Ma'lumki, bitta o'zgaruvchining bevosita berilgan funksiyasi quyidagicha ta'riflanadi: x mustaqil o'zgaruvchining y funktsiyasi, agar u y ga nisbatan yechilmagan tenglama bilan berilgan bo'lsa, yopiq deyiladi:

1.11-misol.

Tenglama

bilvosita ikkita funktsiyani belgilaydi:

Va tenglama

hech qanday funktsiyani belgilamaydi.

1.2 teorema (ko'rinmas funktsiyaning mavjudligi).

z =f(x,y) funksiya va uning qisman hosilalari f"x va f"y M0(x0y0) nuqtaning ba'zi UM0 qo'shnilarida aniqlangan va uzluksiz bo'lsin. Bundan tashqari, f(x0,y0)=0 va f"(x0,y0)≠0, keyin (1.33) tenglama UM0 qo'shnisida y= y(x), uzluksiz va ba'zi D oralig'ida differensiallanuvchi yopiq funktsiyani aniqlaydi. markazi x0 nuqtada va y(x0)=y0 bilan.

Hech qanday dalil.

1.2 teoremadan kelib chiqadiki, bu D oralig'ida:

ya'ni o'ziga xoslik mavjud

Bu erda "jami" hosila (1.31) ga muvofiq topiladi.

Ya'ni (1.35) bitta x o'zgaruvchining bevosita berilgan funksiyasining hosilasini topish formulasini beradi.

Ikki yoki undan ortiq o'zgaruvchilarning yashirin funktsiyasi ham xuddi shunday aniqlanadi.

Masalan, Oxyz fazosining ba'zi V mintaqasida tenglama bajarilsa:

u holda F funksiyada ma'lum shartlar ostida u funktsiyani bilvosita belgilaydi

Bundan tashqari, (1.35) ga o'xshab, uning qisman hosilalari quyidagicha topiladi:

1.12-misol. Tenglama deb faraz qilsak

funktsiyani bilvosita belgilaydi

z"x, z"y ni toping.

shuning uchun (1.37) ga ko'ra javobni olamiz.

11.Geometriyada qisman hosilalardan foydalanish.

12.Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremasi.

Ikki o‘zgaruvchi funksiyasining maksimal, minimal va ekstremum tushunchalari bitta mustaqil o‘zgaruvchi funksiyasining mos keladigan tushunchalariga o‘xshashdir (25.4-bo‘limga qarang).

z = ƒ(x;y) funksiya qandaydir D sohada, N(x0;y0) O D nuqtada aniqlansin.

(x0;y0) nuqta z=ƒ(x;y) funksiyaning maksimal nuqtasi deyiladi, agar (x0;y0) nuqtaning har bir (x;y) nuqtasi uchun dan farq qiladigan d-qo‘shnisi mavjud bo‘lsa. (xo;yo), bu qo‘shnilikdan ƒ(x;y) tengsizlik o‘rinli<ƒ(хо;уо).

A Funksiyaning minimal nuqtasi xuddi shunday tarzda aniqlanadi: (x0; y0) dan boshqa barcha (x; y) nuqtalar uchun (xo; yo) nuqtaning d-mahallasidan quyidagi tengsizlik bajariladi: ƒ(x). ; y)>ƒ(x0; y0).

210-rasmda: N1 maksimal nuqta, N2 esa z=ƒ(x;y) funksiyaning minimal nuqtasi.

Funksiyaning maksimal (minimal) nuqtasidagi qiymati funksiyaning maksimal (minimal) qiymati deyiladi. Funksiyaning maksimal va minimumi uning ekstremasi deyiladi.

E'tibor bering, ta'rifga ko'ra, funktsiyaning ekstremum nuqtasi funktsiyani aniqlash sohasi ichida joylashgan; maksimal va minimal mahalliy (mahalliy) xarakterga ega: (x0; y0) nuqtadagi funktsiyaning qiymati (x0; y0) ga etarlicha yaqin nuqtalardagi qiymatlari bilan taqqoslanadi. D hududida funktsiya bir nechta ekstremallarga ega bo'lishi mumkin yoki hech biri bo'lmasligi mumkin.

46.2. Ekstremum uchun zarur va etarli shartlar

Funksiya ekstremumining mavjudligi shartlarini ko'rib chiqamiz.

46.1 teorema (ekstremum uchun zarur shartlar). Agar N(x0;y0) nuqtada z=ƒ(x;y) differentsiallanuvchi funksiya ekstremumga ega bo’lsa, uning bu nuqtadagi qisman hosilalari nolga teng: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0 )=0.

Keling, o'zgaruvchilardan birini tuzatamiz. Masalan, y=y0 qo'yaylik. Keyin bitta o'zgaruvchining ƒ(x;y0)=ph(x) funksiyasini olamiz, bu funksiya x = x0 da ekstremumga ega. Demak, bitta o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremumining zaruriy shartiga ko'ra (25.4-bo'limga qarang), ph"(x0) = 0, ya'ni ƒ"x(x0;y0)=0.

