To'plam ekvivalentlik munosabati quyidagi xususiyatlarga ega. Ekvivalentlik munosabati. Ekvivalentlik va tartib munosabatlari
Izoh: Ekvivalentlik munosabati, qisman tartib munosabati va izomorf qisman to'plamlar kabi ko'plab yangi tushunchalar tavsiflanadi. Ushbu mavzu bo'yicha bir nechta teoremalar batafsil tushuntirishlar, grafiklar va misollar bilan isbotlangan. Qisman buyurtmalarning ko'p sonli misollari keltirilgan. Boshqalardan buyurtma qilingan to'plamlarni qurishga imkon beradigan bir nechta konstruktsiyalar tasvirlangan. Ma'ruza mustaqil hal qilish uchun ko'plab vazifalar bilan tavsiflanadi
Ekvivalentlik va tartib munosabatlari
Shuni eslatib o'tamiz ikkilik munosabat to'plamda kichik to'plam deyiladi; o'rniga 
tez-tez yozadi.
To'plamdagi ikkilik munosabat deyiladi ekvivalentlik munosabati, agar quyidagi xususiyatlar bajarilsa:
Quyidagi aniq, lekin tez-tez ishlatiladigan bayonot haqiqatdir:
11-teorema. (a) Agar to'plam ajratilgan kichik to'plamlar birligiga bo'lingan bo'lsa, "bir xil kichik to'plamda yotish" munosabati ekvivalentlik munosabati hisoblanadi.
(b) har qanday narsa ekvivalentlik munosabati ba'zi bir qismdan tasvirlangan usulda olinadi.
Isbot. Birinchi bayonot juda aniq; Ekvivalentlik ta'rifining barcha nuqtalari qayerda qo'llanilishini ko'rish uchun ikkinchisining isbotini beramiz. Demak, ekvivalentlik munosabati bo'lsin. Har bir element uchun uni ko'rib chiqing ekvivalentlik klassi- to'g'ri bo'lgan hammasi to'plami.
Ikki xil to'plam uchun bunday to'plamlar kesishmasligi yoki mos kelmasligini isbotlaylik. Ular kesishsin, ya'ni umumiy elementga ega bo'lsin. U holda va , qaerdan (simmetriya) va (o'tish qobiliyati), shuningdek (simmetriya). Shuning uchun, uning har biri uchun quyidagi (o'tish) va aksincha.
Shuni ta'kidlash kerakki, reflekslilik tufayli har bir element o'zi belgilaydigan sinfga tegishli, ya'ni butun to'plam haqiqatan ham ajratilgan sinflarga bo'linadi.
78. Simmetriya va tranzitivlik talablari bitta bilan almashtirilishi mumkinligini ko'rsating: (reflektorlik talabini saqlab qolgan holda).
79. To'plamda nechta turli ekvivalentlik munosabatlari mavjud 
?
80. To‘plamda ikkita ekvivalentlik munosabati berilgan bo‘lib, ular mos ravishda va , ega va ekvivalentlik sinflari bilan belgilanadi. Ularning kesishishi ekvivalentlik munosabati bo'ladimi? U nechta sinfga ega bo'lishi mumkin? Nima haqida ayta olasiz munosabatlarni birlashtirish?
81. (Remsi teoremasi) Cheksiz to'plamning barcha - elementar kichik to'plamlari to'plami sinflarga (, - natural sonlar) bo'linadi. borligini isbotlang cheksiz to'plam, barcha elementar kichik to'plamlari bir sinfga tegishli.
(Bu aniq: agar cheksiz to'plam cheklangan sonli sinflarga bo'linadi, u holda sinflardan biri cheksizdir. Qachon va bayonotni quyidagicha shakllantirish mumkin: cheksiz odamlar to'plamidan cheksiz ko'p juft tanishlarni yoki cheksiz ko'p juft begonalarni tanlash mumkin. Ushbu bayonotning yakuniy versiyasi - har qanday olti kishi orasida uchta juft tanish yoki uchta juft notanish odam borligi - maktab o'quvchilari uchun taniqli muammodir.)
Ekvivalentlik sinflari to'plami deyiladi omil - ko'p ekvivalentlik munosabati bilan to'plamlar. (Agar munosabat dagi qo'shimcha tuzilmalar bilan mos kelsa, biz omillar guruhlari, omil halqalari va boshqalarni olamiz.)
Biz ekvivalentlik munosabatlariga bir necha marta duch kelamiz, ammo hozircha bizning asosiy mavzuimiz tartib munosabatlari.
To'plamdagi ikkilik munosabat deyiladi qisman tartib munosabati, agar quyidagi xususiyatlar bajarilsa:
(An’anaga ko‘ra tartib munosabati belgisi sifatida belgidan (harf emas) foydalanamiz.) Qisman tartib munosabati berilgan to‘plam deyiladi. qisman buyurtma qilingan.
Ular ikkita elementni aytishadi qisman buyurtma qilingan to'plamlar solishtirish mumkin, agar yoki . E'tibor bering, qisman tartib ta'rifi to'plamning har qanday ikkita elementini solishtirishni talab qilmaydi. Ushbu talabni qo'shib, biz ta'rifni olamiz chiziqli tartib (chiziqli tartiblangan to'plam).
Bu erda qisman buyurtmalarga misollar keltirilgan:
- Odatiy tartib munosabati bilan raqamli to'plamlar (bu erda tartib chiziqli bo'ladi).
- Haqiqiy raqamlarning barcha juftliklari to'plamiga biz kiritishimiz mumkin qisman buyurtma, agar va . Bu tartib endi chiziqli bo'lmaydi: juftlarni solishtirish mumkin emas.
