مفهوم استمرارية الوظيفة. استمرارية الدالة عند نقطة وعلى فترة. مع الأمثلة ماذا تعني استمرارية الوظيفة؟

استمرارية الدالة عند نقطة ما

دع الدالة f(x) يتم تعريفها في بعض الأحياء O(x0) للنقطة x0 (بما في ذلك النقطة x0 نفسها).

تسمى الدالة f(x) مستمرة عند نقطة x0 إذا كان هناك limx → x0 f(x) تساوي قيمة الدالة f(x) عند هذه النقطة: lim

و(خ) = و(س0)، (1)

أولئك. " O(f(x0)) $ O(x0) : x O O(x0) Yu f(x) O O(f(x0)) .

تعليق. المساواة (1) يمكن كتابتها على النحو التالي: lim

أولئك. تحت علامة الدالة المستمرة يمكن للمرء أن يصل إلى الحد الأقصى.

افترض أن Δx = x − x0 هي الزيادة في الوسيطة، Δy = f(x) − f(x0) هي الزيادة المقابلة للدالة.

شرط ضروري وكاف لاستمرارية الدالة عند نقطة ما

الدالة y = f(x) متصلة عند x0 إذا وفقط إذا

تعليق. يمكن تفسير الشرط (2) على أنه التعريف الثاني لاستمرارية الدالة عند نقطة ما. كلا التعريفين متساويان.

دع الدالة f(x) يتم تعريفها في نصف الفترة.

يُقال إن الدالة f(x) تُترك متصلة عند x0 إذا كان هناك حد من جانب واحد

استمرارية مجموع وحاصل حاصل ضرب وظيفتين متصلتين

النظرية 1. إذا كانت الوظائف f(x) وg(x) متصلة عند النقطة x0، فإن f(x) ± g(x)، f(x) g(x)، f(x) مستمرة عند هذه النقطة نقطة

استمرارية وظيفة معقدة

النظرية 2. إذا كانت الدالة u(x) مستمرة عند النقطة x0، والدالة f(u) مستمرة عند النقطة المقابلة u0 = f(x0)، فإن الدالة المعقدة f(u(x)) مستمرة عند النقطة x0

جميع الوظائف الأولية مستمرة في كل نقطة من مجالات تعريفها.

الخصائص المحلية للوظائف المستمرة

النظرية 3 (حدود الدالة المستمرة). إذا كانت الدالة f(x) متصلة عند x0، فهناك حي O(x0) يحده f(x).

يأتي الدليل من العبارة المتعلقة بحدود الدالة التي لها حد.

النظرية 4 (استقرار إشارة الدالة المستمرة). إذا كانت الدالة f(x) متصلة عند النقطة x0 وf(x0) ≠ 0، فهناك جوار للنقطة x0 فيه f(x) ≠ 0، وإشارة f(x) في هذا الحي يتزامن مع علامة f(x0).

تصنيف نقاط التوقف

الشرط (1) لاستمرارية الدالة f(x) عند النقطة x0 يعادل الشرط f(x0 − 0) = f(x0 + 0) = f(x0), (3)

حيث f(x 0 − 0) = lim

f(x) و f(x0 + 0) = lim

f(x) - حدود أحادية الجانب للدالة f(x) عند النقطة x0.

إذا تم انتهاك الشرط (3)، فإن النقطة x0 تسمى نقطة انقطاع الدالة f(x). وباختلاف نوع مخالفة الشرط (3) فإن نقاط التوقف لها طبيعة مختلفة وتصنف على النحو التالي:

1. إذا كانت هناك حدود أحادية الجانب عند النقطة x0 f(x0 − 0), f (x0 + 0) و

f(x0 − 0) = f(x0 + 0) ≠ f(x0)، ثم تسمى النقطة x0 نقطة الانقطاع القابلة للإزالة للدالة f(x) (الشكل 1).

تعليق. عند النقطة x0 قد لا يتم تعريف الوظيفة.

2. إذا كانت هناك حدود أحادية الجانب عند النقطة x0 f(x0 − 0), f (x0 + 0) و

f(x0 − 0) ≠ f(x0 + 0)، فإن النقطة x0 تسمى نقطة انقطاع مع قفزة محدودة للدالة f(x) (الشكل 2).

تعليق. عند نقطة الانقطاع مع قفزة محدودة، يمكن أن تكون قيمة الدالة أي شيء، أو قد لا تكون محددة.

تسمى نقاط الانقطاع القابلة للإزالة والقفز المحدود بنقاط الانقطاع من النوع الأول. السمة المميزة لها هي وجود حدود محدودة من جانب واحد f(x0 - 0) و

3. إذا كان عند النقطة x0 واحد على الأقل من الحدود أحادية الجانب f(x0 − 0)، f (x0 + 0) يساوي اللانهاية أو غير موجود، إذن
تسمى x0 نقطة انقطاع من النوع الثاني (الشكل 3).

إذا كانت واحدة على الأقل من الحدود أحادية الجانب f(x0 − 0), f (x0 + 0) تساوي ما لا نهاية، فإن الخط المستقيم x = x 0 يسمى الخط المقارب الرأسي للرسم البياني للدالة y = f (خ).

تعريف. تسمى الدالة f(x)، المحددة في جوار نقطة ما x0، مستمرة عند النقطة x0 إذا كانت نهاية الدالة وقيمتها عند هذه النقطة متساوية، أي.

