GIA. Kvadrat funksiya. Dars “Y=ax2 funksiya, uning grafigi va xossalari y ax2 bx funksiya grafigi.

Video darsning tavsifi

Kvadrat funksiyaning ayrim maxsus holatlarini ko‘rib chiqamiz.

Birinchi holat. Keling, y funksiyaning grafigi uchdan bir x kvadrat plyus to‘rtga teng nima ekanligini bilib olaylik.

Buning uchun bitta koordinata sistemasida y teng uchdan bir x kvadrat .. va .. y teng uchdan bir x kvadrat plyus to‘rt funksiyalarning grafiklarini chizamiz.

y funksiyaning qiymatlari jadvalini tuzamiz, uchdan bir x kvadratga teng. Keling, davom etaylik berilgan ballar funksiya grafigi.

y funktsiyasi qiymatlari jadvalini olish uchun argumentning bir xil qiymatlari bilan uchdan bir x kvadrat plyus to'rtga teng, y funktsiyasining topilgan qiymatlariga to'rtta qo'shish kerak uchdan bir x kvadrat.

y funksiyaning grafigi uchun qiymatlar jadvalini tuzamiz, uchdan bir x kvadrat plyus to'rtga teng. Belgilangan koordinatalar bo'yicha nuqtalarni quramiz va ularni silliq chiziq bilan bog'laymiz. y funktsiyasining grafigini olamiz, uchdan bir x kvadrat plyus to'rtga teng.

y funksiya grafigini y o'qi bo'ylab parallel ravishda to'rt birlikni yuqoriga ko'chirish orqali y teng x kvadratga teng uchdan bir funktsiya grafigidan to'rttani olish mumkinligini tushunish oson.

Shunday qilib, y teng a x kvadrat plus en funksiya grafigi parabola bo’lib, u y teng a x kvadrat funksiya grafigidan en nodan katta bo’lsa yoki pastga bo’lsa modul en birlik yuqoriga y o’qi bo’ylab parallel ko’chirish yo’li bilan olinadi. agar en noldan kichik bo'lsa.

Ikkinchi holat. y funksiyani x va olti sonlar orasidagi farq kvadratining uchdan biriga teng deb hisoblaymiz va uning grafigini tuzamiz.

Keling, y funktsiyasining qiymatlari jadvalini tuzamiz, uchdan bir x kvadratga teng, natijada olingan nuqtalarni ko'rsating koordinata tekisligi va silliq chiziq bilan ulang.

Endi y funksiyasi uchun qiymatlar jadvalini tuzamiz, x va olti sonlar orasidagi farq kvadratining uchdan biriga teng. Berilgan nuqtalardan foydalanib funksiya grafigini tuzamiz.

Shunisi e'tiborga loyiqki, ikkinchi grafikning har bir nuqtasi birinchi grafikning mos keladigan nuqtasidan x o'qi bo'ylab olti birlikning parallel tarjimasi yordamida olinadi.

y funksiyaning grafigi a ga teng x va em o'rtasidagi farq kvadratiga ko'paytiriladi .. y funksiya grafigidan olinishi mumkin bo'lgan parabola y teng a x x- bo'ylab parallel ko'chirish yo'li bilan kvadratga olinadi. o'qi em birliklari moduli bo'yicha chapga, agar em noldan katta bo'lsa, em birliklarining moduli bo'yicha o'ngga, agar em noldan kichik bo'lsa.

Keling, y funktsiyasining grafigini ko'rib chiqaylik, ayirma x va ikki plyus besh kvadratining uchdan biriga teng. Uning grafigi y ga teng x kvadratning uchdan biriga teng funksiya grafigidan ikkita parallel tarjimalar yordamida - parabolani ikki birlikka o'ngga va besh birlikka yuqoriga siljitish orqali olinishi mumkin.

Shu bilan birga, parallel uzatishlar har qanday tartibda amalga oshirilishi mumkin: birinchi navbatda x o'qi bo'ylab, keyin esa y o'qi bo'ylab yoki aksincha.

Lekin nima uchun funktsiyaga en raqami qo'shilsa, uning grafigi en noldan katta bo'lsa modul en birliklari bo'yicha yuqoriga yoki en noldan kichik bo'lsa pastga siljiydi va em soni argumentga qo'shilsa, funktsiya siljiydi modul em noldan kichik bo'lsa o'ngga yoki em noldan katta bo'lsa chapga?

