To'g'ri prizma formulasining asosi. Prizma. Yechimlari bilan muammolarga misollar
Ko'rsatmalar
Poydevorda yotgan ko'pburchak muntazam, ya'ni tomonlari teng va tartibsiz bo'lishi mumkin. Agar prizma asosi muntazam bo'lsa, u holda uning maydonini S = 1/2P*r formulasi yordamida hisoblash mumkin, bu erda S - maydon, P - ko'pburchak (barcha tomonlarining uzunliklarining yig'indisi) va r. poligonga chizilgan aylananing radiusi.
Ko‘pburchakni teng qismlarga bo‘lish orqali muntazam ko‘pburchak ichiga chizilgan aylana radiusini vizual tarzda tasavvur qilishingiz mumkin. Har bir uchburchakning cho'qqisidan uchburchakning asosi bo'lgan ko'pburchakning yon tomoniga chizilgan balandlik chizilgan doira radiusi bo'ladi.
Agar ko'pburchak tartibsiz bo'lsa, prizmaning maydonini hisoblash uchun uni uchburchaklarga bo'lish va har bir uchburchakning maydonini alohida topish kerak. S = 1/2bh formulasi yordamida uchburchaklar maydonlarini topamiz, bu erda S - uchburchakning maydoni, b - uning tomoni va h - b tomoniga chizilgan balandlik. Ko'pburchakni tashkil etuvchi barcha uchburchaklarning maydonlarini hisoblaganingizdan so'ng, prizma poydevorining umumiy maydonini olish uchun ushbu maydonlarni yig'ing.
Mavzu bo'yicha video
Manbalar:
- prizma maydoni
Geometriyada parallelepiped oltita parallelogramm hosil qilgan uch oʻlchamli sondir (romboid atamasi ham baʼzan shu maʼnoda ishlatiladi).
Ko'rsatmalar
Evklid geometriyasida u barcha to'rtta tushunchani (ya'ni, parallelepiped, parallelogram, kub va kvadrat) qamrab oladi. Burchaklar farqlanmaydigan geometriyaning bu kontekstida uning ta'rifi faqat parallelogramm va parallelepipedga imkon beradi. Uchta ekvivalent ta'riflar:
* har biri parallelogramm bo'lgan oltita yuzli ko'pburchak,
* uch juft parallel qirrali olti burchakli,
* prizma, ya'ni parallelogramma.
Parallelepipedning hajmi uning asosi - A va balandligi - H qiymatlarining yig'indisidir. Poydevor parallelepipedning oltita yuzidan biridir. Balandlik - taglik va qarama-qarshi tomon orasidagi perpendikulyar masofa.
Parallelepiped hajmini aniqlashning muqobil usuli uning = (A1, A2, A3), b = (B1, B2, B3) vektorlari yordamida amalga oshiriladi. Shunday qilib, parallelepipedning hajmi uchta qiymatning mutlaq qiymatiga teng - a (b × c):
A = |b | |c | bu holda xatolik darajasi th = |b × c |,
bu yerda th - b va c orasidagi burchak va balandlik
H = |a |, chunki a,
bu yerda a - a va h orasidagi ichki burchak.
Mavzu bo'yicha video
Ko'pgina haqiqiy ob'ektlar parallelepiped shakliga ega. Masalan, xona va basseyn. Bunday shaklga ega qismlar sanoatda kam uchraydi. Shu sababli ko'pincha berilgan figuraning hajmini topish vazifasi paydo bo'ladi.
Ko'rsatmalar
Parallelepiped - asosi parallelogramm bo'lgan prizma. Parallelepipedning yuzlari bor - bu raqamni tashkil etuvchi barcha tekisliklar. Uning jami oltita yuzi bor, ularning barchasi parallelogrammdir. Uning qarama-qarshi tomonlari teng va bir-biriga parallel. Bundan tashqari, u bir nuqtada kesishadigan va shu nuqtada ikkiga bo'lingan diagonallarga ega.
Ikki turdagi parallelepiped. Birinchisi uchun barcha yuzlar parallelogrammlar, ikkinchisi uchun esa to'rtburchaklardir. Ularning oxirgisi to'rtburchaklar parallelepiped deb ataladi. Uning barcha yuzlari to'rtburchaklar, yon tomonlari esa poydevorga perpendikulyar. Agar to'rtburchaklar shaklidagi jismning yuzlari kvadrat bo'lsa, u kub deb ataladi. Bunday holda, uning yuzlari va . Qirra - bu parallelepipedni o'z ichiga olgan har qanday ko'pburchakning tomoni.
Vazifa shartlarini bajarish uchun. Oddiy parallelepipedning tagida parallelogramma, to'rtburchakda esa har doim to'g'ri burchakka ega bo'lgan to'rtburchak yoki kvadrat mavjud. Agar parallelogramma parallelepipedning tagida yotsa, uning hajmi quyidagicha topiladi:
V=S*H, bu yerda S - asos maydoni, H - parallelepiped balandligi
Parallelepipedning balandligi odatda uning lateral chetidir. Parallelepipedning tagida to'rtburchak bo'lmagan parallelogramm ham bo'lishi mumkin. Planimetriya kursidan bilamizki, parallelogrammning maydoni quyidagilarga teng:
S=a*h, bu yerda h - parallelogramm balandligi, a - asos uzunligi, ya'ni. :
V=a*hp*H
Agar ikkinchi holat yuzaga kelsa, parallelepipedning asosi to'rtburchaklar bo'lsa, u holda hajm xuddi shu formula bo'yicha hisoblanadi, ammo poydevorning maydoni biroz boshqacha tarzda topiladi:
V=S*H,
S=a*b, bu yerda a va b mos ravishda to‘rtburchakning tomonlari va parallelepipedning chetlari.
