Turli maxrajli qavsdagi kasrlar. Turli xil maxrajli kasrlarni qanday qo'shish mumkin. Ko'p qavatli fraktsiyalar bilan ishlashning o'ziga xos xususiyatlari

Ko'rsatma

Birinchidan, kasr bir raqamni boshqasiga bo'lish uchun shartli belgi ekanligini unutmang. Qo'shimcha va ko'paytirish, ikkita butun sonni bo'lish har doim ham butun sonni keltirib chiqarmaydi. Shunday qilib, bu ikkita "bo'linadigan" raqamni chaqiring. Bo‘linayotgan son hisoblagich, bo‘linayotgan son esa maxrajdir.

Kasrni yozish uchun avval uning numeratorini yozing, so'ngra shu sonning ostiga gorizontal chiziq chizing va chiziq ostiga maxrajni yozing. Numerator va maxrajni ajratib turuvchi gorizontal chiziq kasr satri deyiladi. Ba'zan u "/" yoki "∕" slash shaklida tasvirlangan. Bunda hisob satrning chap tomoniga, maxraj esa o'ng tomoniga yoziladi. Shunday qilib, masalan, "uchdan ikki" kasr 2/3 sifatida yoziladi. Aniqlik uchun hisoblagich odatda satrning yuqori qismida yoziladi va maxraj pastki qismida, ya'ni 2/3 o'rniga quyidagini topishingiz mumkin: ⅔.

Agar kasrning soni uning maxrajidan katta bo'lsa, unda bunday "noto'g'ri" kasr odatda "aralash" kasr sifatida yoziladi. Noto'g'ri kasrdan aralash kasrni olish uchun raqamni maxrajga bo'lish va hosil bo'lgan qismni yozish kifoya. Keyin bo'linishning qolgan qismini kasrning numeratoriga qo'ying va bu kasrni qismning o'ng tomoniga yozing (maxrajga tegmang). Masalan, 7/3 = 2⅓.

Bir xil maxrajga ega bo'lgan ikkita kasrni qo'shish uchun ularning sonlarini qo'shish kifoya (maxrajlarni qoldiring). Masalan, 2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7. Xuddi shunday, ikkita kasrni olib tashlang (hisoblagichlar chiqariladi). Masalan, 6/7 - 2/7 = (6-2)/7 = 4/7.

Maxrajlari har xil bo‘lgan ikkita kasrni qo‘shish uchun birinchi kasrning soni va maxrajini ikkinchi kasrning maxrajiga, ikkinchi kasrning soni va maxrajini birinchisining maxrajiga ko‘paytirish kerak. Natijada, siz bir xil denominatorlarga ega bo'lgan ikkita kasrning yig'indisini olasiz, ularning qo'shilishi avvalgi xatboshida tasvirlangan.

Masalan, 3/4 + 2/3 = (3*3)/(4*3) + (2*4)/(3*4) = 9/12 + 8/12 = (9+8)/12 = 17/12 = 15/12.

Agar kasrlarning maxrajlari umumiy bo'luvchilarga ega bo'lsa, ya'ni ular bir xil songa bo'linadigan bo'lsa, umumiy maxraj sifatida bir vaqtning o'zida birinchi va ikkinchi maxrajlarga bo'linadigan eng kichik sonni tanlang. Shunday qilib, masalan, birinchi maxraj 6, ikkinchisi 8 bo'lsa, umumiy maxraj sifatida ularning ko'paytmasini (48) emas, balki 6 va 8 ga bo'linadigan 24 raqamini oling. Kasrlarning soni umumiy maxrajni har bir kasrning maxrajiga bo'lish qismiga ko'paytiriladi. Masalan, maxraj 6 uchun bu raqam 4 - (24/6), maxraj uchun 8 - 3 (24/8) bo'ladi. Bu jarayon aniq misolda aniqroq ko'rinadi:

5/6 + 3/8 = (5*4)/24 + (3*3)/24 = 20/24 + 9/24 = 29/24 = 1 5/24.

Turli xil maxrajli kasrlarni ayirish ham xuddi shu tarzda amalga oshiriladi.

