جميع الصيغ على الموضوع المنتج القياسي للمتجهات. كيفية إيجاد الناتج القياسي للناقلات. تعريف المنتج العددي للمتجهات من حيث الإحداثيات

منتج عدديالمتجهات (المشار إليها فيما يلي باسم SP). أصدقائي الأعزاء! يتضمن اختبار الرياضيات مجموعة من المسائل لحل النواقل. لقد درسنا بالفعل بعض المشاكل. يمكنك رؤيتها في فئة "ناقلات". بشكل عام ، نظرية النواقل بسيطة ، الشيء الرئيسي هو دراستها باستمرار. الحسابات والإجراءات مع المتجهات في دورة الرياضيات المدرسية بسيطة ، والصيغ ليست معقدة. تفحص . في هذه المقالة ، سنقوم بتحليل المهام في المشروع المشترك للمتجهات (المدرجة في الامتحان). الآن "الانغماس" في النظرية:

ح لإيجاد إحداثيات متجه ، عليك أن تطرح من إحداثيات نهايتهالإحداثيات المقابلة من بدايتها

و كذلك:

* يتم تعريف طول المتجه (المعامل) على النحو التالي:

يجب حفظ هذه الصيغ !!!

دعنا نظهر الزاوية بين المتجهات:

من الواضح أنه يمكن أن يختلف من 0 إلى 180 0(أو بالتقدير الدائري من 0 إلى Pi).

يمكننا استخلاص بعض الاستنتاجات حول علامة المنتج القياسي. من الواضح أن أطوال النواقل موجبة. لذا فإن علامة المنتج العددي تعتمد على قيمة جيب التمام للزاوية بين المتجهات.

الحالات المحتملة:

1. إذا كانت الزاوية بين المتجهين حادة (من 0 0 إلى 90 0) ، فسيكون لجيب الزاوية قيمة موجبة.

2. إذا كانت الزاوية بين المتجهين منفرجة (من 90 0 إلى 180 0) ، فسيكون لجيب الزاوية قيمة سالبة.

* عند درجة الصفر ، أي عندما يكون للمتجهات نفس الاتجاه ، فإن جيب التمام يساوي واحدًا ، وبالتالي ستكون النتيجة موجبة.

عند 180 درجة ، أي عندما يكون للمتجهات اتجاهات متعاكسة ، فإن جيب التمام يساوي ناقص واحد ،وستكون النتيجة سلبية.

الآن النقطة المهمة!

عند 90 o ، أي عندما تكون المتجهات متعامدة مع بعضها البعض ، يكون جيب التمام صفراً ، وبالتالي يكون المشروع المشترك صفرًا. هذه الحقيقة (النتيجة ، الاستنتاج) تستخدم في حل العديد من المشاكل التي نتحدث عنها الموقف النسبيالمتجهات ، بما في ذلك المهام المدرجة في بنك المهام المفتوح في الرياضيات.

نصيغ البيان: الناتج القياسي يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كانت المتجهات المعطاة تقع على خطوط متعامدة.

لذلك ، فإن صيغ متجهات SP هي:

إذا كانت إحداثيات المتجهات أو إحداثيات نقاط بدايتها ونهاياتها معروفة ، فيمكننا دائمًا إيجاد الزاوية بين المتجهات:

ضع في اعتبارك المهام:

27724 أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين أ وب.

يمكننا إيجاد الناتج القياسي للمتجهات باستخدام إحدى الصيغتين:

الزاوية بين المتجهين غير معروفة ، لكن يمكننا بسهولة إيجاد إحداثيات المتجهات ثم استخدام الصيغة الأولى. نظرًا لأن بدايات كلا المتجهين تتطابق مع الأصل ، فإن إحداثيات هذه المتجهات تساوي إحداثيات نهاياتها ، أي

كيفية العثور على إحداثيات المتجه موصوفة في.

نحسب:

الجواب: 40

ابحث عن إحداثيات المتجهات واستخدم الصيغة:

للعثور على إحداثيات المتجه ، من الضروري طرح الإحداثيات المقابلة لبدايته من إحداثيات نهاية المتجه ، مما يعني

نحسب المنتج القياسي:

الجواب: 40

أوجد الزاوية بين المتجهين أ وب. أعط إجابتك بالدرجات.

دع إحداثيات المتجهات لها الشكل:

لإيجاد الزاوية بين المتجهات ، نستخدم صيغة المنتج القياسي للمتجهات:

جيب التمام للزاوية بين المتجهات:

لذلك:

إحداثيات هذه المتجهات هي:

دعنا نعوضهم بالصيغة:

الزاوية بين المتجهين 45 درجة.