V=a*b*H
Kub hajmini topish uchun siz oddiy mantiqiy usullardan foydalanishingiz kerak. Kubning barcha yuzlari va qirralari teng bo'lgani uchun va kubning asosi kvadrat bo'lganligi sababli, yuqoridagi formulalar yordamida quyidagi formulani olishimiz mumkin:
V=a^3
Geometriyada parallelepiped oltita parallelogrammdan hosil bo'lgan uch o'lchovli sondir. Parallelepiped shaklini hamma joyda topish mumkin, aksariyat zamonaviy ob'ektlarda mavjud. Masalan, mehmonxonalar va turar-joy binolari, xonalar va basseynlar va boshqalar. Ko'pgina sanoat qismlari ham bu shaklga ega, shuning uchun ko'pincha berilgan raqamning hajmini topish vazifasi paydo bo'ladi.
Ko'rsatmalar
Shu bilan birga, ikkinchi turdagi parallelepiped ham mavjud bo'lib, uning barcha yuzlari to'rtburchaklar, yon tomonlari esa poydevorga perpendikulyar joylashgan. Bunday parallelepiped to'rtburchaklar deyiladi. Qarama-qarshi tomonlar ekanligini bilishingiz kerak parallelepiped bir-biriga teng va bu raqam bir nuqtada kesishadigan diagonallarga ham ega bo'lib, ularni yarmiga bo'linadi.
Qaysi parallelepiped (oddiy yoki to'rtburchaklar) hajmini bilishingiz kerakligini aniqlang.
Agar parallelepiped oddiy bo'lsa (poyda parallelogramma mavjud). Shaklingizning asosiy maydoni va balandligini aniqlang. Parallelepipedning hajmini hisoblang, qoida tariqasida, parallelepipedning balandligi shaklning lateral qirrasidir.
Ko'rsatilgan usulga qo'shimcha ravishda siz parallelepipedning hajmini quyidagi tarzda bilib olishingiz mumkin. Hududni bilib oling. Buning uchun quyidagi formuladan foydalanib hisob-kitoblarni S=a*h bajaring, bu formuladagi h - bu shaklning balandligi, parallelogramm asosining uzunligi.
V=a*hp*H formulasi yordamida parallelepiped hajmini toping, bu erda formuladagi p - rasm asosining perimetri. Agar masalada sizga to'rtburchak parallelepiped berilgan bo'lsa, u holda siz bir xil formuladan foydalanib hajmni topishingiz mumkin: V=S*H.
Shu bilan birga, rasm asosining maydoni quyidagicha bo'ladi: S=a*b, bu erda formuladagi a va b to'rtburchakning tomonlari va shunga mos ravishda parallelepipedning qirralari. V=a*b*H formulasi yordamida figuraning hajmini toping.
Mavzu bo'yicha video
Maslahat 5: Poydevor orqali parallelepiped hajmini qanday topish mumkin
Paralelepiped deganda asosi va yon yuzlari parallelogramm bo'lgan uch o'lchamli geometrik figurani, ko'pburchakni tushunamiz. Parallelepipedning asosi bu ko'pburchak vizual ravishda "yotadigan" to'rtburchakdir. Uning asosi orqali parallelepiped hajmini topish juda oson.
Ko'rsatmalar
Yuqorida aytib o'tilganidek, parallelepipedning asosi. Parallelepipedni topish uchun uning tagida joylashgan parallelogramm maydonini aniqlash kerak. Buning uchun ma'lumotlarga qarab, bir nechta formulalar mavjud:
S = a*h, bu erda a - parallelogrammning tomoni, h - bu tomonga chizilgan balandlik
S = a*b*sina, bu yerda a va b parallelogrammning tomonlari, a bu tomonlar orasidagi burchak.
1-misol: Parallelogramma berilgan bo'lsa, uning bir tomoni 15 sm, bu tomonga chizilgan balandlikning uzunligi 10 sm ga teng bo'lsa, bu raqamning tekislikdagi maydonini topish uchun ikkitadan birinchisi Yuqorida ko'rsatilgan formulalar qo'llaniladi:
S = 10*15 = 150 sm²
Javob: Parallelogrammaning maydoni 150 sm²
Endi, parallelogrammning maydonini qanday topishni tushunib, siz parallelepiped hajmini topishni boshlashingiz mumkin. formuladan foydalanib topish mumkin:
V = S * h, bu erda h - bu parallelepipedning balandligi, S - uning poydevorining maydoni, joylashuvi yuqorida muhokama qilingan.
Yuqorida hal qilingan muammoni o'z ichiga oladigan misolni ko'rib chiqishingiz mumkin:
Paralelogrammaning asosiy maydoni 150 sm², balandligi, aytaylik, 40 sm, siz ushbu parallelepipedning hajmini topishingiz kerak. Ushbu muammo yuqoridagi formula yordamida hal qilinadi:
V = 150 * 40 = 6000 sm³
Parallelepipedning navlaridan biri to'rtburchaklar parallelepiped bo'lib, uning yon tomonlari va asosi to'rtburchaklardir. Ushbu raqamning hajmini topish, hajmini aniqlash yuqorida muhokama qilingan oddiy parallelepipedning hajmini topishdan ham osonroqdir:
V = a*b*c, bu yerda a, b, c - bu parallelepipedning uzunligi, kengligi va balandligi.
Misol: To'rtburchaklar parallelepiped uchun poydevorning uzunligi va kengligi 12 sm va 14 sm, yon yuzining uzunligi (balandligi) 14 sm, siz shaklning hajmini hisoblashingiz kerak. Muammo shu tarzda hal qilinadi:
V = 12 * 14 * 14 = 2352 sm³
Javob: to'rtburchaklar parallelepipedning hajmi 2352 sm³
Parallelepiped - asosida parallelogramm bo'lgan prizma (ko'p yuzli). Parallelepipedning olti tomoni, shuningdek, parallelogrammlari bor. Bir nechta parallelepiped turlari mavjud: to'rtburchaklar, tekis, eğimli va kub.
