Tetraedrning hajmi formulaning hosilasidir. Tetraedr hajmi. Tetraedrning uchlari koordinatalari ma'lum bo'lsa, uning hajmini hisoblash

Tetraedr hajmining asosiy formulasidan

qayerda S har qanday yuzning maydoni va H- unga tushirilgan balandlik, siz tetraedrning turli elementlari nuqtai nazaridan hajmni ifodalovchi bir qator formulalarni olishingiz mumkin. Biz tetraedr uchun bu formulalarni beramiz A B C D.

(2) ,

qayerda ∠ ( AD,ABC) - chekka orasidagi burchak AD va yuz tekisligi ABC;

(3) ,

qayerda ∠ ( ABC,ABD) - yuzlar orasidagi burchak ABC Va ABD;

qayerda | AB,CD| - qarama-qarshi qovurg'alar orasidagi masofa AB Va CD, ∠ (AB,CD) - bu qirralarning orasidagi burchak.

(2)–(4) formulalar yordamida chiziqlar va tekisliklar orasidagi burchaklarni topish mumkin; formula (4) ayniqsa foydali bo'lib, uning yordamida siz egilgan chiziqlar orasidagi masofani topishingiz mumkin AB Va CD.

Formulalar (2) va (3) formulaga o'xshash S = (1/2)ab gunoh C uchburchakning maydoni uchun. Formula S = rp shunga o'xshash formula

qayerda r- tetraedrning chizilgan sharining radiusi, S - uning umumiy yuzasi (barcha yuzlar maydonlarining yig'indisi). Tetraedr hajmini radius bilan bog'laydigan go'zal formula ham mavjud R uning tavsiflangan doirasi ( Krel formulasi):

Bu erda D - tomonlari qarama-qarshi qirralarning mahsulotiga son jihatdan teng bo'lgan uchburchakning maydoni ( AB× CD, AC× BD,AD× Miloddan avvalgi). (2) formuladan va uchburchak burchaklar uchun kosinus teoremasidan (qarang Sferik trigonometriya ) uchburchaklar uchun Heron formulasiga oʻxshash formulani olish mumkin.

Ixtiyoriy ABC uchburchagi va bu uchburchak tekisligida yotmaydigan D nuqtani ko'rib chiqaylik. Ushbu nuqtani ABC uchburchakning uchlari bilan segmentlar bilan bog'lang. Natijada ADC , CDB , ABD uchburchaklarini olamiz. To'rtta ABC, ADC, CDB va ABD uchburchaklari bilan chegaralangan sirt tetraedr deb ataladi va DABC bilan belgilanadi.
Tetraedrni tashkil etuvchi uchburchaklar uning yuzlari deyiladi.
Bu uchburchaklarning tomonlari tetraedrning qirralari deyiladi. Ularning uchlari esa tetraedrning uchlaridir

Tetraedr bor 4 ta yuz, 6 qovurg'a Va 4 tepalik.
Umumiy cho'qqisi bo'lmagan ikkita chekka qarama-qarshi deyiladi.
Ko'pincha, qulaylik uchun tetraedrning yuzlaridan biri deyiladi asos, qolgan uchta yuz esa yon yuzlardir.

Shunday qilib, tetraedr eng oddiy ko'p yuzli bo'lib, uning yuzlari to'rtta uchburchakdir.

Ammo har qanday ixtiyoriy uchburchak piramidasi tetraedr ekanligi ham haqiqatdir. Keyin tetraedr deyilishi ham haqiqatdir poydevorida uchburchak bo'lgan piramida.

Tetraedrning balandligi qarama-qarshi yuzda joylashgan va unga perpendikulyar bo'lgan nuqta bilan cho'qqini bog'laydigan segment deyiladi.
Tetraedrning medianasi qarama-qarshi yuz medianalarining kesishish nuqtasi bilan cho'qqisini bog'laydigan segment deyiladi.
Bimedian tetraedr tetraedrning kesishgan qirralarining o'rta nuqtalarini tutashtiruvchi segment deyiladi.

Tetraedr uchburchak asosli piramida bo'lganligi sababli, har qanday tetraedrning hajmini formuladan foydalanib hisoblash mumkin.

