Bevosita belgilangan funktsiyaning hosilasi.
Parametrli aniqlangan funksiyaning hosilasi

Ushbu maqolada biz yuqori matematika bo'yicha testlarda tez-tez uchraydigan yana ikkita odatiy vazifani ko'rib chiqamiz. Materialni muvaffaqiyatli o'zlashtirish uchun siz hech bo'lmaganda o'rta darajada hosilalarni topa olishingiz kerak. Siz ikkita asosiy darsda noldan hosilalarni topishni o'rganishingiz mumkin va Murakkab funktsiyaning hosilasi. Agar farqlash qobiliyatingiz yaxshi bo'lsa, keling.

Bevosita belgilangan funktsiyaning hosilasi

Yoki qisqasi, yashirin funksiyaning hosilasi. Yashirin funktsiya nima? Keling, birinchi navbatda bitta o'zgaruvchining funktsiyasining ta'rifini eslaylik:

Yagona o'zgaruvchan funktsiya mustaqil o'zgaruvchining har bir qiymati funksiyaning bitta va faqat bitta qiymatiga mos keladigan qoidadir.

O'zgaruvchi chaqiriladi mustaqil o'zgaruvchi yoki dalil.
O'zgaruvchi chaqiriladi qaram o'zgaruvchi yoki funktsiyasi .

Hozirgacha biz belgilangan funktsiyalarni ko'rib chiqdik aniq shakl. Bu nima degani? Keling, aniq misollar yordamida brifing o'tkazamiz.

Funktsiyani ko'rib chiqing

Ko'ryapmizki, chap tomonda bizda yolg'iz "o'yinchi" bor, o'ngda - faqat "X". Ya'ni, funktsiya aniq mustaqil oʻzgaruvchi orqali ifodalanadi.

Keling, boshqa funktsiyani ko'rib chiqaylik:

Bu erda o'zgaruvchilar aralashtiriladi. Bundan tashqari hech qanday tarzda mumkin emas“Y”ni faqat “X” orqali ifodalang. Bu usullar nima? Belgini oʻzgartirish bilan atamalarni qismdan qismga oʻtkazish, ularni qavs ichidan chiqarish, nisbat qoidasiga koʻra koʻrsatkichlarni tashlash va hokazo. Tenglikni qayta yozing va “y”ni aniq ifodalashga harakat qiling: . Siz tenglamani soatlab burishingiz va aylantirishingiz mumkin, ammo muvaffaqiyatga erisha olmaysiz.

Sizni tanishtiraman: – misol yashirin funksiya.

Matematik tahlil jarayonida yashirin funksiya mavjudligi isbotlangan mavjud(ammo, har doim ham emas), u grafikga ega (xuddi "oddiy" funktsiya kabi). Yashirin funktsiya aynan bir xil mavjud birinchi hosila, ikkinchi hosila va boshqalar. Ular aytganidek, jinsiy ozchiliklarning barcha huquqlari hurmat qilinadi.

Va bu darsda biz aniq belgilangan funktsiyaning hosilasini qanday topishni o'rganamiz. Bu unchalik qiyin emas! Barcha farqlash qoidalari va elementar funksiyalarning hosilalari jadvali o'z kuchida qoladi. Farqi bir o'ziga xos daqiqada, biz hozir ko'rib chiqamiz.

Ha, va men sizga xushxabarni aytaman - quyida muhokama qilingan vazifalar uchta yo'l oldida toshsiz juda qattiq va aniq algoritmga muvofiq amalga oshiriladi.

1-misol

1) Birinchi bosqichda biz ikkala qismga zarbalarni biriktiramiz:

2) Biz hosilaning chiziqlilik qoidalaridan foydalanamiz (darsning birinchi ikkita qoidasi). hosilani qanday topish mumkin? Yechimlarga misollar):

3) To'g'ridan-to'g'ri farqlash.
Qanday qilib farqlash to'liq aniq. Qon tomirlari ostida "o'yinlar" bo'lgan joyda nima qilish kerak?

- shunchaki sharmandalik darajasiga qadar, funktsiyaning hosilasi uning hosilasiga teng: .

Qanday qilib farqlash kerak
Mana bizda murakkab funktsiya. Nega? Sinus ostida faqat bitta "Y" harfi borga o'xshaydi. Ammo haqiqat shundaki, faqat bitta "y" harfi bor - O'ZI FUNKSIYA(dars boshida ta'rifga qarang). Shunday qilib, sinus tashqi funktsiya bo'lib, ichki funktsiyadir. Murakkab funktsiyani farqlash uchun qoidadan foydalanamiz :

Biz mahsulotni odatiy qoidaga ko'ra farqlaymiz :

E'tibor bering, bu ham murakkab funktsiyadir, har qanday "qo'ng'iroq va hushtak bilan o'yin" murakkab funktsiyadir:

Yechimning o'zi shunday ko'rinishi kerak:


Qavslar bo'lsa, ularni kengaytiring:

4) Chap tomonda biz "Y" harfini o'z ichiga olgan atamalarni to'playmiz. Qolgan hamma narsani o'ng tomonga o'tkazing:

5) Chap tomonda biz qavs ichidan hosilani chiqaramiz:

6) Va mutanosiblik qoidasiga ko'ra, biz bu qavslarni o'ng tomonning maxrajiga tushiramiz:

hosilasi topildi. Tayyor.

