مشروع بحثي "صيغة كاردانو: التاريخ والتطبيق". حل المعادلات التكعيبية نظرية كاردانو حل المعادلات التكعيبية

البلدية سابعا المؤتمر الطلابي العلمي والعملي "الشباب: الإبداع والبحث والنجاح"

منطقة بلدية أنينسكي

منطقة فورونيج

قسم:الرياضيات

موضوع:"صيغة كاردانو: التاريخ والتطبيق"

مدرسة MKOU Anninskaya الثانوية رقم 3، 9 فئة "ب".

نيكولو فونتانا تارتاليا (الإيطالية: NiccolòFontanaTartaglia، 1499-1557) - عالم رياضيات إيطالي.

بشكل عام، يخبرنا التاريخ أن الصيغة تم اكتشافها في البداية بواسطة تارتاليا وتم تسليمها إلى كاردانو في شكلها النهائي، لكن كاردانو نفسه نفى هذه الحقيقة، على الرغم من أنه لم ينكر تورط تارتاليا في إنشاء الصيغة.

اسم "صيغة كاردانو" متجذر بقوة وراء الصيغة، تكريما للعالم الذي شرحها فعلا وقدمها للجمهور.

1. النزاعات الرياضية في العصور الوسطى.

قدمت النزاعات في العصور الوسطى دائمًا مشهدًا مثيرًا للاهتمام، حيث اجتذبت سكان المدن العاطلين، صغارًا وكبارًا. وكانت موضوعات المناقشات متنوعة ولكنها دائما علمية. وفي الوقت نفسه، كان يُفهم أن العلم هو ما تم تضمينه في قائمة ما يسمى بالفنون الليبرالية السبعة، والتي كانت بالطبع علم اللاهوت. وكانت الخلافات اللاهوتية هي الأكثر شيوعا. لقد تجادلوا حول كل شيء. على سبيل المثال، حول ما إذا كان يجب ربط الفأر بالروح القدس إذا أكل القربان، وما إذا كان من الممكن أن تتنبأ كوماي سيبيل بميلاد يسوع المسيح، ولماذا لا يتم تطويب إخوة وأخوات المخلص، وما إلى ذلك.

حول النزاع الذي كان من المفترض أن يحدث بين عالم الرياضيات الشهير والطبيب الذي لا يقل شهرة، تم إجراء التخمينات الأكثر عمومية فقط، حيث لم يكن أحد يعرف شيئًا حقًا. قالوا إن أحدهما خدع الآخر (لا يعرف من بالضبط ولمن). تقريبا كل أولئك الذين تجمعوا في الساحة كانت لديهم أفكار أكثر غموضا حول الرياضيات، لكن الجميع كانوا يتطلعون إلى بداية المناقشة. لقد كان الأمر مثيرًا للاهتمام دائمًا، حيث يمكنك الضحك على الخاسر، بغض النظر عما إذا كان على حق أم على خطأ.

عندما دقت ساعة قاعة المدينة الخامسة، انفتحت البوابات على مصراعيها واندفع الحشد داخل الكاتدرائية. على جانبي الخط الأوسط الذي يربط المدخل بالمذبح، تم نصب منبرين مرتفعين بالقرب من العمودين الجانبيين، مخصصين للمناظرين. وأصدر الحاضرون ضجيجاً عالياً، غير منتبهين لوجودهم في الكنيسة. أخيرًا، أمام الشبكة الحديدية التي تفصل الأيقونسطاس عن بقية الصحن المركزي، ظهر منادي بلدة يرتدي عباءة سوداء وأرجوانية وأعلن: “مواطنو مدينة ميلانو اللامعون! الآن سيتحدث إليك عالم الرياضيات الشهير نيكولو تارتاليا من برينيا. كان من المفترض أن يكون خصمه عالم الرياضيات والطبيب جيرونيمو كاردانو. ويتهم نيكولو تارتاليا كاردانو بأن الأخير نشر في كتابه “أرسماجنا” طريقة لحل معادلة من الدرجة الثالثة تابعة له تارتاليا. ومع ذلك، لم يتمكن كاردانو نفسه من الحضور إلى المناقشة ولذلك أرسل تلميذه لويج فيراري. وبذلك يعلن فتح باب المناقشة، ودعوة المشاركين فيها إلى الأقسام». صعد رجل أخرق ذو أنف معقوف ولحية مجعدة على المنبر على يسار المدخل، وصعد شاب في العشرينات من عمره ذو وجه وسيم واثق من نفسه إلى المنبر المقابل. كان سلوكه بأكمله يعكس الثقة الكاملة في أن كل إيماءة وكل كلمة سيستقبلها بسعادة.

بدأت تارتاليا.

السادة الأعزاء! كما تعلم أنه منذ 13 عامًا تمكنت من إيجاد طريقة لحل معادلة من الدرجة الثالثة، وبعد ذلك، باستخدام هذه الطريقة، فزت بالنزاع مع فيوري. جذبت طريقتي انتباه مواطنك كاردانو، واستخدم كل فنه الماكر ليكتشف السر مني. ولم يتوقف عن الخداع أو التزوير الصريح. كما تعلمون أنه منذ 3 سنوات، تم نشر كتاب كاردانو حول قواعد الجبر في نورمبرغ، حيث أصبحت طريقتي، المسروقة بلا خجل، متاحة للجميع. لقد تحديت كاردانو وطالبه في المنافسة. لقد اقترحت حل 31 مسألة، وقد اقترح عليّ خصومي نفس العدد. تم تحديد موعد نهائي لحل المشكلات - 15 يومًا. في 7 أيام تمكنت من حل معظم المشاكل التي جمعتها كاردانو وفيراري. لقد طبعتها وأرسلتها بالبريد إلى ميلانو. ومع ذلك، اضطررت إلى الانتظار لمدة خمسة أشهر كاملة حتى أتلقى الإجابات على مهامي. لقد تم حلها بشكل غير صحيح. وقد أعطاني هذا سببًا لتحديهما في نقاش عام.