Xuddi shunday, ƒ"y(x0;y0) = 0 ekanligini ko'rsatish mumkin.

Geometrik jihatdan ƒ"x(x0;y0)=0 va ƒ"y(x0;y0)=0 tengliklari funksiyaning ekstremum nuqtasida z=ƒ(x;y) ni ifodalovchi sirtga teginish tekisligini bildiradi. ƒ(x;y) ), funksiya Oksi tekisligiga parallel, chunki tangens tekislik tenglamasi z=z0 (qarang formula (45.2)).

Z Eslatma. Funktsiya qisman hosilalardan kamida bittasi mavjud bo'lmagan nuqtalarda ekstremumga ega bo'lishi mumkin. Masalan, funktsiya O(0;0) nuqtada maksimalga ega (211-rasmga qarang), lekin bu nuqtada qisman hosilalarga ega emas.

z ≈ ƒ(x; y) funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilalari nolga teng, ya’ni f"x=0, f"y=0 nuqta z funksiyaning statsionar nuqtasi deyiladi.

Statsionar nuqtalar va kamida bitta qisman hosilasi mavjud bo'lmagan nuqtalar tanqidiy nuqtalar deb ataladi.

Kritik nuqtalarda funktsiya ekstremumga ega bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Qisman hosilalarning nolga tengligi ekstremum mavjudligi uchun zaruriy, ammo yetarli shart emas. Masalan, z = xy funksiyasini ko'rib chiqaylik. Buning uchun O(0; 0) nuqta kritik hisoblanadi (bu erda z"x=y va z"y - x yo'qoladi). Biroq, z=xy funksiyada ekstremum yo'q, chunki O(0; 0) nuqtaning etarlicha kichik qo'shnisida z>0 (birinchi va uchinchi chorak nuqtalari) va z bo'lgan nuqtalar mavjud.< 0 (точки II и IV четвертей).

Shunday qilib, ma'lum sohada funktsiyaning ekstremalini topish uchun funktsiyaning har bir kritik nuqtasini qo'shimcha tadqiqotlarga tortish kerak.

46.2 teorema (ekstremum uchun yetarli shart). Harakatsiz nuqtadagi (xo; y) ƒ(x;y) funksiya va uning ba’zi qo‘shnilari ikkinchi tartibligacha uzluksiz qisman hosilalarga ega bo‘lsin. (x0;y0) nuqtada A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) qiymatlarini hisoblaymiz. . belgilaylik

1. agar D > 0 bo‘lsa, (x0;y0) nuqtadagi ƒ(x;y) funksiya ekstremumga ega: maksimal agar A bo‘lsa.< 0; минимум, если А > 0;

2. agar D< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

D = 0 bo'lsa, (x0;y0) nuqtada ekstremum bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Ko'proq tadqiqot kerak.

VAZIFALAR

1.

Misol. O'sish va kamayish funksiyalarining intervallarini toping. Yechim. Birinchi qadam funktsiyani aniqlash sohasini topish. Bizning misolimizda maxrajdagi ifoda nolga chiqmasligi kerak, demak, . Keling, hosilaviy funktsiyaga o'tamiz: Etarli mezon asosida funktsiyaning ortish va kamayish intervallarini aniqlash uchun ta'rif sohasi bo'yicha tengsizliklarni yechamiz. Interval usulini umumlashtirishdan foydalanamiz. Numeratorning yagona haqiqiy ildizi x = 2, va maxraj da nolga tushadi x = 0. Bu nuqtalar aniqlanish sohasini funktsiyaning hosilasi o'z belgisini saqlab qoladigan intervallarga ajratadi. Keling, bu nuqtalarni raqamlar chizig'ida belgilaymiz. Biz shartli ravishda hosila ijobiy yoki salbiy bo'lgan oraliqlarni ortiqcha va minuslar bilan belgilaymiz. Quyidagi o'qlar sxematik ravishda mos keladigan intervalda funktsiyaning ortishi yoki kamayishini ko'rsatadi. Shunday qilib, Va . Shu nuqtada x = 2 funktsiya aniqlangan va uzluksiz, shuning uchun uni o'sish va kamayish oraliqlariga qo'shish kerak. Shu nuqtada x = 0 funktsiya aniqlanmagan, shuning uchun biz bu nuqtani kerakli intervallarga kiritmaymiz. U bilan olingan natijalarni solishtirish uchun funksiya grafigini taqdim etamiz. Javob: bilan funksiya ortadi , intervalda kamayadi (0; 2] .

2.

Misollar.

Egri chiziqning qavariqlik va botiqlik oraliqlarini belgilang y = 2 – x 2 .

Biz topamiz y"" va ikkinchi hosila qayerda ijobiy va qayerda salbiy ekanligini aniqlang. y" = –2x, y"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

y = e x. Chunki y"" = e har qanday uchun x > 0 x, keyin egri hamma joyda konkav bo'ladi.

y = x 3 . Chunki y"" = 6x, Bu y"" < 0 при x < 0 и y"" > 0 da x> 0. Shuning uchun, qachon x < 0 кривая выпукла, а при x> 0 botiq.