- Haqiqiy argumentlar va qiymatlarga ega bo'lgan funktsiyalar to'plamiga siz kiritishingiz mumkin qisman buyurtma, hisobga olgan holda agar
hammaning oldida. Bu tartib chiziqli bo'lmaydi. - Musbat butun sonlar to'plamida, agar bo'linadigan bo'lsa, tartibni aniqlashimiz mumkin. Bu tartib ham chiziqli bo'lmaydi.
- “Sonning har qanday tub bo‘luvchisi ham sonning bo‘luvchisidir” munosabati musbat butun sonlar to‘plamidagi tartib munosabati bo‘lmaydi (u refleksiv va o‘tishli, lekin antisimmetrik emas).
- Ixtiyoriy to'plam bo'lsin. Keyin, to'plamning barcha kichik to'plamlari to'plamida qo'shilish munosabati qisman tartib bo'ladi.
- Rus alifbosining harflarida an'ana ma'lum bir tartibni belgilaydi (). Bu tartib chiziqli - har qanday ikkita harf uchun qaysi biri birinchi kelishini aniqlashingiz mumkin (agar kerak bo'lsa, lug'atga qarab).
- Rus alifbosidagi so'zlar bilan belgilanadi leksikografik buyurtma (lug'atdagi kabi). Rasmiy ravishda uni quyidagicha aniqlash mumkin: agar so'z so'zning boshi bo'lsa, u holda (masalan, ). Agar so'zlarning hech biri boshqasining boshi bo'lmasa, so'zlar bir-biridan farq qilish tartibida birinchi harfga qarang: alifbo tartibida bu harf kichikroq bo'lgan so'z kichikroq bo'ladi. Bu tartib ham chiziqli (aks holda lug'at tuzuvchilar nima qiladi?).
- Tenglik munosabati () ham qisman tartib munosabati, ular uchun ikki xil elementni solishtirish mumkin emas.
- Keling, kundalik misol keltiraylik. Karton qutilar ko'p bo'lsin. Keling, agar quti to'liq qutiga to'g'ri kelsa (yoki agar va bir xil quti bo'lsa) hisobga olinsa, unga tartib kiritamiz. Qutilar to'plamiga qarab, bu tartib chiziqli bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin.
MUNOSABAT
Aloqalar - bir xil to'plam elementlari o'rtasidagi yozishmalar, ya'ni asosiy to'plamlari mos keladigan yozishmalar:
x A, y A munosabat G = ((x,y)| P(x,y)), P(x,y) ba'zi bir bayonot (predikat).
Agar (x,y) G, keyin shunday deyishadi X munosabatda bo‘lishadi G Kimga da.
Masalan, bir xil qoldiqga ega bo'lish (raqamlar uchun), chiziqdan bir xil masofada bo'lish (ballar uchun), oilaviy munosabatlar yoki qo'shnichilik munosabatlari (ko'p odamlar uchun).
Aniqroq ta'rif:
Ikkilik munosabat ikkita to'plamdan iborat:
1) qo'llab-quvvatlovchi to'plam A,
2) tayanch toʻplam kvadratining kichik toʻplami boʻlgan G=((x,y)| x A, y A) juftlar toʻplami.
n-ariy munosabat yoki n-ar (uchlik, toʻrtlamchi, ...) munosabat tayanch toʻplamdir. A va kortej o'lchovlari to'plamlari n, bu toʻplamning kichik toʻplamidir A n.
Uchlik munosabatlariga misol: "uch o'yinchi" ning bir qismi bo'lish.
Agar munosabat shunchaki kortejlar to'plami sifatida tushunilsa (qo'llab-quvvatlovchi to'plamsiz), u holda to'plamlar nazariyasining barcha qonunlaridan foydalanish mumkin. Umumjahon to'plam qo'llab-quvvatlovchi to'plamning kvadrati bo'ladi, ya'ni barcha mumkin bo'lgan kortejlar to'plami (har bir element har bir boshqa elementga nisbatan bo'lganda).
Munosabatni ob'ekt o'zgaruvchilarining ikki o'rinli predikati sifatida ham aniqlash mumkin x, y, agar “true” qiymatini oladi (x, y) G va agar tegishli bo'lmasa false.
Belgilar: (x, y) G, u = G(x), u = Gx yoki oddiygina xGu, masalan, tenglik munosabati (x = y), tartib munosabati (X< у) .
Agar (x, y) G, Bu xGu"to'g'ri" qiymatini oladi, aks holda - "noto'g'ri".
Agar munosabatlar diskret to'plamda aniqlansa, ularni matritsa shaklida yozish mumkin
A i, j = 
Munosabat - bu yozishmalarning maxsus holati, buning uchun siz teskari munosabatlarni, munosabatlar tarkibini kiritishingiz mumkin:
G -1 =((y,x)| (x,y) G), G ◦ D = ((x,z) | y ((x,y) G &(y,z D))).
Ular "birlik elementi" D 0 = ((x, x)) - "o'ziga nisbatan bo'lish" tushunchasini kiritadilar. Matritsani tasvirlashda bu asosiy diagonal bo'ladi).
Binar munosabatlarning xossalari
1 Reflektorlik – "o'ziga nisbatan munosabatda bo'lish"
xGx - rost(masalan, munosabatlar x=x, x≤x, x≥x).
2 Anti-reflektorlik - "o'ziga nisbatan munosabatda bo'lmaslik"
xGx - yolg'on(masalan, munosabatlar x≠x, x
Agar to'plam "refleksiv" bo'lmasa, bu uning "anti-reflektor" ekanligini anglatmaydi.
3 Simmetriya "Qaysi element birinchi va qaysi ikkinchi bo'lgan mustaqillik"
xGu – haqiqat → uGx – haqiqat(masalan, munosabatlar x=y, x≠y).