صمت تارتاليا. قال الشاب وهو ينظر إلى تارتاليا البائسة:

السادة الأعزاء! سمح خصمي الجدير لنفسه، في الكلمات الأولى من خطابه، بالتعبير عن الكثير من الافتراءات ضدي وضد أستاذي؛ وكانت حجته لا أساس لها من الصحة لدرجة أنني لن أواجه أي صعوبة في دحض الحجة الأولى وإظهار تناقضها. الثاني. بادئ ذي بدء، ما نوع الخداع الذي يمكن أن نتحدث عنه إذا شارك نيكولو تارتاليا طوعًا طريقته مع كل منا؟ وهكذا يكتب جيرونيمو كاردانو عن دور خصمي في اكتشاف القاعدة الجبرية. يقول إنه ليس هو، كاردانو، "لكن صديقي تارتاجليا الذي يتشرف باكتشاف شيء جميل جدًا ومذهل، يفوق الذكاء البشري وكل مواهب الروح الإنسانية. إن هذا الاكتشاف هو حقًا هدية سماوية، ودليل رائع على قوة العقل الذي استوعبها، بحيث لا يمكن اعتبار أي شيء بعيد المنال بالنسبة له.

اتهمني خصمي وأستاذي بإعطاء حل خاطئ لمشاكله. ولكن كيف يمكن أن يكون جذر المعادلة غير صحيح إذا وصلنا إلى الهوية عن طريق استبداله في المعادلة وتنفيذ جميع الإجراءات المنصوص عليها في هذه المعادلة؟ وإذا أراد سينور تارتاليا أن يكون متسقًا، فعليه أن يرد على الملاحظة التي تجعلنا، على حد تعبيره، سرقنا اختراعه واستخدمناه لحل المشكلات المقترحة، وحصلنا على الحل الخاطئ. نحن - أستاذي وأنا - لا نعتبر أن اختراع Signor Tartaglia ليس له أهمية كبيرة. هذا الاختراع رائع علاوة على ذلك، بالاعتماد عليها إلى حد كبير، وجدت طريقة لحل معادلة من الدرجة الرابعة، وفي أرسماجنا يتحدث أستاذي عن هذا. ماذا يريد منا سينور تارتاليا؟ ما الذي يحاول تحقيقه من خلال الخلاف؟

"أيها السادة، أيها السادة،" صاح تارتاليا، "أطلب منكم أن تستمعوا إلي!" ولا أنكر أن خصمي الشاب قوي جداً في المنطق والبلاغة. لكن هذا لا يمكن أن يحل محل برهان رياضي حقيقي. المشاكل التي أعطيتها لكاردانو وفيراري تم حلها بشكل غير صحيح، لكنني سأثبت ذلك أيضًا. وبالفعل لنأخذ على سبيل المثال معادلة من بين تلك التي تم حلها. من المعروف...

نشأ ضجيج لا يمكن تصوره في الكنيسة، واستوعب تماما نهاية الجملة التي بدأها عالم الرياضيات البائس. ولم يسمح له بالاستمرار. وطالبه الجمهور بالصمت وأن يأخذ فيراري دوره. رأى تارتاجليا أن استمرار الجدال كان عديم الفائدة تمامًا، فنزل على عجل من المنبر وخرج عبر الشرفة الشمالية إلى الساحة. استقبل الجمهور بشدة "الفائز" في النزاع، لويجي فيراري.

وهكذا انتهى هذا الخلاف الذي لا يزال يسبب المزيد والمزيد من النزاعات الجديدة. من يملك فعلا طريقة حل معادلة الدرجة الثالثة؟ نحن نتحدث الآن - نيكولو تارتاجلي. لقد اكتشف ذلك، وخدعه كاردانو ليقوم بالاكتشاف. وإذا كنا الآن نسمي الصيغة التي تمثل جذور معادلة الدرجة الثالثة من خلال معاملاتها صيغة كاردانو، فهذا ظلم تاريخي. ومع ذلك، هل هذا غير عادل؟ كيف تحسب درجة مشاركة كل عالم رياضيات في الاكتشاف؟ ربما بمرور الوقت سيتمكن شخص ما من الإجابة على هذا السؤال بدقة تامة، أو ربما سيبقى لغزا...

1. صيغة كاردانو

باستخدام اللغة الرياضية الحديثة والرمزية الحديثة، يمكن العثور على اشتقاق صيغة كاردانو باستخدام الاعتبارات الأولية للغاية التالية:

لنحصل على معادلة عامة من الدرجة الثالثة:

س 3 + فأس 2 + bx + ج = 0,

(1)

أينأ، ب، ج – أرقام حقيقية تعسفية.

دعونا نعوض بالمتغير في المعادلة (1)X إلى متغير جديد ذوفقا للصيغة:

س 3 +الفأس 2 +bx+c = (y ) 3 + أ(ي ) 2 + ب(ص ) + ج = ص 3 3y 2 + 3 ص+ أ(ي 2 2y+ بواسطة = ص 3 ذ 3 + (ب

ثم المعادلة (1) سوف تأخذ الشكلذ 3 + ( ب

إذا قدمنا ​​التدوينص = ب, س = ,

ثم المعادلة سوف تأخذ الشكلذ 3 + السنة التحضيرية + س = 0.

هذه هي صيغة كاردانو الشهيرة.

جذور المعادلة التكعيبيةذ 3 + السنة التحضيرية + س = 0 تعتمد على التمييز

د=

لود> 0 إذنكثيرة الحدود المكعبة لها ثلاثة جذور حقيقية مختلفة.