يمكن كتابة نفس الحقيقة بشكل مختلف:

تعريف. إذا تم تعريف الدالة f(x) في بعض المناطق المجاورة للنقطة x0، ولكنها ليست متصلة عند النقطة x0 نفسها، فإنها تسمى دالة متقطعة، وتسمى النقطة x0 نقطة انقطاع.

تعريف. يقال إن الدالة f(x) متصلة عند النقطة x0 إذا كان لأي رقم موجب e>0 رقم D>0 بحيث يكون أي x محققًا للشرط

عدم المساواة صحيح.

تعريف. تسمى الدالة f(x) مستمرة عند النقطة x = x0 إذا كانت زيادة الدالة عند النقطة x0 قيمة متناهية الصغر.

و(خ) = و(س0) + أ(س)

حيث a(x) متناهية الصغر عند x®x0.

خصائص الدوال المستمرة.

1) مجموع وفرق وحاصل ضرب الدوال المستمرة عند النقطة x0 هي دالة متصلة عند النقطة x0.

2) حاصل قسمة دالتين متصلتين هو دالة متصلة بشرط أن g(x) لا تساوي الصفر عند النقطة x0.

3) تراكب الدوال المستمرة هو دالة مستمرة.

يمكن كتابة هذه الخاصية على النحو التالي:

إذا كانت u = f(x)، v = g(x) دوال متصلة عند النقطة x = x0، فإن الدالة v = g(f(x)) هي أيضًا دالة متصلة عند هذه النقطة.

يمكن إثبات صحة الخصائص المذكورة أعلاه بسهولة باستخدام نظريات النهاية

خصائص الدوال المستمرة على فترة.

الخاصية الأولى: (نظرية فايرستراس الأولى (فايرستراس كارل (1815-1897) - عالم رياضيات ألماني)). الدالة المستمرة على فترة زمنية محددة في هذه الفترة، أي. الشرط -M £ f(x) £ M مستوفي في المقطع.

ويعتمد إثبات هذه الخاصية على أن الدالة المتصلة عند النقطة x0 تكون محصورة في حي معين منها، وإذا تم تقسيم القطعة إلى عدد لا نهائي من القطع التي "تقلصت" إلى النقطة x0 ، ثم يتم تشكيل حي معين للنقطة x0.

الخاصية 2: الدالة المستمرة على فترة تأخذ قيمها الأكبر والأصغر.

أولئك. توجد قيم x1 وx2 بحيث f(x1) = m، f(x2) = M، و

دعونا نلاحظ هذه القيم الأكبر والأصغر التي يمكن أن تأخذها الدالة على المقطع عدة مرات (على سبيل المثال، f(x) = sinx).

يسمى الفرق بين أكبر وأصغر قيم للدالة على فترة زمنية بتذبذب الوظيفة على فترة زمنية.

الخاصية الثالثة: (نظرية بولزانو-كوشي الثانية). تأخذ الدالة المستمرة على الفاصل الزمني جميع القيم بين قيمتين عشوائيتين في هذا الفاصل الزمني.

الخاصية 4: إذا كانت الدالة f(x) متصلة عند النقطة x = x0، فهناك جوار للنقطة x0 تحتفظ فيه الدالة بإشارتها.

الخاصية 5: (النظرية الأولى لبولزانو (1781-1848) – كوشي). إذا كانت الدالة f(x) متصلة على مقطع ولها قيم إشارات متقابلة في نهايات المقطع، فهناك نقطة داخل هذا المقطع حيث f(x) = 0.

أولئك. إذا كانت علامة (f(a)) ¹ علامة (f(b)))، ثم $ x0: f(x0) = 0.

تعريف. يقال إن الدالة f(x) متصلة بشكل منتظم على الفاصل الزمني إذا كان لأي e>0 وجود D>0 بحيث يكون لأي نقطتين x1Î وx2Î مثل ذلك

ix2 – x1ï< D

المتراجحة ïf(x2) – f(x1)ï صحيحة< e

الفرق بين الاستمرارية المنتظمة والاستمرارية "العادية" هو أنه لأي e يوجد D خاص به، مستقل عن x، ومع الاستمرارية "العادية" D يعتمد على e و x.

الخاصية 6: نظرية كانتور (جورج كانتور (1845-1918) - عالم الرياضيات الألماني). الدالة المستمرة على قطعة تكون مستمرة بشكل منتظم عليها.

(هذه الخاصية تنطبق فقط على المقاطع، وليس على الفواصل الزمنية وأنصاف الفترات.)

تعريف الاستمرارية

تسمى الوظيفة f (x) مستمرة عند نقطة a إذا: f () pp

1) يتم تعريف الدالة f(x) عند النقطة أ،

2) له حد محدود مثل x→ a 2) له حد محدود مثل x→a،

3) هذا الحد يساوي قيمة الدالة عند هذه النقطة:

الاستمرارية في الفاصل الزمني

يقال أن الدالة f (x) متصلة على الفاصل الزمني X إذا كانت f () pp ru

وهي مستمرة عند كل نقطة في هذه الفترة.

إفادة. جميع الوظائف الأولية مستمرة في

مجالات تعريفها.

وظيفة محدودة

يقال أن الدالة محدودة بفاصل زمني إذا

يوجد رقم M بحيث يكون لكل x ∈

عدم المساواة:| و(خ)| ≥ م.

