المصفوفات الغاوسية. طريقة غاوس للدمى: أمثلة على الحلول. مشاكل استخدام قاعدة غاوس

دع نظام المعادلات الجبرية الخطية يُعطى ، والتي يجب حلها (ابحث عن قيم المجهول xi التي تحول كل معادلة في النظام إلى مساواة).

نحن نعلم أن نظام المعادلات الجبرية الخطية يمكنه:

1) ليس لديك حلول (كن تتعارض).
2) لديك عدد لا نهائي من الحلول.
3) لديك حل فريد.

كما نتذكر ، فإن قاعدة كرامر وطريقة المصفوفة غير قابلة للتطبيق في الحالات التي يكون فيها النظام به عدد لا نهائي من الحلول أو يكون غير متسق. طريقة جاوس – أقوى أداة وأكثرها تنوعًا لإيجاد حلول لأي نظام من المعادلات الخطية، التي في كل حالةسيقودنا إلى الجواب! تعمل خوارزمية الطريقة نفسها بنفس الطريقة في جميع الحالات الثلاث. إذا كانت معرفة المحددات مطلوبة في أساليب كرامر والمصفوفة ، فعند تطبيق طريقة غاوس ، لا يلزم سوى معرفة العمليات الحسابية ، مما يجعلها متاحة حتى لطلاب المدارس الابتدائية.

تحويلات المصفوفة الممتدة ( هذه مصفوفة النظام - مصفوفة تتكون فقط من معاملات المجهول ، بالإضافة إلى عمود من المصطلحات الحرة)أنظمة المعادلات الجبرية الخطية في طريقة جاوس:

1) من عند سلاسل المصفوفات يستطيع إعادة الترتيبفي الأماكن.

2) إذا كانت المصفوفة تحتوي (أو كانت) متناسبة (كحالة خاصة - نفس الصفوف) ، فإنها تتبع حذف من المصفوفة كل هذه الصفوف ما عدا واحد.

3) إذا ظهر صف صفري في المصفوفة أثناء التحولات ، فإنه يتبع أيضًا حذف.

4) يمكن أن يكون صف المصفوفة ضرب (قسمة)إلى أي رقم بخلاف الصفر.

5) يمكن أن يكون صف المصفوفة إضافة سلسلة أخرى مضروبة في رقمغير صفرية.

في طريقة غاوس ، لا تغير التحويلات الأولية من حل نظام المعادلات.

تتكون الطريقة الغاوسية من مرحلتين:

1. "الحركة المباشرة" - بمساعدة التحولات الأولية ، قلل المصفوفة الممتدة لنظام المعادلات الجبرية الخطية إلى شكل تدريجي "مثلث": عناصر المصفوفة الممتدة الواقعة أسفل القطر الرئيسي تساوي الصفر (حركة "من أعلى إلى أسفل"). على سبيل المثال ، لهذا النموذج:

لكي تفعل هذا، اتبع هذه الخطوات:

1) لنفترض أننا اعتبرنا المعادلة الأولى لنظام المعادلات الجبرية الخطية والمعامل عند x 1 هو K. والثاني والثالث وما إلى ذلك. يتم تحويل المعادلات على النحو التالي: يتم تقسيم كل معادلة (معاملات للمجهول ، بما في ذلك المصطلحات الحرة) على معامل المجهول x 1 ، الموجود في كل معادلة ، ونضرب في K. بعد ذلك ، نطرح الأولى من المعادلة الثانية (معاملات للمجهول والمصطلحات الحرة). نحصل على المعامل 0 لـ x 1 في المعادلة الثانية ، اطرح المعادلة الأولى من المعادلة المحولة الثالثة حتى تحصل جميع المعادلات ، باستثناء الأولى ، على معامل x 1 غير المعروف.