) va maxraj bo'yicha maxraj (ko'paytmaning maxrajini olamiz).

Kasrlarni ko'paytirish formulasi:

Masalan:

Numeratorlar va maxrajlarni ko'paytirishni davom ettirishdan oldin, kasrni kamaytirish imkoniyatini tekshirish kerak. Agar siz kasrni kamaytirishga muvaffaq bo'lsangiz, hisob-kitoblarni davom ettirish sizga osonroq bo'ladi.

Oddiy kasrni kasrga bo'lish.

Natural son ishtirokidagi kasrlarni bo'lish.

Bu ko'rinadigan darajada qo'rqinchli emas. Qo'shishda bo'lgani kabi, biz butun sonni maxrajdagi birlik bilan kasrga aylantiramiz. Masalan:

Aralash kasrlarni ko`paytirish.

Kasrlarni ko'paytirish qoidalari (aralash):

• aralash kasrlarni noto'g'riga aylantirish;
• kasrlarning son va maxrajlarini ko'paytirish;
• biz kasrni kamaytiramiz;
• agar biz noto'g'ri kasrni olsak, unda noto'g'ri kasrni aralash kasrga aylantiramiz.

Eslatma! Aralash kasrni boshqa aralash kasrga ko'paytirish uchun avval ularni noto'g'ri kasrlar shakliga keltirish kerak, keyin esa oddiy kasrlarni ko'paytirish qoidasiga muvofiq ko'paytirish kerak.

Kasrni natural songa ko'paytirishning ikkinchi usuli.

Oddiy kasrni songa ko'paytirishning ikkinchi usulini qo'llash qulayroqdir.

Eslatma! Kasrni natural songa ko'paytirish uchun kasrning maxrajini shu songa bo'lish va hisoblagichni o'zgarishsiz qoldirish kerak.

Yuqoridagi misoldan ko'rinib turibdiki, kasrning maxraji natural songa qoldiqsiz bo'linganda bu variantdan foydalanish qulayroqdir.

Ko'p darajali kasrlar.

O'rta maktabda uch qavatli (yoki undan ko'p) kasrlar ko'pincha topiladi. Misol:

Bunday kasrni odatiy shaklga keltirish uchun 2 nuqtaga bo'lish qo'llaniladi:

Eslatma! Kasrlarni bo'lishda bo'linish tartibi juda muhimdir. Ehtiyot bo'ling, bu erda chalkashib ketish oson.

Eslatma, Masalan:

Birni istalgan kasrga bo'lganda, natija bir xil kasr bo'ladi, faqat teskari:

Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish bo'yicha amaliy maslahatlar:

1. Kasrli iboralar bilan ishlashda eng muhimi aniqlik va diqqatlilikdir. Barcha hisob-kitoblarni diqqat bilan va aniq, diqqat bilan va aniq bajaring. Boshingizdagi hisob-kitoblarda chalkashib ketgandan ko'ra, qoralamaga bir nechta qo'shimcha qatorlarni yozib qo'yganingiz ma'qul.

2. Har xil turdagi kasrli topshiriqlarda - oddiy kasrlar turiga o'ting.

3. Endi kamaytirish mumkin bo'lmaguncha barcha fraktsiyalarni kamaytiramiz.

4. Ko'p darajali kasr iboralarni 2 nuqtaga bo'lish orqali oddiylarga keltiramiz.

5. Biz birlikni ongimizda kasrga ajratamiz, shunchaki kasrni aylantiramiz.

Kasrlar oddiy sonlar bo'lib, ularni qo'shish va ayirish ham mumkin. Ammo ularning maxraji borligi sababli, bu erda butun sonlarga qaraganda murakkabroq qoidalar talab qilinadi.

Bir xil maxrajga ega bo'lgan ikkita kasr mavjud bo'lgan eng oddiy holatni ko'rib chiqing. Keyin:

Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun ularning sonlarini qo'shing va maxrajni o'zgarishsiz qoldiring.

Bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarni ayirish uchun birinchi kasrning sonidan ikkinchining soni ayiriladi va yana maxrajni o'zgarishsiz qoldirish kerak.

Har bir ifoda ichida kasrlarning maxrajlari teng. Kasrlarni qo'shish va ayirish ta'rifi bilan biz quyidagilarni olamiz:

Ko'rib turganingizdek, hech qanday murakkab narsa yo'q: faqat raqamlarni qo'shing yoki ayirasiz - va hammasi.

Ammo bunday oddiy harakatlarda ham odamlar xatoga yo'l qo'yishadi. Ko'pincha ular maxraj o'zgarmasligini unutishadi. Misol uchun, ularni qo'shganda, ular ham qo'shila boshlaydi va bu tubdan noto'g'ri.

Denominatorlarni qo'shishning yomon odatidan xalos bo'lish juda oddiy. Ayirish paytida ham xuddi shunday qilishga harakat qiling. Natijada, maxraj nolga teng bo'ladi va kasr (birdan!) o'z ma'nosini yo'qotadi.

Shuning uchun, bir marta va butunlay esda tuting: qo'shish va ayirishda maxraj o'zgarmaydi!

Bundan tashqari, ko'p odamlar bir nechta salbiy kasrlarni qo'shishda xato qilishadi. Belgilar bilan chalkashlik bor: qaerga minus qo'yish kerak, va qayerda - ortiqcha.

Bu muammoni hal qilish ham juda oson. Kasr belgisi oldidagi minus har doim hisoblagichga o'tkazilishi mumkinligini yodda tutish kifoya - va aksincha. Va, albatta, ikkita oddiy qoidani unutmang:

1. Plyus marta minus minus beradi;
2. Ikki salbiy tasdiqlovchini hosil qiladi.

Bularning barchasini aniq misollar bilan tahlil qilaylik:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

Birinchi holda, hamma narsa oddiy, ikkinchisida esa kasrlar hisoblagichlariga minuslar qo'shamiz:

Agar denominatorlar boshqacha bo'lsa-chi

Siz to'g'ridan-to'g'ri har xil maxrajli kasrlarni qo'sha olmaysiz. Hech bo'lmaganda, bu usul menga noma'lum. Biroq, asl kasrlarni har doim qayta yozish mumkin, shunda maxrajlar bir xil bo'ladi.

Kasrlarni aylantirishning ko'plab usullari mavjud. Ulardan uchtasi "Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish" darsida muhokama qilinadi, shuning uchun biz bu erda ularga to'xtalmaymiz. Keling, ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

Birinchi holda, biz kasrlarni umumiy maxrajga "o'zaro faoliyat" usuli yordamida keltiramiz. Ikkinchisida biz LCM ni qidiramiz. E'tibor bering, 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Bu kengayishlarning oxirgi omillari teng, birinchilari esa koʻp tubdir. Demak, LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Agar kasr butun son bo'lsa-chi?

Men sizni xursand qila olaman: kasrlarning turli xil maxrajlari eng katta yovuzlik emas. Butun qism kasr bilan ajratilganda ko'proq xatolar yuzaga keladi.

Albatta, bunday kasrlar uchun qo'shish va ayirishning o'ziga xos algoritmlari mavjud, ammo ular ancha murakkab va uzoq o'rganishni talab qiladi. Quyidagi oddiy diagrammadan foydalanish yaxshiroqdir:

1. Butun qismdan iborat barcha kasrlarni noto'g'ri kasrga aylantiring. Biz yuqorida muhokama qilingan qoidalarga muvofiq hisoblangan oddiy shartlarni olamiz (hatto turli xil denominatorlar bilan bo'lsa ham);
2. Aslida, hosil bo'lgan kasrlarning yig'indisini yoki farqini hisoblang. Natijada, biz javobni amalda topamiz;
3. Agar bu vazifada zarur bo'lgan hamma narsa bo'lsa, biz teskari o'zgartirishni amalga oshiramiz, ya'ni. undagi butun sonni ajratib ko'rsatib, noto'g'ri kasrdan qutulamiz.