نظريتي فايرستراس

نظرية فايرستراس الأولى. إذا كانت الدالة f (x r r r f f (

متصلة على القطعة، فهي محصورة على هذه القطعة

نظرية فايرستراس الثانية.إذا كانت الدالة f(x

مستمرة على القطعة ثم تصل إلى هذه القطعة

أصغر قيمة لـ m وأكبر قيمة لـ M.

نظرية بولزانو-كوشي

إذا كانت الدالة f (x) مستمرة على مقطع القيمة على f f () pp p

في نهاية هذا الجزء f(a) وf(b) لهما إشارات متضادة،

يوجد داخل المقطع نقطة c∈ (a,b) بحيث f (c) = 0. ur p () f ()

تعريف الاستمرارية عند هاينه

يقال أن دالة المتغير الحقيقي $f\left(x \right)$ هي مستمر عند النقطة $a \in \mathbb(R)$ ($\mathbb(R)-$مجموعة من الأعداد الحقيقية)، إذا كان لأي تسلسل $\left\( ((x_n)) \right\ )\ ) بحيث تكون \[\lim\limits_(n \to \infty ) (x_n) = a,\] العلاقة \[\lim\limits_(n \to \infty ) f\left(((x_n) ) \right) = f\left(a \right).\] عمليًا، من المناسب استخدام شروط \(3$ التالية لاستمرارية الدالة $f\left(x \right)$ عند النقطة $x = a$ ( والتي يجب تنفيذها في وقت واحد):

يتم تعريف الدالة $f\left(x \right)$ عند النقطة $x = a$;
الحد $\lim\limits_(x \to a) f\left(x \right)$ موجود؛
المساواة $\lim\limits_(x \to a) f\left(x \right) = f\left(a \right)$ سارية.

تعريف استمرارية كوشي (التدوين $\varepsilon - \delta$)

خذ بعين الاعتبار دالة $f\left(x \right)$ تقوم بتعيين مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathbb(R)$ إلى مجموعة فرعية أخرى $B$ من الأعداد الحقيقية. يُقال أن الدالة $f\left(x \right)$ هي مستمر عند النقطة $a \in \mathbb(R)$، إذا كان هناك رقم $\varepsilon > 0$ لأي رقم $\delta > 0$ بحيث يكون لجميع $x \in \ mathbb (R)$، مما يحقق العلاقة \[\left| (س - أ) \يمين| تعريف الاستمرارية من حيث الزيادات في الحجة والوظيفة

يمكن أيضًا صياغة تعريف الاستمرارية باستخدام زيادات الوسيطة والوظيفة. تكون الدالة متصلة عند النقطة $x = a$ إذا كانت المساواة \[\lim\limits_(\Delta x \to 0) \Delta y = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \left[ ( f\left((a + \Delta x) \right) - f\left(a \right)) \right] = 0,\] حيث $\Delta x = x - a$.

التعريفات المذكورة أعلاه لاستمرارية الدالة متكافئة في مجموعة الأعداد الحقيقية.

الوظيفة هي مستمرة في فترة زمنية معينة إذا كانت مستمرة عند كل نقطة من هذه الفترة.

نظريات الاستمرارية

النظرية 1.
اجعل الدالة $f\left(x \right)$ متصلة عند النقطة $x = a$ و$C$ تكون ثابتة. ثم تكون الدالة $Cf\left(x \right)$ مستمرة أيضًا لـ $x = a$.

النظرية 2.
بالنظر إلى الدالتين $(f\left(x \right))$ و $(g\left(x \right))$، مستمرتان عند النقطة $x = a$. ثم مجموع هذه الوظائف $(f\left(x \right)) + (g\left(x \right))$ مستمر أيضًا عند النقطة $x = a$.

النظرية 3.
لنفترض أن الوظيفتين $(f\left(x \right))$ و $(g\left(x \right))$ متصلتان عند النقطة $x = a$. ثم يكون حاصل ضرب هذه الدوال $(f\left(x \right)) (g\left(x \right))$ مستمرًا أيضًا عند النقطة $x = a$.

النظرية 4.
نظرا لوظيفتين $(f\left(x \right))$ و $(g\left(x \right))$، مستمر لـ $x = a$. ثم تكون نسبة هذه الدوال $\large\frac((f\left(x \right)))((g\left(x \right)))\normalsize$ مستمرة أيضًا لـ $x = a\ ) مع مراعاة أن \((g\left(a \right)) \ne 0$.

النظرية 5.
لنفترض أن الدالة $(f\left(x \right))$ قابلة للاشتقاق عند النقطة $x = a$. ثم تكون الدالة $(f\left(x \right))$ مستمرة عند هذه النقطة (أي أن التمايز يعني استمرارية الدالة عند النقطة؛ والعكس غير صحيح).

النظرية 6 (نظرية القيمة الحدية).
إذا كانت الدالة $(f\left(x \right))$ متصلة على فترة مغلقة ومحدودة $\left[ (a,b) \right]$، فإنها تكون محدودة من الأعلى والأسفل على هذا فاصلة. بمعنى آخر، هناك أرقام $m$ و$M$ بحيث \ لكل $x$ في الفاصل الزمني $\left[ (a,b) \right]$ (الشكل 1) .