Ko'rsatmalar
To'rt tomoni to'rtburchaklar bo'lgan to'g'ri parallelepiped. Hisoblash uchun siz poydevorning maydonini balandlikka ko'paytirishingiz kerak - V = Sh. Aytaylik, chiziqning asosi parallelogramm bo'lsin. Keyin poydevorning maydoni uning tomoni va bu tomonga chizilgan balandlikning mahsulotiga teng bo'ladi - S = ac. Keyin V=ach.
To'g'ri to'rtburchak parallelepiped - oltita yuzi to'rtburchaklar bo'lgan parallelepiped. Misollar: , gugurt qutisi. Buning uchun poydevorning maydonini balandlikka ko'paytirish kerak - V=Sh. Bu holda poydevorning maydoni to'rtburchakning maydoni, ya'ni uning ikki tomoni qiymatlarining mahsuloti - S = ab, bu erda a - kenglik, b - uzunlik. Shunday qilib, biz kerakli hajmni olamiz - V=abh.
Nishabli parallelepiped - yon yuzlari asos yuzlariga perpendikulyar bo'lmagan parallelepiped. Bunday holda, hajm bazaning maydoni va balandligi ko'paytmasiga teng - V=Sh. Eğimli parallelepipedning balandligi har qanday yuqori cho'qqidan yon yuzning asosining mos keladigan tomoniga (ya'ni har qanday yon yuzning balandligi) tushgan perpendikulyar segmentdir.
Kub to'g'ri parallelepiped bo'lib, uning barcha qirralari teng va oltita yuzi ham kvadratdir. Hajmi taglik maydoni va balandligi ko'paytmasiga teng - V = Sh. Baza kvadrat bo'lib, poydevorning maydoni uning ikki tomonining mahsulotiga teng, ya'ni tomonning o'lchami kvadrat. Kubning balandligi bir xil qiymatga ega, shuning uchun bu holda hajm kubning chetining uchinchi darajaga ko'tarilgan qiymati bo'ladi - V=a³.
Eslatma
Parallelepipedning asoslari har doim bir-biriga parallel, bu prizma ta'rifidan kelib chiqadi.
Foydali maslahat
Parallelepipedning o'lchamlari uning qirralarining uzunligidir.
Hajmi har doim poydevor maydoni va parallelepiped balandligining mahsulotiga teng.
Eğimli parallelepipedning hajmini yon qirraning o'lchami va unga perpendikulyar bo'lgan qismning mahsuloti sifatida hisoblash mumkin.
Parallelepiped prizmaning alohida holatidir. Uning o'ziga xos xususiyati barcha yuzlarning to'rtburchak shaklida, shuningdek, bir-biriga qaragan har bir juft tekislikning parallelligidadir. Ushbu raqam ichidagi hajmni hisoblashning umumiy formulasi, shuningdek, bunday olti burchakning maxsus holatlari uchun bir nechta soddalashtirilgan versiyalar mavjud.
Ko'rsatmalar
Parallelepipedning asosiy maydonini (S) hisoblashdan boshlang. Volumetrik figuraning ushbu tekisligini tashkil etuvchi to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari, ta'rifiga ko'ra, parallel bo'lishi kerak va ular orasidagi burchak har qanday bo'lishi mumkin. Shuning uchun, ikki qo'shni qirralarning (a va b) uzunligini ular orasidagi burchakka (?) ko'paytirish orqali yuzning maydonini aniqlang: S=a*b*sin(?).
Olingan qiymatni a va b tomonlari bilan umumiy uch o'lchamli burchak hosil qiluvchi parallelepipedning (c) chetining uzunligiga ko'paytiring. Ushbu chekka tegishli bo'lgan yon yuz, ta'rifga ko'ra, parallelepipedga perpendikulyar bo'lishi shart emasligi sababli, hisoblangan qiymatni yon yuzning moyillik burchagi sinusiga (?) ko'paytiring: V=S*c* gunoh(?). Umuman olganda, ixtiyoriy parallelepipedni hisoblash formulasini quyidagicha yozish mumkin: V=a*b*c*sin(?)*sin(?). Masalan, parallelepipedning tagida qirralarining uzunligi 15 va 25 va ular orasidagi burchak 30 °, yon yuzlari 40 ° ga qiyshaygan va 20 sm uzunlikdagi chetiga ega bo'lgan yuz bo'lsin. Shunda bu raqam 15*25*20*sin(30°)*sin(40°) ga teng boʻladi? 7500*0.5*0.643 ? 2411,25 sm?.
Agar siz to'rtburchaklar parallelepipedning hajmini hisoblashingiz kerak bo'lsa, unda formulani sezilarli darajada soddalashtirish mumkin. 90° sinusi birga teng boʻlganligi sababli formuladan burchaklar uchun tuzatishlar olib tashlanishi mumkin, yaʼni parallelepipedning uchta qoʻshni qirralari uzunligini koʻpaytirish kifoya qiladi: V=a*b*. c. Misol uchun, oldingi bosqichdagi misolda ishlatiladigan chekka uzunliklari bo'lgan raqam uchun hajm 15 * 25 * 20 = 7500 sm bo'ladi?.
Bundan ham oddiyroq formula kub hajmini hisoblash uchundir - barcha qirralari bir xil uzunlikdagi to'rtburchaklar parallelepiped. Istalgan qiymatni olish uchun bu chetning uzunligini (a) kubga aylantiring: V=a?. Masalan, barcha qirralarining uzunligi 15 sm ga teng bo'lgan to'rtburchaklar parallelepiped 153 = 3375 sm hajmga ega bo'ladi.