لود< 0, то كثير الحدود المكعب له جذر حقيقي واحد وجذران معقدان (وهما مترافقان معقدان).

لود = 0, له جذر متعدد (إما جذر واحد للتعدد 2 وجذر واحد للتعدد 1، وكلاهما حقيقي؛ أو جذر حقيقي واحد للتعدد 3).

2.4. أمثلة على الطرق العالمية لحل المعادلات التكعيبية

دعونا نحاول تطبيق صيغة كاردان لحل معادلات محددة.

مثال 1: س 3 +15 س+124 = 0

هناص = 15; س = 124.

إجابة:X

صيغة كاردانو

موستوفوي

أوديسا

قدمت النزاعات في العصور الوسطى دائمًا مشهدًا مثيرًا للاهتمام، حيث اجتذبت سكان المدن العاطلين، صغارًا وكبارًا. وكانت موضوعات المناقشات متنوعة ولكنها دائما علمية. وفي الوقت نفسه، كان يُفهم أن العلم هو ما تم تضمينه في قائمة ما يسمى بالفنون الليبرالية السبعة، والتي كانت بالطبع علم اللاهوت. وكانت الخلافات اللاهوتية هي الأكثر شيوعا. لقد تجادلوا حول كل شيء. على سبيل المثال، حول ما إذا كان يجب ربط الفأر بالروح القدس إذا أكل القربان، وما إذا كان من الممكن أن تتنبأ كوماي سيبيل بميلاد يسوع المسيح، ولماذا لا يتم تطويب إخوة وأخوات المخلص، وما إلى ذلك.

حول النزاع الذي كان من المفترض أن يحدث بين عالم الرياضيات الشهير والطبيب الذي لا يقل شهرة، تم إجراء التخمينات الأكثر عمومية فقط، حيث لم يكن أحد يعرف شيئًا حقًا. قالوا إن أحدهما خدع الآخر (لا يعرف من بالضبط ولمن). تقريبا كل أولئك الذين تجمعوا في الساحة كانت لديهم أفكار أكثر غموضا حول الرياضيات، لكن الجميع كانوا يتطلعون إلى بداية المناقشة. لقد كان الأمر مثيرًا للاهتمام دائمًا، حيث يمكنك الضحك على الخاسر، بغض النظر عما إذا كان على حق أم على خطأ.

عندما دقت ساعة قاعة المدينة الخامسة، انفتحت البوابات على مصراعيها واندفع الحشد داخل الكاتدرائية. على جانبي الخط الأوسط الذي يربط المدخل بالمذبح، تم نصب منبرين مرتفعين بالقرب من العمودين الجانبيين، مخصصين للمناظرين. وأصدر الحاضرون ضجيجاً عالياً، غير منتبهين لوجودهم في الكنيسة. أخيرًا، أمام الشبكة الحديدية التي تفصل الأيقونسطاس عن بقية الصحن المركزي، ظهر منادي بلدة يرتدي عباءة سوداء وأرجوانية وأعلن: “مواطنو مدينة ميلانو اللامعون! الآن سيتحدث إليك عالم الرياضيات الشهير نيكولو تارتاليا من برينيا. كان من المفترض أن يكون خصمه عالم الرياضيات والطبيب جيرونيمو كاردانو. ويتهم نيكولو تارتاليا كاردانو بأنه آخر من نشر في كتابه “Ars magna” طريقة لحل معادلة من الدرجة الثالثة تابعة له تارتاليا. ومع ذلك، لم يتمكن كاردانو نفسه من الحضور إلى المناقشة ولذلك أرسل تلميذه لويج فيراري. وبذلك يعلن فتح باب المناقشة، ودعوة المشاركين فيها إلى الأقسام». صعد رجل أخرق ذو أنف معقوف ولحية مجعدة على المنبر على يسار المدخل، وصعد شاب في العشرينات من عمره ذو وجه وسيم واثق من نفسه إلى المنبر المقابل. كان سلوكه بأكمله يعكس الثقة الكاملة في أن كل إيماءة وكل كلمة سيستقبلها بسعادة.

بدأت تارتاليا.

السادة الأعزاء! كما تعلم أنه منذ 13 عامًا تمكنت من إيجاد طريقة لحل معادلة من الدرجة الثالثة، وبعد ذلك، باستخدام هذه الطريقة، فزت بالنزاع مع فيوري. جذبت طريقتي انتباه مواطنك كاردانو، واستخدم كل فنه الماكر ليكتشف السر مني. ولم يتوقف عن الخداع أو التزوير الصريح. كما تعلمون أنه منذ 3 سنوات، تم نشر كتاب كاردانو حول قواعد الجبر في نورمبرغ، حيث أصبحت طريقتي، المسروقة بلا خجل، متاحة للجميع. لقد تحديت كاردانو وطالبه في المنافسة. لقد اقترحت حل 31 مسألة، وقد اقترح عليّ خصومي نفس العدد. تم تحديد موعد نهائي لحل المشكلات - 15 يومًا. في 7 أيام تمكنت من حل معظم المشاكل التي جمعتها كاردانو وفيراري. لقد طبعتها وأرسلتها بالبريد إلى ميلانو. ومع ذلك، اضطررت إلى الانتظار لمدة خمسة أشهر كاملة حتى أتلقى الإجابات على مهامي. لقد تم حلها بشكل غير صحيح. وقد أعطاني هذا سببًا لتحديهما في نقاش عام.

