أنواع الوسيطات. متوسط المثلث . النظريات المتعلقة بمتوسطات المثلث. صيغ لإيجاد الوسيطات. جمع واستخدام المعلومات الشخصية

يعمل متوسط المثلث، تمامًا مثل الارتفاع، كمعلمة بيانية تحدد المثلث بأكمله، وقيمة جوانبه وزواياه. ثلاث قيم: المتوسطات والارتفاعات والمنصفات - وهذا يشبه الرمز الشريطي الموجود على المنتج، ومهمتنا هي ببساطة أن نكون قادرين على عده.

تعريف

الوسيط هو القطعة المستقيمة التي تصل بين ارتفاع الضلع المقابل ومنتصفه. المثلث له ثلاث رؤوس، مما يعني أن هناك ثلاثة متوسطات. لا تتطابق الوسائط دائمًا مع المرتفعات أو المنصفات. في أغلب الأحيان تكون هذه قطاعات منفصلة.

خصائص الوسيطات

يتطابق متوسط المثلث متساوي الساقين المرسوم على القاعدة مع الارتفاع والمنصف. في المثلث متساوي الأضلاع، تتطابق جميع المتوسطات مع المنصفات والارتفاعات.
جميع متوسطات المثلث تتقاطع عند نقطة واحدة.
الوسيط يقسم المثلث إلى مثلثين متساويين المساحة، وثلاثة متوسطات تقسم المثلث إلى 6 مثلثات متساوية المساحة.

المثلثات التي مساحاتها متساوية تسمى متساوية المساحة.

أرز. 1. ثلاثة متوسطات تشكل 6 مثلثات متساوية.

نقطة تقاطع المتوسطات تقسمها بنسبة 2:1، من الرأس.
الوسيط المرسوم على الوتر في المثلث القائم يساوي نصف الوتر.

مهام

من السهل تذكر كل هذه الخصائص، ويتم دمجها بسهولة في الممارسة العملية. لفهم الموضوع بشكل أفضل، دعونا نحل عدة مشاكل:

في المثلث القائم هناك أرجل معروفة تساوي a=3 وb=4. أوجد قيمة الوسيط m المرسوم على الوتر c.

أرز. 2. الرسم للمشكلة.

لإيجاد قيمة الوسيط، علينا إيجاد الوتر، لأن الوسيط المرسوم على الوتر يساوي نصفه. الوتر من خلال نظرية فيثاغورس: $$a^2+b^2=c^2$$

$$c=\sqrt(a^2+b^2)=\sqrt(9+16)=\sqrt(25)=5$$

دعونا نوجد قيمة الوسيط: $$m=(c\over2)=(5\over2)=2.5$$ - الرقم الناتج هو قيمة الوسيط.

المتوسطات في المثلث ليست متساوية. ولذلك، فمن الضروري أن نتصور بالضبط ما هي القيمة التي يجب العثور عليها.

قيم أضلاع المثلث معروفة: a=7; ب = 8؛ ج=9. أوجد قيمة الوسيط المخفض إلى الجانب ب.

أرز. 3. الرسم للمشكلة.

لحل هذه المشكلة، عليك استخدام إحدى الصيغ الثلاث للعثور على الوسيط على طول جوانب المثلث:

$$m^2 =(1\over2)*(أ^2+ج^2-ب^2)$$

كما ترون، الشيء الرئيسي هنا هو أن نتذكر معامل الأقواس وعلامات الجانبين. من الأسهل تذكر العلامات - حيث يتم دائمًا طرح الجانب الذي يتم فيه خفض الوسيط. في حالتنا هو ب، ولكن يمكن أن يكون أي شيء آخر.

دعنا نستبدل القيم في الصيغة ونجد القيمة المتوسطة: $$m=\sqrt((1\over2)*(a^2+c^2-b^2))$$

$$m=\sqrt((1\over2)*(49+81-64))=\sqrt(33)$$ - لنترك النتيجة كجذر.