رسم بياني 1		الصورة 2

النظرية 7 (نظرية القيمة المتوسطة).
دع الدالة $(f\left(x \right))$ تكون متصلة على فترة مغلقة ومحدودة $\left[ (a,b) \right]$. بعد ذلك، إذا كان $c$ رقمًا أكبر من $(f\left(a \right))$ وأقل من $(f\left(b \right))$، فهذا يعني أن هناك رقمًا $( x_0)$، بحيث يتم توضيح هذه النظرية في الشكل 2.

استمرارية الوظائف الأولية

الجميع وظائف أولية مستمرة عند أي نقطة في مجال تعريفها.

يتم استدعاء الدالة ابتدائي إذا كان مبنيا من عدد محدود من التراكيب والتركيبات
(باستخدام العمليات $4$ - الجمع والطرح والضرب والقسمة) . مجموعة من الوظائف الأولية الأساسية يشمل:

تعريف.دع الدالة y = f(x) يتم تعريفها عند النقطة x0 وبعض المناطق المجاورة لها. يتم استدعاء الدالة y = f(x). مستمر عند النقطة x0، لو:

1. موجود
2. هذه النهاية تساوي قيمة الدالة عند النقطة x0:

عند تعريف الحد، تم التأكيد على أنه لا يجوز تعريف f(x) عند النقطة x0، وإذا تم تعريفه عند هذه النقطة، فإن قيمة f(x0) لا تشارك بأي شكل من الأشكال في تحديد الحد. عند تحديد الاستمرارية، من الأساسي وجود f(x0)، ويجب أن تكون هذه القيمة مساوية لـ lim f(x).

تعريف.دع الدالة y = f(x) يتم تعريفها عند النقطة x0 وبعض المناطق المجاورة لها. تسمى الدالة f(x) مستمرة عند نقطة x0 إذا كان لكل ε>0 رقم موجب δ بحيث يكون لكل x في حي δ للنقطة x0 (أي |x-x0|
يؤخذ في الاعتبار هنا أن قيمة الحد يجب أن تكون مساوية لـ f(x0)، وبالتالي، بالمقارنة مع تعريف الحد، تتم إزالة شرط ثقب الحي δ 0
دعونا نعطي تعريفًا آخر (مكافئًا للتعريف السابق) من حيث الزيادات. دعنا نشير إلى Δ× = x - x0، وسوف نسمي هذه القيمة زيادة الوسيطة. منذ x->x0، ثم Δx->0، أي Δx - b.m. كمية (متناهية الصغر). دعونا نشير إلى Δу = f(x)-f(x0)، وسوف نسمي هذه القيمة زيادة الدالة، حيث |Δу| يجب أن يكون (للصغير بدرجة كافية |Δkh|) أقل من رقم تعسفي ε>0، ثم Δу- هو أيضًا b.m. قيمة، لذلك

تعريف.دع الدالة y = f(x) يتم تعريفها عند النقطة x0 وبعض المناطق المجاورة لها. يتم استدعاء الدالة f(x). مستمر عند النقطة x0، إذا كانت الزيادة المتناهية الصغر في الوسيطة تتوافق مع زيادة متناهية الصغر في الدالة.

تعريف.الدالة f(x) غير متصلة عند النقطة x0، تسمى متقطعةعند هذه النقطة.

تعريف.تسمى الدالة f(x) مستمرة على المجموعة X إذا كانت مستمرة عند كل نقطة من هذه المجموعة.

نظرية استمرارية المجموع، حاصل الضرب، حاصل القسمة

نظرية المرور إلى النهاية تحت إشارة الدالة المستمرة

نظرية استمرارية تراكب الدوال المستمرة

دع الدالة f(x) يتم تعريفها على فترة زمنية وتكون رتيبة في هذه الفترة. ثم يمكن أن تحتوي f(x) على نقاط انقطاع من النوع الأول فقط في هذا المقطع.

نظرية القيمة المتوسطة.إذا كانت الدالة f(x) متصلة على مقطع وعند نقطتين a و b (a أقل من b) تأخذ قيمًا غير متساوية A = f(a) ≠ B = f(b)، ثم لأي رقم C تقع بين A وB، هناك نقطة c ∈ تكون عندها قيمة الدالة تساوي C: f(c) = C.

نظرية حدود الدالة المستمرة على فترة.إذا كانت الدالة f(x) متصلة على فترة ما، فإنها تكون محصورة في هذه الفترة.

نظرية الوصول إلى القيم الدنيا والقصوى.إذا كانت الدالة f(x) متصلة على فترة ما، فإنها تصل إلى حديها الأدنى والأعلى في هذه الفترة.

نظرية استمرارية الدالة العكسية.دع الدالة y=f(x) تكون مستمرة ومتزايدة (تتناقصية) بشكل صارم على الفترة [a,b]. ثم توجد على المقطع دالة عكسية x = g(y)، كما أنها تزيد (تتناقص) بشكل رتيب ومستمر.

يتم إعطاء تعريفات وصياغة النظريات الرئيسية وخصائص الدالة المستمرة لمتغير واحد. يتم النظر في خصائص الدالة المستمرة عند نقطة ما، على القطعة، حد واستمرارية الدالة المعقدة، وتصنيف نقاط الانقطاع. يتم إعطاء التعاريف والنظريات المتعلقة بالوظيفة العكسية. تم توضيح خصائص الوظائف الأولية.

محتوى

يمكننا صياغة مفهوم الاستمرارية في من حيث الزيادات. وللقيام بذلك، قمنا بإدخال متغير جديد، وهو ما يسمى زيادة المتغير x عند النقطة. ثم تكون الدالة مستمرة عند النقطة if
.
دعونا نقدم وظيفة جديدة:
.
يسمونها زيادة الوظيفةعند نقطة . ثم تكون الدالة مستمرة عند النقطة if
.