4 Antisimmetriya "oshmaslik"
(xGy – rost) & (yGx – rost) → (x=y) (masalan, munosabatlar x≤y, x≥y).
5 Asimmetriya (nosimmetriya) "o'tish"
xGy - rost → yGx - noto'g'ri (masalan, munosabatlar X<у, х>da).
6. Tranzitivlik "yuqish"
(xGu – rost) & (yGz – rost) → (xGz – rost)(masalan, munosabatlar x=y, x<у, х>y, x≤y, x≥y, munosabat x≠y tranzitivlikka ega emas).
MAXSUS BINAR MUNOSABATLAR
“Ekvivalentlik munosabati”, “qat’iy tartib munosabati”, “qat’iy tartib munosabati” va “hukmronlik munosabati”ni ko‘rib chiqamiz.
Ekvivalentlik munosabati
Ekvivalentlik munosabati refleksivdir(x~x), simmetrik ((x~y)=(y~x)), tranzitiv ((x~y)&(y~z)→(x~z)) munosabat.
Misollar: to'plamlarning tengligi, o'ziga xosligi, ekvivalentligi, mantiqiy bayonotlarning ekvivalentligi, geometrik figuralarning o'xshashligi, chiziqlar parallelligi, lekin chiziqlarning perpendikulyarligi ekvivalentlik munosabati emas.
Bitta elementga ekvivalent bo'lgan elementlarning kichik to'plami deyiladi ekvivalentlik klassi yoki tegishli sinf.
Sinfning har qanday elementi sinf vakili deb ataladi.
Xususiyatlari.
Sinfdagi barcha elementlar bir-biriga ekvivalentdir.
Turli sinflarning elementlari ekvivalent emas.
Bitta element faqat o'z sinfiga tegishli bo'lishi mumkin.
Butun to'plamni sinflar birlashmasi sifatida ko'rsatish mumkin.
Shunday qilib, ekvivalentlik sinflari to'plami yoki sinflarning to'liq tizimi qo'llab-quvvatlovchi to'plamning bir qismini tashkil qiladi. Eslatma: to'plamni qismlarga bo'lish uni ajratilgan kichik to'plamlar sifatida ifodalaydi.
Bo'lim indeksi– ekvivalentlik sinflari soni.
Faktor to'plami ekvivalentlik munosabatiga kelsak, bu barcha sinflar yoki sinf vakillarining to'plamidir.
Faktorlar to'plamining kardinalligi bo'linish indeksiga teng.
O'zaro munosabatlarni tartibga solish
Tartib munosabati ikki turdagi ikkilik munosabatlarni bildiradi.
Munosabat bo'sh tartib refleksiv deyiladi (x≥x), antisimmetrik ((x≤y)&(y≤x)→ (x=y)), tranzitiv ((x≥y)&(y≥z)→(x≥z)) munosabat.
Ularning aytishicha, to'plam bo'sh tartibli. ≤ , ≥ tushunchalari kengroq ma’noga ega: yomonroq emas – yaxshi emas, avvalroq – kech emas va hokazo. To'plamlar nazariyasida qat'iy bo'lmagan tartib misoli qat'iy bo'lmagan qo'shilishdir (boshqa to'plamning kichik to'plami bo'lgan0.
Munosabat qat'iy tartib antirefleksiv deb ataladi ((X
((x>y)&(y
Ularning aytishicha, to'plamda qat'iy tartib bor. Kontseptsiyalarda< , >ular kengroq ma'noga ega: yomonroq - yaxshiroq, oldinroq - keyinroq va hokazo. To'plamlar nazariyasida qat'iy tartibning namunasi - qat'iy inklyuziya (boshqa to'plamning kichik to'plami bo'lish, unga teng bo'lmagan holda).
Buyurtma qilingan to'plamlar
To'plam deyiladi chiziqli tartiblangan, agar biron bir elementni solishtirish mumkin bo'lsa (ya'ni: kattaroq, kichik yoki teng).
Haqiqiy yoki butun sonlar to'plami: tartiblangan to'plamning klassik misollari.
Agar barcha juft elementlar uchun emas, balki to‘plamda tartib munosabatini o‘rnatish mumkin bo‘lsa, bunday to‘plam deyiladi. qisman buyurtma qilingan.
Bu vektorlar to'plami, kompleks sonlar to'plami, to'plamlar nazariyasidagi to'plamlar. Ba'zi hollarda biz "ko'proq - kamroq" yoki "ustun va kichik to'plam bo'l" deb aytishimiz mumkin, lekin hamma hollarda emas.
Tegishli ta'riflar
Barcha ekvivalentlik sinflari to'plami bilan belgilanadi.
Ekvivalentlik munosabatlariga misollar
Murakkabroq misol, lekin juda muhim:
Shifokor sizga dori-darmonlarni buyurganda, u haqiqatan ham retseptda ekvivalent dorilar sinfini ko'rsatadi, u planshetlar yoki ampulalar paketining to'liq aniq nusxasini ko'rsata olmaydi. Bular. Dori vositalarining barcha turlari ekvivalentlik munosabatlariga ko'ra sinflarga bo'linadi. Agar bu haqiqat bo'lmaganida, zamonaviy tibbiyot shunchaki mumkin emas edi.
Shunday qilib, barcha turdagi salatlar va kokteyl retseptlari, GOSTlar va tasniflagichlar ham hayotiy ekvivalentlik munosabatlarini aniqlaydi. Ekvivalentlik munosabatlari bizning butun hayotimizni to'ldiradi va matematiklar uchun mavhum o'yin-kulgi emas.