في المثلث المتساوي الساقين، الوسيط المرسوم على القاعدة هو 8، والقاعدة نفسها هي 6. ومع الاثنين المتبقيين، يقسم هذا الوسيط المثلث إلى 6 مثلثات. أوجد مساحة كل منهم.

المتوسطات تقسم المثلث إلى ست مناطق متساوية. وهذا يعني أن مساحات المثلثات الصغيرة ستكون متساوية مع بعضها البعض. يكفي العثور على مساحة الأكبر وتقسيمها على 6.

بالنظر إلى الوسيط المرسوم على القاعدة، ففي المثلث المتساوي الساقين يكون المنصف والارتفاع. وهذا يعني أن قاعدة المثلث وارتفاعه معروفان. يمكنك العثور على المنطقة.

$$S=(1\over2)*6*8=24$$

مساحة كل مثلث من المثلثات الصغيرة: $$(24\over6)=4$$

ماذا تعلمنا؟

لقد تعلمنا ما هو الوسيط. لقد حددنا خصائص الوسيط ووجدنا حلولاً للمشكلات النموذجية. تحدثنا عن الأخطاء الأساسية وتوصلنا إلى كيفية تذكر صيغة إيجاد الوسيط من خلال جوانب المثلث بسرعة وسهولة.

اختبار حول الموضوع

تصنيف المادة

متوسط تقييم: 4.7. إجمالي التقييمات المستلمة: 75.

خصائص الحبال

1. القطر (نصف القطر) المتعامد مع الوتر يقسم هذا الوتر والقوسين المقابلين له إلى نصفين. النظرية العكسية صحيحة أيضًا: إذا كان القطر (نصف القطر) يشطر وترًا، فإنه يكون عموديًا على هذا الوتر.

2. الأقواس الموجودة بين الأوتار المتوازية متساوية.

3. إذا كان هناك وتران من الدائرة، أ.بو قرص مضغوطتتقاطع عند نقطة ما مفإن حاصل ضرب أجزاء وتر واحد يساوي حاصل ضرب أجزاء وتر آخر: صباحا ميغابايت = سم MD.

خصائص الدائرة

1. لا يجوز أن يكون للخط المستقيم نقاط مشتركة مع الدائرة؛ لديك نقطة مشتركة مع الدائرة ( الظل); هناك نقطتان مشتركتان معها ( قاطع).

2. من خلال ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط، يمكنك رسم دائرة، وواحدة فقط.

3. تقع نقطة تماس دائرتين على الخط الواصل بين مركزيهما.

نظرية الظل والقاطع

إذا تم رسم المماس والقاطع من نقطة تقع خارج الدائرة، فإن مربع طول المماس يساوي حاصل ضرب القاطع وجزءه الخارجي: MC 2 = MA ميجابايت.

نظرية القاطع

إذا تم رسم قاطعين من نقطة تقع خارج الدائرة، فإن منتج قاطع واحد وجزءه الخارجي يساوي منتج القاطع الآخر وجزءه الخارجي. MA MB = MC MD.

زوايا في دائرة

وسطالزاوية في الدائرة هي زاوية مستوية يوجد رأسها في مركزها.

تسمى الزاوية التي يقع رأسها على دائرة ويتقاطع ضلعاها مع هذه الدائرة زاوية مكتوبة.

أي نقطتين على الدائرة تقسمها إلى قسمين. ويسمى كل جزء من هذه الأجزاء قوسالدوائر. يمكن أن يكون قياس القوس هو قياس الزاوية المركزية المقابلة له.

يسمى القوس نصف دائرة،إذا كانت القطعة الواصلة بين طرفيها قطراً.

خصائص الزوايا المرتبطة بالدائرة

1. الزاوية المحيطية إما أن تساوي نصف الزاوية المركزية المقابلة لها، أو تكمل نصف هذه الزاوية إلى 180 درجة.