2) انتقل إلى المعادلة التالية. لنفترض أن هذه هي المعادلة الثانية ويكون المعامل عند x 2 يساوي M. مع كل المعادلات "الأقل" ، نواصل العمل كما هو موضح أعلاه. وبالتالي ، "تحت" المجهول × 2 في جميع المعادلات ستكون الأصفار.

3) انتقل إلى المعادلة التالية وما إلى ذلك حتى يكون هناك آخر غير معروف والمصطلح الحر المحول.

1. "عكس" طريقة غاوس - الحصول على حل لنظام المعادلات الجبرية الخطية (حركة "من أسفل إلى أعلى"). من المعادلة "الدنيا" الأخيرة نحصل على حل أول واحد - المجهول x n. للقيام بذلك ، نحل المعادلة الأولية A * x n \u003d B. في المثال أعلاه ، x 3 \u003d 4. عوض بالقيمة التي تم العثور عليها في المعادلة التالية "العليا" وحلها بالنسبة إلى المجهول التالي. على سبيل المثال ، × 2-4 \u003d 1 ، أي x 2 \u003d 5. وهكذا حتى نجد كل المجهول.

مثال.

لنحل نظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة جاوس كما ينصح بعض المؤلفين:

دعونا نكتب المصفوفة الممتدة للنظام ، وباستخدام التحويلات الأولية ، نحولها إلى شكل تدريجي:

ننظر إلى "الخطوة" اليسرى العليا. يجب أن يكون لدينا وحدة هناك. تكمن المشكلة في عدم وجود أي منها في العمود الأول على الإطلاق ، لذا فإن إعادة ترتيب الصفوف لن يحل أي شيء. في مثل هذه الحالات ، يجب تنظيم الوحدة باستخدام تحويل أولي. يمكن القيام بذلك عادة بعدة طرق. هيا بنا نقوم بذلك:
خطوة واحدة ... أضف السطر الثاني مضروبًا في -1 إلى السطر الأول. أي أننا ضربنا عقليًا السطر الثاني في -1 وأضفنا السطر الأول والثاني ، بينما لم يتغير السطر الثاني.

الآن في أعلى اليسار يوجد "ناقص واحد" ، وهو أمر جيد بالنسبة لنا. يمكن لأي شخص يرغب في الحصول على +1 تنفيذ إجراء إضافي: اضرب السطر الأول في -1 (قم بتغيير علامته).

الخطوة 2 ... أضيف السطر الأول مضروبًا في 5 إلى السطر الثاني ، وأضيف السطر الأول مضروبًا في 3 إلى السطر الثالث.

الخطوه 3 ... تم ضرب السطر الأول ب -1 ، من حيث المبدأ ، هذا للجمال. تم أيضًا تغيير علامة السطر الثالث وتم نقلها إلى المرتبة الثانية ، وبالتالي ، في "الخطوة الثانية ، لدينا الوحدة المطلوبة.

الخطوة 4 ... تمت إضافة الصف الثاني إلى السطر الثالث ، مضروبًا في 2.

الخطوة الخامسة ... تم تقسيم السطر الثالث على 3.

العلامة التي تشير إلى خطأ في العمليات الحسابية (أقل في كثير من الأحيان - خطأ مطبعي) هي المحصلة النهائية "سيئة". أي إذا حصلنا في الأسفل على شيء مثل (0 0 11 | 23) ، وبالتالي ، 11x 3 \u003d 23 ، x 3 \u003d 23/11 ، فعندئذ مع درجة عالية من الاحتمالية ، يمكن القول بأن خطأ قد حدث أثناء التحولات الأولية.

نقوم بتنفيذ الحركة العكسية ، في تصميم الأمثلة ، غالبًا ما لا تتم إعادة كتابة النظام نفسه ، ويتم أخذ المعادلات مباشرة من المصفوفة المحددة. أذكرك أن الحركة العكسية تعمل من الأسفل إلى الأعلى. في هذا المثال حصلنا على هدية:

× 3 \u003d 1
× 2 \u003d 3
س 1 + س 2 - س 3 \u003d 1 ، لذلك س 1 + 3-1 \u003d 1 ، س 1 \u003d -1

إجابة: س 1 \u003d -1 ، س 2 \u003d 3 ، × 3 \u003d 1.