تعريف الاستمرارية على اليمين (يسار)
وظيفة و (خ)مُسَمًّى مستمر على اليمين (يسار) عند النقطة x 0 ، إذا تم تعريفه على بعض الأحياء اليمنى (الأيسرية) لهذه النقطة، وإذا كان الحد الأيمن (الأيسر) عند النقطة x 0 يساوي قيمة الدالة عند x 0 :
.

نظرية حدود دالة مستمرة
دع الدالة f (خ)مستمر عند النقطة x 0 . ثم هناك حي U (×0)، والتي تقتصر الوظيفة عليها.

نظرية الحفاظ على إشارة الدالة المستمرة
لتكن الدالة متصلة عند النقطة. وليكن لها قيمة موجبة (سلبية) عند هذه النقطة:
.
ثم هناك حي للنقطة التي تكون فيها الدالة قيمة موجبة (سلبية):
في .

الخصائص الحسابية للدوال المستمرة
دع الدوال تكون مستمرة عند هذه النقطة .
ثم الدوال، وتكون مستمرة عند هذه النقطة.
إذا كانت الدالة مستمرة عند النقطة .

خاصية الاستمرارية من اليسار إلى اليمين
تكون الدالة متصلة عند نقطة ما إذا وفقط إذا كانت متصلة على اليمين واليسار.

يتم تقديم إثباتات الخصائص في صفحة "خصائص الدوال المستمرة عند نقطة ما".

استمرارية وظيفة معقدة

نظرية الاستمرارية لوظيفة معقدة
لتكن الدالة متصلة عند النقطة. ولتكن الدالة متصلة عند النقطة.
إذن تكون الدالة المعقدة مستمرة عند النقطة.

حدود وظيفة معقدة

نظرية نهاية الدالة المستمرة للدالة
لتكن هناك نهاية للدالة عند ، وهي تساوي:
.
هنا النقطة ر 0 يمكن أن تكون محدودة أو بعيدة بلا حدود: .
ولتكن الدالة متصلة عند النقطة.
إذن هناك نهاية لدالة معقدة وهي تساوي:
.

نظرية نهاية دالة معقدة
دع الدالة لها حد وقم بتعيين حي مثقوب لنقطة ما على حي مثقوب لنقطة ما. ولتكن الدالة محددة على هذا الحي ولها حد لها.
وهنا النقاط النهائية أو البعيدة بلا حدود: . يمكن للأحياء والحدود المقابلة لها أن تكون ذات جانبين أو من جانب واحد.
إذن هناك نهاية لدالة معقدة وهي تساوي:
.

نقاط الاستراحة

تحديد نقطة الكسر
دع الدالة يتم تعريفها على بعض الأحياء المثقوبة للنقطة. النقطة تسمى نقطة انقطاع الوظيفة، إذا تحقق أحد الشرطين:
1) غير محدد في ;
2) تم تعريفه عند، ولكنه ليس عند هذه النقطة.

تحديد نقطة الانقطاع من النوع الأول
النقطة تسمى نقطة انقطاع من النوع الأول، إذا كانت نقطة فاصل وهناك حدود محدودة من جانب واحد على اليسار واليمين:
.

تعريف القفزة الوظيفية
وظيفة القفز Δعند نقطة ما هو الفرق بين الحدين على اليمين واليسار
.

تحديد نقطة الكسر
النقطة تسمى نقطة انقطاع قابلة للإزالة، إذا كان هناك حد
,
لكن الدالة عند هذه النقطة إما غير محددة أو لا تساوي القيمة الحدية: .

وبالتالي، فإن نقطة الانقطاع القابل للإزالة هي نقطة الانقطاع من النوع الأول، والتي تكون عندها قفزة الدالة صفرًا.

تحديد نقطة الانقطاع من النوع الثاني
النقطة تسمى نقطة الانقطاع من النوع الثاني، إذا لم تكن نقطة انقطاع من النوع الأول. أي أنه إذا لم يكن هناك على الأقل نهاية من جانب واحد، أو على الأقل هناك نهاية من جانب واحد عند نقطة ما تساوي ما لا نهاية.

خصائص الدوال المستمرة على فترة

تعريف الدالة المستمرة على فترة
تسمى الدالة متصلة على فترة (at) إذا كانت متصلة عند جميع نقاط الفترة المفتوحة (at) وعند النقطتين a وb، على التوالي.

نظرية فايرستراس الأولى حول حدود دالة مستمرة على فترة
إذا كانت الدالة متصلة على فترة ما، فإنها تكون محصورة في هذه الفترة.

تحديد إمكانية تحقيق الحد الأقصى (الحد الأدنى)
تصل الدالة إلى الحد الأقصى (الحد الأدنى) في المجموعة إذا كان هناك وسيطة لها
للجميع.

تحديد إمكانية الوصول للوجه العلوي (السفلي).
تصل الدالة إلى حدها العلوي (الأدنى) في المجموعة إذا كانت هناك وسيطة لها
.

نظرية فايرستراس الثانية حول الحد الأقصى والأدنى للدالة المستمرة
تصل الدالة المستمرة على قطعة ما إلى حديها العلوي والسفلي عليها، أو، وهي نفسها، تصل إلى الحد الأقصى والأدنى لها على القطعة.