Shunisi qiziqki, har qanday funktsiyani bilvosita qayta yozish mumkin. Masalan, funktsiya quyidagicha qayta yozish mumkin: . Va hozirgina muhokama qilingan algoritm yordamida uni farqlang. Darhaqiqat, "yomon funktsiya" va "yoshiq funktsiya" iboralari bir semantik nuanceda farqlanadi. "Bevosita belgilangan funktsiya" iborasi umumiyroq va to'g'ri, - bu funktsiya bilvosita ko'rsatilgan, ammo bu erda siz "o'yin" ni ifodalashingiz va funktsiyani aniq ko'rsatishingiz mumkin. "Yopiq funktsiya" so'zlari ko'pincha "o'yin" ni ifodalab bo'lmaydigan "klassik" yashirin funktsiyani anglatadi.

Shuni ham ta'kidlash kerakki, "yomon tenglama" bir vaqtning o'zida ikki yoki undan ko'p funktsiyani aniq belgilashi mumkin, masalan, aylana tenglamasi yarim doiralarni aniqlaydigan funktsiyalarni aniq belgilaydi.Ammo ushbu maqola doirasida biz atamalar va nuanslar o'rtasida alohida farq qilmaydi, bu faqat umumiy rivojlanish uchun ma'lumot edi.

Ikkinchi yechim

Diqqat! Agar siz ishonch bilan qanday qilib topishni bilsangiz, ikkinchi usul bilan tanishishingiz mumkin qisman hosilalari. Iltimos, hisobni yangi boshlanuvchilar va qo'g'irchoqlar o'qimang va bu nuqtani o'tkazib yubormang, aks holda sizning boshingiz butunlay chalkash bo'ladi.

Ikkinchi usul yordamida yashirin funksiyaning hosilasini topamiz.

Biz barcha shartlarni chap tomonga o'tkazamiz:

Va ikkita o'zgaruvchining funktsiyasini ko'rib chiqing:

Keyin hosilamizni formuladan foydalanib topish mumkin
Keling, qisman hosilalarni topamiz:

Shunday qilib:

Ikkinchi yechim tekshirishni amalga oshirishga imkon beradi. Ammo ularga topshiriqning yakuniy versiyasini yozish tavsiya etilmaydi, chunki qisman hosilalar keyinroq o'zlashtiriladi va "Bir o'zgaruvchan funktsiyaning hosilasi" mavzusini o'rganayotgan talaba qisman hosilalarni hali bilmasligi kerak.

Keling, yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

2-misol

Bevosita berilgan funksiyaning hosilasini toping

Ikkala qismga ham chiziqlar qo'shing:

Biz chiziqlilik qoidalaridan foydalanamiz:

hosilalarni topish:

Barcha qavslarni ochish:

Biz barcha shartlarni chap tomonga, qolganlarini o'ng tomonga siljitamiz:

Yakuniy javob:

3-misol

Bevosita berilgan funksiyaning hosilasini toping

Dars oxirida to'liq yechim va namunaviy dizayn.

Farqlashdan keyin kasrlar paydo bo'lishi odatiy hol emas. Bunday hollarda siz fraksiyalardan qutulishingiz kerak. Keling, yana ikkita misolni ko'rib chiqaylik.

4-misol

Bevosita berilgan funksiyaning hosilasini toping

Biz ikkala qismni chiziqlar ostiga qo'yamiz va chiziqlilik qoidasidan foydalanamiz:

Murakkab funktsiyani differensiallash qoidasi yordamida farqlang va ko'rsatkichlarni farqlash qoidasi :

Qavslarni kengaytirish:

Endi biz kasrdan xalos bo'lishimiz kerak. Buni keyinroq qilish mumkin, ammo buni darhol qilish yanada oqilona. Kasrning maxraji tarkibida . Ko'paytiring kuni . Batafsil, u quyidagicha ko'rinadi:

Ba'zida differentsiatsiyadan keyin 2-3 fraksiya paydo bo'ladi. Agar bizda boshqa kasr bo'lsa, masalan, operatsiyani takrorlash kerak bo'ladi - ko'paytiring har bir qismning har bir muddati yoqilgan

Chap tomonda biz uni qavslardan chiqaramiz:

Yakuniy javob:

5-misol

Bevosita berilgan funksiyaning hosilasini toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Bitta narsa shundaki, kasrdan xalos bo'lishdan oldin, birinchi navbatda fraksiyaning uch qavatli tuzilishidan xalos bo'lishingiz kerak. To'liq yechim va javob dars oxirida.

Parametrli aniqlangan funksiyaning hosilasi

Keling, ta'kidlamaylik, bu paragrafda hamma narsa juda oddiy. Siz parametrik aniqlangan funktsiyaning umumiy formulasini yozishingiz mumkin, lekin buni aniq qilish uchun men darhol aniq bir misol yozaman. Parametrik shaklda funksiya ikkita tenglama bilan beriladi: . Ko'pincha tenglamalar jingalak qavslar ostida emas, balki ketma-ket yoziladi: , .

