Rasmda funktsiyaning antiderivativi ko'rsatilgan
Salom, do'stlar! Ushbu maqolada antiderivativlar uchun vazifalarni ko'rib chiqamiz. Ushbu topshiriqlar matematikadan yagona davlat imtihoniga kiritilgan. Bo'limlarning o'zi - differentsiatsiya va integratsiya - algebra kursida juda qobiliyatli va tushunishga mas'uliyat bilan yondashishni talab qilishiga qaramay, vazifalarning o'zi matematika bo'yicha ochiq topshiriqlar bankiga kiritilgan va Yagona bo'limda juda oddiy bo'ladi. Davlat imtihonini bir yoki ikki bosqichda hal qilish mumkin.
Antiderivativning mohiyatini va xususan, integralning geometrik ma'nosini aniq tushunish muhimdir. Keling, nazariy asoslarni qisqacha ko'rib chiqaylik.
Integralning geometrik ma'nosi
Integral haqida qisqacha shunday deyishimiz mumkin: integral bu maydon.
Ta'rif: koordinata tekisligida segmentda aniqlangan f musbat funktsiyaning grafigi berilgan bo'lsin. Subgraf (yoki egri chiziqli trapetsiya) f funksiyaning grafigi, x = a va x = b chiziqlari va x o'qi bilan chegaralangan figuradir.
Ta'rif: chekli segmentda aniqlangan musbat f funksiya berilgan bo'lsin. Segmentdagi f funksiyaning integrali uning subgrafining maydonidir.
Yuqorida aytib o'tilganidek, F'(x) = f (x).Qanday xulosa qilishimiz mumkin?
Bu oddiy. Bu grafikda qancha nuqta borligini aniqlashimiz kerak, bunda F′(x) = 0. Funktsiya grafigiga teginish x o'qiga parallel bo'lgan nuqtalarda biz bilamiz. Keling, ushbu nuqtalarni [–2;4] oraliqda ko'rsatamiz:
Bular berilgan F (x) funksiyaning ekstremum nuqtalari. Ularning o'ntasi bor.
Javob: 10
323078. Rasmda y = f (x) ma'lum funktsiyaning grafigi ko'rsatilgan (umumiy boshlang'ich nuqtasi bo'lgan ikkita nur). Rasmdan foydalanib, F (8) - F (2) hisoblang, bu erda F (x) f (x) funksiyaning antiderivativlaridan biridir.
Nyuton-Leybnits teoremasini yana yozamiz:Berilgan f funktsiya, F uning ixtiyoriy antiderivativi bo'lsin. Keyin
Va bu, yuqorida aytib o'tilganidek, funktsiya subgrafining maydoni.
Shunday qilib, muammo trapezoidning maydonini topishga to'g'ri keladi (2 dan 8 gacha bo'lgan oraliq):
Uni hujayralar bo'yicha hisoblash qiyin emas. Biz 7 ni olamiz. Belgisi musbat, chunki raqam x o'qi ustida joylashgan (yoki y o'qining musbat yarim tekisligida).
Hatto bu holatda ham buni aytish mumkin: nuqtalardagi antiderivativlarning qiymatlaridagi farq bu raqamning maydoni.
Javob: 7
323079. Rasmda ma'lum funktsiya y = f (x) grafigi ko'rsatilgan. F (x) = x 3 +30x 2 +302x–1,875 funksiya y = f (x) funksiyaning antihosillaridan biridir. Soyali shaklning maydonini toping.
Integralning geometrik ma'nosi haqida yuqorida aytib o'tilganidek, bu f (x) funktsiyasi grafigi, x = a va x = b to'g'ri chiziqlar va o'q o'qi bilan cheklangan raqamning maydoni.
Teorema (Nyuton-Leybnits):
Shunday qilib, vazifa -11 dan -9 gacha bo'lgan oraliqda berilgan funktsiyaning aniq integralini hisoblashdan iborat yoki boshqacha qilib aytganda, ko'rsatilgan nuqtalarda hisoblangan antiderivativlar qiymatlaridagi farqni topishimiz kerak:
Javob: 6
323080. Rasmda y = f (x) qandaydir funksiyaning grafigi ko'rsatilgan.
F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 funksiya f (x) funksiyaning antihosillaridan biridir. Soyali shaklning maydonini toping.
