المعادلة وجذورها: تعريفات ، أمثلة. أي معادلة ليس لها جذور؟ أمثلة على المعادلات عندما يكون للمعادلة عدد لا نهائي من الجذور

بعد تلقي فكرة عامة عن المساواة ، وبعد التعرف على أحد أنواعها - المساواة العددية ، يمكنك البدء في الحديث عن شكل آخر من أشكال المساواة وهو مهم جدًا من وجهة نظر عملية - حول المعادلات. في هذه المقالة سوف نحلل ما هي المعادلةوما يسمى جذر المعادلة. هنا سنقدم التعاريف المقابلة ، وكذلك نقدم أمثلة مختلفة من المعادلات وجذورها.

التنقل في الصفحة.

ما هي المعادلة؟

عادة ما تبدأ مقدمة مركزة للمعادلات في رياضيات الصف الثاني. في هذا الوقت ما يلي تعريف المعادلة:

تعريف.

المعادلة هي مساواة تحتوي على رقم مجهول ليتم العثور عليها.

عادةً ما يتم الإشارة إلى الأرقام غير المعروفة في المعادلات باستخدام أحرف لاتينية صغيرة ، على سبيل المثال ، p و t و u وما إلى ذلك ، ولكن الأحرف الأكثر استخدامًا هي x و y و z.

وبالتالي ، يتم تعريف المعادلة من حيث صيغة الترميز. بمعنى آخر ، تعتبر المساواة معادلة عندما تخضع لقواعد الترميز المحددة - فهي تحتوي على الحرف الذي تريد البحث عن قيمته.

فيما يلي أمثلة على الأول والأكثر معادلات بسيطة... لنبدأ بمعادلات مثل x \u003d 8 ، y \u003d 3 ، إلخ. تبدو المعادلات التي تحتوي ، مع الأرقام والحروف ، أكثر تعقيدًا بعض الشيء ، على سبيل المثال ، x + 2 \u003d 3 ، z - 2 \u003d 5 ، 3 · t \u003d 9 ، 8: x \u003d 2.

ينمو تنوع المعادلات بعد التعارف مع - تبدأ المعادلات ذات الأقواس في الظهور ، على سبيل المثال ، 2 (x - 1) \u003d 18 و x + 3 (x + 2 (x - 2)) \u003d 3. يمكن أن يظهر حرف غير معروف في المعادلة عدة مرات ، على سبيل المثال ، x + 3 + 3 x - 2 - x \u003d 9 ، ويمكن أيضًا أن تكون الأحرف على الجانب الأيسر من المعادلة ، أو على جانبها الأيمن ، أو في كلا جانبي المعادلة ، على سبيل المثال ، (3 + 1) −4 \u003d 8 ، 7−3 \u003d z + 1 أو 3 x - 4 \u003d 2 (x + 12).

مزيد بعد الدراسة الأعداد الطبيعية التعرف على الأعداد الصحيحة ، تحدث الأرقام الحقيقية والعقلانية ، وتتم دراسة كائنات رياضية جديدة: الدرجات والجذور واللوغاريتمات وما إلى ذلك ، بينما تظهر المزيد والمزيد من أنواع المعادلات الجديدة التي تحتوي على هذه الأشياء. يمكن العثور على أمثلتهم في المقالة أنواع المعادلات الرئيسيةالدراسة في المدرسة.

في الصف السابع ، جنبًا إلى جنب مع الأحرف ، التي تعني بها بعض الأرقام المحددة ، يبدأون في التفكير في الأحرف التي يمكن أن تأخذ معاني مختلفة ، ويطلق عليهم المتغيرات (انظر المقال). في هذه الحالة ، يتم إدخال كلمة "متغير" في تعريف المعادلة ، وتصبح هكذا:

تعريف.

معادلة هي مساواة تحتوي على متغير يمكن العثور على قيمته.

على سبيل المثال ، المعادلة x + 3 \u003d 6 x + 7 هي معادلة ذات متغير x ، و 3 · z - 1 + z \u003d 0 هي معادلة ذات متغير z.