Mavzu bo'yicha video
To'rtburchaklar parallelepiped - bu prizma bo'lib, uning barcha yuzlari to'rtburchaklar bilan tuzilgan. Uning qarama-qarshi yuzlari teng va parallel, ikki yuzning kesishishidan hosil bo'lgan burchaklar to'g'ri. To'g'ri burchakli parallelepipedning hajmini topish juda oddiy.
Sizga kerak bo'ladi
- To'rtburchaklar parallelepipedning uzunligi, kengligi va balandligi.
Ko'rsatmalar
Avvalo, bu turni tashkil etuvchi yuzlar to'rtburchaklar ekanligini ta'kidlash kerak. Uning maydoni bir juft tomonlarini bir-biriga ko'paytirish orqali topiladi. Boshqacha qilib aytganda, to'rtburchakning uzunligi a, kengligi b bo'lsin. Keyin uning maydoni a*b sifatida hisoblanadi.
Shunga asoslanib, barcha qarama-qarshi yuzlar bir-biriga teng ekanligi ayon bo'ladi. Bu, shuningdek, taglik uchun ham amal qiladi - raqam "yotadigan" yuz.
To'g'ri burchakli parallelepipedning balandligi yon parallelepipedning uzunligi. Balandligi doimiy qiymat bo'lib qoladi, bu to'rtburchaklar parallelepipedning ta'rifidan aniq. Endi formuladan foydalanish uchun buni quyidagicha ifodalash mumkin:
V = a * b * c = S * c, bu erda c - balandlik.
Hisoblashning soddaligiga qaramay, biz bir misolni ko'rib chiqishimiz kerak:
Aytaylik, sizga to'rtburchaklar parallelepiped berildi, poydevorning uzunligi va kengligi 9 va 7 sm, balandligi esa 17 sm, siz shaklning hajmini topishingiz kerak. Birinchi qadam - bu parallelepipedning asosiy maydonini aniqlash: 9 * 7 = 63 kv.sm.
Keyinchalik, hisoblangan qiymat balandlik bilan ko'paytiriladi: 63 * 17 = 1071 cc
Javob: To'g'ri burchakli parallelepipedning hajmi 1071 kub kub
Mavzu bo'yicha video
Eslatma
To'g'ri burchakli parallelepipedning uzunligi, kengligi va balandligi parametrlar deyiladi. Agar to'rtburchaklar parallelepipedda barcha parametrlar teng bo'lsa, unda bu raqam kub bo'ladi. Ta'rifga asoslanib, kubda har bir yuz kvadratdir. Shuning uchun bunday parallelepipedning hajmi yuzning qiymatini uchinchi darajaga ko'tarish orqali aniqlanadi:
S = a³
Ta'rif 1. Prizmatik sirt
Teorema 1. Prizmatik sirtning parallel kesmalari haqida
Ta'rif 2. Prizmatik sirtning perpendikulyar kesimi
Ta'rif 3. Prizma
Ta'rif 4. Prizma balandligi
Ta'rif 5. To'g'ri prizma
Teorema 2. Prizmaning lateral yuzasining maydoni
Parallelepiped:
Ta'rif 6. Parallelepiped
Teorema 3. Paralelepiped diagonallarining kesishishi haqida
Ta'rif 7. To'g'ri parallelepiped
Ta'rif 8. To'rtburchaklar parallelepiped
Ta'rif 9. Parallelepipedning o'lchovlari
Ta'rif 10. Kub
Ta'rif 11. Rombedr
Teorema 4. To'g'ri burchakli parallelepipedning diagonallari haqida
Teorema 5. Prizma hajmi
Teorema 6. To'g'ri prizmaning hajmi
Teorema 7. To'g'ri burchakli parallelepipedning hajmi
Prizma ikki yuzi (asoslari) parallel tekisliklarda yotgan va bu yuzlarda yotmaydigan qirralari bir-biriga parallel boʻlgan koʻpburchakdir.
Bazalardan boshqa yuzlar deyiladi lateral.
Yon yuzalar va tayanchlarning yon tomonlari deyiladi prizma qovurg'alari, qirralarning uchlari deyiladi prizmaning uchlari. Yanal qovurg'alar asoslarga tegishli bo'lmagan qirralar deyiladi. Yanal yuzlarning birlashishi deyiladi prizmaning lateral yuzasi, va barcha yuzlarning birlashishi deyiladi prizmaning to'liq yuzasi. Prizma balandligi Yuqori asos nuqtasidan pastki poydevor tekisligiga tushirilgan perpendikulyar yoki bu perpendikulyarning uzunligi deyiladi. 
To'g'ridan-to'g'ri prizma yon qovurg'alari asoslar tekisliklariga perpendikulyar bo'lgan prizma deyiladi. 
To'g'ri to'g'ri prizma deb ataladi (3-rasm), uning asosida muntazam ko'pburchak yotadi.
Belgilar:
l - yon qovurg'a;
P - asosiy perimetri;
S o - tayanch maydoni;
H - balandlik;
P^ - perpendikulyar kesma perimetri;
S b - lateral sirt maydoni;
V - hajm;
S p - prizmaning umumiy sirtining maydoni.
|
V=SH |
*Har ikki ketma-ket tekislik kesishadi va oxirgi tekislik birinchisini kesishadi deb taxmin qilinadi
Teorema 1 . Prizmatik sirtning bir-biriga parallel bo'lgan (lekin uning chetlariga parallel bo'lmagan) tekisliklardagi kesmalari teng ko'pburchaklardir.