Teorema (Nyuton-Leybnits):
Muammo -10 dan -8 gacha bo'lgan oraliqda berilgan funktsiyaning aniq integralini hisoblashdan kelib chiqadi:
Javob: 4
Bu muammoning yana bir yechimi, saytdan.
Hosila va differensiallash qoidalari ham . Faqat bunday vazifalarni hal qilish uchun emas, balki ularni bilish kerak.
Shuningdek, veb-saytdagi yordam ma'lumotlarini ko'rishingiz mumkin va.
Qisqa videoni tomosha qiling, bu "Ko'r tomon" filmidan parcha. Aytishimiz mumkinki, bu ta'lim haqida, rahm-shafqat haqida, go'yoki "tasodifiy" uchrashuvlarning hayotimizdagi ahamiyati haqida... Lekin bu so'zlar yetarli bo'lmaydi, filmning o'zini ko'rishni tavsiya qilaman, juda tavsiya qilaman.
Sizga muvaffaqiyatlar tilayman!
Hurmat bilan, Aleksandr Krutitskix
P.S: Ijtimoiy tarmoqlardagi sayt haqida ma'lumot bersangiz, minnatdor bo'laman.
Ish turi: 7
Mavzu: Funksiyaning anti hosilasi
Vaziyat
Rasmda y=f(x) funksiyaning grafigi ko‘rsatilgan (u uchta to‘g‘ri segmentdan tashkil topgan siniq chiziq). Rasmdan foydalanib, F(9)-F(5) hisoblang, bunda F(x) f(x) funksiyaning antiderivativlaridan biridir.
Yechimni ko'rsatishYechim
Nyuton-Leybnits formulasiga ko'ra, F(9)-F(5) farqi, bunda F(x) f(x) funksiyaning antiderivativlaridan biri bo'lib, cheklangan egri chiziqli trapetsiya maydoniga teng. y=f(x) funksiya grafigi bo‘yicha y=0 , x=9 va x=5 to‘g‘ri chiziqlar. Grafikdan biz ko'rsatilgan egri trapezoidning asoslari 4 va 3 ga teng va balandligi 3 ga teng trapetsiya ekanligini aniqlaymiz.
Uning maydoni teng \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.
Javob
Ish turi: 7
Mavzu: Funksiyaning anti hosilasi
Vaziyat
Rasmda (-5; 5) oraliqda aniqlangan ba’zi f(x) funksiyaning antiderivativlaridan biri – y=F(x) funksiyaning grafigi ko‘rsatilgan. Rasmdan foydalanib, [-3” segmentidagi f(x)=0 tenglamaning yechimlari sonini aniqlang; 4].
Yechim
Anti hosila ta'rifiga ko'ra, tenglik bajariladi: F"(x)=f(x). Shuning uchun f(x)=0 tenglamani F"(x)=0 shaklida yozish mumkin. Rasmda y=F(x) funksiyaning grafigi ko'rsatilganligi sababli, biz [-3 oraliqda o'sha nuqtalarni topishimiz kerak; 4], bunda F(x) funksiyaning hosilasi nolga teng. Rasmdan ko'rinib turibdiki, bular F(x) grafigining ekstremal nuqtalarining (maksimal yoki minimal) abscissalari bo'ladi. Ko'rsatilgan intervalda ulardan 7 tasi bor (to'rtta minimal ball va uchta maksimal ball).
Javob
Manba: “Matematika. Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik 2017. Profil darajasi." Ed. F. F. Lisenko, S. Yu.
Ish turi: 7
Mavzu: Funksiyaning anti hosilasi
Vaziyat
Rasmda y=f(x) funksiyaning grafigi ko‘rsatilgan (u uchta to‘g‘ri segmentdan tashkil topgan siniq chiziq). Rasmdan foydalanib, F(5)-F(0) hisoblang, bunda F(x) f(x) funksiyaning antiderivativlaridan biridir.