Xaritalarni faktorizatsiya qilish
Ekvivalentlik munosabatiga mos keladigan ekvivalentlik sinflari to'plami belgi bilan belgilanadi va deyiladi. omillar to'plami nisbatan. Bundan tashqari, sur'ektiv xaritalash
chaqirdi tabiiy ko'rinish(yoki kanonik proyeksiya) faktorlar to'plamiga.
, to'plamlar bo'lsin, xaritalash bo'lsin, keyin qoida bilan aniqlangan ikkilik munosabat
bo'yicha ekvivalentlik munosabati hisoblanadi. Bunday holda, xaritalash qoida bilan belgilangan xaritalashni keltirib chiqaradi
yoki bir xil narsa,
.Bunday holda, bu chiqadi faktorizatsiya sur'ektiv xaritalash va in'ektiv xaritalash uchun xaritalashlar.
Xaritani faktorizatsiya qilish gumanitar fanlarda va texnologiyaning raqamli qiymatlardan foydalanish mumkin bo'lmagan sohalarida keng qo'llaniladi. Xaritalash faktorizatsiyasi formulalar ishlatilmaydigan joyda formulalarsiz bajarishga imkon beradi. Keling, har kimga tushunarli bo'lgan va murakkab matematik simvolizmni tushunishni talab qilmaydigan misol keltiraylik.
Maktab jadvali faktorizatsiyaning odatiy namunasidir. Bunday holda, barcha maktab o'quvchilarining to'plami, barcha o'quv fanlari to'plami, haftaning kunlari bo'yicha taqsimlanadi, mashg'ulotlar vaqtini ko'rsatadi. Ekvivalent sinflar sinflar (talabalar guruhlari). Displey - talabalar kundaliklarida ko'rsatiladigan dars jadvali. Displey - maktab qabulxonasiga joylashtirilgan dars jadvali. Bundan tashqari, bu erda displey mavjud - sinflar ro'yxati. Ushbu misol faktorizatsiyaning amaliy afzalliklarini juda aniq ko'rsatib turibdi: sinf jadvalini maktabning barcha o'quvchilarini alohida aks ettiruvchi jadval sifatida tasavvur qilib bo'lmaydi. Faktorizatsiya talabalarga kerakli ma'lumotlarni formulalarni qo'llash mumkin bo'lmagan holatlarda foydalanish uchun qulay ixcham shaklda ko'rsatish imkonini berdi.
Biroq, faktorizatsiyaning afzalliklari bu bilan cheklanmaydi. Faktorizatsiya faoliyat ishtirokchilari o'rtasida mehnat taqsimotiga imkon berdi: bosh o'qituvchi jadval tuzadi, o'quvchilar esa kundaliklariga yozib qo'yadi. Xuddi shunday, retseptlarni faktorizatsiya qilish tashxis qo'yuvchi va retsept yozuvchi shifokor va retseptlangan dori vositalarining ekvivalentligini ta'minlaydigan farmatsevt o'rtasida mehnat taqsimotiga ruxsat berdi. Faktorizatsiyaning apofeozi qismlarni standartlashtirish orqali maksimal mehnat taqsimotini amalga oshiradigan konveyer tasmasi hisoblanadi.
Ammo faktorizatsiyaning afzalliklari bu bilan cheklanmaydi. Faktorizatsiya zamonaviy texnologiyalarning modulliligini ta'minlashga imkon berdi, bu esa unga funktsiyalarning misli ko'rilmagan moslashuvchanligini beradi. Eski SIM-kartani saqlashingiz va u bilan birga borish uchun butunlay yangi telefon sotib olishingiz yoki eski kompyuteringizga yangi video xotirani kiritishingiz mumkin. Bularning barchasi faktorizatsiyaga asoslangan moslashuvchanlik, modullikdir.
Adabiyot
- A. I. Kostrikin, Algebra faniga kirish. M.: Nauka, 1977, 47-51.
- A. I. Maltsev, Algebraik tizimlar, M.: Nauka, 1970, 23-30.
- V. V. Ivanov, Matematik tahlil. NSU, 2009 yil.
Shuningdek qarang
- Tolerantlik munosabati ekvivalentlikning zaiflashgan shaklidir.
- Ekvivalentlik mantiqiy amaldir.
Wikimedia fondi. 2010 yil.
- Kasalxona pnevmoniyasi
- Mitel
Boshqa lug'atlarda "Ekvivalentlik munosabati" nima ekanligini ko'ring:
ekvivalentlik munosabati- - Telekommunikatsiya mavzulari, asosiy tushunchalar EN ekvivalentlik munosabati... Texnik tarjimon uchun qo'llanma
Tenglik turi munosabati- turli ob'ektlarda bir xil belgilar (xossalar) mavjudligi faktini ifodalovchi ekvivalentlik munosabati, mantiq va matematika tushunchasi. Bunday umumiy xususiyatlarga kelsak, bu turli xil ob'ektlarni ajratib bo'lmaydi (bir xil, teng, ... ...
