Buni eslab qolish juda oson.

Xo'sh, biz uzoqqa bormaymiz, darhol teskari funktsiyani ko'rib chiqamiz. Ko'rsatkichli funktsiyaning teskarisi nima? Logarifm:

Bizning holatlarimizda, asosiy raqam:

Bunday logarifm (ya'ni, asosli logarifm) "tabiiy" deb ataladi va biz buning uchun maxsus belgidan foydalanamiz: o'rniga yozamiz.

Nimaga teng? Albatta, .

Tabiiy logarifmning hosilasi ham juda oddiy:

Misollar:

1. Funktsiyaning hosilasini toping.
2. Funktsiyaning hosilasi nima?

Javoblar: Ko'rsatkich va natural logarifm hosila jihatidan juda oddiy bo'lgan funksiyalardir. Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar boshqa bazis bilan boshqa hosilaga ega bo‘ladi, biz ularni keyinroq, differentsiallash qoidalaridan o‘tganimizdan keyin tahlil qilamiz.

Farqlash qoidalari

Qanday qoidalar? Yana yangi atama, yana?!...

Differentsiatsiya hosilani topish jarayonidir.

Faqat va hamma narsa. Bu jarayon uchun boshqa so'z nima? Proizvodnovanie emas... Matematikaning differensialligi funksiyaning o'ta o'sishi deb ataladi. Bu atama lotincha differentia - farq so'zidan kelib chiqqan. Bu yerga.

Ushbu qoidalarning barchasini olishda biz ikkita funktsiyadan foydalanamiz, masalan, va. Ularning o'sishi uchun bizga formulalar ham kerak bo'ladi:

Hammasi bo'lib 5 ta qoida mavjud.

Konstanta hosila belgisidan olinadi.

Agar - qandaydir doimiy son (doimiy), keyin.

Shubhasiz, bu qoida farq uchun ham ishlaydi: .

Keling, buni isbotlaylik. Qo'ying yoki osonroq.

Misollar.

Funksiyalarning hosilalarini toping:

1. nuqtada;
2. nuqtada;
3. nuqtada;
4. nuqtada.

Yechimlar:

1. (hosil barcha nuqtalarda bir xil, chunki u chiziqli funktsiya, esingizdami?);

Mahsulot hosilasi

Bu erda hamma narsa o'xshash: biz yangi funktsiyani kiritamiz va uning o'sishini topamiz:

Hosil:

Misollar:

1. Funksiyalarning hosilalarini toping va;
2. Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini toping.

Yechimlar:

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Endi sizning bilimingiz faqat ko'rsatkichni emas, balki har qanday ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasini qanday topishni o'rganish uchun etarli (u nima ekanligini hali unutdingizmi?).

Xo'sh, raqam qayerda.

Biz funktsiyaning hosilasini allaqachon bilamiz, shuning uchun funksiyamizni yangi bazaga keltirishga harakat qilaylik:

Buning uchun oddiy qoidadan foydalanamiz: . Keyin:

Mayli, ishladi. Endi hosilani topishga harakat qiling va bu funktsiya murakkab ekanligini unutmang.

Bo'ldimi?

Mana, o'zingizni tekshiring:

Formula ko'rsatkichning hosilasiga juda o'xshash bo'lib chiqdi: xuddi shunday bo'lib qoldi, faqat omil paydo bo'ldi, bu shunchaki raqam, lekin o'zgaruvchi emas.

Misollar:
Funksiyalarning hosilalarini toping:

Javoblar:

Bu faqat kalkulyatorsiz hisoblab bo'lmaydigan raqam, ya'ni uni oddiyroq shaklda yozib bo'lmaydi. Shuning uchun javobda bu shaklda qoldiriladi.

E'tibor bering, bu erda ikkita funktsiyaning nisbati mavjud, shuning uchun biz tegishli farqlash qoidasini qo'llaymiz:

Ushbu misolda ikkita funktsiyaning mahsuloti:

Logarifmik funktsiyaning hosilasi

Mana shunga o'xshash: siz tabiiy logarifmning hosilasini allaqachon bilasiz:

Shuning uchun, logarifmadan boshqa asosga ega bo'lgan ixtiyoriyni topish uchun, masalan:

Biz bu logarifmni bazaga keltirishimiz kerak. Logarifm asosini qanday o'zgartirish mumkin? Umid qilamanki, siz ushbu formulani eslaysiz:

Faqat hozir o'rniga biz yozamiz:

Maxraj faqat doimiy bo'lib chiqdi (o'zgarmas son, o'zgaruvchisiz). Tsikl juda oddiy:

Eksponensial va logarifmik funktsiyalarning hosilalari imtihonda deyarli topilmaydi, lekin ularni bilish ortiqcha bo'lmaydi.

Murakkab funktsiyaning hosilasi.

"Murakkab funktsiya" nima? Yo'q, bu logarifm emas, yoy tangensi ham emas. Bu funktsiyalarni tushunish qiyin bo'lishi mumkin (garchi siz uchun logarifm qiyin bo'lib tuyulsa ham, "Logarifmlar" mavzusini o'qing va hamma narsa amalga oshadi), lekin matematika nuqtai nazaridan "murakkab" so'zi "qiyin" degani emas.

Kichik konveyerni tasavvur qiling: ikki kishi o'tirib, ba'zi narsalar bilan ba'zi harakatlar qilmoqda. Misol uchun, birinchisi shokolad barini o'ramga o'radi, ikkinchisi esa uni lenta bilan bog'laydi. Bunday kompozitsion ob'ekt chiqadi: o'ralgan va lenta bilan bog'langan shokolad bar. Shokolad barini iste'mol qilish uchun siz teskari tartibda teskari amallarni bajarishingiz kerak.

Keling, shunga o'xshash matematik quvur liniyasini yarataylik: birinchi navbatda sonning kosinusini topamiz, so'ngra hosil bo'lgan sonni kvadratga olamiz. Shunday qilib, ular bizga raqam (shokolad) berishadi, men uning kosinusini (o'ramini) topaman, keyin men olgan narsamni kvadratga aylantirasiz (tasma bilan bog'lang). Nima bo'ldi? Funktsiya. Bu murakkab funktsiyaga misol: uning qiymatini topish uchun biz birinchi amalni bevosita o'zgaruvchi bilan, so'ngra birinchi amal natijasida sodir bo'lgan boshqa ikkinchi amalni bajarganimizda.

Boshqa so'z bilan, Argumenti boshqa funktsiya bo'lgan funktsiya murakkab funktsiyadir: .

Bizning misolimiz uchun, .

Biz xuddi shu harakatlarni teskari tartibda bajarishimiz mumkin: avval siz kvadratga o'tasiz, keyin esa natijada olingan sonning kosinusini qidiraman:. Natija deyarli har doim boshqacha bo'lishini taxmin qilish oson. Murakkab funktsiyalarning muhim xususiyati: harakatlar tartibi o'zgarganda, funktsiya o'zgaradi.