O'zgaruvchiga parametr deyiladi va "minus cheksizlik" dan "ortiqcha cheksizlik" ga qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Masalan, qiymatni ko'rib chiqing va uni ikkala tenglamaga almashtiring: . Yoki insoniy so'z bilan aytganda: "agar x to'rtga teng bo'lsa, u holda y birga teng". Koordinata tekisligida nuqtani belgilashingiz mumkin va bu nuqta parametr qiymatiga mos keladi. Xuddi shunday, siz "te" parametrining istalgan qiymati uchun nuqta topishingiz mumkin. "Doimiy" funktsiyaga kelsak, parametrik aniqlangan funktsiyaning amerikalik hindulari uchun barcha huquqlar ham hurmat qilinadi: siz grafik yaratishingiz, lotinlarni topishingiz va hokazo. Aytgancha, parametrik aniqlangan funktsiyaning grafigini chizishingiz kerak bo'lsa, siz mening dasturimdan foydalanishingiz mumkin.

Eng oddiy hollarda funksiyani aniq ifodalash mumkin. Birinchi tenglamadagi parametrni ifodalaymiz: – va uni ikkinchi tenglamaga almashtiring: . Natijada oddiy kub funksiyasi paydo bo'ladi.

Keyinchalik "og'ir" holatlarda bu hiyla ishlamaydi. Ammo bu muhim emas, chunki parametrik funktsiyaning hosilasini topish uchun formula mavjud:

Biz "te o'zgaruvchisiga nisbatan o'yin" ning hosilasini topamiz:

Barcha farqlash qoidalari va hosilalar jadvali, tabiiyki, harf uchun amal qiladi, shuning uchun, hosilalarni topish jarayonida yangilik yo'q. Jadvaldagi barcha "X" larni "Te" harfi bilan almashtiring.

Te o‘zgaruvchisiga nisbatan “x” ning hosilasini topamiz:

Endi topilgan hosilalarni formulamizga almashtirish qoladi:

Tayyor. Hosil, funksiyaning o'zi kabi, parametrga ham bog'liq.

Belgilanishga kelsak, uni formulada yozish o'rniga, uni pastki belgisiz yozish mumkin, chunki bu "X ga nisbatan" "odatiy" hosiladir. Ammo adabiyotda har doim variant bor, shuning uchun men standartdan chetga chiqmayman.

6-misol

Biz formuladan foydalanamiz

Ushbu holatda:

Shunday qilib:

Parametrik funktsiyaning hosilasini topishning o'ziga xos xususiyati shundaki har bir qadamda natijani iloji boricha soddalashtirish foydalidir. Shunday qilib, ko'rib chiqilgan misolda, men uni topganimda, ildiz ostidagi qavslarni ochdim (garchi men buni qilmagan bo'lsam ham). Formulaga almashtirilganda, ko'p narsalar yaxshi qisqarishi uchun yaxshi imkoniyat bor. Garchi, shubhasiz, noqulay javoblar bilan misollar mavjud.

7-misol

Parametrik belgilangan funksiyaning hosilasini toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir.

Maqolada Losmalar bilan eng oddiy tipik muammolar biz funksiyaning ikkinchi hosilasini topishimiz kerak bo'lgan misollarni ko'rib chiqdik. Parametrli aniqlangan funksiya uchun ikkinchi hosilani ham topishingiz mumkin va u quyidagi formula yordamida topiladi: . Ko'rinib turibdiki, ikkinchi hosilani topish uchun birinchi hosilani topish kerak.

8-misol

Parametrik berilgan funksiyaning birinchi va ikkinchi hosilalarini toping

Birinchidan, birinchi hosilani topamiz.
Biz formuladan foydalanamiz

Ushbu holatda:

Ko'pincha amaliy muammolarni hal qilishda (masalan, yuqori geodeziya yoki analitik fotogrammetriyada) bir nechta o'zgaruvchilarning murakkab funktsiyalari, ya'ni argumentlar paydo bo'ladi. x, y, z bitta funktsiya f(x,y,z) ) o'zlari yangi o'zgaruvchilarning funktsiyalari U, V, V ).

Bu, masalan, sobit koordinatalar tizimidan harakatlanayotganda sodir bo'ladi Oxyz mobil tizimga O 0 UVW va orqaga. Shu bilan birga, "qat'iy" - "eski" va "harakatlanuvchi" - "yangi" o'zgaruvchilarga nisbatan barcha qisman hosilalarni bilish muhimdir, chunki bu qisman hosilalar odatda ushbu koordinata tizimlarida ob'ektning o'rnini tavsiflaydi. , va, xususan, aerofotosuratlarning haqiqiy ob'ektga mos kelishiga ta'sir qiladi. Bunday hollarda quyidagi formulalar qo'llaniladi:

Ya'ni, murakkab funktsiya berilgan T uchta "yangi" o'zgaruvchilar U, V, V uchta "eski" o'zgaruvchilar orqali x, y, z, Keyin:

Izoh. O'zgaruvchilar sonida o'zgarishlar bo'lishi mumkin. Masalan: agar

Xususan, agar z = f(xy), y = y(x) , keyin biz "jami hosila" deb ataladigan formulani olamiz:

Quyidagi hollarda "jami hosila" uchun bir xil formula:

shaklni oladi:

(1.27) - (1.32) formulalarning boshqa o'zgarishlari ham mumkin.