الجواب: 45

في حالة مشكلة المستوى ، يمكن إيجاد الناتج القياسي للمتجهات أ = (أ س ؛ أ ص) وب = (ب س ؛ ب ص) باستخدام الصيغة التالية:

أ ب = أ س ب س + أ ص ب ص

صيغة الناتج القياسي للمتجهات للمشكلات المكانية

في حالة وجود مشكلة مكانية ، يمكن إيجاد المنتج القياسي للمتجهات a = (a x ؛ a y ؛ a z) و b = (b x ؛ b y ؛ b z) باستخدام الصيغة التالية:

أ ب = أ س ب س + أ ص ب ص + أ ع ع ب ع

صيغة المنتج النقطي لمتجهات الأبعاد n

في حالة الفضاء ذي البعد n ، يمكن العثور على المنتج القياسي للمتجهات a = (a 1 ؛ a 2 ؛ ... ؛ a n) و b = (b 1 ؛ b 2 ؛ ... ؛ b n) باستخدام الصيغة التالية:

أ ب = أ 1 ب 1 + أ 2 ب 2 + ... + أ ن ب ن

خصائص المنتج النقطي للمتجهات

1. دائمًا ما يكون الناتج القياسي للمتجه مع نفسه أكبر من أو يساوي الصفر:

2. الناتج القياسي لمتجه مع نفسه يساوي صفرًا فقط إذا كان المتجه مساويًا للمتجه الصفري:

أ أ = 0<=>أ = 0

3. الناتج القياسي للمتجه في حد ذاته يساوي مربع معامله:

4. عملية الضرب العددي اتصالية:

5. إذا كان الناتج القياسي لمتجهين غير صفريين يساوي صفرًا ، فإن هذه المتجهات تكون متعامدة:

أ ≠ 0 ، ب 0 ، أ ب = 0<=>أ ┴ ب

6. (αa) ب = α (أ ب)

7. إن عملية الضرب العددي هي عملية توزيعية:

(أ + ب) ج = أ ج + ب ج

أمثلة على المهام لحساب المنتج القياسي للمتجهات

أمثلة على حساب الناتج القياسي للمتجهات لمشكلات المستوى

أوجد الناتج القياسي للمتجهين a = (1 ؛ 2) و b = (4 ؛ 8).

حل:أ ب = 1 4 + 2 8 = 4 + 16 = 20.

أوجد حاصل الضرب القياسي للمتجهين أ وب إذا أطوالهما | أ | = 3 ، | ب | = 6 ، والزاوية بين المتجهين 60˚.

حل:أ · ب = | أ | | ب | cos α = 3 6 cos 60˚ = 9.

أوجد حاصل ضرب المتجهات الداخلي p = a + 3b و q = 5a - 3 b إذا أطوالهما | a | = 3 ، | ب | = 2 ، والزاوية بين المتجهين a و b تساوي 60˚.

حل:

ص ف = (أ + 3 ب) (5 أ - 3 ب) = 5 أ أ - 3 أ ب + 15 ب أ - 9 ب ب =

5 | أ | 2 + 12 أ · ب - 9 | ب | 2 \ u003d 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 \ u003d 45 +36-36 = 45.

مثال على حساب الناتج القياسي للمتجهات للمشكلات المكانية

أوجد الناتج القياسي للمتجهين a = (1 ؛ 2 ؛ -5) و b = (4 ؛ 8 ؛ 1).

حل:أ ب = 1 4 + 2 8 + (-5) 1 = 4 + 16-5 = 15.

مثال على حساب حاصل الضرب النقطي للمتجهات ذات الأبعاد n

ابحث عن الناتج القياسي للمتجهات a = (1 ؛ 2 ؛ -5 ؛ 2) و b = (4 ؛ 8 ؛ 1 ؛ -2).

حل:أ ب = 1 4 + 2 8 + (-5) 1 + 2 (-2) = 4 + 16-5 -4 = 11.

13. يسمى الضرب الاتجاهي للمتجهات والمتجه المتجه الثالث ، على النحو التالي:

2) عمودي ، عمودي. (1 "")

3) يتم توجيه المتجهات بنفس الطريقة التي يتم بها توجيه أساس المساحة بأكملها (إيجابًا أو سلبًا).

المعين:.

المعنى الماديناقلات المنتج

هي لحظة القوة بالنسبة للنقطة O ؛ نصف القطر هو متجه نقطة تطبيق القوة ، إذن

علاوة على ذلك ، إذا تم نقله إلى النقطة O ، فيجب توجيه الثلاثي كمتجه للأساس.

1. تعريف وخصائص بسيطة. دعونا نأخذ المتجهات غير الصفرية a و b ونضعها جانبًا من النقطة التعسفية O: OA = أ و OB = ب. تسمى قيمة الزاوية AOB بالزاوية بين المتجهين a و b ويُشار إليها (أ ، ب). إذا كان أحد المتجهين على الأقل صفرًا ، فإن الزاوية بينهما ، بحكم التعريف ، تعتبر صحيحة. لاحظ أنه ، حسب التعريف ، الزاوية بين المتجهات هي 0 على الأقل وعلى الأكثر . علاوة على ذلك ، فإن الزاوية بين متجهين غير صفريين تساوي 0 إذا وفقط إذا كانت هذه النواقل كودية وتساوي إذا وفقط إذا كانوا في اتجاهين متعاكسين.

دعونا نتحقق من أن الزاوية بين المتجهات لا تعتمد على اختيار النقطة O. وهذا واضح إذا كانت المتجهات على خط واحد. خلاف ذلك ، وضعنا جانبا من نقطة عشوائية O 1 ناقلات O 1 أ 1 = أ و س 1 في 1 = ب ولاحظ أن المثلثين AOB و A 1 عن 1 في 1 متساوية من ثلاثة جوانب ، لأن | OA | = | س 1 أ 1 | = | أ | ، | OB | = | س 1 في 1 | = | ب | ، | أب | = | أ 1 في 1 | = | ب – а |. لذلك ، فإن الزاويتين AOB و A 1 عن 1 في 1 متساوية.