في دروس الجبر في نفس الصف السابع ، يوجد اجتماع مع معادلات لا تحتوي على واحد ، ولكن متغيرين مختلفين غير معروفين في سجلهم. يطلق عليهم المعادلات في متغيرين. في المستقبل ، يُسمح بوجود ثلاثة متغيرات أو أكثر في المعادلات.

تعريف.

المعادلات ذات واحد ، اثنان ، ثلاثة ، إلخ. المتغيرات - هذه معادلات تحتوي على واحد ، اثنان ، ثلاثة ، ... متغيرات غير معروفة ، على التوالي.

على سبيل المثال ، المعادلة 3.2 x + 0.5 \u003d 1 هي معادلة ذات متغير واحد x ، بينما المعادلة بالصيغة x - y \u003d 3 هي معادلة ذات متغيرين x و y. ومثال آخر: x 2 + (y - 1) 2 + (z + 0.5) 2 \u003d 27. من الواضح أن مثل هذه المعادلة هي معادلة بها ثلاثة متغيرات غير معروفة x و y و z.

ما هو جذر المعادلة؟

يرتبط تعريف المعادلة ارتباطًا مباشرًا بتعريف جذر هذه المعادلة. لنفعل بعض المنطق الذي سيساعدنا على فهم ماهية جذر المعادلة.

لنفترض أن لدينا معادلة بحرف واحد (متغير). إذا تم استبدال الحرف برقم بدلاً من الحرف المضمن في سجل هذه المعادلة ، فستتحول المعادلة إلى مساواة عددية. علاوة على ذلك ، يمكن أن تكون المساواة الناتجة صحيحة وخاطئة. على سبيل المثال ، إذا استبدلت الرقم 2 بدلاً من الحرف a في المعادلة أ + 1 \u003d 5 ، فستحصل على مساواة عددية غير صحيحة 2 + 1 \u003d 5. إذا استبدلنا الرقم 4 بدلاً من a في هذه المعادلة ، فسنحصل على المساواة الصحيحة 4 + 1 \u003d 5.

من الناحية العملية ، في الغالبية العظمى من الحالات ، تكون قيم المتغير هذه ذات أهمية ، والتي يعطي استبدالها في المعادلة المساواة الصحيحة ، وتسمى هذه القيم بجذور أو حلول هذه المعادلة.

تعريف.

جذر المعادلة - هذه هي قيمة الحرف (المتغير) ، عند الاستبدال ، تتحول المعادلة إلى مساواة عددية حقيقية.

لاحظ أن جذر المعادلة في متغير واحد يسمى أيضًا حل المعادلة. بمعنى آخر ، حل المعادلة وجذر المعادلة هما نفس الشيء.

دعونا نشرح هذا التعريف بمثال. للقيام بذلك ، نعود إلى المعادلة أعلاه أ + 1 \u003d 5. وفقًا للتعريف الصوتي لجذر المعادلة ، فإن الرقم 4 هو جذر هذه المعادلة ، لأنه عند استبدال هذا الرقم بدلاً من الحرف a ، نحصل على المساواة الصحيحة 4 + 1 \u003d 5 ، والرقم 2 ليس جذره ، لأنه يتوافق مع مساواة غير صحيحة من الشكل 2 + 1 \u003d 5.

في هذه المرحلة ، يظهر عدد من الأسئلة الطبيعية: "هل لأي معادلة جذر ، وكم عدد الجذور التي تحتويها معادلة معينة؟" سوف نجيب عليهم.

هناك كلا المعادلات مع الجذور والمعادلات بدون جذور. على سبيل المثال ، المعادلة x + 1 \u003d 5 لها جذر 4 ، والمعادلة 0 x \u003d 5 ليس لها جذور ، لأنه بغض النظر عن الرقم الذي نعوضه في هذه المعادلة بدلاً من المتغير x ، نحصل على المساواة الخاطئة 0 \u003d 5.

بالنسبة إلى عدد جذور المعادلة ، هناك معادلات لها عدد محدد من الجذور (واحد ، اثنان ، ثلاثة ، إلخ) ، ومعادلات لها عدد لا نهائي من الجذور. على سبيل المثال ، المعادلة x - 2 \u003d 4 لها جذر فريد 6 ، وجذور المعادلة x 2 \u003d 9 عبارة عن رقمين −3 و 3 ، والمعادلة x (x - 1) (x - 2) \u003d 0 لها ثلاثة جذور 0 ، 1 ، و 2 ، وحل المعادلة x \u003d x هو أي عدد ، أي أنه يحتوي على مجموعة لا نهائية من الجذور.

