احسب معكوس المصفوفة. خوارزمية لحساب معكوس المصفوفة باستخدام المكملات الجبرية: طريقة المصفوفة المساعدة (المجاورة). طريقة المصفوفة في التحليل الاقتصادي

مصفوفة الجبر - مصفوفة معكوسة

مصفوفة معكوسة

مصفوفة معكوسة تسمى المصفوفة التي ، عند ضربها على اليمين وعلى اليسار بمصفوفة معينة ، تعطي مصفوفة الوحدة.
دعونا نشير إلى معكوس المصفوفة للمصفوفة و من خلال ، ثم وفقًا للتعريف نحصل على:

أين ه هي مصفوفة الهوية.
مصفوفة مربعة اتصل غير خاص (غير منحط) إذا لم يكن محدده صفرًا. خلاف ذلك ، يطلق عليه مميز (تتدهور) أو صيغة المفرد.

النظرية التالية تحمل: كل مصفوفة غير لغوية لها معكوس.

تسمى عملية إيجاد معكوس المصفوفة مناشدة المصفوفات. ضع في اعتبارك خوارزمية انعكاس المصفوفة. يجب أن يكون هناك مصفوفة غير لغوية نالترتيب الثالث:

حيث Δ \u003d det أ ≠ 0.

المكمل الجبري للعنصرالمصفوفات ن الترتيب و يسمى محدد المصفوفة ( ن تم الحصول على رقم 1) بالحذف أنا-الخط و يالعمود العاشر من المصفوفة و:

دعونا نؤلف ما يسمى ب تعلق مصفوفة:

أين المكملات الجبرية للعناصر المقابلة للمصفوفة و.
لاحظ أن الجبر يكمل عناصر صفوف المصفوفة و يتم وضعها في الأعمدة المقابلة من المصفوفة Ã ، أي ، يتم تبديل المصفوفة في نفس الوقت.
قسمة كل عناصر المصفوفة Ã بواسطة Δ - قيمة محدد المصفوفة و، نحصل على معكوس المصفوفة نتيجة لذلك:

نلاحظ عددًا من الخصائص الخاصة لمعكوس المصفوفة:
1) لمصفوفة معينة و المصفوفة المعكوسة هو الوحيد
2) إذا كانت هناك مصفوفة معكوسة العكس الصحيح و اليسار العكسي المصفوفات تتطابق معها ؛
3) لا تحتوي المصفوفة المربعة الخاصة (المنحلة) على مصفوفة معكوسة.

الخصائص الرئيسية للمعكوس المصفوفة:
1) محدد المصفوفة المعكوسة ومحدد المصفوفة الأصلية قيم متبادلة ؛
2) المصفوفة العكسية لمنتج المصفوفات المربعة تساوي حاصل ضرب المصفوفات العكسية للعوامل المأخوذة بترتيب عكسي:

3) المعكوس المحول للمصفوفة يساوي معكوس المصفوفة المنقولة المعطاة:

PRI me r. احسب معكوس المصفوفة الآتية.

لأي مصفوفة غير متولدة A ، توجد ، علاوة على ذلك ، مصفوفة فريدة A -1 مثل ذلك

أ * أ -1 \u003d أ -1 * أ \u003d ه ،

حيث E هي مصفوفة الوحدة من نفس الرتب مثل A. تسمى المصفوفة A -1 معكوس المصفوفة A.

في حالة نسيان شخص ما ، في مصفوفة الهوية ، باستثناء المائل المملوء بالواحد ، يتم ملء جميع المواضع الأخرى بالأصفار ، مثال على مصفوفة الهوية:

إيجاد معكوس المصفوفة بطريقة المصفوفة المجاورة

يتم تعريف المصفوفة المعكوسة بالصيغة:

حيث A ij هي عناصر ij.

أولئك. لحساب معكوس المصفوفة ، عليك حساب محدد هذه المصفوفة. ثم ابحث عن المكملات الجبرية لجميع عناصرها وقم بتكوين مصفوفة جديدة منها. بعد ذلك ، تحتاج إلى نقل هذه المصفوفة. وقسم كل عنصر من عناصر المصفوفة الجديدة على محدد المصفوفة الأصلية.