الآن يمكننا إعطاء الشيء الرئيسي في هذه الفقرة

(5.1) التعريف. الناتج القياسي للمتجهين a و b (يُشار إليهما بواسطة ab) هو الرقم 6 ، يساوي حاصل ضرب أطوال هذه المتجهات وجيب تمام الزاوية بين المتجهات. باختصار:

أب = | أ || ب | كوس (أ ، ب).

تسمى عملية إيجاد المنتج العددي الضرب القياسي للمتجهات. يُطلق على المنتج القياسي aa للمتجه نفسه المربع القياسي لهذا المتجه ويُرمز إليه بـ a 2 .

(5.2) المربع القياسي للمتجه يساوي مربع طوله.

 إذا كان | a |  0 ، إذن (أ ، أ) = 0 ، ومن أين أ 2 = | a || a | cos0 = | a | 2 . إذا كان a = 0 ، ثم a 2 = | أ | 2 = 0. 

(5.3) عدم مساواة كوشي. لا يتجاوز معامل الناتج العددي لمتجهين ناتج معاملات العوامل: | ab | | أ || ب |. في هذه الحالة ، تتحقق المساواة إذا وفقط إذا كان المتجهان أ و ب متصلين.

 بالتعريف | أب | = || أ || ب | كوس (أ ، ب) | = | أ || ب || كوس (أ ، ب) |  | أ || ب. هذا يثبت عدم مساواة كوشي نفسها. الآن دعنا نلاحظ. أنه بالنسبة للناقلات غير الصفرية ، تتحقق المساواة a و b فيه إذا وفقط إذا | cos (أ ، ب) | = 1 ، أي في (أ ، ب) = 0 أو (أ ، ب) =  . هذا الأخير مكافئ لحقيقة أن المتجهين أ و ب موجهان بشكل مشترك أو موجهان بشكل معاكس ، أي علاقة خطية متداخلة. إذا كان أحد المتجهين a و b على الأقل صفراً ، فإنهما يكونان على علاقة خطية و | ab | = | أ || ب | = 0. 

2. الخصائص الأساسية للضرب العددي. وتشمل هذه ما يلي:

(CS1) ab = ba (التبديل) ؛

(CS2) (xa) b = x (ab) (الارتباط) ؛

(CS3) أ (ب + ج) = أب + ج (التوزيع).

التبادلية هنا واضحة ، لأن أب =  با. الترابطية لـ x = 0 واضح أيضًا. إذا كانت x> 0 ثم

(هكتار) ب = | هكتار || ب | كوس (xa، b) = | x || a || b | cos (xa، b) = x | a || b | cos (أ ، ب) = س (أب) ،

ل (xa، b) = (أ ، ب) (من اتجاه كود المتجهين xa و a - الشكل 21). إذا كان x< 0 ، إذن

(xa) b = | x || a || b | cos (хa، b) = – | а || b | (–cos (أ ، ب)) = س | أ || ب | كوس (أ ، ب) = س (أب) ،

ل (xa، b) = –  (أ ، ب) (من الاتجاه المعاكس للمتجهين xa و a - الشكل 22). وهكذا ، ثبت الارتباط أيضًا.

إثبات التوزيعية أكثر صعوبة. لهذا نحتاج مثل

(5.4) ليما. دع a يكون متجهًا غير صفري موازيًا للخط l و b متجهًا تعسفيًا. ثم الإسقاط المتعامدب"من المتجه b للخط l يساوي
.



إذا كان ب = 0 ، إذنب"= 0 و ab = 0 ، بحيث تكون اللمة صحيحة في هذه الحالة. في ما يلي ، سنفترض أن المتجه b" ليس صفريًا. في هذه الحالة ، من نقطة عشوائية O للخط المستقيم l ، نضع المتجهين OA = a و OB = b جانبًا ، ونسقط أيضًا BB العمودي "من النقطة B إلى الخط المستقيم l. حسب التعريفاب" = ب" و (أ ، ب) =  AOW. دل من خلال AOB وإثبات اللمة بشكل منفصل لكل من الحالات الثلاث التالية:

1)  <  / 2. ثم نواقل أ و شارك في الإخراج (الشكل 23) و

ب" = =
=
.

2)  >  / 2. ثم نواقل أ وب"موجهة بشكل معاكس (الشكل 24) و

ب" = – = –
= .

3)  =  / 2. ثمب" = 0 وأب = 0 ، من أينب" =
= 0. 

نثبت الآن التوزيعية لـ (CS3). من الواضح ما إذا كان المتجه أ يساوي صفرًا. دع أ  0. ثم ارسم خط ل || أ ، والدلالة بواسطةب" وج"الإسقاط المتعامد للناقلات b و c عليه ومن خلالد"يكون الإسقاط المتعامد للمتجه d = b + c عليه. بواسطة Theorem 3.5د" = ب"+ جبتطبيق Lemma 5.4 على المساواة الأخيرة ، نحصل على المساواة
=
. بضربها بشكل تدريجي في a ، نجد ذلك 2 =
، من أين ad = ab + ac ، الذي كان من المقرر إثباته.