ينبغي قول بضع كلمات عن الكتابة المقبولة لجذور المعادلة. إذا لم يكن للمعادلة جذور ، فعادة ما يكتبون "ليس للمعادلة جذور" ، أو يستخدمون علامة المجموعة الفارغة. إذا كانت المعادلة لها جذور ، فسيتم كتابتها مفصولة بفواصل أو مكتوبة كـ عناصر المجموعة في الأقواس المتعرجة. على سبيل المثال ، إذا كانت جذور المعادلة هي الأرقام −1 و 2 و 4 ، فكتبوا 1 أو 2 أو 4 أو (−1 ، 2 ، 4). يجوز أيضًا كتابة جذور المعادلة في صورة أبسط معادلات. على سبيل المثال ، إذا تم تضمين الحرف x في المعادلة ، وكانت جذور هذه المعادلة هي الأرقام 3 و 5 ، فيمكنك حينئذٍ كتابة x \u003d 3 ، x \u003d 5 ، وغالبًا ما يتم إضافة المتغير مع الأحرف الفرعية x 1 \u003d 3 ، x 2 \u003d 5 ، كما لو كانت تشير إلى الأرقام جذور المعادلة. عادةً ما تُكتب مجموعة جذور المعادلة اللانهائية بالصيغة ، وإذا أمكن ، استخدم تدوين مجموعات الأعداد الطبيعية N ، والأعداد الصحيحة Z ، والأرقام الحقيقية R. على سبيل المثال ، إذا كان جذر المعادلة ذات المتغير x هو أي عدد صحيح ، فاكتب ، وإذا كانت جذور المعادلة ذات المتغير y هي أي رقم حقيقي من 1 إلى 9 ، ضمناً ، فاكتب.

بالنسبة للمعادلات التي تحتوي على متغيرين أو ثلاثة أو أكثر ، كقاعدة عامة ، لا يتم استخدام مصطلح "جذر المعادلة" ، وفي هذه الحالات يقولون "حل المعادلة". ما يسمى حل المعادلات في عدة متغيرات؟ دعونا نعطي التعريف المناسب.

تعريف.

حل معادلة مع اثنين ، ثلاثة ، إلخ. المتغيرات اتصل بزوجين ، ثلاثة ، إلخ. قيم المتغيرات التي تحول هذه المعادلة إلى مساواة عددية حقيقية.

دعونا نعرض بعض الأمثلة التوضيحية. اعتبر معادلة في متغيرين x + y \u003d 7. عوّض فيه بدلاً من x بالرقم 1 ، وبدلاً من y الرقم 2 ، لدينا المساواة 1 + 2 \u003d 7. من الواضح أنه خطأ ، وبالتالي فإن زوج القيم x \u003d 1 ، y \u003d 2 ليس حلاً للمعادلة المكتوبة. إذا أخذنا زوجًا من القيم x \u003d 4 ، y \u003d 3 ، فبعد الاستبدال في المعادلة ، سنصل إلى المساواة الصحيحة 4 + 3 \u003d 7 ، لذلك ، فإن هذا الزوج من قيم المتغيرات هو بالتعريف حل للمعادلة x + y \u003d 7.

المعادلات ذات المتغيرات المتعددة ، مثل المعادلات ذات المتغير الواحد ، قد لا يكون لها جذور ، أو قد يكون لها عدد محدود من الجذور ، أو قد يكون لها جذور عديدة بشكل لا نهائي.

أزواج ، وثلاثية ، وأربعة ، إلخ. غالبًا ما تتم كتابة القيم المتغيرة بإيجاز ، مع سرد قيمها مفصولة بفواصل بين قوسين. في هذه الحالة ، تتوافق الأرقام المكتوبة بين قوسين مع المتغيرات بالترتيب الأبجدي. دعنا نوضح هذه النقطة بالعودة إلى المعادلة السابقة x + y \u003d 7. يمكن كتابة حل هذه المعادلة س \u003d 4 ، ص \u003d 3 باختصار كـ (4 ، 3).