Yechim
Nyuton-Leybnits formulasiga ko'ra, F(5)-F(0) farqi, bunda F(x) f(x) funksiyaning antiderivativlaridan biri bo'lib, cheklangan egri chiziqli trapetsiya maydoniga teng. y=f(x) funksiya grafigi bo‘yicha y=0 , x=5 va x=0 to‘g‘ri chiziqlar. Grafikdan biz ko'rsatilgan egri trapezoidning asoslari 5 va 3 ga teng va balandligi 3 ga teng trapetsiya ekanligini aniqlaymiz.
Uning maydoni teng \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.
Javob
Manba: “Matematika. Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik 2017. Profil darajasi." Ed. F. F. Lisenko, S. Yu.
Ish turi: 7
Mavzu: Funksiyaning anti hosilasi
Vaziyat
Rasmda (-5; 4) oraliqda aniqlangan y=F(x) funksiyaning grafigi – ba’zi f(x) funksiyaning antihosillaridan biri. Rasmdan foydalanib, (-3; 3] segmentida f (x) = 0 tenglamaning yechimlari sonini aniqlang.
Yechim
Anti hosila ta'rifiga ko'ra, tenglik bajariladi: F"(x)=f(x). Shuning uchun f(x)=0 tenglamani F"(x)=0 shaklida yozish mumkin. Rasmda y=F(x) funksiyaning grafigi ko'rsatilganligi sababli, biz [-3 oraliqda o'sha nuqtalarni topishimiz kerak; 3], bunda F(x) funksiyaning hosilasi nolga teng.
Rasmdan ko'rinib turibdiki, bular F(x) grafigining o'ta nuqtalarining (maksimal yoki minimal) abssissalari bo'ladi. Ko'rsatilgan oraliqda ulardan aniq 5 tasi mavjud (ikkita minimal ball va uchta maksimal ball).
Javob
Manba: “Matematika. Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik 2017. Profil darajasi." Ed. F. F. Lisenko, S. Yu.
Ish turi: 7
Mavzu: Funksiyaning anti hosilasi
Vaziyat
Rasmda y=f(x) qandaydir funksiyaning grafigi ko‘rsatilgan. F(x)=-x^3+4,5x^2-7 funksiya f(x) funksiyaning anti hosilalaridan biridir.
Soyali shaklning maydonini toping.
Yechim
Soyali figura yuqoridan y=f(x) funksiya grafigi, y=0, x=1 va x=3 toʻgʻri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapesiyadir. Nyuton-Leybnits formulasiga ko’ra, uning S maydoni F(3)-F(1) ayirmasiga teng, bunda F(x) shartda ko’rsatilgan f(x) funksiyaning anti hosilasidir. Shunung uchun S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4.5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4.5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.
Javob
Manba: “Matematika. Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik 2017. Profil darajasi." Ed. F. F. Lisenko, S. Yu.
Ish turi: 7
Mavzu: Funksiyaning anti hosilasi
Vaziyat
Rasmda y=f(x) qandaydir funksiyaning grafigi ko‘rsatilgan. F(x)=x^3+6x^2+13x-5 funksiya f(x) funksiyaning antihosillaridan biridir. Soyali shaklning maydonini toping.
Hosilning ishorasi bilan funksiyaning monotonlik tabiati o‘rtasidagi bog‘lanishni ko‘rsatish.
Iltimos, quyidagilarga juda ehtiyot bo'ling. Qarang, sizga NIMA berilgan jadval! Funktsiya yoki uning hosilasi
Agar hosilaning grafigi berilgan bo'lsa, keyin bizni faqat funktsiya belgilari va nollari qiziqtiradi. Bizni printsipial jihatdan hech qanday "tepaliklar" yoki "bo'shliqlar" qiziqtirmaydi!
Vazifa 1.
Rasmda intervalda aniqlangan funktsiyaning grafigi ko'rsatilgan. Funktsiyaning hosilasi manfiy bo'lgan butun nuqtalar sonini aniqlang.
Yechim:
Rasmda funksiyaning kamayadigan joylari rang bilan ajratilgan:
Funktsiyaning bu kamayuvchi hududlarida 4 ta butun qiymat mavjud.
Vazifa 2.
Rasmda intervalda aniqlangan funktsiyaning grafigi ko'rsatilgan. Funksiya grafigiga tegish chiziqqa parallel yoki to‘g‘ri keladigan nuqtalar sonini toping.