2. الزوايا المحيطية في دائرة واحدة والمرتكزة على نفس القوس متساوية.

3. الزاوية المحيطية المقابلة للقطر هي 90°.

5. الزاوية التي يشكلها مماس الدائرة والقاطع المرسوم على نقطة التماس تساوي نصف القوس المحصور بين ضلعيها.

الأطوال والمساحات

1. محيط جنصف القطر رتحسب بواسطة الصيغة: ج= 2 ر.

2. المنطقة سنصف قطر الدائرة رتحسب بواسطة الصيغة: س = ص 2.

3. طول القوس الدائري لنصف القطر رمع قياس الزاوية المركزية بالراديان، وتحسب بالصيغة: ل = ر .

4. المنطقة سقطاعات نصف القطر ريتم حساب الزاوية المركزية بالراديان بواسطة الصيغة: س = ص 2 .

دوائر منقوشة ومحدودة

الدائرة والمثلث

· مركز الدائرة المنقوشة هو نقطة تقاطع منصفات المثلث ونصف قطرها صتحسب بواسطة الصيغة:

ص =، أين سهي مساحة المثلث، و - نصف محيط؛

· مركز الدائرة المحددة هو نقطة تقاطع العمودين المنصفين، ويحسب نصف قطرها R بالصيغة:

ص = , ر = ;

· مركز الدائرة المحاطة بمثلث قائم الزاوية يقع في منتصف الوتر.

· تتطابق مراكز الدوائر المحصورة والمنقوشة في المثلث فقط إذا كان هذا المثلث منتظماً.

الدائرة والرباعي

· يمكن وصف الدائرة حول شكل رباعي محدب إذا وفقط إذا كان مجموع زواياه الداخلية المتقابلة يساوي 180 درجة:

180 درجة؛

لا يمكن رسم الدائرة بشكل رباعي إلا إذا كانت مجموع أضلاعها المتقابلة متساوية أ + ج = ب + د;

يمكن وصف متوازي الأضلاع بأنه دائرة إذا كان مستطيلًا فقط؛

· يمكن وصف الدائرة حول شبه المنحرف إذا وفقط إذا كان شبه المنحرف متساوي الساقين؛ يقع مركز الدائرة عند تقاطع محور تماثل شبه المنحرف مع المنصف العمودي على الجانب؛

· يمكن رسم الدائرة في متوازي الأضلاع فقط إذا كانت عبارة عن معين.

مثلثات

خصائص متوسطات المثلث

1. يقسم الوسيط المثلث إلى مثلثين متساويين في المساحة.

2. يتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة، مما يقسم كل منها بنسبة 2:1، اعتباراً من الرأس. هذه النقطة تسمى مركز الجاذبيةمثلث.

3. يتم تقسيم المثلث بأكمله حسب متوسطاته إلى ستة مثلثات متساوية.

خصائص منصفات المثلث

1. منصف الزاوية هو موضع النقاط المتساوية البعد عن جوانب هذه الزاوية.

2. منصف الزاوية الداخلية للمثلث يقسم الضلع المقابل إلى أجزاء متناسبة مع الأضلاع المجاورة: .

3. نقطة تقاطع منصفات المثلث هي مركز الدائرة المحصورة في هذا المثلث.

خصائص ارتفاعات المثلث

1. في المثلث القائم، الارتفاع المرسوم من رأس الزاوية القائمة يقسمه إلى مثلثين مشابهين للمثلث الأصلي.

2. في المثلث حاد الزوايا يقطع ارتفاعاه المثلثات المتشابهة عنه.

الوسيط هو القطعة الممتدة من رأس المثلث إلى منتصف الضلع المقابل، أي أنه يقسمها إلى نصفين عند نقطة التقاطع. النقطة التي يتقاطع عندها الوسيط مع الجانب المقابل للرأس الذي يخرج منه تسمى القاعدة. يمر كل وسيط في المثلث بنقطة واحدة تسمى نقطة التقاطع. يمكن التعبير عن صيغة طوله بعدة طرق.

