تحويل أنظمة الإحداثيات على المستوى. تحويل نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل على المستوى. آي بريفالوف "الهندسة التحليلية"

دعونا نعطي نظامين إحداثيين ديكارتيين مستطيلين على المستوى. يتم تحديد الأول من خلال بداية O والمتجهات الأساسية أنا ي والثاني – المركز عن'وناقلات الأساس أنا ’ ي ’ .

لنحدد هدف التعبير عن إحداثيات x y لنقطة ما M بالنسبة لنظام الإحداثيات الأول س’ و ذ’ - إحداثيات نفس النقطة بالنسبة للنظام الثاني.

لاحظ أن

دعونا نشير إلى إحداثيات النقطة O’ بالنسبة للنظام الأول بواسطة a وb:

دعونا توسيع المتجهات أنا ’ و ي ’ على أساس أنا ي :

(*)

بالإضافة إلى ذلك، لدينا:
. دعونا نقدم هنا توسيع المتجهات فيما يتعلق بالأساس أنا ’ ي ’ :

من هنا

يمكننا أن نستنتج: مهما كان النظامان الديكارتيان التعسفيان على المستوى، فإن إحداثيات أي نقطة على المستوى بالنسبة للنظام الأول هي دوال خطية لإحداثيات نفس النقطة بالنسبة للنظام الثاني.

دعونا أولاً نضرب المعادلات (*) بشكل عددي أنا ، ثم على ي :

عن يُشار إليه بـ  الزاوية بين المتجهات أنا و أنا ’ . نظام الإحداثيات أنا ي يمكن دمجها مع النظام أنا ’ ي ’ عن طريق النقل الموازي والدوران اللاحق بزاوية . ولكن هنا أيضًا خيار القوس ممكن: الزاوية بين المتجهات الأساسية أنا أنا ’ وكذلك ، والزاوية بين المتجهات الأساسية ي ’ ي ’ يساوي  - . لا يمكن الجمع بين هذه الأنظمة مع الترجمة والتناوب المتوازيين. من الضروري أيضًا تغيير اتجاه المحور فيإلى العكس.

ومن الصيغة (**) نحصل في الحالة الأولى على:

في الحالة الثانية

صيغ التحويل هي:

لن ننظر في الحالة الثانية. دعونا نتفق على اعتبار كلا النظامين صحيحين.

أولئك. الاستنتاج: مهما كان نظاما الإحداثيات الصحيحين، يمكن دمج الأول منهما مع الثاني عن طريق الانتقال الموازي ثم الدوران اللاحق حول نقطة الأصل بزاوية معينة .

صيغ النقل الموازي:

صيغ دوران المحاور:

التحويلات العكسية:

تحويل الإحداثيات الديكارتية المستطيلة في الفضاء.

في الفضاء، والتفكير بطريقة مماثلة، يمكننا أن نكتب:

(***)

وللحصول على الإحداثيات:

(****)

لذلك، مهما كان هناك نظامان إحداثيان اعتباطيان في الفضاء، فإن إحداثيات x y z لنقطة ما بالنسبة للنظام الأول هي دوال خطية للإحداثيات س’ ذ’ ض’ نفس النقطة بالنسبة لنظام الإحداثيات الثاني.

ضرب كل من المتساويات (***) عددياً في أنا ’ ي ’ ك ’ نحن نحصل:

في دعونا نوضح المعنى الهندسي لصيغ التحويل (****). للقيام بذلك، افترض أن كلا النظامين لهما بداية مشتركة: أ = ب = ج = 0 .

دعونا ندخل في الاعتبار ثلاث زوايا تميز بشكل كامل موقع محاور النظام الثاني بالنسبة إلى الأول.

تتكون الزاوية الأولى من المحور x والمحور u، وهو تقاطع المستويين xOy وx'Oy. اتجاه الزاوية هو أقصر دورة من المحور x إلى المحور y. دعنا نشير إلى الزاوية بـ . والزاوية الثانية  هي الزاوية التي لا تتجاوز  بين محوري أوز وأوز. وأخيرًا، الزاوية الثالثة  هي الزاوية بين المحور u وOx'، ويتم قياسها من المحور u في اتجاه أقصر دورة من Ox' إلى Oy'. وتسمى هذه الزوايا زوايا أويلر.