يتم إيلاء أكبر قدر من الاهتمام في المقرر الدراسي للرياضيات والجبر وبدايات التحليل لإيجاد جذور المعادلات بمتغير واحد. سنقوم بتحليل قواعد هذه العملية بتفصيل كبير في المقالة. حل المعادلات.

فهرس.

• رياضيات... 2 سل. كتاب مدرسي. للتعليم العام. مؤسسات مع للإلكترون. الناقل. الساعة 2 مساءً الجزء 1 / [M. إ.مورو ، MA Bantova ، GV Beltyukova وآخرون] - الطبعة الثالثة. - م: Prosveshenie ، 2012. - 96 ص: مريض. - (مدرسة روسيا). - ردمك 978-5-09-028297-0.
• الجبر: دراسة. لمدة 7 سل. تعليم عام. المؤسسات / [Yu. ن. ماكاريشيف ، إن ج. مينديوك ، ك. إ. نيشكوف ، س ب. سوفوروفا] ؛ إد. S. A. Telyakovsky. - الطبعة 17. - م: التعليم ، 2008. - 240 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019315-3.
• الجبر: الصف التاسع: كتاب مدرسي. للتعليم العام. المؤسسات / [Yu. ن. ماكاريشيف ، إن ج. مينديوك ، ك. إ. نيشكوف ، س ب. سوفوروفا] ؛ إد. S. A. Telyakovsky. - الطبعة ال 16. - م: التعليم ، 2009. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-021134-5.

بعد أن درسنا مفهوم المساواة ، أي أحد أنواعها - المساواة العددية ، يمكننا الانتقال إلى نوع آخر مهم - المعادلات. في إطار هذه المادة ، سنشرح ماهية المعادلة وجذرها ، وسنقوم بصياغة التعريفات الأساسية وإعطاء أمثلة مختلفة من المعادلات وإيجاد جذورها.

مفهوم المعادلة

عادة ، يتم دراسة مفهوم المعادلة في بداية دورة الجبر المدرسية. ثم يتم تعريفها على النحو التالي:

التعريف 1

معادلة يسمى المساواة مع رقم غير معروف ليتم العثور عليها.

من المعتاد الإشارة إلى المجهول بأحرف لاتينية صغيرة ، على سبيل المثال ، t ، r ، m ، إلخ ، ولكن في أغلب الأحيان يتم استخدام x ، y ، z. بمعنى آخر ، تحدد المعادلة شكل كتابتها ، أي أن المساواة ستكون معادلة فقط عندما يتم تقليلها إلى شكل معين - يجب أن تحتوي على حرف ، القيمة التي يجب العثور عليها.

فيما يلي بعض الأمثلة على أبسط المعادلات. يمكن أن تكون هذه معادلات بالصيغة x \u003d 5 ، y \u003d 6 ، وما إلى ذلك ، بالإضافة إلى تلك التي تتضمن عمليات حسابية ، على سبيل المثال ، x + 7 \u003d 38 ، z - 4 \u003d 2 ، 8 t \u003d 4 ، 6: س \u003d 3.

بعد دراسة مفهوم الأقواس ، يظهر مفهوم المعادلات ذات الأقواس. وهي تشمل 7 (x - 1) \u003d 19 ، x + 6 (x + 6 (x - 8)) \u003d 3 ، وما إلى ذلك. يمكن أن يظهر الحرف الذي سيتم العثور عليه ليس مرة واحدة ، ولكن عدة مرات ، مثل على سبيل المثال ، في المعادلة x + 2 + 4 x - 2 - x \u003d 10. أيضًا ، يمكن أن توجد المجهول ليس فقط على اليسار ، ولكن أيضًا على اليمين ، أو في كلا الجزأين في نفس الوقت ، على سبيل المثال ، x (8 + 1) - 7 \u003d 8 ، 3 - 3 \u003d z + 3 أو 8 x - 9 \u003d 2 (x + 17).

علاوة على ذلك ، بعد أن يتعرف الطلاب على مفهوم الأعداد الصحيحة والأرقام الحقيقية والعقلانية والطبيعية ، وكذلك اللوغاريتمات والجذور والقوى ، تظهر معادلات جديدة تشمل كل هذه العناصر. لقد خصصنا مقالة منفصلة لأمثلة على هذه التعبيرات.