ABCDE va A"B"C"D"E" prizmatik sirtning ikkita parallel tekislik kesmalari bo'lsin.Bu ikki ko'pburchak teng ekanligiga ishonch hosil qilish uchun ABC va A"B"C" uchburchaklar ekanligini ko'rsatish kifoya. teng bo'ladi va bir xil aylanish yo'nalishiga ega va xuddi shu narsa ABD va A "B" D, ABE va A "B" E uchburchaklar uchun ham amal qiladi. Lekin bu uchburchaklarning mos tomonlari parallel (masalan, AC AC ga parallel) ma'lum bir tekislikning ikkita parallel tekislik bilan kesishish chizig'i kabi; shundan kelib chiqadiki, bu tomonlar parallelogrammning qarama-qarshi tomonlari kabi teng (masalan, AC A «C» ga teng), bu tomonlar hosil qilgan burchaklar teng va bir xil yo'nalishga ega.
Ta'rif 2 . Prizmatik sirtning perpendikulyar kesimi bu sirtning qirralariga perpendikulyar tekislik bilan kesilgan qismidir. Oldingi teoremaga asoslanib, bir xil prizmatik sirtning barcha perpendikulyar kesimlari teng ko'pburchaklar bo'ladi.
Ta'rif 3
. Prizma - bu prizmatik sirt va bir-biriga parallel bo'lgan ikkita tekislik bilan chegaralangan ko'pburchak (lekin prizmatik yuzaning chetlariga parallel emas)
Ushbu oxirgi tekisliklarda yotgan yuzlar deyiladi prizma asoslari; prizmatik sirtga tegishli yuzlar - yon yuzlar; prizmatik yuzaning qirralari - prizmaning yon qovurg'alari. Oldingi teoremaga ko'ra, prizmaning asosi teng ko'pburchaklar. Prizmaning barcha lateral yuzlari - parallelogrammalar; barcha yon qovurg'alar bir-biriga teng.
Ko'rinib turibdiki, agar ABCDE prizmasining asosi va qirralarning biri AA" o'lchami va yo'nalishi berilgan bo'lsa, u holda BB", CC", ... AA chetiga teng va parallel" qirralarini chizish orqali prizma qurish mumkin. .
Ta'rif 4 . Prizma balandligi - bu uning asoslari tekisliklari orasidagi masofa (HH").
Ta'rif 5
. Prizma to'g'ri deb ataladi, agar uning asoslari prizmatik yuzaning perpendikulyar kesimlari bo'lsa. Bunday holda, prizmaning balandligi, albatta, uning yon qovurg'a; yon qirralari bo'ladi to'rtburchaklar.
Prizmalarni uning asosi bo'lib xizmat qiladigan ko'pburchak tomonlari soniga teng bo'lgan lateral yuzlar soniga ko'ra tasniflash mumkin. Shunday qilib, prizmalar uchburchak, to'rtburchak, beshburchak va boshqalar bo'lishi mumkin.
Teorema 2
. Prizmaning lateral yuzasining maydoni lateral qirrasi va perpendikulyar kesimning perimetri mahsulotiga teng.
ABCDEA"B"C"D"E" berilgan prizma bo'lsin va uning perpendikulyar kesmasi abcde bo'lsin, shunda ab, bc, .. segmentlari uning lateral qirralariga perpendikulyar bo'lsin. ABA"B" yuzi parallelogramm; uning maydoni AA asosining "ab"ga to'g'ri keladigan balandlikka ko'paytmasiga teng; VSV "S" yuzining maydoni miloddan avvalgi balandlikdagi "VV" asosining mahsulotiga teng va hokazo. Shunday qilib, yon yuza (ya'ni, yon yuzlar maydonlarining yig'indisi) mahsulotga teng. yon chetining, boshqacha qilib aytganda, AA", VV", .. segmentlarining umumiy uzunligi ab+bc+cd+de+ea miqdori uchun.
Stereometriya kursi bo'yicha maktab o'quv dasturida uch o'lchamli figuralarni o'rganish odatda oddiy geometrik jism - prizma ko'pburchakdan boshlanadi. Uning asoslari rolini parallel tekisliklarda yotgan 2 ta teng ko'pburchak bajaradi. Maxsus holat - bu muntazam to'rtburchak prizma. Uning asoslari ikkita bir xil muntazam to'rtburchaklar bo'lib, tomonlari perpendikulyar bo'lib, parallelogramm shakliga ega (yoki prizma qiya bo'lmasa, to'rtburchaklar).
Prizma nimaga o'xshaydi?
Muntazam to'rtburchak prizma olti burchakli bo'lib, uning asoslari 2 kvadrat, yon yuzlari to'rtburchaklar bilan ifodalanadi. Ushbu geometrik figuraning yana bir nomi to'g'ri parallelepipeddir.
Quyida to'rtburchak prizma ko'rsatilgan chizma ko'rsatilgan.
Rasmda ham ko'rishingiz mumkin geometrik jismni tashkil etuvchi eng muhim elementlar. Bularga quyidagilar kiradi:
Ba'zan geometriya masalalarida kesim tushunchasiga duch kelishingiz mumkin. Ta'rif shunday bo'ladi: kesma - bu kesuvchi tekislikka tegishli bo'lgan hajmli tananing barcha nuqtalari. Bo'lim perpendikulyar bo'lishi mumkin (rasmning qirralarini 90 graduslik burchak ostida kesib o'tadi). To'g'ri to'rtburchaklar prizma uchun diagonal kesma ham ko'rib chiqiladi (qurilishi mumkin bo'lgan bo'limlarning maksimal soni 2 ta), 2 chetidan va poydevorning diagonallaridan o'tadi.
Agar kesma kesuvchi tekislik na asoslarga, na yon yuzlarga parallel bo'lmagan tarzda chizilgan bo'lsa, natijada kesilgan prizma hosil bo'ladi.
Qisqartirilgan prizmatik elementlarni topish uchun turli munosabatlar va formulalar qo'llaniladi. Ulardan ba'zilari planimetriya kursidan ma'lum (masalan, prizma asosining maydonini topish uchun kvadrat maydoni formulasini eslash kifoya).
