كيفية حساب حاصل الضرب القياسي لوحدات المتجهات. المنتج النقطي للناقلات. طول المتجه. حاصل الضرب النقطي في الإحداثيات

محاضرة: إحداثيات المتجهات ؛ المنتج النقطي للناقلات ؛ الزاوية بين النواقل

إحداثيات المتجهات

لذلك ، كما ذكرنا سابقًا ، المتجهات هي جزء اتجاهي ، له بدايته ونهايته. إذا تم تمثيل البداية والنهاية ببعض النقاط ، فحينئذٍ يكون لكل منهما إحداثياته \u200b\u200bالخاصة على مستوى أو في الفضاء.

إذا كان لكل نقطة إحداثياتها الخاصة ، فيمكننا الحصول على إحداثيات المتجه بأكمله.

لنفترض أن لدينا بعض المتجهات ، التي تحتوي بدايتها ونهايتها على التعيينات والإحداثيات التالية: A (A x؛ Ay) and B (B x؛ By)

للحصول على إحداثيات هذا المتجه ، من الضروري طرح إحداثيات البداية المقابلة من إحداثيات نهاية المتجه:

لتحديد إحداثيات متجه في الفضاء ، استخدم الصيغة التالية:

المنتج النقطي للناقلات

هناك طريقتان لتعريف المنتج النقطي:

• بطريقة هندسية. ووفقًا له ، فإن حاصل الضرب النقطي يساوي حاصل ضرب قيم هذه الوحدات بجيب تمام الزاوية بينهما.

• المعنى الجبري. من وجهة نظر الجبر ، فإن حاصل الضرب النقطي لمتجهين هو كمية معينة يتم الحصول عليها نتيجة لمجموع حاصل ضرب المتجهات المقابلة.

إذا تم إعطاء المتجهات في الفراغ ، فعليك استخدام صيغة مماثلة:

الخصائص:

• إذا ضربت متجهين متطابقين بشكل عددي ، فلن يكون حاصل الضرب النقطي سالبًا:

• إذا تبين أن الناتج القياسي لمتجهين متطابقين يساوي صفرًا ، فإن هذين المتجهين يعتبران صفرًا:

• إذا تم ضرب المتجه في نفسه ، فسيكون حاصل الضرب القياسي مساويًا لمربع مقياسه:

• المنتج العددي له خاصية تواصل ، أي أن المنتج القياسي لن يتغير من تبديل المتجهات:

• يمكن أن يكون الناتج العددي للمتجهات غير الصفرية صفرًا فقط إذا كانت المتجهات متعامدة مع بعضها البعض:

• بالنسبة إلى الناتج القياسي للمتجهات ، يكون قانون الإزاحة صالحًا في حالة ضرب أحد المتجهات في رقم:

• باستخدام حاصل الضرب النقطي ، يمكنك أيضًا استخدام خاصية التوزيع الخاصة بالضرب:

الزاوية بين المتجهات

في حالة مشكلة المستوى ، يمكن إيجاد الناتج القياسي للمتجهات أ \u003d (أ س ؛ أ ص) وب \u003d (ب س ؛ ب ص) باستخدام الصيغة التالية:

أ ب \u003d أ س ب س + أ ص ب ص

صيغة حاصل الضرب النقطي للمشكلات المكانية

في حالة المشكلة المكانية ، يمكن إيجاد المنتج القياسي للمتجهات أ \u003d (أ س ؛ أ ص ؛ أ ض) و ب \u003d (ب س ؛ ب ص ؛ ب ض) باستخدام الصيغة التالية:

أ ب \u003d أ س ب س + أ ص ب ص + أ ع ع ب ع

صيغة المنتج النقطي للناقلات ذات الأبعاد n

في حالة الفضاء ذي البعد n ، يمكن العثور على الناتج القياسي للمتجهات a \u003d (a 1 ؛ a 2 ؛ ... ؛ a n) و b \u003d (b 1 ؛ b 2 ؛ ... ؛ b n) باستخدام الصيغة التالية:

أ ب \u003d أ 1 ب 1 + أ 2 ب 2 + ... + أ ن ب ن

خصائص المنتج النقطي للناقلات

1. دائمًا ما يكون الناتج القياسي للمتجه في حد ذاته أكبر من أو يساوي الصفر:

2. الناتج القياسي للمتجه في حد ذاته يساوي صفرًا فقط إذا كان المتجه مساويًا للمتجه الصفري:

أ أ \u003d 0<=> أ \u003d 0

3. الناتج القياسي للمتجه في حد ذاته يساوي مربع معامله:

4. عملية الضرب العددي اتصالية:

5. إذا كان الناتج القياسي لمتجهين غير صفري يساوي صفرًا ، فإن هذه المتجهات تكون متعامدة:

أ ≠ 0 ، ب 0 ، أ ب \u003d 0<=> أ ┴ ب

6. (αa) ب \u003d α (أ ب)

7. إن عملية الضرب العددي هي عملية توزيعية:

(أ + ب) ج \u003d أ ج + ب ج

أمثلة على مسائل لحساب حاصل الضرب القياسي للمتجهات

أمثلة على حساب حاصل الضرب القياسي للمتجهات لمشكلات المستوى

أوجد حاصل الضرب القياسي للمتجهين a \u003d (1 ؛ 2) و b \u003d (4 ؛ 8).

القرار: أ ب \u003d 1 4 + 2 8 \u003d 4 + 16 \u003d 20.

أوجد حاصل الضرب القياسي للمتجهين أ وب إذا أطوالهما | أ | \u003d 3 ، | ب | \u003d 6 ، والزاوية بين المتجهين 60˚.

القرار: أ ب \u003d | أ | · | ب | cos α \u003d 3 6 cos 60˚ \u003d 9.

أوجد حاصل الضرب القياسي للناقلات ص \u003d أ + 3 ب ، ف \u003d 5 أ - 3 ب إذا أطوالهما | \u003d 3 ، | ب | \u003d 2 ، والزاوية بين المتجهين a و b تساوي 60˚.

القرار:

ص ف \u003d (أ + 3 ب) (5 أ - 3 ب) \u003d 5 أ أ - 3 أ ب + 15 ب أ - 9 ب ب \u003d

5 | أ | 2 + 12 أ ب - 9 | ب | 2 \u003d 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 \u003d 45 +36-36 \u003d 45.

مثال لحساب حاصل الضرب النقطي للمتجهات للمشكلات المكانية

أوجد حاصل الضرب القياسي للمتجهين a \u003d (1 ؛ 2 ؛ -5) و b \u003d (4 ؛ 8 ؛ 1).

القرار: أ ب \u003d 1 4 + 2 8 + (-5) 1 \u003d 4 + 16-5 \u003d 15.

مثال لحساب حاصل الضرب النقطي للمتجهات ذات الأبعاد n

أوجد حاصل الضرب النقطي للمتجهات a \u003d (1 ؛ 2 ؛ -5 ؛ 2) و b \u003d (4 ؛ 8 ؛ 1 ؛ -2).

القرار: أ ب \u003d 1 4 + 2 8 + (-5) 1 + 2 (-2) \u003d 4 + 16-5 -4 \u003d 11.

13. المنتج المتجه للمتجهات والمتجه يسمى المتجه الثالث المعرفة على النحو التالي:

2) عمودي ، عمودي. (1 "")

3) يتم توجيه النواقل بنفس الطريقة مثل أساس المساحة بأكملها (إيجابًا أو سلبًا).

عين:.

المعنى المادي للمنتج المتجه

- لحظة القوة بالنسبة للنقطة O ؛ - نصف القطر هو متجه نقطة تطبيق القوة إذن

علاوة على ذلك ، إذا تم نقله إلى النقطة O ، فيجب توجيه الثلاثي كمتجه أساسي.

التعريف 1

الناتج القياسي للمتجهات هو رقم يساوي حاصل ضرب دين هذه المتجهات وجيب تمام الزاوية بينهما.

تدوين منتج المتجهات a → و b → له شكل a → ، b →. دعنا نحول إلى الصيغة:

a → ، b → \u003d a → b → cos a → ، b → ^. a → و b → تشير إلى أطوال المتجهات ، a → ، b → ^ تشير إلى الزاوية بين المتجهات المعطاة. إذا كان متجه واحد على الأقل يساوي صفرًا ، أي بقيمة 0 ، فستكون النتيجة صفرًا ، a → ، b → \u003d 0

عند ضرب المتجه في نفسه ، نحصل على مربع طوله:

a → ، b → \u003d a → b → cos a → ، a → ^ \u003d a → 2 cos 0 \u003d a → 2

التعريف 2

يسمى الضرب القياسي للمتجه بحد ذاته بالمربع العددي.