صمت تارتاليا. قال الشاب وهو ينظر إلى تارتاليا البائسة:

السادة الأعزاء! سمح خصمي الجدير لنفسه، في الكلمات الأولى من خطابه، بالتعبير عن الكثير من الافتراءات ضدي وضد أستاذي؛ وكانت حجته لا أساس لها من الصحة لدرجة أنني لن أواجه أي صعوبة في دحض الحجة الأولى وإظهار تناقضها. الثاني. بادئ ذي بدء، ما نوع الخداع الذي يمكن أن نتحدث عنه إذا شارك نيكولو تارتاليا طوعًا طريقته مع كل منا؟ وهكذا يكتب جيرونيمو كاردانو عن دور خصمي في اكتشاف القاعدة الجبرية. يقول إنه ليس هو، كاردانو، "لكن صديقي تارتاجليا الذي يتشرف باكتشاف شيء جميل جدًا ومذهل، يفوق الذكاء البشري وكل مواهب الروح الإنسانية. إن هذا الاكتشاف هو حقًا هدية سماوية، ودليل رائع على قوة العقل الذي استوعبها، بحيث لا يمكن اعتبار أي شيء بعيد المنال بالنسبة له.

اتهمني خصمي وأستاذي بإعطاء حل خاطئ لمشاكله. ولكن كيف يمكن أن يكون جذر المعادلة غير صحيح إذا وصلنا إلى الهوية عن طريق استبداله في المعادلة وتنفيذ جميع الإجراءات المنصوص عليها في هذه المعادلة؟ وإذا أراد السينور تارتاليا أن يكون متسقًا، فكان ينبغي عليه أن يرد على الملاحظة التي تجعلنا، الذين سرقنا اختراعه، ولكن على حد تعبيره، واستخدمناه لحل المشكلات المقترحة، حصلنا على الحل الخاطئ. نحن - أستاذي وأنا - لا نعتبر أن اختراع Signor Tartaglia ليس له أهمية كبيرة. هذا الاختراع رائع علاوة على ذلك، بالاعتماد عليها إلى حد كبير، وجدت طريقة لحل معادلة من الدرجة الرابعة، وفي Ars Magna يتحدث أستاذي عن هذا. ماذا يريد منا سينور تارتاليا؟ ما الذي يحاول تحقيقه من خلال النزاع؟

"أيها السادة، أيها السادة،" صاح تارتاليا، "أطلب منكم أن تستمعوا إلي!" ولا أنكر أن خصمي الشاب قوي جداً في المنطق والبلاغة. لكن هذا لا يمكن أن يحل محل برهان رياضي حقيقي. المشاكل التي أعطيتها لكاردانو وفيراري لم يتم حلها بشكل صحيح، لكنني سأثبت ذلك أيضًا. وبالفعل لنأخذ على سبيل المثال معادلة من بين تلك التي تم حلها. من المعروف...

نشأ ضجيج لا يمكن تصوره في الكنيسة، واستوعب تماما نهاية الجملة التي بدأها عالم الرياضيات البائس. ولم يسمح له بالاستمرار. وطالبه الجمهور بالصمت وأن يأخذ فيراري دوره. رأى تارتاجليا أن استمرار الجدال كان عديم الفائدة على الإطلاق، فنزل على عجل من المنبر وخرج عبر الشرفة الشمالية إلى الساحة. استقبل الجمهور بشدة "الفائز" في النزاع، لويجي فيراري.

...وهكذا انتهى هذا الخلاف الذي ما زال يثير المزيد والمزيد من الخلافات الجديدة. من يملك فعلا طريقة حل معادلة الدرجة الثالثة؟ نحن نتحدث الآن - نيكولو تارتاجلي. لقد اكتشف ذلك، وخدعه كاردانو ليقوم بالاكتشاف. وإذا كنا الآن نسمي الصيغة التي تمثل جذور معادلة الدرجة الثالثة من خلال معاملاتها صيغة كاردانو، فهذا ظلم تاريخي. ومع ذلك، هل هذا غير عادل؟ كيف تحسب درجة مشاركة كل عالم رياضيات في الاكتشاف؟ ربما بمرور الوقت سيتمكن شخص ما من الإجابة على هذا السؤال بدقة تامة، أو ربما سيبقى لغزا...

صيغة كاردانو

باستخدام اللغة الرياضية الحديثة والرمزية الحديثة، يمكن العثور على اشتقاق صيغة كاردانو باستخدام الاعتبارات الأولية للغاية التالية:

لنحصل على معادلة عامة من الدرجة الثالثة:

الفأس 3 +3bx 2 +3cx+d=0 (1)

إذا وضعت

, ثم نعطي المعادلة (1) إلى الذهن

(2) , .

دعونا نقدم مجهولا جديدا شباستخدام المساواة

.

من خلال إدخال هذا التعبير في (2) ، نحن نحصل

(3) ,

لذلك

إذا تم ضرب بسط ومقام الحد الثاني في التعبير

وتأخذ في الاعتبار التعبير الناتج عن شيتبين أنه متناظر بالنسبة للعلامتين "+" و"-"، ثم نحصل في النهاية على .

(حاصل ضرب الجذور التكعيبية في المساواة الأخيرة يجب أن يكون متساويًا ص).

هذه هي صيغة كاردانو الشهيرة. إذا ذهبت من ذارجع الى س,ثم نحصل على صيغة تحدد جذر المعادلة العامة من الدرجة الثالثة.

الشاب الذي تعامل مع تارتاليا بقسوة، فهم الرياضيات بنفس السهولة التي فهم بها حقوق السرية المتواضعة. يجد فيراري طريقة لحل معادلة من الدرجة الرابعة. وقد أدرج كاردانو هذه الطريقة في كتابه. ما هي هذه الطريقة؟

(1)

– معادلة عامة من الدرجة الرابعة (2)

أين ص، ف، ص- بعض المعاملات اعتمادا على أ، ب، ج، د، ه. ومن السهل أن نرى أنه يمكن كتابة هذه المعادلة على النحو التالي:

(3)

في الواقع، يكفي فتح الأقواس، ثم تحتوي على جميع المصطلحات رويلغي ونعود للمعادلة (2) .