Yechim:
Agar funktsiya grafigiga teginish to'g'ri chiziqqa parallel bo'lsa (yoki bir xil bo'lsa) qiyalik, nolga teng, keyin tangens burchak koeffitsientiga ega.
Bu o'z navbatida tangensning o'qga parallel ekanligini anglatadi, chunki qiyalik tangensning o'qga moyillik burchagi tangensidir.
Shuning uchun biz grafikda ekstremum nuqtalarni (maksimal va minimal nuqtalarni) topamiz - aynan shu nuqtalarda grafaga teguvchi funktsiyalar o'qga parallel bo'ladi.
Bunday 4 ta nuqta mavjud.
Vazifa 3.
Rasmda intervalda aniqlangan funktsiya hosilasining grafigi ko'rsatilgan. Funksiya grafigiga tegish chiziqqa parallel yoki to‘g‘ri keladigan nuqtalar sonini toping.
Yechim:
Funktsiya grafigining tangensi qiyalikka ega bo'lgan chiziq bilan parallel (yoki mos keladigan) bo'lgani uchun, tangens ham qiyalikka ega.
Bu o'z navbatida teginish nuqtalarida degan ma'noni anglatadi.
Shuning uchun biz grafikdagi nechta nuqtaning ordinatasiga teng ekanligini ko'rib chiqamiz.
Ko'rib turganingizdek, bunday to'rtta nuqta mavjud.
Vazifa 4.
Rasmda intervalda aniqlangan funktsiyaning grafigi ko'rsatilgan. Funksiyaning hosilasi 0 ga teng nuqtalar sonini toping.
Yechim:
Ekstremum nuqtalarda hosila nolga teng. Bizda ulardan 4 tasi bor:
Vazifa 5.
Rasmda funktsiyaning grafigi va x o'qidagi o'n bir nuqta ko'rsatilgan:. Ushbu nuqtalarning nechtasida funktsiyaning hosilasi manfiy bo'ladi?
Yechim:
Funktsiyaning kamayishi oraliqlarida uning hosilasi manfiy qiymatlarni oladi. Va funksiya nuqtalarda kamayadi. Bunday 4 ta nuqta mavjud.
Vazifa 6.
Rasmda intervalda aniqlangan funktsiyaning grafigi ko'rsatilgan. Funktsiyaning ekstremum nuqtalarining yig'indisini toping.
Yechim:
Ekstremal nuqtalar– bu maksimal ball (-3, -1, 1) va minimal ball (-2, 0, 3).
Ekstremum nuqtalar yig'indisi: -3-1+1-2+0+3=-2.
Vazifa 7.
Rasmda intervalda aniqlangan funktsiya hosilasining grafigi ko'rsatilgan. Funksiyaning ortish oraliqlarini toping. Javobingizda ushbu intervallarga kiritilgan butun nuqtalar yig'indisini ko'rsating.
Yechim:
Rasmda funktsiyaning hosilasi manfiy bo'lmagan oraliqlar ajratib ko'rsatilgan.
Kichik o'sish oralig'ida butun son nuqtalari yo'q, ortish oralig'ida to'rtta butun qiymat mavjud: , , va .
Ularning yig'indisi:
Vazifa 8.
Rasmda intervalda aniqlangan funktsiya hosilasining grafigi ko'rsatilgan. Funksiyaning ortish oraliqlarini toping. Javobingizda ulardan eng kattasining uzunligini ko'rsating.
Yechim:
Rasmda hosila ijobiy bo'lgan barcha intervallar rang bilan ta'kidlangan, ya'ni funktsiyaning o'zi bu intervallarda ortadi.
Ulardan eng kattasining uzunligi 6 ta.
9-topshiriq.
Rasmda intervalda aniqlangan funktsiya hosilasining grafigi ko'rsatilgan. Segmentning qaysi nuqtasida u eng katta qiymatni oladi?
Yechim:
Keling, bizni qiziqtirgan segmentda grafik qanday harakat qilishini ko'rib chiqaylik faqat hosilaning belgisi .
Hosilning belgisi minus, chunki bu segmentdagi grafik o'qdan pastda joylashgan.
Rasmda qandaydir funksiyaning grafigi ko'rsatilgan \(y=f(x)\). \(F(x)=\frac(2)(3)x^3-20x^2+201x-\frac(5)(9)\) funksiyasi \(f(x) funksiyaning antiderivativlaridan biridir. )\). Soyali rasmning maydonini toping.