محسوبة بالصيغة:

a → ، b → \u003d a → b → cos a → ، b → ^.

تدوين a →، b → \u003d a → b → cos a →، b → ^ \u003d a → npa → b → \u003d b → npb → a → يوضح أن npb → a → هو الإسقاط العددي لـ a → on b → ، npa → a → هو إسقاط b → على a → ، على التوالي.

دعونا نصيغ تعريف المنتج لمتجهين:

يُطلق على المنتج القياسي لمتجهين a → بواسطة b → منتج طول المتجه a → بواسطة الإسقاط b → بالاتجاه a → أو منتج الطول b → بواسطة الإسقاط a → على التوالي.

حاصل الضرب النقطي في الإحداثيات

يمكن حساب حاصل الضرب النقطي من خلال إحداثيات المتجهات في مستوى معين أو في الفضاء.

يُطلق على الناتج القياسي لمتجهين على مستوى ، في مساحة ثلاثية الأبعاد ، مجموع إحداثيات المتجهات المعطاة a → و b →.

عند حساب الناتج القياسي للمتجهات المعطاة a → \u003d (أ س ، أ ص) ، ب → \u003d (ب س ، ب ص) في النظام الديكارتي ، استخدم:

أ → ، ب → \u003d أ س ب س + أ ص ب ص ،

بالنسبة للفضاء ثلاثي الأبعاد ، ينطبق التعبير التالي:

أ → ، ب → \u003d أ س ب س + أ ص ب ص + أ ع ض ب ع.

في الواقع ، هذا هو التعريف الثالث للمنتج النقطي.

دعنا نثبت ذلك.

إثبات 1

للإثبات ، نستخدم a → ، b → \u003d a → b → cos a → ، b → ^ \u003d ax bx + ay بواسطة المتجهات a → \u003d (ax ، ay) ، b → \u003d (bx ، by) on النظام الديكارتي.

يجب تأجيل النواقل

O A → \u003d a → \u003d a x و a y و O B → \u003d b → \u003d b x، b y.

بعد ذلك ، سيكون طول المتجه A B → مساويًا لـ A B → \u003d O B → - O A → \u003d b → - a → \u003d (b x - a x، b y - a y).

اعتبر المثلث O A B.

A B 2 \u003d O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) صحيحة بناءً على نظرية جيب التمام.

حسب الحالة ، يمكن ملاحظة أن O A \u003d a → ، O B \u003d b → ، A B \u003d b → - a → ، ∠ A O B \u003d a → ، b → ^ ، ومن هنا تتم كتابة صيغة إيجاد الزاوية بين المتجهات بشكل مختلف

b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2-2 a → b → cos (a →، b → ^).

ثم يتبع من التعريف الأول أن b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 (a →، b →) وبالتالي (a →، b →) \u003d 1 2 (a → 2 + b → 2 - ب → - أ → 2).

بتطبيق صيغة حساب طول المتجهات ، نحصل على:
a → ، b → \u003d 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + by 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) \u003d \u003d 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) \u003d \u003d ax bx + ay by

دعونا نثبت المساواة:

(a → ، b →) \u003d a → b → cos (a →، b → ^) \u003d \u003d a x b x + a y b y + a z b z

- على التوالي بالنسبة لناقلات الفضاء ثلاثي الأبعاد.

يوضح الناتج القياسي للمتجهات ذات الإحداثيات أن المربع القياسي للمتجه يساوي مجموع مربعات إحداثياته \u200b\u200bفي الفضاء وعلى المستوى ، على التوالي. أ → \u003d (أ س ، أ ص ، أ ض) ، ب → \u003d (ب س ، ب ص ، ب ض) و (أ → ، أ →) \u003d أ س 2 + أ ص 2.

المنتج النقطي وخصائصه

هناك خصائص المنتج النقطي التي تنطبق على a → ، b → و c →:

1. التبديل (أ → ، ب →) \u003d (ب → ، أ →) ؛
2. التوزيع (أ → + ب → ، ج →) \u003d (أ → ، ج →) + (ب → ، ج →) ، (أ → + ب → ، ج →) \u003d (أ → ، ب →) + (أ → ، ج →) ؛
3. خاصية الجمع (λ a → ، b →) \u003d λ (a → ، b →) ، (a → ، λ b →) \u003d λ (a → ، b →) ، λ هي أي رقم ؛
4. دائمًا ما يكون المربع القياسي أكبر من الصفر (a → ، a →) ≥ 0 ، حيث (a → ، a →) \u003d 0 في الحالة التي تكون فيها a → صفرًا.