3.

4. z=x^2-y^2+5x+4y funksiya berilgan, vektor l=3i-4j va A(3,2) nuqta. dz/dl (men tushunganimdek, funktsiyaning vektor yo'nalishidagi hosilasi), gradz(A), |gradz(A)| ni toping. Qisman hosilalarni topamiz: z(x ga nisbatan)=2x+5 z(y ga nisbatan)=-2y+4 A(3,2) nuqtadagi hosilalarning qiymatlarini topamiz: z(bilan x ga nisbatan)(3,2)=2*3+ 5=11 z(y boʻyicha)(3,2)=-2*2+4=0 Qayerdan, gradz(A)=(11,0)= 11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 z funksiyaning l vektor yo‘nalishi bo‘yicha hosilasi: dz/dl=z(xda)*cosa+z(y da) *cosb, a, b-burchaklari l vektorning koordinata o'qlari bilan. cosa=lx/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6.6.

Biz aniq ko'rsatilgan, ya'ni o'zgaruvchilarni bog'laydigan ma'lum tenglamalar bilan aniqlangan funktsiyalarning hosilalarini topishni o'rganamiz. x Va y. Bilvosita ko'rsatilgan funktsiyalarga misollar:

,

To'g'ridan-to'g'ri ko'rsatilgan funktsiyalarning hosilalari yoki yashirin funktsiyalarning hosilalari juda sodda tarzda topiladi. Endi keling, tegishli qoida va misolni ko'rib chiqamiz va keyin nima uchun bu umuman kerakligini aniqlaymiz.

To'g'ridan-to'g'ri ko'rsatilgan funktsiyaning hosilasini topish uchun tenglamaning ikkala tomonini x ga nisbatan farqlash kerak. Faqat X mavjud bo'lgan atamalar funksiyaning X dan odatiy hosilasiga aylanadi. Va o'yin bilan atamalar murakkab funktsiyani farqlash qoidasi yordamida farqlanishi kerak, chunki o'yin X funktsiyasidir. Oddiy qilib aytganda, atamaning x bilan hosil bo'lgan hosilasi quyidagilarga olib kelishi kerak: funktsiyaning y dan hosilasi y dan hosila bilan ko'paytiriladi. Masalan, atamaning hosilasi , deb yoziladi. Keyinchalik, bularning barchasidan siz ushbu "o'yin zarbasi" ni ifodalashingiz kerak va aniq ko'rsatilgan funktsiyaning kerakli hosilasi olinadi. Keling, buni bir misol bilan ko'rib chiqaylik.

1-misol.

Yechim. i ni x ning funksiyasi deb faraz qilib, tenglamaning ikkala tomonini x ga nisbatan farqlaymiz:

Bu erdan biz vazifada talab qilinadigan hosilani olamiz:

Endi aniq ko'rsatilgan funktsiyalarning noaniq xususiyati va nima uchun ularni farqlash uchun maxsus qoidalar kerakligi haqida bir narsa. Ba'zi hollarda, o'yin o'rniga x ko'rinishidagi ifodani berilgan tenglamaga (yuqoridagi misollarga qarang) almashtirish ushbu tenglamaning o'ziga xoslikka aylanishiga olib kelishiga ishonch hosil qilishingiz mumkin. Shunday qilib. Yuqoridagi tenglama quyidagi funktsiyalarni aniq belgilaydi:

Kvadrat o'yinning ifodasini x orqali dastlabki tenglamaga almashtirgandan so'ng, biz identifikatsiyani olamiz:

.

Biz almashtirgan iboralar o'yin uchun tenglamani yechish orqali olingan.

Agar mos keladigan aniq funktsiyani farq qiladigan bo'lsak

keyin biz 1-misoldagi kabi javobni aniq ko'rsatilgan funktsiyadan olamiz:

Lekin bilvosita ko'rsatilgan har bir funktsiyani shaklda ifodalash mumkin emas y = f(x) . Masalan, aniq ko'rsatilgan funktsiyalar

elementar funksiyalar orqali ifodalanmaydi, ya'ni bu tenglamalarni o'yinga nisbatan yechish mumkin emas. Shuning uchun, bilvosita ko'rsatilgan funktsiyani farqlash qoidasi mavjud bo'lib, biz allaqachon o'rganib chiqdik va bundan keyin boshqa misollarda izchil qo'llaniladi.

2-misol. Bevosita berilgan funksiyaning hosilasini toping:

.

Biz to'g'ridan-to'g'ri ko'rsatilgan funktsiyaning boshini va - chiqishida - hosilasini ifodalaymiz:

3-misol. Bevosita berilgan funksiyaning hosilasini toping:

.

Yechim. Tenglamaning ikkala tomonini x ga nisbatan farqlaymiz:

.

4-misol. Bevosita berilgan funksiyaning hosilasini toping:

.

Yechim. Tenglamaning ikkala tomonini x ga nisbatan farqlaymiz:

.