تتشابه خصائص الضرب العددي للمتجهات التي أثبتناها مع الخصائص المقابلة لمضاعفة الأرقام. ولكن لا تنتقل جميع خصائص مضاعفة الأرقام إلى الضرب القياسي للمتجهات. فيما يلي أمثلة نموذجية:

) إذا كانت ab = 0 ، فهذا لا يعني أن a = 0 أو b = 0. مثال: متجهان غير صفريين يشكلان الزاوية اليمنى.

2) إذا كان ab = ac ، فهذا لا يعني أن b = c ، حتى لو كان المتجه a غير صفري. مثال: b و c متجهان مختلفان لهما نفس الطول ، ويشكلان زاويتين متساويتين مع المتجه a (الشكل 25).

3) ليس صحيحًا أن a (bc) = (ab) c دائمًا: فقط لأن صحة مثل هذه المساواة لـ bc ، ab يشير 0 إلى أن المتجهين a و c على علاقة خطية.

3. تعامد النواقل. يُطلق على متجهين متعامدين إذا كانت الزاوية بينهما صحيحة. يشار إلى تعامد النواقل بواسطة الأيقونة .

عندما حددنا الزاوية بين المتجهات ، اتفقنا على اعتبار الزاوية بين متجه الصفر وأي متجه آخر كخط مستقيم. لذلك ، فإن المتجه الصفري متعامد مع أي متجه. هذه الاتفاقية تسمح لنا بإثبات ذلك

(5.5) علامة تعامد اثنين من النواقل. يكون المتجهان متعامدين إذا وفقط إذا كان حاصل الضرب النقطي صفرًا.

 دع أ و ب يكونان نواقل عشوائية. إذا كان أحدهما على الأقل صفرًا ، فإنهما متعامدان ، وحاصل ضربهما القياسي يساوي 0. وبالتالي ، في هذه الحالة تكون النظرية صحيحة. لنفترض الآن أن كلا النواقل المعطاة ليست صفرية. بالتعريف ، ab = | a || b | cos (أ ، ب). منذ افتراضنا الأرقام | أ | و | ب | لا تساوي 0 ، إذن ab = 0 كوس (أ ، ب) = 0  (أ ، ب) = / 2 ، الذي كان مقررًا إثباته.

غالبًا ما تؤخذ المساواة ab = 0 على أنها تعريف تعامد المتجهات.

(5.6) نتيجة طبيعية. إذا كان المتجه a متعامدًا مع كل من المتجهات أ 1 ، …، أ ص ، فهو أيضًا متعامد مع أي من تركيباتهم الخطية.

 يكفي أن نلاحظ أنه من المساواة أأ 1 =… = أأ ص = 0 يعني المساواة أ (س 1 أ 1 +… + x ص أ ص ) = س 1 (آه 1 ) +… + x ص (آه ص ) = 0. 

من Corollary 5.6 من السهل اشتقاق المعيار المدرسي لعمودية الخط والمستوى. في الواقع ، دع بعض الخط MN يكون عموديًا على خطين متقاطعين AB و AC. ثم يكون المتجه MN متعامدًا مع المتجهين AB و AC. لنأخذ أي خط مستقيم DE في المستوى ABC. المتجه DE هو متحد المستوى بالنسبة للمتجهين غير المتصلين AB و AC ، وبالتالي يتمدد فيهما. ولكن بعد ذلك يكون أيضًا متعامدًا مع المتجه MN ، أي أن الخطين MN و DE متعامدين. اتضح أن الخط MN عمودي على أي خط من المستوى ABC ، والذي كان من المقرر إثباته.

4. القواعد المتعامدة. (5.7) التعريف. يُقال أن أساس مساحة المتجه متعامد إذا كان ، أولاً ، كل نواقله لها طول وحدة ، وثانيًا ، أي اثنين من نواقله متعامدين.

عادةً ما يتم الإشارة إلى متجهات الأساس المتعامد في الفضاء ثلاثي الأبعاد بالحروف i و j و k ، وعلى المستوى المتجه بالحرفين i و j. مع الأخذ في الاعتبار علامة التعامد بين متجهين ومساواة المربع القياسي للمتجه مع مربع طوله ، فإن شروط التعامد للأساس (i ، j ، k) للمساحة V 3 يمكن كتابتها على هذا النحو:

(5.8) ط 2 = ي 2 = ك 2 = 1 ، ij = ik = jk = 0 ،

وأساس (i، j) المستوي المتجه على النحو التالي:

(5.9) ط 2 = ي 2 = 1 ، ij = 0.

دع المتجهين a و b في الأساس المتعامد (i ، j ، k) الفراغات V. 3 إحداثيات (أ 1 ، أ 2 ، أ 3 ) وب 1 ب 2 ،ب 3 ) على التوالى. ثمأب = (أ 1 أنا +أ 2 ي +أ 3 ك) (ب 1 أنا + ب 2 ي + ب 3 ك) = أ 1 ب 1 أنا 2 + أ 2 ب 2 ي 2 + أ 3 ب 3 ك 2 + أ 1 ب 2 ij + a 1 ب 3 ik + a 2 ب 1 جي + أ 2 ب 3 كيه + أ 3 ب 1 كي + أ 3 ب 2 كج = أ 1 ب 1 + أ 2 ب 2 + أ 3 ب 3 . هذه هي الطريقة التي تستخدم بها صيغة المنتج العددي للمتجهات أ (أ 1 ،أ 2 ،أ 3 ) وب (ب 1 ،ب 2 ،ب 3 ) من خلال إحداثياتهم في الأساس المتعامد للفضاء V. 3 :

(5.10) أب = أ 1 ب 1 + أ 2 ب 2 + أ 3 ب 3 .