Ikkinchi misol: (xuddi shunday). .

Biz qiladigan oxirgi harakat chaqiriladi "tashqi" funktsiya, va birinchi bajarilgan harakat - mos ravishda "ichki" funktsiya(bu norasmiy nomlar, men ulardan faqat materialni sodda tilda tushuntirish uchun foydalanaman).

Qaysi funktsiya tashqi va qaysi ichki ekanligini o'zingiz aniqlashga harakat qiling:

Javoblar: Ichki va tashqi funktsiyalarni ajratish o'zgaruvchan o'zgaruvchilarga juda o'xshaydi: masalan, funktsiyada

1. Biz birinchi navbatda qanday chora ko'ramiz? Avval sinusni hisoblaymiz va shundan keyingina uni kubga ko'taramiz. Demak, bu tashqi emas, balki ichki funksiya.
   Va asl vazifasi ularning tarkibi: .
2. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
3. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
4. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
5. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .

biz o'zgaruvchilarni o'zgartiramiz va funktsiyani olamiz.

Xo'sh, endi biz shokoladimizni chiqaramiz - hosilani qidiring. Jarayon har doim teskari bo'ladi: birinchi navbatda tashqi funktsiyaning hosilasini qidiramiz, keyin natijani ichki funktsiya hosilasiga ko'paytiramiz. Asl misol uchun u quyidagicha ko'rinadi:

Yana bir misol:

Shunday qilib, keling, nihoyat rasmiy qoidani shakllantiramiz:

Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:

Bu oddiy ko'rinadi, to'g'rimi?

Keling, misollar bilan tekshiramiz:

Yechimlar:

1) ichki: ;

Tashqi: ;

2) ichki: ;

(Faqat hozirgacha kamaytirishga urinmang! Kosinus ostidan hech narsa chiqarilmaydi, esingizdami?)

3) ichki: ;

Tashqi: ;

Bu erda uch darajali murakkab funktsiya mavjudligi darhol ayon bo'ladi: axir, bu allaqachon o'z-o'zidan murakkab funktsiya va biz hali ham undan ildizni chiqaramiz, ya'ni uchinchi harakatni bajaramiz (shokoladni o'ramga soling. va portfeldagi lenta bilan). Ammo qo'rqish uchun hech qanday sabab yo'q: baribir, biz bu funktsiyani odatdagidek bir xil tartibda "ochamiz": oxiridan.

Ya'ni, avval ildizni, keyin kosinusni va shundan keyingina qavs ichidagi ifodani farqlaymiz. Va keyin biz hammasini ko'paytiramiz.

Bunday hollarda harakatlarni raqamlash qulay. Ya'ni, biz bilgan narsalarni tasavvur qilaylik. Ushbu ifoda qiymatini hisoblash uchun qanday tartibda amallarni bajaramiz? Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Harakat qanchalik kech bajarilsa, mos keladigan funktsiya shunchalik "tashqi" bo'ladi. Harakatlar ketma-ketligi - avvalgidek:

Bu erda uy qurish odatda 4 darajali. Keling, harakat yo'nalishini aniqlaylik.

1. Radikal ifoda. .

2. Ildiz. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Hammasini birlashtirib:

HOSILA. ASOSIY HAQIDA QISQA

Funktsiya hosilasi- funktsiya o'sishining argumentning cheksiz o'sishi bilan argumentning o'sishiga nisbati:

Asosiy hosilalar:

Farqlash qoidalari:

Konstanta hosila belgisidan olinadi:

summaning hosilasi:

Hosil mahsulot:

Ko'rsatkichning hosilasi:

Murakkab funktsiyaning hosilasi:

Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:

1. Biz "ichki" funktsiyani aniqlaymiz, uning hosilasini topamiz.
2. Biz "tashqi" funktsiyani aniqlaymiz, uning hosilasini topamiz.
3. Birinchi va ikkinchi nuqtalarning natijalarini ko'paytiramiz.

Va murakkab funktsiyaning hosilasi haqidagi teorema, formulasi quyidagicha:

1) $u=\varphi (x)$ funksiyasi biror nuqtada $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ hosilasiga ega bo'lsin, 2) $y=f(u)$ funksiyasi $u_0=\varphi (x_0)$ mos nuqtasida $y_(u)"=f"(u)$ hosilasiga ega. U holda ko'rsatilgan nuqtadagi $y=f\left(\varphi (x) \right)$ kompleks funksiyasi ham $f(u)$ va $\varphi ( funksiyalar hosilalarining hosilasiga teng hosilaga ega bo'ladi. x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \o'ng)\cdot \varphi"(x_0) $$

yoki qisqaroq yozuvda: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Ushbu bo'lim misollarida barcha funksiyalar $y=f(x)$ ko'rinishga ega (ya'ni, biz faqat bitta $x$ o'zgaruvchining funksiyalarini ko'rib chiqamiz). Shunga ko'ra, barcha misollarda $x$ o'zgaruvchisiga nisbatan $y"$ hosilasi olinadi. Hosil $x$ o'zgaruvchisiga nisbatan olinganligini ta'kidlash uchun ko'pincha $ o'rniga $y"_x$ yoziladi. y"$.

№1, №2 va №3 misollar murakkab funksiyalarning hosilasini topish uchun batafsil jarayonni taqdim etadi. 4-misol lotinlar jadvalini to'liqroq tushunish uchun mo'ljallangan va u bilan tanishish mantiqan.

1-3-misollardagi materialni o'rganib chiqqandan so'ng, 5-sonli, 6-sonli va 7-sonli misollarni mustaqil yechishga o'tish tavsiya etiladi. №5, 6 va 7-misollar qisqacha yechimni o'z ichiga oladi, shunda o'quvchi o'z natijasining to'g'riligini tekshirishi mumkin.

№1 misol

$y=e^(\cos x)$ funksiyaning hosilasini toping.

$y"$ kompleks funksiyasining hosilasini topishimiz kerak. $y=e^(\cos x)$ ekan, $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$ bo'ladi. $ \left(e^(\cos x)\right)"$ hosilasini toping, hosilalar jadvalidagi №6 formuladan foydalaning. 6-sonli formuladan foydalanish uchun siz bizning holatlarimizda $u=\cos x$ ekanligini hisobga olishingiz kerak. Keyingi yechim $u$ o'rniga $\cos x$ ifodasini №6 formulaga almashtirishdan iborat:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Endi $(\cos x)"$ ifodaning qiymatini topishimiz kerak. Yana hosilalar jadvaliga murojaat qilamiz, undan 10-formulani tanlaymiz. 10-formulaga $u=x$ ni almashtirsak, hosil boʻladi. : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Endi biz tenglikni (1.1) davom ettiramiz va uni topilgan natija bilan to'ldiramiz:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \teg (1.2) $$

$x"=1$ ekan, biz tenglikni davom ettiramiz (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Demak, (1.3) tenglikdan bizda: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Tabiiyki, odatda tushuntirishlar va oraliq tengliklar o'tkazib yuboriladi, hosila tenglikdagi kabi bir qatorga yoziladi. (1.3) Shunday qilib, kompleks funksiyaning hosilasi topildi, javobni yozishgina qoladi.