مثال 1

الخصائص قابلة للتفسير بسبب تعريف المنتج النقطي على المستوى وخصائص إضافة ومضاعفة الأعداد الحقيقية.

أثبت خاصية التبديل (أ → ، ب →) \u003d (ب → ، أ →). من التعريف ، لدينا (a → ، b →) \u003d a y b y + a y b y and (b → a →) \u003d b x a x + b y a y.

من خلال خاصية التبديل ، فإن المعادلات a x b x \u003d b x a x و a y b y \u003d b y a y هي صحيحة ، لذا أ س ب س + أ ص ب ص \u003d ب س أ س + ب ص ص ص

ويترتب على ذلك (أ → ، ب →) \u003d (ب → ، أ →). Q.E.D.

التوزيع صالح لأي أرقام:

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →، b →) \u003d (a (1) →، b →) + (a (2) →، b →) +. ... ... + (أ (ن) → ، ب →)

و (أ → ، ب (1) → + ب (2) → + .. + ب (ن) →) \u003d (أ → ، ب (1) →) + (أ → ، ب (2) →) + ... ... ... + (أ → ، ب → (ن)) ،

ومن ثم لدينا

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →، b (1) → + b (2) → + ... + b (m) →) \u003d (a ( 1) → ، ب (1) →) + (أ (1) → ، ب (2) →) +. ... ... + (a (1) → ، b (m) →) + + (a (2) → ، b (1) →) + (a (2) → ، b (2) →) +. ... ... + (أ (2) → ، ب (م) →) +. ... ... + + (a (n) →، b (1) →) + (a (n) →، b (2) →) +. ... ... + (أ (ن) → ، ب (م) →)

المنتج النقطي مع الأمثلة والحلول

يتم حل أي مشكلة في مثل هذه الخطة باستخدام الخصائص والصيغ المتعلقة بالمنتج النقطي:

1. (أ → ، ب →) \u003d أ → ب → كوس (أ → ، ب → ^) ؛
2. (a → ، b →) \u003d a → n p a → b → \u003d b → n p b → a → ؛
3. (أ → ، ب →) \u003d أ س ب س + أ ص ب ص أو (أ → ، ب →) \u003d أ س ب س + أ ص ب ص + أ ض ب ع ؛
4. (أ → ، أ →) \u003d أ → 2.

دعنا نفكر في بعض أمثلة الحلول.

مثال 2

الطول a → هو 3 ، والطول b → هو 7. أوجد حاصل الضرب القياسي إذا كانت الزاوية 60 درجة.

القرار

حسب الشرط ، لدينا جميع البيانات ، لذلك نحسب بالصيغة:

(a → ، b →) \u003d a → b → cos (a →، b → ^) \u003d 3 7 cos 60 ° \u003d 3 7 1 2 \u003d 21 2

الجواب: (أ → ، ب →) \u003d 21 2.

مثال 3

المتجهات المعطاة أ → \u003d (1 ، - 1 ، 2-3) ، ب → \u003d (0 ، 2 ، 2 + 3). ما هو المنتج النقطي.

القرار

في هذا المثال ، يتم أخذ صيغة الحساب حسب الإحداثيات في الاعتبار ، نظرًا لأنها محددة في بيان المشكلة:

(a → ، b →) \u003d ax bx + ay by + az bz \u003d \u003d 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) \u003d \u003d 0 - 2 + ( 2-9) \u003d - 9

الجواب: (أ → ، ب →) \u003d - 9

مثال 4

أوجد حاصل الضرب القياسي A B → و A C →. النقاط أ (1 ، - 3) ، ب (5 ، 4) ، ج (1 ، 1) معطاة على المستوى الإحداثي.

القرار

بادئ ذي بدء ، يتم حساب إحداثيات المتجهات ، حيث يتم توفير إحداثيات النقاط حسب الشرط:

أ ب → \u003d (5-1 ، 4 - (- 3)) \u003d (4 ، 7) أ ج → \u003d (1-1 ، 1 - (- 3)) \u003d (0 ، 4)

بالتعويض في الصيغة باستخدام الإحداثيات ، نحصل على:

(أ ب ← ، أ ج ←) \u003d 4 0 + 7 4 \u003d 0 + 28 \u003d 28.

