إذا تم قسمة عدد ما على ما لا نهاية، فهل يميل حاصل القسمة إلى الصفر؟ واصلت في الداخل وحصلت على أفضل إجابة

الرد من أولينكا[مبتدئ]
الكل 0
كراب فارك
وحي
(56636)
لا. الصفر بالضبط. وبما أن المقسوم عليه يميل إلى ما لا نهاية، فإن حاصل القسمة يميل إلى الصفر. وإذا لم نقسم على عدد يميل إلى اللانهاية، بل على اللانهاية نفسها (بالمناسبة، لنكون أكثر دقة، لا يعتبر رقمًا رسميًا على الإطلاق، ولكنه يعتبر رمزًا خاصًا يكمل تسمية الأرقام) - صفر بالضبط.

الإجابة من إيوجيوس فلاديمير[المعلم]
حتى لو قسمت الصفر، حتى لو ضربته بأي رقم، فسيظل صفرًا!

الإجابة من 1 23 [المعلم]
إذا كان بعض الهراء يميل إلى الصفر، فإن ضربه بشيء محدود (رقم أو دالة محدودة) لا فائدة منه، لأن كل شيء يميل إلى الصفر.
ولكن إذا قمت بضربها في شيء ما يميل إلى اللانهاية، فقد تكون هناك خيارات.

الإجابة من كراب فارك[المعلم]
عند قسمة أي عدد على ما لا نهاية، يكون الناتج صفرًا. الصفر بالضبط، لا "السعي نحو الصفر". وبعد ذلك، بغض النظر عن الرقم الذي تضربه، فهو صفر. ونتيجة قسمة الصفر على أي رقم غير الصفر ستكون صفراً، فقط عند قسمة الصفر على صفر لا يتم تحديد النتيجة، حيث أن أي رقم سيكون مناسباً كحاصل.

طرق حل الحدود. عدم اليقين.
ترتيب نمو الوظيفة. طريقة الاستبدال

مثال 4

العثور على الحد

هذا مثال أبسط يمكنك حله بنفسك. في المثال المقترح هناك عدم يقين مرة أخرى (برتبة نمو أعلى من الجذر).

إذا كان "x" يميل إلى "ناقص اللانهاية"

لقد ظل شبح "ناقص اللانهاية" يحوم في هذه المقالة لفترة طويلة. دعونا ننظر في الحدود مع كثيرات الحدود التي . ستكون مبادئ وطرق الحل هي نفسها تمامًا كما في الجزء الأول من الدرس، باستثناء عدد من الفروق الدقيقة.

دعونا نلقي نظرة على 4 حيل ستكون مطلوبة لحل المهام العملية:

1) احسب الحد

تعتمد قيمة الحد فقط على المصطلح لأنه يحتوي على أعلى ترتيب للنمو. اذا ثم كبيرة بلا حدود في المعاملرقم سالب للقوة الزوجية، في هذه الحالة – ​​في الرابعة، يساوي “زائد ما لا نهاية”: . ثابت ("اثنين") إيجابي، لهذا السبب:

2) احسب الحد

ها هي الدرجة العليا مرة أخرى حتى، لهذا السبب: . ولكن أمامها "ناقص" ( سلبيثابت -1)، وبالتالي:

3) احسب الحد

القيمة الحدية تعتمد فقط على . كما تتذكر من المدرسة، فإن "ناقص" "يقفز" من تحت الدرجة الفردية، لذلك كبيرة بلا حدود في المعاملرقم سلبي لقوة ODDيساوي "ناقص ما لا نهاية"، في هذه الحالة: .
ثابت ("أربعة") إيجابي، وسائل:

4) احسب الحد

لقد عاد الرجل الأول في القرية مرة أخرى غريبدرجة، بالإضافة إلى ذلك، في حضن سلبيثابت، ويعني: وهكذا:
.