Javob: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

№2 misol

$y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ funksiyaning hosilasini toping.

Biz $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ hosilasini hisoblashimiz kerak. Boshlash uchun shuni ta'kidlaymizki, doimiy (ya'ni 9 raqami) hosila belgisidan chiqarilishi mumkin:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \o'ng)" \teg (2.1) $$

Endi $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ ifodasiga murojaat qilamiz. Hosilalar jadvalidan kerakli formulani tanlashni osonlashtirish uchun ifodani taqdim etaman. ushbu shaklda savol: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Endi 2-sonli formuladan foydalanish kerakligi aniq, ya'ni. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Ushbu formulada $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ va $\alpha=12$ oʻrniga qoʻying:

Tenglikni (2.1) olingan natija bilan to'ldirib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \teg (2.2) $$

Bunday holatda, birinchi bosqichda hal qiluvchi formula o'rniga $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ formulasini tanlaganida xatolik yuzaga keladi. $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Gap shundaki, birinchi navbatda tashqi funktsiyaning hosilasi topilishi kerak. $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ ifodasiga qaysi funksiya tashqi boʻlishini tushunish uchun $\arctg^(12)(4\cdot 5^) ifodasining qiymatini hisoblayotganingizni tasavvur qiling. x)$ ba'zi $x$ qiymati uchun. Avval $5^x$ qiymatini hisoblab chiqasiz, so'ngra $4\cdot 5^x$ olish uchun natijani 4 ga ko'paytirasiz. Endi biz ushbu natijadan $\arctg(4\cdot 5^x)$ olib, arktangentni olamiz. Keyin olingan sonni o'n ikkinchi darajaga ko'taramiz, $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ olamiz. Oxirgi harakat, ya'ni. 12 kuchiga ko'tarish, - va tashqi funktsiya bo'ladi. Va shundan kelib chiqadiki, hosila topishni boshlash kerak, bu tenglikda bajarilgan (2.2).

Endi biz $(\arctg(4\cdot \ln x))"$ topishimiz kerak. Biz hosilalar jadvalining №19 formulasidan foydalanamiz va unga $u=4\cdot \ln x$ almashtiramiz:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Olingan ifodani $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$ ni hisobga olgan holda biroz soddalashtiramiz.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Tenglik (2.2) endi quyidagicha bo'ladi:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \teg (2.3) $$

$(4\cdot \ln x)"$ ni topish qoladi. Hosil belgisidan doimiyni (ya'ni 4) oling: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)"$ $(\ln x)"$ ni topish uchun $u=x$ o'rniga №8 formuladan foydalanamiz: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. $x"=1$ ekan, $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Olingan natijani (2.3) formulaga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Sizga shuni eslatib o'tamanki, murakkab funktsiyaning hosilasi oxirgi tenglikda yozilganidek, ko'pincha bir qatorda bo'ladi. Shuning uchun, standart hisob-kitoblarni yoki testlarni amalga oshirayotganda, eritmani bir xil tafsilotlarda bo'yash kerak emas.

Javob: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

№3 misol

$y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ funksiyasining $y"$ ni toping.

Birinchidan, radikalni (ildiz) quvvat sifatida ifodalash orqali $y$ funktsiyasini biroz o'zgartiramiz: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Endi hosilani topishni boshlaylik. $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$ boʻlgani uchun:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\o'ng)" \teg (3.1) $$

Biz hosilalar jadvalidagi 2-formuladan foydalanamiz, unga $u=\sin(5\cdot 9^x)$ va $\alpha=\frac(3)(7)$ almashtiramiz:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Olingan natijadan foydalanib, tenglikni (3.1) davom ettiramiz:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\o'ng)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Endi biz $(\sin(5\cdot 9^x))"$ ni topishimiz kerak. Buning uchun hosilalar jadvalidan $u=5\cdot 9^x$ oʻrniga №9 formuladan foydalanamiz:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Tenglikni (3.2) olingan natija bilan to'ldirib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\o'ng)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \teg (3.3) $$

$(5\cdot 9^x)"$ ni topish qoladi. Birinchidan, hosila belgisidan doimiyni ($5$ raqami) chiqaramiz, ya'ni $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. $(9^x)"$ hosilasini topish uchun hosilalar jadvalining №5 formulasini unga $a=9$ va $u=x$ oʻrniga qoʻyamiz: $ (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. $x"=1$ ekan, u holda $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Endi biz tenglikni davom ettiramiz (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\o'ng)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\o'ng) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Siz $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ ni $\ frac(1) qilib yozish orqali kuchlardan radikallarga (yaʼni ildizlarga) qaytishingiz mumkin. )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9) x)))$. Keyin hosila quyidagi shaklda yoziladi:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))). $$

Javob: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

4-misol

Hosilalar jadvalining 3 va 4-sonli formulalari ushbu jadvalning 2-sonli formulasining alohida holati ekanligini ko'rsating.

Hosilalar jadvalining 2-formulasida $u^\alpha$ funksiyaning hosilasi yoziladi. №2 formulaga $\alpha=-1$ ni almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\teg (4.1)$$

$u^(-1)=\frac(1)(u)$ va $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$ boʻlgani uchun tenglikni (4.1) quyidagicha qayta yozish mumkin: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Bu hosilalar jadvalining 3-formulasidir.

Keling, hosilalar jadvalining 2-formulasiga yana murojaat qilaylik. Unga $\alpha=\frac(1)(2)$ almashtiring:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\teg (4.2) $$

Chunki $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ va $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, keyin tenglikni (4.2) quyidagicha qayta yozish mumkin:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Olingan $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ tenglik hosilalar jadvalining 4-formulasidir. Ko'rib turganingizdek, hosilalar jadvalining 3 va 4-sonli formulalari $\alpha$ ning mos keladigan qiymatini almashtirish orqali 2-formuladan olingan.

murakkab hosilalar. Logarifmik hosila.
Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Biz farqlash texnikamizni yaxshilashda davom etamiz. Ushbu darsda biz o'tilgan materialni birlashtiramiz, yanada murakkab hosilalarni ko'rib chiqamiz, shuningdek, hosila topishning yangi fokuslari va fokuslari bilan, xususan, logarifmik hosila bilan tanishamiz.

Tayyorgarlik darajasi past bo'lgan o'quvchilar maqolaga murojaat qilishlari kerak hosilani qanday topish mumkin? Yechim misollari bu sizning mahoratingizni deyarli noldan oshirishga imkon beradi. Keyinchalik, sahifani diqqat bilan o'rganishingiz kerak Murakkab funktsiyaning hosilasi, tushunish va hal qilish Hammasi men keltirgan misollar. Ushbu dars mantiqan uchinchisi bo'lib, uni o'zlashtirganingizdan so'ng, siz juda murakkab funktsiyalarni ishonchli tarzda ajratasiz. “Yana qayerda? Ha, va bu etarli! ” Chunki barcha misollar va echimlar haqiqiy sinovlardan olingan va ko'pincha amalda topiladi.