O'ylab ko'ring birinchi holat. X dan ef ga teng y funksiyaning grafigini qurish talab qilinsin.. plyus en. E'tibor bering, argumentning barcha qiymatlari uchun ushbu grafikning ordinatalari grafaning tegishli ordinatalaridan birlik kattaroqdir y musbat en uchun x effiga teng va manfiy en uchun en birliklari bilan kamroq. Demak, y teng eff dan x ... plyus en funksiya grafigini y teng ef funksiyasi grafigini y o‘qi bo‘ylab parallel ko‘chirish yo‘li bilan olish mumkin. va agar en nodan kichik bo'lsa modul en birliklari bo'yicha.

O'ylab ko'ring ikkinchi holat. X va em yig'indisidan eff ga teng y funksiyaning grafigini qurish talab qilinsin. y funktsiyasi x ning effiga teng ekanligini ko'rib chiqing, u qaysidir nuqtada x bo'ladi x ga teng birinchisi y qiymatini oladi birinchisi x birinchidan ef ga teng. Shubhasiz, y funksiya x yig'indisidan eff ga teng va em x sekund nuqtasida bir xil qiymatni oladi, uning koordinatasi x soniya plyus em tengligidan birinchi bo'lib x ga teng, ya'ni x birinchi teng x ga teng. birinchi minus em. Bundan tashqari, ko'rib chiqilayotgan tenglik funksiya sohasidagi x ning barcha qiymatlari uchun amal qiladi. Shuning uchun funksiya grafigini y ga teng ef funksiya grafigini abtsissa o‘qi bo‘ylab chapga, agar em noldan katta bo‘lsa, birliklar moduli chapga va em moduli bo‘yicha parallel siljitish orqali olish mumkin. o'ngga, agar em noldan kichik bo'lsa. Funksiya grafigining x o'qi bo'ylab em birliklari bo'yicha parallel harakatlanishi y o'qini bir xil miqdordagi birliklar bilan, lekin teskari yo'nalishda harakatlantirishga teng.

Parabola o'z o'qi atrofida aylanganda, paraboloid deb ataladigan figura olinadi. Agar paraboloidning ichki yuzasi oynaga aylantirilsa va unga parabolaning simmetriya o'qiga parallel nurlar dastasi yo'naltirilsa, aks ettirilgan nurlar fokus deb ataladigan nuqtada to'planadi. Shu bilan birga, agar yorug'lik manbai fokusga joylashtirilsa, u holda paraboloidning ko'zgu yuzasidan aks ettirilgan nurlar parallel bo'ladi va tarqalmaydi.

Birinchi xususiyat paraboloidning markazida yuqori haroratni olish imkonini beradi. Afsonaga ko'ra, bu xususiyat qadimgi yunon olimi Arximed tomonidan ishlatilgan. Rimliklarga qarshi urushda Sirakuzani himoya qilish paytida u parabolik nometall tizimini qurdi, bu esa quyoshning aks ettirilgan nurlarini Rim kemalariga qaratish imkonini berdi. Natijada, parabolik ko'zgularning o'choqlaridagi harorat shunchalik yuqori bo'lib chiqdiki, kemalarda yong'in chiqdi va ular yonib ketdi. Bu xususiyat parabolik antennalarni ishlab chiqarishda ham qo'llaniladi.

Ikkinchi xususiyat yorug'lik chiroqlari va avtomobil faralarini ishlab chiqarishda ishlatiladi.

“Y=ax 2 funksiyasi, uning grafigi va xossalari” taqdimoti o‘qituvchining ushbu mavzu bo‘yicha tushuntirishiga qo‘shimcha ravishda yaratilgan ko‘rgazmali quroldir. Ushbu taqdimotda kvadratik funksiya, uning xossalari, grafigini tuzish xususiyatlari, fizikadan masalalar yechishda qo‘llaniladigan usullarni amaliy qo‘llash masalalari batafsil ko‘rib chiqiladi.