لنحل نفس النظام وفقًا للخوارزمية المقترحة. نحن نحصل

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

قسّم المعادلة الثانية على 5 والثالثة على 3. نحصل على:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

بضرب المعادلتين الثانية والثالثة في 4 ، نحصل على:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

بطرح المعادلة الأولى من المعادلتين الثانية والثالثة ، لدينا:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

قسّم المعادلة الثالثة على 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

اضرب المعادلة الثالثة في 0.4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

دعونا نطرح المعادلة الثانية من المعادلة الثالثة للحصول على مصفوفة ممتدة "تدريجية":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

وبالتالي ، نظرًا لأن الخطأ تراكم أثناء الحسابات ، نحصل على x 3 \u003d 0.96 أو تقريبًا 1.

س 2 \u003d 3 و س 1 \u003d -1.

الحل بهذه الطريقة ، لن يتم الخلط بينك وبين الحسابات ، وعلى الرغم من أخطاء الحساب ، ستحصل على النتيجة.

هذه الطريقة في حل نظام المعادلات الجبرية الخطية قابلة للبرمجة بسهولة ولا تأخذ في الاعتبار السمات المحددة لمعاملات المجهول ، لأنه في الممارسة العملية (في الحسابات الاقتصادية والتقنية) يتعين على المرء أن يتعامل مع معاملات غير صحيحة.

أتمنى لك النجاح! اراك في الفصل! مدرس.

blog. site ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

دع نظام المعادلات الجبرية الخطية يُعطى ، والتي يجب حلها (ابحث عن قيم المجهول xi التي تحول كل معادلة في النظام إلى مساواة).

نحن نعلم أن نظام المعادلات الجبرية الخطية يمكنه:

1) ليس لديك حلول (كن تتعارض).
2) لديك عدد لا نهائي من الحلول.
3) لديك حل فريد.

كما نتذكر ، فإن قاعدة كرامر وطريقة المصفوفة غير قابلة للتطبيق في الحالات التي يكون فيها النظام به عدد لا نهائي من الحلول أو يكون غير متسق. طريقة جاوس – أقوى أداة وأكثرها تنوعًا لإيجاد حلول لأي نظام من المعادلات الخطية، التي في كل حالةسيقودنا إلى الجواب! تعمل خوارزمية الطريقة نفسها بنفس الطريقة في جميع الحالات الثلاث. إذا كانت معرفة المحددات مطلوبة في أساليب كرامر والمصفوفة ، فعند تطبيق طريقة غاوس ، لا يلزم سوى معرفة العمليات الحسابية ، مما يجعلها متاحة حتى لطلاب المدارس الابتدائية.

تحويلات المصفوفة الممتدة ( هذه مصفوفة النظام - مصفوفة تتكون فقط من معاملات المجهول ، بالإضافة إلى عمود من المصطلحات الحرة)أنظمة المعادلات الجبرية الخطية في طريقة جاوس:

1) من عند سلاسل المصفوفات يستطيع إعادة الترتيبفي الأماكن.

2) إذا كانت المصفوفة تحتوي (أو كانت) متناسبة (كحالة خاصة - نفس الصفوف) ، فإنها تتبع حذف من المصفوفة كل هذه الصفوف ما عدا واحد.

3) إذا ظهر صف صفري في المصفوفة أثناء التحولات ، فإنه يتبع أيضًا حذف.

4) يمكن أن يكون صف المصفوفة ضرب (قسمة)إلى أي رقم بخلاف الصفر.

5) يمكن أن يكون صف المصفوفة إضافة سلسلة أخرى مضروبة في رقمغير صفرية.