لنلق نظرة على بعض الأمثلة.

ابحث عن A -1 للمصفوفة

الحل: لنجد A -1 بطريقة المصفوفة المساعدة. لقد اكتشفنا A \u003d 2. دعونا نجد المكملات الجبرية لعناصر المصفوفة A. في هذه الحالة ، ستكون المكملات الجبرية لعناصر المصفوفة هي العناصر المقابلة للمصفوفة نفسها ، مأخوذة بعلامة وفقًا للصيغة

لدينا A 11 \u003d 3 ، A 12 \u003d -4 ، A 21 \u003d -1 ، A 22 \u003d 2. نشكل المصفوفة المساعدة

نقوم بنقل المصفوفة A *:

نوجد معكوس المصفوفة بالصيغة:

نحن نحصل:

أوجد A -1 باستخدام طريقة المصفوفة المجاورة إذا

الحل: أولاً وقبل كل شيء ، نحسب تعريف المصفوفة المعطاة للتأكد من وجود معكوس المصفوفة. نملك

هنا أضفنا إلى عناصر الصف الثاني عناصر الصف الثالث ، مضروبة مسبقًا في (-1) ، ثم فكنا المحدد في الصف الثاني. نظرًا لأنه تم تحديد المصفوفة على أنها غير صفرية ، فإن المصفوفة العكسية موجودة. لبناء المصفوفة المساعدة ، نجد المكملات الجبرية لعناصر هذه المصفوفة. نملك

حسب المعادلة

نقل المصفوفة أ *:

ثم بالصيغة

إيجاد معكوس المصفوفة بطريقة التحولات الأولية

بالإضافة إلى طريقة إيجاد المصفوفة المعكوسة التي تلي المعادلة (طريقة المصفوفة المجاورة) ، هناك طريقة لإيجاد معكوس المصفوفة ، تسمى طريقة التحويلات الأولية.

تحولات المصفوفة الأولية

تسمى التحولات التالية تحويلات المصفوفة الأولية:

1) تبديل الصفوف (الأعمدة) ؛

2) ضرب صف (عمود) بعدد غير صفري ؛

3) إضافة إلى عناصر الصف (العمود) العناصر المقابلة لصف آخر (عمود) ، مضروبة مسبقًا في رقم معين.

للعثور على المصفوفة A -1 ، نقوم ببناء مصفوفة مستطيلة B \u003d (A | E) للأوامر (n ؛ 2n) ، مع تخصيص المصفوفة A على اليمين مصفوفة الهوية E من خلال الخط الفاصل:

لنلقي نظرة على مثال.

باستخدام طريقة التحويلات الأولية ، أوجد A -1 إذا

الحل: لنشكل المصفوفة ب:

دعونا نشير إلى صفوف المصفوفة B بواسطة α 1 ، α 2 ، α 3. دعونا نجري التحويلات التالية على صفوف المصفوفة ب.

التعريف 1: تسمى المصفوفة متدهورة إذا كان محددها صفرًا.

التعريف 2: تسمى المصفوفة non-degenerate إذا كان محددها ليس صفرًا.

تسمى المصفوفة "أ" مصفوفة معكوسةإذا تم استيفاء الشرط A * A-1 \u003d A-1 * A \u003d E (مصفوفة الهوية).

تكون المصفوفة المربعة قابلة للعكس فقط إذا كانت غير متحللة.

مخطط حساب المصفوفة العكسية:

1) احسب محدد المصفوفة "أ" إذا ∆ A \u003d 0 ، إذن لا يوجد معكوس المصفوفة.

2) أوجد كل التكميلات الجبرية للمصفوفة "أ".

3) بناء مصفوفة للمكملات الجبرية (Aij)

4) قلب مصفوفة المكملات الجبرية (Aij) T

5) اضرب المصفوفة المنقولة في معكوس محدد هذه المصفوفة.

6) تحقق:

للوهلة الأولى ، قد يبدو الأمر صعبًا ، لكن في الواقع ، كل شيء بسيط للغاية. جميع الحلول مبنية على عمليات حسابية بسيطة ، الشيء الرئيسي عند اتخاذ القرار هو عدم الخلط بين العلامات "-" و "+" ، وعدم فقدانها.