Tolerantlik munosabati- Bu atamaning boshqa maʼnolari ham bor, qarang: Tolerantlik. To'plamdagi tolerantlik munosabati (yoki oddiygina tolerantlik) reflekslik va simmetriya xususiyatlarini qondiradigan ikkilik munosabatdir, lekin bu shart emas... ... Vikipediya
Nisbat (matematika)- Bu atamaning boshqa maʼnolari ham bor, qarang. Aloqa - bu turli ob'ektlarning xususiyatlarini va ularning munosabatlarini rasmiy ravishda belgilaydigan matematik tuzilma. Aloqalar odatda bog'langan ob'ektlar soni bo'yicha tasniflanadi... Vikipediya
MUNOSABAT- mantiqda, xususiyatdan farqli o'laroq, alohida ob'ektni emas, balki juftlik, uchlik va hokazolarni tavsiflovchi narsa. buyumlar. Anʼanaviy mantiq O.ni hisobga olmadi; zamonaviy mantiqda O. ikki yoki undan ortiq oʻzgaruvchining taklif funksiyasi. Ikkilik... Falsafiy entsiklopediya
Afzallik munosabatlari- iste'molchi nazariyasida bu iste'molchining turli xil tovarlar to'plamini (iste'molchi to'plamlarini) taqqoslash (istaganligi bo'yicha buyurtma) qobiliyatining rasmiy tavsifi. Imtiyoz munosabatlarini tasvirlash uchun naflilikni o'lchash shart emas... ... Vikipediya
Munosabat (falsafiy)-munosabat, ma'lum bir tizim elementlarining joylashishi va ularning o'zaro bog'liqligini ifodalovchi falsafiy kategoriya; shaxsning biror narsaga hissiy-irodaviy munosabati, ya'ni o'z pozitsiyasini ifodalash; turli ob'ektlarni aqliy taqqoslash ... ... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi
munosabat- MUNOSABAT - tartiblangan n ok individlar to'plami (bu erda n - 1), ya'ni. ikki, uch va boshqalar. n soni “mahalliylik”, yoki “arity”, O. deb ataladi va shunga koʻra ular n mahalliy (n arno) O. haqida gapiradilar. Shunday qilib, masalan, qoʻsh O. deyiladi... ... Epistemologiya va fan falsafasi entsiklopediyasi
Munosabat- I Munosabat - muayyan tizim elementlarining joylashishi va ularning o'zaro bog'liqligini ifodalovchi falsafiy kategoriya; shaxsning biror narsaga hissiy-irodaviy munosabati, ya'ni o'z pozitsiyasini ifodalash; turli xil aqliy taqqoslash ... ... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi
Ekvivalentlik klassi- X to‘plamdagi ekvivalentlik munosabati () ikkilik munosabat bo‘lib, uning uchun quyidagi shartlar bajariladi: Reflektorlik: X dagi har qanday a uchun, Simmetriya: agar, u holda, O‘tish qobiliyati: agar... Vikipediya
Kitoblar
- Qiyosiy noaniqlik sharoitida moliyaviy qarorlar qabul qilish: Monografiya, Bayuk O.A.. Monografiyada qiyoslab bo'lmaydigan ob'ektlar orasidan tanlashda qaror qabul qilishning yangi mantiqiy strategiyasi ishlab chiqiladi va nazariy jihatdan asoslanadi, alohida afzallik munosabatlarini o'rnatadi va...
I. Sinflarga bo‘linish. Ekvivalentlik munosabati
Ta'rif 2.1. Berilgan M to‘plamining ma’lum bir vaziyatda muhim bo‘lgan bir xil rasmiy belgilar to‘plamiga ega bo‘lgan ob’yektlari va faqat o‘zaro almashinadigan ob’ektlar deb ataymiz.
X ob'ekt bilan almashinadigan barcha ob'ektlar to'plamini M x bilan belgilaymiz. Ko'rinib turibdiki, x M x va barcha M x ning birlashishi (M dan barcha mumkin bo'lgan x uchun) M to'liq to'plamga to'g'ri keladi:
Keling, shunday da'vo qilaylik. Bu shuni anglatadiki, qandaydir z elementi borki, u bir vaqtning o'zida va va ga tegishli. Demak, x z bilan, z esa y bilan almashtiriladi. Demak, x ni y bilan, shuning uchun ning istalgan elementi bilan almashtirish mumkin. Shunday qilib. Teskari o'tish xuddi shu tarzda ko'rsatiladi. Shunday qilib, (2.1) birlashmada uchraydigan to'plamlar kesishmaydi yoki butunlay mos keladi.
Ta'rif 2.2. M to‘plamning bo‘sh bo‘lmagan kichik to‘plamlar tizimini (M 1, M 2,….) ushbu to‘plamning bo‘limi deb ataymiz, agar
To'plamlarning o'zi bo'lim sinflari deb ataladi.
Ta'rif 2.3. M to‘plamdagi c munosabat, agar M to‘plamning shunday bo‘limi (M 1, M 2,...) bo‘lsa, (x, y) faqat x va bo‘lgandagina o‘rinli bo‘lsa, ekvivalentlik (yoki ekvivalentlik munosabati) deyiladi. y berilgan qismning M i qandaydir umumiy sinfiga tegishli.
(M 1 , M 2 ,….) M toʻplamning boʻlimi boʻlsin. Shu boʻlimga asoslanib, c dan M ga munosabatni aniqlaymiz: (x, y), agar x va y qandaydir umumiy M i sinfiga tegishli boʻlsa. ushbu bo'limdan. Shubhasiz, bilan munosabat ekvivalentlikdir. Berilgan bo'limga mos keladigan ekvivalentlik munosabati bilan chaqiramiz.
Ta'rif 2.4. Agar har bir M i to‘plamda uning tarkibidagi x i elementni tanlasak, u holda bu element bir xil M i to‘plamga kiritilgan har bir y element uchun standart deb ataladi. Ta'rifga ko'ra, c* "standart bo'lish" (x i, y) munosabati bajarilgan deb faraz qilaylik.
Berilgan bo'limga mos keladigan c ekvivalentini quyidagicha aniqlash mumkinligini ko'rish oson: (z, y) agar z va y umumiy standart (x i, z) va (x i, y) bo'lsa.