يمكن تمثيل تحول النظام الأول إلى الثاني على شكل سلسلة من ثلاث دورات: بزاوية  نسبة إلى محور Oz؛ بالزاوية  نسبة إلى محور الثور؛ وبزاوية  نسبة إلى محور أوز.

يمكن التعبير عن الأرقام  ij بدلالة زوايا أويلر. لن نكتب هذه الصيغ لأنها مرهقة.

التحويل بحد ذاته عبارة عن تراكب للتحويل المتوازي وثلاث دورات متتالية خلال زوايا أويلر.

كل هذه الحجج يمكن تطبيقها عندما يكون كلا النظامين يساريين، أو لهما توجهات مختلفة.

إذا كان لدينا نظامان اعتباطيان، فيمكننا، بشكل عام، دمجهما عن طريق الترجمة المتوازية ودوران واحد في الفضاء حول محور معين. لن نبحث عنها.

1) الانتقال من نظام إحداثي ديكارتي مستطيل على مستوى إلى نظام ديكارتي مستطيل آخر له نفس الاتجاه ونفس الأصل.

لنفترض أنه تم إدخال نظامي إحداثيات ديكارتيين مستطيلين على المستوى xOyومع أصل مشترك عنلها نفس الاتجاه (الشكل 145). دعونا نشير إلى ناقلات الوحدة للمحاور أوهو الوحدة التنظيميةعلى التوالي، من خلال و ، ومتجهات الوحدات للمحاور ومن خلال و . وأخيرا، دع الزاوية من المحور أوهإلى المحور. يترك Xو في- إحداثيات نقطة تعسفية مفي النظام xOyو و هي إحداثيات نفس النقطة مفي النظام .

منذ الزاوية من المحور أوهإلى المتجه يساوي ، ثم إحداثيات المتجه

زاوية من المحور أوهإلى المتجه يساوي ؛ وبالتالي فإن إحداثيات المتجه متساوية.

الصيغ (3) § 97 تأخذ النموذج

مصفوفة الانتقال من ديكارت واحد xOyنظام إحداثي مستطيل إلى نظام مستطيل آخر بنفس الاتجاه له الشكل

تسمى المصفوفة متعامدة إذا كان مجموع مربعات العناصر الموجودة في كل عمود يساوي 1، ومجموع منتجات العناصر المقابلة للأعمدة المختلفة يساوي صفر، أي. لو

وبالتالي، فإن مصفوفة الانتقال (2) من نظام إحداثي مستطيل إلى نظام مستطيل آخر بنفس الاتجاه تكون متعامدة. لاحظ أيضًا أن محدد هذه المصفوفة هو +1:

على العكس من ذلك، إذا تم إعطاء مصفوفة متعامدة (3) مع محدد يساوي +1، وتم إدخال نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل على المستوى xOy، فبموجب العلاقات (4) تكون المتجهات وحدة ومتعامدة بشكل متبادل، وبالتالي فإن إحداثيات المتجه في النظام xOyتساوي و ، حيث هي الزاوية من المتجه إلى المتجه، وبما أن المتجه هو وحدة ونحصل عليه من المتجه بالتدوير بمقدار، ثم إما أو.

والاحتمال الثاني مستبعد، إذ لو كان لدينا فقد أعطي لنا ذلك.

وهذا يعني والمصفوفة أيشبه

أولئك. هي مصفوفة الانتقال من نظام إحداثيات مستطيل واحد xOyإلى نظام مستطيل آخر له نفس الاتجاه والزاوية .

2. الانتقال من نظام إحداثي ديكارتي مستطيل على مستوى إلى نظام ديكارتي مستطيل آخر له اتجاه معاكس ونفس الأصل.

دعونا نطرح نظامي إحداثيات ديكارتيين مستطيلين على المستوى xOyومع أصل مشترك عنولكن مع الاتجاه المعاكس، دعونا نشير إلى الزاوية من المحور أوهإلى المحور من خلال (يتم ضبط اتجاه المستوى بواسطة النظام xOy).