Eslatma: “jami hosila” formulasi fizika kursining “Gidrodinamika” bo‘limida suyuqlik harakatining asosiy tenglamalar tizimini chiqarishda qo‘llaniladi.

1.10-misol. Berilgan:

(1.31) ga muvofiq:

§7 Bir nechta o'zgaruvchilarning bilvosita berilgan funksiyasining qisman hosilalari

Ma'lumki, bitta o'zgaruvchining bevosita ko'rsatilgan funksiyasi quyidagicha aniqlanadi: mustaqil o'zgaruvchining funktsiyasi. x ga nisbatan yechilmagan tenglama bilan berilgan bo‘lsa, yashirin deyiladi y :

1.11-misol.

Tenglama

bilvosita ikkita funktsiyani belgilaydi:

Va tenglama

hech qanday funktsiyani belgilamaydi.

1.2 teorema (ko'rinmas funktsiyaning mavjudligi).

Funktsiyaga ruxsat bering z =f(x,y) va uning qisman hosilalari f" x Va f" y ba'zi bir mahallada aniqlangan va doimiy U M0 ball M 0 (x 0 y 0 ) . Bundan tashqari, f(x 0 ,y 0 )=0 Va f"(x 0 ,y 0 )≠0 , keyin (1.33) tenglama mahallada aniqlanadi U M0 yashirin funksiya y=y(x) , uzluksiz va ma'lum bir intervalda differensiallanuvchi D bir nuqtada markazlashtirilgan x 0 , va y (x 0 )=y 0 .

Hech qanday dalil.

1.2 teoremadan shu oraliqda shunday bo'ladi D :

ya'ni o'ziga xoslik mavjud

Bu erda "jami" hosila (1.31) ga muvofiq topiladi.

Ya’ni (1.35) bitta o‘zgaruvchining bevosita berilgan funksiyasining hosilasini topish formulasini beradi. x .

Ikki yoki undan ortiq o'zgaruvchilarning yashirin funktsiyasi ham xuddi shunday aniqlanadi.

Misol uchun, agar biron bir hududda bo'lsa V bo'sh joy Oxyz quyidagi tenglama bajariladi:

keyin funktsiyada ba'zi shartlar ostida F u bilvosita funktsiyani belgilaydi

Bundan tashqari, (1.35) ga o'xshab, uning qisman hosilalari quyidagicha topiladi:

1.12-misol. Tenglama deb faraz qilsak

funktsiyani bilvosita belgilaydi

toping z" x , z" y .

shuning uchun (1.37) ga ko'ra javobni olamiz.

§8 Ikkinchi va undan yuqori darajali qisman hosilalar

Ta'rif 1.9 Funktsiyaning ikkinchi tartibli qisman hosilalari z=z(x,y) quyidagicha aniqlanadi:

Ulardan to'rttasi bor edi. Bundan tashqari, funktsiyalar bo'yicha muayyan sharoitlarda z(x,y) tenglik amal qiladi:

Izoh. Ikkinchi tartibli qisman hosilalarni ham quyidagicha belgilash mumkin:

Ta'rif 1.10 Uchinchi tartibli qisman hosilalar sakkizta (2 3).

Biz aniq ko'rsatilgan, ya'ni o'zgaruvchilarni bog'laydigan ma'lum tenglamalar bilan aniqlangan funktsiyalarning hosilalarini topishni o'rganamiz. x Va y. Bilvosita ko'rsatilgan funktsiyalarga misollar:

,

,

To'g'ridan-to'g'ri ko'rsatilgan funktsiyalarning hosilalari yoki yashirin funktsiyalarning hosilalari juda sodda tarzda topiladi. Endi keling, tegishli qoida va misolni ko'rib chiqamiz va keyin nima uchun bu umuman kerakligini aniqlaymiz.

To'g'ridan-to'g'ri ko'rsatilgan funktsiyaning hosilasini topish uchun tenglamaning ikkala tomonini x ga nisbatan farqlash kerak. Faqat X mavjud bo'lgan atamalar funksiyaning X dan odatiy hosilasiga aylanadi. Va o'yin bilan atamalar murakkab funktsiyani farqlash qoidasi yordamida farqlanishi kerak, chunki o'yin X funktsiyasidir. Oddiy qilib aytganda, atamaning x bilan hosil bo'lgan hosilasi quyidagilarga olib kelishi kerak: funktsiyaning y dan hosilasi y dan hosila bilan ko'paytiriladi. Masalan, atamaning hosilasi , deb yoziladi. Keyinchalik, bularning barchasidan siz ushbu "o'yin zarbasi" ni ifodalashingiz kerak va aniq ko'rsatilgan funktsiyaning kerakli hosilasi olinadi. Keling, buni bir misol bilan ko'rib chiqaylik.

