biz ko'rib chiqqanlardan ham murakkabroq bo'lgan yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik va ularni hal qilish uchun biz standart algoritmimizni biroz kengaytirishimiz kerak.

Kasrli tenglamalarni yechish

Bunday vazifalarni hal qilish uchun biz algoritmimizga yana bir qadam qo'shishimiz kerak bo'ladi. Lekin birinchi navbatda algoritmimizni eslatib o'taman:

1. Qavslarni oching.
2. Alohida o'zgaruvchilar.
3. Shunga o'xshashlarni olib keling.
4. Nisbatga bo'linadi.

Afsuski, bu ajoyib algoritm, barcha samaradorligiga qaramay, oldimizda kasrlar mavjud bo'lganda, unchalik mos kelmaydi. Va quyida ko'rib turganimizdek, biz ikkala tenglamada ham chap, ham o'ng tomonda kasrga egamiz.

Bu holatda qanday ishlash kerak? Ha, bu juda oddiy! Buni amalga oshirish uchun siz algoritmga yana bir qadam qo'shishingiz kerak, bu birinchi harakatdan oldin ham, keyin ham bajarilishi mumkin, ya'ni kasrlardan xalos bo'lish. Shunday qilib, algoritm quyidagicha bo'ladi:

1. Fraksiyalardan xalos bo'ling.
2. Qavslarni oching.
3. Alohida o'zgaruvchilar.
4. Shunga o'xshashlarni olib keling.
5. Nisbatga bo'linadi.

"Fraksiyalardan xalos bo'lish" nimani anglatadi? Va nima uchun buni birinchi standart qadamdan keyin ham, oldin ham qilish mumkin? Aslida, bizning holatlarimizda, barcha kasrlar o'zlarining maxrajlarida sonli, ya'ni. Hamma joyda maxraj shunchaki raqamdir. Shuning uchun, agar tenglamaning ikkala tomonini bu raqamga ko'paytirsak, biz kasrlardan xalos bo'lamiz.

Misol № 1

\[\frac(\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \o'ng))(4)=((x)^(2))-1\]

Keling, bu tenglamadagi kasrlardan xalos bo'laylik:

\[\frac(\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \o'ng)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \o'ng)\cdot 4\]

E'tibor bering: hamma narsa bir marta "to'rt" ga ko'paytiriladi, ya'ni. Sizda ikkita qavs borligi har birini "to'rt" ga ko'paytirish kerak degani emas. Keling, yozamiz:

\[\left(2x+1 \o'ng)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \o'ng)\cdot 4\]

Endi kengaytiramiz:

Biz o'zgaruvchini ajratamiz:

Biz shunga o'xshash atamalarni qisqartiramiz:

\[-4x=-1\chap| :\left(-4 \o'ng) \o'ng.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Biz yakuniy yechimni oldik, keling, ikkinchi tenglamaga o'tamiz.

Misol № 2

\[\frac(\left(1-x \o'ng)\left(1+5x \o'ng))(5)+(x)^(2))=1\]

Bu erda biz bir xil harakatlarni bajaramiz:

\[\frac(\left(1-x \o'ng)\left(1+5x \o'ng)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Muammo hal qilindi.

Men bugun sizga aytmoqchi bo'lgan narsam shu edi.

Asosiy fikrlar

Asosiy topilmalar quyidagilar:

• Chiziqli tenglamalarni yechish algoritmini bilish.
• Qavslarni ochish qobiliyati.
• Agar biror joyda kvadratik funktsiyalar mavjud bo'lsa, tashvishlanmang, ular keyingi transformatsiyalar jarayonida kamayadi.
• Chiziqli tenglamalarda ildizlarning uchta turi mavjud, hatto eng oddiylari ham: bitta ildiz, butun son chizig'i ildiz va umuman ildiz yo'q.

Umid qilamanki, bu dars sizga barcha matematikani qo'shimcha tushunish uchun oddiy, ammo juda muhim mavzuni o'zlashtirishga yordam beradi. Agar biror narsa aniq bo'lmasa, saytga o'ting va u erda keltirilgan misollarni hal qiling. Bizni kuzatib boring, sizni yana ko'plab qiziqarli narsalar kutmoqda!