Keling, takrorlashdan boshlaylik. Darsda Murakkab funktsiyaning hosilasi batafsil sharhlar bilan bir qator misollarni ko'rib chiqdik. Differensial hisoblash va matematik tahlilning boshqa bo'limlarini o'rganish jarayonida siz juda tez-tez farqlashingiz kerak bo'ladi va misollarni batafsil bo'yash har doim ham qulay emas (va har doim ham kerak emas). Shuning uchun biz hosilalarni og'zaki topishda mashq qilamiz. Buning uchun eng mos "nomzodlar" eng oddiy murakkab funktsiyalarning hosilalaridir, masalan:

Murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasiga ko'ra :

Kelajakda boshqa matan mavzularini o'rganayotganda, bunday batafsil yozuv ko'pincha talab qilinmaydi, talaba avtopilotda shunga o'xshash hosilalarni topishi mumkin deb taxmin qilinadi. Tasavvur qilaylik, ertalab soat 3 da telefon jiringladi va yoqimli ovoz so'radi: "Ikki x tangensining hosilasi nima?". Buning ortidan deyarli bir zumda va muloyim javob bo'lishi kerak: .

Birinchi misol darhol mustaqil yechim uchun mo'ljallangan bo'ladi.

1-misol

Quyidagi hosilalarni og‘zaki, bir qadamda toping, masalan: . Vazifani bajarish uchun siz faqat foydalanishingiz kerak elementar funksiyalarning hosilalari jadvali(agar u allaqachon eslamagan bo'lsa). Agar sizda biron bir qiyinchilik bo'lsa, darsni qayta o'qishni maslahat beraman Murakkab funktsiyaning hosilasi.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Dars oxirida javoblar

Murakkab hosilalar

Dastlabki artilleriya tayyorgarligidan so'ng, 3-4-5 funktsiyalari biriktirilgan misollar kamroq qo'rqinchli bo'ladi. Ehtimol, quyidagi ikkita misol ba'zilar uchun murakkab bo'lib tuyulishi mumkin, ammo agar ular tushunilsa (kimdir azob cheksa), differensial hisoblashdagi deyarli hamma narsa bolaning haziliga o'xshaydi.

2-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Yuqorida aytib o'tilganidek, murakkab funktsiyaning hosilasini topishda, birinchi navbatda, kerak To'g'ri INVESTITSIYALARNI TUSHUNING. Shubhalar mavjud bo'lgan hollarda, men sizga foydali hiyla-nayrangni eslataman: biz, masalan, "x" eksperimental qiymatini olamiz va bu qiymatni "dahshatli ifoda" ga almashtirishga harakat qilamiz (aqliy yoki qoralama).

1) Avval biz ifodani hisoblashimiz kerak, shuning uchun yig'indisi eng chuqur joylashuvdir.

2) Keyin logarifmni hisoblashingiz kerak:

4) Keyin kosinusni kubga aylantiring:

5) Beshinchi bosqichda farq:

6) Va nihoyat, eng tashqi funktsiya kvadrat ildizdir:

Murakkab funktsiyani differentsiallash formulasi teskari tartibda, eng tashqi funktsiyadan eng ichkigacha qo'llaniladi. Biz qaror qilamiz:

Hech qanday xato bo'lmaganga o'xshaydi ...

(1) Kvadrat ildizning hosilasini olamiz.

(2) Biz qoida yordamida farqning hosilasini olamiz

(3) Uchlikning hosilasi nolga teng. Ikkinchi muddatda biz daraja (kub) hosilasini olamiz.

(4) Biz kosinusning hosilasini olamiz.

(5) Logarifmning hosilasini olamiz.

(6) Nihoyat, biz eng chuqur uyaning hosilasini olamiz.

Bu juda qiyin tuyulishi mumkin, ammo bu eng shafqatsiz misol emas. Misol uchun, Kuznetsovning to'plamini oling va tahlil qilingan lotinning barcha jozibasi va soddaligini qadrlaysiz. Men shuni payqadimki, ular imtihonda talaba murakkab funktsiyaning hosilasini qanday topishni tushunadimi yoki tushunmaydimi yoki yo'qligini tekshirish uchun shunga o'xshash narsani berishni yaxshi ko'radilar.

Quyidagi misol mustaqil yechim uchun.

3-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Maslahat: Avval biz chiziqlilik qoidalarini va mahsulotning differentsiatsiyasi qoidasini qo'llaymiz

To'liq yechim va javob dars oxirida.

Yana ixcham va chiroyliroq narsaga o'tish vaqti keldi.
Ikki emas, balki uchta funktsiyaning ko'paytmasi misolda berilgan vaziyat uchun odatiy hol emas. Uch omil mahsulotining hosilasi qanday topiladi?

4-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Birinchidan, biz qaraymiz, lekin uchta funktsiya mahsulotini ikkita funktsiya mahsulotiga aylantirish mumkinmi? Misol uchun, agar mahsulotda ikkita polinom bo'lsa, biz qavslarni ochishimiz mumkin. Ammo bu misolda barcha funktsiyalar boshqacha: daraja, ko'rsatkich va logarifm.

Bunday hollarda, bu zarur ketma-ket mahsulotni farqlash qoidasini qo'llang ikki marta

Gap shundaki, "y" uchun biz ikkita funktsiyaning mahsulotini belgilaymiz: , va "ve" uchun - logarifm:. Nima uchun buni qilish mumkin? Bu - bu ikki omilning mahsuli emas va qoida ishlamaydi?! Hech qanday murakkab narsa yo'q:

Endi qoidani ikkinchi marta qo'llash qoladi qavsga:

Siz hali ham buzg'unchilik qilishingiz va qavslardan biror narsa olishingiz mumkin, ammo bu holda javobni ushbu shaklda qoldirish yaxshiroqdir - tekshirish osonroq bo'ladi.

Yuqoridagi misolni ikkinchi usulda hal qilish mumkin:

Ikkala yechim ham mutlaqo ekvivalentdir.

5-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu mustaqil yechim uchun misol bo'lib, namunada u birinchi usulda echiladi.

Kasrlar bilan o'xshash misollarni ko'rib chiqing.