1-misol.

Yechim. i ni x ning funksiyasi deb faraz qilib, tenglamaning ikkala tomonini x ga nisbatan farqlaymiz:

Bu erdan biz vazifada talab qilinadigan hosilani olamiz:

Endi aniq ko'rsatilgan funktsiyalarning noaniq xususiyati va nima uchun ularni farqlash uchun maxsus qoidalar kerakligi haqida bir narsa. Ba'zi hollarda, o'yin o'rniga x ko'rinishidagi ifodani berilgan tenglamaga (yuqoridagi misollarga qarang) almashtirish ushbu tenglamaning o'ziga xoslikka aylanishiga olib kelishiga ishonch hosil qilishingiz mumkin. Shunday qilib. Yuqoridagi tenglama quyidagi funktsiyalarni aniq belgilaydi:

Kvadrat o'yinning ifodasini x orqali dastlabki tenglamaga almashtirgandan so'ng, biz identifikatsiyani olamiz:

.

Biz almashtirgan iboralar o'yin uchun tenglamani yechish orqali olingan.

Agar mos keladigan aniq funktsiyani farq qiladigan bo'lsak

keyin biz 1-misoldagi kabi javobni aniq ko'rsatilgan funktsiyadan olamiz:

Lekin bilvosita ko'rsatilgan har bir funktsiyani shaklda ifodalash mumkin emas y = f(x) . Masalan, aniq ko'rsatilgan funktsiyalar

elementar funksiyalar orqali ifodalanmaydi, ya'ni bu tenglamalarni o'yinga nisbatan yechish mumkin emas. Shuning uchun, bilvosita ko'rsatilgan funktsiyani farqlash qoidasi mavjud bo'lib, biz allaqachon o'rganib chiqdik va bundan keyin boshqa misollarda izchil qo'llaniladi.

2-misol. Bevosita berilgan funksiyaning hosilasini toping:

.

Biz to'g'ridan-to'g'ri ko'rsatilgan funktsiyaning boshini va - chiqishida - hosilasini ifodalaymiz:

3-misol. Bevosita berilgan funksiyaning hosilasini toping:

.

Yechim. Tenglamaning ikkala tomonini x ga nisbatan farqlaymiz:

.

4-misol. Bevosita berilgan funksiyaning hosilasini toping:

.

Yechim. Tenglamaning ikkala tomonini x ga nisbatan farqlaymiz:

.

Biz hosilani ifodalaymiz va olamiz:

.

5-misol. Bevosita berilgan funksiyaning hosilasini toping:

Yechim. Tenglamaning o'ng tomonidagi shartlarni chap tomonga o'tkazamiz va o'ng tomonda nol qoldiramiz. Tenglamaning ikkala tomonini x ga nisbatan farqlaymiz.

Ma'lumki, bitta o'zgaruvchining bevosita berilgan funksiyasi quyidagicha ta'riflanadi: x mustaqil o'zgaruvchining y funktsiyasi, agar u y ga nisbatan yechilmagan tenglama bilan berilgan bo'lsa, noaniq deyiladi:

1.11-misol.

Tenglama

bilvosita ikkita funktsiyani belgilaydi:

Va tenglama

hech qanday funktsiyani belgilamaydi.

1.2 teorema (ko'rinmas funktsiyaning mavjudligi).

z =f(x,y) funksiya va uning qisman hosilalari f"x va f"y M0(x0y0) nuqtaning ba'zi UM0 qo'shnilarida aniqlangan va uzluksiz bo'lsin. Bundan tashqari, f(x0,y0)=0 va f"(x0,y0)≠0, keyin (1.33) tenglama UM0 qo'shnisida y= y(x), uzluksiz va ba'zi D oralig'ida differensiallanuvchi yashirin funktsiyani aniqlaydi. markazi x0 nuqtada va y(x0)=y0 bilan.

Hech qanday dalil.

1.2 teoremadan kelib chiqadiki, bu D oralig'ida:

ya'ni o'ziga xoslik mavjud

Bu erda "jami" hosila (1.31) ga muvofiq topiladi.

Ya'ni (1.35) bitta x o'zgaruvchining bevosita berilgan funksiyasining hosilasini topish formulasini beradi.

Ikki yoki undan ortiq o'zgaruvchilarning yashirin funktsiyasi ham xuddi shunday aniqlanadi.

Masalan, Oxyz fazosining ba'zi V mintaqasida tenglama bajarilsa:

u holda F funksiyada ma'lum shartlar ostida u funktsiyani bilvosita belgilaydi

Bundan tashqari, (1.35) ga o'xshab, uning qisman hosilalari quyidagicha topiladi:

1.12-misol. Tenglama deb faraz qilsak

funktsiyani bilvosita belgilaydi

z"x, z"y ni toping.

shuning uchun (1.37) ga ko'ra javobni olamiz.

11.Geometriyada qisman hosilalardan foydalanish.

12.Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremasi.