في برنامج الصف السابع ، يظهر مفهوم المتغيرات أولاً. هذه أحرف يمكن أن تحمل معانٍ مختلفة (لمزيد من التفاصيل ، راجع مقالة التعبيرات الرقمية والحرفية والمتغيرة). بناءً على هذا المفهوم ، يمكننا إعادة تعريف المعادلة:

التعريف 2

المعادلة هي مساواة تتضمن المتغير الذي تريد تقييم قيمته.

وهذا يعني ، على سبيل المثال ، أن التعبير س + 3 \u003d 6 س + 7 معادلة ذات متغير س ، و 3 ص - 1 + ص \u003d 0 معادلة ذات متغير ص.

قد لا تحتوي معادلة واحدة على متغير واحد ، بل متغيرين أو أكثر. يطلق عليهم ، على التوالي ، معادلات ذات متغيرين أو ثلاثة ، إلخ. دعونا نكتب التعريف:

التعريف 3

المعادلات ذات المتغيرين (ثلاثة ، أربعة أو أكثر) هي معادلات تتضمن العدد المقابل من المجاهيل.

على سبيل المثال ، المساواة في الشكل 3 ، 7 س + 0 ، 6 \u003d 1 هي معادلة ذات متغير واحد س ، و س - ع \u003d 5 هي معادلة ذات متغيرين س و ض. مثال على معادلة بها ثلاثة متغيرات هو x 2 + (y - 6) 2 + (z + 0، 6) 2 \u003d 26.

جذر المعادلة

عندما نتحدث عن معادلة ، تظهر الحاجة على الفور لتعريف مفهوم جذرها. دعنا نحاول شرح ما تعنيه.

مثال 1

لدينا نوع من المعادلة التي تتضمن متغيرًا واحدًا. إذا استبدلنا رقمًا بالحرف المجهول ، تصبح المعادلة مساواة عددية - صحيحة أو خاطئة. لذلك ، إذا استبدلنا الحرف بالرقم 2 في المعادلة أ + 1 \u003d 5 ، فستصبح المساواة غير صحيحة ، وإذا كانت 4 ، فسنحصل على المساواة الصحيحة 4 + 1 \u003d 5.

نحن مهتمون أكثر بالضبط بتلك القيم التي سيتحول بها المتغير إلى المساواة الصحيحة. يطلق عليهم الجذور أو الحلول. دعنا نكتب التعريف.

التعريف 4

جذر المعادلة تسمى قيمة المتغير الذي يحول معادلة معينة إلى مساواة حقيقية.

يمكن أيضًا تسمية الجذر بالحل ، أو العكس - كلا المفهومين يعنيان نفس الشيء.

مثال 2

لنأخذ مثالاً لتوضيح هذا التعريف. أعطينا المعادلة أعلاه أ + 1 \u003d 5. وفقًا للتعريف ، سيكون الجذر في هذه الحالة هو 4 ، لأنه عند الاستبدال بدلاً من حرف ، فإنه يعطي المساواة العددية الصحيحة ، ولن يكون اثنان حلاً ، لأنه يتوافق مع المساواة غير الصحيحة 2 + 1 \u003d 5.

كم عدد الجذور يمكن أن يكون لمعادلة واحدة؟ هل أي معادلة لها جذر؟ دعنا نجيب على هذه الأسئلة.

توجد أيضًا المعادلات التي لا تحتوي على جذر واحد. سيكون المثال 0 × \u003d 5. يمكننا استبدال عدد لا نهائي من الأرقام المختلفة فيه ، لكن لن يحولها أي منها إلى مساواة حقيقية ، لأن الضرب في 0 يعطي دائمًا 0.

هناك أيضًا معادلات لها جذور متعددة. يمكن أن يكون لها عدد محدود وغير محدود من الجذور.

مثال 3

إذن ، في المعادلة x - 2 \u003d 4 يوجد جذر واحد فقط - ستة ، في x 2 \u003d 9 يوجد جذران - ثلاثة وناقص ثلاثة ، في x (x - 1) (x - 2) \u003d 0 هناك ثلاثة جذور - صفر ، واحد واثنان ، في المعادلة x \u003d x يوجد عدد لا نهائي من الجذور.