6-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu erda siz bir necha usul bilan borishingiz mumkin:

Yoki shunday:

Ammo yechimni ixchamroq yozish mumkin, agar biz birinchi navbatda qismni differentsiallash qoidasidan foydalansak. , butun hisoblagich uchun:

Asos sifatida, misol hal qilinadi va agar u bu shaklda qolsa, xato bo'lmaydi. Ammo vaqtingiz bo'lsa, har doim qoralamani tekshirish tavsiya etiladi, ammo javobni soddalashtirish mumkinmi? Numeratorning ifodasini umumiy maxrajga keltiramiz va uch qavatli fraktsiyadan xalos bo'ling:

Qo'shimcha soddalashtirishlarning kamchiliklari shundaki, lotinni topishda emas, balki maktab o'zgarishlarida xato qilish xavfi mavjud. Boshqa tomondan, o'qituvchilar ko'pincha topshiriqni rad etadilar va lotinni "yodiga keltirishni" so'rashadi.

O'z-o'zidan hal qilish uchun oddiyroq misol:

7-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Biz hosilani topish usullarini o'zlashtirishni davom ettirmoqdamiz va endi farqlash uchun "dahshatli" logarifm taklif qilingan odatiy holatni ko'rib chiqamiz.

8-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu erda siz murakkab funktsiyani farqlash qoidasidan foydalanib, uzoq yo'lni bosib o'tishingiz mumkin:

Ammo birinchi qadam sizni darhol tushkunlikka soladi - siz kasr darajasining yoqimsiz hosilasini, keyin esa kasrdan olishingiz kerak.

Shunung uchun oldin"Xo'sh" logarifmning hosilasini qanday olish kerak, u ilgari taniqli maktab xususiyatlaridan foydalangan holda soddalashtirilgan:

! Agar qo'lingizda mashq daftaringiz bo'lsa, ushbu formulalarni o'sha yerdan nusxa ko'chiring. Agar sizda daftar bo'lmasa, ularni qog'ozga chizing, chunki qolgan dars misollari ushbu formulalar atrofida aylanadi.

Yechimning o'zi quyidagicha shakllantirilishi mumkin:

Funktsiyani o'zgartiramiz:

Biz hosilani topamiz:

Funktsiyaning dastlabki o'zgarishi yechimni sezilarli darajada soddalashtirdi. Shunday qilib, farqlash uchun shunga o'xshash logarifm taklif qilinganda, uni har doim "buzish" tavsiya etiladi.

Va endi mustaqil yechim uchun bir nechta oddiy misollar:

9-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

10-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Barcha o'zgarishlar va javoblar dars oxirida.

logarifmik hosila

Agar logarifmlarning hosilasi shunday shirin musiqa bo'lsa, unda savol tug'iladi, ba'zi hollarda logarifmni sun'iy tartibga solish mumkinmi? Mumkin! Va hatto zarur.

11-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Shunga o'xshash misollarni biz yaqinda ko'rib chiqdik. Nima qilish kerak? Ketma-ket ko'rsatkichni farqlash qoidasini, keyin esa mahsulotning differentsiallash qoidasini qo'llash mumkin. Ushbu usulning nochorligi shundaki, siz uch qavatli ulkan fraktsiyani olasiz, bu bilan siz umuman shug'ullanishni xohlamaysiz.

Ammo nazariya va amaliyotda logarifmik hosila kabi ajoyib narsa bor. Logarifmlarni sun'iy ravishda ularni har ikki tomonga "osib" tashkil qilish mumkin:

Eslatma : chunki funktsiya salbiy qiymatlarni qabul qilishi mumkin, keyin, odatda, modullardan foydalanishingiz kerak: , farqlash natijasida yo'qoladi. Biroq, joriy dizayn ham qabul qilinadi, bu erda sukut bo'yicha murakkab qiymatlar. Ammo agar qat'iylik bilan bo'lsa, unda ikkala holatda ham buni bron qilish kerak.

Endi siz o'ng tomonning logarifmini iloji boricha "buzishingiz" kerak (ko'z oldingizda formulalar?). Men bu jarayonni batafsil tasvirlab beraman:

Keling, farqlashdan boshlaylik.
Ikkala qismni ham zarba bilan yakunlaymiz:

O'ng tomonning hosilasi juda oddiy, men bunga izoh bermayman, chunki agar siz ushbu matnni o'qiyotgan bo'lsangiz, uni ishonch bilan boshqarishingiz kerak.

Chap tomon haqida nima deyish mumkin?

Chap tomonda biz bor murakkab funktsiya. Men savolni oldindan ko'raman: "Nega, logarifm ostida bitta "y" harfi bormi?".

Gap shundaki, bu "bir harf y" - O'ZIDA FUNKSIYA(agar u juda aniq bo'lmasa, bevosita ko'rsatilgan funktsiyaning hosilasi maqolasiga qarang). Demak, logarifm tashqi funksiya, “y” esa ichki funksiyadir. Va biz birikma funksiyani farqlash qoidasidan foydalanamiz :

Chap tomonda, go'yo sehr bilan, bizda lotin bor. Bundan tashqari, mutanosiblik qoidasiga ko'ra, biz "y" ni chap tomonning maxrajidan o'ng tomonning tepasiga tashlaymiz:

Va endi biz farqlashda qanday "o'yin" - funksiya haqida gapirganimizni eslaymiz? Keling, shartni ko'rib chiqaylik:

Yakuniy javob:

12-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Dars oxirida ushbu turdagi namunaning namunaviy dizayni.

Logarifmik hosila yordamida 4-7-sonli misollarning har qandayini hal qilish mumkin edi, boshqa narsa shundaki, u erda funktsiyalar oddiyroq va, ehtimol, logarifmik hosiladan foydalanish unchalik oqlanmagan.

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Biz bu funktsiyani hali ko'rib chiqmadik. Eksponensial funktsiya - bu ega bo'lgan funktsiya va daraja va asos "x" ga bog'liq. Har qanday darslikda yoki har qanday ma'ruzada sizga beriladigan klassik misol:

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi qanday topiladi?

Hozirgina ko'rib chiqilgan texnikadan foydalanish kerak - logarifmik lotin. Biz logarifmlarni ikkala tomonga osib qo'yamiz:

Qoida tariqasida, daraja logarifm ostidan o'ng tomonda chiqariladi:

Natijada, o'ng tomonda biz standart formula bo'yicha farqlanadigan ikkita funktsiya mahsulotiga egamiz. .

Biz hosilani topamiz, buning uchun ikkala qismni ham chiziqlar ostiga qo'yamiz:

Keyingi qadamlar oson:

Nihoyat:

Agar ba'zi o'zgarishlar to'liq aniq bo'lmasa, iltimos, 11-misoldagi tushuntirishlarni diqqat bilan qayta o'qing.

Amaliy topshiriqlarda ko'rsatkichli funktsiya har doim ko'rib chiqilgan ma'ruza misolidan ko'ra murakkabroq bo'ladi.

13-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Biz logarifmik hosiladan foydalanamiz.