Ikki o‘zgaruvchi funksiyasining maksimal, minimal va ekstremum tushunchalari bitta mustaqil o‘zgaruvchi funksiyasining mos keladigan tushunchalariga o‘xshashdir (25.4-bo‘limga qarang).

z = ƒ(x;y) funksiya qandaydir D sohada, N(x0;y0) O D nuqtada aniqlansin.

(x0;y0) nuqta z=ƒ(x;y) funksiyaning maksimal nuqtasi deyiladi, agar (x0;y0) nuqtaning har bir (x;y) nuqtasi uchun dan farq qiladigan d-qo’shnisi mavjud bo’lsa. (xo;yo), bu qo‘shnilikdan ƒ(x;y) tengsizlik o‘rinli<ƒ(хо;уо).

A Funksiyaning minimal nuqtasi xuddi shunday tarzda aniqlanadi: (x0; y0) dan boshqa barcha (x; y) nuqtalar uchun (xo; yo) nuqtaning d-mahallasidan quyidagi tengsizlik bajariladi: ƒ(x). ; y)>ƒ(x0; y0).

210-rasmda: N1 maksimal nuqta, N2 esa z=ƒ(x;y) funksiyaning minimal nuqtasi.

Funksiyaning maksimal (minimal) nuqtasidagi qiymati funksiyaning maksimal (minimal) qiymati deyiladi. Funksiyaning maksimal va minimumi uning ekstremasi deyiladi.

E'tibor bering, ta'rifga ko'ra, funktsiyaning ekstremum nuqtasi funktsiyani aniqlash sohasi ichida joylashgan; maksimal va minimal mahalliy (mahalliy) xarakterga ega: (x0; y0) nuqtadagi funktsiyaning qiymati (x0; y0) ga etarlicha yaqin nuqtalardagi qiymatlari bilan taqqoslanadi. D hududida funktsiya bir nechta ekstremallarga ega bo'lishi mumkin yoki hech biri bo'lmasligi mumkin.

46.2. Ekstremum uchun zarur va etarli shartlar

Funksiya ekstremumining mavjudligi shartlarini ko'rib chiqamiz.

46.1 teorema (ekstremum uchun zarur shartlar). Agar N(x0;y0) nuqtada z=ƒ(x;y) differentsiallanuvchi funksiya ekstremumga ega bo’lsa, uning bu nuqtadagi qisman hosilalari nolga teng: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0 )=0.

Keling, o'zgaruvchilardan birini tuzatamiz. Masalan, y=y0 qo'yaylik. Keyin bitta o'zgaruvchining ƒ(x;y0)=ph(x) funksiyasini olamiz, bu funksiya x = x0 da ekstremumga ega. Shuning uchun, bitta o'zgaruvchining funksiyasi ekstremumining zaruriy shartiga ko'ra (25.4-bo'limga qarang), ph"(x0) = 0, ya'ni ƒ"x(x0;y0)=0.

Xuddi shunday, ƒ"y(x0;y0) = 0 ekanligini ko'rsatish mumkin.

Geometrik jihatdan ƒ"x(x0;y0)=0 va ƒ"y(x0;y0)=0 tengliklari funksiyaning ekstremum nuqtasida z=ƒ(x;y) ni ifodalovchi sirtga teginish tekisligini bildiradi. ƒ(x;y) ), funksiya Oksi tekisligiga parallel, chunki tangens tekislik tenglamasi z=z0 (qarang formula (45.2)).

Z Eslatma. Funktsiya qisman hosilalardan kamida bittasi mavjud bo'lmagan nuqtalarda ekstremumga ega bo'lishi mumkin. Masalan, funktsiya O(0;0) nuqtada maksimalga ega (211-rasmga qarang), lekin bu nuqtada qisman hosilalarga ega emas.

z ≈ ƒ(x; y) funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilalari nolga teng, ya’ni f"x=0, f"y=0 nuqta z funksiyaning statsionar nuqtasi deyiladi.

Statsionar nuqtalar va kamida bitta qisman hosilasi mavjud bo'lmagan nuqtalar tanqidiy nuqtalar deb ataladi.

Kritik nuqtalarda funktsiya ekstremumga ega bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Qisman hosilalarning nolga tengligi ekstremum mavjudligi uchun zaruriy, ammo yetarli shart emas. Masalan, z = xy funksiyasini ko'rib chiqaylik. Buning uchun O(0; 0) nuqta kritik hisoblanadi (bu erda z"x=y va z"y - x yo'qoladi). Biroq, z=xy funksiyada ekstremum yo'q, chunki O(0; 0) nuqtaning etarlicha kichik qo'shnisida z>0 (birinchi va uchinchi chorak nuqtalari) va z bo'lgan nuqtalar mavjud.< 0 (точки II и IV четвертей).

Shunday qilib, ma'lum sohada funktsiyaning ekstremalini topish uchun funktsiyaning har bir kritik nuqtasini qo'shimcha tadqiqotlarga tortish kerak.