الجواب: (أ ب ← ، أ ج ←) \u003d 28.

مثال 5

بالنظر إلى المتجهات a → \u003d 7 m → + 3 n → و b → \u003d 5 m → + 8 n → ، أوجد حاصل ضربهما. m → يساوي 3 و n → يساوي وحدتين ، وهما عموديان.

القرار

(أ → ، ب →) \u003d (7 م → + 3 ن → ، 5 م → + 8 ن →). بتطبيق خاصية التوزيع نحصل على:

(7 م → + 3 ن → ، 5 م → + 8 ن →) \u003d \u003d (7 م → ، 5 م →) + (7 م → ، 8 ن →) + (3 ن → ، 5 م →) + (3 ن → ، 8 ن →)

نخرج المعامل الخاص بعلامة المنتج ونحصل على:

(7 م → ، 5 م →) + (7 م → ، 8 ن →) + (3 ن → ، 5 م →) + (3 ن → ، 8 ن →) \u003d \u003d 7 5 (م → ، م →) + 7 8 (م → ، ن →) + 3 5 (ن → ، م →) + 3 8 (ن → ، ن →) \u003d \u003d 35 (م → ، م →) + 56 (م → ، ن →) + 15 (ن → ، م →) + 24 (ن → ، ن →)

من خلال خاصية التبديل ، نحول:

35 (م → ، م →) + 56 (م → ، ن →) + 15 (ن → ، م →) + 24 (ن → ، ن →) \u003d 35 (م → ، م →) + 56 (م → ، ن →) + 15 (م → ، ن →) + 24 (ن → ، ن →) \u003d 35 (م → ، م →) + 71 (م → ، ن → ) + 24 (ن → ، ن →)

نتيجة لذلك ، نحصل على:

(أ → ، ب →) \u003d 35 (م → ، م →) + 71 (م → ، ن →) + 24 (ن → ، ن →).

لنطبق الآن صيغة حاصل الضرب القياسي بالزاوية المحددة بالشرط:

(أ → ، ب →) \u003d 35 (م → ، م →) + 71 (م → ، ن →) + 24 (ن → ، ن →) \u003d \u003d 35 م → 2 + 71 م → n → cos (m →، n → ^) + 24 n → 2 \u003d \u003d 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 \u003d 411.

الجواب: (أ → ، ب →) \u003d 411

إذا كان هناك إسقاط رقمي.

مثال 6

ابحث عن المنتج النقطي a → و b →. يحتوي المتجه a → على إحداثيات a → \u003d (9 ، 3 ، - 3) ، الإسقاط b → بالإحداثيات (- 3 ، - 1 ، 1).

القرار

من خلال الفرضية ، يتم توجيه المتجهات a → والإسقاط b → بشكل معاكس ، لأن a → \u003d - 1 3 · n p a → b → → ، لذا فإن الإسقاط b → يتوافق مع الطول n p a → b → → ، ومع العلامة "-":

n p a → b → → \u003d - n p a → b → → \u003d - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 \u003d - 11 ،

بالتعويض في الصيغة ، نحصل على التعبير:

(أ → ، ب →) \u003d أ → ن ص أ → ب → \u003d 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) \u003d - 33.

الجواب: (أ → ، ب →) \u003d - 33.

مشاكل مع منتج نقطي معروف ، حيث يكون من الضروري إيجاد طول متجه أو إسقاط رقمي.

مثال 7

ما هي القيمة التي يجب أن تأخذها for لمنتج قياسي معين a → \u003d (1 ، 0 ، λ + 1) و b → \u003d (λ ، 1 ، λ) ستساوي -1.

القرار

توضح الصيغة أنه من الضروري إيجاد مجموع حاصل ضرب الإحداثيات:

(أ → ، ب →) \u003d 1 + 0 1 + (+ 1) λ \u003d 2 + 2 λ.

إذا كان لدينا (أ → ، ب →) \u003d - 1.

لإيجاد λ نحسب المعادلة:

λ 2 + 2 λ \u003d - 1 ، ومن ثم λ \u003d - 1.

الجواب: λ \u003d - 1.

المعنى المادي للمنتج النقطي

تنظر الميكانيكا في تطبيق المنتج النقطي.

عند العمل A بقوة ثابتة F → يتحرك الجسم من النقطة M إلى N ، يمكنك إيجاد حاصل ضرب أطوال المتجهات F → و M N → مع جيب تمام الزاوية بينهما ، مما يعني أن الشغل يساوي حاصل ضرب متجهي القوة والإزاحة:

أ \u003d (F → ، M N →).

المثال 8

حركة نقطة مادية بمقدار 3 أمتار تحت تأثير قوة تساوي 5 نانو طن يتم توجيهها بزاوية 45 درجة بالنسبة للمحور. إعثر على.

القرار

نظرًا لأن الشغل هو ناتج متجه القوة والإزاحة ، فهذا يعني ، بناءً على الحالة F → \u003d 5 ، S → \u003d 3 ، (F → ، S → ^) \u003d 45 ° ، نحصل على A \u003d (F → ، S →) \u003d F → S → cos (F →، S → ^) \u003d 5 3 cos (45 °) \u003d 15 2 2.

الجواب: أ \u003d 15 2 2.

المثال 9

نقطة المادة ، التي تتحرك من M (2 ، - 1 ، - 3) إلى N (5 ، 3 λ - 2 ، 4) تحت القوة F → \u003d (3 ، 1 ، 2) ، تؤدي عملاً يساوي 13 J. احسب طول الحركة.

القرار

للإحداثيات المحددة للمتجه M N → لدينا M N → \u003d (5-2 ، 3 λ - 2 - (- 1) ، 4 - (- 3)) \u003d (3 ، 3 λ - 1 ، 7).

بصيغة إيجاد العمل مع المتجهات F → \u003d (3 ، 1 ، 2) و MN → \u003d (3 ، 3 λ - 1 ، 7) ، نحصل على A \u003d (F ⇒ ، MN →) \u003d 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 2 7 \u003d 22 + 3.

من خلال الفرضية ، نجد أن أ \u003d 13 ج ، ما يعني 22 + 3 λ \u003d 13. ومن ثم λ \u003d - 3 ، ومن ثم M N → \u003d (3 ، 3 λ - 1 ، 7) \u003d (3 ، - 10 ، 7).

لإيجاد طول الإزاحة M N → ، طبق الصيغة واستبدل القيم:

م N → \u003d 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 \u003d 158.

الجواب: 158.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl + Enter

الزاوية بين المتجهات

ضع في اعتبارك متجهين معينين $ \\ overrightarrow (a) $ و $ \\ overrightarrow (b) $. دعونا نضع المتجهات جانبًا أ) $ و $ \\ overrightarrow (ب) $ (الشكل 1).

الصورة 1.

لاحظ هنا أنه إذا كان المتجهان $ \\ overrightarrow (a) $ و $ \\ overrightarrow (b) $ متجهين أو أحدهما متجه صفري ، فإن الزاوية بين المتجهات هي $ 0 ^ 0 $.

التعيين: $ \\ widehat (\\ overrightarrow (a)، \\ overrightarrow (b)) $

المنتج النقطي للناقلات

رياضيا ، يمكن كتابة هذا التعريف على النحو التالي:

يمكن أن يكون حاصل الضرب النقطي صفرًا في حالتين:

إذا كان أحد المتجهات متجهًا صفريًا (منذ ذلك الحين طوله صفر).

إذا كانت المتجهات متعامدة بشكل متبادل (مثل $ cos (90) ^ 0 \u003d 0 $).

لاحظ أيضًا أن حاصل الضرب النقطي أكبر من الصفر إذا كانت الزاوية بين هذه المتجهات حادة (منذ $ (cos \\ left (\\ widehat (\\ overrightarrow (a)، \\ overrightarrow (b)) \\ \u200b\u200bright) \\)\u003e 0 $) ، و أقل من الصفر إذا كانت الزاوية بين هذين المتجهين منفرجة (منذ $ (cos \\ left (\\ widehat (\\ overrightarrow (a)، \\ overrightarrow (b)) \\ \u200b\u200bright) \\)

يرتبط مفهوم المربع العددي بمفهوم المنتج القياسي.

التعريف 2

المربع القياسي للمتجه $ \\ overrightarrow (a) $ هو الناتج القياسي لهذا المتجه في حد ذاته.