Noto'g'ri kasrlarga o'tish va butun qismni ajratib ko'rsatish qoidalari "Raqamli kasr nima" darsida batafsil tavsiflangan. Esingizda bo'lmasa, takrorlashni unutmang. Misollar:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

Bu erda hamma narsa oddiy. Har bir ifoda ichidagi maxrajlar teng, shuning uchun barcha kasrlarni noto'g'ri bo'lganlarga aylantirish va hisoblash qoladi. Bizda ... bor:

Hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun men oxirgi misollardagi ba'zi aniq qadamlarni o'tkazib yubordim.

Oxirgi ikkita misolga kichik eslatma, bu erda ajratilgan butun qismli kasrlar ayiriladi. Ikkinchi kasr oldidagi minus uning butun qismi emas, balki butun kasr ayirilishini bildiradi.

Ushbu jumlani qayta o'qing, misollarni ko'rib chiqing va o'ylab ko'ring. Bu erda yangi boshlanuvchilar juda ko'p xatolarga yo'l qo'yishadi. Ular nazorat ishlarida bunday topshiriqlarni berishni yaxshi ko'radilar. Tez orada chop etiladigan ushbu dars uchun test sinovlarida ham ular bilan qayta-qayta uchrashasiz.

Xulosa: Hisoblashning umumiy sxemasi

Xulosa qilib aytganda, men ikki yoki undan ortiq kasrlarning yig'indisini yoki farqini topishga yordam beradigan umumiy algoritmni beraman:

1. Agar butun qism bir yoki bir nechta kasrda ajratib ko'rsatilgan bo'lsa, bu kasrlarni noto'g'ri bo'lganlarga aylantiring;
2. Barcha kasrlarni siz uchun qulay bo'lgan har qanday usulda umumiy maxrajga keltiring (agar, albatta, muammolarni tuzuvchilar buni qilmagan bo'lsa);
3. Olingan sonlarni bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirish qoidalariga muvofiq qo'shish yoki ayirish;
4. Iloji bo'lsa, natijani kamaytiring. Agar kasr noto'g'ri bo'lsa, butun qismni tanlang.

Esda tutingki, javobni yozishdan oldin, vazifaning eng oxirida butun qismini ajratib ko'rsatish yaxshiroqdir.

Keling, matematikadan uy vazifasi bilan jangga boraylik! Dushman - itoatsiz fraksiyalar. 5-sinf dasturi. Strategik muhim vazifa bolaga kasrlarni tushuntirishdir. Keling, o'qituvchi bilan rollarni almashtiraylik va buni "ozgina qon to'kish bilan", asabsiz va qulay shaklda qilishga harakat qilaylik. Rotadan ko'ra bitta askarni tayyorlash ancha oson...

ria.ru

Bolaga kasrlarni qanday tushuntirish kerak

Farzandingiz 5-sinfga borguncha va matematika darsligi sahifalarida kasrlarga duch kelguncha kutmang. Oshxonada "Bolaga kasrlarni qanday tushuntirish kerak" degan savolga javob izlashni tavsiya etamiz! Va buni hozir qiling! Farzandingiz 4-5 yoshda bo'lsa ham, u "kasrlar" tushunchasining ma'nosini tushunishga qodir va hatto kasrlar bilan eng oddiy harakatlarni ham o'rganishi mumkin.

Biz apelsinni baham ko'ramiz.
Biz ko'pmiz va u bitta
Bu tilim tipratikan uchun, bu tilim teri uchun...
Va bo'ri uchun - qobig'i.

She'rni eslaysizmi? Mana, eng yorqin misol va harakatlar uchun eng samarali qo'llanma! Bolaga kasrlarni ovqatdan misol qilib tushuntirish eng oson: biz olmani yarmiga va chorakka bo'lamiz, oila a'zolarimiz o'rtasida pizza ajratamiz, kechki ovqatdan oldin bir bo'lak nonni kesib tashladik va hokazo. Eng muhimi, "vizual yordam" ni iste'mol qilishdan oldin, siz butunning qaysi qismini "yo'q qilayotganingizni" ovoz chiqarib qo'yishni unutmang.