46.2 teorema (ekstremum uchun yetarli shart). Harakatsiz nuqtadagi (xo; y) ƒ(x;y) funksiya va uning ba’zi qo‘shnilari ikkinchi tartibli inklyuzivgacha uzluksiz qisman hosilalarga ega bo‘lsin. (x0;y0) nuqtada A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) qiymatlarini hisoblaymiz. . belgilaylik

1. agar D > 0 bo‘lsa, (x0;y0) nuqtadagi ƒ(x;y) funksiya ekstremumga ega: maksimal agar A bo‘lsa.< 0; минимум, если А > 0;

2. agar D< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

D = 0 bo'lsa, (x0;y0) nuqtada ekstremum bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Ko'proq tadqiqot kerak.

VAZIFALAR

1.

Misol. Funksiyaning ortishi va kamayuvchi oraliqlarini toping. Yechim. Birinchi qadam funktsiyani aniqlash sohasini topish. Bizning misolimizda maxrajdagi ifoda nolga chiqmasligi kerak, demak, . Keling, hosilaviy funktsiyaga o'tamiz: Etarli mezon asosida funktsiyaning ortish va kamayish intervallarini aniqlash uchun ta'rif sohasi bo'yicha tengsizliklarni yechamiz. Interval usulini umumlashtirishdan foydalanamiz. Numeratorning yagona haqiqiy ildizi x = 2, va maxraj da nolga tushadi x = 0. Bu nuqtalar aniqlanish sohasini funktsiyaning hosilasi o'z belgisini saqlab qoladigan intervallarga ajratadi. Keling, bu nuqtalarni raqamlar chizig'ida belgilaymiz. Biz shartli ravishda hosila ijobiy yoki salbiy bo'lgan oraliqlarni ortiqcha va minuslar bilan belgilaymiz. Quyidagi o'qlar sxematik ravishda mos keladigan intervalda funktsiyaning ortishi yoki kamayishini ko'rsatadi. Shunday qilib, Va . Shu nuqtada x = 2 funktsiya aniqlangan va uzluksiz, shuning uchun uni o'sish va kamayish oraliqlariga qo'shish kerak. Shu nuqtada x = 0 funktsiya aniqlanmagan, shuning uchun biz bu nuqtani kerakli intervallarga kiritmaymiz. U bilan olingan natijalarni solishtirish uchun funksiya grafigini taqdim etamiz. Javob: bilan funksiya ortadi , intervalda kamayadi (0; 2] .

2.

Misollar.

Egri chiziqning qavariqlik va botiqlik oraliqlarini belgilang y = 2 – x 2 .

Biz topamiz y"" va ikkinchi hosila qayerda ijobiy va qayerda salbiy ekanligini aniqlang. y" = –2x, y"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

y = e x. Chunki y"" = e har qanday uchun x > 0 x, keyin egri hamma joyda konkav bo'ladi.

y = x 3 . Chunki y"" = 6x, Bu y"" < 0 при x < 0 и y"" > 0 da x> 0. Shuning uchun, qachon x < 0 кривая выпукла, а при x> 0 botiq.

3.

4. z=x^2-y^2+5x+4y funksiya berilgan, vektor l=3i-4j va A(3,2) nuqta. dz/dl (men tushunganimdek, funktsiyaning vektor yo'nalishidagi hosilasi), gradz(A), |gradz(A)| ni toping. Qisman hosilalarni topamiz: z(x ga nisbatan)=2x+5 z(y ga nisbatan)=-2y+4 A(3,2) nuqtadagi hosilalarning qiymatlarini topamiz: z(bilan x ga nisbatan)(3,2)=2*3+ 5=11 z(y boʻyicha)(3,2)=-2*2+4=0 Qayerdan, gradz(A)=(11,0)= 11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 z funksiyaning l vektor yo‘nalishi bo‘yicha hosilasi: dz/dl=z(xda)*cosa+z(y da) *cosb, a, b-burchaklari l vektorning koordinata o'qlari bilan. cosa=lx/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6.6.

Z= f(x; y) funksiya Z ga nisbatan yechilmagan F(x,y,z)=0 tenglama bilan berilgan bo‘lsa, to‘g‘ridan-to‘g‘ri deyiladi. To'g'ridan-to'g'ri berilgan Z funksiyaning qisman hosilalari topilsin. Buning uchun tenglamaga Z o‘rniga f(x;y) funksiyani qo‘yib, F(x,y, f(x,y))=0 o‘xshashlikni olamiz. X va y ga nisbatan nolga teng bo‘lgan funksiyaning qisman hosilalari ham nolga teng.

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (doimiy deb hisoblanadi)

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (x doimiy deb hisoblanadi)

Qayerda
Va

Misol: Tenglama bilan berilgan Z funksiyaning qisman hosilalarini toping
.

Bu yerda F(x,y,z)=
;
;
;
. Yuqorida keltirilgan formulalar bo'yicha bizda:

Va

1. Yo'nalishli hosila

M (x,y) nuqtaning ma'lum qo'shnisida Z= f(x; y) ikkita o'zgaruvchili funktsiya berilgan bo'lsin. Birlik vektor tomonidan aniqlangan ba'zi yo'nalishlarni ko'rib chiqing
, Qayerda
(rasmga qarang).