2.1-misol: manfiy bo'lmagan butun sonlar to'plamini M deb hisoblaymiz va uning qismini M 0 juft sonlar to'plamiga va M 1 toq sonlar to'plamiga olamiz. Butun sonlar to‘plamidagi mos keladigan ekvivalentlik munosabati quyidagicha ifodalanadi:
va o'qiydi: n m moduli 2 bilan solishtirish mumkin. Standart sifatida juft sonlar uchun 0 va toq sonlar uchun 1 ni tanlash tabiiydir. Xuddi shunday M to‘plamni k kichik to‘plamlarga bo‘lish M 0, M 1,... M k-1, bu yerda M j barcha sonlardan iborat bo‘lib, k ga bo‘linganda j qoldiqni beradi, biz ekvivalentlik munosabatiga kelamiz:
Bu o'rinli bo'ladi, agar n va m k ga bo'linganda bir xil qoldiq bo'lsa.
Har bir M jda mos keladigan j qoldiqni standart sifatida tanlash tabiiydir.
II. Faktorlar to'plami
Ekvivalentlik munosabati bo'lsin. Keyin, teoremaga ko'ra, M to'plamning bir-biriga ekvivalent elementlar sinflariga bo'linishi (M 1, M 2,....) mavjud - ekvivalentlik sinflari deb ataladi.
Ta'rif 2.5. Munosabatlar bo'yicha ekvivalentlik sinflari to'plami M/ bilan belgilanadi va M to'plamning munosabatga nisbatan bo'laklar to'plami sifatida o'qiladi.
m: M > S M to‘plamining qandaydir S to‘plamga sur’ektiv xaritasi bo‘lsin.
Har qanday m: M > S - sur'ektiv xaritalash uchun M to'plamda shunday ekvivalentlik munosabati mavjudki, M/ va S ni birma-bir yozishmalarga qo'yish mumkin.
III. Ekvivalentlik xossalari
Ta'rif 2.6. M to'plamdagi c munosabat refleksiv, simmetrik va o'tishli bo'lsa, ekvivalentlik munosabati deyiladi.
2.1 teorema: Agar M to‘plamdagi c munosabat refleksiv, simmetrik va o‘tishli bo‘lsa, M to‘plamning shunday bo‘limi (M 1, M 2,….) mavjud bo‘ladiki, (x, y) faqat x va bo‘lgandagina o‘rinli bo‘ladi. y berilgan qismning M i umumiy sinfiga mansub.
Aksincha: Agar bo'lim berilgan bo'lsa (M 1, M 2,....) va ikkilik munosabat c "bo'linishning umumiy sinfiga tegishli" deb berilgan bo'lsa, u holda c refleksiv, simmetrik va o'tish xususiyatiga ega.
Isbot:
M ga refleksiv, simmetrik va tranzitiv munosabatni ko'rib chiqing. Har qanday z dan iborat bo'lsin, ular uchun (x, z) c
Lemma 2.1: Har qanday x va y uchun, yoki
C munosabatining lemmasi va refleksivligidan kelib chiqadiki, shakl toʻplamlari M. toʻplamning boʻlimini tashkil qiladi (bu boʻlimni tabiiy ravishda asl munosabatga mos boʻlgan boʻlim deyish mumkin). Keling, (x, y) c. Bu shuni anglatadiki, y. Lekin (x, x) c tufayli x ham. Shunday qilib, ikkala element ham kiritilgan. Demak, agar (x, y) c bo'lsa, u holda x va y umumiy bo'limlar sinfiga kiradi. Aksincha, u va v. Keling, (u, v) c ekanligini ko'rsataylik.Haqiqatan ham, bizda (x, u) c va (x, v) c mavjud. Demak, simmetriya bo'yicha (u, x) c. O'tish qobiliyatiga ko'ra, (u, x) c va (x, v) c dan (u, v) c keladi. Teoremaning birinchi qismi isbotlangan.
M to'plamning bo'limi (M 1, M 2,....) berilsin. bo'limning barcha sinflarining birlashishi M bilan mos keladi, keyin har qanday x qaysidir sinfga kiradi. Bundan kelib chiqadiki (x, x) c, ya'ni. s - refleksli. Agar x va y qaysidir sinfda bo'lsa, u holda y va x bir sinfda. Bu shuni anglatadiki, (x, y) c (y, x) c ni nazarda tutadi, ya'ni. munosabat nosimmetrikdir. Endi (x, y) c va (y, z) c ushlab tursin. Bu shuni anglatadiki, x va y qaysidir sinfda, y va z esa qaysidir sinfda. Sinflar umumiy y elementiga ega va shuning uchun bir-biriga mos keladi. Bu degani, x va z sinfga kiritilgan, ya'ni. (x, z) o‘rinli bo‘ladi va munosabat o‘tishli. Teorema isbotlangan.
IV. Ekvivalentlar bo'yicha operatsiyalar.
Bu erda biz ekvivalentlik bo'yicha ba'zi to'plam nazariy operatsiyalarini aniqlaymiz va ularning muhim xususiyatlarini isbotsiz keltiramiz.
Eslatib o'tamiz, munosabat juftlik (), bu erda M - munosabatlarga kiruvchi elementlar to'plami va munosabatlar qanoatlantiriladigan juftliklar to'plamidir.
Ta'rif 2.7. (c 1, M) va (c 2, M) munosabatlarning kesishishi mos keladigan kichik to'plamlarning kesishishi bilan aniqlangan munosabatdir. (x, y) 1 bilan 2 bilan, agar (x, y) 1 bilan va (x, y) bir vaqtning o'zida 2 bo'lsa.
Teorema 2.2: Ekvivalentlarning 1 bilan 2 bilan 1 bilan 2 kesishishining o‘zi ekvivalentlik munosabatidir.
Ta'rif 2.8. (1, M bilan) va (2, M bilan) munosabatlar birligi mos keladigan kichik to'plamlarning birlashuvi bilan belgilanadigan munosabatdir. (x, y) 1 bilan 2 bilan, agar (x, y) 1 bilan yoki (x, y) 2 bo‘lsa.