نظرية بولزانو-كوشي للقيمة المتوسطة
دع الدالة تكون مستمرة على القطعة. وليكن C رقمًا عشوائيًا يقع بين قيم الدالة في طرفي المقطع: و . ثم هناك نقطة لذلك
.

النتيجة الطبيعية 1
دع الدالة تكون مستمرة على القطعة. ودع قيم الدالة في نهايات المقطع لها علامات مختلفة: أو . ثم هناك نقطة تكون عندها قيمة الدالة تساوي صفرًا:
.

النتيجة الطبيعية 2
دع الدالة تكون مستمرة على القطعة. دعها تذهب. ثم تأخذ الدالة على الفاصل الزمني جميع القيم من هذه القيم فقط:
في .

وظائف عكسية

تعريف الدالة العكسية
دع الوظيفة لها مجال التعريف X ومجموعة القيم Y. وليكن لها الخاصية:
للجميع.
ثم بالنسبة لأي عنصر من المجموعة Y، يمكن ربط عنصر واحد فقط من المجموعة X به. تحدد هذه المراسلات وظيفة تسمى وظيفة عكسيةل . تتم الإشارة إلى الدالة العكسية على النحو التالي:
.

ويترتب على ذلك من التعريف
;
للجميع ;
للجميع.

Lemma على الرتابة المتبادلة للوظائف المباشرة والعكسية
إذا كانت الدالة تزايدية (تناقصية) بشكل صارم، فهناك دالة عكسية تكون أيضًا تزايدية (تتناقصية) بشكل صارم.

خاصية تماثل الرسوم البيانية للوظائف المباشرة والعكسية
الرسوم البيانية للوظائف المباشرة والعكسية متناظرة بالنسبة للخط المستقيم.

نظرية وجود واستمرارية دالة عكسية على فترة
لتكن الدالة مستمرة ومتزايدة (تناقصية) بشكل صارم على القطعة. ثم يتم تعريف الدالة العكسية والمستمرة على القطعة، والتي تزيد (تتناقص) بشكل صارم.

لوظيفة متزايدة. للتناقص - .

نظرية وجود واستمرارية دالة عكسية على فترة
دع الدالة تكون مستمرة ومتزايدة (تناقصية) بشكل صارم على فترة محدودة أو لا نهائية مفتوحة. ثم يتم تعريف الدالة العكسية ومستمرة على الفاصل الزمني، الذي يزيد (يتناقص) بشكل صارم.

لوظيفة متزايدة.
للتناقص : .

وبطريقة مماثلة، يمكننا صياغة نظرية وجود واستمرارية الدالة العكسية على نصف فترة.

خصائص واستمرارية الوظائف الأولية

الوظائف الأولية وعكساتها مستمرة في مجال تعريفها. نقدم أدناه صياغة النظريات المقابلة ونقدم روابط لإثباتاتها.

الدالة الأسية

الدالة الأسية و (خ) = الفأس، مع قاعدة أ > 0 هو الحد من التسلسل
,
حيث يكون التسلسل التعسفي للأرقام العقلانية يميل إلى x:
.

نظرية. خصائص الدالة الأسية
تتميز الدالة الأسية بالخصائص التالية:
(ص.0)محدد للجميع ؛
(ص.1)ل ≠ 1 له معاني كثيرة؛
(ص.2)يزيد بشكل صارم عند ، يتناقص بشكل صارم عند ، ثابت عند ؛
(ص.3) ;
(ص.3*) ;
(ص.4) ;
(ص.5) ;
(ص.6) ;
(ص.7) ;
(ص.8)مستمر للجميع؛
(ص9)في ؛
في .

اللوغاريتم

الدالة اللوغاريتمية، أو اللوغاريتم، ذ = سجل الفأس، مع قاعدة أهو معكوس الدالة الأسية ذات الأساس a.

نظرية. خصائص اللوغاريتم
دالة لوغاريتمية ذات الأساس a، y = سجل x، له الخصائص التالية:
(ل.1)محددة ومستمرة، من أجل و، للقيم الإيجابية للوسيطة؛
(ل.2)له معاني كثيرة؛
(ل.3)يزيد بشكل صارم كما، ويقلل بشكل صارم كما؛
(ل.4)في ؛
في ؛
(ل.5) ;
(ل.6)في ؛
(ل.7)في ؛
(ل.8)في ؛
(ل.9)في .

الأس واللوغاريتم الطبيعي

وفي تعريفات الدالة الأسية واللوغاريتم يظهر ثابت يسمى قاعدة القوة أو قاعدة اللوغاريتم. في التحليل الرياضي، في الغالبية العظمى من الحالات، يتم الحصول على حسابات أبسط إذا تم استخدام الرقم e كأساس:
.
تسمى الدالة الأسية ذات الأساس e الأس:، واللوغاريتم ذو الأساس e يسمى اللوغاريتم الطبيعي: .

يتم عرض خصائص الأس واللوغاريتم الطبيعي على الصفحات
"الأس، e للقوة x"،
"اللوغاريتم الطبيعي، الدالة ln x"

وظيفة الطاقة

دالة القدرة مع الأس pهي الدالة f (خ) = س ص، والتي قيمتها عند النقطة x تساوي قيمة الدالة الأسية ذات الأساس x عند النقطة p.
بالإضافة إلى ذلك، ف (0) = 0 ع = 0ل ع > 0 .