• "Ulashish" tushunchasini kiriting.

BUTUN apelsin (olma, shokolad, tarvuz va boshqalar) 1 (1 raqami bilan belgilanadi) ekanligini ta'kidlang.

• "Kasr" tushunchasini kiriting.

Biz apelsin yoki shokolad barini ajratamiz, siz ham bir necha qismlarga "ezish" deyishingiz mumkin.

Farzandingizga taniqli ob'ektni - o'lchagichni ko'rsating. Raqamlar - qismlar o'rtasida oraliq qiymatlar mavjudligini tushuntiring.

i.ytimg.com

• Kasrlarni qanday yozishni tushuntiring: hisoblagich nimani anglatadi va maxraj nimani anglatadi.

"Kasrlar" tushunchasining ma'nosi va to'g'ri belgilanishini konstruktor misolida osongina ko'rsatish mumkin. Qatordan YUQORI hisoblagichga qaysi qismni, maxrajga esa satr Ostida - butun qancha shunday bo'laklarga bo'linganligini yozamiz.

gladtolearn.com

spacemath.xyz

Bir xil, ammo maxrajlari har xil bo'lgan kasrlar orasidagi farqni ko'rsatish uchun yaxshi misoldan foydalaning.

gladtolearn.com

Bir xil o'lchamdagi 4 ta kvadrat misolidan foydalanib, ularni bir xil / turli xil qismlarga qanday ajratish mumkinligini ko'rsating. Bolaga qog'oz blankalarini qaychi bilan kesishiga ruxsat bering, so'ngra natijalarni kasrlar yordamida yozing.

gladtolearn.com

• Butunni kasr shaklida yozishni tushuntiring.

Kvadratni va uni 4 qismga qanday ajratganimizni eslang. Kvadrat butun, biz uni 1 deb yozishimiz mumkin. Lekin uni kasr sifatida qanday yozish kerak: sanoqda nima bor, maxrajda nima? Agar biz kvadratni 4 qismga bo'lsak, unda butun kvadrat 4/4 bo'ladi. Agar kvadratni 8 qismga bo'lsak, butun kvadrat 8/8 bo'ladi. Lekin bu hali ham kvadrat, ya'ni. 1. 4/4 ham, 8/8 ham birlik, bir butun!

Bolaga kasrlarni qanday tushuntirish mumkin: TO'G'ri savollarni bering

5-sinf o'quvchisi "Kasrlar" mavzusini tushunishi va kasrlar bilan hisoblashni o'rganishi uchun keling, metodologiyani ko'rib chiqaylik. Biz, ota-onalar, maktabdagi o'qituvchi bolalarga kasrlarni qanday tushuntirayotganini tushunish juda muhim, aks holda biz "askarimizni" butunlay chalkashtirib yuborishimiz mumkin.

Kasr - bu butun ob'ektning bir qismi bo'lgan son. U har doim bittadan kamroq.

1-misol Olma bir butun, yarim esa bir soniya. U butun olmadan kichikmi? Yarimlarni yana yarmiga bo'ling. Har bir bo'lak butun olmaning to'rtdan bir qismini tashkil qiladi va u yarmidan kamroqdir.

Kasr - bu butunning qismlari soni.

2-misol Masalan, kiyim-kechak do'koniga yangi mahsulot keltirildi: 30 ko'ylak. Sotuvchilar yangi kollektsiyadagi barcha ko'ylaklarning atigi uchdan bir qismini joylashtirishga va osib qo'yishga muvaffaq bo'lishdi. Ular nechta ko'ylak osgan?
Bolaning uchdan bir qismi (uchdan biri) 10 ta ko'ylak ekanligini og'zaki ravishda osongina hisoblab chiqadi, ya'ni. 10 tasi ilib, savdo maydonchasiga olib ketildi, yana 20 tasi omborda qoldi.

Xulosa: Hamma narsani kasrlar bilan o'lchash mumkin, nafaqat pitsa bo'laklari, balki bochkalardagi litrlar, o'rmondagi yovvoyi hayvonlarning soni, hudud va boshqalar.