Biz hosilani ifodalaymiz va olamiz:

.

5-misol. Bevosita berilgan funksiyaning hosilasini toping:

Yechim. Tenglamaning o'ng tomonidagi shartlarni chap tomonga o'tkazamiz va o'ng tomonda nol qoldiramiz. Tenglamaning ikkala tomonini x ga nisbatan farqlaymiz.

Bevosita belgilangan funktsiyaning hosilasi.
Parametrli aniqlangan funksiyaning hosilasi

Ushbu maqolada biz yuqori matematika bo'yicha testlarda tez-tez uchraydigan yana ikkita odatiy vazifani ko'rib chiqamiz. Materialni muvaffaqiyatli o'zlashtirish uchun siz hech bo'lmaganda o'rta darajada hosilalarni topa olishingiz kerak. Siz ikkita asosiy darsda noldan hosilalarni topishni o'rganishingiz mumkin va Murakkab funktsiyaning hosilasi. Agar farqlash qobiliyatingiz yaxshi bo'lsa, keling.

Bevosita belgilangan funktsiyaning hosilasi

Yoki qisqasi, yashirin funksiyaning hosilasi. Yashirin funktsiya nima? Keling, birinchi navbatda bitta o'zgaruvchining funktsiyasining ta'rifini eslaylik:

Yagona o'zgaruvchan funktsiya mustaqil o'zgaruvchining har bir qiymati funksiyaning bitta va faqat bitta qiymatiga mos keladigan qoidadir.

O'zgaruvchi chaqiriladi mustaqil o'zgaruvchi yoki dalil.
O'zgaruvchi chaqiriladi qaram o'zgaruvchi yoki funktsiyasi .

Hozirgacha biz belgilangan funktsiyalarni ko'rib chiqdik aniq shakl. Bu nima degani? Keling, aniq misollar yordamida brifing o'tkazamiz.

Funktsiyani ko'rib chiqing

Ko'ryapmizki, chap tomonda bizda yolg'iz "o'yinchi" bor, o'ngda - faqat "X". Ya'ni, funktsiya aniq mustaqil oʻzgaruvchi orqali ifodalanadi.

Keling, boshqa funktsiyani ko'rib chiqaylik:

Bu erda o'zgaruvchilar aralashtiriladi. Bundan tashqari hech qanday tarzda mumkin emas"Y"ni faqat "X" orqali ifodalang. Bu usullar nima? Belgini oʻzgartirish bilan atamalarni qismdan qismga oʻtkazish, ularni qavs ichidan chiqarish, nisbat qoidasiga koʻra koʻrsatkichlarni tashlash va hokazo. Tenglikni qayta yozing va “y”ni aniq ifodalashga harakat qiling: . Siz tenglamani soatlab burishingiz va aylantirishingiz mumkin, ammo muvaffaqiyatga erisha olmaysiz.

Sizni tanishtiraman: – misol yashirin funksiya.

Matematik tahlil jarayonida yashirin funksiya mavjudligi isbotlangan mavjud(ammo, har doim ham emas), u grafikga ega (xuddi "oddiy" funktsiya kabi). Yashirin funktsiya aynan bir xil mavjud birinchi hosila, ikkinchi hosila va boshqalar. Ular aytganidek, jinsiy ozchiliklarning barcha huquqlari hurmat qilinadi.

Va bu darsda biz aniq belgilangan funktsiyaning hosilasini qanday topishni o'rganamiz. Bu unchalik qiyin emas! Barcha farqlash qoidalari va elementar funksiyalarning hosilalari jadvali o'z kuchida qoladi. Farqi bir o'ziga xos daqiqada, biz hozir ko'rib chiqamiz.

Ha, va men sizga xushxabarni aytaman - quyida muhokama qilingan vazifalar uchta yo'l oldida toshsiz juda qattiq va aniq algoritmga muvofiq amalga oshiriladi.

1-misol

1) Birinchi bosqichda biz ikkala qismga zarbalarni biriktiramiz:

2) Biz hosilaning chiziqlilik qoidalaridan foydalanamiz (darsning birinchi ikkita qoidasi). hosilani qanday topish mumkin? Yechimlarga misollar):

3) To'g'ridan-to'g'ri farqlash.
Qanday qilib farqlash to'liq aniq. Qon tomirlari ostida "o'yinlar" bo'lgan joyda nima qilish kerak?

- shunchaki sharmandalik darajasiga qadar, funktsiyaning hosilasi uning hosilasiga teng: .