الآن ، لنحل مهمة عملية معك بحساب معكوس المصفوفة.

المهمة: ابحث عن معكوس المصفوفة "أ" الموضحة في الصورة أدناه:

نقوم بحل كل شيء تمامًا كما هو موضح في خطة حساب المصفوفة العكسية.

1. أول شيء يجب فعله هو إيجاد محدد المصفوفة "أ":

تفسير:

لقد قمنا بتبسيط مؤهلنا من خلال الاستفادة من وظائفه الأساسية. أولاً ، أضفنا إلى الصفين 2 و 3 عناصر الصف الأول مضروبة في رقم واحد.

ثانيًا ، قمنا بتغيير العمودين 2 و 3 من المحدد ، ووفقًا لخصائصه ، قمنا بتغيير الإشارة الموجودة أمامه.

ثالثًا ، قمنا بإخراج العامل المشترك (-1) للسطر الثاني ، وبالتالي غيرنا الإشارة مرة أخرى ، وأصبحت موجبة. لقد قمنا أيضًا بتبسيط السطر 3 تمامًا كما في بداية المثال.

لقد حصلنا على المحدد الثلاثي ، حيث العناصر الموجودة أسفل القطر تساوي صفرًا ، وبالخاصية 7 ، فهي تساوي حاصل ضرب عناصر القطر. نتيجة لذلك ، وصلنا ∆ أ \u003d 26 ، وبالتالي يوجد معكوس.

أ 11 \u003d 1 * (3 + 1) \u003d 4

أ 12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

أ 13 \u003d 1 * 1 \u003d 1

أ 21 \u003d -1 * (- 6) \u003d 6

أ 22 \u003d 1 * (3-0) \u003d 3

A23 \u003d -1 * (1 + 4) \u003d -5

أ 31 \u003d 1 * 2 \u003d 2

أ 32 \u003d -1 * (- 1) \u003d -1

أ 33 \u003d 1+ (1 + 6) \u003d 7

3. الخطوة التالية هي تجميع مصفوفة من الإضافات الناتجة:

5. اضرب هذه المصفوفة في معكوس المحدد ، أي في 1/26:

6. حسنًا ، نحتاج الآن فقط إلى التحقق مما يلي:

أثناء الفحص ، تلقينا مصفوفة الهوية ، وبالتالي ، تم تنفيذ الحل بشكل صحيح تمامًا.

2 طريقة لحساب معكوس المصفوفة.

1. تحويل المصفوفة الأولية

2. المصفوفة المعكوسة من خلال محول أولي.

يتضمن تحويل المصفوفة الأولية:

1. ضرب سلسلة بعدد غير صفري.

2. إضافة سلسلة أخرى إلى أي سطر مضروبة في رقم.

3. تبديل صفوف المصفوفة.

4. بتطبيق سلسلة من التحولات الأولية ، نحصل على مصفوفة أخرى.

و -1 = ?

1. (أ | هـ) ~ (هـ | أ -1 )

2-أ -1 * أ \u003d هـ

لنلقِ نظرة على مثال عملي بأرقام حقيقية.

المهمة: أوجد معكوس المصفوفة.

القرار:

دعونا تحقق:

توضيح بسيط للحل:

أولاً ، أعدنا ترتيب الصفوف 1 و 2 من المصفوفة ، ثم ضربنا الصف الأول في (-1).

بعد ذلك ، تم ضرب الصف الأول في (-2) وإضافته إلى الصف الثاني من المصفوفة. ثم قمنا بضرب الصف الثاني في 1/4.

كانت المرحلة الأخيرة من التحول هي ضرب السطر الثاني في 2 والإضافة من الأول. نتيجة لذلك ، على اليسار ، حصلنا على مصفوفة الوحدة ، وبالتالي ، المعكوس هو المصفوفة الموجودة على اليمين.

بعد التحقق ، تأكدنا من صحة الحل.

كما ترى ، حساب معكوس المصفوفة سهل للغاية.

في ختام هذه المحاضرة ، أود أيضًا تخصيص بعض الوقت لخصائص مثل هذه المصفوفة.

المكملات الجبرية والقاصر

دعونا نحصل على محدد من الترتيب الثالث: .