في طريقة غاوس ، لا تغير التحويلات الأولية من حل نظام المعادلات.

تتكون الطريقة الغاوسية من مرحلتين:

1. "الحركة المباشرة" - بمساعدة التحولات الأولية ، قلل المصفوفة الممتدة لنظام المعادلات الجبرية الخطية إلى شكل تدريجي "مثلث": عناصر المصفوفة الممتدة الواقعة أسفل القطر الرئيسي تساوي الصفر (حركة "من أعلى إلى أسفل"). على سبيل المثال ، لهذا النموذج:

لكي تفعل هذا، اتبع هذه الخطوات:

1) لنفترض أننا اعتبرنا المعادلة الأولى لنظام المعادلات الجبرية الخطية والمعامل عند x 1 هو K. والثاني والثالث وما إلى ذلك. يتم تحويل المعادلات على النحو التالي: يتم تقسيم كل معادلة (معاملات للمجهول ، بما في ذلك المصطلحات الحرة) على معامل المجهول x 1 ، الموجود في كل معادلة ، ونضرب في K. بعد ذلك ، نطرح الأولى من المعادلة الثانية (معاملات للمجهول والمصطلحات الحرة). نحصل على المعامل 0 لـ x 1 في المعادلة الثانية ، اطرح المعادلة الأولى من المعادلة المحولة الثالثة حتى تحصل جميع المعادلات ، باستثناء الأولى ، على معامل x 1 غير المعروف.

2) انتقل إلى المعادلة التالية. لنفترض أن هذه هي المعادلة الثانية ويكون المعامل عند x 2 يساوي M. مع كل المعادلات "الأقل" ، نواصل العمل كما هو موضح أعلاه. وبالتالي ، "تحت" المجهول × 2 في جميع المعادلات ستكون الأصفار.

3) انتقل إلى المعادلة التالية وما إلى ذلك حتى يكون هناك آخر غير معروف والمصطلح الحر المحول.

1. "عكس" طريقة غاوس - الحصول على حل لنظام المعادلات الجبرية الخطية (حركة "من أسفل إلى أعلى"). من المعادلة "الدنيا" الأخيرة نحصل على حل أول واحد - المجهول x n. للقيام بذلك ، نحل المعادلة الأولية A * x n \u003d B. في المثال أعلاه ، x 3 \u003d 4. عوض بالقيمة التي تم العثور عليها في المعادلة التالية "العليا" وحلها بالنسبة إلى المجهول التالي. على سبيل المثال ، × 2-4 \u003d 1 ، أي x 2 \u003d 5. وهكذا حتى نجد كل المجهول.

مثال.

لنحل نظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة جاوس كما ينصح بعض المؤلفين:

دعونا نكتب المصفوفة الممتدة للنظام ، وباستخدام التحويلات الأولية ، نحولها إلى شكل تدريجي:

ننظر إلى "الخطوة" اليسرى العليا. يجب أن يكون لدينا وحدة هناك. تكمن المشكلة في عدم وجود أي منها في العمود الأول على الإطلاق ، لذا فإن إعادة ترتيب الصفوف لن يحل أي شيء. في مثل هذه الحالات ، يجب تنظيم الوحدة باستخدام تحويل أولي. يمكن القيام بذلك عادة بعدة طرق. هيا بنا نقوم بذلك:
خطوة واحدة ... أضف السطر الثاني مضروبًا في -1 إلى السطر الأول. أي أننا ضربنا عقليًا السطر الثاني في -1 وأضفنا السطر الأول والثاني ، بينما لم يتغير السطر الثاني.

الآن في أعلى اليسار يوجد "ناقص واحد" ، وهو أمر جيد بالنسبة لنا. يمكن لأي شخص يرغب في الحصول على +1 تنفيذ إجراء إضافي: اضرب السطر الأول في -1 (قم بتغيير علامته).