O'ng tomonda bizda doimiy va ikkita omil ko'paytmasi bor - "x" va "x logarifmining logarifmi" (boshqa logarifm logarifm ostida joylashgan). Konstantani farqlashda, biz eslaganimizdek, uni hosila belgisidan darhol olib qo'yish yaxshidir, shunda u to'sqinlik qilmaydi; va, albatta, tanish qoidani qo'llang :

Ushbu darsda biz qanday topishni o'rganamiz murakkab funktsiyaning hosilasi. Dars darsning mantiqiy davomidir hosilani qanday topish mumkin?, unda biz eng oddiy hosilalarni tahlil qildik, shuningdek, differensiallash qoidalari va hosilalarni topishning ba'zi texnik usullari bilan tanishdik. Shunday qilib, agar siz funktsiyalarning hosilalarini yaxshi bilmasangiz yoki ushbu maqolaning ba'zi fikrlari to'liq tushunarsiz bo'lsa, avval yuqoridagi darsni o'qing. Iltimos, jiddiy kayfiyatni sozlang - material oson emas, lekin baribir uni sodda va aniq taqdim etishga harakat qilaman.

Amalda murakkab funksiyaning hosilasi bilan juda tez-tez shug‘ullanishga to‘g‘ri keladi, hatto hosilalarni topish bo‘yicha topshiriqlar berilganda ham deyarli har doim aytaman.

Murakkab funktsiyani differensiallash uchun qoida (№ 5) jadvaliga qaraymiz:

Biz tushunamiz. Avvalo, belgini ko'rib chiqaylik. Bu erda bizda ikkita funktsiya mavjud - va , va funksiya, majoziy ma'noda, funktsiyada joylashgan. Bunday turdagi funktsiya (bir funktsiya boshqasining ichiga joylashtirilganda) murakkab funktsiya deyiladi.

Men funktsiyani chaqiraman tashqi funktsiya, va funksiya – ichki (yoki ichki) funksiya.

! Ushbu ta'riflar nazariy emas va topshiriqlarning yakuniy dizaynida ko'rinmasligi kerak. Men "tashqi funktsiya", "ichki" funktsiya norasmiy iboralarni faqat materialni tushunishingizni osonlashtirish uchun ishlataman.

Vaziyatni aniqlashtirish uchun quyidagilarni ko'rib chiqing:

1-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Sinus ostida bizda nafaqat "x" harfi, balki butun ifoda bor, shuning uchun jadvaldan hosilani darhol topish ishlamaydi. Bundan tashqari, biz bu erda birinchi to'rtta qoidani qo'llashning iloji yo'qligini payqadik, farq borga o'xshaydi, lekin haqiqat shundaki, sinusni "parchalash" mumkin emas:

Ushbu misolda, mening tushuntirishlarimdan ko'rinib turibdiki, funktsiya murakkab funktsiya, polinom esa ichki funktsiya (o'rnatish) va tashqi funktsiyadir.

Birinchi qadam, bu murakkab funksiyaning hosilasini topishda bajarilishi kerak to qaysi funktsiya ichki va qaysi tashqi ekanligini tushunish.

Oddiy misollarda, ko'phad sinus ostida joylashganligi aniq ko'rinadi. Ammo bu aniq bo'lmasa-chi? Qaysi funktsiya tashqi va qaysi ichki ekanligini aniq qanday aniqlash mumkin? Buning uchun men aqliy yoki qoralama ustida bajarilishi mumkin bo'lgan quyidagi texnikadan foydalanishni taklif qilaman.

Tasavvur qilaylik, biz kalkulyator yordamida ifoda qiymatini hisoblashimiz kerak (bitta o'rniga har qanday raqam bo'lishi mumkin).

Avval nimani hisoblaymiz? Birinchidan siz quyidagi amalni bajarishingiz kerak bo'ladi: , shuning uchun polinom ichki funktsiya bo'ladi:

Ikkinchidan siz topishingiz kerak bo'ladi, shuning uchun sinus - tashqi funktsiya bo'ladi:

Bizdan keyin TUSHUNING Ichki va tashqi funktsiyalar bilan, birikma funktsiyani farqlash qoidasini qo'llash vaqti keldi.

Biz qaror qabul qilishni boshlaymiz. Darsdan hosilani qanday topish mumkin? Biz har qanday lotin eritmasining dizayni har doim shunday boshlanishini eslaymiz - biz iborani qavs ichiga olamiz va yuqori o'ng tomonga chiziq qo'yamiz:

Boshida tashqi funktsiyaning hosilasini (sinus) topamiz, elementar funksiyalarning hosilalari jadvaliga qarang va e'tibor bering. Barcha jadval formulalari "x" murakkab ifoda bilan almashtirilsa ham amal qiladi, Ushbu holatda:

E'tibor bering, ichki funktsiya o'zgarmagan, biz unga tegmaymiz.

Xo'sh, bu juda aniq

Formulani qo'llashning yakuniy natijasi quyidagicha ko'rinadi:

Doimiy omil odatda ifoda boshida joylashtiriladi:

Agar biron bir tushunmovchilik bo'lsa, qarorni qog'ozga yozing va tushuntirishlarni qayta o'qing.

2-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

3-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Har doimgidek, biz yozamiz:

Bizda tashqi funksiya qayerda, ichki funksiya qayerda ekanligini aniqlaymiz. Buning uchun biz (aqliy yoki qoralama ustida) uchun ifoda qiymatini hisoblashga harakat qilamiz. Avval nima qilish kerak? Avvalo, asos nimaga teng ekanligini hisoblashingiz kerak:, ya'ni polinom ichki funktsiyadir:

Va shundan keyingina eksponentatsiya amalga oshiriladi, shuning uchun quvvat funktsiyasi tashqi funktsiyadir:

Formulaga ko'ra, avval siz tashqi funktsiyaning hosilasini, bu holda darajani topishingiz kerak. Biz jadvalda kerakli formulani qidiramiz:. Yana takrorlaymiz: har qanday jadval formulasi nafaqat "x" uchun, balki murakkab ifoda uchun ham amal qiladi. Shunday qilib, murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasini qo'llash natijasi quyidagicha:

Yana bir bor ta'kidlaymanki, tashqi funktsiyaning hosilasini olganimizda, ichki funktsiya o'zgarmaydi:

Endi ichki funktsiyaning juda oddiy hosilasini topish va natijani biroz "tarash" qoladi:

4-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu o'z-o'zini hal qilish uchun misol (dars oxirida javob).

Murakkab funktsiyaning hosilasi haqidagi tushunchani mustahkamlash uchun men izohlarsiz misol keltiraman, buni o'zingiz aniqlashga harakat qiling, sababi, tashqi va ichki funksiya qayerda, nima uchun vazifalar shunday hal qilingan?