مثال 5

العثور على الحد

باستخدام النقاط المذكورة أعلاه، نصل إلى استنتاج مفاده أن هناك عدم يقين هنا. البسط والمقام لهما نفس ترتيب النمو، مما يعني أن النتيجة في النهاية ستكون عددًا محدودًا. دعنا نكتشف الإجابة عن طريق التخلص من كل الزريعة:

الحل بسيط:

مثال 6

العثور على الحد

هذا مثال لك لحله بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

والآن، ربما، الحالات الأكثر دقة:

مثال 7

العثور على الحد

وبالنظر إلى المصطلحات الرائدة، نتوصل إلى استنتاج مفاده أن هناك عدم يقين هنا. البسط ذو مرتبة نمو أعلى من المقام، لذا يمكننا القول على الفور إن النهاية تساوي ما لا نهاية. ولكن أي نوع من اللانهاية، "زائد" أو "ناقص"؟ الأسلوب هو نفسه - دعونا نتخلص من الأشياء الصغيرة في البسط والمقام:

نحن نقرر:

قسمة البسط والمقام على

مثال 15

العثور على الحد

هذا مثال لك لحله بنفسك. نموذج تقريبي للتصميم النهائي في نهاية الدرس.

بعض الأمثلة الأكثر إثارة للاهتمام حول موضوع استبدال المتغير:

مثال 16

العثور على الحد

عند استبدال الوحدة في النهاية، يتم الحصول على عدم اليقين. إن تغيير المتغير يشير إلى نفسه بالفعل، ولكن أولًا نقوم بتحويل الظل باستخدام الصيغة. في الواقع، لماذا نحتاج إلى الظل؟

لاحظ أنه لذلك . إذا لم يكن الأمر واضحًا تمامًا، فانظر إلى قيم الجيب الموجودة الجدول المثلثي. وبالتالي، فإننا نتخلص على الفور من المضاعف، بالإضافة إلى ذلك، نحصل على عدم اليقين الأكثر شيوعًا وهو 0:0. وسيكون من الرائع أن تتجه النهاية إلى الصفر.

دعونا نستبدل:

اذا ثم

تحت جيب التمام لدينا "x"، والذي يجب أيضًا التعبير عنه من خلال "te".
ومن الإبدال نعرب : .

نكمل الحل:

(1) نقوم بالاستبدال

(2) افتح القوسين تحت جيب التمام.

(٤) التنظيم أول حد رائع، اضرب البسط بشكل مصطنع في والرقم المتبادل.

مهمة الحل المستقل:

مثال 17

العثور على الحد

الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

كانت هذه مهام بسيطة في صفهم، في الممارسة العملية، كل شيء يمكن أن يكون أسوأ، بالإضافة إلى ذلك صيغ التخفيض، عليك استخدام مجموعة متنوعة من الصيغ المثلثية، فضلا عن الحيل الأخرى. في مقالة الحدود المعقدة، نظرت إلى بعض الأمثلة الحقيقية =)

عشية العطلة، سنوضح الوضع أخيرا مع عدم اليقين المشترك الآخر:

القضاء على عدم اليقين "واحد لقوة اللانهاية"

يتم "خدم" حالة عدم اليقين هذه الحد الثاني الرائع، وفي الجزء الثاني من هذا الدرس نظرنا بتفصيل كبير في الأمثلة القياسية للحلول الموجودة عمليًا في معظم الحالات. الآن سيتم الانتهاء من الصورة مع الأسس، بالإضافة إلى ذلك، سيتم تخصيص المهام النهائية للدرس للحدود "الخاطئة"، حيث يبدو أنه من الضروري تطبيق الحد الرائع الثاني، على الرغم من أن هذا ليس على الإطلاق قضية.

عيب الصيغتين العمليتين للحد الملحوظ الثاني هو أن الوسيطة يجب أن تميل إلى "زائد اللانهاية" أو إلى الصفر. ولكن ماذا لو كانت الحجة تميل إلى رقم مختلف؟

تأتي صيغة عالمية للإنقاذ (والتي هي في الواقع نتيجة للحد الثاني الملحوظ):

يمكن القضاء على عدم اليقين باستخدام الصيغة:

في مكان ما أعتقد أنني شرحت بالفعل ما تعنيه الأقواس المربعة. لا شيء خاص، الأقواس هي مجرد أقواس. يتم استخدامها عادةً لتسليط الضوء على التدوين الرياضي بشكل أكثر وضوحًا.