Qanday qilib farqlash kerak
Mana bizda murakkab funktsiya. Nega? Sinus ostida faqat bitta "Y" harfi borga o'xshaydi. Ammo haqiqat shundaki, faqat bitta "y" harfi bor - O'ZI FUNKSIYA(dars boshida ta'rifga qarang). Shunday qilib, sinus tashqi funktsiya bo'lib, ichki funktsiyadir. Murakkab funktsiyani farqlash uchun qoidadan foydalanamiz :

Biz mahsulotni odatiy qoidaga ko'ra farqlaymiz :

E'tibor bering, bu ham murakkab funktsiyadir, har qanday "qo'ng'iroq va hushtak bilan o'yin" murakkab funktsiyadir:

Yechimning o'zi shunday ko'rinishi kerak:


Qavslar bo'lsa, ularni kengaytiring:

4) Chap tomonda biz "Y" harfini o'z ichiga olgan atamalarni to'playmiz. Qolgan hamma narsani o'ng tomonga o'tkazing:

5) Chap tomonda biz qavs ichidan hosilani chiqaramiz:

6) Va mutanosiblik qoidasiga ko'ra, biz bu qavslarni o'ng tomonning maxrajiga tushiramiz:

hosilasi topildi. Tayyor.

Shunisi qiziqki, har qanday funktsiyani bilvosita qayta yozish mumkin. Masalan, funktsiya quyidagicha qayta yozish mumkin: . Va hozirgina muhokama qilingan algoritm yordamida uni farqlang. Darhaqiqat, "yomon funktsiya" va "yoshiq funktsiya" iboralari bir semantik nuanceda farqlanadi. "Bevosita belgilangan funktsiya" iborasi umumiyroq va to'g'ri, - bu funktsiya bilvosita ko'rsatilgan, ammo bu erda siz "o'yin" ni ifodalashingiz va funktsiyani aniq ko'rsatishingiz mumkin. "Yopiq funktsiya" so'zlari ko'pincha "o'yin" ni ifodalab bo'lmaydigan "klassik" yashirin funktsiyani anglatadi.

Shuni ham ta'kidlash kerakki, "yomon tenglama" bir vaqtning o'zida ikki yoki undan ortiq funktsiyani aniq belgilashi mumkin, masalan, aylana tenglamasi yarim doiralarni aniqlaydigan funktsiyalarni aniq belgilaydi. atamalar va nuanslar o'rtasida alohida farq qilmaydi, bu faqat umumiy rivojlanish uchun ma'lumot edi.

Ikkinchi yechim

Diqqat! Agar siz ishonch bilan qanday qilib topishni bilsangiz, ikkinchi usul bilan tanishishingiz mumkin qisman hosilalari. Iltimos, hisobni yangi boshlanuvchilar va qo'g'irchoqlar o'qimang va bu nuqtani o'tkazib yubormang, aks holda sizning boshingiz butunlay chalkash bo'ladi.

Ikkinchi usul yordamida yashirin funksiyaning hosilasini topamiz.

Biz barcha shartlarni chap tomonga o'tkazamiz:

Va ikkita o'zgaruvchining funktsiyasini ko'rib chiqing:

Keyin hosilamizni formuladan foydalanib topish mumkin
Keling, qisman hosilalarni topamiz:

Shunday qilib:

Ikkinchi yechim tekshirishni amalga oshirishga imkon beradi. Ammo ularga topshiriqning yakuniy variantini yozish tavsiya etilmaydi, chunki qisman hosilalar keyinroq o'zlashtiriladi va "Bir o'zgaruvchan funktsiyaning hosilasi" mavzusini o'rganayotgan talaba qisman hosilalarni hali bilmasligi kerak.

Keling, yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

2-misol

Bevosita berilgan funksiyaning hosilasini toping

Ikkala qismga ham chiziqlar qo'shing:

Biz chiziqlilik qoidalaridan foydalanamiz:

hosilalarni topish:

Barcha qavslarni ochish:

Biz barcha shartlarni chap tomonga, qolganlarini o'ng tomonga siljitamiz:

Yakuniy javob:

3-misol

Bevosita berilgan funksiyaning hosilasini toping

Dars oxirida to'liq yechim va namunaviy dizayn.

Farqlashdan keyin kasrlar paydo bo'lishi odatiy hol emas. Bunday hollarda siz fraksiyalardan qutulishingiz kerak. Keling, yana ikkita misolni ko'rib chiqaylik.

4-misol

Bevosita berilgan funksiyaning hosilasini toping

Biz ikkala qismni chiziqlar ostiga qo'yamiz va chiziqlilik qoidasidan foydalanamiz:

Murakkab funktsiyani differensiallash qoidasi yordamida farqlang va ko'rsatkichlarni farqlash qoidasi :

Qavslarni kengaytirish:

Endi biz kasrdan xalos bo'lishimiz kerak. Buni keyinroq qilish mumkin, ammo buni darhol qilish yanada oqilona. Kasrning maxraji tarkibida . Ko'paytiring kuni . Batafsil, u quyidagicha ko'rinadi:

Ba'zida differentsiatsiyadan keyin 2-3 fraksiya paydo bo'ladi. Agar bizda boshqa kasr bo'lsa, masalan, operatsiyani takrorlash kerak bo'ladi - ko'paytiring har bir qismning har bir muddati yoqilgan

Chap tomonda biz uni qavslardan chiqaramiz:

Yakuniy javob:

5-misol

Bevosita berilgan funksiyaning hosilasini toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Bitta narsa shundaki, kasrdan xalos bo'lishdan oldin, birinchi navbatda fraksiyaning uch qavatli tuzilishidan xalos bo'lishingiz kerak. To'liq yechim va javob dars oxirida.