الخطوة 2 ... أضيف السطر الأول مضروبًا في 5 إلى السطر الثاني ، وأضيف السطر الأول مضروبًا في 3 إلى السطر الثالث.

الخطوه 3 ... تم ضرب السطر الأول ب -1 ، من حيث المبدأ ، هذا للجمال. تم أيضًا تغيير علامة السطر الثالث وتم نقلها إلى المرتبة الثانية ، وبالتالي ، في "الخطوة الثانية ، لدينا الوحدة المطلوبة.

الخطوة 4 ... تمت إضافة الصف الثاني إلى السطر الثالث ، مضروبًا في 2.

الخطوة الخامسة ... تم تقسيم السطر الثالث على 3.

العلامة التي تشير إلى خطأ في العمليات الحسابية (أقل في كثير من الأحيان - خطأ مطبعي) هي المحصلة النهائية "سيئة". أي إذا حصلنا في الأسفل على شيء مثل (0 0 11 | 23) ، وبالتالي ، 11x 3 \u003d 23 ، x 3 \u003d 23/11 ، فعندئذ مع درجة عالية من الاحتمالية ، يمكن القول بأن خطأ قد حدث أثناء التحولات الأولية.

نقوم بتنفيذ الحركة العكسية ، في تصميم الأمثلة ، غالبًا ما لا تتم إعادة كتابة النظام نفسه ، ويتم أخذ المعادلات مباشرة من المصفوفة المحددة. أذكرك أن الحركة العكسية تعمل من الأسفل إلى الأعلى. في هذا المثال حصلنا على هدية:

× 3 \u003d 1
× 2 \u003d 3
س 1 + س 2 - س 3 \u003d 1 ، لذلك س 1 + 3-1 \u003d 1 ، س 1 \u003d -1

إجابة: س 1 \u003d -1 ، س 2 \u003d 3 ، × 3 \u003d 1.

لنحل نفس النظام وفقًا للخوارزمية المقترحة. نحن نحصل

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

قسّم المعادلة الثانية على 5 والثالثة على 3. نحصل على:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

بضرب المعادلتين الثانية والثالثة في 4 ، نحصل على:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

بطرح المعادلة الأولى من المعادلتين الثانية والثالثة ، لدينا:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

قسّم المعادلة الثالثة على 0.64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

اضرب المعادلة الثالثة في 0.4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

دعونا نطرح المعادلة الثانية من المعادلة الثالثة للحصول على مصفوفة ممتدة "تدريجية":

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

وبالتالي ، نظرًا لأن الخطأ تراكم أثناء الحسابات ، نحصل على x 3 \u003d 0.96 أو تقريبًا 1.

س 2 \u003d 3 و س 1 \u003d -1.

الحل بهذه الطريقة ، لن يتم الخلط بينك وبين الحسابات ، وعلى الرغم من أخطاء الحساب ، ستحصل على النتيجة.

هذه الطريقة في حل نظام المعادلات الجبرية الخطية قابلة للبرمجة بسهولة ولا تأخذ في الاعتبار السمات المحددة لمعاملات المجهول ، لأنه في الممارسة العملية (في الحسابات الاقتصادية والتقنية) يتعين على المرء أن يتعامل مع معاملات غير صحيحة.

أتمنى لك النجاح! اراك في الفصل! المعلم ديمتري أستراخانوف.

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة جاوس.دعونا نجد حلا للنظام من ن المعادلات الخطية مع ن متغيرات غير معروفة
محدد المصفوفة الرئيسية التي لا تساوي صفرًا.