سننظر هنا في خصائص دالة الطاقة y = x p للقيم غير السالبة للوسيطة. بالنسبة إلى العقلانيات، بالنسبة إلى m الغريب، يتم تعريف دالة الطاقة أيضًا بالنسبة إلى x السالبة. في هذه الحالة، يمكن الحصول على خصائصه باستخدام زوجي أو فردي.
هذه الحالات تمت مناقشتها بالتفصيل وموضحة في صفحة "وظيفة القدرة وخصائصها ورسومها البيانية".

نظرية. خصائص دالة القدرة (x ≥ 0)
دالة الطاقة، y = x p، مع الأس p لها الخصائص التالية:
(ج.1)محددة ومستمرة على المجموعة
في ،
في ".

الدوال المثلثية

نظرية استمرارية الدوال المثلثية
الدوال المثلثية: الجيب ( الخطيئة س) ، جيب التمام ( كوس س) ، الظل ( تيراغرام س) وظل التمام ( سي تي جي اكس

نظرية استمرارية الدوال المثلثية العكسية
الدوال المثلثية العكسية: أركسين ( أرسين x) ، قوس جيب التمام ( أركوس x) ، ظل قوسي ( أركانتان x) وقوس الظل ( arcctg x) ، مستمرة في مجالات تعريفها.

مراجع:
أوي. بيسوف. محاضرات في التحليل الرياضي. الجزء الأول. موسكو، 2004.
إل دي. كودريافتسيف. دورة التحليل الرياضي. المجلد الأول. موسكو، 2003.
سم. نيكولسكي. دورة التحليل الرياضي. المجلد الأول. موسكو، 1983.

أنظر أيضا:

استمرارية الدالة عند نقطة ما.

تسمى الوظيفة المحددة في حي في نقطة ما مستمر عند نقطة ما، إذا كانت نهاية الدالة وقيمتها عند هذه النقطة متساويتين، أي.

يمكن كتابة نفس الحقيقة بشكل مختلف:

إذا تم تعريف الدالة في بعض المناطق المجاورة لنقطة ما، ولكنها ليست مستمرة عند النقطة نفسها، فسيتم استدعاؤها مادة متفجرةالوظيفة، والنقطة هي نقطة الاستراحة.

مثال على وظيفة مستمرة:

0 × 0 -د × 0 × 0 +د ×

مثال على وظيفة متقطعة:

تسمى الدالة متصلة عند نقطة ما إذا كان لأي رقم موجب رقم بحيث يكون لأي رقم يحقق الشرط: أن تكون المتراجحة صحيحة.

يتم استدعاء الدالة مستمرعند النقطة إذا كانت زيادة الدالة عند النقطة قيمة متناهية الصغر.

حيث هو متناهية الصغر في .

خصائص الدوال المستمرة.

1) مجموع وفرق وحاصل ضرب الدوال المستمرة عند نقطة ما هو دالة متصلة عند نقطة ما؛

2) خارج قسمة دالتين متصلتين هو دالة متصلة بشرط ألا يساوي الصفر عند النقطة ؛

3) تراكب الدوال المستمرة – هناك دالة مستمرة.

يمكن كتابة هذه الخاصية على النحو التالي:

إذا كانت الدوال المستمرة عند هذه النقطة، فإن الدالة تكون أيضًا دالة مستمرة عند هذه النقطة.

يمكن إثبات صحة الخصائص المذكورة أعلاه بسهولة،

باستخدام نظريات الحد.

استمرارية بعض الوظائف الأولية.

1. الوظيفة، هي وظيفة مستمرة على نطاق التعريف بأكمله.

2. الدالة الكسرية مستمرة لجميع القيم ماعدا تلك التي يصبح عندها المقام صفراً. وبالتالي، فإن دالة من هذا النوع تكون مستمرة في مجال التعريف بأكمله.

3. الدوال المثلثية ومستمرة في مجال تعريفها.

لنثبت الخاصية 3 للدالة.

لنكتب زيادة الدالة أو بعد التحويل:

في الواقع، هناك حد لمنتج وظيفتين و . في هذه الحالة، دالة جيب التمام هي دالة محدودة لـ و منذ ذلك الحين نهاية دالة الجيب، فهي متناهية الصغر عند .

وبالتالي، هناك منتج لدالة محدودة ووظيفة متناهية الصغر، وبالتالي، هذا المنتج، أي. الوظيفة متناهية الصغر. وفقا للتعريفات التي تمت مناقشتها أعلاه، فإن الدالة هي دالة مستمرة لأي قيمة من مجال التعريف، لأن زيادتها عند هذه النقطة هي قيمة متناهية الصغر.

نقاط التوقف وتصنيفها.

دعونا نفكر في بعض الوظائف المستمرة في جوار النقطة، مع احتمال استثناء هذه النقطة نفسها. من تعريف نقطة انقطاع الدالة، يترتب على ذلك أن هناك نقطة انقطاع إذا لم يتم تعريف الدالة عند هذه النقطة أو لم تكن مستمرة عندها.

وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن استمرارية الوظيفة يمكن أن تكون من جانب واحد. دعونا نوضح هذا على النحو التالي.

إذا كان الحد من جانب واحد (انظر أعلاه) يقال أن الدالة متصلة بشكل صحيح.

النقطة تسمى نقطة الاستراحةالدالة إذا لم يتم تعريفها عند نقطة ما أو لم تكن مستمرة عند تلك النقطة.