دعونا نختار المعلمة ربحيث يكون الجانب الأيمن من المعادلة (3) كان مربعًا مثاليًا بالنسبة إلى ذ. وكما هو معروف فإن الشرط الضروري والكافي لذلك هو زوال مميز معاملات الثلاثي (بالنسبة إلى ذ) واقفاً على اليمين.

ينازع

صيغة كاردانو

قدمت النزاعات في العصور الوسطى دائمًا مشهدًا مثيرًا للاهتمام، حيث اجتذبت سكان المدن العاطلين، صغارًا وكبارًا. وكانت موضوعات المناقشات متنوعة ولكنها دائما علمية. وفي الوقت نفسه، كان يُفهم أن العلم هو ما تم تضمينه في قائمة ما يسمى بالفنون الليبرالية السبعة، والتي كانت بالطبع علم اللاهوت. وكانت الخلافات اللاهوتية هي الأكثر شيوعا. لقد تجادلوا حول كل شيء. على سبيل المثال، حول ما إذا كان يجب ربط الفأر بالروح القدس إذا أكل القربان، وما إذا كان من الممكن أن تتنبأ كوماي سيبيل بميلاد يسوع المسيح، ولماذا لا يتم تطويب إخوة وأخوات المخلص، وما إلى ذلك.
حول النزاع الذي كان من المفترض أن يحدث بين عالم الرياضيات الشهير والطبيب الذي لا يقل شهرة، تم إجراء التخمينات الأكثر عمومية فقط، حيث لم يكن أحد يعرف شيئًا حقًا. قالوا إن أحدهما خدع الآخر (لا يعرف من بالضبط ولمن). تقريبا كل أولئك الذين تجمعوا في الساحة كانت لديهم أفكار أكثر غموضا حول الرياضيات، لكن الجميع كانوا يتطلعون إلى بداية المناقشة. لقد كان الأمر مثيرًا للاهتمام دائمًا، حيث يمكنك الضحك على الخاسر، بغض النظر عما إذا كان على حق أم على خطأ.
عندما دقت ساعة قاعة المدينة الخامسة، انفتحت البوابات على مصراعيها واندفع الحشد داخل الكاتدرائية. على جانبي الخط الأوسط الذي يربط المدخل بالمذبح، تم نصب منبرين مرتفعين بالقرب من العمودين الجانبيين، مخصصين للمناظرين. وأصدر الحاضرون ضجيجاً عالياً، غير منتبهين لوجودهم في الكنيسة. أخيرًا، أمام الشبكة الحديدية التي تفصل الأيقونسطاس عن بقية الصحن المركزي، ظهر منادي بلدة يرتدي عباءة سوداء وأرجوانية وأعلن: “مواطنو مدينة ميلانو اللامعون! الآن سيتحدث إليك عالم الرياضيات الشهير نيكولو تارتاليا من برينيا. كان من المفترض أن يكون خصمه عالم الرياضيات والطبيب جيرونيمو كاردانو. ويتهم نيكولو تارتاغليا كاردانو بأنه آخر من نشر في كتابه “الآرس ماجنا” طريقة لحل معادلة من الدرجة الثالثة كانت تخصه تارتاغليا. ومع ذلك، لم يتمكن كاردانو نفسه من الحضور إلى المناقشة ولذلك أرسل تلميذه لويج فيراري. وبذلك يعلن فتح باب المناقشة، ودعوة المشاركين فيها إلى الأقسام». صعد رجل أخرق ذو أنف معقوف ولحية مجعدة على المنبر على يسار المدخل، وصعد شاب في العشرينات من عمره ذو وجه وسيم واثق من نفسه إلى المنبر المقابل. كان سلوكه بأكمله يعكس الثقة الكاملة في أن كل إيماءة وكل كلمة سيستقبلها بسعادة.
بدأت تارتاليا.

• السادة الأعزاء! كما تعلم أنه منذ 13 عامًا تمكنت من إيجاد طريقة لحل معادلة من الدرجة الثالثة، وبعد ذلك، باستخدام هذه الطريقة، فزت بالنزاع مع فيوري. جذبت طريقتي انتباه مواطنك كاردانو، واستخدم كل فنه الماكر ليكتشف السر مني. ولم يتوقف عن الخداع أو التزوير الصريح. كما تعلمون أنه منذ 3 سنوات، تم نشر كتاب كاردانو حول قواعد الجبر في نورمبرغ، حيث أصبحت طريقتي، المسروقة بلا خجل، متاحة للجميع. لقد تحديت كاردانو وطالبه في المنافسة. لقد اقترحت حل 31 مسألة، وقد اقترح عليّ خصومي نفس العدد. تم تحديد موعد نهائي لحل المشكلات - 15 يومًا. في 7 أيام تمكنت من حل معظم المشاكل التي جمعتها كاردانو وفيراري. لقد طبعتها وأرسلتها بالبريد إلى ميلانو. ومع ذلك، اضطررت إلى الانتظار لمدة خمسة أشهر كاملة حتى أتلقى الإجابات على مهامي. لقد تم حلها بشكل غير صحيح. وقد أعطاني هذا سببًا لتحديهما في نقاش عام.