Sirt maydoni va hajmi
Prizma hajmini formuladan foydalanib aniqlash uchun siz uning asosining maydoni va balandligini bilishingiz kerak:
V = Sbas h
Muntazam tetraedral prizma asosi tomoni bilan kvadrat bo'lgani uchun a, Siz formulani batafsilroq shaklda yozishingiz mumkin:
V = a²·h
Agar biz kub haqida gapiradigan bo'lsak - uzunligi, kengligi va balandligi teng bo'lgan oddiy prizma, hajm quyidagicha hisoblanadi:
Prizmaning lateral sirt maydonini qanday topishni tushunish uchun uning rivojlanishini tasavvur qilish kerak.
Chizmadan ko'rinib turibdiki, yon sirt 4 ta teng to'rtburchakdan iborat. Uning maydoni poydevor perimetri va rasm balandligining mahsuloti sifatida hisoblanadi:
Sside = Posn h
Kvadratning perimetri teng ekanligini hisobga olgan holda P = 4a, formula quyidagi shaklni oladi:
Yon tomoni = 4a soat
Kub uchun:
Yon tomoni = 4a²
Prizmaning umumiy sirt maydonini hisoblash uchun siz lateral maydonga 2 ta asosiy maydonni qo'shishingiz kerak:
Sfull = Sside + 2Smain
To'rtburchak muntazam prizmaga nisbatan formula quyidagicha ko'rinadi:
Jami = 4a h + 2a²
Kubning sirt maydoni uchun:
Sfull = 6a²
Hajmi yoki sirt maydonini bilib, siz geometrik tananing alohida elementlarini hisoblashingiz mumkin.
Prizma elementlarini topish
Ko'pincha hajm berilgan yoki lateral sirt maydonining qiymati ma'lum bo'lgan muammolar mavjud, bu erda taglikning yon tomonining uzunligini yoki balandligini aniqlash kerak. Bunday hollarda formulalar olinishi mumkin:
- Asosiy tomon uzunligi: a = Sside / 4h = √(V / h);
- balandligi yoki yon qovurg'a uzunligi: h = Sside / 4a = V / a²;
- baza maydoni: Sbas = V / h;
- yon yuz maydoni: Yon gr = Sside / 4.
Diagonal qismning qancha maydoni borligini aniqlash uchun diagonalning uzunligini va raqamning balandligini bilishingiz kerak. Kvadrat uchun d = a√2. Shuning uchun:
Sdiag = ah√2
Prizma diagonalini hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalaning:
dprize = √(2a² + h²)
Berilgan munosabatlarni qanday qo'llashni tushunish uchun siz bir nechta oddiy vazifalarni mashq qilishingiz va hal qilishingiz mumkin.
Yechimlari bilan muammolarga misollar
Mana, matematikadan davlat yakuniy imtihonlarida topilgan ba'zi vazifalar.
1-mashq.
Qum odatdagi to'rtburchak prizma shaklidagi qutiga quyiladi. Uning sathining balandligi 10 sm, agar siz uni bir xil shakldagi idishga o'tkazsangiz, lekin ikki barobar uzunroq taglik bilan qum darajasi qanday bo'ladi?
Buni quyidagicha asoslash kerak. Birinchi va ikkinchi idishlardagi qum miqdori o'zgarmadi, ya'ni ulardagi hajmi bir xil. Poydevor uzunligini quyidagi bilan belgilashingiz mumkin a. Bunday holda, birinchi quti uchun moddaning hajmi quyidagicha bo'ladi:
V₁ = ha² = 10a²
Ikkinchi quti uchun taglikning uzunligi 2a, lekin qum sathining balandligi noma'lum:
V₂ = h (2a)² = 4ga²
Chunki V₁ = V₂, biz ifodalarni tenglashtirishimiz mumkin:
10a² = 4ga²
Tenglamaning ikkala tomonini a² ga kamaytirgandan so'ng, biz quyidagilarni olamiz:
Natijada, yangi qum darajasi bo'ladi h = 10/4 = 2,5 sm.
Vazifa 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ to'g'ri prizma. Ma'lumki, BD = AB₁ = 6√2. Tananing umumiy sirt maydonini toping.
Qaysi elementlar ma'lum ekanligini tushunishni osonlashtirish uchun siz rasm chizishingiz mumkin.
Biz muntazam prizma haqida gapirayotganimiz sababli, asosda diagonali 6√2 bo'lgan kvadrat bor degan xulosaga kelishimiz mumkin. Yon yuzning diagonali bir xil o'lchamga ega, shuning uchun yon yuz ham poydevorga teng kvadrat shakliga ega. Ma'lum bo'lishicha, barcha uch o'lcham - uzunlik, kenglik va balandlik tengdir. ABCDA₁B₁C₁D₁ kub degan xulosaga kelishimiz mumkin.
Har qanday qirraning uzunligi ma'lum diagonal orqali aniqlanadi:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Umumiy sirt maydoni kub formulasi yordamida topiladi:
Sfull = 6a² = 6 6² = 216
Vazifa 3.
Xona ta'mirlanmoqda. Ma'lumki, uning qavati maydoni 9 m² bo'lgan kvadrat shakliga ega. Xonaning balandligi 2,5 m, agar 1 m² 50 rubl bo'lsa, xonani devor qog'ozi bilan qoplashning eng past narxi qancha?
Zamin va ship kvadratchalar, ya'ni muntazam to'rtburchaklar va uning devorlari gorizontal sirtlarga perpendikulyar bo'lganligi sababli, biz uni muntazam prizma deb xulosa qilishimiz mumkin. Uning lateral yuzasining maydonini aniqlash kerak.
Xonaning uzunligi a = √9 = 3 m.