الآن لنوضح كيفية كتابة جذور المعادلة بشكل صحيح. إذا لم تكن موجودة ، فنكتب هكذا: "المعادلة ليس لها جذور". في هذه الحالة ، يمكن للمرء أيضًا الإشارة إلى علامة المجموعة الفارغة ∅. إذا كانت هناك جذور ، فسنكتبها مفصولة بفواصل أو نشير إليها كعناصر من مجموعة ، ونضعها في أقواس مجعدة. لذلك ، إذا كانت أي معادلة لها ثلاثة جذور - 2 ، 1 و 5 ، فسنكتب - 2 ، 1 ، 5 أو (- 2 ، 1 ، 5).

يُسمح بكتابة الجذور في شكل أبسط مساواة. لذا ، إذا كان المجهول في المعادلة يُرمز إليه بالحرف y ، والجذور 2 و 7 ، فإننا نكتب y \u003d 2 و y \u003d 7. في بعض الأحيان يتم إضافة الرموز إلى الأحرف ، على سبيل المثال ، x 1 \u003d 3 ، x 2 \u003d 5. وهكذا نشير إلى أعداد الجذور. إذا كانت المعادلة تحتوي على عدد لا نهائي من الحلول ، فإننا نكتب الإجابة على هيئة فترة عددية أو نستخدم الترميز المقبول عمومًا: يتم الإشارة إلى مجموعة الأعداد الطبيعية بواسطة N ، والأعداد الصحيحة - Z ، والحقيقية - R. على سبيل المثال ، إذا احتجنا إلى كتابة أن حل المعادلة هو أي عدد صحيح ، فسنكتب x ∈ Z ، وإذا كان هناك أي رقم حقيقي من واحد إلى تسعة ، فسنكتب y ∈ 1 ، 9.

عندما يكون للمعادلة جذران أو ثلاثة أو أكثر ، إذن ، كقاعدة عامة ، لا يتحدث المرء عن الجذور ، بل عن الحلول للمعادلة. دعونا نصيغ تعريف حل لمعادلة في عدة متغيرات.

التعريف 5

حل المعادلة بمتغيرين أو ثلاثة أو أكثر هو قيمتان أو ثلاثة أو أكثر من المتغيرات التي تحول المعادلة المعطاة إلى مساواة عددية حقيقية.

دعونا نشرح التعريف بالأمثلة.

مثال 4

لنفترض أن لدينا تعبير x + y \u003d 7 ، وهي معادلة في متغيرين. لنعوض بواحد بدلاً من الأول ، وباثنين بدلاً من الثاني. سنحصل على مساواة غير صحيحة ، مما يعني أن زوج القيم هذا لن يكون حلاً لهذه المعادلة. إذا أخذنا زوجًا من 3 و 4 ، فإن المساواة تصبح صحيحة ، مما يعني أننا وجدنا حلاً.

قد لا يكون لمثل هذه المعادلات أيضًا جذور أو يكون لها عدد لا حصر له منها. إذا احتجنا إلى كتابة قيمتين أو ثلاث أو أربع قيم أو أكثر ، فسنكتبها مفصولة بفاصلات بين قوسين. أي ، في المثال أعلاه ، ستبدو الإجابة (3 ، 4).

في الممارسة العملية ، غالبًا ما يتعين على المرء التعامل مع المعادلات التي تحتوي على متغير واحد. سننظر في الخوارزمية لحلها بالتفصيل في المقالة المخصصة لحل المعادلات.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl + Enter

حل المعادلات في الرياضيات له مكانة خاصة. تسبق هذه العملية ساعات عديدة من دراسة النظرية ، يتعلم خلالها الطالب طرقًا لحل المعادلات وتحديد شكلها وإحضار المهارة إلى أتمتة كاملة. ومع ذلك ، فإن البحث عن الجذور ليس دائمًا منطقيًا ، لأنها قد لا تكون موجودة ببساطة. هناك تقنيات خاصة لإيجاد الجذور. في هذه المقالة ، سنقوم بتحليل الوظائف الرئيسية ، ومجالات تعريفها ، وكذلك الحالات التي تكون فيها جذورها مفقودة.