صمت تارتاليا. قال الشاب وهو ينظر إلى تارتاليا البائسة:

• السادة الأعزاء! سمح خصمي الجدير لنفسه، في الكلمات الأولى من خطابه، بالتعبير عن الكثير من الافتراءات ضدي وضد أستاذي؛ وكانت حجته لا أساس لها من الصحة لدرجة أنني لن أواجه أي صعوبة في دحض الحجة الأولى وإظهار تناقضها. الثاني. بادئ ذي بدء، ما نوع الخداع الذي يمكن أن نتحدث عنه إذا شارك نيكولو تارتاليا طوعًا طريقته مع كل منا؟ وهكذا يكتب جيرونيمو كاردانو عن دور خصمي في اكتشاف القاعدة الجبرية. يقول إنه ليس هو، كاردانو، "لكن صديقي تارتاجليا الذي يتشرف باكتشاف شيء جميل جدًا ومذهل، يفوق الذكاء البشري وكل مواهب الروح الإنسانية. إن هذا الاكتشاف هو حقًا هدية سماوية، ودليل رائع على قوة العقل الذي استوعبها، بحيث لا يمكن اعتبار أي شيء بعيد المنال به.
• اتهمني خصمي وأستاذي بإعطاء حل خاطئ لمشاكله. ولكن كيف يمكن أن يكون جذر المعادلة غير صحيح إذا وصلنا إلى الهوية عن طريق استبداله في المعادلة وتنفيذ جميع الإجراءات المنصوص عليها في هذه المعادلة؟ وإذا أراد السينور تارتاجليا أن يكون متسقًا، فكان ينبغي عليه أن يرد على الملاحظة التي تجعلنا، الذين سرقنا اختراعه، ولكن على حد تعبيره، واستخدمناه لحل المشكلات المقترحة، حصلنا على الحل الخاطئ. نحن - أستاذي وأنا - لا نعتبر أن اختراع Signor Tartaglia ليس له أهمية كبيرة. هذا الاختراع رائع علاوة على ذلك، بالاعتماد عليها إلى حد كبير، وجدت طريقة لحل معادلة من الدرجة الرابعة، وفي Ars Magna يتحدث أستاذي عن هذا. ماذا يريد منا سينور تارتاليا؟ ما الذي يحاول تحقيقه من خلال الخلاف؟
• "أيها السادة، أيها السادة،" صاح تارتاليا، "أطلب منكم أن تستمعوا إلي!" ولا أنكر أن خصمي الشاب قوي جداً في المنطق والبلاغة. لكن هذا لا يمكن أن يحل محل برهان رياضي حقيقي. المشاكل التي أعطيتها لكاردانو وفيراري لم يتم حلها بشكل صحيح، لكنني سأثبت ذلك أيضًا. وبالفعل لنأخذ على سبيل المثال معادلة من بين تلك التي تم حلها. من المعروف...

نشأ ضجيج لا يمكن تصوره في الكنيسة، واستوعب تماما نهاية الجملة التي بدأها عالم الرياضيات البائس. ولم يسمح له بالاستمرار. وطالبه الجمهور بالصمت وأن يأخذ فيراري دوره. رأى تارتاجليا أن استمرار الجدال كان عديم الفائدة تمامًا، فنزل على عجل من المنبر وخرج عبر الشرفة الشمالية إلى الساحة. استقبل الجمهور بشدة "الفائز" في النزاع، لويجي فيراري.
وهكذا انتهى هذا الخلاف الذي لا يزال يسبب المزيد والمزيد من النزاعات الجديدة. من يملك فعلا طريقة حل معادلة الدرجة الثالثة؟ نحن نتحدث الآن - نيكولو تارتاجلي. لقد اكتشف ذلك، وخدعه كاردانو ليقوم بالاكتشاف. وإذا كنا الآن نسمي الصيغة التي تمثل جذور معادلة الدرجة الثالثة من خلال معاملاتها صيغة كاردانو، فهذا ظلم تاريخي. ومع ذلك، هل هذا غير عادل؟ كيف تحسب درجة مشاركة كل عالم رياضيات في الاكتشاف؟ ربما بمرور الوقت سيتمكن شخص ما من الإجابة على هذا السؤال بدقة تامة، أو ربما سيبقى لغزا...

صيغة كاردانو

باستخدام اللغة الرياضية الحديثة والرمزية الحديثة، يمكن العثور على اشتقاق صيغة كاردانو باستخدام الاعتبارات الأولية للغاية التالية:
لنحصل على معادلة عامة من الدرجة الثالثة:

إذا وضعنا ، فإننا نختصر المعادلة (1) إلى الصورة

, (2)

أين ، .
دعونا نقدم مجهول جديد باستخدام المساواة .
وبإدخال هذا التعبير في (2) نحصل على

. (3)

من هنا
,

لذلك،
.

إذا تم ضرب بسط ومقام الحد الثاني في التعبير ونأخذ في الاعتبار أن التعبير الناتج لـ يتبين أنه متماثل بالنسبة للعلامتين "" و""، ثم نحصل في النهاية على

.

(حاصل ضرب الجذور التكعيبية في المساواة الأخيرة يجب أن يكون متساويا).
هذه هي صيغة كاردانو الشهيرة. إذا انتقلنا من مرة أخرى إلى ، فسنحصل على صيغة تحدد جذر المعادلة العامة من الدرجة الثالثة.
الشاب الذي تعامل مع تارتاليا بقسوة، فهم الرياضيات بنفس السهولة التي فهم بها حقوق السرية المتواضعة. يجد فيراري طريقة لحل معادلة من الدرجة الرابعة. وقد أدرج كاردانو هذه الطريقة في كتابه. ما هي هذه الطريقة؟
يترك
- (1)

معادلة عامة من الدرجة الرابعة
إذا قمنا بتعيين، فيمكن اختزال المعادلة (1) إلى النموذج

, (2)

حيث ، ، بعض المعاملات تعتمد على ، ، ، ، . ومن السهل أن نرى أنه يمكن كتابة هذه المعادلة على النحو التالي:

. (3)

وفي الحقيقة يكفي فتح القوسين، ثم تلغي كل الحدود التي تحتوي على بعضها البعض، ونعود إلى المعادلة (2).
دعونا نختار معلمة بحيث يكون الجانب الأيمن من المعادلة (3) مربعًا كاملاً بالنسبة إلى . وكما هو معروف فإن الشرط الضروري والكافي لذلك هو زوال مميز معاملات الثلاثية (بالنسبة لـ) على اليمين:
. (4)

لقد حصلنا على معادلة تكعيبية كاملة، ويمكننا الآن حلها. لنجد أيًا من جذوره وندخله في المعادلة (3)، والآن سيأخذ الصورة

.