2.3 teorema: 1 ga 2 ga teng ekvivalentlarning birlashuvi o'z-o'zidan ekvivalentlik munosabati bo'lishi uchun zarur va etarli.
1 dan 2 gacha = 1 dan 2 gacha
Ta'rif 2.9. (c 1, M 1) va (c 2, M 2) munosabatlarning bevosita yig'indisi nisbat deb ataladi). To'g'ridan-to'g'ri yig'indi (c 1, M 1) (c 2, M 2) bilan belgilanadi.
Shunday qilib, agar (c 1, M 1) (c 2, M 2) = (), u holda M =.
2.4 teorema: Agar, va munosabatlari tenglik bo’lsa, u holda (c 1, M 1) (c 2, M 2) = () munosabatlarning to’g’ridan-to’g’ri yig’indisi ham ekvivalent hisoblanadi.
V. Munosabatlar turlari
Keling, munosabatlarning yana bir nechta muhim turlarini keltiramiz. Uchinchi bobda misollar keltiriladi.
Ta'rif 2.10. M to'plamdagi c munosabat refleksiv va simmetrik bo'lsa, tolerantlik deyiladi.
Ta'rif 2.11. M to'plamdagi c munosabati, agar u refleksga qarshi va o'tishli bo'lsa, qat'iy tartibli munosabat deyiladi.
Ta'rif 2.12. Agar M dan x va y elementlarning har qanday juftligi uchun (x, y) yoki (y, x) to'g'ri bo'lsa, qat'iy tartib munosabati c mukammal qat'iy tartib deyiladi.
Ta'rif 2.13. M to'plamdagi c munosabat, agar u quyidagi ko'rinishda ifodalanishi mumkin bo'lsa, qat'iy bo'lmagan tartibli munosabat deyiladi:
bu erda M ustida qat'iy tartib mavjud va E diagonal munosabatdir.
Ma’ruza 22. To‘plamdagi ekvivalentlik va tartib munosabatlari
1. Ekvivalentlik munosabati. Ekvivalentlik munosabati va to'plamning sinflarga bo'linishi o'rtasidagi bog'liqlik.
2. Tartib munosabati. Qat'iy va qat'iy bo'lmagan tartib munosabatlari, chiziqli tartib munosabatlari. To'plamlarga buyurtma berish.
3. Asosiy xulosalar
Keling, kasrlar to'plamini ko'rib chiqaylik X= (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) tenglik munosabati. Bu munosabat:
Refleksli ravishda, chunki har bir kasr o'ziga teng;
Nosimmetrik tarzda, chunki fraktsiyadan m/n kasrga teng p/q, bundan kasr kelib chiqadi p/q kasrga teng m/n;
O'tish davri, chunki fraktsiya m/n kasrga teng p/q va kasr p/q kasrga teng r/s, bundan kasr kelib chiqadi m/n kasrga teng r/s.
Kasrlar tengligi munosabati deyiladi ekvivalentlik munosabati.
Ta'rif. X to'plamdagi R munosabati, agar u bir vaqtning o'zida reflektorlik, simmetriya va tranzitivlik xossalariga ega bo'lsa, ekvivalentlik munosabati deyiladi.
Ekvivalentlik munosabatlariga misol qilib, geometrik figuralarning tenglik munosabatlarini, chiziqlarning parallellik munosabatini keltirish mumkin (agar mos keladigan chiziqlar parallel deb hisoblansa).
Nima uchun matematikada bu turdagi munosabatlar alohida ajratilgan? To'plamda aniqlangan kasrlar tengligi munosabatini ko'rib chiqing X= (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) (106-rasm). Ko'ramiz, to'plam uchta kichik to'plamga bo'lingan: (1/2, 2/4, 3/6), (1/3, 2/6), (1/4). Bu kichik to'plamlar kesishmaydi va ularning birlashishi to'plam bilan mos keladi X, bular. bizda to'plamning bir qismi bor X sinflarga. Bu tasodif emas.
Umuman, agar X to'plamda ekvivalentlik munosabati berilgan bo'lsa, u holda bu to'plamning juft bo'linadigan kichik to'plamlarga (ekvivalentlik sinflari) bo'linishini hosil qiladi.
Shunday qilib, biz kasrlar to'plamiga (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) tenglik munosabati ushbu to'plamning ekvivalentlik sinflariga bo'linishiga mos kelishini aniqladik. , ularning har biri o'zaro teng kasrlardan iborat.
Qarama-qarshilik ham to'g'ri: agar X to'plamida aniqlangan har qanday munosabat ushbu to'plamning sinflarga bo'linishini hosil qilsa, u ekvivalent munosabatdir.
Misol uchun, to'plamda X =(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) “3 ga bo‘linganda bir xil qoldiqga ega bo‘lish” munosabati. U to'plamning bir qismini yaratadi X sinflarga bo'linadi: biri 3 ga bo'linganda 0 qoldig'ini (bular 3, 6, 9 raqamlari) qoldiradigan barcha raqamlarni o'z ichiga oladi, ikkinchisiga - 3 ga bo'linganda 1 qoldig'ini qoldiradigan raqamlar (bular 1, 4 raqamlari). , 7 , 10) va uchinchisida - barcha raqamlar, 3 ga bo'linganda, qoldiq 2 ga teng (bu raqamlar 2, 5, 8). Haqiqatan ham, hosil bo'lgan kichik to'plamlar kesishmaydi va ularning birlashishi to'plam bilan mos keladi X. Shunday qilib, to'plamda "3 ga bo'linganda bir xil qoldiqga ega" munosabati aniqlangan. X, ekvivalentlik munosabati hisoblanadi. E'tibor bering, ekvivalentlik munosabati va to'plamning sinflarga bo'linishi o'rtasidagi bog'liqlik haqidagi bayonot isbot talab qiladi. Biz uni qo'yamiz. Aytaylik, agar ekvivalentlik munosabati nomga ega bo'lsa, u holda sinflarga tegishli nom beriladi. Misol uchun, agar segmentlar to'plamida tenglik munosabati ko'rsatilgan bo'lsa (va u ekvivalentlik munosabati bo'lsa), unda segmentlar to'plami teng segmentlar sinflariga bo'linadi (99-rasmga qarang). O'xshashlik munosabati uchburchaklar to'plamining o'xshash uchburchaklar sinflariga bo'linishiga mos keladi.