Sirtdan chiqarilgan hal qiluv qarori, qonunda nazarda tutilgan hal qilishning istisno usullaridan tashqari, sudlanuvchining iltimosiga binoan ishni mohiyatan ko‘rib chiqishni qayta tiklagan holda, agar u o‘z aybini isbotlasa, xuddi shu sud tomonidan bekor qilinishi mumkin. sud majlisiga kelmaslik uzrli sabablarga ko'ra yuzaga kelgan.

Agar sud uzrli sabablarga ko'ra o'tkazib yuborilgan kassatsiya muddatini tiklagan bo'lsa, qonuniy kuchga kirgan hal qiluv qarorini kassatsiya tartibida qayta ko'rib chiqish mumkin.

Eksklyuziv xususiyat:

Ayni taraflar yoki ularning huquqiy vorislari o'rtasidagi ishda xuddi shu mavzu bo'yicha va xuddi shu holatlar (da'vo asoslari) asosida sudga da'vo, shikoyat, ariza bilan qayta murojaat qilishning mumkin emasligi mutlaq mulkdir. qonuniy kuchga kirgan qaror mavjud bo'lsa.

Agar sudlanuvchidan davriy to'lovlarni undirish to'g'risidagi qaror qonuniy kuchga kirganidan keyin to'lovlar miqdorini belgilashga ta'sir etuvchi holatlar yoki ularning muddati o'zgargan bo'lsa, har bir tomon yangi da'vo qo'zg'atish yo'li bilan to'lovni talab qilishga haqli. to'lovlar miqdori va muddatlarini o'zgartirish.

Bunday holda, yangi talablar sud tomonidan ko'rib chiqish predmetiga aylanadi, umumiy qoidalarga muvofiq qonuniy kuchga kiradigan yangi qaror qabul qilinadi.

Bir xil arizani ko'rib chiqish uchun taqdim etish, agar dastlabki ko'rib chiqish jarayonida tomonlar o'rtasidagi nizo kelishuv bitimini tasdiqlash yoki ariza beruvchining o'z da'volarini rad etish to'g'risidagi ajrim bilan yakuniy hal qilingan bo'lsa ham qabul qilinishi mumkin emas. Agar ish yuritish tugatilgan bo'lsa, sudga ikkinchi marta murojaat qilishga yo'l qo'yilmaydi.

Majburiy mulk:

Majburiylik deganda davlat organlari, mansabdor shaxslar, tashkilotlar va fuqarolar o‘z faoliyatini qaror mazmuniga bo‘ysundirishlari shartligini bildiradi.

Fuqarolik protsessual kodeksi qaror Rossiya Federatsiyasining butun hududida majburiy ekanligi va qonunda nazarda tutilgan hollarda Rossiya Federatsiyasi sudlari qarorlarni ijro etish to'g'risida iltimos bilan xorijiy sudlarga murojaat qilishlari mumkinligini ta'kidlaydi.

Davlat organlari va mansabdor shaxslar sudning qonuniy kuchga kirgan hal qiluv qarori bilan belgilangan huquqlarni rasmiylashtirish va ro‘yxatga olish bo‘yicha zarur harakatlarni amalga oshirishlari shart.

Sudning hal qiluv qarori qonuniy kuchga kirgandan keyin majburiyatli shaxslar tomonidan ixtiyoriy ravishda, zarur hollarda esa ijro hokimiyati organlari tomonidan majburiy ijro etilishi lozim.

Qarorda nazarda tutilgan harakatlarni amalga oshirish zarurati qarorlarning ijro etilishi deb ataladi.

Bu majburiyatning ajralmas qismidir. Majburiyat tushunchasi ijro etilishiga nisbatan kengroqdir, shuningdek, ushbu ishda bevosita qonuniy manfaatdor bo'lmagan barcha shaxslar va tashkilotlarning sud qarorining vakolatlarini hisobga olish va uning bajarilishiga hissa qo'shish majburiyatini o'z ichiga oladi.

Qarorlar barcha holatlarda majburiydir, ammo ularning hammasi ham ijro etilishini talab qilmaydi, chunki ularni amalga oshirish mumkin emas. Masalan, e'tirof etish to'g'risidagi da'volar bo'yicha qarorlar sudlanuvchi tomonidan e'tiroz qilingan huquqni himoya qilish uchun aniq harakatlarni talab qilmaydi. Ularning majburiy bo'lishi uchun sud tomonidan muayyan holatlar yoki huquqiy munosabatlarni tan olish kifoya (masalan: otalikni belgilash, mualliflik huquqini tan olish va boshqalar).