من هنا
.

هذه معادلة تربيعية. وبحلها يمكن إيجاد جذر المعادلة (2)، وبالتالي (1).
قبل 4 أشهر من وفاته، أنهى كاردانو سيرته الذاتية، التي كتبها بشكل مكثف طوال العام الماضي والتي كان من المفترض أن تلخص حياته الصعبة. شعر أن الموت يقترب. وبحسب بعض التقارير، ربط برجه الخاص وفاته بعيد ميلاده الخامس والسبعين. توفي في 21 سبتمبر 1576، قبل يومين من الذكرى السنوية. هناك نسخة أنه انتحر تحسبا لموت وشيك أو حتى لتأكيد برجه. على أية حال، أخذ المنجم كاردانو برجك على محمل الجد.

ملاحظة حول صيغة كاردانو

دعونا نحلل صيغة حل المعادلة في المنطقة الحقيقية. لذا،
.

المعادلة التكعيبيةتسمى معادلة النموذج

• الفأس 3 + ب س 2 + س س + د = 0، (1)
• حيث a، b، c، d معاملات ثابتة، وx متغير.

سننظر في الحالة التي تكون فيها المعاملات أرقامًا حقيقية.

جذور المعادلة التكعيبية. إيجاد جذور (حل) المعادلة التكعيبية.

الرقم x يسمى جذر المعادلة التكعيبية(1) إذا تحولت المعادلة (1) عند استبدالها إلى مساواة حقيقية.

تحتوي المعادلة التكعيبية على ثلاثة جذور على الأكثر (في الحقل المعقد هناك دائمًا ثلاثة جذور، مع الأخذ في الاعتبار التعددية). ودائما لديه على الأقل 1 (حقيقي)جذر. يمكن تحديد جميع الحالات المحتملة لتكوين الجذر بسهولة باستخدام العلامة تمييز المعادلة التكعيبية ، أي.:

Δ= -4 ب 3 د + ب 2 ج 2 - 4تيار متردد 3 + 18ا ب ت ث - 27أ 2 د 2 (نعم، هذا هو تمييز المعادلة التكعيبية)

لذا، فإن الحالات الثلاث التالية ممكنة فقط:

• Δ > 0 - إذن للمعادلة 3 جذور مختلفة. (للمتقدمين - ثلاثة جذور حقيقية مختلفة)
• Δ < 0 - уравнение имеет лишь 1 корень. (1 حقيقي وزوج من الجذور المترافقة المعقدة)
• Δ = 0 - يتطابق جذران للمعادلة على الأقل. أولئك. نحن نتعامل إما مع معادلة ذات جذرين متطابقين، وواحد مختلف عنهما، أو معادلة ذات 3 جذور متطابقة. (على أية حال، جميع الجذور حقيقية. والمعادلة لها 3 جذور متطابقة إذا وفقط إذا كانت ومشتقتها الثانية مساوية للصفر)

صيغة كاردانو لحل المعادلات التكعيبية (إيجاد الجذور).

هذه صيغة لإيجاد جذور الصورة الأساسية للمعادلة التكعيبية. (فوق مجال الأعداد المركبة).

الشكل الكنسيالمعادلة التكعيبية هي معادلة النموذج

ذ 3 + السنة التحضيرية + س = 0 (2)

يمكن اختزال أي معادلة تكعيبية من الشكل (1) إلى هذا الشكل باستخدام التعويض التالي:

لذلك، دعونا نبدأ في حساب الجذور. لنجد الكميات التالية:

مميز المعادلة (2) في هذه الحالة يساوي

سيكون لمميز المعادلة الأصلية (1) نفس إشارة المميز أعلاه. يتم التعبير عن جذور المعادلة (2) على النحو التالي:

وبناء على ذلك، إذا كانت Q > 0، فإن المعادلتين (2) و (1) سيكون لهما 1 فقط (حقيقي)الجذر ص 1 . لنعوض بها في (3) ونجد x للمعادلة (1). (إذا كنت مهتمًا أيضًا بالجذور الوهمية، فاحسب ببساطة y 2 و y 3 واستبدلهما في (3).

إذا س<0, то уравнение (2), как и уравнение (1) имеет три различных вещественных корня, но для их вычисления нужно уметь извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Если вы это умеете, то проделайте расчеты, получите три корня y 1 , y 2 , y 3 и подставьте их в (3).

إذا كانت Q = 0، فإن جميع جذور المعادلتين (1) و (2) حقيقية، ويتطابق جذران على الأقل لكل معادلة. في هذه الحالة لدينا

• α = β، و
• ص 1 = 2α،
• ص 2 = ص 3 = - α.

وبالمثل، نعوض في (3) ونحصل على الإجابة.

صيغة فييتا المثلثية لحل المعادلات التكعيبية (إيجاد الجذور).

هذه الصيغة تجد الحلول معادلة مكعبة مخفضة، أي معادلات النموذج

س 3 + الفأس 2 + ب س + ج = 0 (4)

من الواضح أن أي معادلة من النوع (1) يمكن اختزالها إلى الصيغة (4) ببساطة عن طريق قسمتها على المعامل أ.

لذلك، الخوارزمية لتطبيق هذه الصيغة:

1. احسب

2. احسب

3. أ) إذا كانت S > 0، فاحسب

φ=(arccos(R/Q 3/2))/3

والمعادلة لدينا لها 3 جذور (حقيقي):

ب) إذا س<0, то заменим тригонометрические функции гиперболическими.