Yuqori darajadagi ko'rinishni ta'minlagan holda, ushbu material o'qituvchiga o'qitish samaradorligini oshirishga yordam beradi, darsda vaqtni yanada oqilona taqsimlash imkoniyatini beradi. Animatsiya effektlari yordamida tushunchalarni ajratib ko'rsatish va muhim nuqtalar rang, o'quvchilarning diqqatini o'rganilayotgan mavzuga qaratadi, muammolarni hal qilishda ta'riflarni va fikrlash jarayonini yaxshiroq yodlashga erishiladi.

Taqdimot taqdimot sarlavhasi va kvadratik funksiya tushunchasi bilan boshlanadi. Ushbu mavzuning ahamiyati ta'kidlangan. Talabalarga y=ax 2 +bx+c ko‘rinishdagi, mustaqil o‘zgaruvchi va sonlar bo‘lgan a≠0 bo‘lgan funksional bog‘liqlik sifatida kvadratik funksiya ta’rifini yodlab olish taklif etiladi. Alohida, 4-slaydda ushbu funktsiyaning sohasi haqiqiy qiymatlarning butun o'qi ekanligini eslash uchun qayd etilgan. Shartli ravishda bu gap D(x)=R bilan belgilanadi.

Kvadrat funktsiyaga misol sifatida uning fizikada muhim qo'llanilishi - bir tekis tezlashtirilgan harakatdagi yo'lning vaqtga bog'liqligi formulasini keltirish mumkin. Bunga parallel ravishda, fizika darslarida talabalar turli xil harakatlarning formulalarini o'rganadilar, shuning uchun ularga bunday muammolarni hal qilish qobiliyati kerak bo'ladi. 5-slaydda jism tezlanish bilan harakat qilganda va vaqt ko‘rsatkichi boshida bosib o‘tgan masofa va harakat tezligi ma’lum bo‘lsa, bunday harakatni ifodalovchi funksional bog‘liqlik S=( formula bilan ifodalanishi talabalarga eslatiladi. 2)/2+v 0 t+S 0 da. Agar tezlanish qiymatlari = 8, boshlang'ich tezlik = 3 va boshlang'ich yo'l = 18 bo'lsa, ushbu formulani berilgan kvadratik funktsiyaga aylantirish misoli quyida keltirilgan. Bunda funksiya S=4t 2 +3t+18 ko'rinishda bo'ladi.

6-slaydda y=ax 2 kvadrat funktsiyaning ko'rinishi ko'rib chiqilib, unda berilgan. Agar =1 bo'lsa, kvadratik funksiya y=x 2 ko'rinishga ega bo'ladi. Qayd etilishicha, bu funksiyaning grafigi parabola bo'ladi.

Taqdimotning keyingi qismi kvadratik funktsiyaning grafigini tuzishga bag'ishlangan. y=3x 2 funksiya grafigini qurishni ko'rib chiqish taklif etiladi. Birinchidan, jadval funktsiya qiymatlari va argument qiymatlari o'rtasidagi muvofiqlikni belgilaydi. Qayd etilishicha, y=3x 2 funksiyaning tuzilgan grafigi bilan y=x 2 funksiya grafigining farqi shundaki, uning har bir qiymati mos keladiganidan uch marta katta bo‘ladi. Jadval ko'rinishida bu farq yaxshi kuzatiladi. Grafik tasvirda yaqin atrofda parabolaning torayishidagi farq ham aniq ko'rinadi.

Keyingi slaydda y=1/3 x 2 kvadrat funksiya grafigi ko‘rib chiqiladi. Grafikni qurish uchun jadvalda funktsiyaning qiymatlarini uning bir qator nuqtalarida ko'rsatish kerak. y=1/3 x 2 funksiyaning har bir qiymati y=x 2 funksiyaning mos qiymatidan 3 marta kichik ekanligi qayd etilgan. Bu farq, jadvalga qo'shimcha ravishda, grafikda aniq ko'rinadi. Uning parabolasi y=x 2 funktsiya parabolasiga nisbatan y o'qiga nisbatan kengaygan.