Javob:
Vazifa raqami:
323383. Prototip raqami:
Rasmda qandaydir funksiyaning grafigi ko'rsatilgan \(y=f(x)\). Funktsiya \(F(x)=-\frac(4)(9)x^3-\frac(34)(3)x^2-\frac(280)(3)x-\frac(18)(5) )\) \(f(x)\) funksiyaning antiderivativlaridan biridir. Soyali shaklning maydonini toping.
Javob:
Vazifa raqami:
323385. Prototip raqami:
Rasmda qandaydir funksiyaning grafigi ko'rsatilgan \(y=f(x)\). \(F(x)=-\frac(1)(6)x^3-\frac(17)(4)x^2-35x-\frac(5)(11)\) funksiyasi \(f(x)\) funksiyasining antiderivativlari. Soyali rasmning maydonini toping.
Javob:
Vazifa raqami:
323387. Prototip raqami:
Rasmda qandaydir funksiyaning grafigi ko'rsatilgan \(y=f(x)\). \(F(x)=-\frac(1)(5)x^3-\frac(9)(2)x^2-30x-\frac(11)(8)\) funksiyasi quyidagilardan biridir. \(f(x)\) funksiyasining antiderivativlari. Soyali rasmning maydonini toping.
Javob:
Vazifa raqami:
323389. Prototip raqami:
Rasmda qandaydir funksiyaning grafigi ko'rsatilgan \(y=f(x)\). Funktsiya \(F(x)=-\frac(11)(30)x^3-\frac(33)(4)x^2-\frac(297)(5)x-\frac(1)(2) )\) \(f(x)\) funksiyaning antiderivativlaridan biridir. Soyali rasmning maydonini toping.
Javob:
Vazifa raqami:
323391. Prototip raqami:
Rasmda qandaydir funksiyaning grafigi ko'rsatilgan \(y=f(x)\). \(F(x)=-\frac(7)(27)x^3-\frac(35)(6)x^2-42x-\frac(7)(4)\) funksiyasi quyidagilardan biridir. \(f(x)\) funksiyasining antiderivativlari. Soyali rasmning maydonini toping.
Javob:
Vazifa raqami:
323393. Prototip raqami:
Rasmda qandaydir funksiyaning grafigi ko'rsatilgan \(y=f(x)\). Funktsiya \(F(x)=-\frac(1)(4)x^3-\frac(21)(4)x^2-\frac(135)(4)x-\frac(13)(2) )\) \(f(x)\) funksiyaning antiderivativlaridan biridir. Soyali rasmning maydonini toping.
Javob:
Vazifa raqami:
323395. Prototip raqami:
Rasmda qandaydir funksiyaning grafigi ko'rsatilgan \(y=f(x)\). \(F(x)=-x^3-21x^2-144x-\frac(11)(4)\) funksiyasi \(f(x)\) funksiyaning antiderivativlaridan biridir. Soyali rasmning maydonini toping.
Javob:
Vazifa raqami:
323397. Prototip raqami:
Rasmda qandaydir funksiyaning grafigi ko'rsatilgan \(y=f(x)\). \(F(x)=-\frac(5)(8)x^3-\frac(105)(8)x^2-90x-\frac(1)(2)\) funksiyasi quyidagilardan biridir. \(f(x)\) funksiyasining antiderivativlari. Soyali shaklning maydonini toping.
Javob:
Vazifa raqami:
323399. Prototip raqami:
Rasmda qandaydir funksiyaning grafigi ko'rsatilgan \(y=f(x)\). Funktsiya \(F(x)=-\frac(1)(10)x^3-\frac(21)(10)x^2-\frac(72)(5)x-\frac(4)(3) )\) \(f(x)\) funksiyaning antiderivativlaridan biridir. Soyali shaklning maydonini toping.
Javob:
Sahifaga o'tish: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 34 4 3 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 82 88 8 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 12121212 28 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 1611717 6 17 7 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 212222 5 226 22 7 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 2627 722 4 275 276 27 7 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 32 32 3 324 325 326 32 7 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 3636 3637 2 373 374 375 376 37 7 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412