جوهر طريقة غاوس يتكون من الحذف المتتابع للمتغيرات غير المعروفة: أولاً ، × 1 من جميع معادلات النظام ، بدءًا من الثانية ، استبعد أيضًا × 2من جميع المعادلات ، بدءًا من المعادلة الثالثة ، وهكذا ، حتى يبقى المتغير المجهول فقط في المعادلة الأخيرة x ن... تسمى هذه العملية لتحويل معادلات النظام من أجل الإزالة المتتالية للمتغيرات غير المعروفة بالمسار المباشر لطريقة غاوس... بعد إكمال التشغيل الأمامي لطريقة غاوس ، نجد من المعادلة الأخيرة x ن، باستخدام هذه القيمة من المعادلة قبل الأخيرة يتم حسابها س ن -1وهكذا ، من المعادلة الأولى التي وجدناها × 1... تسمى عملية حساب المتغيرات غير المعروفة عند الانتقال من المعادلة الأخيرة للنظام إلى الأولى طريقة جاوس المتخلفة.

دعونا نصف بإيجاز الخوارزمية للتخلص من المتغيرات غير المعروفة.

سنفترض ذلك ، حيث يمكننا دائمًا تحقيق ذلك من خلال إعادة ترتيب معادلات النظام. تخلص من المتغير المجهول × 1 من جميع معادلات النظام ، بدءًا من الثانية. للقيام بذلك ، إلى المعادلة الثانية للنظام نضيف المعادلة الأولى مضروبة في ، إلى المعادلة الثالثة نضيف المعادلة الأولى مضروبة في ، وهكذا ، إلى ننضيف إلى المعادلة الأولى مضروبًا في. نظام المعادلات بعد هذه التحولات يأخذ الشكل

اين ا.

سنصل إلى نفس النتيجة إذا عبرنا عن ذلك × 1 من خلال متغيرات أخرى غير معروفة في المعادلة الأولى للنظام وتم استبدال التعبير الناتج في جميع المعادلات الأخرى. لذا فإن المتغير × 1 مستثنى من جميع المعادلات بدءا من الثانية.

لهذا ، نضيف إلى المعادلة الثالثة للنظام الثاني مضروبًا في ، ونضيف إلى المعادلة الرابعة المعادلة الثانية مضروبًا في ، وهكذا ، ننضيف إلى المعادلة الثانية مضروبًا في. نظام المعادلات بعد هذه التحولات يأخذ الشكل

اين ا. لذا فإن المتغير × 2 مستثنى من جميع المعادلات بدءا من الثالث.

لذلك نواصل المسار المباشر لطريقة غاوس حتى يأخذ النظام الشكل

من هذه النقطة فصاعدًا ، نبدأ المسار العكسي لطريقة غاوس: احسب x ن من المعادلة الأخيرة باستخدام القيمة التي تم الحصول عليها x ن تجد س ن -1 من المعادلة قبل الأخيرة ، وما إلى ذلك ، نجد × 1 من المعادلة الأولى.

مثال.

حل نظام المعادلات الخطية بطريقة جاوس. ...

إجابة:

س 1 \u003d 4 ، س 2 \u003d 0 ، س 3 \u003d -1.

فرع KOSTROMA التابع للجامعة العسكرية لحماية RHB

قسم "أتمتة القيادة والسيطرة على القوات"

للمعلمين فقط

"أوافق"

رئيس القسم رقم 9

العقيد أ. ب. ياكوفليف

"____" ______________ 2004

أستاذ مشارك A.I. SMIRNOVA

"المصفوفات. طريقة GAUSS"

المحاضرة رقم 2/3

نوقشت في اجتماع الدائرة رقم 9

"____" ___________ 2003

رقم المحضر ___________

كوستروما ، 2003

جاستحواذ

المقدمة

1. إجراءات على المصفوفات.

2. حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة جاوس.

خاتمة

المؤلفات

1. في. شنايدر وآخرون ، دورة قصيرة في الرياضيات العليا ، المجلد الأول ، الفصل 2 ، §6 ، 7.

2-في. Shchipachev ، الرياضيات العليا ، الفصل. 10 ، § 1 ، 7.