دعونا نسلط الضوء على النقاط الأساسية في الصيغة:

1) عباره عن فقط حول عدم اليقين ولا شيء غير ذلك.

2) يمكن أن تميل الوسيطة "x" إلى ذلك قيمة تعسفية(وليس فقط إلى الصفر أو)، على وجه الخصوص، إلى "ناقص اللانهاية" أو إلى أي واحدعدد محدود.

باستخدام هذه الصيغة يمكنك حل جميع الأمثلة في الدرس. حدود رائعة، والتي تنتمي إلى الحد الثاني الملحوظ. على سبيل المثال، دعونا نحسب الحد:

في هذه الحالة ، ووفقا للصيغة :

صحيح أنني لا أوصي بالقيام بذلك؛ فالتقليد هو الاستمرار في استخدام التصميم "المعتاد" للحل، إذا كان من الممكن تطبيقه. لكن باستخدام الصيغة أنها مريحة للغاية للتحققأمثلة "كلاسيكية" إلى الحد الثاني الملحوظ.

في كثير من الأحيان، يتساءل الكثير من الناس لماذا لا يمكن استخدام القسمة على الصفر؟ في هذه المقالة، سنتحدث بتفصيل كبير عن مصدر هذه القاعدة، وكذلك الإجراءات التي يمكن تنفيذها باستخدام الصفر.

في تواصل مع

يمكن تسمية الصفر بأحد الأرقام الأكثر إثارة للاهتمام. هذا الرقم ليس له أي معنى، يعني الفراغ بالمعنى الحقيقي للكلمة. ومع ذلك، إذا تم وضع الصفر بجانب أي رقم، فإن قيمة هذا الرقم سوف تصبح أكبر عدة مرات.

الرقم نفسه غامض للغاية. تم استخدامه من قبل شعب المايا القديم. بالنسبة لشعب المايا، كان الصفر يعني "البداية"، كما بدأت الأيام التقويمية أيضًا من الصفر.

هناك حقيقة مثيرة للاهتمام وهي أن علامة الصفر وعلامة عدم اليقين متشابهتان. وبهذا أراد المايا أن يُظهروا أن الصفر هو نفس علامة عدم اليقين. في أوروبا، ظهر التعيين صفر مؤخرًا نسبيًا.

يعرف الكثير من الناس أيضًا الحظر المرتبط بالصفر. أي شخص سيقول ذلك لا يمكنك القسمة على صفر. يقول المعلمون في المدرسة هذا الأمر، وعادةً ما يأخذ الأطفال كلامهم على محمل الجد. عادةً ما يكون الأطفال ببساطة غير مهتمين بمعرفة ذلك، أو يعرفون ماذا سيحدث إذا سألوا على الفور، بعد أن سمعوا حظرًا مهمًا: "لماذا لا يمكنك القسمة على الصفر؟" ولكن عندما تكبر، يستيقظ اهتمامك، وترغب في معرفة المزيد عن أسباب هذا الحظر. ومع ذلك، هناك أدلة معقولة.

الإجراءات مع صفر

تحتاج أولاً إلى تحديد الإجراءات التي يمكن تنفيذها بالصفر. موجود عدة أنواع من الإجراءات:

• إضافة؛
• عمليه الضرب؛
• الطرح؛
• القسمة (صفر حسب العدد)؛
• الأس.

مهم!إذا أضفت صفراً إلى أي رقم أثناء عملية الجمع فإن هذا الرقم سيبقى كما هو ولن تتغير قيمته العددية. ويحدث نفس الشيء إذا طرحت صفرًا من أي رقم.

عند ضرب وقسمة الأشياء تكون مختلفة قليلاً. لو ضرب أي رقم في صفر، فسيصبح المنتج أيضًا صفرًا.

لنلقي نظرة على مثال:

لنكتب هذا كإضافة:

هناك خمسة أصفار إجمالاً، لذا اتضح ذلك

دعونا نحاول ضرب واحد في صفر. وستكون النتيجة أيضًا صفرًا.

ويمكن أيضًا قسمة الصفر على أي رقم آخر لا يساويه. في هذه الحالة ستكون النتيجة , وقيمتها ستكون أيضًا صفرًا. تنطبق نفس القاعدة على الأرقام السالبة. إذا قسم الصفر على عدد سالب فإن الناتج هو صفر.