تحت السن القانونيالمقابلة لهذا العنصر ij يُطلق على محدد الترتيب الثالث ، محدد الترتيب الثاني ، الذي يتم الحصول عليه من المعطى عن طريق حذف الصف والعمود عند تقاطع العنصر المعطى ، أي أنا-الخط و يالعمود ال. القاصر المقابل لعنصر معين ij سوف تدل M ij.

فمثلا، تحت السن القانوني م 12المقابلة للعنصر أ 12، سيكون هناك محدد ، والتي يتم الحصول عليها عن طريق حذف الصف الأول والعمود الثاني من المحدد المحدد.

وهكذا ، فإن الصيغة التي تحدد محدد الترتيب الثالث توضح أن هذا المحدد يساوي مجموع منتجات عناصر الصف الأول من قبل القاصر المقابل ؛ القاصر المقابل للعنصر أ 12، مأخوذة بعلامة "-" ، أي يمكننا كتابة ذلك

.

(1)

وبالمثل ، يمكننا تقديم تعريفات للقصر لمحددات الرتبة الثانية والأوامر الأعلى.

دعنا نقدم مفهومًا آخر.

مكمل جبريجزء ij المحدد يسمى صغرها M ijمضروبة في (-1) i + j.

المكمل الجبري للعنصر ij يعني أ.

من التعريف ، نجد أن العلاقة بين المكمل الجبري لعنصر ما وقاصره يتم التعبير عنها من خلال المساواة أ \u003d (-1) أنا + ي M ij.

فمثلا،

مثال. يتم إعطاء المحدد. لايجاد أ 13 ، أ 21 ، أ 32.

من السهل ملاحظة أنه باستخدام التكميلات الجبرية للعناصر ، يمكن كتابة الصيغة (1) بالشكل:

على غرار هذه الصيغة ، يمكنك الحصول على تحلل المحدد في عناصر أي صف أو عمود.

على سبيل المثال ، يمكن الحصول على عامل المحدد بواسطة عناصر السطر الثاني على النحو التالي. وفقًا للخاصية 2 من المحدد ، لدينا:

دعنا نوسع المحدد الناتج بواسطة عناصر الصف الأول.

.

(2)

من هنا منذ محددات الترتيب الثاني في الصيغة (2) هي العناصر الثانوية للعناصر أ 21 ، أ 22 ، أ 23... وهكذا ، أي حصلنا على تحلل المحدد من حيث عناصر الصف الثاني.

وبالمثل ، يمكنك الحصول على عامل المحدد بواسطة عناصر الصف الثالث. باستخدام الخاصية 1 من المحددات (حول النقل) ، يمكن للمرء أن يوضح أن التوسعات المماثلة صالحة أيضًا للتوسيع من حيث عناصر العمود.

وبالتالي ، فإن النظرية التالية صحيحة.

النظرية (حول توسيع المحدد في صف أو عمود معين). المحدد يساوي مجموع حاصل ضرب عناصر أي من صفوفه (أو أعمدته) بمكملاتها الجبرية.

كل ما سبق ينطبق أيضًا على محددات أي ترتيب أعلى.

أمثلة.

المصفوفة العكسية

يتم تقديم مفهوم المصفوفة المعكوسة فقط من أجل المصفوفات المربعة.

اذا كان أ هي مصفوفة مربعة ، إذن يعكس بالنسبة لها ، المصفوفة هي مصفوفة يرمز لها أ -1 وتلبية الشرط. (يتم تقديم هذا التعريف عن طريق القياس بضرب الأرقام)

في هذا المقال سنتحدث عن طريقة المصفوفة لحل نظام المعادلات الجبرية الخطية وإيجاد تعريفها وإعطاء أمثلة للحل.

التعريف 1

طريقة المصفوفة العكسية هي طريقة تستخدم لحل SLAEs في حالة أن عدد المجاهيل يساوي عدد المعادلات.

مثال 1

ابحث عن حل لنظام من المعادلات الخطية n مع n مجاهيل:

أ 11 × 1 + أ 12 × 2 +. ... ... + a 1 n x n \u003d b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 +. ... ... + a n n x n \u003d b n

تسجيل المصفوفة : أ × س \u003d ب

حيث А \u003d 11 а 12 а 1 n а 21 а 22 а 2 n ⋯ ⋯ n 1 а n 2 n n - مصفوفة النظام.