صيغ للتعبير عن طول الوسيط

في كثير من الأحيان، في المسائل الهندسية، يتعين على الطلاب التعامل مع قطعة مثل متوسط المثلث. يتم التعبير عن صيغة طوله من حيث الجوانب:

حيث a وb وc هي الجوانب. علاوة على ذلك، c هو الجانب الذي يقع عليه الوسيط. هذه هي الطريقة التي تبدو بها الصيغة الأبسط. في بعض الأحيان تكون متوسطات المثلث مطلوبة لإجراء العمليات الحسابية المساعدة. هناك صيغ أخرى.

إذا تم أثناء الحساب معرفة جانبين للمثلث وزاوية معينة α تقع بينهما، فسيتم التعبير عن طول متوسط المثلث، الذي تم تخفيضه إلى الجانب الثالث، على النحو التالي.

الخصائص الأساسية

جميع المتوسطات لها نقطة تقاطع مشتركة واحدة O ويتم تقسيمها عليها بنسبة اثنين إلى واحد، إذا تم حسابها من قمة الرأس. وتسمى هذه النقطة مركز ثقل المثلث.
يقسم الوسيط المثلث إلى قسمين آخرين مساحتهما متساوية. تسمى هذه المثلثات بمساحة متساوية.
إذا قمت برسم جميع المتوسطات، فسيتم تقسيم المثلث إلى 6 أرقام متساوية، والتي ستكون أيضًا مثلثات.
إذا كانت أضلاع المثلث الثلاثة متساوية، فإن كل متوسط سيكون أيضًا ارتفاعًا ومنصفًا، أي عموديًا على الجانب الذي يرسم عليه، وينصف الزاوية التي يخرج منها.
في المثلث المتساوي الساقين، الوسيط المرسوم من الرأس المقابل للضلع الذي لا يساوي أي ضلع آخر سيكون أيضًا الارتفاع والمنصف. المتوسطات المسقطة من القمم الأخرى متساوية. وهذا أيضًا شرط ضروري وكافي لتساوي الساقين.
إذا كان المثلث هو قاعدة الهرم العادي، فإن الارتفاع الذي انخفض إلى هذه القاعدة يتم إسقاطه إلى نقطة تقاطع جميع المتوسطات.

في المثلث القائم، الوسيط المرسوم على الضلع الأطول يساوي نصف طوله.
دع O تكون نقطة تقاطع متوسطات المثلث. ستكون الصيغة أدناه صحيحة لأي نقطة M.

متوسط المثلث له خاصية أخرى. فيما يلي صيغة مربع طوله من خلال مربعات الجوانب.

خصائص الجوانب التي يرسم عليها الوسيط

إذا قمت بتوصيل أي نقطتين من نقاط تقاطع المتوسطات مع الجوانب التي تم إسقاطها عليها، فسيكون الجزء الناتج هو خط الوسط للمثلث ويكون نصف جانب المثلث الذي لا توجد به نقاط مشتركة.
تقع قواعد الارتفاعات والمتوسطات في المثلث، وكذلك نقاط منتصف القطع التي تربط رؤوس المثلث بنقطة تقاطع الارتفاعات، على نفس الدائرة.

في الختام، من المنطقي أن نقول إن أحد أهم القطع هو متوسط المثلث. ويمكن استخدام صيغته لإيجاد أطوال أضلاعه الأخرى.

متوسط المثلث- هذا هو الجزء الذي يربط قمة المثلث بمنتصف الضلع المقابل لهذا المثلث.

خصائص متوسطات المثلث

1. يقسم الوسيط المثلث إلى مثلثين متساويين في المساحة.

2. يتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة، مما يقسم كل منها بنسبة 2:1، اعتباراً من الرأس. تسمى هذه النقطة مركز ثقل المثلث (النقطه الوسطى).