يمكنك أيضًا إنشاء أي رقم إلى درجة الصفر. في هذه الحالة ستكون النتيجة 1. ومن المهم أن نتذكر أن عبارة "صفر أس صفر" لا معنى لها على الإطلاق. إذا حاولت رفع الصفر إلى أي قوة، فستحصل على صفر. مثال:

نستخدم قاعدة الضرب ونحصل على 0.

فهل من الممكن القسمة على صفر؟

لذلك، هنا نأتي إلى السؤال الرئيسي. هل يمكن القسمة على صفر؟على الاطلاق؟ ولماذا لا يمكننا قسمة عدد ما على صفر، مع العلم أن جميع الإجراءات الأخرى التي لها صفر موجودة ويتم تطبيقها؟ للإجابة على هذا السؤال لا بد من اللجوء إلى الرياضيات العليا.

لنبدأ بتعريف المفهوم، ما هو الصفر؟ يقول معلمو المدارس أن الصفر لا شيء. الفراغ. أي أنه عندما تقول أن لديك 0 مقابض، فهذا يعني أنه ليس لديك مقابض على الإطلاق.

في الرياضيات العليا، مفهوم "الصفر" أوسع. وهذا لا يعني الفراغ على الإطلاق. الصفر هنا يسمى عدم اليقين لأنه إذا قمنا ببعض البحث، يتبين أنه عندما قسمنا الصفر على صفر، يمكن أن نصل إلى أي رقم آخر، والذي قد لا يكون بالضرورة صفرًا.

هل تعلم أن تلك العمليات الحسابية البسيطة التي درستها في المدرسة ليست متساوية مع بعضها البعض؟ الإجراءات الأساسية هي الجمع والضرب.

بالنسبة لعلماء الرياضيات، لا وجود لمفاهيم "" و"الطرح". لنفترض: إذا طرحت ثلاثة من خمسة، فسيبقى لديك اثنان. هذا ما يبدو عليه الطرح. ومع ذلك، فإن علماء الرياضيات يكتبونها بهذه الطريقة:

وبالتالي، اتضح أن الفرق غير المعروف هو رقم معين يجب إضافته إلى 3 للحصول على 5. وهذا يعني أنك لا تحتاج إلى طرح أي شيء، تحتاج فقط إلى العثور على الرقم المناسب. تنطبق هذه القاعدة على الإضافة.

الأمور مختلفة قليلا مع قواعد الضرب والقسمة.ومن المعروف أن الضرب في صفر يؤدي إلى نتيجة صفر. على سبيل المثال، إذا كانت 3:0=x، إذا قمت بعكس الإدخال، فستحصل على 3*x=0. والرقم الذي تم ضربه في 0 سيعطي صفرًا في المنتج. وتبين أنه لا يوجد رقم يعطي أي قيمة غير الصفر في حاصل الضرب بصفر. وهذا يعني أن القسمة على صفر لا معنى لها، أي أنها تناسب قاعدتنا.

لكن ماذا يحدث إذا حاولت قسمة الصفر على نفسه؟ لنأخذ عددًا غير محدد مثل x. المعادلة الناتجة هي 0*x=0. يمكن حلها.

إذا حاولنا أخذ صفر بدلاً من x، فسنحصل على 0:0=0. قد يبدو منطقيا؟ لكن إذا حاولنا أخذ أي رقم آخر، على سبيل المثال، 1، بدلاً من x، فسوف ينتهي بنا الأمر إلى 0:0=1. سيحدث نفس الموقف إذا أخذنا أي رقم آخر و أدخله في المعادلة.

في هذه الحالة، يتبين أنه يمكننا أخذ أي عدد آخر كعامل. وستكون النتيجة عدد لا حصر له من الأرقام المختلفة. في بعض الأحيان، لا تزال القسمة على 0 في الرياضيات العليا منطقية، ولكن بعد ذلك عادة ما تظهر حالة معينة، بفضل ما لا يزال بإمكاننا اختيار رقم واحد مناسب. يُسمى هذا الإجراء "الكشف عن عدم اليقين". في الحساب العادي، ستفقد القسمة على الصفر معناها مرة أخرى، لأننا لن نتمكن من اختيار رقم واحد من المجموعة.