المقدمة

تناقش المحاضرة مفهوم المصفوفة ، الإجراءات على المصفوفات ، وكذلك طريقة جاوس لحل أنظمة المعادلات الخطية. بالنسبة للحالة الخاصة ، ما يسمى بالمصفوفات المربعة ، يمكن للمرء حساب المحددات ، والتي نوقش مفهومها في المحاضرة السابقة. تعتبر طريقة Gauss أكثر عمومية من طريقة Cramer السابقة لحل الأنظمة الخطية. تستخدم الأسئلة التي نوقشت في المحاضرة في مختلف فروع الرياضيات وفي الأسئلة التطبيقية.

سؤال الدراسة الأول الإجراءات على المواد

التعريف 1. طاولة مستطيلة منم, ن تحتوي على أرقامم - خطوط ون - الأعمدة ، اكتب:

اتصل مصفوفة الحجم م ´ ن

يتم استدعاء الأرقام التي تتكون منها المصفوفة عناصر المصفوفة.

موضع العنصر و أنا ي في المصفوفة تتميز بمؤشر مزدوج:

الأول أنا - رقم السطر؛

ثانيا ي - رقم العمود عند التقاطع الذي يقف عليه العنصر.

في الشكل المختصر ، يتم الإشارة إلى المصفوفات بأحرف كبيرة: أ ، ب ، ج ...

باختصار ، يمكنك أن تكتب مثل هذا:

التعريف 2.مصفوفة بعدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة ، أيم = ن يسمى ميدان.

يسمى عدد الصفوف (الأعمدة) في المصفوفة المربعة ترتيب المصفوفة.

مثال.

ملاحظة 1. سننظر في المصفوفات التي تكون مدخلاتها أرقامًا. في الرياضيات وتطبيقاتها ، توجد مصفوفات عناصرها كائنات أخرى ، على سبيل المثال ، الوظائف ، المتجهات.

ملاحظة 2. المصفوفة مفهوم رياضي خاص. بمساعدة المصفوفات ، من الملائم كتابة تحويلات مختلفة وأنظمة خطية وما إلى ذلك ، لذلك غالبًا ما توجد المصفوفات في الأدبيات الرياضية والتقنية.

التعريف 3.مصفوفة الحجم1 نسطر واحد يسمى مصفوفة - سلسلة.

مصفوفة حجم T.1 يتكون من عمود واحد يسمى مصفوفة - عمود.

التعريف 4. مصفوفة الصفر تسمى مصفوفة ، كل عناصرها تساوي الصفر.

النظر في مصفوفة ترتيب مربعة ن:

قطري جانبي

قطري رئيسي

يسمى قطري المصفوفة المربعة من العنصر الأيسر العلوي للجدول إلى أسفل اليمين القطر الرئيسي للمصفوفة (يحتوي القطر الرئيسي على عناصر من النموذج و أنا أنا).

يسمى القطر الذي ينتقل من أعلى اليمين إلى أسفل اليسار قطري جانبي للمصفوفة.

لنفكر في بعض الأنواع الخاصة من المصفوفات المربعة.

1) تسمى مصفوفة مربعة قطريإذا كانت جميع العناصر غير الموجودة على القطر الرئيسي تساوي الصفر.

2) تسمى مصفوفة قطرية تساوي فيها جميع عناصر القطر الرئيسي الواحد غير مرتبطة... يشار إلى:

3) تسمى مصفوفة مربعة مثلث إذا كانت جميع العناصر على جانب واحد من القطر الرئيسي صفرًا:

الفوقي التحتي

مصفوفة مثلثة مصفوفة مثلثة

بالنسبة للمصفوفة المربعة ، يتم تقديم المفهوم: محدد المصفوفة... إنه محدد يتكون من عناصر المصفوفة. يشار إلى:

من الواضح أن محدد مصفوفة الوحدة يساوي 1: 1 ه½ \u003d 1

تعليق. لا يوجد محدد للمصفوفة غير المربعة.