بالنسبة إلى النواقل أ (أ 1 ،أ 2 ) وب (ب 1 ،ب 2 ) من خلال إحداثياتهم على أساس متعامد على مستوى المتجه ، فإنه يحتوي على الشكل

(5.11) أب = أ 1 ب 1 + أ 2 ب 2 .

دعونا نستبدل ب = أ في الصيغة (5.10). اتضح أنه في الأساس المتعامد أ 2 = أ 1 2 + أ 2 2 + أ 3 2 . لأن أ 2 = | أ | 2 ، نحصل على هذه الصيغة لإيجاد طول المتجه a (a 1 ،أ 2 ،أ 3 ) التي تحددها إحداثياتها في الأساس المتعامد للفضاء V. 3 :

(5.12) | أ | =
.

على المستوى المتجه ، بموجب (5.11) ، يأخذ الشكل

(5.13) | أ | =
.

بالتعويض عن b = i ، b = j ، b = k في الصيغة (5.10) ، نحصل على ثلاث معادلات مفيدة أكثر:

(5.14) ع = أ 1 ، aj = a 2 ، الملقب = أ 3 .

تعد بساطة صيغ الإحداثيات لإيجاد المنتج القياسي للمتجهات وطول المتجه هي الميزة الرئيسية للقواعد المتعامدة. بالنسبة للقواعد غير المتعامدة ، فإن هذه الصيغ ، بشكل عام ، غير صحيحة ، وتطبيقها في هذه الحالة هو خطأ جسيم.

5. جيب التمام الاتجاه. خذ أساسًا متعامدًا (i ، j ، k) المسافات V. 3 المتجه أ (أ 1 ،أ 2 ،أ 3 ). ثمai = | a || i | cos (أ ، أنا) = | أ | كوس (أ ، ط).من ناحية أخرى ، ai = a 1 وفقًا للصيغة 5.14. لقد أتضح أن

(5.15) أ 1 = | a | cos (أ ، ط).

وبالمثل،

أ 2 = | a | cos (أ ، ي) ، و 3 = | a | cos (أ ، ك).

إذا كان المتجه a وحدة ، فإن هذه المساواة الثلاث تأخذ شكلاً بسيطًا بشكل خاص:

(5.16) أ 1 = كوس (أ ، ط) ،أ 2 = كوس (أ ، ي) ،أ 3 = كوس (أ ، ك).

يُطلق على جيب التمام للزوايا المكونة من متجه مع متجهات أساس متعامد جيب التمام الاتجاه لهذا المتجه في الأساس المحدد. كما توضح الصيغ 5.16 ، فإن إحداثيات متجه الوحدة في أساس متعامد تساوي جيب التمام الخاص بالاتجاه.

من 5.15 يتبع ذلك أ 1 2 + أ 2 2 + أ 3 2 = | أ | 2 (كوس 2  (أ ، ط) + جيب التمام 2  (أ ، ي) + كوس 2  (أ ، ك)). من ناحية أخرى ، أ 1 2 + أ 2 2 + أ 3 2 = | أ | 2 . لقد أتضح أن

(5.17) مجموع جيب التمام التربيعي للاتجاه لمتجه غير صفري يساوي 1.

هذه الحقيقة مفيدة لحل بعض المشاكل.

(5.18) مشكلة. شكل قطري مستطيل متوازي السطوح مع اثنين من حوافه تخرج من نفس زوايا الرأس التي تبلغ 60 . ما هي الزاوية التي تكون فيها الحافة الثالثة تخرج من هذا الرأس؟

 ضع في اعتبارك أساسًا متعامدًا للفضاء V. 3 ، نواقلها ممثلة بحواف خط الموازي الخارجة من قمة معينة. بما أن المتجه القطري يشكل زوايا 60 مع متجهين لهذا الأساس ، مربعات اثنين من جيب التمام الثلاثة للاتجاه تساوي جيب التمام 2 60  = 1/4. إذن ، مربع جيب التمام الثالث هو 1/2 ، وجيب التمام هذا هو 1 /
. إذن ، الزاوية المرغوبة هي 45 . 

الزاوية بين النواقل

ضع في اعتبارك متجهين معطيين $ \ overrightarrow (a) $ و $ \ overrightarrow (b) $. دعونا نضع المتجهات جانبًا الزاوية بين المتجهين $ \ overrightarrow (a) $ و $ \ overrightarrow (b) $ (الشكل 1).

الصورة 1.

لاحظ هنا أنه إذا كان المتجهان $ \ overrightarrow (a) $ و $ \ overrightarrow (b) $ متجهين الاتجاه ، أو كان أحدهما متجهًا صفريًا ، فإن الزاوية بين المتجهات تساوي $ 0 ^ 0 $.