Tan olish to'g'risidagi da'volar bo'yicha qarorlar mukofot to'g'risidagi da'vo bo'yicha ishda zarar keltirishi mumkin. Masalan, otalikni belgilash to'g'risidagi qaror aliment undirish to'g'risidagi da'vo ishi uchun zarar etkazuvchi ahamiyatga ega. Shuningdek, mualliflik huquqini e'tirof etish to'g'risidagi qaror nashriyotdan mualliflik haqi undirilgan taqdirda sud uchun majburiydir.

Rossiya Federatsiyasining Oila kodeksi, oilaviy huquq masalalariga qo'shimcha ravishda, qaror qabul qilingandan keyin sudning harakatlari (mas'uliyati) bo'yicha bir nechta protsessual qoidalarni kiritadi. Masalan, IC sudning nikohni bekor qilish to'g'risidagi sud qarori qonuniy kuchga kirgan kundan boshlab 3 kun ichida ushbu qarordan ko'chirmani nikohni davlat ro'yxatidan o'tkazilgan joydagi FHDYo organiga yuborishi shartligini bildiradi. nikoh.

Oila qonunchiligi suddan qarorni ijro etish uchun muayyan harakatlarni amalga oshirishni talab qiladi. Sud qarorlari qonuniy kuchga kirgandan so'ng, yuridik kuchning mohiyatidan kelib chiqadigan xususiyatga ega bo'ladi, sudyalik (preyudisiya) sifati.

Sud tomonidan o‘rnatilgan va hal qiluv qarorida qayd etilgan munosabatlar va faktlarni sud va ma’muriy organlar tomonidan ikkilamchi o‘rganilayotganda inkor etib bo‘lmaydi.

Noto'g'ri fikr quyidagi qoidalarga bog'liq:

1. Sud, yuridik kuchga kirgan hal qiluv qarorida mazmuni sud tomonidan belgilangan faktlar va munosabatlarni to‘liq yoki qisman qayta tahlil qiluvchi sud, ma’muriy organlar ularning ushbu faktlar va munosabatlar bo'yicha qarorlari ular qanday shaklda belgilangan bo'lsa, ya'ni sud qarorida allaqachon belgilangan faktlar qayta isbotlanmagan.

2. O‘z da’volarini to‘liq yoki qisman sudning qonuniy kuchga kirgan hal qiluv qarorining predmeti bo‘lgan huquqiy munosabatlarga asoslaydigan taraf ushbu huquqiy munosabatlarning mavjudligini, uning tarkibiy qismlari elementlarining mazmunini qayta-qayta isbotlashi shart emas. shuningdek, tomonlarning da'volariga asos bo'lgan yuridik faktlar.

Qarorning qonuniy kuchi amalda bo‘lgunga qadar, ya’ni qaror bekor qilinmaguncha munosabatlar va faktlar haqiqiy hisoblanadi va isbotlanmaydi. Ariza beruvchining iltimosiga e'tiroz bildirgan ikkinchi tomon sud tomonidan ilgari aniqlangan faktlar va holatlarni rad etish uchun dalillarni taqdim eta olmaydi, shuningdek suddan ularni tekshirishni va ishga qo'shib qo'yishni talab qila olmaydi.

3. Agar o‘rganish predmeti mazmuni qonuniy kuchga kirgan qaror bilan belgilangan munosabatlar bo‘lsa, oldindan belgilash, ya’ni preyudisitivlik huquqiy munosabatlarga to‘liq hajmda uning istalgan qismidagi shaklda qo‘llaniladi. sud tadqiqotining predmeti edi.

Qonuniy kuchga kirgan hal qiluv qarori jinoyat ishini ko‘rib chiqishda zarar etkazuvchi ahamiyatga ega. Jinoyat ishi bo'yicha qonuniy kuchga kirgan hukm ishni ko'rayotgan sud tomonidan o'ziga nisbatan sud hukmi chiqarilgan shaxs harakatlarining fuqarolik-huquqiy oqibatlari to'g'risidagi ushbu harakatning sodir etilganligi va sodir etilganligi to'g'risidagi masalalar bo'yicha majburiydir. bu shaxs tomonidan sodir etilganmi.