• S har qanday yuzning maydoni,
• H- bu yuzga tushirilgan balandlik

Muntazam tetraedr - tetraedrning maxsus turi

Barcha yuzlari teng qirrali uchburchaklar bo'lgan tetraedr deyiladi to'g'ri.
Muntazam tetraedrning xususiyatlari:

• Barcha qirralar teng.
• Muntazam tetraedrning barcha tekis burchaklari 60° ga teng
• Uning har bir cho'qqisi uchta muntazam uchburchakning cho'qqisi bo'lgani uchun, har bir cho'qqidagi tekislik burchaklarining yig'indisi 180° ga teng.
• Muntazam tetraedrning istalgan tepasi qarama-qarshi yuzning ortosentriga (uchburchak balandliklarining kesishish nuqtasiga) proyeksiyalanadi.

Bizga qirralari a ga teng bo'lgan ABCD muntazam tetraedri berilsin. DH - uning balandligi.
Keling, qo'shimcha konstruktsiyalarni qilaylik BM - uchburchakning balandligi ABC va DM - uchburchakning balandligi ACD .
BM balandligi BM ga teng va teng
BDM uchburchagini ko'rib chiqing, bu erda tetraedrning balandligi bo'lgan DH ham bu uchburchakning balandligidir.
MB tomoniga tushirilgan uchburchakning balandligini formula yordamida topish mumkin

, qayerda
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Ushbu qiymatlarni balandlik formulasiga almashtiring. Oling


Keling, 1/2a ni chiqaramiz. Oling

Kvadratlar formulasi farqini qo'llang

Biroz kichik o'zgarishlardan so'ng, biz olamiz


Har qanday tetraedrning hajmini formuladan foydalanib hisoblash mumkin
,
qayerda ,

Ushbu qiymatlarni almashtirsak, biz olamiz

Shunday qilib, muntazam tetraedr uchun hajm formulasi

qayerda a– tetraedr qirrasi

Tetraedrning uchlari koordinatalari ma'lum bo'lsa, uning hajmini hisoblash

Bizga tetraedr uchlari koordinatalari berilsin

, , cho'qqisidan vektorlarni chizing.
Ushbu vektorlarning har birining koordinatalarini topish uchun oxirgi koordinatadan mos keladigan boshlang'ich koordinatasini ayirish kerak. Oling

Eslatma. Bu geometriya masalalari (qattiq geometriya bo'limi, piramidaga oid masalalar) darsining bir qismidir. Agar siz geometriyadagi muammoni hal qilishingiz kerak bo'lsa, bu erda yo'q - bu haqda forumda yozing. Vazifalarda "kvadrat ildiz" belgisi o'rniga sqrt () funktsiyasi qo'llaniladi, bunda sqrt kvadrat ildiz belgisidir va qavs ichida radikal ifoda ko'rsatilgan..Oddiy radikal iboralar uchun "√" belgisidan foydalanish mumkin. muntazam tetraedr muntazam uchburchak piramida bo'lib, uning barcha yuzlari teng qirrali uchburchaklardir.

Muntazam tetraedr uchun qirralardagi barcha ikkiburchak burchaklar va uchlaridagi barcha uchburchak burchaklar tengdir.

Tetraedrning 4 ta yuzi, 4 ta tepasi va 6 ta qirrasi bor.

Muntazam tetraedr uchun asosiy formulalar jadvalda keltirilgan.

Qayerda:
S - muntazam tetraedrning sirt maydoni
V - hajm
h - poydevorga tushirilgan balandlik
r - tetraedrga chizilgan aylananing radiusi
R - chegaralangan doira radiusi
a - qovurg'a uzunligi

Amaliy misollar

Vazifa.
Har bir cheti √3 ga teng bo'lgan uchburchak piramidaning sirt maydonini toping

Yechim.
Uchburchak piramidaning barcha qirralari teng bo'lgani uchun u to'g'ri. Muntazam uchburchak piramidaning sirt maydoni S = a 2 √3 ga teng.
Keyin
S = 3√3

Javob: 3√3

Vazifa.
Muntazam uchburchak piramidaning barcha qirralari 4 sm.Piramidaning hajmini toping

Yechim.
Muntazam uchburchakli piramidada piramidaning balandligi poydevor markaziga proyeksiya qilinganligi sababli, u ham aylananing markazidir.

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3 / 3

Shunday qilib, OM piramidasining balandligini AOM to'g'ri burchakli uchburchakdan topish mumkin

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Piramidaning hajmi V = 1/3 Sh formula bo'yicha topiladi
Bunday holda, biz S \u003d √3/4 a 2 formulasi bo'yicha asosning maydonini topamiz.