X \u003d x 1 x 2 ⋮ x n - عمود مجهول ،

B \u003d b 1 b 2 ⋮ b n - عمود المعاملات الحرة.

من المعادلة التي حصلنا عليها ، تحتاج إلى التعبير عن X. للقيام بذلك ، تحتاج إلى ضرب طرفي معادلة المصفوفة على اليسار في أ - 1:

أ - 1 × أ × س \u003d أ - 1 × ب.

بما أن A - 1 × A \u003d E ، فإن E × X \u003d A - 1 × B أو X \u003d A - 1 × B.

تعليق

يحق للمصفوفة العكسية للمصفوفة A أن توجد فقط إذا كان الشرط d e t A لا يساوي صفرًا. لذلك ، عند حل SLAE باستخدام طريقة المصفوفة العكسية ، أولاً وقبل كل شيء ، d e t A.

إذا كان d e t A لا يساوي صفرًا ، فإن النظام لديه حل واحد فقط: استخدام طريقة المصفوفة العكسية. إذا كانت d e t А \u003d 0 ، فلا يمكن حل النظام بهذه الطريقة.

مثال على حل نظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة المصفوفة العكسية

مثال 2

نحل SLAE بطريقة المصفوفة العكسية:

2 × 1 - 4 × 2 + 3 × 3 \u003d 1 × 1 - 2 × 2 + 4 × 3 \u003d 3 3 × 1 - × 2 + 5 × 3 \u003d 2

كيفية حل؟

• نكتب النظام في صورة معادلة مصفوفة A X \u003d B ، حيث

أ \u003d ٢ - ٤ ٣ ١ - ٢ ٤ ٣ - ١ ٥ ، س \u003d س ١ × ٢ × ٣ ، ب \u003d ١ ٣ ٢.

• نعبر من هذه المعادلة X:

• أوجد محدد المصفوفة أ:

det A \u003d 2-4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 \u003d 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1-3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) \u003d - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 \u003d - 25

d e t А لا يساوي 0 ، لذلك فإن طريقة حل المصفوفة العكسية مناسبة لهذا النظام.

• أوجد المصفوفة العكسية A - 1 باستخدام مصفوفة الاتحاد. نحسب المكملات الجبرية A i j للعناصر المقابلة للمصفوفة A:

أ 11 \u003d (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 \u003d - 10 + 4 \u003d - 6 ،

أ 12 \u003d (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 \u003d - (5-12) \u003d 7 ،

أ 13 \u003d (- 1) 1 + 3 1 - 2 3-1 \u003d - 1 + 6 \u003d 5 ،

أ 21 \u003d (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 \u003d - (- 20 + 3) \u003d 17 ،

أ 22 \u003d (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10-9 \u003d 1 ،

أ 23 \u003d (- 1) 2 + 3 2-4 3-1 \u003d - (- 2 + 12) \u003d - 10 ،

أ 31 \u003d (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 \u003d - 16 + 6 \u003d - 10 ،

أ 32 \u003d (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 \u003d - (8-3) \u003d - 5 ،

أ 33 \u003d (- 1) 3 + 3 2-4 1 - 2 \u003d - 4 + 4 \u003d 0.

• نكتب مصفوفة الاتحاد A * ، والتي تتكون من الإضافات الجبرية للمصفوفة A:

أ * \u003d - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• نكتب معكوس المصفوفة وفقًا للصيغة:

أ - 1 \u003d 1 د هـ ت أ (أ *) ت: أ - 1 \u003d - 1 25-6 17-10 7 1-5 5-10 0 ،

• نضرب معكوس المصفوفة أ - 1 في عمود المصطلحات الحرة ب ونحصل على حل النظام:

س \u003d أ - 1 × ب \u003d - 1 25 - 6 17-10 7 1-5 5 - 10 0 1 3 2 \u003d - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 \u003d - 1 0 1

إجابة : س 1 \u003d - 1 ؛ × 2 \u003d 0 ؛ × 3 \u003d 1

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl + Enter