مهم!لا يمكنك قسمة الصفر على صفر.

الصفر واللانهاية

يمكن العثور على اللانهاية في كثير من الأحيان في الرياضيات العليا. نظرًا لأنه ليس من المهم لأطفال المدارس أن يعرفوا أن هناك أيضًا عمليات رياضية مع اللانهاية، لا يستطيع المعلمون أن يشرحوا للأطفال بشكل صحيح سبب استحالة القسمة على الصفر.

يبدأ الطلاب في تعلم الأسرار الرياضية الأساسية فقط في السنة الأولى من المعهد. توفر الرياضيات العليا مجموعة كبيرة من المشكلات التي ليس لها حل. المشاكل الأكثر شهرة هي مشاكل اللانهاية. يمكن حلها باستخدام التحليل الرياضي.

ويمكن أيضا أن تنطبق على ما لا نهاية العمليات الحسابية الأولية:بالإضافة إلى الضرب في العدد. عادةً ما يستخدمون أيضًا الطرح والقسمة، لكنهم في النهاية ما زالوا يتوصلون إلى عمليتين بسيطتين.

ولكن ماذا سيحدث إن جربت:

• اللانهاية مضروبة في صفر. من الناحية النظرية، إذا حاولنا ضرب أي عدد في صفر، فسنحصل على صفر. لكن اللانهاية هي مجموعة غير محددة من الأرقام. بما أنه لا يمكننا اختيار رقم واحد من هذه المجموعة، فإن التعبير ∞*0 ليس له حل ولا معنى له على الإطلاق.
• صفر مقسوم على ما لا نهاية. نفس القصة المذكورة أعلاه تحدث هنا. لا يمكننا اختيار رقم واحد، مما يعني أننا لا نعرف على ماذا نقسم. التعبير ليس له معنى.

مهم!اللانهاية تختلف قليلاً عن عدم اليقين! اللانهاية هي أحد أنواع عدم اليقين.

الآن دعونا نحاول قسمة ما لا نهاية على صفر. يبدو أنه يجب أن يكون هناك عدم يقين. لكن إذا حاولنا استبدال القسمة بالضرب، فسنحصل على إجابة محددة للغاية.

على سبيل المثال: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

اتضح مثل هذا مفارقة رياضية.

الجواب على سبب عدم إمكانية القسمة على صفر

تجربة فكرية، محاولة القسمة على صفر

خاتمة

إذن، نعلم الآن أن الصفر يخضع تقريبًا لجميع العمليات التي يتم إجراؤها، باستثناء عملية واحدة. لا يمكنك القسمة على صفر لمجرد أن النتيجة غير مؤكدة. وتعلمنا أيضًا كيفية إجراء العمليات على الصفر واللانهاية. وستكون نتيجة مثل هذه الإجراءات عدم اليقين.

لقد اكتشفنا الوظائف الأولية الأساسية.

عند الانتقال إلى وظائف من نوع أكثر تعقيدًا، سنواجه بالتأكيد ظهور تعبيرات لم يتم تعريف معناها. تسمى هذه التعبيرات عدم اليقين.

دعونا قائمة كل شيء الأنواع الرئيسية من عدم اليقين: صفر مقسوم على صفر (0 على 0)، ما لا نهاية مقسوم على ما لا نهاية، صفر مضروب في ما لا نهاية، ما لا نهاية ناقص ما لا نهاية، واحد أس ما لا نهاية، صفر أس صفر، ما لا نهاية أس صفر.

جميع التعبيرات الأخرى عن عدم اليقين ليست كذلك وتأخذ قيمة محددة تمامًا أو لا نهائية.

كشف عدم اليقينيسمح:

• تبسيط نوع الوظيفة (تحويل التعبيرات باستخدام صيغ الضرب المختصرة، والصيغ المثلثية، والضرب بالتعبيرات المترافقة متبوعًا بالتخفيض، وما إلى ذلك)؛
• استخدام الحدود الملحوظة؛
• طلب قواعد لوبيتال ;
• الاستخدام استبدال عبارة متناهية الصغر بما يعادلها(باستخدام جدول متناهية الصغر المكافئة).