Hudud devor qog'ozi bilan qoplanadi Yon tomoni = 4 3 2,5 = 30 m².
Bu xona uchun devor qog'ozi eng past narxi bo'ladi 50·30 = 1500 rubl
Shunday qilib, to'rtburchaklar prizma bilan bog'liq masalalarni hal qilish uchun kvadrat va to'rtburchakning maydoni va perimetrini hisoblay olish, shuningdek, hajm va sirt maydonini topish formulalarini bilish kifoya.
Kubning maydonini qanday topish mumkin
To'g'ri prizma haqida umumiy ma'lumot
Prizmaning lateral yuzasi (aniqrog'i, lateral sirt maydoni) deyiladi so'm yon yuzlarning joylari. Prizmaning umumiy yuzasi lateral yuzasi va asoslar maydonlarining yig'indisiga teng.
19.1 teorema. To'g'ri prizmaning lateral yuzasi poydevor perimetri va prizma balandligi ko'paytmasiga, ya'ni yon chetining uzunligiga teng.
Isbot. To'g'ri prizmaning lateral yuzlari to'rtburchaklardir. Bu to'rtburchaklarning asoslari prizma tagida yotgan ko'pburchakning tomonlari bo'lib, balandliklari yon qirralarning uzunligiga teng. Bundan kelib chiqadiki, prizmaning lateral yuzasi teng
S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,
bu yerda a 1 va n - asos qirralarining uzunligi, p - prizma asosining perimetri, I - yon qirralarning uzunligi. Teorema isbotlangan.
Amaliy vazifa
Muammo (22) . Eğimli prizmada u amalga oshiriladi Bo'lim, yon qovurg'alarga perpendikulyar va barcha yon qovurg'alarni kesib o'tadi. Kesimning perimetri p ga, yon qirralari esa l ga teng bo'lsa, prizmaning lateral yuzasini toping.
Yechim. Chizilgan kesma tekisligi prizmani ikki qismga ajratadi (411-rasm). Keling, prizma asoslarini birlashtirgan holda, ulardan birini parallel tarjimaga bo'ysundiramiz. Bunda asosi asl prizmaning kesmasi bo'lgan, yon qirralari esa l ga teng bo'lgan to'g'ri prizma olamiz. Bu prizma asl prizma bilan bir xil lateral sirtga ega. Shunday qilib, asl prizmaning lateral yuzasi pl ga teng.
O'tilgan mavzuning qisqacha mazmuni
Keling, prizmalar haqida o'tgan mavzuni umumlashtirishga harakat qilaylik va prizma qanday xususiyatlarga ega ekanligini eslaylik.
Prizma xossalari
Birinchidan, prizma barcha asoslari teng ko'pburchaklarga ega;
Ikkinchidan, prizmada uning barcha yon yuzlari parallelogrammlardir;
Uchinchidan, prizma kabi ko'p qirrali shaklda barcha lateral qirralar teng;
Bundan tashqari, prizmalar kabi ko'pburchaklar tekis yoki moyil bo'lishi mumkinligini yodda tutish kerak.
Qaysi prizma to'g'ri prizma deyiladi?
Agar prizmaning yon qirrasi uning asosi tekisligiga perpendikulyar bo'lsa, bunday prizma to'g'ri prizma deyiladi.
To'g'ri prizmaning lateral yuzlari to'rtburchaklar ekanligini eslash ortiqcha bo'lmaydi.
Qaysi turdagi prizma qiya deyiladi?
Ammo prizmaning yon qirrasi uning asosi tekisligiga perpendikulyar joylashmagan bo'lsa, u holda biz uni qiya prizma deb bemalol ayta olamiz.
Qaysi prizma to'g'ri deb ataladi?
Agar to'g'ri prizma asosida muntazam ko'pburchak yotsa, bunday prizma muntazamdir.
Keling, oddiy prizmaga ega bo'lgan xususiyatlarni eslaylik.
Muntazam prizmaning xossalari
Birinchidan, muntazam ko'pburchaklar doimo muntazam prizmaning asosi bo'lib xizmat qiladi;
Ikkinchidan, agar muntazam prizmaning yon yuzlarini ko'rib chiqsak, ular doimo teng to'rtburchaklardir;
Uchinchidan, agar siz yon qovurg'alarning o'lchamlarini taqqoslasangiz, oddiy prizmada ular har doim teng bo'ladi.
To'rtinchidan, to'g'ri prizma har doim to'g'ri bo'ladi;
Beshinchidan, agar muntazam prizmada lateral yuzlar kvadrat shakliga ega bo'lsa, unda bunday raqam odatda yarim muntazam ko'pburchak deb ataladi.
Prizma kesimi
Endi prizmaning ko‘ndalang kesimini ko‘rib chiqamiz:
Uy vazifasi
Endi masalalar yechish orqali o‘rgangan mavzuimizni mustahkamlashga harakat qilaylik.
Qiyalik uchburchak prizma chizamiz, uning qirralari orasidagi masofa teng bo'ladi: 3 sm, 4 sm va 5 sm va bu prizmaning yon yuzasi 60 sm2 ga teng bo'ladi. Ushbu parametrlarga ega bo'lgan holda, ushbu prizmaning yon chetini toping.
Bilasizmi, geometrik shakllar bizni doimo o'rab oladi, nafaqat geometriya darslarida, balki kundalik hayotda ham u yoki bu geometrik figuraga o'xshash narsalar mavjud.
Har bir uyda, maktabda yoki ish joyida tizim bloki tekis prizma shaklida bo'lgan kompyuterga ega.
Agar siz oddiy qalamni olsangiz, qalamning asosiy qismi prizma ekanligini ko'rasiz.
Shaharning markaziy ko'chasi bo'ylab yurib, oyoqlarimiz ostida olti burchakli prizma shakliga ega bo'lgan plitka yotganini ko'ramiz.