Misollar tushunishga yordam beradi umumiy qoida, unga ko'ra siz mos keladigan grafiklarni osonroq va tezroq qurishingiz mumkin. 9-slaydda y \u003d ax 2 kvadrat funktsiyaning grafigi koeffitsient qiymatiga qarab grafikni cho'zish yoki toraytirish orqali chizilishi mumkinligi haqida alohida qoida ta'kidlangan. Agar a>1 bo'lsa, u holda grafik x o'qidan vaqtlarda cho'ziladi. Agar 0

y=ax 2 va y=-ax2 (≠0 da) funksiyalar grafiklarining abtsissa o‘qiga nisbatan simmetriyasi haqidagi xulosa 12-slaydda esda saqlash uchun alohida ajratilgan va tegishli grafikda aniq ko‘rsatilgan. Bundan tashqari, y=x 2 kvadratik funksiya grafigi tushunchasi y=ax 2 funksiyaning umumiy holatiga kengaytirilib, bunday grafikni parabola deb ham atashadi.

14-slaydda musbat uchun y=ax 2 kvadrat funktsiyaning xossalari muhokama qilinadi. Ta'kidlanishicha, uning grafigi koordinatadan o'tadi va barcha nuqtalar, bundan mustasno, yuqori yarim tekislikda yotadi. Grafikning y o'qiga nisbatan simmetriyasi qayd etilgan bo'lib, argumentning qarama-qarshi qiymatlari funktsiyaning bir xil qiymatlariga mos kelishini ko'rsatadi. Bu funksiyaning kamayish oralig'i (-∞;0] bo'lishi ko'rsatilgan va funktsiyaning ortishi intervalda amalga oshiriladi. Bu funktsiyaning qiymatlari haqiqiy o'qning butun musbat qismini qamrab oladi, u nuqtada nolga teng va eng katta qiymatga ega emas.

15-slaydda manfiy bo'lsa y=ax 2 funksiyaning xossalari tasvirlangan. Ta'kidlanishicha, uning grafigi ham koordinatadan o'tadi, lekin uning barcha nuqtalari, bundan mustasno, pastki yarim tekislikda yotadi. Grafikning o'qga nisbatan simmetriyasi qayd etilgan va argumentning qarama-qarshi qiymatlari funktsiyaning teng qiymatlariga mos keladi. Funktsiya intervalgacha ortadi, keyin esa kamayadi. Ushbu funktsiyaning qiymatlari oraliqda yotadi, u nuqtada nolga teng va u eng kichik qiymatga ega emas.

Ko'rib chiqilgan xususiyatlarni umumlashtirib, 16-slaydda parabolaning shoxlari pastga va yuqoriga yo'naltirilganligi ko'rsatilgan. Parabola o'qga nisbatan simmetrikdir va parabola cho'qqisi o'q bilan kesishgan nuqtada joylashgan. y=ax 2 parabolasi cho'qqi - koordinataga ega.

Shuningdek, 17-slaydda parabolaning o'zgartirilishi haqidagi muhim xulosa ko'rsatilgan. U kvadrat funktsiya grafigini o'zgartirish variantlarini taqdim etadi. Qayd etilishicha, y=ax 2 funksiyaning grafigi grafikni o‘qqa nisbatan simmetrik ko‘rsatish orqali o‘zgartiriladi. Grafikni o'qqa nisbatan siqish yoki kengaytirish ham mumkin.

Oxirgi slaydda funksiya grafigini o'zgartirishlar bo'yicha umumlashtiruvchi xulosalar chiqariladi. Funktsiya grafigi o'qga nisbatan nosimmetrik o'zgartirish orqali olingan degan xulosalar keltirilgan. Va funktsiya grafigi asl grafani o'qdan siqish yoki cho'zish natijasida olinadi. Bunday holda, o'qdan vaqt oralig'ida cho'zilgan holda, qachon kuzatiladi. O'qga 1/a marta qisqarish orqali grafik korpusda hosil bo'ladi.

“Y=ax 2 funksiya, uning grafigi va xossalari” taqdimotidan o’qituvchi algebra darsida ko’rgazmali qurol sifatida foydalanishi mumkin. Shuningdek, ushbu qo‘llanma mavzuni yaxshi yoritgan bo‘lib, mavzu bo‘yicha chuqur tushuncha beradi, shuning uchun uni talabalar tomonidan mustaqil o‘rganish uchun taklif qilish mumkin. Shuningdek, ushbu material o'qituvchiga masofaviy o'qitish jarayonida tushuntirish berishga yordam beradi.

Dars: parabola yoki kvadrat funktsiyani qanday qurish mumkin?