Parametrli aniqlangan funksiyaning hosilasi

Keling, ta'kidlamaylik, bu paragrafda hamma narsa juda oddiy. Siz parametrik aniqlangan funksiya uchun umumiy formulani yozishingiz mumkin, lekin buni aniq qilish uchun men darhol aniq bir misol yozaman. Parametrik shaklda funksiya ikkita tenglama bilan beriladi: . Ko'pincha tenglamalar jingalak qavslar ostida emas, balki ketma-ket yoziladi: , .

O'zgaruvchiga parametr deyiladi va "minus cheksizlik" dan "ortiqcha cheksizlik" ga qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Masalan, qiymatni ko'rib chiqing va uni ikkala tenglamaga almashtiring: . Yoki insoniy so'z bilan aytganda: "agar x to'rtga teng bo'lsa, u holda y birga teng". Koordinata tekisligida nuqtani belgilashingiz mumkin va bu nuqta parametr qiymatiga mos keladi. Xuddi shunday, siz "te" parametrining istalgan qiymati uchun nuqta topishingiz mumkin. "Doimiy" funktsiyaga kelsak, parametrik aniqlangan funktsiyaning amerikalik hindulari uchun barcha huquqlar ham hurmat qilinadi: siz grafik yaratishingiz, lotinlarni topishingiz va hokazo. Aytgancha, parametrik aniqlangan funktsiyaning grafigini chizishingiz kerak bo'lsa, siz mening dasturimdan foydalanishingiz mumkin.

Eng oddiy hollarda funksiyani aniq ifodalash mumkin. Parametrni ifodalaymiz: – birinchi tenglamadan va uni ikkinchi tenglamaga almashtiramiz: . Natijada oddiy kub funksiyasi paydo bo'ladi.

Keyinchalik "og'ir" holatlarda bu hiyla ishlamaydi. Ammo bu muhim emas, chunki parametrik funktsiyaning hosilasini topish uchun formula mavjud:

Biz "te o'zgaruvchisiga nisbatan o'yin" ning hosilasini topamiz:

Barcha farqlash qoidalari va hosilalar jadvali, tabiiyki, harf uchun amal qiladi, shuning uchun, hosilalarni topish jarayonida yangilik yo'q. Jadvaldagi barcha "X" larni "Te" harfi bilan almashtiring.

Te o‘zgaruvchisiga nisbatan “x” ning hosilasini topamiz:

Endi topilgan hosilalarni formulamizga almashtirish qoladi:

Tayyor. Hosil, funksiyaning o'zi kabi, parametrga ham bog'liq.

Belgilanishga kelsak, uni formulada yozish o'rniga, uni oddiygina pastki belgisiz yozish mumkin, chunki bu "X ga nisbatan" "odatiy" hosiladir. Ammo adabiyotda har doim variant bor, shuning uchun men standartdan chetga chiqmayman.

6-misol

Biz formuladan foydalanamiz

Ushbu holatda:

Shunday qilib:

Parametrik funktsiyaning hosilasini topishning o'ziga xos xususiyati shundaki har bir qadamda natijani iloji boricha soddalashtirish foydalidir. Shunday qilib, ko'rib chiqilgan misolda, men uni topganimda, ildiz ostidagi qavslarni ochdim (garchi men buni qilmagan bo'lsam ham). Formulaga almashtirilganda, ko'p narsalar yaxshi qisqarishi uchun yaxshi imkoniyat bor. Garchi, shubhasiz, noqulay javoblar bilan misollar mavjud.

7-misol

Parametrik belgilangan funksiyaning hosilasini toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir.

Maqolada Losmalar bilan eng oddiy tipik muammolar biz funksiyaning ikkinchi hosilasini topishimiz kerak bo'lgan misollarni ko'rib chiqdik. Parametrli aniqlangan funksiya uchun ikkinchi hosilani ham topishingiz mumkin va u quyidagi formula yordamida topiladi: . Ko'rinib turibdiki, ikkinchi hosilani topish uchun birinchi hosilani topish kerak.

8-misol

Parametrik berilgan funksiyaning birinchi va ikkinchi hosilalarini toping

Birinchidan, birinchi hosilani topamiz.
Biz formuladan foydalanamiz

Ushbu holatda:

Yuqori tartibli hosilalar (1) formulani ketma-ket differensiallash orqali topiladi.

Misol. Toping va agar (x ²+y ²)³-3(x ²+y ²)+1=0.

Yechim. Bu tenglamaning chap tomonini bilan belgilash f(x,y) qisman hosilalarni toping

f"x(x,y)=3(x²+y²)²∙2x-3∙2x=6x[(x²+y²)-1],

f"y(x,y)=3(x²+y²)²∙2y-3∙2y=6y[(x²+y²)-1].

Bu erdan (1) formuladan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

.