نحن نحسب

φ=(القوس(|R|/|Q| 3/2)/3

ثم الجذر الوحيد (حقيقي): x 1 = -2sgn(R)*|Q| 1/2 *الفصل(φ) - أ/3

بالنسبة لأولئك المهتمين أيضًا بالجذور الخيالية:

• x 2 = sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) - a/3 +(3|Q|) 1/2 sh(φ)i
• × 3 = sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) - a/3 -(3|Q|) 1/2 sh(φ)i

أين:

• ch(x)=(e x +e -x)/2
• القوس(x) = ln(x + (x 2 -1) 1/2)
• ش(x)=(e x -e -x)/2
• sgn(x) - علامة x

ج) إذا كانت S=0، فإن للمعادلة أقل من ثلاثة حلول مختلفة:

دعونا ننظر مرة أخرى إلى صيغة مجموع المكعب، ولكن نكتبها بشكل مختلف:

قارن هذا الإدخال بالمعادلة (13) وحاول إنشاء علاقة بينهما. حتى مع التلميح، الأمر ليس سهلاً. وعلينا أن نشيد بعلماء رياضيات عصر النهضة الذين حلوا المعادلة التكعيبية دون معرفة الرموز الأبجدية. لنعوض في صيغتنا:

أصبح من الواضح الآن: من أجل العثور على جذر المعادلة (13)، يكفي حل نظام المعادلات

أو

واتخاذ المبلغ و . من خلال الاستبدال، يتم تقليل هذا النظام إلى شكل بسيط للغاية:

وبعد ذلك يمكنك التصرف بطرق مختلفة، ولكن كل "الطرق" ستؤدي إلى نفس المعادلة التربيعية. على سبيل المثال، وفقًا لنظرية فييتا، فإن مجموع جذور المعادلة التربيعية المخفضة يساوي المعامل بعلامة الطرح، والحاصل يساوي الحد الحر. ويترتب على ذلك، وهي جذور المعادلة

دعونا نكتب هذه الجذور:

المتغيرات و تساوي الجذور التكعيبية لـ و، والحل المطلوب للمعادلة التكعيبية (13) هو مجموع هذه الجذور:

.

تُعرف هذه الصيغة باسم صيغة كاردانو.

الحل المثلثي

عن طريق الاستبدال يتم تقليله إلى نموذج "غير مكتمل".

, , . (14)

جذور المعادلة التكعيبية "غير الكاملة" (14) متساوية

, ,

, ,

.

لتكن المعادلة التكعيبية "غير المكتملة" (14) صالحة.

أ) إذا (الحالة "غير القابلة للاختزال")، إذن

,

,

.

(ب) إذا، إذن

, .

(ج) إذا، إذن

, ,

, .

وفي جميع الأحوال يتم أخذ القيمة الفعلية للجذر التكعيبي.

المعادلة التربيعية

المعادلة الجبرية من الدرجة الرابعة.

حيث a، b، c هي بعض الأعداد الحقيقية، تسمى معادلة تربيعية. عن طريق الاستبدال يتم تقليل المعادلة إلى معادلة تربيعية متبوعة بحل معادلتين ذات الحدين و (وهي جذور المعادلة التربيعية المقابلة).

إذا و، فإن المعادلة التربيعية لها أربعة جذور حقيقية:

لو ، )، فإن المعادلة التربيعية لها جذرين حقيقيين وجذور مترافقة وهمية:

.

إذا و، فإن المعادلة التربيعية لها أربعة جذور مترافقة وهمية بحتة:

, .

معادلات الدرجة الرابعة

تم العثور على طريقة لحل معادلات الدرجة الرابعة في القرن السادس عشر. لودوفيكو فيراري، تلميذ جيرولامو كاردانو. هذا ما يطلق عليه - الطريقة. فيراري.

كما في حل المعادلات التكعيبية والتربيعية في معادلة من الدرجة الرابعة

يمكنك التخلص من هذا المصطلح عن طريق الاستبدال. ولذلك نفترض أن معامل مكعب المجهول هو صفر:

كانت فكرة فيراري هي تمثيل المعادلة بالشكل حيث الطرف الأيسر هو مربع التعبير والجانب الأيمن هو مربع المعادلة الخطية التي تعتمد معاملاتها على . بعد ذلك يبقى حل معادلتين من الدرجة الثانية: و . وبطبيعة الحال، مثل هذا التمثيل ممكن فقط مع اختيار خاص للمعلمة. ومن الملائم أخذها بالشكل، ثم ستتم إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي:

الجانب الأيمن من هذه المعادلة هو ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية . ويكون مربعاً كاملاً عندما يكون مميزه صفراً، أي.

، أو

تسمى هذه المعادلة مذيب (أي "مسموح"). إنه مكعب نسبيًا، وتسمح لنا صيغة كاردانو بإيجاد بعض جذوره. عندما يأخذ الجانب الأيمن من المعادلة (15) الشكل

,

والمعادلة نفسها تختصر إلى معادلة تربيعية:

.

جذورها تعطي كل الحلول للمعادلة الأصلية.

على سبيل المثال، دعونا نحل المعادلة

هنا سيكون أكثر ملاءمة لاستخدام الصيغ الجاهزة، ولكن فكرة الحل ذاتها. دعونا نعيد كتابة المعادلة في النموذج

وأضف التعبير إلى كلا الجانبين بحيث يتكون مربع كامل على الجانب الأيسر:

الآن دعونا نساوي مميز الجانب الأيمن من المعادلة بالصفر:

أو بعد التبسيط

يمكن تخمين أحد جذور المعادلة الناتجة عن طريق فرز مقسومات الحد الحر: . وبعد التعويض بهذه القيمة نحصل على المعادلة

أين . جذور المعادلات التربيعية الناتجة هي و . وبطبيعة الحال، في الحالة العامة يمكن أيضا الحصول على جذور معقدة.