NAZARIY QISM

Parabola ax 2 +bx+c=0 formula bilan tasvirlangan funksiya grafigidir.
Parabola qurish uchun siz oddiy harakatlar algoritmiga amal qilishingiz kerak:

1) Parabola formulasi y=ax 2 +bx+c,
agar a>0 keyin parabolaning shoxlari yo'naltiriladi yuqoriga,
va keyin parabolaning shoxlari yo'naltiriladi pastga.
bepul a'zo c bu nuqta parabolani OY o'qi bilan kesib o'tadi;

2) , formula orqali topiladi x=(-b)/2a, topilgan x ni parabola tenglamasiga almashtiramiz va topamiz y;

3)Funktsiya nollari yoki boshqacha qilib aytganda, parabolaning OX o'qi bilan kesishish nuqtalari, ular tenglamaning ildizlari deb ham ataladi. Ildizlarni topish uchun tenglamani 0 ga tenglashtiramiz ax2+bx+c=0;

Tenglamalar turlari:

a) To'liq kvadrat tenglama shaklga ega ax2+bx+c=0 va diskriminant tomonidan hal qilinadi;
b) shaklning to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasi ax2+bx=0. Buni hal qilish uchun qavsdan x olib, keyin har bir omilni 0 ga tenglashtirish kerak:
ax2+bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 va ax+b=0;
v) shaklning to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamasi ax2+c=0. Uni hal qilish uchun noma'lumni bir tomonga, ma'lumni esa boshqa tomonga o'tkazish kerak. x =±√(c/a);

4) Funktsiyani qurish uchun qo'shimcha nuqtalarni toping.

AMALIY QISM

Va endi, misol bilan, biz hamma narsani harakatlar bilan tahlil qilamiz:
1-misol:
y=x 2 +4x+3
c=3 degani parabola OYni x=0 y=3 nuqtada kesishganini bildiradi. Parabola shoxlari yuqoriga qaraydi, chunki a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 tepasi nuqtada (-2;-1)
x 2 +4x+3=0 tenglamaning ildizlarini toping
Biz ildizlarni diskriminant orqali topamiz
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x1=(-4+2)/2=-1
x2=(-4-2)/2=-3

Yuqori x=-2 ga yaqin bo'lgan ba'zi ixtiyoriy nuqtalarni olaylik

x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3

y \u003d x 2 + 4x + 3 qiymatlari tenglamasida x o'rniga biz almashtiramiz
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Funktsiya qiymatlaridan parabola x \u003d -2 to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrik ekanligini ko'rish mumkin.

2-misol:
y=-x 2 +4x
c=0 parabola OY nuqtada x=0 y=0 kesishganini bildiradi. Parabola shoxlari pastga qaraydi, chunki a=-1 -1 -x 2 +4x=0 tenglamaning ildizlarini toping.
ax 2 +bx=0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama. Buni yechish uchun qavs ichidan x ni olib, keyin har bir omilni 0 ga tenglashtirish kerak.
x(-x+4)=0, x=0 va x=4.

X=2 cho'qqisiga yaqin bo'lgan ba'zi ixtiyoriy nuqtalarni olaylik
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
y \u003d -x tenglamasida x o'rniga 2 +4x qiymatlarini qo'yamiz.
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Funktsiya qiymatlaridan parabola x \u003d 2 to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrik ekanligini ko'rish mumkin.

№3 misol
y=x 2 -4
c=4 parabola x=0 y=4 nuqtada OY kesishganligini bildiradi. Parabola shoxlari yuqoriga qaraydi, chunki a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 tepa (0;-4) nuqtada )
x 2 -4=0 tenglamaning ildizlarini toping
ax 2 +c=0 ko'rinishdagi to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama. Uni hal qilish uchun noma'lumni bir tomonga, ma'lumni esa boshqa tomonga o'tkazish kerak. x =±√(c/a)
x2=4
x1=2
x 2 \u003d -2

Yuqori x=0 yaqinida joylashgan ba'zi ixtiyoriy nuqtalarni olaylik
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
y \u003d x 2 -4 qiymatlari tenglamasida x o'rniga biz almashtiramiz
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Funksiya qiymatlaridan parabola x=0 to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik ekanligini ko‘rish mumkin.

Obuna boʻling YOUTUBE dagi kanalga barcha yangiliklardan xabardor bo'lish va biz bilan imtihonlarga tayyorlanish.