3. يتم تقسيم المثلث بأكمله حسب متوسطاته إلى ستة مثلثات متساوية.

طول الوسيط المرسوم على الجانب: (إثبات عن طريق بناء متوازي الأضلاع واستخدام المساواة في متوازي الأضلاع مرتين مجموع مربعات الجوانب ومجموع مربعات الأقطار )

T1.تتقاطع المتوسطات الثلاثة للمثلث عند نقطة واحدة M، والتي تقسم كل منها بنسبة 2:1، من رؤوس المثلث. نظرا: ∆ ABC,سس 1، أأ 1، ب 1 - الوسيطات
∆اي بي سي. اثبت: و

D-vo: لتكن M نقطة تقاطع المتوسطين CC 1، AA 1 للمثلث ABC. لنضع علامة على A 2 - منتصف المقطع AM وC 2 - منتصف المقطع CM. ثم A 2 C 2 هو الخط الأوسط للمثلث مقياس الدعم الكلي.وسائل، أ2ج2|| تكييف

و أ 2 ج 2 = 0.5*AC. مع 1 أ 1 - الخط الأوسط للمثلث ABC . لذلك أ 1 مع 1 || ايه سي و أ 1 مع 1 = 0.5*تيار متردد.

رباعي الزوايا أ2ج1أ1ج2- متوازي الأضلاع، حيث أن ضلعيه المتقابلين هما A 1 مع 1 و أ2ج2متساوية ومتوازية. لذلك، أ 2 م =ماجستير 1 و ج2م=مولودية 1 . وهذا يعني أن النقاط أ2و متقسيم الوسيط أأ 2إلى ثلاثة أجزاء متساوية أي AM = 2MA 2. نفس CM = 2MC 1 . إذن، النقطة M عند تقاطع متوسطين أأ 2و سي سي 2المثلث ABC يقسم كل واحد منهم بنسبة 2:1، عد من رؤوس المثلث. لقد ثبت بطريقة مشابهة تمامًا أن نقطة تقاطع المتوسطين AA 1 وBB 1 تقسم كل منهما بنسبة 2:1، بدءًا من رؤوس المثلث.

على الوسيط AA 1، تكون هذه النقطة هي النقطة M، وبالتالي فهي نقطة موهناك نقطة تقاطع المتوسطين AA 1 و BB 1.

هكذا، ن

T2.أثبت أن القطع التي تربط النقطه الوسطى مع رؤوس المثلث تقسمها إلى ثلاثة أجزاء متساوية. نظرا: ∆ABC، - وسطها.

يثبت: إس أم بي =إس بي إم سي =اس ام سي .دليل. في،لديهم واحد مشترك. لأن قواعدهم متساوية والارتفاع المرسوم من قمة الرأس م،لديهم واحد مشترك. ثم

وبطريقة مماثلة ثبت ذلك S AMB = S AMC .هكذا، S AMB = S AMC = S CMB.ن

منصفات المثلث النظريات المتعلقة بمنصفات المثلثات. صيغ لإيجاد المنصفات

زاوية منصف- شعاع يبدأ من رأس الزاوية ويقسم الزاوية إلى زاويتين متساويتين.

منصف الزاوية هو موضع النقاط الموجودة داخل الزاوية والتي تكون متساوية البعد عن جوانب الزاوية.

ملكيات

1. نظرية المنصف: منصف الزاوية الداخلية للمثلث يقسم الضلع المقابل بنسبة مساوية لنسبة الضلعين المتجاورين

2. تتقاطع منصفات الزوايا الداخلية للمثلث عند نقطة واحدة - المركز - مركز الدائرة المدرجة في هذا المثلث.

3. إذا كان منصفان متساويان في مثلث، فإن المثلث متساوي الساقين (نظرية شتاينر ليموس).