منذ الزاوية من المحور أوهإذا كان المتجه يساوي ، فإن إحداثيات المتجه متساوية:

الآن الزاوية من المتجه إلى المتجه متساوية (الشكل 146)، وبالتالي فإن الزاوية من المحور أوهإلى المتجه يساوي (حسب نظرية تشالز للزوايا) وبالتالي فإن إحداثيات المتجه متساوية:

والصيغ (3) § 97 تأخذ الشكل

مصفوفة الانتقال

متعامد، لكن محدده هو -1. (7)

على العكس من ذلك، فإن أي مصفوفة متعامدة ذات محدد يساوي -1 تحدد تحويل نظام إحداثي مستطيل على المستوى إلى نظام مستطيل آخر له نفس الأصل ولكن في اتجاه معاكس. لذا، إذا كان هناك نظامان إحداثيانيان ديكارتيان مستطيلان xOyولها بداية مشتركة، ثم

أين X, في- إحداثيات أي نقطة في النظام xOy; وهي إحداثيات نفس النقطة في النظام، و

مصفوفة متعامدة.

العودة إذا

مصفوفة متعامدة التعسفية، ثم العلاقات

يعبر عن تحول نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل إلى نظام إحداثي ديكارتي مستطيل نظام من نفس الأصل؛ - الإحداثيات في النظام xOyمتجه وحدة يعطي الاتجاه الإيجابي للمحور؛ - الإحداثيات في النظام xOyمتجه الوحدة يعطي الاتجاه الإيجابي للمحور.

نظم الإحداثيات xOyولهما نفس التوجه، وفي هذه الحالة العكس.

3. التحويل العام لأحد أنظمة الإحداثيات الديكارتية المستطيلة على المستوى إلى نظام مستطيل آخر.

بناءً على النقطتين 1) و2) من هذه الفقرة، وكذلك على أساس الفقرة 96، نستنتج أنه إذا تم إدخال أنظمة الإحداثيات المستطيلة على المستوى xOyثم الإحداثيات Xو فينقطة تعسفية مالطائرات في النظام xOyمع إحداثيات نفس النقطة مفي النظام ترتبط بالعلاقات - إحداثيات أصل نظام الإحداثيات في النظام xOy.

مع ملاحظة الإحداثيات القديمة والجديدة X, فيو، ترتبط المتجهات في ظل التحول العام لنظام الإحداثيات المستطيل الديكارتي بالعلاقات

في حالة الأنظمة xOyولهم نفس التوجه والعلاقات

في حال كانت هذه الأنظمة ذات اتجاه معاكس، أو في الشكل

مصفوفة متعامدة. تسمى التحويلات (10) و (11) متعامدة.

الموضوع 5. التحولات الخطية.

نظام الإحداثياتهي طريقة تسمح للمرء بتحديد موضع نقطة بالنسبة لبعض الأشكال الهندسية بشكل لا لبس فيه باستخدام الأرقام. تشمل الأمثلة نظام الإحداثيات على خط مستقيم - محور الإحداثيات وأنظمة الإحداثيات الديكارتية المستطيلة، على التوالي، على المستوى وفي الفضاء.

دعونا ننتقل من نظام إحداثي xy واحد على المستوى إلى نظام آخر، أي. دعونا نتعرف على كيفية ارتباط الإحداثيات الديكارتية لنفس النقطة في هذين النظامين ببعضهما البعض.

دعونا نفكر أولا نقل موازينظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل xy، أي الحالة التي تكون فيها محاور النظام الجديد موازية للمحورين المقابلين x و y للنظام القديم ولهما نفس الاتجاهات.

إذا كانت إحداثيات النقطتين M (x؛ y) و (a؛ b) في النظام xy معروفة، فإن (الشكل 15) في نقطة النظام M لها إحداثيات: .

دع القطعة OM ذات الطول ρ تشكل زاوية مع المحور و. ثم (الشكل 16) تشكل القطعة OM زاوية مع المحور x وتكون إحداثيات النقطة M في النظام xy متساوية , .

مع الأخذ في الاعتبار أن إحداثيات النقطة M في النظام تساوي و نحصل عليها

عند الدوران بزاوية "في اتجاه عقارب الساعة" نحصل على التوالي على:

المشكلة 0.54. تحديد إحداثيات النقطة M(-3; 7) في نظام الإحداثيات الجديد x/y/، وأصلها 0/ يقع عند النقطة (3;-4)، وتكون محاورها موازية للمحاور القديمة نظام الإحداثيات ولها نفس الاتجاهات مثلهم.

حل. لنستبدل الإحداثيات المعروفة للنقطتين M وO / في الصيغ: x / = x-a, y / = y-b.
نحصل على: x / = -3-3 = -6، y / = 7-(-4) = 11. إجابة: م / (-6 ؛ 11).