Chiziqli tenglamalar. Yechim, misollar.

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Juda "juda emas ..." bo'lganlar uchun
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)

Chiziqli tenglamalar.

Chiziqli tenglamalar maktab matematikasida eng qiyin mavzu emas. Ammo u erda hatto o'qigan talabani ham boshdan kechirishi mumkin bo'lgan ba'zi hiylalar mavjud. Keling, buni aniqlaylik?)

Odatda chiziqli tenglama quyidagi shakldagi tenglama sifatida aniqlanadi:

bolta + b = 0 Qayerda a va b- har qanday raqamlar.

2x + 7 = 0. Bu erda a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Bu erda a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Bu erda a=12, b=1/2

Hech qanday murakkab narsa yo'q, to'g'rimi? Ayniqsa, agar siz so'zlarga e'tibor bermasangiz: "Bu erda a va b har qanday raqamlar"... Va agar siz buni sezsangiz va beparvolik bilan o'ylab ko'rsangiz?) Axir, agar a=0, b=0(har qanday raqamlar mumkinmi?), keyin biz kulgili iborani olamiz:

Lekin bu hammasi emas! Agar aytaylik, a=0, A b=5, Bu butunlay g'ayrioddiy narsa bo'lib chiqadi:

Bu zerikarli va matematikaga bo'lgan ishonchni susaytiradi, ha...) Ayniqsa, imtihonlar paytida. Ammo bu g'alati ifodalardan siz X ni ham topishingiz kerak! Bu umuman mavjud emas. Va ajablanarlisi shundaki, bu X ni topish juda oson. Biz buni qilishni o'rganamiz. Bu darsda.

Chiziqli tenglamani tashqi ko'rinishidan qanday aniqlash mumkin? Bu tashqi ko'rinishga bog'liq.) Ayyorlik shundaki, chiziqli tenglamalar faqat shakldagi tenglamalar emas bolta + b = 0 , balki transformatsiyalar va soddalashtirishlar orqali ushbu shaklga keltirilishi mumkin bo'lgan har qanday tenglamalar ham. Va u tushadimi yoki yo'qmi kim biladi?)

Ba'zi hollarda chiziqli tenglama aniq tan olinishi mumkin. Aytaylik, agar bizda faqat birinchi darajali noma'lumlar va raqamlar mavjud bo'lgan tenglama bo'lsa. Va tenglamada yo'q ga bo'lingan kasrlar noma'lum , bu muhim! Va bo'linish raqam, yoki raqamli kasr - bu xush kelibsiz! Masalan:

Bu chiziqli tenglama. Bu yerda kasrlar bor, lekin kvadratda, kubda va hokazolarda x harflari va maxrajlarda x mavjud emas, ya'ni. Yo'q x ga bo'linish. Va bu erda tenglama

chiziqli deb atash mumkin emas. Bu erda X ning barchasi birinchi darajali, ammo bor x bilan ifoda bo'yicha bo'lish. Soddalashtirish va o'zgartirishlardan so'ng siz chiziqli tenglama, kvadrat tenglama yoki xohlagan narsani olishingiz mumkin.

Ma'lum bo'lishicha, chiziqli tenglamani deyarli hal qilmaguningizcha, uni qandaydir murakkab misolda tanib bo'lmaydi. Bu g'azablantiradi. Ammo topshiriqlarda, qoida tariqasida, ular tenglama shakli haqida so'ramaydilar, to'g'rimi? Topshiriqlar tenglamalarni so'raydi qaror. Bu quvontiradi.)

Chiziqli tenglamalarni yechish. Misollar.

Chiziqli tenglamalarning butun yechimi tenglamalarni bir xil o'zgartirishlardan iborat. Aytgancha, bu transformatsiyalar (ulardan ikkitasi!) echimlarning asosi hisoblanadi matematikaning barcha tenglamalari. Boshqacha aytganda, yechim har qanday tenglama aynan shu transformatsiyalar bilan boshlanadi. Chiziqli tenglamalar bo'lsa, u (yechim) bu o'zgarishlarga asoslanadi va to'liq javob bilan tugaydi. Havolaga amal qilish mantiqiy, to'g'rimi?) Bundan tashqari, chiziqli tenglamalarni yechish misollari ham mavjud.