نحصل على أن المربع القياسي هو

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (a) \u003d \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | (cos 0 ^ 0 \\) \u003d \\ left | \\ overrightarrow (a ) \\ right | \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | \u003d (\\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right |) ^ 2 \\]

حساب حاصل الضرب القياسي من إحداثيات المتجهات

إلى جانب الطريقة القياسية لإيجاد قيمة المنتج النقطي التي تلي التعريف ، هناك طريقة أخرى.

دعونا نفكر فيه.

دع المتجهات $ \\ overrightarrow (a) $ و $ \\ overrightarrow (b) $ لها إحداثيات $ \\ left (a_1، b_1 \\ right) $ و $ \\ left (a_2، b_2 \\ right) $ على التوالي.

نظرية 1

الناتج القياسي للمتجهات $ \\ overrightarrow (أ) $ و $ \\ overrightarrow (ب) $ يساوي مجموع حاصل ضرب الإحداثيات المقابلة.

رياضيا ، يمكن كتابة هذا على النحو التالي

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d a_1a_2 + b_1b_2 \\]

دليل.

تم إثبات النظرية.

هذه النظرية لها عدة نتائج:

النتيجة الطبيعية 1: المتجهات $ \\ overrightarrow (a) $ و $ \\ overrightarrow (b) $ متعامدة إذا وفقط إذا كان $ a_1a_2 + b_1b_2 \u003d 0 $

النتيجة الطبيعية 2: جيب تمام الزاوية بين المتجهات هو $ cos \\ alpha \u003d \\ frac (a_1a_2 + b_1b_2) (\\ sqrt (a ^ 2_1 + b ^ 2_1) \\ cdot \\ sqrt (a ^ 2_2 + b ^ 2_2)) $

خصائص المنتج النقطي للناقلات

بالنسبة إلى أي ثلاثة نواقل وعدد حقيقي $ k $ ، فهذا صحيح:

$ (\\ overrightarrow (a)) ^ 2 \\ ge 0 $

تتبع هذه الخاصية من تعريف المربع القياسي (التعريف 2).

قانون السفر: $ \\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (a) $.

تتبع هذه الخاصية من تعريف المنتج النقطي (التعريف 1).

قانون التوزيع:

$ \\ left (\\ overrightarrow (a) + \\ overrightarrow (b) \\ right) \\ overrightarrow (c) \u003d \\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (c) + \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (c) $. نهاية (عد)

حسب النظرية 1 ، لدينا:

\\ [\\ left (\\ overrightarrow (a) + \\ overrightarrow (b) \\ right) \\ overrightarrow (c) \u003d \\ left (a_1 + a_2 \\ right) a_3 + \\ left (b_1 + b_2 \\ right) b_3 \u003d a_1a_3 + a_2a_3 + b_1b_3 + b_2b_3 \u003d\u003d \\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (c) + \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (c) \\]

قانون الجمع: $ \\ left (k \\ overrightarrow (a) \\ right) \\ overrightarrow (b) \u003d k (\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b)) $. نهاية (عد)

حسب النظرية 1 ، لدينا:

\\ [\\ left (k \\ overrightarrow (a) \\ right) \\ overrightarrow (b) \u003d ka_1a_2 + kb_1b_2 \u003d k \\ left (a_1a_2 + b_1b_2 \\ right) \u003d k (\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b)) \\]

مثال على مشكلة لحساب حاصل الضرب القياسي للمتجهات

مثال 1

أوجد حاصل الضرب النقطي للمتجهات $ \\ overrightarrow (a) $ و $ \\ overrightarrow (b) $ if $ \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | \u003d 3 $ and $ \\ left | \\ overrightarrow (b) \\ right | \u003d 2 $ ، والزاوية بينهما $ ((30) ^ 0، \\ 45) ^ 0 ، \\ (90) ^ 0 ، \\ (135) ^ 0 $.

القرار.

باستخدام التعريف 1 ، نحصل عليه

لـ $ (30) ^ 0: $

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((30) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (3)) (2) \u003d 3 \\ sqrt ( 3) \\]

مقابل (45) ^ 0: $

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((45) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (2)) (2) \u003d 3 \\ sqrt ( 2) \\]

مقابل (90) ^ 0: $

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((90) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot 0 \u003d 0 \\]

مقابل (135) ^ 0: $

\\ [\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d 6 (cos \\ left ((135) ^ 0 \\ right) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ left (- \\ frac (\\ sqrt (2)) (2) \\ مقالات مماثلة