§2. مفهوم التحول الخطي ومصفوفته.

إذا كان كل عنصر x من المجموعة X، وفقًا لبعض القواعد f، يتوافق مع عنصر واحد فقط y من المجموعة Y، فإننا نقول أن المعطى عرض f من المجموعة X إلى المجموعة Y، ويتم استدعاء المجموعة X مجال التعريفعرض و . إذا كان العنصر x 0 Î X، على وجه الخصوص، يتوافق مع العنصر y 0 Î Y، فاكتب y 0 = f (x 0). في هذه الحالة، يسمى العنصر y 0 طريقالعنصر x 0 والعنصر x 0 - النموذج المبدئيالعنصر عند 0 تسمى المجموعة الفرعية Y 0 من المجموعة Y، والتي تتكون من جميع الصور مجموعة من المعانيعرض و.

إذا كانت عناصر مختلفة من المجموعة X، في التعيين f، تتوافق مع عناصر مختلفة من المجموعة Y، فسيتم استدعاء التعيين f تفريغ.

إذا كانت Y 0 = Y، فإن التعيين f يسمى تعيين المجموعة X على setY.

يسمى التعيين العكسي للمجموعة X على المجموعة Y واحد لواحد.

الحالات الخاصة لمفهوم تعيين مجموعة في مجموعة هي المفهوم وظيفة عدديةوالمفهوم رسم الخرائط الهندسية.

إذا كان التعيين f لكل عنصر في المجموعة X يربط عنصرًا واحدًا من نفس المجموعة X، فإن هذا التعيين يسمى تحويلمجموعات X.

دعونا نعطي مجموعة من المتجهات ذات الأبعاد n للمساحة الخطية L n.

يسمى التحويل f للفضاء الخطي ذو الأبعاد n L n خطيالتحول إذا

لأية متجهات من L n وأي أرقام حقيقية α و β. بمعنى آخر، يسمى التحويل خطيًا إذا تحولت مجموعة خطية من المتجهات إلى مجموعة خطية من صورها مع نفس الشيءمعاملات.

إذا تم إعطاء متجه على أساس معين وكان التحويل f خطيًا، فبحسب التعريف، أين توجد صور المتجهات الأساسية.

ولذلك، فإن التحول الخطي هو تماما مُعرف، إذا تم إعطاء صور المتجهات الأساسية للمساحة الخطية قيد النظر:

(12)

مصفوفة حيث يكون العمود k هو العمود الإحداثي للمتجه في الأساس، ودعا مصفوفةخطي تحويلف على هذا الأساس.

يُطلق على المحدد det L محدد التحويل f ويسمى Rg L رتبة التحويل الخطي f.

إذا كانت مصفوفة التحويل الخطي غير مفردة، فإن التحويل نفسه يكون غير مفرد. إنه يحول الفضاء L n واحد لواحد إلى نفسه، أي. كل متجه من L n هو صورة متجهه الفريد.

إذا كانت مصفوفة التحويل الخطي فردية، فإن التحويل نفسه يكون فرديًا. إنه يحول الفضاء الخطي L n إلى جزء منه.

نظرية.نتيجة لتطبيق التحول الخطي f مع المصفوفة L على المتجه اتضح أنه ناقل مثل ذلك .

الأرقام المكتوبة بين قوسين هي إحداثيات المتجه حسب الأساس:

(13)

ومن خلال تعريف عملية ضرب المصفوفات يمكن استبدال النظام (13) بمصفوفة

المساواة ، وهو ما كان يحتاج إلى إثبات.

أمثلةالتحولات الخطية.

1. يتم تحديد الامتداد على طول المحور x بمقدار k 1 مرة، وعلى طول المحور y بمقدار k 2 مرات على المستوى xy بواسطة المصفوفة وتكون صيغ تحويل الإحداثيات على الشكل: x / = k 1 x; ص / = ك 2 ص.

2. يتم تحديد انعكاس المرآة بالنسبة للمحور y على المستوى xy بواسطة المصفوفة وتكون صيغ تحويل الإحداثيات على الشكل: x / = -x, y / = y.