Birinchidan, eng oddiy misolni ko'rib chiqaylik. Hech qanday tuzoqsiz. Aytaylik, bu tenglamani yechishimiz kerak.

x - 3 = 2 - 4x

Bu chiziqli tenglama. X ning barchasi birinchi darajali, X ga bo'linish yo'q. Lekin, aslida, bu qanday tenglama ekanligi biz uchun muhim emas. Biz buni hal qilishimiz kerak. Bu erda sxema oddiy. Tenglamaning chap tomonida X bo'lgan hamma narsani, o'ng tomonda X (raqamlar)siz hamma narsani to'plang.

Buning uchun siz transfer qilishingiz kerak - 4x chap tomonga, belgi o'zgarishi bilan, albatta, va - 3 - O'ngga. Aytgancha, bu tenglamalarning birinchi bir xil konvertatsiyasi. Hayron qoldingizmi? Bu siz havolaga rioya qilmadingiz degan ma'noni anglatadi, lekin behuda ...) Biz olamiz:

x + 4x = 2 + 3

Mana shunga o'xshashlar, biz ko'rib chiqamiz:

To'liq baxt uchun bizga nima kerak? Ha, chap tomonda sof X bo'lishi uchun! Beshtasi yo'lda. Beshtadan yordam bilan qutulish tenglamalarning ikkinchi bir xil o'zgarishi. Ya'ni, tenglamaning ikkala tomonini 5 ga bo'lamiz. Tayyor javobni olamiz:

Albatta, oddiy misol. Bu isinish uchun). Ha mayli. Keling, buqani shoxlaridan tutaylik.) Keling, yanada mustahkamroq narsani hal qilaylik.

Masalan, bu tenglama:

Qayerdan boshlaymiz? X bilan - chapga, X holda - o'ngga? Shunday bo'lishi mumkin. Uzoq yo'l bo'ylab kichik qadamlar. Yoki buni darhol, universal va kuchli tarzda qilishingiz mumkin. Agar, albatta, sizning arsenalingizda tenglamalarning bir xil o'zgarishlari mavjud bo'lsa.

Men sizga asosiy savol beraman: Bu tenglamada sizga ko'proq nima yoqmaydi?

100 kishidan 95 tasi javob beradi: kasrlar ! Javob to'g'ri. Shunday ekan, keling, ulardan qutulaylik. Shuning uchun, biz darhol boshlaymiz identifikatsiyaning ikkinchi o'zgarishi. Chapdagi kasrni maxraj butunlay kamayishi uchun nimaga ko'paytirish kerak? To'g'ri, 3 da. Va o'ngda? By 4. Lekin matematika bizga ikkala tomonni ko'paytirishga imkon beradi bir xil raqam. Qanday qilib tashqariga chiqa olamiz? Keling, ikkala tomonni 12 ga ko'paytiramiz! Bular. umumiy maxrajga. Keyin uchtasi ham, to'rttasi ham qisqaradi. Har bir qismni ko'paytirish kerakligini unutmang butunlay. Birinchi qadam qanday ko'rinishga ega:

Qavslarni kengaytirish:

Eslatma! Numerator (x+2) Men uni qavs ichiga joylashtirdim! Buning sababi, kasrlarni ko'paytirishda butun hisob ko'paytiriladi! Endi siz kasrlarni kamaytirishingiz mumkin:

Qolgan qavslarni kengaytiring:

Misol emas, balki sof zavq!) Endi boshlang'ich maktabdagi afsunni eslaylik: X bilan - chapga, X holda - o'ngga! Va bu transformatsiyani qo'llang:

Mana shunga o'xshashlar:

Va ikkala qismni 25 ga bo'ling, ya'ni. ikkinchi transformatsiyani yana qo'llang:

Ana xolos. Javob: X=0,16

Iltimos, diqqat qiling: asl chalkash tenglamani chiroyli shaklga keltirish uchun biz ikkitadan (ikkitasini!) identifikatsiya o'zgarishlari– belgisini o‘zgartirish bilan chapdan o‘ngga tarjima qilish va tenglamani bir xil songa ko‘paytirish-bo‘lish. Bu universal usul! Biz bilan shu tarzda ishlaymiz har qanday tenglamalar! Mutlaqo hech kim. Shuning uchun men har doim bir xil o'zgarishlar haqida zerikarli takrorlayman.)