دعونا تجميع الشكوك في جدول عدم اليقين. لكل نوع من أنواع عدم اليقين نربط طريقة للإفصاح عنه (طريقة إيجاد الحد).

هذا الجدول مع جدول حدود الوظائف الأولية الأساسيةستكون أدواتك الرئيسية عند العثور على أي حدود.

دعونا نعطي بضعة أمثلة عندما يعمل كل شيء مباشرة بعد استبدال القيمة ولا ينشأ عدم اليقين.

مثال.

حساب الحد

حل.

استبدل القيمة:

وقد تلقينا إجابة على الفور.

إجابة:

مثال.

حساب الحد

حل.

نعوض بالقيمة x=0 في أساس دالة القوة الأسية:

وهذا يعني أنه يمكن إعادة كتابة الحد كـ

الآن دعونا نلقي نظرة على المؤشر. هذه هي وظيفة السلطة. دعونا ننتقل إلى جدول الحدودلوظائف الطاقة ذات الأس السالب. من هناك لدينا و لذلك يمكننا أن نكتب .

وبناء على ذلك، سيتم كتابة الحد لدينا على النحو التالي:

ننتقل مرة أخرى إلى جدول النهايات، ولكن بالنسبة للدوال الأسية التي أساسها أكبر من واحد، والذي لدينا منه:

إجابة:

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة مع الحلول التفصيلية كشف الشكوك عن طريق تحويل التعبيرات.

في كثير من الأحيان يحتاج التعبير الموجود أسفل علامة الحد إلى تحويل طفيف للتخلص من الشكوك.

مثال.

حساب الحد

حل.

استبدل القيمة:

لقد وصلنا إلى حالة من عدم اليقين. نحن ننظر إلى جدول عدم اليقين لتحديد طريقة الحل. دعونا نحاول تبسيط التعبير.

إجابة:

مثال.

حساب الحد

حل.

استبدل القيمة:

وصلنا إلى عدم اليقين (0 إلى 0). ننظر إلى جدول الشك لاختيار طريقة الحل ومحاولة تبسيط التعبير. دعونا نضرب كلاً من البسط والمقام في التعبير المرافق للمقام.

بالنسبة للمقام سيكون التعبير المترافق

لقد قمنا بضرب المقام حتى نتمكن من تطبيق صيغة الضرب المختصرة - فرق المربعات ثم تقليل التعبير الناتج.

وبعد سلسلة من التحولات، اختفت حالة عدم اليقين.

إجابة:

تعليق:بالنسبة للحدود من هذا النوع، تعتبر طريقة الضرب بالتعبيرات المترافقة نموذجية، لذا لا تتردد في استخدامها.

مثال.

حساب الحد

حل.

استبدل القيمة:

لقد وصلنا إلى حالة من عدم اليقين. ننظر إلى جدول الشك لاختيار طريقة الحل ومحاولة تبسيط التعبير. بما أن كلا من البسط والمقام يختفيان عند x = 1، فإذا كان من الممكن تقليل هذه التعبيرات (x-1) فسوف تختفي حالة عدم اليقين.

دعونا نحلل البسط:

دعونا نحلل المقام:

الحد الخاص بنا سوف يأخذ الشكل:

بعد التحول، تم الكشف عن عدم اليقين.

إجابة:

دعونا نفكر في الحدود عند اللانهاية من تعبيرات القوة. إذا كانت أسس تعبير القوة موجبة، فإن النهاية عند اللانهاية تكون لا نهائية. علاوة على ذلك، فإن الدرجة الأكبر لها أهمية أساسية، أما الباقي فيمكن التخلص منه.

مثال.

مثال.

إذا كان التعبير الموجود أسفل علامة النهاية عبارة عن كسر، وكان كل من البسط والمقام عبارة عن تعبيرات قوة (m هي قوة البسط، و n هي قوة المقام)، فعندئذ عند عدم اليقين من الشكل ما لا نهاية إلى ما لا نهاية ينشأ، في هذه الحالة تم الكشف عن عدم اليقينبتقسيم كل من البسط والمقام

مثال.

حساب الحد