لاحظ أن

دعونا نشير إلى إحداثيات النقطة O’ بالنسبة للنظام الأول بواسطة a وb:

دعونا توسيع المتجهات أنا ’ و ي ’ على أساس أنا ي :

(*)

بالإضافة إلى ذلك، لدينا:
. دعونا نقدم هنا توسيع المتجهات فيما يتعلق بالأساس أنا ’ ي ’ :

من هنا

دعونا أولاً نضرب المعادلات (*) بشكل عددي أنا ، ثم على ي :

دعونا نشير بـ  إلى الزاوية بين المتجهات أنا و أنا ’ . نظام الإحداثيات أنا ي يمكن دمجها مع النظام أنا ’ ي ’ عن طريق النقل الموازي والدوران اللاحق بزاوية . ولكن هنا أيضًا خيار القوس ممكن: الزاوية بين المتجهات الأساسية أنا أنا ’ وكذلك ، والزاوية بين المتجهات الأساسية ي ’ ي ’ يساوي  - . لا يمكن الجمع بين هذه الأنظمة مع الترجمة والتناوب المتوازيين. من الضروري أيضًا تغيير اتجاه المحور فيإلى العكس.

ومن الصيغة (**) نحصل في الحالة الأولى على:

في الحالة الثانية

صيغ التحويل هي:

لن ننظر في الحالة الثانية. دعونا نتفق على اعتبار كلا النظامين صحيحين.

صيغ النقل الموازي:

صيغ دوران المحاور:

التحويلات العكسية:

تحويل الإحداثيات الديكارتية المستطيلة في الفضاء.

في الفضاء، والتفكير بطريقة مماثلة، يمكننا أن نكتب:

(***)

وللحصول على الإحداثيات:

(****)

ضرب كل من المتساويات (***) عددياً في أنا ’ ي ’ ك ’ نحن نحصل:

دعونا ندخل في الاعتبار ثلاث زوايا تميز بشكل كامل موقع محاور النظام الثاني بالنسبة إلى الأول.

يمكن التعبير عن الأرقام  ij بدلالة زوايا أويلر. لن نكتب هذه الصيغ لأنها مرهقة.

التحويل بحد ذاته عبارة عن تراكب للتحويل المتوازي وثلاث دورات متتالية خلال زوايا أويلر.

كل هذه الحجج يمكن تطبيقها عندما يكون كلا النظامين يساريين، أو لهما توجهات مختلفة.

الفصل 1. الإضافة. تحويل الإحداثيات الديكارتية المستطيلة على المستوى وفي الفضاء. أنظمة الإحداثيات الخاصة على المستوى وفي الفضاء.

تمت مناقشة قواعد إنشاء أنظمة الإحداثيات على المستوى وفي الفضاء في الجزء الرئيسي من الفصل الأول. وقد تمت الإشارة إلى سهولة استخدام أنظمة الإحداثيات المستطيلة. في الاستخدام العملي لأدوات الهندسة التحليلية، غالبًا ما تكون هناك حاجة إلى تحويل نظام الإحداثيات المعتمد. وعادة ما تملي ذلك اعتبارات الملاءمة: حيث يتم تبسيط الصور الهندسية، وتصبح النماذج التحليلية والتعبيرات الجبرية المستخدمة في العمليات الحسابية أكثر وضوحًا.

إن بناء واستخدام أنظمة الإحداثيات الخاصة: القطبية والأسطوانية والكروية يمليها المعنى الهندسي للمشكلة التي يتم حلها. غالبًا ما تسهل النمذجة باستخدام أنظمة الإحداثيات الخاصة تطوير واستخدام النماذج التحليلية في حل المشكلات العملية.

سيتم استخدام النتائج التي تم الحصول عليها في ملحق الفصل الأول في الجبر الخطي، ومعظمها في حساب التفاضل والتكامل والفيزياء.

تحويل الإحداثيات الديكارتية المستطيلة على المستوى وفي الفضاء.

عند النظر في مشكلة بناء نظام إحداثيات على المستوى وفي الفضاء، لوحظ أن نظام الإحداثيات يتكون من محاور عددية تتقاطع عند نقطة واحدة: مطلوب محورين على المستوى، وثلاثة في الفضاء. فيما يتعلق ببناء النماذج التحليلية للمتجهات، وإدخال المنتج العددي لتشغيل المتجهات وحل مشاكل المحتوى الهندسي، فقد تبين أن استخدام أنظمة الإحداثيات المستطيلة هو الأفضل.