التدوين: $ \ widehat (\ overrightarrow (a)، \ overrightarrow (b)) $

مفهوم المنتج العددي للناقلات

رياضيا ، يمكن كتابة هذا التعريف على النحو التالي:

يمكن أن يكون الناتج العددي صفراً في حالتين:

إذا كان أحد المتجهات سيكون متجهًا صفريًا (منذ ذلك الحين طوله صفر).

إذا كانت المتجهات متعامدة بشكل متبادل (على سبيل المثال $ cos (90) ^ 0 = 0 $).

لاحظ أيضًا أن الناتج الداخلي أكبر من الصفر إذا كانت الزاوية بين هذه المتجهات حادة (لأن $ (cos \ left (\ widehat (\ overrightarrow (a)، \ overrightarrow (b)) \ right) \)> 0 $) ، وأقل من الصفر إذا كانت الزاوية بين هذه المتجهات منفرجة (منذ $ (cos \ left (\ widehat (\ overrightarrow (a)، \ overrightarrow (b)) \ right) \)

يرتبط مفهوم المربع العددي بمفهوم المنتج القياسي.

التعريف 2

المربع القياسي للمتجه $ \ overrightarrow (a) $ هو الناتج القياسي لهذا المتجه مع نفسه.

نحصل على أن المربع القياسي هو

حساب المنتج العددي بإحداثيات المتجهات

بالإضافة إلى الطريقة القياسية لإيجاد قيمة المنتج النقطي ، والتي تتبع من التعريف ، هناك طريقة أخرى.

دعونا نفكر فيه.

دع المتجهات $ \ overrightarrow (a) $ و $ \ overrightarrow (b) $ لها إحداثيات $ \ left (a_1، b_1 \ right) $ و $ \ left (a_2، b_2 \ right) $ على التوالي.

نظرية 1

الناتج القياسي للمتجهين $ \ overrightarrow (a) $ و $ \ overrightarrow (b) $ يساوي مجموع حاصل ضرب الإحداثيات المقابلة.

رياضيا ، يمكن كتابة هذا على النحو التالي

\ [\ overrightarrow (a) \ overrightarrow (b) = a_1a_2 + b_1b_2 \]

دليل.

لقد تم إثبات النظرية.

هذه النظرية لها عدة آثار:

النتيجة الطبيعية 1: المتجهات $ \ overrightarrow (a) $ و $ \ overrightarrow (b) $ متعامدة إذا وفقط إذا كان $ a_1a_2 + b_1b_2 = 0 $

النتيجة 2: جيب تمام الزاوية بين المتجهات هو $ cos \ alpha = \ frac (a_1a_2 + b_1b_2) (\ sqrt (a ^ 2_1 + b ^ 2_1) \ cdot \ sqrt (a ^ 2_2 + b ^ 2_2)) $

خصائص المنتج النقطي للمتجهات

بالنسبة إلى أي ثلاثة نواقل وعدد حقيقي $ k $ ، يكون ما يلي صحيحًا:

$ (\ overrightarrow (a)) ^ 2 \ ge 0 $

تتبع هذه الخاصية من تعريف المربع القياسي (التعريف 2).

قانون النزوح:$ \ overrightarrow (a) \ overrightarrow (b) = \ overrightarrow (b) \ overrightarrow (a) $.

تأتي هذه الخاصية من تعريف المنتج الداخلي (التعريف 1).

قانون التوزيع:

$ \ left (\ overrightarrow (a) + \ overrightarrow (b) \ right) \ overrightarrow (c) = \ overrightarrow (a) \ overrightarrow (c) + \ overrightarrow (b) \ overrightarrow (c) $. نهاية (عد)

من خلال النظرية 1 ، لدينا:

\ [\ left (\ overrightarrow (a) + \ overrightarrow (b) \ right) \ overrightarrow (c) = \ left (a_1 + a_2 \ right) a_3 + \ left (b_1 + b_2 \ right) b_3 = a_1a_3 + a_2a_3 + b_1b_3 + b_2b_3 == \ overrightarrow (a) \ overrightarrow (c) + \ overrightarrow (b) \ overrightarrow (c) \]

قانون الجمع:$ \ left (k \ overrightarrow (a) \ right) \ overrightarrow (b) = k (\ overrightarrow (a) \ overrightarrow (b)) $. نهاية (عد)

من خلال النظرية 1 ، لدينا:

\ [\ left (k \ overrightarrow (a) \ right) \ overrightarrow (b) = ka_1a_2 + kb_1b_2 = k \ left (a_1a_2 + b_1b_2 \ right) = k (\ overrightarrow (a) \ overrightarrow (b)) \]

مثال على مشكلة لحساب الناتج القياسي للمتجهات

مثال 1

ابحث عن المنتج الداخلي للمتجهات $ \ overrightarrow (a) $ and $ \ overrightarrow (b) $ if $ \ left | \ overrightarrow (a) \ right | = 3 $ and $ \ left | \ overrightarrow (b) \ right | = 2 $ والزاوية بينهما $ ((30) ^ 0، \ 45) ^ 0، \ (90) ^ 0، \ (135) ^ 0 $.

حل.