5-misol

a) Funksiyaning hosilasini toping

b) funksiyaning hosilasini toping

6-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu erda bizda ildiz bor va ildizni farqlash uchun u daraja sifatida ifodalanishi kerak. Shunday qilib, biz birinchi navbatda funktsiyani farqlash uchun to'g'ri shaklga keltiramiz:

Funksiyani tahlil qilib, biz uchta hadning yig'indisi ichki funktsiya, ko'rsatkich esa tashqi funktsiya degan xulosaga kelamiz. Biz murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasini qo'llaymiz:

Daraja yana radikal (ildiz) sifatida ifodalanadi va ichki funktsiyaning hosilasi uchun biz yig'indini farqlash uchun oddiy qoidani qo'llaymiz:

Tayyor. Bundan tashqari, ifodani qavs ichida umumiy maxrajga keltirishingiz va hamma narsani bitta kasr sifatida yozishingiz mumkin. Bu, albatta, chiroyli, lekin og'ir uzun lotinlar olinganda, buni qilmaslik yaxshiroqdir (chalkashlik, keraksiz xatoga yo'l qo'yish oson va o'qituvchiga tekshirish noqulay bo'ladi).

7-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu o'z-o'zini hal qilish uchun misol (dars oxirida javob).

Shunisi qiziqki, ba'zida murakkab funktsiyani farqlash qoidasi o'rniga, qismni farqlash qoidasidan foydalanish mumkin. , lekin bunday yechim kulgili buzuqlik kabi ko'rinadi. Mana odatiy misol:

8-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu erda siz qismni farqlash qoidasidan foydalanishingiz mumkin , lekin hosilani murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasi orqali topish ancha foydalidir:

Biz funktsiyani farqlash uchun tayyorlaymiz - hosilaning minus belgisini chiqaramiz va kosinusni hisoblagichga ko'taramiz:

Kosinus - ichki funktsiya, ko'rsatkich - tashqi funktsiya.
Keling, qoidamizdan foydalanamiz:

Biz ichki funktsiyaning hosilasini topamiz, kosinusni pastga qaytaramiz:

Tayyor. Ko'rib chiqilgan misolda, belgilarda chalkashmaslik kerak. Aytgancha, uni qoida bilan hal qilishga harakat qiling , javoblar mos kelishi kerak.

9-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu o'z-o'zini hal qilish uchun misol (dars oxirida javob).

Hozirgacha biz murakkab funktsiyada faqat bitta uyaga ega bo'lgan holatlarni ko'rib chiqdik. Amaliy topshiriqlarda siz ko'pincha lotinlarni topishingiz mumkin, ularda qo'g'irchoqlar kabi, bir vaqtning o'zida 3 yoki hatto 4-5 funktsiya bir-birining ichiga joylashtirilgan.

10-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Biz ushbu funktsiyaning qo'shimchalarini tushunamiz. Eksperimental qiymatdan foydalanib, ifodani baholashga harakat qilamiz. Kalkulyatorga qanday ishonishimiz mumkin?

Avval siz topishingiz kerak, ya'ni arksine eng chuqur joylashadi:

Keyin bu birlik yoyi kvadratiga aylantirilishi kerak:

Va nihoyat, biz yettilikni kuchga ko'taramiz:

Ya'ni, bu misolda bizda uchta turli funktsiya va ikkita uyalar mavjud, eng ichki funktsiya arksinus, eng tashqi funktsiya esa eksponensial funktsiyadir.

Biz qaror qabul qilishni boshlaymiz

Qoidaga ko'ra, siz birinchi navbatda tashqi funktsiyaning hosilasini olishingiz kerak. Biz hosilalar jadvalini ko'rib chiqamiz va ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasini topamiz: Yagona farq shundaki, bizda "x" o'rniga murakkab ifoda mavjud bo'lib, bu formulaning haqiqiyligini inkor etmaydi. Demak, kompleks funksiyani differentsiallash qoidasini qo‘llash natijasi quyidagicha bo‘ladi:

Chiziq ostida bizda yana qiyin vazifa bor! Ammo bu allaqachon osonroq. Ichki funktsiya arksinus, tashqi funksiya esa daraja ekanligini tushunish oson. Murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasiga ko'ra, siz birinchi navbatda daraja hosilasini olishingiz kerak.

Siz bu erga kelganingizdan beri, ehtimol siz ushbu formulani darslikda ko'rishga muvaffaq bo'ldingiz

va shunday yuz hosil qiling:

Do'stim, tashvishlanmang! Aslida, hamma narsa sharmanda qilish uchun oddiy. Siz, albatta, hamma narsani tushunasiz. Faqat bitta so'rov - maqolani o'qing asta-sekin har bir qadamni tushunishga harakat qiling. Men iloji boricha sodda va aniq yozdim, lekin siz hali ham fikrni chuqur o'rganishingiz kerak. Va maqoladagi vazifalarni hal qilishga ishonch hosil qiling.

Murakkab funktsiya nima?

Tasavvur qiling-a, siz boshqa kvartiraga ko'chib o'tmoqdasiz va shuning uchun siz narsalarni katta qutilarga joylashtirasiz. Kichik narsalarni, masalan, maktab ish yuritish buyumlarini yig'ish kerak bo'lsin. Agar siz ularni shunchaki katta qutiga tashlasangiz, ular boshqa narsalar qatorida yo'qoladi. Bunga yo'l qo'ymaslik uchun siz avval ularni, masalan, sumkaga solib, keyin katta qutiga solib, keyin uni muhrlab qo'yasiz. Ushbu "eng qiyin" jarayon quyidagi diagrammada ko'rsatilgan:

Ko'rinib turibdiki, matematika qayerda? Qolaversa, murakkab funktsiya AYNASI SHUNDAY tarzda hosil bo'ladi! Faqat biz daftar va qalamlarni emas, balki \ (x \) "qadoqlaymiz" va turli xil "paketlar" va "qutilar" xizmat qiladi.

Masalan, x ni olaylik va uni funktsiyaga "to'playmiz":

Natijada, biz, albatta, \(\cos⁡x\) olamiz. Bu bizning "narsalar sumkamiz". Va endi biz uni "quti" ga joylashtiramiz - biz uni, masalan, kub funksiyasiga to'playmiz.

Oxiri nima bo'ladi? Ha, to'g'ri, "qutidagi narsalar bilan o'ram", ya'ni "x kubik kosinus" bo'ladi.

Olingan qurilish murakkab funktsiyadir. Bu oddiy narsadan farq qiladi Bir X ga bir nechta "ta'sir" (paketlar) qo'llaniladi va u xuddi "funktsiyadan funktsiya" - "paketdagi paket" bo'lib chiqadi.

Maktab kursida bir xil "to'plamlarning" juda kam turlari mavjud, faqat to'rttasi:

Keling, avval x 7 asosli eksponensial funktsiyaga, keyin esa trigonometrik funktsiyaga "to'playmiz". Biz olamiz:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Endi keling, x ni trigonometrik funktsiyalarga ikki marta “to'playmiz”, avvaliga, keyin esa:

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Oddiy, to'g'rimi?

Endi funksiyalarni o'zingiz yozing, bu erda x:
- avval u kosinusga, so'ngra \(3\) asosli eksponensial funktsiyaga "to'planadi";
- birinchi navbatda beshinchi darajaga, keyin esa teginishga;
- birinchidan asosiy logarifmga \(4\) , keyin kuchga \(-2\).