حساب طول المنصف

ل ج - طول المنصف المرسوم على الجانب ج،

أ، ب، ج - أضلاع المثلث المقابل للرؤوس A، B، C، على التوالي،

p هو نصف محيط المثلث،

a l , b l - أطوال الأجزاء التي يقسم إليها المنصف l c الجانب c,

α، β، γ - الزوايا الداخلية للمثلث عند القمم A، B، C، على التوالي،

h c هو ارتفاع المثلث، مخفضًا إلى الجانب c.

طريقة المنطقة.

خصائص الطريقة.وكما يوحي الاسم، فإن الهدف الرئيسي لهذه الطريقة هو المساحة. بالنسبة لعدد من الأشكال، على سبيل المثال، بالنسبة للمثلث، يتم التعبير عن المنطقة بكل بساطة من خلال مجموعات مختلفة من عناصر الشكل (المثلث). ولذلك، فإن الأسلوب الفعال للغاية هو مقارنة التعبيرات المختلفة لمساحة شكل معين. وفي هذه الحالة تنشأ معادلة تحتوي على العناصر المعلومة والمرغوبة في الشكل، وبحلها نحدد المجهول. هذا هو المكان الذي تتجلى فيه السمة الرئيسية لطريقة المساحة - فهي "تصنع" مشكلة جبرية من مشكلة هندسية، وتختصر كل شيء إلى حل معادلة (وأحيانًا نظام من المعادلات).

1) طريقة المقارنة: ترتبط بعدد كبير من الصيغ S ذات الأرقام نفسها

2) طريقة العلاقة S: بناءً على مشاكل دعم التتبع:

نظرية سيفا

دع النقاط A، B، C" تقع على الخطوط BC، CA، AB للمثلث. الخطوط AA، BB، CC" تتقاطع عند نقطة واحدة إذا وفقط إذا

دليل.

دعونا نشير إلى نقطة تقاطع الأجزاء و . دعونا نخفض الخطوط المتعامدة من النقطتين C و A على الخط BB 1 حتى تتقاطع معه عند النقطتين K و L على التوالي (انظر الشكل).

وبما أن المثلثات لها جانب مشترك، فإن مساحاتها مرتبطة بالارتفاعات المرسومة على هذا الجانب، أي. آل و سي كيه:

المساواة الأخيرة صحيحة، لأن المثلثات القائمة ومتشابهة في الزاوية الحادة.

وبالمثل نحصل و

دعونا نضرب هذه المساواة الثلاث:

Q.E.D.

تعليق. يُطلق على القطعة (أو استمرار القطعة) التي تربط قمة المثلث بنقطة تقع على الجانب الآخر أو استمرارها اسم سيفيانا.

نظرية (عكس نظرية سيفا). دع النقاط A، B، C تقع على الجوانب BC، CA وAB للمثلث ABC، على التوالي. لتتحقق العلاقة

ثم تتقاطع القطع AA، BB، CC في نقطة واحدة.

نظرية مينيلوس

نظرية مينيلوس. ليتقاطع خط مع المثلث ABC، مع C 1 نقطة تقاطعه مع الضلع AB، و A 1 نقطة تقاطعه مع الضلع BC، و B 1 نقطة تقاطعه مع امتداد الضلع AC. ثم

دليل . لنرسم خطًا موازيًا للخط AB مرورًا بالنقطة C. نشير بالرمز K إلى نقطة تقاطعه مع الخط B 1 C 1 .

المثلثان AC 1 B 1 وCKB 1 متشابهان (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1، ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). لذلك،

المثلثان BC 1 A 1 وCKA 1 متشابهان أيضًا (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C، ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). وسائل،

من كل مساواة نعبر عن CK:

أين Q.E.D.

النظرية (النظرية العكسية لمينلاوس).دعونا نعطي المثلث ABC. دع النقطة C 1 تقع على الجانب AB، والنقطة A 1 على الجانب BC، والنقطة B 1 على امتداد الجانب AC، وتبقى العلاقة التالية ثابتة:

ثم تقع النقاط A 1 و B 1 و C 1 على نفس الخط.