5-sinf bolasi kasrlarning mohiyatini tushunishi uchun hayotdan turli misollar keltiring: bu kelajakda to'g'ri va noto'g'ri kasrlar bilan muammolarni echishda va hisob-kitoblarni bajarishda yordam beradi va 5-sinfda o'rganish yuk bo'lmaydi, balki quvonch.

Bola kasrlarni yozishda hisoblagich va maxrajdagi raqamlar belgilanishini bilib olganiga qanday ishonch hosil qilish mumkin?

3-misol 4/5 kasrda 5 nimani anglatadi, deb so'rang?

- Bu qancha qismga bo'lingan.
- 4 degani nimani anglatadi?
- Ular qancha pul olishdi.

Kasrlarni taqqoslash, ehtimol, eng qiyin mavzudir.

4-misol Bolani qaysi kasr kattaroq ekanligini aytishga taklif qiling: 3/10 yoki 3/20? Ko'rinib turibdiki, 10 20 dan kam bo'lganligi sababli, javob aniq, lekin unday emas! Biz bo'laklarga bo'lgan kvadratlarni eslang. Agar bir xil o'lchamdagi ikkita kvadrat kesilsa - biri 10 ga, ikkinchisi 20 qismga - javob aniqmi? Xo'sh, qaysi kasr kattaroq?

Kasrlar bilan amallar

Agar bola kasr shaklida yozishning ma'nosini yaxshi o'zlashtirganini ko'rsangiz, kasrlar bilan oddiy arifmetik operatsiyalarga o'tishingiz mumkin. Konstruktor misolida buni juda aniq bajarishingiz mumkin.

5-misol

edinstvennaya.ua

6-misol"Kasrlar" mavzusidagi matematik loto.

www.kakprosto.ru

Hurmatli o'quvchilar, agar siz bolaga kasrlarni tushuntirishning boshqa samarali usullarini bilsangiz, ularni sharhlarda baham ko'ring. Biz cho'chqachilik bankimizni amaliy maktab maslahatlari bilan to'ldirishdan mamnunmiz.

Fraksiya- matematikada sonni tasvirlash shakli. Egri chiziq bo'linish operatsiyasini bildiradi. hisoblagich kasrlar dividend deb ataladi va maxraj- ajratuvchi. Masalan, kasrda ayirgich 5 ga, maxraj esa 7 ga teng.

To'g'ri Numeratorning moduli maxraj modulidan katta bo'lsa, kasr deyiladi. Agar kasr to'g'ri bo'lsa, unda uning qiymati moduli har doim 1 dan kichik bo'ladi. Boshqa barcha kasrlar noto'g'ri.

Fraksiya deyiladi aralashgan agar u butun va kasr shaklida yozilsa. Bu raqam va kasrning yig'indisi bilan bir xil:

Kasrning asosiy xossasi

Agar kasrning soni va maxraji bir xil songa ko'paytirilsa, u holda kasrning qiymati o'zgarmaydi, ya'ni, masalan.

Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish

Ikki kasrni umumiy maxrajga keltirish uchun sizga kerak bo'ladi:

1. Birinchi kasrning sonini ikkinchi kasrning maxrajiga ko'paytiring
2. Ikkinchi kasrning sonini birinchisining maxrajiga ko'paytiring
3. Ikkala kasrning maxrajlarini ularning ko‘paytmasi bilan almashtiring

Kasrlar bilan amallar

Qo'shish. Ikki kasr qo'shish uchun sizga kerak

1. Har ikkala kasrning yangi sonlarini qo'shing va maxrajni o'zgarishsiz qoldiring

Misol:

Ayirish. Bir kasrni boshqasidan ayirish uchun,

1. Kasrlarni umumiy maxrajga keltiring
2. Birinchi kasrning sonidan ikkinchi kasrning sonini ayirib, maxrajni o'zgarishsiz qoldiring.

Misol:

Ko'paytirish. Bir kasrni boshqa kasrga ko'paytirish uchun ularning soni va maxrajlarini ko'paytirish kerak.