Maqolaning oxirida ushbu savolga javoblarni ko'ring.

Lekin biz x ikki emas, balki uch marta "qadoqlashimiz" mumkinmi? Hammasi joyida! Va to'rt, besh va yigirma besh marta. Bu erda, masalan, x \(4\) marta "qadoqlangan" funksiya:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Ammo maktab amaliyotida bunday formulalar topilmaydi (o'quvchilar baxtliroq - ular qiyinroq bo'lishi mumkin☺).

Murakkab funktsiyani "ochish"

Oldingi funktsiyaga yana qarang. "Qadoqlash" ketma-ketligini aniqlay olasizmi? Avval nima X to'ldirilgan edi, keyin nima va oxirigacha. Ya'ni, qaysi funktsiya qaysi ichiga joylashtirilgan? Bir varaq qog'oz oling va nima deb o'ylaysiz, yozing. Buni yuqorida yozganimizdek, o'qlar zanjiri yoki boshqa yo'l bilan qilishingiz mumkin.

Endi to'g'ri javob: dastlab x \(4\) darajaga "qadoqlangan", keyin natija sinusga o'ralgan, u o'z navbatida logarifm asosiga \(2\) joylashtirilgan va ichida oxirida butun qurilish kuch beshliklariga surildi.

Ya'ni, teskari TARTIBDA ketma-ketlikni yechish kerak. Va buni qanday qilish osonroq bo'lishi haqida maslahat: shunchaki X ga qarang - siz undan raqsga tushishingiz kerak. Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Masalan, bu erda funksiya mavjud: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Biz X ga qaraymiz - birinchi navbatda unga nima bo'ladi? Undan olingan. Undan keyin? Natijaning tangensi olinadi. Va ketma-ketlik bir xil bo'ladi:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Yana bir misol: \(y=\cos⁡((x^3))\). Tahlil qilamiz - avval x kubga aylantirildi, keyin esa natijadan kosinus olindi. Shunday qilib, ketma-ketlik quyidagicha bo'ladi: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). E'tibor bering, funktsiya birinchisiga o'xshaydi (rasmlar bilan). Ammo bu butunlay boshqacha funktsiya: bu erda kubda x (ya'ni, \(\cos⁡((x x x)))) va kubda kosinus \(x\) (ya'ni, \(\) cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Bu farq turli xil "qadoqlash" ketma-ketliklaridan kelib chiqadi.

Oxirgi misol (undagi muhim ma'lumotlar bilan): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Ko'rinib turibdiki, bu erda biz dastlab x bilan arifmetik amallarni bajardik, keyin natijadan sinus olindi: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Va bu muhim nuqta: arifmetik operatsiyalar o'z-o'zidan funktsiyalar emasligiga qaramay, bu erda ular "qadoqlash" usuli sifatida ham ishlaydi. Keling, ushbu noziklikka biroz chuqurroq kirib boraylik.

Yuqorida aytib o'tganimdek, oddiy funktsiyalarda x bir marta, murakkab funktsiyalarda esa ikki yoki undan ortiq "qadoqlangan". Bundan tashqari, oddiy funktsiyalarning har qanday birikmasi (ya'ni, ularning yig'indisi, ayirmasi, ko'paytirish yoki bo'linishi) ham oddiy funktsiyadir. Masalan, \(x^7\) oddiy funktsiya va \(ctg x\) ham shunday. Demak, ularning barcha kombinatsiyalari oddiy funktsiyalardir:

\(x^7+ ctg x\) - oddiy,
\(x^7 ctg x\) oddiy,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) oddiy va hokazo.

Biroq, agar bunday kombinatsiyaga yana bitta funktsiya qo'llanilsa, u allaqachon murakkab funktsiya bo'ladi, chunki ikkita "paket" bo'ladi. Diagrammaga qarang:

Mayli, endi buni davom ettiramiz. "O'rash" funktsiyalari ketma-ketligini yozing:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Javoblar yana maqolaning oxirida.

Ichki va tashqi funktsiyalar

Nima uchun biz funktsiyani joylashtirishni tushunishimiz kerak? Bu bizga nima beradi? Gap shundaki, bunday tahlilsiz biz yuqorida muhokama qilingan funksiyalarning hosilalarini ishonchli topa olmaymiz.

Va davom etish uchun bizga yana ikkita tushuncha kerak bo'ladi: ichki va tashqi funktsiyalar. Bu juda oddiy narsa, bundan tashqari, biz ularni yuqorida tahlil qildik: agar biz o'xshashlikni boshida eslasak, unda ichki funktsiya "paket", tashqi funktsiya esa "quti" dir. Bular. birinchi bo'lib X "o'ralgan" ichki funktsiyadir va ichki "o'ralgan" narsa allaqachon tashqidir. Xo'sh, nima uchun tushunarli - bu tashqarida, bu tashqi degan ma'noni anglatadi.

Bu misolda: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), \(\log_2⁡x\) funksiyasi ichki va
- tashqi.

Va bunda: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) ichki va
- tashqi.

Murakkab funktsiyalarni tahlil qilishning oxirgi amaliyotini bajaring va nihoyat, hamma narsa boshlangan nuqtaga o'tamiz - biz murakkab funktsiyalarning hosilalarini topamiz:

Jadvaldagi bo'shliqlarni to'ldiring:

Murakkab funktsiyaning hosilasi

Bravo, biz hali ham ushbu mavzuning "xo'jayini"ga - aslida murakkab funktsiyaning hosilasiga, xususan, maqola boshidan o'sha juda dahshatli formulaga yetib keldik.☺

\((f(g(x))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Ushbu formula quyidagicha o'qiydi:

Murakkab funktsiyaning hosilasi tashqi funktsiyaning doimiy ichki funktsiyaga nisbatan hosilasi va ichki funktsiya hosilasiga teng.

Va nima bilan bog'liqligini tushunish uchun darhol "so'zlar bilan" tahlil qilish sxemasiga qarang:

Umid qilamanki, "hosil" va "mahsulot" atamalari qiyinchiliklarga olib kelmaydi. "Murakkab funktsiya" - biz allaqachon demontaj qildik. Tutqich "tashqi funktsiyaning doimiy ichki funktsiyaga nisbatan hosilasi" da. Bu nima?

Javob: bu tashqi funktsiyaning odatiy hosilasi bo'lib, unda faqat tashqi funktsiya o'zgaradi, ichki esa o'zgarishsiz qoladi. Hali ham tushunarsizmi? Mayli, misol keltiraylik.

Aytaylik, bizda \(y=\sin⁡(x^3)\) funksiyasi bor. Bu erda ichki funktsiya \(x^3\) va tashqi ekanligi aniq
. Endi doimiy ichkiga nisbatan tashqi hosilasini topamiz.