أي معادلة ليس لها جذور؟

لا توجد جذور للمعادلة إذا لم تكن هناك حجج حقيقية x تكون فيها المعادلة صحيحة تمامًا. بالنسبة للشخص العادي ، تبدو هذه الصيغة ، مثل معظم النظريات والصيغ الرياضية ، غامضة ومجردة للغاية ، لكن هذا من الناحية النظرية. من الناحية العملية ، يصبح كل شيء بسيطًا للغاية. على سبيل المثال: لا يوجد حل للمعادلة 0 * x \u003d -53 ، حيث لا يوجد مثل هذا الرقم x ، حيث يعطي حاصل ضرب الصفر شيئًا آخر غير الصفر.

سننظر الآن في أكثر أنواع المعادلات الأساسية.

1. المعادلة الخطية

تسمى المعادلة خطية إذا تم تمثيل جانبيها الأيمن والأيسر كوظائف خطية: ax + b \u003d cx + d أو في شكل معمم kx + b \u003d 0. حيث a ، b ، c ، d هي أرقام معروفة ، و x قيمة غير معروفة ... أي معادلة ليس لها جذور؟ أمثلة من المعادلات الخطية موضحة في الرسم التوضيحي أدناه.

في الأساس ، يتم حل المعادلات الخطية ببساطة عن طريق نقل الجزء الرقمي إلى جزء ، والمحتوى الذي يحتوي على x إلى الجزء الآخر. يتم الحصول على معادلة بالصيغة mx \u003d n ، حيث m و n أرقام ، و x غير معروف. لإيجاد س ، يكفي قسمة كلا الجزأين على م. ثم x \u003d n / m. في الأساس ، المعادلات الخطية لها جذر واحد فقط ، ولكن هناك حالات يكون فيها إما عدد لا نهائي من الجذور أو لا توجد جذور على الإطلاق. بالنسبة إلى m \u003d 0 و n \u003d 0 ، تأخذ المعادلة الشكل 0 * x \u003d 0. سيكون حل هذه المعادلة هو أي رقم على الإطلاق.

ومع ذلك ، أي معادلة ليس لها جذور؟

بالنسبة إلى m \u003d 0 و n \u003d 0 ، فإن المعادلة ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الحقيقية. 0 * س \u003d -1 ؛ 0 * س \u003d 200 - هذه المعادلات ليس لها جذور.

2. المعادلة التربيعية

المعادلة التربيعية هي معادلة على شكل ax 2 + bx + c \u003d 0 لـ a \u003d 0. الحل الأكثر شيوعًا هو من خلال المميز. صيغة إيجاد مميز المعادلة التربيعية: D \u003d b 2-4 * a * c. بعد ذلك ، هناك جذران × 1،2 \u003d (-b ± √D) / 2 * أ.

بالنسبة إلى D\u003e 0 ، للمعادلة جذران ، لأن D \u003d 0 - جذر واحد. لكن ما هي المعادلة التربيعية التي ليس لها جذور؟ أسهل طريقة لملاحظة عدد جذور المعادلة التربيعية هي من الرسم البياني للوظيفة ، وهو قطع مكافئ. بالنسبة إلى\u003e 0 ، يتم توجيه الفروع لأعلى ، من أجل a< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

يمكنك أيضًا تحديد عدد الجذور بصريًا دون حساب المميز. للقيام بذلك ، تحتاج إلى العثور على رأس القطع المكافئ وتحديد الاتجاه الذي يتم توجيه الفروع إليه. يمكنك تحديد إحداثي x للرأس باستخدام الصيغة: x 0 \u003d -b / 2a. في هذه الحالة ، يمكن إيجاد إحداثي y للرأس بالتعويض ببساطة عن x 0 في المعادلة الأصلية.

المعادلة التربيعية x 2-8x + 72 \u003d 0 ليس لها جذور ، حيث أن لها تمييز سلبي D \u003d (-8) 2-4 * 1 * 72 \u003d -224. هذا يعني أن القطع المكافئ لا يلمس محور الإحداثيات وأن الدالة لا تأخذ القيمة 0 أبدًا ، وبالتالي ، فإن المعادلة ليس لها جذور حقيقية.