Ikkinchi hosilani topish uchun ga nisbatan farqlang X shuni hisobga olgan holda topilgan birinchi hosila da x funktsiyasi mavjud:

.

2°. Bir nechta mustaqil o'zgaruvchilarning holati. Xuddi shunday, agar tenglama F(x, y, z)=0, Qayerda F(x, y, z) - o'zgaruvchilarning differentsiallanuvchi funktsiyasi x, y Va z, belgilaydi z mustaqil o'zgaruvchilar funktsiyasi sifatida X Va da Va Fz(x, y, z)≠ 0 bo'lsa, unda bu aniq berilgan funktsiyaning qisman hosilalari, umuman olganda, formulalar yordamida topilishi mumkin.

.

z funksiyaning hosilalarini topishning yana bir usuli quyidagicha: tenglamani differentsiallash F(x, y, z) = 0, biz olamiz:

.

Bu erdan biz aniqlay olamiz dz, va shuning uchun.

Misol. Toping va agar x ² - 2y²+3z² -yz +y =0.

1-usul. Bu tenglamaning chap tomonini bilan belgilash F(x, y, z), qisman hosilalarini topamiz F"x(x,y,z)=2x, F"y(x,y,z)=-4y-z+1, F"z(x,y,z)=6z-y.

Formulalarni (2) qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:

2-usul. Ushbu tenglamani differensiallash orqali biz quyidagilarni olamiz:

2xdx -4ydy +6zdz-ydz-zdy +dy =0

Bu erdan biz aniqlaymiz dz, ya'ni yashirin funktsiyaning umumiy differentsiali:

.

Formula bilan solishtirish , buni ko'ramiz

.

3°. Yashirin funksiyalar tizimi. Ikki tenglamalar sistemasi bo'lsa

belgilaydi u Va v x va y o'zgaruvchilari va Yakobiy funktsiyalari sifatida

,

u holda bu funksiyalarning differentsiallarini (demak ularning qisman hosilalarini) tenglamalar tizimidan topish mumkin.

Misol: Tenglamalar u+v=x+y, xu+yv=1 aniqlash u Va v funktsiyalar sifatida X Va da; toping .

Yechim. 1-usul. Ikkala tenglamani x ga nisbatan ajratsak, biz quyidagilarni olamiz:

.

Shunga o'xshash tarzda biz quyidagilarni topamiz:

.

2-usul. Differensiallash orqali biz barcha to'rt o'zgaruvchining differentsiallarini bog'laydigan ikkita tenglamani topamiz: du +dv =dx +dy,xdu +udx +ydv+vdy =0.

Differensiallar uchun ushbu tizimni yechish du Va dv, biz olamiz:

4°. Parametrik funksiya spetsifikatsiyasi. Agar r o'zgaruvchilarning funktsiyasi X Va da tenglamalar orqali parametrik berilgan x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) Va

,

u holda bu funksiyaning differentsialini tenglamalar sistemasidan topish mumkin

Differensialni bilish dz=p dx+q dy, qisman hosilalarni topamiz va .

Misol. Funktsiya z argumentlar X Va da tenglamalar bilan berilgan x=u+v, y=u²+v², z=u²+v² (u≠v).

Toping va .

Yechim. 1-usul. Differensiallash orqali biz barcha besh o'zgaruvchining differentsiallarini bog'laydigan uchta tenglamani topamiz:

Birinchi ikkita tenglamadan biz aniqlaymiz du Va dv:

.

Topilgan qiymatlarni uchinchi tenglamaga almashtiramiz du Va dv:

.

2-usul. Uchinchi tenglamadan biz quyidagilarni topishimiz mumkin:

Birinchi ikkita tenglamani ga nisbatan farqlaylik X, keyin tomonidan da:

Birinchi tizimdan biz quyidagilarni topamiz: .

Ikkinchi tizimdan biz quyidagilarni topamiz: .

Ifodalar va formula (5) ga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

O'zgaruvchilarni almashtirish

Differensial ifodalarda o'zgaruvchilar almashtirilganda, ularga kiritilgan hosilalar murakkab funktsiyani farqlash qoidalariga muvofiq boshqa hosilalar bilan ifodalanishi kerak.

1°. Oddiy hosilalarni o'z ichiga olgan ifodalarda o'zgaruvchilarni almashtirish.

,

ishonish.

da tomonidan X ning hosilalari orqali da tomonidan t. Bizda ... bor:

,

.

Bu tenglamaga hosilalarning topilgan ifodalarini qo‘yish va almashtirish X orqali biz quyidagilarni olamiz:

Misol. Tenglamani aylantirish

,

argument sifatida qabul qilish da, va x funksiyasi uchun.

Yechim. ning hosilalarini ifodalaylik da tomonidan X ning hosilalari orqali X tomonidan u.

.

Ushbu hosila ifodalarni ushbu tenglamaga almashtirsak, biz:

,

yoki, nihoyat,

.

Misol. Tenglamani aylantirish

qutb koordinatalariga o'tish

x=r cos ph, y=r cos ph.

Yechim. O'ylab r funksiya sifatida φ , (1) formulalardan biz quyidagilarni olamiz:

dx = sosph dr – r sinph dph, dy=sinph+r cosph dph,

Ma'lumki, y= f(x) funksiyani x va y o'zgaruvchilarni bog'lovchi tenglama yordamida bilvosita belgilash mumkin:

F(x,y)=0.

Keling, tenglama qanday sharoitda tuzilganligini tuzamiz F(x,y)=0 o‘zgaruvchilardan birini ikkinchisining funksiyasi sifatida belgilaydi. Quyidagi gaplar haqiqat

Teorema (yashirin funktsiyaning mavjudligi) F(x,y) funksiya bo'lsin)=0 quyidagi shartlarga javob beradi:

1) bir nuqta bor P˳(x˳,y˳) , unda F(x˳,y˳)=0

2) F’y(x˳,y˳)≠ 0

3) F’x funksiyalari (x ,y)va F'y (x, y) nuqtaning ba'zi qo'shnilarida uzluksiz

P 0 (x 0 ,y 0).

U holda nuqtani o'z ichiga olgan qaysidir oraliqda aniqlangan va shu oraliqdan har qanday x uchun F(x,y)=0 tenglamani qanoatlantiradigan yagona y =f (x) funksiya mavjud bo'lib, f(x) 0)=y0

Agar y dan yashirin funksiyaga ega bo'lsa X, ya'ni F tenglamadan aniqlanadi ( X, da) = 0, deb faraz qilsak da dan funksiya mavjud X, biz identifikatsiyani olamiz F (X, da(X)) = 0, bu doimiy funktsiya sifatida qaralishi mumkin. Ushbu doimiy funktsiyani farqlab, biz quyidagilarni olamiz:

Agar bu nisbatda bo'lsa, unda siz topishingiz mumkin.

Differentsial munosabat (1) ni yana hosil qilamiz:

Munosabatlar (2) ikkinchi hosilani aniqlash uchun tenglama sifatida qaralishi mumkin. Differentsial munosabat (2) yana uchinchi hosilani aniqlash uchun tenglamani olamiz va hokazo.

Yo'nalishli hosila. Ikki va uchta o'zgaruvchili holatlar uchun yo'nalish vektori (yo'nalish kosinuslari). Funksiyaning berilgan yo‘nalishdagi o‘sishi. Yo'nalishli hosilaning ta'rifi, uning qisman hosilalari orqali ifodalanishi. Funktsiya gradienti. Ikki o'zgaruvchining funksiyasi uchun berilgan nuqtadagi gradient va daraja chizig'ining nisbiy holati.

Ikki oʻzgaruvchili z=f(x;y) funksiyaning I yoʻnalishidagi hosilasi z’I funksiyaning bu yoʻnalishdagi oʻsish sur’atining ∆I koʻchish kattaligiga nisbati chegarasi deyiladi, chunki ikkinchisi moyil boʻladi. 0 ga: z'i=lim∆iz /∆I

z’ I hosilasi funksiyaning i yo‘nalishdagi o‘zgarish tezligini xarakterlaydi.

Agar z=f(x;y) funksiya M(x;y) nuqtada uzluksiz qisman hosilalarga ega bo’lsa, u holda bu nuqtada M(x;y) nuqtadan chiquvchi istalgan yo’nalishdagi hosila mavjud bo’lib, u hisoblanadi. z'i =z'xˑcosa+z"yˑcosb formulasi bo'yicha, bu erda cosa, cosb vektorning yo'nalish o'qlari.

z=f(x,y) funksiyaning gradienti f’x, f’y koordinatali vektordir. z=(f’x,f’y) yoki bilan belgilanadi.

Yo'nalish hosilasi gradientning skalyar ko'paytmasiga va I yo'nalishni belgilovchi birlik vektoriga teng.

Har bir nuqtada z vektori funktsiyani oshirish yo'nalishi bo'yicha shu nuqtadan o'tadigan daraja chizig'iga normal yo'naltiriladi.

F’x va f’y qisman hosilalari Ox va Oy o’qlarining ikkita qisman yo’nalishi bo’yicha z=f(x,y) funksiyaning hosilalaridir.

Ayrim D, M(x,y) sohalarida z=f(x,y) differensiallanuvchi funksiya bo‘lsin. I qandaydir yo‘nalish bo‘lsin (M nuqtada kelib chiqqan vektor) va =(cosa;cosb).

M(x,y) nuqtani M1(x+∆x;y+∆y) nuqtaga I berilgan yo‘nalishda harakatlanayotganda z funksiya ∆iz=f(x+∆x;y+∆y)- o‘sishini oladi. f(x;y) z funksiyaning berilgan yo‘nalishdagi o‘sishi I deb ataladi.

Agar MM1=∆I bo'lsa, ∆x=∆icosa, ∆y=∆icosb, demak, ∆iz=f(x+∆icosa; y+∆icosb)-f(x;y) bo'ladi.