النقطة تسمى نقطة الانقطاع من النوع الأول، إذا كانت الدالة عند هذه النقطة لها حدود محدودة ولكن غير متساوية من اليسار واليمين:

ولا يشترط لتحقيق شروط هذا التعريف أن تكون الدالة معرفة عند النقطة، يكفي أن تكون محددة عن يسارها وعن يمينها.

من التعريف يمكننا أن نستنتج أنه عند نقطة الانقطاع من النوع الأول، يمكن أن يكون للدالة قفزة محدودة فقط. في بعض الحالات الخاصة، تُسمى أحيانًا نقطة الانقطاع من النوع الأول قابل للإزالةنقطة الانهيار، لكننا سنتحدث أكثر عن هذا أدناه.

النقطة تسمى نقطة الانقطاع من النوع الثاني، إذا كانت الدالة في هذه المرحلة لا تحتوي على أحد الحدود أحادية الجانب على الأقل، أو أن واحدًا منها على الأقل لا نهائي.

مثال 1 . دالة ديريشليت (ديريتشليت بيتر جوستاف (1805-1859) - عالم رياضيات ألماني، عضو مناظر في أكاديمية سانت بطرسبورغ للعلوم 1837)

ليست مستمرة عند أي نقطة x 0 .

مثال 2 . تحتوي الدالة على نقطة انقطاع من النوع الثاني عند هذه النقطة، لأن .

مثال 3 .

لم يتم تعريف الدالة عند هذه النقطة، ولكن لها نهاية محدودة عندها، أي. عند نقطة ما، يكون للوظيفة نقطة انقطاع من النوع الأول. هذه نقطة انهيار قابلة للإزالة، لأن إذا قمت بتعريف الوظيفة:

الرسم البياني لهذه الوظيفة:

مثال 4 .

تتم الإشارة إلى هذه الوظيفة أيضًا بالعلامة. لم يتم تعريف الوظيفة عند هذه النقطة. لأن إذا اختلفت الحدود اليمنى واليسرى للدالة، فإن نقطة الانقطاع تكون من النوع الأول. إذا مددنا الدالة عند النقطة بوضع ، فإن الدالة ستكون متصلة على اليمين، إذا وضعنا ، ستكون الدالة متصلة على اليسار، إذا وضعنا مساوية لأي رقم غير 1 أو -1، إذن وتكون الدالة متصلة لا على اليسار ولا على اليمين، ولكنها في جميع الأحوال يكون لها انقطاع من النوع الأول عند النقطة. في هذا المثال، نقطة الانقطاع من النوع الأول غير قابلة للإزالة.

وبالتالي، لكي تكون نقطة الانقطاع من النوع الأول قابلة للإزالة، لا بد من أن تكون الحدود الأحادية الجانب على اليمين واليسار منتهية ومتساوية، وتكون الدالة غير محددة عند هذه النقطة.

2.2. استمرارية الدالة على فترة وعلى قطعة.

يتم استدعاء الدالة مستمر على فترة (مقطع)، إذا كان مستمرًا عند أي نقطة من الفاصل الزمني (المقطع).

في هذه الحالة، لا تكون هناك حاجة لاستمرارية الدالة عند نهايات المقطع أو الفترة، بل مطلوب فقط استمرارية من جانب واحد في نهايات القطعة أو الفترة.

خصائص الدوال المستمرة على فترة.

الخاصية 1. (نظرية فايرستراس الأولى (كارل فايرستراس (1815-1897) - عالم رياضيات ألماني)). الدالة المستمرة على فترة زمنية محددة في هذه الفترة، أي. يتم استيفاء الشرط التالي في الشريحة:

ويعتمد إثبات هذه الخاصية على حقيقة أن الدالة المتصلة عند النقطة تكون محدودة في بعض الأحياء منها، وإذا قسمت القطعة إلى عدد لا نهائي من القطع "المقتصرة" على النقطة، فإن يتم تشكيل حي معين من النقطة.

الملكية 2. الدالة المستمرة على القطعة تأخذ القيم الأكبر والأصغر عليها.

أولئك. هناك مثل هذه القيم وأن و و:

دعونا نلاحظ. أن هذه القيم الأكبر والأصغر يمكن أن تأخذها الدالة على المقطع عدة مرات (على سبيل المثال – ).

يسمى الفرق بين أكبر وأصغر قيمة للدالة على القطعة ترددوظائف على قطعة.

الملكية 3. (نظرية بولزانو-كوشي الثانية). تأخذ الدالة المستمرة على الفاصل الزمني جميع القيم بين قيمتين عشوائيتين في هذا الفاصل الزمني.

الخاصية 4. إذا كانت الدالة متصلة عند نقطة ما، فهناك منطقة مجاورة للنقطة التي تحتفظ فيها الدالة بإشارتها.

العقار 5. (النظرية الأولى لبولزانو (1781-1848) - كوشي). إذا كانت الدالة متصلة على قطعة ما ولها قيم إشارات متقابلة في نهايتي القطعة، فهناك نقطة داخل هذا القطعة حيث . وقريبة من الصفر.

عند نقطة تكون الدالة مستمرة عند نقطة انقطاع من النوع الأول

مفهوم استمرارية الوظيفة. استمرارية الدالة عند نقطة وعلى فترة. مع الأمثلة ماذا تعني استمرارية الوظيفة؟