3. المعادلات المثلثية

تعتبر الدوال المثلثية في دائرة مثلثية ، ولكن يمكن أيضًا تمثيلها في نظام إحداثيات ديكارت. في هذه المقالة ، سوف نلقي نظرة على عنصرين رئيسيين الدوال المثلثية ومعادلاتهم: sinx و cosx. منذ تشكل هذه الوظائف الدائرة المثلثية بنصف قطر 1 ، | sinx | و | cosx | لا يمكن أن تكون أكبر من 1. فما هي معادلة sinx ليس لها جذور؟ ضع في اعتبارك الرسم البياني لوظيفة sinx الموضح في الصورة أدناه.

نرى أن الوظيفة متماثلة ولها فترة تكرار تبلغ 2 نقطة في البوصة. بناءً على ذلك ، يمكننا القول أن الحد الأقصى لقيمة هذه الوظيفة يمكن أن يكون 1 ، والحد الأدنى -1. على سبيل المثال ، التعبير cosx \u003d 5 لن يكون له جذور ، لأنه أكبر من واحد في القيمة المطلقة.

هذا هو أبسط مثال على المعادلات المثلثية. في الواقع ، قد يستغرق حلها عدة صفحات ، وفي النهاية تدرك أنك استخدمت الصيغة الخاطئة وأنك بحاجة إلى البدء من جديد. في بعض الأحيان ، حتى مع العثور على الجذور بشكل صحيح ، يمكنك أن تنسى مراعاة القيود المفروضة على ODZ ، وهذا هو سبب ظهور جذر إضافي أو فاصل زمني في الإجابة ، وتتحول الإجابة بأكملها إلى خطأ. لذلك ، اتبع بدقة جميع القيود ، لأنه لا تتناسب كل الجذور مع نطاق المهمة.

4. نظم المعادلات

نظام المعادلات عبارة عن مجموعة من المعادلات التي توحدها أقواس معقوفة أو مربعة. تشير الأقواس المتعرجة إلى التنفيذ المشترك لجميع المعادلات. أي أنه إذا كانت إحدى المعادلات على الأقل ليس لها جذور أو تتعارض مع أخرى ، فلن يكون للنظام بأكمله حل. الأقواس المربعة تمثل كلمة "أو". هذا يعني أنه إذا كانت واحدة على الأقل من معادلات النظام لها حل ، فسيكون لدى النظام بأكمله حل.

إجابة النظام c هي مجموعة كل جذور المعادلات الفردية. وأنظمة الدعامة المتعرجة لها جذور مشتركة فقط. يمكن أن تتضمن أنظمة المعادلات وظائف متنوعة تمامًا ، لذلك لا يسمح لك هذا التعقيد بمعرفة المعادلة التي ليس لها جذور على الفور.

توجد أنواع مختلفة من المعادلات في الكتب والكتب الدراسية المشكلة: تلك التي لها جذور وتلك التي ليس لها جذور. بادئ ذي بدء ، إذا لم تتمكن من العثور على الجذور ، فلا تعتقد أنه لا يوجد أي منها على الإطلاق. ربما تكون قد ارتكبت خطأ في مكان ما ، فعندئذٍ يكفي فقط أن تتحقق جيدًا من قرارك.

لقد درسنا المعادلات الأساسية وأنواعها. الآن يمكنك معرفة المعادلة التي ليس لها جذور. في معظم الحالات ، هذا ليس بالأمر الصعب على الإطلاق. يتطلب النجاح في حل المعادلات الانتباه والتركيز فقط. تدرب أكثر ، سيساعدك هذا على تصفح المواد بشكل أفضل وأسرع.

لذا ، فإن المعادلة ليس لها جذور إذا:

• في معادلة خط مستقيم م س \u003d ن هو م \u003d 0 و ن \u003d 0 ؛
• في من الدرجة الثانيةإذا كان المميز أقل من صفر ؛
• في المعادلة المثلثية بالصيغة cosx \u003d m / sinx \u003d n ، إذا | م | \u003e 0 ، | n | \u003e 0 ؛
• في نظام المعادلات ذات الأقواس المتعرجة ، إذا كانت هناك معادلة واحدة على الأقل ليس لها جذور ، ومع الأقواس المربعة ، إذا لم يكن لكل المعادلات جذور.