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

Javob: 16√2/3sm

Tetraedrning ta'rifi

tetraedr- yuzlari va asosi uchburchaklar bo'lgan eng oddiy ko'pburchak tanasi.

Onlayn kalkulyator

Tetraedrning to'rtta yuzi bor, ularning har biri uch tomondan tashkil topgan. Tetraedrning to'rtta uchi bor, ularning har biri uchta qirrali.

Bu tana bir necha turlarga bo'linadi. Quyida ularning tasnifi keltirilgan.

1. Izoedral tetraedr- uning barcha yuzlari bir xil uchburchaklar;
2. Ortosentrik tetraedr- har bir tepadan qarama-qarshi yuzga chizilgan barcha balandliklar uzunligi bir xil;
3. To'rtburchaklar tetraedr- bir tepadan chiqadigan qirralar bir-biri bilan 90 graduslik burchak hosil qiladi;
4. ramka;
5. Proportsional;
6. g'ayratli.

Tetraedr hajmining formulalari

Berilgan jismning hajmini bir necha usul bilan topish mumkin. Keling, ularni batafsil tahlil qilaylik.

Vektorlarning aralash mahsuloti orqali

Agar tetraedr koordinatali uchta vektorga qurilgan bo'lsa:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)a= (a x​ , a y​ , a z​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)b= (b x​ , b y​ , b z​ )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)c= (c x​ , c y​ , c z​ ) ,

u holda bu tetraedrning hajmi bu vektorlarning aralash mahsuloti, ya'ni shunday determinant:

Determinant orqali tetraedrning hajmi

V = 1 6 ⋅ ∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\x \end )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ c x​ ​ a y​ b y​ c y​ ​ a z​ b z​ c z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Vazifa 1

Oktaedrning to'rtta cho'qqisining koordinatalari ma'lum. A (1 , 4 , 9) A(1,4,9) A (1 , 4 , 9 ), B(8 , 7 , 3) ​​B(8,7,3) B(8, 7, 3), C (1, 2, 3) C(1,2,3) C (1 , 2 , 3 ), D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 ). Uning hajmini toping.

Yechim

A (1 , 4 , 9) A(1,4,9) A (1 , 4 , 9 )
B(8 , 7 , 3) ​​B(8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1, 2, 3) C(1,2,3) C (1 , 2 , 3 )
D(7, 12, 1) D(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 )

Birinchi qadam, berilgan jism qurilgan vektorlarning koordinatalarini aniqlashdir.
Buning uchun ikkita nuqtaning mos keladigan koordinatalarini ayirib, vektorning har bir koordinatasini topishingiz kerak. Masalan, vektor koordinatalari A B → \overrightarrow(AB) A B, ya'ni nuqtadan yo'naltirilgan vektor A A A nuqtaga B B B, bu nuqtalarning mos keladigan koordinatalarining farqlari B B B Va A A A:

AB → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

AC → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
AD → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)A D= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Endi biz ushbu vektorlarning aralash mahsulotini topamiz, buning uchun uchinchi tartibli determinant tuzamiz, deb faraz qilamiz. A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)A B= a, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)A C= b, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)A D= c.

∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 ∣ = 7 ⋅ (− 2) ⋅ (− 8) + 3 ⋅ (− 6) ⋅ 6) ⋅ 6 + ⋅ −8 (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmat) a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ cx​ ​ ay​ by​ cy​ ​ az​ bz​ cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Ya'ni, tetraedrning hajmi:

$V=61\cdot |$

Javob

$44.8\text{sm3 .}$

Izoedral tetraedrning yon tomonidagi hajmining formulasi

Bu formula faqat izohedral tetraedr hajmini hisoblash uchun amal qiladi, ya'ni barcha yuzlari bir xil muntazam uchburchaklar bo'lgan tetraedr.

Izoedral tetraedrning hajmi

$V=12\sqrt{2\cdot a^3}$

a aa- tetraedr chetining uzunligi.

Vazifa 2

Tetraedrning tomoni teng berilgan bo'lsa, uning hajmini toping $11\text{sm.}$

Yechim

$a=11$

O'rinbosar a aa tetraedr hajmining formulasiga:

$V=12\sqrt{2\cdot a^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{sm3}}}}}$

Javob

$156.8\text{sm3 .}$