A. V. Pogorelov, 7-11-sinflar uchun geometriya, Ta'lim muassasalari uchun darslik
Prizmaning lateral yuzasi maydoni. Salom! Ushbu nashrda biz stereometriyadagi bir guruh muammolarni tahlil qilamiz. Keling, jismlar birikmasini - prizma va silindrni ko'rib chiqaylik. Hozirgi vaqtda ushbu maqola stereometriyadagi vazifalar turlarini ko'rib chiqish bilan bog'liq barcha maqolalar seriyasini to'ldiradi.
Agar vazifalar bankida yangilari paydo bo'lsa, unda, albatta, kelajakda blogga qo'shimchalar bo'ladi. Ammo imtihonning bir qismi sifatida qisqa javob bilan barcha muammolarni qanday hal qilishni o'rganishingiz uchun allaqachon mavjud bo'lgan narsa etarli. Kelgusi yillar uchun etarli material bo'ladi (matematika dasturi statik).
Taqdim etilgan vazifalar prizma maydonini hisoblashni o'z ichiga oladi. Shuni ta'kidlaymanki, quyida biz to'g'ri prizmani (va shunga mos ravishda to'g'ri silindrni) ko'rib chiqamiz.
Hech qanday formulani bilmasdan, biz prizmaning lateral yuzasi uning barcha lateral yuzlari ekanligini tushunamiz. To'g'ri prizma to'rtburchaklar yon yuzlariga ega.
Bunday prizmaning lateral yuzasining maydoni uning barcha lateral yuzlari (ya'ni to'rtburchaklar) maydonlarining yig'indisiga teng. Agar silindr yozilgan oddiy prizma haqida gapiradigan bo'lsak, bu prizmaning barcha yuzlari TENG to'rtburchaklar ekanligi aniq.
Rasmiy ravishda, muntazam prizmaning lateral sirt maydoni quyidagicha aks ettirilishi mumkin:
27064. Baza radiusi va balandligi 1 ga teng bo‘lgan silindr atrofida muntazam to‘rtburchak prizma chizilgan. Prizmaning yon sirtini toping.
Ushbu prizmaning lateral yuzasi teng maydonga ega to'rtta to'rtburchakdan iborat. Yuzning balandligi 1 ga, prizma poydevorining cheti 2 ga teng (bular silindrning ikkita radiusi), shuning uchun yon yuzning maydoni teng:
Yon sirt maydoni:
73023. Baza radiusi √0,12 va balandligi 3 ga teng bo‘lgan silindr atrofida aylana chizilgan muntazam uchburchak prizmaning lateral sirt maydonini toping.
Berilgan prizmaning lateral yuzasining maydoni uchta lateral yuzlarning (to'rtburchaklar) maydonlarining yig'indisiga teng. Yon yuzning maydonini topish uchun siz uning balandligini va taglik chetining uzunligini bilishingiz kerak. Balandligi uch. Asosiy chetining uzunligini topamiz. Proyeksiyani ko'rib chiqing (yuqori ko'rinish):
Bizda radiusi √0,12 bo'lgan doira chizilgan muntazam uchburchak bor. AOC to'g'ri burchakli uchburchakdan AC ni topishimiz mumkin. Va keyin AD (AD = 2AC). Tangensning ta'rifi bo'yicha:
Bu AD = 2AC = 1,2 degan ma'noni anglatadi, shuning uchun lateral sirt maydoni tengdir:
27066. Baza radiusi √75 va balandligi 1 bo‘lgan silindr atrofida aylanib o‘tilgan muntazam olti burchakli prizmaning lateral sirt maydonini toping.
Kerakli maydon barcha yon yuzlarning maydonlarining yig'indisiga teng. Muntazam olti burchakli prizma teng to'rtburchaklar bo'lgan lateral yuzlarga ega.
Yuzning maydonini topish uchun siz uning balandligini va taglik chetining uzunligini bilishingiz kerak. Balandligi ma'lum, u 1 ga teng.
Asosiy chetining uzunligini topamiz. Proyeksiyani ko'rib chiqing (yuqori ko'rinish):
Bizda muntazam olti burchakli radiusi √75 aylana chizilgan.
ABO to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing. Biz OB oyog'ini bilamiz (bu silindrning radiusi). AOB burchagini ham aniqlashimiz mumkin, u 300 ga teng (AOC uchburchagi teng yonli, OB bissektrisa).
To'g'ri burchakli uchburchakda tangens ta'rifidan foydalanamiz:
AC = 2AB, chunki OB medianadir, ya'ni AC ni ikkiga bo'ladi, bu AC = 10 degan ma'noni anglatadi.
Shunday qilib, yon yuzaning maydoni 1∙10=10 va yon yuzaning maydoni:
76485. Baza radiusi 8√3 va balandligi 6 ga teng silindrga chizilgan muntazam uchburchak prizmaning yon sirtini toping.
Uchta teng o'lchamdagi yuzlarning (to'rtburchaklar) ko'rsatilgan prizmasining lateral yuzasining maydoni. Maydonni topish uchun siz prizma poydevorining chetining uzunligini bilishingiz kerak (biz balandlikni bilamiz). Agar proyeksiyani (yuqori ko'rinish) ko'rib chiqsak, bizda aylana ichiga yozilgan muntazam uchburchak bor. Bu uchburchakning yon tomoni radiusda quyidagicha ifodalanadi:
Ushbu munosabatlarning tafsilotlari. Shunday qilib, teng bo'ladi
Keyin yon yuzning maydoni: 24∙6=144. Va kerakli maydon:
245354. Baza radiusi 2 bo‘lgan silindr atrofida muntazam to‘rtburchak prizma chizilgan. Prizmaning lateral yuzasi 48 ga teng. Silindrning balandligini toping.