إذا نظرنا إلى مشكلة تحويل نظام إحداثيات معين بشكل تجريدي، ففي الحالة العامة سيكون من الممكن السماح بالحركة التعسفية لمحاور الإحداثيات في مساحة معينة مع الحق في إعادة تسمية المحاور بشكل تعسفي.

سنبدأ من المفهوم الأساسي الأنظمة المرجعية مقبولة في الفيزياء. ومن خلال مراقبة حركة الأجسام اكتشف أن حركة الجسم المعزول لا يمكن تحديدها من تلقاء نفسه. يجب أن يكون لديك جسم آخر على الأقل فيما يتعلق بالحركة التي يتم ملاحظتها، أي تغيير فيها نسبي أحكام. للحصول على النماذج التحليلية والقوانين والحركة، تم ربط نظام الإحداثيات بهذا الجسم الثاني، كنظام مرجعي، وبهذه الطريقة تم ربط نظام الإحداثيات صلب !

نظرًا لأن الحركة التعسفية لجسم صلب من نقطة في الفضاء إلى أخرى يمكن تمثيلها بحركتين مستقلتين: انتقالية ودورانية، فقد اقتصرت خيارات تحويل نظام الإحداثيات على حركتين:

1). النقل الموازي: نتبع نقطة واحدة فقط - النقطة.

2). دوران محاور النظام الإحداثي بالنسبة لنقطة ما: كجسم صلب.

تحويل الإحداثيات الديكارتية المستطيلة على المستوى.

دعونا نحصل على أنظمة إحداثية على المستوى: و . يتم الحصول على نظام الإحداثيات عن طريق الترجمة الموازية للنظام. يتم الحصول على نظام الإحداثيات عن طريق تدوير النظام بزاوية، ويعتبر الاتجاه الإيجابي للدوران هو دوران المحور عكس اتجاه عقارب الساعة.

دعونا نحدد المتجهات الأساسية لأنظمة الإحداثيات المعتمدة. نظرًا لأنه تم الحصول على النظام عن طريق النقل المتوازي للنظام، فإننا نقبل لكلا النظامين ناقلات الأساس: ووحدة واحدة وتتزامن في الاتجاه مع محاور الإحداثيات على التوالي. بالنسبة للنظام، كمتجهات أساسية سنأخذ متجهات الوحدة المتزامنة في الاتجاه مع المحاور، .

لنعطى نظام إحداثي ونقطة = محددة فيه. سوف نفترض أنه قبل التحويل لدينا أنظمة إحداثيات متزامنة و. دعونا نطبق الترجمة المتوازية على نظام الإحداثيات، المحدد بواسطة المتجه. مطلوب تحديد التحويل الإحداثي لنقطة ما. دعونا نستخدم المساواة المتجهة: = + أو:

دعونا نوضح تحويل الترجمة المتوازية بمثال معروف في الجبر الأولي.

مثال د–1 : معادلة القطع المكافئ معطاة : = = . اختصر معادلة هذا القطع المكافئ إلى أبسط صورة.

حل:

1). دعونا نستخدم هذه التقنية تسليط الضوء على مربع كامل : = ، والتي يمكن تمثيلها بسهولة على النحو التالي: –3 = .

2). دعونا نطبق تحويل الإحداثيات - نقل موازي := . وبعد ذلك تأخذ معادلة القطع المكافئ الشكل: . يتم تعريف هذا التحويل في الجبر على النحو التالي: القطع المكافئ = يتم الحصول عليه عن طريق إزاحة أبسط القطع المكافئ إلى اليمين بمقدار 2، وإلى الأعلى بمقدار 3 وحدات.

الجواب: أبسط شكل للقطع المكافئ هو: .

لنعطى نظام إحداثي ونقطة = محددة فيه. سوف نفترض أنه قبل التحويل لدينا أنظمة إحداثيات متزامنة و. دعونا نطبق تحويل الدوران على نظام الإحداثيات بحيث يتم تدويره بزاوية بالنسبة إلى موضعه الأصلي، أي بالنسبة للنظام. مطلوب تحديد التحويل الإحداثي للنقطة = . لنكتب المتجه في أنظمة الإحداثيات و : = . (2) =1. ويترتب على نظرية خطوط الدرجة الثانية أنه تم الحصول على أبسط معادلة (قانونية!) للقطع الناقص.