Ko'rib turganingizdek, chiziqli tenglamalarni echish printsipi oddiy. Biz tenglamani olamiz va javob olguncha uni bir xil o'zgartirishlar yordamida soddalashtiramiz. Bu erda asosiy muammolar yechim printsipida emas, balki hisob-kitoblarda.

Lekin... Eng elementar chiziqli tenglamalarni yechish jarayonida shunday kutilmagan hodisalar bo‘ladiki, ular sizni kuchli stuporga olib kelishi mumkin...) Yaxshiyamki, bunday kutilmagan hodisalar faqat ikkita bo‘lishi mumkin. Keling, ularni maxsus holatlar deb ataylik.

Chiziqli tenglamalarni yechishdagi maxsus holatlar.

Birinchi ajablanib.

Aytaylik, siz juda oddiy tenglamaga duch keldingiz, masalan:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Bir oz zerikib, biz uni X bilan chapga, X holda - o'ngga siljitamiz ... Belgining o'zgarishi bilan hamma narsa mukammal ... Biz olamiz:

2x-5x+3x=5-2-3

Biz hisoblaymiz va ... oop!!! Biz olamiz:

Bu tenglikning o'zi e'tirozli emas. Nol haqiqatan ham nolga teng. Ammo X yo'q! Va biz javobda yozishimiz kerak, x nimaga teng? Aks holda, yechim hisoblanmaydi, to'g'rimi...) O'lik qulfmi?

Sokin! Bunday shubhali holatlarda eng umumiy qoidalar sizni qutqaradi. Tenglamalarni qanday yechish mumkin? Tenglamani yechish nimani anglatadi? Bu degani, x ning barcha qiymatlarini toping, ular asl tenglamaga almashtirilganda bizga to'g'ri tenglikni beradi.

Ammo bizda haqiqiy tenglik bor allaqachon sodir bo'ldi! 0=0, qanchalik aniqroq?! Bu x ning nima sodir bo'lishini aniqlash uchun qoladi. X ning qaysi qiymatlarini almashtirish mumkin original tenglama, agar bu x bo'lsa ular hali ham nolga tushiriladimi? Qo'ysangchi; qani endi?)

Ha!!! X harflari almashtirilishi mumkin har qanday! Qaysi birini xohlaysiz? Kamida 5, kamida 0,05, kamida -220. Ular hali ham qisqaradi. Agar menga ishonmasangiz, uni tekshirishingiz mumkin.) X ning istalgan qiymatini o'rniga qo'ying original tenglama va hisoblash. Har doim siz sof haqiqatni olasiz: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 va hokazo.

Mana sizning javobingiz: x - har qanday raqam.

Javob turli matematik belgilarda yozilishi mumkin, mohiyat o'zgarmaydi. Bu mutlaqo to'g'ri va to'liq javob.

Ikkinchi ajablanib.

Keling, bir xil elementar chiziqli tenglamani olaylik va undagi faqat bitta raqamni o'zgartiramiz. Buni biz hal qilamiz:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Xuddi shu o'zgarishlardan so'ng biz qiziqarli narsalarni olamiz:

Mana bunday. Biz chiziqli tenglamani yechdik va g'alati tenglikni oldik. Matematik nuqtai nazardan, biz oldik soxta tenglik. Ammo oddiy qilib aytganda, bu haqiqat emas. Rave. Ammo shunga qaramay, bu bema'nilik tenglamani to'g'ri hal qilish uchun juda yaxshi sababdir.)

Yana umumiy qoidalarga asoslanib o'ylaymiz. Dastlabki tenglamaga almashtirilganda, x bizga nimani beradi rost tenglik? Ha, yo'q! Bunday X mavjud emas. Siz nima qo'ysangiz ham, hamma narsa kamayadi, faqat bema'nilik qoladi.)

Mana sizning javobingiz: yechimlar yo'q.

Bu ham to'liq javobdir. Matematikada bunday javoblar ko'pincha topiladi.

Mana bunday. Endi, umid qilamanki, har qanday (nafaqat chiziqli) tenglamani yechish jarayonida X ning yo'qolishi sizni umuman chalkashtirib yubormaydi. Bu allaqachon tanish masala.)

Endi biz chiziqli tenglamalardagi barcha tuzoqlarni ko'rib chiqdik, ularni hal qilish mantiqan.

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.