إذا كان محدد المصفوفة التربيعية غير صفري ، فسيتم استدعاء المصفوفة غير منحط، إذا كان المحدد صفرًا ، فسيتم استدعاء المصفوفة تتدهور.

التعريف 5. تسمى المصفوفة التي تم الحصول عليها من هذا عن طريق استبدال صفوفها بأعمدة بنفس الأرقام منقول إلى المعطى.

تم تحويل المصفوفة إلى و، دلالة في.

مثال.

3 3 2

تعريف.يتم استدعاء مصفوفتين من نفس الحجم مساو، إذا كانت جميع العناصر المقابلة لها متساوية .

دعنا نفكر في العمليات على المصفوفات.

إضافة المصفوفات.

يتم تقديم عملية الإضافة فقط لمصفوفات من نفس الحجم.

التعريف 7. مجموع المصفوفتين أ \u003d (أ أنا ي ) و B \u003d ( ب ط ي ) نفس الحجم المصفوفة С \u003d (مع أنا ي) من نفس الحجم ، والتي تكون عناصرها مساوية لمجموع العناصر المقابلة لشروط المصفوفة ، أي من عند i j \u003d a i j + b i j

يتم الإشارة إلى مجموع المصفوفات أ + ب.

مثال.

تعدد حقيقي للمواد

التعريف 8.لضرب مصفوفة في رقمك، تحتاج إلى ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في هذا الرقم:

اذا كان أ \u003d(و أنا ي )ثم ك · أ= (ك · أ أنا ي )

مثال.

خصائص إضافة المصفوفة والتضاعف بالأرقام

1. ممتلكات النزوح: أ + ب \u003d ب + أ

2. خاصية الجمع: (أ + ب) + ج \u003d أ + (ب + ج)

3. توزيع الممتلكات: ك · (أ + ب) = ك أ + ك بأين ك – رقم

مضاعفة المصفوفة

المصفوفة وسوف يطلق عليه كرة مع مصفوفة فيإذا كان عدد أعمدة المصفوفة و يساوي عدد صفوف المصفوفة في، بمعنى آخر. للحصول على مصفوفات متسقة المصفوفة و له حجم م ´ ن ، مصفوفة في له حجم ن ´ ك . تكون المصفوفات المربعة متسقة إذا كانت من نفس الترتيب.

التعريف 9.حاصل ضرب المصفوفة أ بالحجمم ´ ن لكل حجم مصفوفة بن ´ ك تسمى مصفوفة C بالحجمم ´ كعنصر من أ أنا ي يقع فيأنا خط -Th وي - العمود الخامس ، يساوي مجموع حاصل ضرب العناصرأنا - الصف العاشر من المصفوفة أ للعناصر المقابلةي - عمود المصفوفة B ، أي

ج أنا ي = أ أنا 1 ب 1 ي + أ أنا 2 ب 2 ي +……+ أ أنا ن ب ن ي

نشير إلى: ج \u003d أ· في.

ثم

تكوين في´ و لا معنى له ، لأن المصفوفات

لا اوافق.

ملاحظة 1. إذا و´ في من المنطقي إذن في´ و قد لا يكون له معنى.

ملاحظة 2. إذا كان ذلك منطقيًا و´ في و في´ و، إذن ، بشكل عام

و´ في ¹ في´ و، بمعنى آخر. لا يحتوي ضرب المصفوفة على قانون تبديل.

ملاحظة 3. إذا وهي مصفوفة مربعة و ههي مصفوفة الهوية من نفس الترتيب ، إذن و´ ه= ه´ أ \u003d أ.

ويترتب على ذلك أن مصفوفة الهوية تلعب دور الوحدة في الضرب.

أمثلة... ابحث ، إن أمكن ، و´ في و في´ و.

القرار: المصفوفات المربعة من نفس الترتيب الثاني تتم مطابقتها بنفس الترتيب ، لذلك و´ في و في´ و يوجد.