باستخدام التعريف 1 ، نحصل عليه

لـ $ (30) ^ 0: $

\ [\ overrightarrow (a) \ overrightarrow (b) = 6 (cos \ left ((30) ^ 0 \ right) \) = 6 \ cdot \ frac (\ sqrt (3)) (2) = 3 \ sqrt ( 3) \]

لـ $ (45) ^ 0: $

\ [\ overrightarrow (a) \ overrightarrow (b) = 6 (cos \ left ((45) ^ 0 \ right) \) = 6 \ cdot \ frac (\ sqrt (2)) (2) = 3 \ sqrt ( 2) \]

مقابل (90) ^ 0: $

\ [\ overrightarrow (a) \ overrightarrow (b) = 6 (cos \ left ((90) ^ 0 \ right) \) = 6 \ cdot 0 = 0 \]

مقابل (135) ^ 0: $

\ [\ overrightarrow (a) \ overrightarrow (b) = 6 (cos \ left ((135) ^ 0 \ right) \) = 6 \ cdot \ left (- \ frac (\ sqrt (2)) (2) \ يمين) = - 3 \ sqrt (2) \]

إذا تم عرض كل من أطوال المتجهات والزاوية بينهما في المشكلة "على طبق من الفضة" ، فإن حالة المشكلة وحلها تبدو كما يلي:

مثال 1يتم إعطاء النواقل. ابحث عن الناتج القياسي للمتجهات إذا تم تمثيل أطوالها والزاوية بينهما بالقيم التالية:

هناك تعريف آخر صالح أيضًا ، وهو مكافئ تمامًا للتعريف 1.

التعريف 2. الناتج القياسي للمتجهات هو رقم (قياسي) يساوي حاصل ضرب طول أحد هذه المتجهات وإسقاط متجه آخر على المحور الذي يحدده أول هذه المتجهات. الصيغة حسب التعريف 2:

سنحل المشكلة باستخدام هذه الصيغة بعد النقطة النظرية المهمة التالية.

تعريف المنتج العددي للمتجهات من حيث الإحداثيات

يمكن الحصول على نفس العدد إذا أعطيت المتجهات المضاعفة بإحداثياتها.

التعريف 3.حاصل الضرب القياسي للمتجهات هو الرقم الذي يساوي مجموع حاصل الضرب الزوجي للإحداثيات الخاصة بكل منهما.

على السطح

إذا تم تعريف متجهين وفي المستوى بواسطة اثنين الإحداثيات الديكارتية

ثم حاصل الضرب النقطي لهذه المتجهات يساوي مجموع حاصل الضرب الزوجي للإحداثيات الخاصة بكل منهما:

مثال 2أوجد القيمة العددية لإسقاط المتجه على المحور الموازي للمتجه.

حل. نجد حاصل الضرب القياسي للمتجهات بإضافة حاصل الضرب الزوجي لإحداثياتها:

نحتاج الآن إلى مساواة الناتج القياسي الناتج بحاصل ضرب طول المتجه وإسقاط المتجه على محور موازٍ للمتجه (وفقًا للصيغة).

نجد طول المتجه مثل الجذر التربيعيمن مجموع مربعات إحداثياتها:

اكتب معادلة وحلها:

إجابة. القيمة العددية المطلوبة هي 8 سالب.

في الفضاء

إذا تم تحديد متجهين وفي الفضاء من خلال إحداثيات المستطيلات الثلاثة الديكارتية

ثم يكون الناتج القياسي لهذه المتجهات أيضًا مساويًا لمجموع حاصل الضرب الزوجي للإحداثيات الخاصة بكل منهما ، وهناك فقط ثلاثة إحداثيات:

مهمة العثور على المنتج القياسي بالطريقة المدروسة هي بعد تحليل خصائص المنتج القياسي. لأنه في المهمة سيكون من الضروري تحديد الزاوية التي تشكل المتجهات المضاعفة.

خصائص المنتج النقطي للمتجهات

الخصائص الجبرية

1. (خاصية التبديل: قيمة منتجهم القياسي لا تتغير من تغيير أماكن المتجهات المضاعفة).

2. (الملكية الترابطية فيما يتعلق بعامل عددي: الناتج القياسي لمتجه مضروبًا في عامل ومتجه آخر يساوي الناتج القياسي لهذه المتجهات مضروبًا في نفس العامل).

3. (التوزيعية فيما يتعلق بمجموع النواقل: الناتج القياسي لمجموع متجهين بواسطة المتجه الثالث يساوي مجموع المنتجات العددية للمتجه الأول بواسطة المتجه الثالث والمتجه الثاني بواسطة المتجه الثالث).

4. (المربع القياسي لمتجه أكبر من الصفر) إذا كان متجهًا غير صفري ، وإذا كان متجهًا صفريًا.

الخصائص الهندسية

في تعريفات العملية قيد الدراسة ، تطرقنا بالفعل إلى مفهوم الزاوية بين متجهين. حان الوقت لتوضيح هذا المفهوم.

في الشكل أعلاه ، يوجد متجهان مرئيان ، يتم إحضارهما إلى بداية مشتركة. وأول شيء يجب الانتباه إليه: هناك زاويتان بين هذه المتجهات - φ 1 و φ 2 . أي من هذه الزوايا يظهر في تعريفات وخصائص المنتج القياسي للمتجهات؟ مجموع الزوايا المدروسة هو 2 π وبالتالي فإن جيب التمام لهذه الزوايا متساوي. يتضمن تعريف حاصل الضرب النقطي جيب تمام الزاوية فقط ، وليس قيمة تعبيرها. لكن يتم النظر في ركن واحد فقط في العقارات. وهذه إحدى الزاويتين التي لا تتعدى π أي 180 درجة. تظهر هذه الزاوية في الشكل كـ φ 1 .