Ushbu yo'nalishda M nuqta orqali o'tadigan to'g'ri chiziqda M 1 nuqtani olamiz (
) shuning uchun uzunlik
segmentMM 1 ga teng
. f(M) funksiyaning ortishi munosabat bilan aniqlanadi, bunda
munosabatlar bilan bog‘langan. Nisbat chegarasi da
funksiyaning hosilasi deb ataladi
nuqtada
tomon va tayinlanadi .

=

Agar Z funksiya nuqtada differentsiallanadigan bo'lsa
, keyin uchun munosabatlarni hisobga olgan holda bu nuqtada uning ortishi
quyidagi shaklda yozilishi mumkin.

ikkala qismni bo'lish

va chegaraga o'tish
Z= f(x; y) funksiyaning hosilasi uchun quyidagi yo‘nalishdagi formulani olamiz:

1. Gradient

Uch o'zgaruvchidan iborat funktsiyani ko'rib chiqing
bir nuqtada farqlanadi
.

Bu funksiyaning gradienti
M nuqtada koordinatalari mos ravishda qisman hosilalarga teng vektor
ayni paytda. Gradientni ko'rsatish uchun belgidan foydalaning
.
=
.

.Gradiyent funksiyaning berilgan nuqtadagi eng tez o‘sish yo‘nalishini ko‘rsatadi.

Birlik vektoridan beri koordinatalariga ega (
), keyin uchta o'zgaruvchili funktsiya holati uchun yo'nalish hosilasi ko'rinishda yoziladi, ya'ni. vektorlarning skalyar mahsuloti formulasiga ega Va
. Oxirgi formulani quyidagicha qayta yozamiz:

, Qayerda - vektor orasidagi burchak Va
. Chunki
, shundan kelib chiqadiki, funktsiyaning yo'nalishdagi hosilasi at maksimal qiymatni oladi =0, ya'ni. vektorlarning yo'nalishi bo'lganda Va
mos kelish. Qayerda
Ya'ni, aslida, funktsiyaning gradienti ushbu funktsiyaning nuqtadagi maksimal o'sish tezligining yo'nalishi va kattaligini tavsiflaydi.

1. Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremumi

Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning maks, min, ekstremum tushunchalari bitta o'zgaruvchili funktsiyaning mos keladigan tushunchalariga o'xshashdir. Z= f(x; y) funksiya qandaydir D va hokazo sohada aniqlansin. M
ushbu hududga tegishli. M nuqta
nuqtaning shunday d-qo'shnisi bo'lsa, Z= f(x; y) funksiyaning maksimal nuqtasi deyiladi.
, bu qo'shnilikdan har bir nuqta uchun tengsizlik
. Min nuqtasi xuddi shunday tarzda aniqlanadi, faqat tengsizlik belgisi o'zgaradi
. Funksiyaning max(min) nuqtadagi qiymati maksimal (minimal) deyiladi. Funksiyaning maksimal va minimal qiymatlari ekstrema deyiladi.

1. Ekstremum uchun zarur va etarli shartlar

Teorema:(Ekstremum uchun zarur shartlar). Agar M nuqtasida
Z= f(x; y) differensiallanuvchi funksiya ekstremumga ega bo‘lsa, bu nuqtada uning qisman hosilalari nolga teng bo‘ladi:
,
.

Isbot: X yoki y o'zgaruvchilardan birini aniqlab, biz Z = f(x; y) ni bitta o'zgaruvchining funktsiyasiga aylantiramiz, buning ekstremumi uchun yuqoridagi shartlar bajarilishi kerak. Geometrik tengliklar
Va
degani, Z= f(x; y) funksiyaning ekstremum nuqtasida f(x,y)=Z funksiyani ifodalovchi sirtga teguvchi tekislik OXY tekisligiga parallel, chunki tangens tekisligining tenglamasi Z = Z 0. Z = f (x; y) funktsiyaning birinchi tartibli qisman hosilalari nolga teng bo'lgan nuqta, ya'ni.
,
, funksiyaning statsionar nuqtasi deyiladi. Funktsiya qisman hosilalardan kamida bittasi mavjud bo'lmagan nuqtalarda ekstremumga ega bo'lishi mumkin. Masalan,Z=|-
| O(0,0) nuqtada max ga ega, lekin bu nuqtada hosilalari yo'q.

Statsionar nuqtalar va kamida bitta qisman hosila mavjud bo'lmagan nuqtalar deyiladi tanqidiy nuqtalar. Kritik nuqtalarda funktsiya ekstremumga ega bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Qisman hosilalarning nolga tengligi ekstremum mavjudligi uchun zaruriy, ammo yetarli shart emas. Masalan, Z=xy bo'lganda O(0,0) nuqta kritik hisoblanadi. Lekin Z=xy funksiyada ekstremum mavjud emas. (Chunki I va III choraklarda Z>0, II va IV choraklarda esa Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Teorema: (Ekstrema uchun etarli shart). Statsionar nuqtada bo'lsin
va ma'lum bir qo'shnilikda f(x; y) funktsiyasi 2-tartibga qadar uzluksiz qisman hosilalarga ega. Keling, nuqtada hisoblaylik
qiymatlar
,
Va
. belgilaylik

Agar
, nuqtadagi ekstremum
bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Ko'proq tadqiqot kerak.