Shunday qilib, ma'lum bir to'plamda ekvivalentlik munosabatiga ega bo'lgan holda, biz bu to'plamni sinflarga bo'lishimiz mumkin. Lekin siz buning aksini ham qilishingiz mumkin: avval to‘plamni sinflarga bo‘ling, so‘ngra ikki element ko‘rib chiqilayotgan bo‘limning bir sinfiga tegishli bo‘lsa, ekvivalent ekanligini hisobga olib, ekvivalentlik munosabatini aniqlang.
Ayrim ekvivalentlik munosabati yordamida to‘plamni sinflarga bo‘lish prinsipi matematikaning muhim tamoyilidir. Nega?
Birinchidan, ekvivalent - bu ekvivalent, almashtiriladigan ma'noni anglatadi. Shuning uchun bir xil ekvivalentlik sinfining elementlari bir-birini almashtiradi. Shunday qilib, bir xil ekvivalentlik sinfidagi (1/2, 2/4, 3/6) kasrlarni tenglik munosabati nuqtai nazaridan ajratib bo'lmaydi va 3/6 kasr boshqasi bilan almashtirilishi mumkin, masalan, 1 /2. Va bu almashtirish hisob-kitoblar natijasini o'zgartirmaydi.
Ikkinchidan, ekvivalentlik sinfida qandaydir munosabat nuqtai nazaridan farqlanmaydigan elementlar mavjud bo'lganligi sababli, ekvivalentlik sinfi uning har qanday vakili tomonidan belgilanadi deb hisoblaymiz, ya'ni. bu sinfning ixtiyoriy elementi. Shunday qilib, teng kasrlarning har qanday sinfi ushbu sinfga tegishli har qanday kasrni ko'rsatish orqali aniqlanishi mumkin. Ekvivalentlik sinfini bitta vakil tomonidan aniqlash, to'plamning barcha elementlari o'rniga, ekvivalentlik sinflaridan alohida vakillar to'plamini o'rganishga imkon beradi. Misol uchun, ko'pburchaklar to'plamida aniqlangan "bir xil miqdordagi cho'qqilarga ega bo'lish" ekvivalentlik munosabati ushbu to'plamning uchburchaklar, to'rtburchaklar, beshburchaklar va boshqalar sinflariga bo'linishini hosil qiladi. Muayyan sinfga xos xususiyatlar uning vakillaridan birida ko'rib chiqiladi.
Uchinchidan, to'plamni ekvivalentlik munosabati yordamida sinflarga bo'lish yangi tushunchalarni kiritish uchun ishlatiladi. Masalan, "chiziqlar to'plami" tushunchasini parallel chiziqlar uchun umumiy bo'lgan narsa sifatida aniqlash mumkin.
Umuman olganda, shaxs ishlaydigan har qanday kontseptsiya ma'lum bir ekvivalentlik sinfini ifodalaydi. "Stol", "uy", "kitob" - bu tushunchalarning barchasi bir xil maqsadga ega bo'lgan ko'plab aniq ob'ektlar haqidagi umumlashtirilgan g'oyalardir.
O'zaro munosabatlarning yana bir muhim turi tartib munosabatlari.
Ta'rif. X to‘plamdagi R munosabati, agar u bir vaqtning o‘zida antisimmetriya va tranzitivlik xossalariga ega bo‘lsa, tartib munosabati deyiladi. .
Tartib munosabatlariga misollar: natural sonlar to'plamidagi "kichik" munosabati; Segmentlar to'plamida munosabatlar "qisqaroq" bo'ladi, chunki ular antisimmetrik va o'tish xususiyatiga ega.
Agar tartib munosabati ham bog`lanish xususiyatiga ega bo`lsa, u munosabat deyiladi chiziqli tartib.
Masalan, natural sonlar to’plamidagi “kichik” munosabati chiziqli tartibli munosabatdir, chunki u antisimmetriya, o’tish va bog’liqlik xossalariga ega.
Ta'rif. X to'plam tartibli munosabatga ega bo'lsa, tartibli deyiladi.
Shunday qilib, N natural sonlar to'plamini undagi "kichik" munosabatini ko'rsatish orqali tartiblash mumkin.
Agar to'plamda tartib munosabati aniqlangan bo'lsa X, bog‘lanish xususiyatiga ega bo‘lsa, shunday deymiz chiziqli tartibda tartibga soladi bir guruh X.
Masalan, natural sonlar to‘plamini ham “kichik” munosabati, ham “ko‘plik” munosabati yordamida tartiblash mumkin – ularning ikkalasi ham tartib munosabatlaridir. Lekin “kichik” munosabati “ko‘plik” munosabatidan farqli o‘laroq, bog‘lanish xususiyatiga ham ega. Demak, “kichikroq” munosabati natural sonlar to‘plamini chiziqli tartibga soladi.
Barcha munosabatlar ekvivalentlik munosabatlariga va tartib munosabatlariga bo'linadi deb o'ylamaslik kerak. Ekvivalent munosabatlar ham, tartib munosabatlari ham bo'lmagan juda ko'p munosabatlar mavjud.