1. يتم استدعاء اثنين من النواقل متعامد و الزاوية بين هذه المتجهات صحيحة (90 درجة أو π / 2) إذا الناتج القياسي لهذه المتجهات هو صفر :

التعامد في الجبر المتجه هو عمودي متجهين.

2. اثنين من النواقل غير الصفرية تشكل زاوية حادة (من 0 إلى 90 درجة ، أو أقل من ذلك π حاصل الضرب النقطي إيجابي .

3. اثنين من النواقل غير الصفرية تشكل زاوية منفرجة (من 90 إلى 180 درجة ، أو ما هو نفسه - أكثر π / 2) إذا وفقط إذا حاصل الضرب النقطي سلبي .

مثال 3يتم إعطاء المتجهات في الإحداثيات:

احسب حاصل الضرب القياسي لجميع أزواج المتجهات المعطاة. ما الزاوية (الحادة ، اليمنى ، المنفرجة) التي تتكون منها أزواج المتجهات هذه؟

حل. سنحسب بإضافة حاصل ضرب الإحداثيات المقابلة.

حصلنا على عدد سالب ، لذا فإن المتجهات تشكل زاوية منفرجة.

حصلنا على عدد موجب ، لذا فإن المتجهات تشكل زاوية حادة.

حصلنا على صفر ، لذا فإن المتجهات تشكل زاوية قائمة.

حصلنا على عدد موجب ، لذا فإن المتجهات تشكل زاوية حادة.

للاختبار الذاتي ، يمكنك استخدام آلة حاسبة على الإنترنت حاصل الضرب النقطي للمتجهات وجيب التمام للزاوية بينهما .

مثال 4بالنظر إلى أطوال متجهين والزاوية بينهما:

تحديد ما هي قيمة عدد المتجهات والمتعامدة (عمودي).

حل. نضرب المتجهات وفقًا لقاعدة ضرب كثيرات الحدود:

الآن دعنا نحسب كل مصطلح:

دعنا نؤلف معادلة (تساوي المنتج مع الصفر) ، ونعطي المصطلحات المتشابهة ونحل المعادلة:

الجواب: حصلنا على القيمة λ = 1.8 ، حيث تكون المتجهات متعامدة.

مثال 5إثبات أن المتجه متعامد (عمودي) على المتجه

حل. للتحقق من التعامد ، نقوم بضرب المتجهات وكعديد الحدود ، مع استبدال التعبير الوارد في حالة المشكلة بدلاً من ذلك:

للقيام بذلك ، تحتاج إلى ضرب كل مصطلح (مصطلح) من كثير الحدود الأول في كل مصطلح من الثانية وإضافة المنتجات الناتجة:

نتيجة لذلك ، يتم تقليل الكسر المستحق. يتم الحصول على النتيجة التالية:

الخلاصة: نتيجة الضرب ، حصلنا على صفر ، لذلك تم إثبات التعامد (العمودية) للمتجهات.

قم بحل المشكلة بنفسك ثم انظر إلى الحل

مثال 6بالنظر إلى أطوال المتجهات و ، والزاوية بين هذين المتجهين هي π / 4. حدد بأي قيمة μ المتجهات ومتعامدة بشكل متبادل.

تمثيل المصفوفة للمنتج العددي للناقلات وحاصل ضرب متجهات الأبعاد n

في بعض الأحيان ، من أجل الوضوح ، من المفيد تمثيل متجهين مضروبين في شكل مصفوفات. ثم يتم تمثيل المتجه الأول كمصفوفة صف ، والثاني - كمصفوفة عمود:

ثم سيكون الناتج القياسي للناقلات حاصل ضرب هذه المصفوفات :

والنتيجة هي نفسها التي تم الحصول عليها بالطريقة التي درسناها بالفعل. حصلنا على رقم واحد ، وحاصل ضرب صف المصفوفة في عمود المصفوفة هو أيضًا رقم واحد.

في شكل مصفوفة ، من الملائم تمثيل ناتج متجهات مجردة ذات أبعاد n. وبالتالي ، فإن حاصل ضرب متجهين رباعي الأبعاد سيكون ناتج مصفوفة صف مكونة من أربعة عناصر بمصفوفة عمود أيضًا مع أربعة عناصر ، وحاصل ضرب متجهين خماسي الأبعاد سيكون ناتج مصفوفة صف مكونة من خمسة عناصر بواسطة مصفوفة عمود أيضًا تحتوي على خمسة عناصر ، وهكذا.

مثال 7أوجد حاصل الضرب النقطي لأزواج المتجهات

باستخدام تمثيل المصفوفة.

حل. الزوج الأول من النواقل. نمثل المتجه الأول كمصفوفة صف ، والثاني كمصفوفة عمود. نجد حاصل الضرب القياسي لهذه المتجهات كحاصل ضرب مصفوفة الصف بواسطة مصفوفة العمود: