المسافة من النقطة c إلى الخط المستقيم AB. تحدد المسافة من نقطة إلى خط مستقيم. الموضع النسبي لخطين مستقيمين

هذه المقالة تتحدث عن الموضوع « المسافة من نقطة إلى خط », يتم النظر في تحديد المسافة من نقطة إلى خط مستقيم مع أمثلة مصورة بطريقة الإحداثيات. أظهرت كل كتلة في النظرية في النهاية أمثلة لحل مشكلات مماثلة.

يتم العثور على المسافة من نقطة إلى خط مستقيم من خلال تعريف المسافة من نقطة إلى نقطة. دعونا نلقي نظرة فاحصة.

يجب أن يكون هناك خط أ ونقطة م 1 لا تنتمي إلى خط معين. ارسم الخط ب خلاله ، وهو عمودي على الخط أ. تؤخذ نقطة تقاطع الخطوط على أنها H 1. نحصل على أن M 1 H 1 هو العمود العمودي ، والذي تم خفضه من النقطة M 1 إلى الخط a.

التعريف 1

المسافة من النقطة М 1 إلى الخط أ تسمى المسافة بين النقطتين M 1 و H 1.

توجد سجلات تعريف مع رقم طول العمود العمودي.

التعريف 2

المسافة من نقطة إلى خط هو طول الخط العمودي المرسوم من نقطة معينة إلى خط مستقيم معين.

التعريفات متكافئة. النظر في الشكل أدناه.

من المعروف أن المسافة من نقطة إلى خط مستقيم هي الأصغر على الإطلاق. لنلقي نظرة على مثال.

إذا أخذنا نقطة Q ملقاة على الخط المستقيم a ، ولا تتطابق مع النقطة M 1 ، فسنحصل على أن الجزء M 1 Q يسمى مائلًا ، ومنخفض من M 1 إلى الخط a. من الضروري الإشارة إلى أن الخط العمودي من النقطة M 1 أقل من أي خط مائل آخر مرسوم من نقطة إلى خط.

لإثبات ذلك ، انظر إلى المثلث M 1 Q 1 H 1 ، حيث M 1 Q 1 هو الوتر. من المعروف أن طوله دائمًا أكبر من طول أي من الأرجل. لدينا ذلك M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

تسمح لك البيانات الأولية للبحث من نقطة إلى خط مستقيم باستخدام عدة طرق للحل: من خلال نظرية فيثاغورس ، وتحديد الجيب وجيب التمام وظل الزاوية وغيرها. يتم حل معظم المهام من هذا النوع في المدرسة في دروس الهندسة.

عندما ، عند إيجاد المسافة من نقطة إلى خط مستقيم ، يمكنك إدخال نظام إحداثيات مستطيل ، ثم يتم استخدام طريقة الإحداثيات. في هذه الفقرة ، سننظر في الطريقتين الرئيسيتين لإيجاد المسافة المطلوبة من نقطة معينة.

تتضمن الطريقة الأولى إيجاد المسافة بشكل عمودي مرسوم من M 1 إلى الخط المستقيم a. في الطريقة الثانية ، يتم استخدام المعادلة العادية للخط المستقيم a لإيجاد المسافة المطلوبة.

إذا كانت هناك نقطة على المستوى بإحداثياتها M 1 (x 1، y 1) تقع في نظام إحداثيات مستطيل ، خط مستقيم أ ، وتحتاج إلى إيجاد المسافة M 1 H 1 ، يمكنك حسابها بطريقتين. دعونا نفكر فيها.

الطريقة الأولى

إذا كانت هناك إحداثيات للنقطة H 1 تساوي x 2 ، y 2 ، فإن المسافة من النقطة إلى الخط المستقيم تُحسب بالإحداثيات من الصيغة M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

الآن دعنا ننتقل إلى إيجاد إحداثيات النقطة H 1.

من المعروف أن الخط المستقيم في O x y يتوافق مع معادلة الخط المستقيم على المستوى. لنأخذ طريقة لتحديد خط مستقيم أ من خلال كتابة المعادلة العامة لخط مستقيم أو معادلة بميل. نكوّن معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة M 1 عموديًا على الخط المستقيم المعطى a. سيتم الإشارة إلى الخط المستقيم بواسطة خشب الزان ب. H 1 هي نقطة تقاطع الخطين a و b ، مما يعني أنه لتحديد الإحداثيات ، يجب عليك استخدام المقالة التي تتناول إحداثيات نقاط تقاطع سطرين.

يمكن ملاحظة أن خوارزمية إيجاد المسافة من نقطة معينة M 1 (x 1 ، y 1) إلى خط مستقيم a يتم تنفيذها وفقًا للنقاط:

التعريف 3

• إيجاد المعادلة العامة للخط المستقيم أ بالصيغة أ 1 س + ب 1 ص + ج 1 \u003d 0 ، أو معادلة بميل ، بالصيغة ص \u003d ك 1 س + ب 1 ؛
• الحصول على معادلة عامة للخط ب ، بالصيغة أ 2 س + ب 2 ص + ج 2 \u003d 0 أو معادلة بميل y \u003d ك 2 س + ب 2 ، إذا تقاطع السطر ب مع النقطة م 1 وعمودي على خط معين أ ؛
• تحديد إحداثيات x 2 ، y 2 للنقطة H 1 ، وهي نقطة تقاطع a و b ، ولهذا تم حل النظام المعادلات الخطية أ 1 س + ب 1 ص + ج 1 \u003d 0 أ 2 س + ب 2 ص + ج 2 \u003d 0 أو ص \u003d ك 1 س + ب 1 ص \u003d ك 2 س + ب 2 ؛
• حساب المسافة المطلوبة من نقطة إلى خط مستقيم باستخدام الصيغة M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

الطريقة الثانية

يمكن أن تساعد النظرية في الإجابة على سؤال إيجاد المسافة من نقطة معينة إلى خط مستقيم معين على المستوى.

نظرية

يحتوي نظام الإحداثيات المستطيلة على O x y نقطة M 1 (x 1، y 1) ، يتم من خلالها رسم خط مستقيم a إلى المستوى ، معطى بالمعادلة العادية للمستوى ، والتي لها الشكل cos α x + cos β y - p \u003d 0 ، يساوي إلى معامل القيمة التي تم الحصول عليها على الجانب الأيسر من المعادلة العادية للخط ، محسوبة عند x \u003d x 1 ، y \u003d y 1 ، مما يعني أن M 1 H 1 \u003d cos α x 1 + cos β y 1 - p.

دليل

يتوافق الخط a مع المعادلة العادية للمستوى ، والتي لها الشكل cos α x + cos β y - p \u003d 0 ، ثم n → \u003d (cos α، cos β) يعتبر متجهًا عاديًا للخط a على مسافة من الأصل إلى الخط a بوحدات p ... من الضروري عرض جميع البيانات في الشكل ، إضافة نقطة بإحداثيات M 1 (x 1 ، y 1) ، حيث متجه نصف قطر النقطة M 1 - O M 1 → \u003d (x 1 ، y 1). من الضروري رسم خط مستقيم من نقطة إلى خط مستقيم ، والذي نشير إليه بواسطة M 1 H 1. من الضروري إظهار الإسقاطات М 2 و 2 للنقطتين 1 و Н 2 على خط مستقيم يمر عبر النقطة O مع متجه اتجاه على الشكل n → \u003d (cos α ، cos β) ، والإسقاط العددي للمتجه يُشار إليه على أنه OM 1 → \u003d (x 1 ، y 1) إلى الاتجاه n → \u003d (cos α، cos β) مثل npn → OM 1 →.

تعتمد الاختلافات على موقع النقطة M 1 نفسها. النظر في الشكل أدناه.

نصلح النتائج باستخدام الصيغة M 1 H 1 \u003d n p n → O M → 1 - p. ثم نقوم بتقليل المساواة إلى هذا الشكل M 1 H 1 \u003d cos α x 1 + cos β y 1 - p من أجل الحصول على n p n → O M → 1 \u003d cos α x 1 + cos β y 1.

الناتج القياسي للناقلات نتيجة لذلك يعطي صيغة محولة للنموذج n → ، OM → 1 \u003d n → npn → OM 1 → \u003d 1 npn → OM 1 → \u003d npn → OM 1 → ، وهو منتج في شكل إحداثيات من النموذج n → ، OM 1 → \u003d cos α x 1 + cos β y 1. ومن ثم ، نحصل على ذلك n p n → O M 1 → \u003d cos α x 1 + cos β y 1. ويترتب على ذلك أن M 1 H 1 \u003d n p n → O M 1 → - p \u003d cos α x 1 + cos β y 1 - p. تم إثبات النظرية.

حصلنا على ذلك لإيجاد المسافة من النقطة M 1 (x 1 ، y 1) إلى الخط a على المستوى ، تحتاج إلى تنفيذ عدة إجراءات:

التعريف 4

• الحصول على المعادلة العادية للخط المستقيم a cos α x + cos β y - p \u003d 0 ، بشرط ألا تكون في المهمة ؛
• حساب التعبير cos α · x 1 + cos β · y 1 - p ، حيث تأخذ القيمة التي تم الحصول عليها M 1 H 1.

دعونا نطبق هذه الطرق لحل مشاكل إيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى.

مثال 1

أوجد المسافة من النقطة ذات الإحداثيات م 1 (- 1 ، 2) إلى الخط 4 س - 3 ص + 35 \u003d 0.

القرار

دعنا نطبق الطريقة الأولى للحل.

للقيام بذلك ، من الضروري إيجاد المعادلة العامة للخط المستقيم ب ، الذي يمر عبر نقطة معينة م 1 (- 1 ، 2) ، عموديًا على الخط المستقيم 4 س - 3 ص + 35 \u003d 0. يتضح من الحالة أن الخط المستقيم b عمودي على الخط المستقيم a ، ثم متجه اتجاهه له إحداثيات تساوي (4 ، - 3). وبالتالي ، لدينا الفرصة لكتابة المعادلة الأساسية للخط المستقيم ب على المستوى ، نظرًا لوجود إحداثيات للنقطة م 1 ، تنتمي إلى الخط المستقيم ب. أوجد إحداثيات متجه الاتجاه للخط المستقيم ب. نحصل على x - (- 1) 4 \u003d y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 \u003d y - 2 - 3. يجب أن تتحول المعادلة الأساسية الناتجة إلى المعادلة العامة. ثم نحصل على ذلك

س + 1 4 \u003d ص - 2 - 3 ⇔ - 3 (س + 1) \u003d 4 (ص - 2) ⇔ 3 س + 4 ص - 5 \u003d 0

لنجد إحداثيات نقاط تقاطع الخطوط المستقيمة ، والتي سنأخذها على أنها التسمية H 1. تبدو التحولات كما يلي:

4 س - 3 ص + 35 \u003d 0 3 س + 4 ص - 5 \u003d 0 ⇔ س \u003d 3 4 ص - 35 4 3 س + 4 ص - 5 \u003d 0 س س \u003d 3 4 ص - 35 4 3 3 4 ص - 35 4 + 4 ص - 5 \u003d 0 ⇔ س \u003d 3 4 ص - 35 4 ص \u003d 5 ⇔ س \u003d 3 4 5 - 35 4 ص \u003d 5 ⇔ س \u003d - 5 ص \u003d 5

مما سبق ، لدينا أن إحداثيات النقطة H 1 هي (- 5 ؛ 5).

من الضروري حساب المسافة من النقطة M 1 إلى الخط a. لدينا إحداثيات النقطتين M 1 (- 1 ، 2) و H 1 (- 5 ، 5) ، ثم نعوض في صيغة إيجاد المسافة ونحصل على ذلك

م 1 س 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5-2) 2 \u003d 25 \u003d 5

الحل الثاني.

من أجل الحل بطريقة أخرى ، من الضروري الحصول على المعادلة العادية للخط. احسب عامل التسوية واضرب طرفي المعادلة 4 س - 3 ص + 35 \u003d 0. من هذا نحصل على أن عامل التسوية هو - 1 4 2 + (- 3) 2 \u003d - 1 5 ، وستكون المعادلة العادية بالصيغة - 1 5 4 x - 3 y + 35 \u003d - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + ٣ ٥ ص - ٧ \u003d ٠.

وفقًا لخوارزمية الحساب ، من الضروري الحصول على المعادلة العادية للخط المستقيم وحسابها بالقيم س \u003d - 1 ، ص \u003d 2. ثم نحصل على ذلك

4 5-1 + 3 5 2-7 \u003d - 5

ومن ثم ، نجد أن المسافة من النقطة م 1 (- 1 ، 2) إلى الخط المستقيم المعطى 4 س - 3 ص + 35 \u003d 0 لها القيمة - 5 \u003d 5.

إجابة: 5 .

يمكن ملاحظة أنه من المهم في هذه الطريقة استخدام المعادلة العادية للخط المستقيم ، لأن هذه الطريقة هي الأقصر. لكن الطريقة الأولى ملائمة لأنها متسقة ومنطقية ، على الرغم من أنها تحتوي على نقاط حسابية أكثر.

مثال 2

يوجد على المستوى نظام إحداثيات مستطيل O x y بنقطة M 1 (8 ، 0) وخط مستقيم y \u003d 1 2 x + 1. أوجد المسافة من نقطة معينة إلى خط مستقيم.

القرار

الحل بالطريقة الأولى يعني إحضار المعادلة المعطاة مع الميل إلى المعادلة العامة. من أجل البساطة ، يمكنك القيام بذلك بشكل مختلف.

إذا كان حاصل ضرب ميل المستقيمين المتعامدين له قيمة - 1 ، فإن ميل الخط العمودي على المعطى y \u003d 1 2 x + 1 هو 2. نحصل الآن على معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة ذات الإحداثيات م 1 (8 ، 0). لدينا ص - 0 \u003d - 2 (س - 8) ⇔ ص \u003d - 2 س + 16.

ننتقل إلى إيجاد إحداثيات النقطة H 1 ، أي نقاط التقاطع y \u003d - 2 x + 16 و y \u003d 1 2 x + 1. نؤلف نظام المعادلات ونحصل على:

y \u003d 1 2 x + 1 y \u003d - 2 x + 16 ⇔ y \u003d 1 2 x + 1 1 2 x + 1 \u003d - 2 x + 16 ⇔ y \u003d 1 2 x + 1 x \u003d 6 ⇔ ⇔ y \u003d 1 2 6 + 1 س \u003d 6 \u003d ص \u003d 4 س \u003d 6 ⇒ ع 1 (6 ، 4)

يتبع ذلك أن المسافة من النقطة ذات الإحداثيات M 1 (8 ، 0) إلى الخط المستقيم y \u003d 1 2 x + 1 تساوي المسافة من نقطة البداية ونقطة النهاية ذات الإحداثيات M 1 (8 ، 0) و H 1 (6 ، 4) ... نحسب ونحصل على أن M 1 H 1 \u003d 6-8 2 + (4-0) 2 20 \u003d 2 5.

الحل بالطريقة الثانية هو الانتقال من معادلة ذات معامل إلى صورتها العادية. أي أننا نحصل على y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0 ، ثم ستكون قيمة عامل التسوية - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5. يتبع ذلك أن المعادلة العادية للخط تأخذ الصيغة - 2 5 1 2 x - y + 1 \u003d - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 \u003d 0. لنقم بحساب من النقطة M 1 8 ، 0 إلى خط مستقيم بالصيغة - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 \u003d 0. نحن نحصل:

م 1 س 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

إجابة: 2 5 .

مثال 3

من الضروري حساب المسافة من النقطة ذات الإحداثيات M 1 (- 2 ، 4) إلى الخطوط المستقيمة 2 x - 3 \u003d 0 و y + 1 \u003d 0.

القرار

نحصل على معادلة الشكل الطبيعي للخط المستقيم 2 × - 3 \u003d 0:

2 س - 3 \u003d 0 1 2 2 س - 3 \u003d 1 2 0 ⇔ س - 3 2 \u003d 0

ثم ننتقل إلى حساب المسافة من النقطة M 1 - 2 ، 4 إلى الخط المستقيم x - 3 2 \u003d 0. نحن نحصل:

م 1 س 1 \u003d - 2 - 3 2 \u003d 3 1 2

معادلة الخط المستقيم y + 1 \u003d 0 لها عامل تسوية يساوي -1. هذا يعني أن المعادلة ستأخذ الصورة - y - 1 \u003d 0. ننتقل إلى حساب المسافة من النقطة M 1 (- 2 ، 4) إلى الخط المستقيم - y - 1 \u003d 0. لقد حصلنا على أنها تساوي - 4-1 \u003d 5.

إجابة: 3 1 2 و 5.

ضع في اعتبارك بالتفصيل إيجاد المسافة من نقطة معينة على المستوى إلى محوري الإحداثيات O x و O y.

في نظام الإحداثيات المستطيلة ، يكون لمحور O y معادلة خط مستقيم ، وهي غير كاملة ، لها شكل x \u003d 0 ، و O x - y \u003d 0. المعادلات طبيعية لمحاور الإحداثيات ، فأنت بحاجة إلى إيجاد المسافة من النقطة ذات الإحداثيات M 1 x 1 ، y 1 إلى الخطوط المستقيمة. يتم ذلك بناءً على الصيغ M 1 H 1 \u003d x 1 و M 1 H 1 \u003d y 1. النظر في الشكل أدناه.

مثال 4

أوجد المسافة من النقطة M 1 (6 ، - 7) إلى خطوط الإحداثيات الموجودة في المستوى O x y.

القرار

بما أن المعادلة y \u003d 0 تشير إلى الخط المستقيم O x ، يمكنك إيجاد المسافة من M 1 بالإحداثيات المعطاة لهذا الخط المستقيم باستخدام الصيغة. نحصل على 6 \u003d 6.

بما أن المعادلة x \u003d 0 تشير إلى الخط المستقيم O y ، يمكنك إذن إيجاد المسافة من M 1 إلى هذا الخط المستقيم باستخدام الصيغة. ثم نحصل على ذلك - 7 \u003d 7.

إجابة:المسافة من M 1 إلى O x هي 6 ، ومن M 1 إلى O y تساوي 7.

عندما يكون لدينا في الفضاء ثلاثي الأبعاد نقطة ذات إحداثيات M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1) ، من الضروري إيجاد المسافة من النقطة A إلى الخط a.

ضع في اعتبارك طريقتين تسمحان لك بحساب المسافة من نقطة إلى خط مستقيم يقع في الفضاء. تعتبر الحالة الأولى المسافة من النقطة M 1 إلى الخط المستقيم ، حيث تسمى النقطة على الخط المستقيم H 1 وهي قاعدة العمود العمودي المرسوم من النقطة M 1 إلى الخط المستقيم a. تشير الحالة الثانية إلى أنه يجب البحث عن نقاط هذا المستوى باعتبارها ارتفاع متوازي الأضلاع.

الطريقة الأولى

من التعريف ، لدينا أن المسافة من النقطة M 1 الواقعة على الخط المستقيم a هي طول العمود العمودي M 1 H 1 ، ثم نحصل على ذلك بالإحداثيات الموجودة للنقطة H 1 ، ثم نحسب المسافة بين M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1 ) و H 1 (x 1، y 1، z 1) ، بناءً على الصيغة M 1 H 1 \u003d x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

توصلنا إلى أن الحل كله يذهب لإيجاد إحداثيات قاعدة العمود العمودي المرسومة من М 1 إلى الخط a. يتم ذلك على النحو التالي: H 1 هي النقطة التي يتقاطع فيها الخط المستقيم a مع المستوى الذي يمر عبر النقطة المحددة.

ومن ثم ، فإن خوارزمية تحديد المسافة من النقطة M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1) إلى الخط a في الفضاء تتضمن عدة نقاط:

التعريف 5

• رسم معادلة المستوى χ كمعادلة المستوى الذي يمر عبر نقطة معينة عمودية على الخط المستقيم ؛
• تحديد الإحداثيات (x 2 ، y 2 ، z 2) التي تنتمي إلى النقطة H 1 ، وهي نقطة تقاطع الخط المستقيم a والمستوى χ ؛
• حساب المسافة من نقطة إلى خط مستقيم باستخدام الصيغة M 1 H 1 \u003d x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

الطريقة الثانية

من الشرط لدينا خط مستقيم a ، ثم يمكننا تحديد متجه الاتجاه a → \u003d a x ، a y ، a z بالإحداثيات x 3 ، y 3 ، z 3 ونقطة معينة M 3 تنتمي إلى الخط المستقيم a. بالنظر إلى إحداثيات النقطتين M 1 (x 1 ، y 1) و M 3 x 3 ، y 3 ، z 3 ، يمكنك حساب M 3 M 1 →:

م 3 م 1 → \u003d (س 1 - س 3 ، ص 1 - ص 3 ، ض 1 - ع 3)

يجب تأجيل المتجهات a → \u003d a x ، a y ، a z و M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3 ، y 1 - y 3 ، z 1 - z 3 من النقطة M 3 ، قم بالاتصال واحصل على شكل متوازي الأضلاع. M 1 H 1 هو ارتفاع متوازي الأضلاع.

النظر في الشكل أدناه.

لدينا أن الارتفاع M 1 H 1 هو المسافة المرغوبة ، فمن الضروري إيجاده بالصيغة. أي أننا نبحث عن M 1 H 1.

دعونا نشير إلى مساحة متوازي الأضلاع للحرف S ، تم العثور عليها بواسطة الصيغة باستخدام المتجه a → \u003d (a x ، a y ، a z) و M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3. ص 1 - ص 3 ، ض 1 - ع 3. صيغة المنطقة هي S \u003d a → × M 3 M 1 →. أيضًا ، مساحة الشكل تساوي حاصل ضرب أطوال جوانبها بالارتفاع ، نحصل على ذلك S \u003d a → M 1 H 1 مع a → \u003d ax 2 + ay 2 + az 2 ، وهو طول المتجه a → \u003d (ax ، ay ، az) ، وهو ما يساوي ضلع متوازي الأضلاع. ومن ثم ، فإن M 1 H 1 هي المسافة من نقطة إلى خط. تم العثور عليها بواسطة الصيغة M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a →.

لإيجاد المسافة من نقطة ذات إحداثيات M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1) إلى خط مستقيم a في الفراغ ، تحتاج إلى تنفيذ عدة خطوات للخوارزمية:

التعريف 6

• تحديد متجه التوجيه للخط المستقيم a - a → \u003d (a x ، a y ، a z) ؛
• حساب طول متجه الاتجاه a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2 ؛
• الحصول على إحداثيات x 3 ، y 3 ، z 3 تنتمي إلى النقطة M 3 الواقعة على الخط المستقيم a ؛
• حساب إحداثيات المتجه M 3 M 1 → ؛
• إيجاد المنتج المتجه للمتجهات a → (ax ، ay ، az) و M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3 ، y 1 - y 3 ، z 1 - z 3 كـ a → × M 3 M 1 → \u003d i → j → k → axayazx 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 للحصول على الطول بالصيغة a → × M 3 M 1 → ؛
• حساب المسافة من نقطة إلى خط مستقيم M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a →.

حل مسائل إيجاد المسافة من نقطة معينة إلى خط مستقيم معين في الفضاء

مثال 5

أوجد المسافة من النقطة ذات الإحداثيات M 1 2 ، - 4 ، - 1 إلى الخط x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5.

القرار

تبدأ الطريقة الأولى بكتابة معادلة المستوى χ مروراً بـ M 1 وعمودي على نقطة محددة... نحصل على تعبير عن النموذج:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) \u003d 0 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0

من الضروري إيجاد إحداثيات النقطة H 1 ، وهي نقطة التقاطع مع المستوى χ للخط المحدد بالشرط. يجب أن تنتقل من القانون الأساسي إلى المتقاطع. ثم نحصل على نظام المعادلات بالشكل:

س + 1 2 \u003d ص - 1 \u003d ع + 5 5 ⇔ - 1 (س + 1) \u003d 2 ص 5 (س + 1) \u003d 2 (ض + 5) 5 ص \u003d - 1 (ع + 5) ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0 5 y + z + 5 \u003d 0 ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0

من الضروري حساب النظام x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0 ⇔ x + 2 y \u003d - 1 5 x - 2 z \u003d 5 2 x - y + 5 ض \u003d 3 وفقًا لطريقة كرامر ، ثم نحصل على ذلك:

∆ \u003d 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 \u003d - 60 x \u003d - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 \u003d - 60 ⇔ x \u003d x ∆ \u003d - 60-60 \u003d 1 y \u003d 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 \u003d 60 ⇒ y \u003d y ∆ \u003d 60-60 \u003d - 1 z \u003d 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 \u003d 0 z \u003d z ∆ \u003d 0 - 60 \u003d 0

ومن ثم لدينا H 1 (1 ، - 1 ، 0).

م 1 س 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

الطريقة الثانية هي البدء بالبحث عن إحداثيات بتنسيق معادلة قانونية... للقيام بذلك ، عليك الانتباه إلى مقامات الكسر. ثم a → \u003d 2 ، - 1 ، 5 هو متجه الاتجاه للخط x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5. من الضروري حساب الطول بالصيغة a → \u003d 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 \u003d 30.

من الواضح أن الخط x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 يتقاطع مع النقطة M 3 (- 1 ، 0 ، - 5) ، وبالتالي لدينا المتجه مع الأصل M 3 (- 1 ، 0 ، - 5) ونهايته عند النقطة M 1 2 ، - 4 ، - 1 هي M 3 M 1 → \u003d 3 ، - 4 ، 4. أوجد المنتج المتجه a → \u003d (2، - 1، 5) و M 3 M 1 → \u003d (3، - 4، 4).

نحصل على تعبير بالصيغة a → × M 3 M 1 → \u003d i → j → k → 2-1 5 3-4 4 \u003d - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 J → \u003d 16 i → + 7 j → - 5 k →

حصلنا على أن طول المنتج المتجه هو → × م 3 م 1 → \u003d 16 2 + 7 2 + - 5 2 \u003d 330.

لدينا جميع البيانات لاستخدام معادلة حساب المسافة من نقطة لخط مستقيم ، لذلك نطبقها ونحصل على:

M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a → \u003d 330 30 \u003d 11

إجابة: 11 .

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl + Enter

معادلة لحساب المسافة من نقطة إلى خط مستقيم على مستوى

إذا تم إعطاء معادلة الخط المستقيم Ax + By + C \u003d 0 ، فيمكن إيجاد المسافة من النقطة M (M x، M y) إلى الخط المستقيم باستخدام الصيغة التالية

أمثلة على مهام لحساب المسافة من نقطة إلى خط مستقيم على مستوى

مثال 1.

أوجد المسافة بين الخط 3 س + 4 ص - 6 \u003d 0 والنقطة م (-1 ، 3).

القرار. عوّض في الصيغة بمعاملات الخط وإحداثيات النقطة

إجابة: المسافة من نقطة إلى خط مستقيم تساوي 0.6.

معادلة مستوى يمر عبر نقاط متعامدة مع متجه معادلة عامة لمستوى

يسمى متجه غير صفري عمودي على مستوى معين ناقلات الطبيعي (أو باختصار ، عادي ) لهذه الطائرة.

دع مساحة الإحداثيات (في نظام إحداثيات مستطيل) تعطى:

نقطة ;

ب) متجه غير صفري (الشكل 4.8 ، أ).

مطلوب وضع معادلة لمستوى يمر عبر نقطة عمودي على المتجه نهاية الإثبات.

دعونا الآن نفكر في أنواع مختلفة من المعادلات للخط المستقيم على المستوى.

1) المعادلة العامة للطائرةص .

يتبع من اشتقاق المعادلة التي في وقت واحد أ, ب و ج لا يساوي 0 (اشرح السبب).

النقطة تنتمي إلى الطائرة ص فقط إذا كانت إحداثياته \u200b\u200bتفي بمعادلة المستوى. اعتمادا على الاحتمالات أ, ب, ج و دطائرة ص يشغل منصبًا أو آخر:

- يمر المستوى من خلال أصل نظام الإحداثيات ، - لا يمر المستوى من خلال أصل نظام الإحداثيات ،

- المستوى موازي للمحور X,

X,

- المستوى موازي للمحور ص,

- المستوى غير موازي للمحور ص,

- المستوى موازي للمحور ض,

- المستوى غير موازي للمحور ض.

أثبت هذه العبارات بنفسك.

المعادلة (6) مشتقة بسهولة من المعادلة (5). في الواقع ، دع النقطة تكمن على الطائرة ص... ثم تلبي إحداثياتها المعادلة بطرح المعادلة (7) من المعادلة (5) وتجميع المصطلحات ، نحصل على المعادلة (6). ضع في اعتبارك الآن متجهين لهما إحداثيات على التوالي. من الصيغة (6) يتبع ذلك أن حاصل الضرب القياسي يساوي صفرًا. لذلك ، يكون المتجه عموديًا على المتجه ، وتكون بداية ونهاية المتجه الأخير على التوالي عند النقاط التي تنتمي إلى المستوى ص... لذلك ، فإن المتجه عمودي على المستوى ص... المسافة من نقطة إلى طائرة ص، المعادلة العامة التي هي تحددها الصيغة إن إثبات هذه الصيغة مماثل تمامًا لإثبات صيغة المسافة بين نقطة وخط (انظر الشكل 2).
الشكل: 2. لاشتقاق صيغة المسافة بين مستوى وخط مستقيم.

في الواقع ، المسافة د بين خط مستقيم ومستوى

أين هي نقطة ملقاة على متن طائرة. ومن ثم ، كما في المحاضرة رقم 11 ، يتم الحصول على الصيغة المذكورة أعلاه. مستويان متوازيان إذا كانت نواقلهما العادية متوازية. من هذا نحصل على حالة التوازي بين طائرتين - معاملات المعادلات العامة للطائرات. يكون مستويان متعامدين إذا كانت نواقلهما العادية متعامدة ، ومن ثم نحصل على حالة عمودية مستويين إذا كانت معادلاتهما العامة معروفة

زاوية f بين مستويين يساوي الزاوية بين نواقلهم العادية (انظر الشكل 3) ، وبالتالي ، يمكن حسابها بواسطة الصيغة
تحديد الزاوية بين المستويين.

(11)

المسافة من نقطة إلى طائرة وطرق العثور عليها

المسافة من نقطة إلى طائرة - تم إسقاط طول العمود العمودي من نقطة على هذا المستوى. توجد طريقتان على الأقل لمعرفة المسافة من نقطة إلى مستوى: هندسي و جبري.

بالطريقة الهندسية يجب عليك أولاً أن تفهم كيف يقع العمود العمودي من نقطة إلى مستوى: ربما يقع في مستوى مناسب ، أو الارتفاع في مثلث مناسب (أو ليس كثيرًا) ، أو ربما يكون هذا العمودي عمومًا هو الارتفاع في هرم ما.

بعد هذه المرحلة الأولى والأكثر صعوبة ، تنقسم المهمة إلى عدة مهام محددة للقياس (ربما في مستويات مختلفة).

بالطريقة الجبرية لإيجاد المسافة من نقطة إلى مستوى ، تحتاج إلى إدخال نظام إحداثيات ، والعثور على إحداثيات النقطة ومعادلة المستوى ، ثم تطبيق صيغة المسافة من نقطة إلى مستوى.

اوهووووووووووووووووووووووووووووو لذلك ، سوف ننتقل إلى القسم الأول ، آمل أن أحافظ في نهاية المقال على حالة ذهنية مبهجة.

الموضع النسبي لخطين مستقيمين

الحالة عندما يغني الجمهور جنبًا إلى جنب مع الكورس. يمكن لخطين مستقيمين:

1) المباراة ؛

2) كن متوازيًا ؛

3) أو تتقاطع عند نقطة واحدة :.

مساعدة الدمى : يرجى تذكر العلامة الرياضية للتقاطع ، ستكون شائعة جدًا. يشير الترميز إلى أن الخط المستقيم يتقاطع مع خط مستقيم عند نقطة.

كيف نحدد الموضع النسبي لخطين مستقيمين؟

لنبدأ بالحالة الأولى:

يتطابق خطان مستقيمان إذا وفقط إذا كانت معاملاتهما المقابلة متناسبة، وهذا هو ، مثل هذا العدد من "لامدا" أن المساواة

فكر في خطوط مستقيمة وقم بتكوين ثلاث معادلات من المعاملات المقابلة:. ويترتب على كل معادلة أن هذين الخطين يتطابقان.

في الواقع ، إذا كانت جميع معاملات المعادلة اضرب في -1 (علامات التغيير) ، وقم بتقليل جميع معاملات المعادلة بمقدار 2 ، ثم تحصل على نفس المعادلة :.

الحالة الثانية عندما تكون الخطوط متوازية:

خطان مستقيمان متوازيان إذا وفقط إذا كانت معاملاتهما للمتغيرات متناسبة: لكن.

كمثال ، فكر في سطرين. نتحقق من تناسب المعاملات المقابلة للمتغيرات:

ومع ذلك ، فمن الواضح أن.

والحالة الثالثة عندما يتقاطع الخطان:

يتقاطع خطان مستقيمان إذا وفقط إذا كانت معاملاتهما للمتغيرات غير متناسبةأي أنه لا توجد قيمة لامدا بحيث يتم إرضاء المساواة

لذلك ، بالنسبة للخطوط المستقيمة ، سنقوم بتكوين النظام:

من المعادلة الأولى يتبع ذلك ، ومن المعادلة الثانية: النظام غير متسق (لا توجد حلول). وبالتالي ، فإن معاملات المتغيرات ليست متناسبة.

الخلاصة: تتقاطع الخطوط

في المشاكل العملية ، يمكنك استخدام مخطط الحل الذي تم النظر فيه للتو. بالمناسبة ، إنها تشبه إلى حد بعيد خوارزمية فحص المتجهات للعلاقة الخطية المتداخلة ، والتي اعتبرناها في الدرس مفهوم الاعتماد الخطي (غير) للناقلات. أساس المتجه... لكن هناك عبوة أكثر حضارة:

مثال 1

اكتشف الموضع النسبي للخطوط المستقيمة:

القرار بناءً على دراسة متجهات الاتجاه للخطوط المستقيمة:

أ) من المعادلات نجد متجهات الاتجاه للخطوط المستقيمة: .

، لذلك لا تكون المتجهات خطية وتتقاطع الخطوط.

فقط في حالة ، سأضع حجرًا بمؤشرات عند مفترق الطرق:

يقفز الباقي فوق الحجر ويتابع ، مباشرة إلى Kashchei the Immortal \u003d)

ب) ابحث عن متجهات الاتجاه للخطوط المستقيمة:

الخطوط لها نفس متجه الاتجاه ، مما يعني أنها إما متوازية أو متزامنة. ليست هناك حاجة لحساب المحدد هنا.

من الواضح أن معاملات المجهول متناسبة ، بينما.

دعونا نكتشف ما إذا كانت المساواة صحيحة:

وهكذا ،

ج) ابحث عن متجهات الاتجاه للخطوط المستقيمة:

دعونا نحسب المحدد المكون من إحداثيات هذه المتجهات:
ومن ثم فإن نواقل الاتجاه متداخلة. الخطوط إما موازية أو متزامنة.

من السهل رؤية معامل التناسب "لامدا" مباشرة من نسبة متجهات الاتجاه الخطي. ومع ذلك ، يمكن أيضًا العثور عليها من خلال معاملات المعادلات نفسها: .

الآن دعنا نكتشف ما إذا كانت المساواة صحيحة. كلا المصطلحين المجانيين صفرا ، لذلك:

القيمة الناتجة تحقق هذه المعادلة (أي رقم يرضيها بشكل عام).

وهكذا تتطابق الخطوط.

إجابة:

قريبا جدا سوف تتعلم (أو حتى تعلمت بالفعل) حل المشكلة المدروسة شفهيا في بضع ثوان فقط. في هذا الصدد ، لا أرى أي سبب لاقتراح أي شيء لحل مستقل ، فمن الأفضل وضع لبنة مهمة أخرى في الأساس الهندسي:

كيف نبني خطا مستقيما موازيا لخط معين؟

لجهل هذه المهمة الأبسط ، يعاقب العندليب السارق بشدة.

مثال 2

يتم إعطاء الخط المستقيم بواسطة المعادلة. يساوي خطًا متوازيًا يمر بنقطة.

القرار: دعنا نشير إلى الرسالة المباشرة غير المعروفة. ماذا يقول الشرط عنها؟ يمر الخط المستقيم بالنقطة. وإذا كانت الخطوط المستقيمة متوازية ، فمن الواضح أن متجه التوجيه للخط المستقيم "tse" مناسب لإنشاء الخط المستقيم "de".

نخرج متجه الاتجاه من المعادلة:

إجابة:

تبدو هندسة المثال بسيطة:

يتكون التحقق التحليلي من الخطوات التالية:

1) نتحقق من أن الخطوط لها نفس متجه الاتجاه (إذا لم يتم تبسيط معادلة الخط بشكل صحيح ، فستكون المتجهات على خط واحد).

2) تحقق مما إذا كانت النقطة تفي بالمعادلة التي تم الحصول عليها.

المراجعة التحليلية سهلة في معظم الحالات شفويا. انظر إلى المعادلتين ، وسيحدد الكثير منكم بسرعة التوازي بين الخطوط المستقيمة دون أي رسم.

ستكون أمثلة الحل الذاتي اليوم إبداعية. لأنه لا يزال عليك التنافس مع بابا ياجا ، وهي ، كما تعلم ، من محبي جميع أنواع الألغاز.

مثال 3

قم بعمل معادلة لخط مستقيم يمر بنقطة موازية لخط مستقيم إذا

هناك حل عقلاني وليس عقلانيًا جدًا. أقصر طريق في نهاية الدرس.

لقد قمنا ببعض العمل على الخطوط المتوازية وسنعود إليها لاحقًا. إن حالة تزامن الخطوط المستقيمة ليست ذات أهمية كبيرة ، لذا ضع في اعتبارك المشكلة التي تعرفها جيدًا المناهج الدراسية:

كيف تجد نقطة تقاطع خطين؟

إذا كان مستقيما تتقاطع عند نقطة ، ثم إحداثياتها هي الحل أنظمة المعادلات الخطية

كيف تجد نقطة تقاطع الخطوط؟ حل النظام.

جزيلا لك المعنى الهندسي لنظام من معادلتين خطيتين في مجهولين عبارة عن خطين متقاطعين (غالبًا) على مستوى مستو.

مثال 4

أوجد نقطة تقاطع الخطوط

القرار: هناك طريقتان لحل - رسومية وتحليلية.

الطريقة الرسومية هي ببساطة رسم خطوط البيانات ومعرفة نقطة التقاطع مباشرة من الرسم:

ها هي وجهة نظرنا :. للتحقق من ذلك ، يجب أن تستبدل إحداثياته \u200b\u200bفي كل معادلة للخط المستقيم ، يجب أن تناسب كلاهما هناك وهناك. بمعنى آخر ، إحداثيات نقطة هي حل النظام. في الأساس ، نظرنا إلى طريقة رسومية لحلها أنظمة المعادلات الخطية مع معادلتين ، مجهولين.

الطريقة الرسومية ، بالطبع ، ليست سيئة ، لكن هناك عيوب ملحوظة. لا ، النقطة ليست أن طلاب الصف السابع قرروا ذلك ، النقطة المهمة هي أن الأمر سيستغرق وقتًا للحصول على رسم صحيح ودقيق. بالإضافة إلى ذلك ، ليس من السهل إنشاء بعض الخطوط المستقيمة ، وقد تكون نقطة التقاطع نفسها موجودة في مكان ما في المملكة الثلاثين خارج ورقة دفتر الملاحظات.

لذلك ، من الأفضل البحث عن نقطة التقاطع باستخدام الطريقة التحليلية. لنحل النظام:

لحل النظام ، تم استخدام طريقة إضافة المصطلحات لكل مصطلح. قم بزيارة الدرس لتطوير المهارات ذات الصلة. كيف تحل نظام المعادلات؟

إجابة:

الشيك تافه - يجب أن تفي إحداثيات نقطة التقاطع بكل معادلة في النظام.

مثال 5

أوجد نقطة تقاطع الخطين إذا تقاطعا.

هذا مثال على حل افعل ذلك بنفسك. من المناسب تقسيم المهمة إلى عدة مراحل. يشير تحليل الحالة إلى ما هو مطلوب:
1) اصنع معادلة الخط المستقيم.
2) اصنع معادلة الخط المستقيم.
3) اكتشف الموضع النسبي للخطوط المستقيمة.
4) إذا تقاطع الخطان ، فابحث عن نقطة التقاطع.

يعد تطوير خوارزمية الإجراءات أمرًا نموذجيًا للعديد من المشكلات الهندسية ، وسأركز على هذا بشكل متكرر.

الحل الكامل والجواب في نهاية الدرس:

زوج من الأحذية لم يتهالك بعد ، كما وصلنا إلى القسم الثاني من الدرس:

خطوط مستقيمة متعامدة. المسافة من نقطة إلى خط.
الزاوية بين الخطوط المستقيمة

لنبدأ بمهمة نموذجية وهامة للغاية. في الجزء الأول ، تعلمنا كيفية بناء خط مستقيم موازٍ لهذا الخط ، والآن سيتحول الكوخ على أرجل الدجاج إلى 90 درجة:

كيف نبني خطًا عموديًا على خط معين؟

مثال 6

يتم إعطاء الخط المستقيم بواسطة المعادلة. يساوي خطًا عموديًا عبر نقطة.

القرار: بشرط من المعروف أن. سيكون من الجيد إيجاد متجه الاتجاه للخط المستقيم. نظرًا لأن الخطوط متعامدة ، فإن الحيلة بسيطة:

من المعادلة "أزل" المتجه الطبيعي: والذي سيكون متجه اتجاه الخط المستقيم.

دعونا نكوّن معادلة الخط المستقيم بنقطة ومتجه الاتجاه:

إجابة:

دعنا نوسع الرسم الهندسي:

هممم ... سماء برتقالية ، بحر برتقالي ، جمل برتقالي.

التحقق التحليلي من الحل:

1) أخرج متجهات الاتجاه من المعادلات وبمساعدة المنتج النقطي للناقلات وصلنا إلى استنتاج مفاده أن الخطوط المستقيمة هي في الواقع عمودية:.

بالمناسبة ، يمكنك استخدام المتجهات العادية ، الأمر أسهل.

2) تحقق مما إذا كانت النقطة تفي بالمعادلة التي تم الحصول عليها .

الشيك ، مرة أخرى ، من السهل القيام به شفويا.

مثال 7

أوجد نقطة تقاطع المستقيمات المتعامدة إذا كانت المعادلة معروفة و نقطة.

هذا مثال على حل افعل ذلك بنفسك. هناك العديد من الإجراءات في المهمة ، لذلك من الملائم وضع الحل نقطة تلو الأخرى.

تستمر رحلتنا المثيرة:

المسافة من نقطة إلى خط

أمامنا شريط مستقيم من النهر ومهمتنا هي الوصول إليه بأقصر الطرق. لا توجد عوائق ، وسيكون الطريق الأمثل هو الحركة على طول الخط العمودي. أي أن المسافة من نقطة إلى خط مستقيم هي طول الخط العمودي.

يُشار إلى المسافة في الهندسة بشكل تقليدي بالحرف اليوناني "ro" ، على سبيل المثال: - المسافة من النقطة "em" إلى الخط المستقيم "de".

المسافة من نقطة إلى خط معبر عنها بالصيغة

المثال 8

أوجد المسافة من نقطة إلى خط

القرار: كل \u200b\u200bما تحتاجه هو إدخال الأرقام بعناية في الصيغة وإجراء العمليات الحسابية:

إجابة:

لننفذ الرسم:

المسافة من النقطة إلى الخط الموجود هي بالضبط طول الخط الأحمر. إذا قمت برسم رسم على ورقة مربعة على مقياس من وحدة واحدة. \u003d 1 سم (خليتان) ، ثم يمكن قياس المسافة بمسطرة عادية.

ضع في اعتبارك مهمة أخرى لنفس المخطط:

تتمثل المهمة في إيجاد إحداثيات نقطة متناظرة مع نقطة بالنسبة إلى خط مستقيم ... أقترح تنفيذ الإجراءات بنفسك ، لكنني سأحدد خوارزمية الحل بالنتائج الوسيطة:

1) أوجد خطًا عموديًا على الخط.

2) أوجد نقطة تقاطع الخطوط: .

تم تفصيل كلا الإجراءين في هذا الدرس.

3) النقطة هي منتصف المقطع المستقيم. نحن نعرف إحداثيات الوسط وأحد النهايات. بواسطة الصيغ لإحداثيات نقطة منتصف المقطع نجد.

لن يكون من الضروري التحقق من أن المسافة تبلغ أيضًا 2.2 وحدة.

قد تنشأ صعوبات هنا في العمليات الحسابية ، ولكن في البرج ، تساعد الآلة الحاسبة الدقيقة بشكل كبير ، مما يسمح لك بحساب الكسور العادية. نصحت مرارا ، وسوف تقدم المشورة ومرة \u200b\u200bأخرى.

كيف تجد المسافة بين خطين متوازيين؟

المثال 9

أوجد المسافة بين خطين متوازيين

هذا مثال آخر لحل مستقل. اسمح لي أن أقدم لك تلميحًا بسيطًا: هناك طرق عديدة لا نهائية لحلها. استخلاص المعلومات في نهاية الدرس ، ولكن من الأفضل أن تحاول التخمين بنفسك ، أعتقد أن براعتك كانت مشتتة بشكل جيد.

الزاوية بين خطين مستقيمين

كل زاوية هي دعامة:


في الهندسة ، تُؤخذ الزاوية بين خطين مستقيمين على أنها أصغر زاوية ، مما يعني تلقائيًا أنه لا يمكن أن تكون منفرجة. في الشكل ، الزاوية التي يشير إليها القوس الأحمر لا تعتبر الزاوية بين الخطوط المستقيمة المتقاطعة. ويعتبر جاره "الأخضر" على هذا النحو ، أو موجهة عكسيا ركن "قرمزي".

إذا كانت الخطوط المستقيمة متعامدة ، فيمكن اعتبار أي من الزوايا الأربع كزاوية بينهما.

كيف تختلف الزوايا؟ اتجاه. أولاً ، اتجاه الزاوية "التمرير" ذو أهمية أساسية. ثانيًا ، تُكتب الزاوية ذات الاتجاه السالب بعلامة ناقص ، على سبيل المثال ، إذا.

لماذا قلت هذا؟ يبدو أنه يمكنك فعل ذلك بالمفهوم المعتاد للزاوية. الحقيقة هي أنه في الصيغ التي سنجد بها الزوايا ، يمكنك بسهولة الحصول على نتيجة سلبية ، وهذا لا ينبغي أن يفاجئك. الزاوية بعلامة ناقص ليست أسوأ ، ولها معنى هندسي محدد للغاية. في الرسم ، للحصول على زاوية سالبة ، تأكد من الإشارة إلى اتجاهها بسهم (في اتجاه عقارب الساعة).

كيف تجد الزاوية بين خطين مستقيمين؟ هناك صيغتان للعمل:

المثال 10

أوجد الزاوية بين الخطوط المستقيمة

القرار و الطريقة الأولى

ضع في اعتبارك خطين مستقيمين تعطيهما المعادلات بشكل عام:

إذا كان مستقيما غير عموديثم الموجهة يمكن حساب الزاوية بينهما باستخدام الصيغة:

دعنا ننتبه جيدًا إلى المقام - هذا بالضبط منتج عددي ناقلات الاتجاه للخطوط المستقيمة:

إذا اختفى مقام الصيغة ، وستكون المتجهات متعامدة والخطوط المستقيمة متعامدة. هذا هو السبب في إبداء تحفظ بشأن عدم تعامد الخطوط المستقيمة في الصياغة.

بناءً على ما سبق ، من الملائم ترتيب حل في خطوتين:

1) احسب الناتج القياسي لمتجهات الاتجاه للخطوط المستقيمة:
، لذلك فإن الخطوط المستقيمة ليست عمودية.

2) تم إيجاد الزاوية بين الخطوط المستقيمة بالصيغة:

عبر وظيفة عكسية من السهل العثور على الزاوية نفسها. في هذه الحالة ، نستخدم غرابة قوس الظل (انظر. الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية):

إجابة:

في الإجابة ، نشير إلى القيمة الدقيقة ، وكذلك القيمة التقريبية (يفضل أن تكون بالدرجات والراديان) ، المحسوبة باستخدام الآلة الحاسبة.

حسنًا ، ناقص ، ناقص ، لا بأس بذلك. هذا رسم هندسي:

ليس من المستغرب أن يكون للزاوية اتجاه سلبي ، لأن الرقم الأول في بيان المشكلة هو خط مستقيم ويبدأ به "التواء" الزاوية.

إذا كنت تريد حقًا الحصول على زاوية موجبة ، فأنت بحاجة إلى تبديل الخطوط المستقيمة ، أي أخذ المعاملات من المعادلة الثانية ، والمعاملات مأخوذة من المعادلة الأولى. باختصار ، يجب أن تبدأ بخط مستقيم .

المسافة من نقطة إلى خط مستقيم هي طول العمود الذي تم إسقاطه من نقطة إلى خط مستقيم. في الهندسة الوصفية ، يتم تحديدها بيانياً باستخدام الخوارزمية أدناه.

الخوارزمية

1. يتم نقل الخط المستقيم إلى موضع يكون فيه موازٍ لأي مستوى إسقاط. لهذا ، يتم استخدام طرق تحويل الإسقاطات المتعامدة.
2. من نقطة ، يتم رسم عمودي على خط مستقيم. يعتمد هذا البناء على نظرية الإسقاط زاوية مستقيمة.
3. يتم تحديد طول العمود العمودي عن طريق تحويل إسقاطاته أو باستخدام طريقة المثلث الأيمن.

يوضح الشكل التالي رسمًا معقدًا للنقطة M والخط b المحدد بواسطة مقطع CD. مطلوب للعثور على المسافة بينهما.

وفقًا للخوارزمية الخاصة بنا ، فإن أول شيء يجب فعله هو تحريك الخط إلى موضع موازٍ لمستوى الإسقاط. من المهم أن نفهم أنه بعد التحويلات ، يجب ألا تتغير المسافة الفعلية بين النقطة والخط. هذا هو السبب في أنه من الملائم استخدام طريقة استبدال الطائرات هنا ، والتي لا تتضمن شخصيات متحركة في الفضاء.

نتائج المرحلة الأولى من البناء موضحة أدناه. يوضح الشكل كيف يتم إدخال مستوى أمامي إضافي P 4 بالتوازي مع b. في النظام الجديد (P 1، P 4) النقاط C "" 1، D "" 1، M "" 1 على نفس المسافة من المحور X 1 مثل C "" ، D "" ، M "" من المحور X.

تنفيذ الجزء الثاني من الخوارزمية ، بدءًا من M "1" نخفض الخط العمودي M "" 1 N "" 1 إلى الخط المستقيم b "" 1 ، نظرًا لأن الزاوية اليمنى MND بين b و MN مسقطة على المستوى P 4 بالحجم الكامل. على خط الاتصال ، نحدد موضع النقطة N "وننفذ الإسقاط M" N "للجزء MN.

في المرحلة النهائية ، تحتاج إلى تحديد قيمة القطعة MN من خلال إسقاطاتها M "N" و M "" 1 N "" 1. لهذا نبني مثلث قائم M "" 1 N "" 1 N 0 ، حيث تكون الساق N "" 1 N 0 مساوية للفرق (Y M 1 - Y N 1) إزالة النقطتين M "و N" من المحور X 1. طول الوتر M "" 1 N 0 للمثلث M "" 1 N "" 1 N 0 يتوافق مع المسافة المرغوبة من M إلى b.

الحل الثاني

• بالتوازي مع القرص المضغوط ، نقدم مستوى أمامي جديدًا P 4. يتقاطع П 1 على طول المحور X 1 ، و X 1 درجة مئوية "D". وفقًا لطريقة استبدال المستويات ، نحدد إسقاطات النقاط C "" 1 ، D "" 1 و M "" 1 ، كما هو موضح في الشكل.
• عموديًا على C "" 1 D "" 1 ، نبني مستوى أفقيًا إضافيًا P 5 ، يُسقط عليه الخط المستقيم b على النقطة C "2 \u003d b" 2.
• يتم تحديد المسافة بين النقطة M والخط b بطول المقطع M "2 C" 2 المميز باللون الأحمر.

مهام مماثلة:

155 *. أوجد الحجم الفعلي للقطعة المستقيمة AB في الموضع العام (الشكل 153 ، أ).

القرار. كما تعلم ، فإن إسقاط قطعة مستقيمة على أي مستوى يساوي المقطع نفسه (مع الأخذ في الاعتبار مقياس الرسم) إذا كان موازياً لهذا المستوى

(الشكل 153 ، ب). ويترتب على ذلك أنه من خلال تحويل الرسم ، من الضروري تحقيق التوازي لهذا الجزء من المربع. V أو pl. H أو استكمال نظام V ، H مع مستوى آخر عمودي على pl. الخامس أو رر. ح وفي نفس الوقت موازية لهذا المقطع.

في التين. 153 ، في يظهر إدخال مستوى إضافي S \u200b\u200b، عمودي على pl. H وبالتوازي مع قطعة معينة AB.

الإسقاط a s b s يساوي القيمة الطبيعية للمقطع AB.

في التين. يُظهر 153 ، d تقنية أخرى: يتم تدوير الجزء AB حول خط مستقيم يمر عبر النقطة B وعمودي على pl. H إلى موضع موازٍ

رر V. في هذه الحالة ، تظل النقطة B في مكانها ، وتحتل النقطة A موقعًا جديدًا A 1. الأفق في الوضع الجديد. إسقاط а 1 ب || المحور السيني. الإسقاط "1 ب" يساوي القيمة الطبيعية للمقطع AB.

156- إعطاء هرم SABCD (شكل 154). تحديد الحجم الفعلي لحواف الهرم AS و CS ، باستخدام طريقة تغيير مستويات الإسقاط ، والحواف BS و DS ، باستخدام طريقة الدوران ، واتخاذ محور الدوران عموديًا على المربع. ح.

157 *. أوجد المسافة من النقطة أ إلى الخط المستقيم BC (الشكل 155 ، أ).

القرار. تُقاس المسافة من نقطة إلى خط مستقيم بواسطة مقطع عمودي مرسوم من نقطة إلى خط مستقيم.

إذا كان الخط المستقيم عموديًا على أي مستوى (الشكل 155.6) ، فإن المسافة من النقطة إلى الخط المستقيم تقاس بالمسافة بين إسقاط النقطة و نقطة الإسقاط خط مستقيم على هذه الطائرة. إذا كان الخط المستقيم يحتل موقعًا عامًا في نظام V ، H ، فمن أجل تحديد المسافة من نقطة إلى خط مستقيم عن طريق تغيير مستويات الإسقاط ، من الضروري إدخال طائرتين إضافيتين في نظام V ، H.

أولاً (الشكل 155 ، ج) ندخل رر. S موازية للقطعة BC (محور S / H الجديد موازي لإسقاط bc) ، وقم ببناء إسقاطات b s c s و a s. ثم (الشكل 155 ، د) نقدم رر آخر. T عمودي على الخط BC (محور T / S جديد متعامد على b s c s). نبني إسقاطات لخط ونقطة - باستخدام t (b t) و a t. المسافة بين النقطتين a t و c t (b t) تساوي المسافة l من النقطة A إلى الخط BC.

في التين. 155e ، يتم إنجاز نفس المهمة باستخدام طريقة الدوران في شكلها ، والتي تسمى طريقة الحركة المتوازية. أولاً ، الخط المستقيم BC والنقطة A ، مع الحفاظ على موضعهما المتبادل دون تغيير ، يستدير بعض الخط المستقيم (غير المشار إليه في الرسم) عموديًا على pl. H ، بحيث يكون الخط BC موازيًا للمربع. V. هذا يعادل تحريك النقاط A ، B ، C في المستويات الموازية للمربع. H. في هذه الحالة ، الأفق. لا يتغير إسقاط نظام معين (BC + A) سواء في الحجم أو في التكوين ، فقط موضعه بالنسبة إلى المحور x يتغير. نحن نضع الأفق. إسقاط الخط المستقيم BC الموازي للمحور x (الموضع b 1 c 1) وحدد الإسقاط أ 1 ، وتأجيل c 1 1 1 \u003d c-1 و 1 1 1 \u003d a-1 ، و 1 1 1 c 1 1 1. رسم خطوط مستقيمة ب "ب" 1 ، أ "أ" 1 ، ج "ج" 1 موازية للمحور س ، نجد الجبهة عليها. الإسقاط ب "1 ، أ" 1 ، ج "1. بعد ذلك ، ننقل النقاط B 1 و C 1 و A 1 في المستويات الموازية للمربع V (أيضًا بدون تغيير موضعها النسبي) ، وذلك للحصول على B 2 C 2 ⊥ مربع H. في هذه الحالة ، سيكون إسقاط الخط المستقيم عموديًا على س ، ب محاور 2 c "2 \u003d b" 1 c "1 ، ولإنشاء الإسقاط a" 2 ، خذ b "2 2" 2 \u003d b "1 2" 1 ، ارسم 2 "a" 2 ⊥ b "2 c" 2 وقم بتأجيلها أ "2 2" 2 \u003d أ "1 2" 1. الآن ، بعد الإنفاق من 1 إلى 2 ومن 1 إلى 2 || x 1 نحصل على الإسقاطات b 2 مع 2 و a 2 والمسافة المطلوبة l من النقطة A إلى الخط BC. يمكنك تحديد المسافة من A إلى BC بتدوير المستوى المحدد بالنقطة A والخط BC حول أفقي هذا المستوى إلى الموضع T || رر ح (الشكل 155 ، و).

في المستوى المحدد بالنقطة A والخط المستقيم BC ، ارسم خطًا أفقيًا A-1 (الشكل 155 ، ز) ونقطة الانعطاف B حوله ، تتحرك النقطة B إلى المربع. R (المعطاة في الرسم بواسطة الممر R h) ، عموديًا على A-1 ؛ عند النقطة O هي مركز دوران النقطة B. نحدد الآن القيمة الفعلية لنصف قطر دوران VO (الشكل 155 ، ج). في الموضع المطلوب ، أي عندما رر. T ، المعرفة بالنقطة A والخط BC ، ستصبح || رر H ، النقطة B سوف تتحول على R h على مسافة Ob 1 من النقطة O (قد يكون هناك موقع آخر على نفس المسار R h ، ولكن على الجانب الآخر من O). النقطة ب 1 هي الأفق. إسقاط النقطة B بعد نقلها إلى الموضع B 1 في الفضاء ، عندما يتخذ المستوى المحدد بالنقطة A والخط BC الموضع T.

برسم (الشكل 155 ، ط) خط مستقيم ب 1 1 ، نحصل على الأفق. إسقاط الخط المستقيم BC الموجود بالفعل || رر H في نفس المستوى مع A. في هذا الموضع ، المسافة من a إلى b 1 1 تساوي المسافة المطلوبة l. يمكن دمج المستوى P ، الذي تكمن فيه العناصر المعينة ، مع pl. H (الشكل 155 ، ي) ، تحول بل. الأفق من حولها. أثر. بالانتقال من تحديد المستوى بالنقطة A والخط المستقيم BC إلى تحديد الخطوط المستقيمة BC و A-1 (الشكل 155 ، ل) ، نجد آثارًا لهذه الخطوط المستقيمة ونرسم آثار P و P h من خلالها. نبني (الشكل 155 ، م) مع رر. موضع H الأمامي. تتبع - P ϑ0.

ارسم الأفق من خلال النقطة أ. إسقاط أمامي يمر الجزء الأمامي المحاذي بالنقطة 2 على المسار Р h بالتوازي مع Р ϑ0. النقطة أ 0 - مجتمعة مع رر. H هو موضع النقطة A. وبالمثل ، نجد النقطة B 0. أشعة الشمس المباشرة مع رر. يمر الموضع H بالنقطة B 0 والنقطة m (تتبع الخط الأفقي).

المسافة من النقطة A 0 إلى الخط B 0 C 0 تساوي المسافة المطلوبة l.

يمكنك تنفيذ البناء المشار إليه ، وإيجاد أثر واحد فقط P h (الشكل 155 و n و o). الهيكل بأكمله يشبه الدوران حول الأفقي (انظر الشكل 155 ، ز ، ج ، أنا): التتبع Р h هو أحد خطوط كفاف المربع. ص.

من بين طرق تحويل الرسم المعطى لحل هذه المشكلة ، يفضل أسلوب الدوران حول أفقي أو أمامي.

158. إعطاء الهرم SABC (شكل 156). تحديد المسافات:

أ) من الجزء العلوي B للقاعدة إلى جانبها AC بحركة موازية ؛

ب) من قمة الهرم S إلى الجانبين BC و AB من القاعدة بالتناوب حول الأفقي ؛

ج) من أعلى S إلى جانب AC للقاعدة عن طريق تغيير مستويات الإسقاط.

159. أُعطي منشور (شكل 157). تحديد المسافات:

أ) بين الحواف AD و CF بتغيير مستويات الإسقاط ؛

ب) بين الضلوع BE و CF بالتناوب حول الجبهة ؛

ج) بين الحواف AD و BE بحركة متوازية.

160. حدد الحجم الفعلي للرباعي ABCD (الشكل 158) عن طريق محاذاته مع pl. حاء. استخدم فقط تتبع المستوى الأفقي.

161 *. حدد المسافة بين خطوط العبور AB و CD (الشكل 159 ، أ) وقم بإنشاء إسقاطات للخط العمودي المشترك بينهما.

القرار. المسافة بين خطوط العبور تقاس بقطعة (MN) من العمودي على كلا الخطين (الشكل 159 ، ب). من الواضح ، إذا تم وضع أحد الخطوط المستقيمة بشكل عمودي على أي مربع. ثم تي

سيكون الجزء MN من الخط العمودي على كلا الخطين موازٍ للمربع. سيعرض الإسقاط T على هذا المستوى المسافة المطلوبة. إسقاط مناد الزاوية اليمنى MN n AB على المربع. T هي أيضًا زاوية قائمة بين m t n t و a t b t ، نظرًا لأن أحد جانبي الزاوية القائمة AMN ، وهو MN. بالتوازي مع رر. ت.

في التين. 159 و c و d المسافة المرغوبة l يتم تحديدها بواسطة طريقة تغيير مستويات الإسقاط. أولاً ، نقدم مربعًا إضافيًا. إسقاطات عمودية على رر. H وموازية للخط المستقيم CD (الشكل 159 ، ج). ثم نقدم مربعًا إضافيًا آخر. T عمودي على رر. S وعمودي على نفس الخط المستقيم CD (الشكل 159 ، د). يمكنك الآن إنشاء إسقاط للعمودي المشترك برسم m t n t من النقطة c t (d t) المتعامدة مع الإسقاط a t b t. النقطتان m t و n t هي إسقاطات لنقاط تقاطع هذا العمودي مع الخطوط المستقيمة AB و CD. عند النقطة m t (الشكل 159 ، هـ) نجد m s على a s b s: يجب أن يكون الإسقاط m s n s موازيًا لمحور T / S. علاوة على ذلك ، باستخدام m s و n s نجد m و n على ab و cd ، وعليهما m "و n" على "b" و c "d".

في التين. يوضح الشكل 159 ، ج حل هذه المشكلة بطريقة الحركات المتوازية. أولًا ، نضع قرصًا مضغوطًا مستقيمًا موازيًا للمربع. الخامس: الإسقاط ج 1 د 1 || x. بعد ذلك ، ننقل الخطوط المستقيمة CD و AB من الموضعين C 1 D 1 و A 1 B 1 إلى الموضعين C 2 B 2 و A 2 B 2 بحيث يكون C 2 D 2 عموديًا على H: الإسقاط مع "2 d" 2 x. يقع الجزء العمودي المطلوب || رر H ، وبالتالي m 2 n 2 تعبر عن المسافة المطلوبة l بين AB و CD. ابحث عن موضع الإسقاطات m "2 و n" 2 على "2 b" 2 و c "2 d" 2 ، ثم الإسقاطات و m 1 و m "1 و n 1 و n" 1 ، وأخيراً الإسقاطات m "و n "، م ون.

162- إعطاء هرم SABC (شكل 160). حدد المسافة بين الحافة SB والجانب AC لقاعدة الهرم وقم ببناء إسقاطات للعمودي المشترك على SB و AC ، مع تطبيق طريقة تغيير مستويات الإسقاط.

163. هرم معطى SABC (الشكل 161). أوجد المسافة بين الحافة SH والجانب BC من قاعدة الهرم ، وقم بتكوين إسقاط العمود العمودي المشترك على SX و BC ، باستخدام طريقة الحركة المتوازية.

164 *. حدد المسافة من النقطة A إلى المستوى في الحالات التي يُعطى فيها المستوى: أ) بالمثلث BCD (الشكل 162 ، أ) ؛ ب) آثار (الشكل 162 ، ب).

القرار. كما تعلم ، تُقاس المسافة من نقطة إلى مستو بقيمة عمودي مرسوم من نقطة إلى مستوى. هذه المسافة مسقطة على أي مربع. إسقاطات بالحجم الكامل ، إذا كان هذا المستوى عموديًا على المربع. توقعات (الشكل 162 ، ج). يمكن تحقيق هذا الموقف عن طريق تحويل الرسم ، على سبيل المثال ، عن طريق تغيير المربع. التوقعات. نقدم رر. S (الشكل 16 ج ، د) ، عمودي على رر. مثلث بى سى دى. للقيام بذلك ، ننفق في رر. المثلث الأفقي B-1 وضع محور الإسقاط S عموديًا على الإسقاط b-1 الأفقي. نبني إسقاطات لنقطة ومستوى - a s ومقطع c s d s. المسافة من a s إلى c s d s تساوي المسافة المطلوبة l من النقطة إلى المستوى.

في ريو. 162 ، يتم تطبيق طريقة الحركة المتوازية. نقوم بتحريك النظام بأكمله حتى يصبح أفقي المستوى B-1 متعامدًا على المستوى V: يجب أن يكون الإسقاط b 1 1 1 عموديًا على المحور x. في هذا الموضع ، سيصبح مستوى المثلث إسقاطًا أماميًا ، وستكون المسافة l من النقطة A إليه مربعة. الخامس بدون تشويه.

في التين. 162 ، ب يتم تعريف الطائرة بآثار. نقدم (الشكل 162 ، هـ) مربع إضافي. S عمودي على رر. P: محور S / H عمودي على P h. الباقي واضح من الرسم. في التين. 162 ، تم حل المشكلة بحركة واحدة: رر. ينتقل P إلى الموضع P 1 ، أي يصبح الإسقاط الأمامي. المسار. Р 1h عمودي على المحور x. نبني جبهة في هذا الموضع من الطائرة. التتبع الأفقي - النقطة n "1 ، n 1. سوف يمر التتبع P 1ϑ خلال P 1x و n 1. المسافة من" 1 إلى P 1ϑ تساوي المسافة المطلوبة l.

165. الهرم SABC موضح (انظر الشكل 160). حدد المسافة من النقطة A إلى واجهة SBC للهرم باستخدام طريقة الحركة المتوازية.

166- منح هرم SABC (انظر الشكل 161). أوجد ارتفاع الهرم باستخدام طريقة الحركة المتوازية.

167 *. حدد المسافة بين خطي التقاطع AB و CD (انظر الشكل 159 ، أ) باعتبارها المسافة بين المستويات المتوازية المرسومة عبر هذه الخطوط.

القرار. في التين. 163 ، ويظهر الطائرات المتوازية P و Q ، منها pl. يتم تنفيذ Q من خلال CD الموازي لـ AB و pl. R - عبر AB بالتوازي مع pl. س: المسافة بين هذه الطائرات هي المسافة بين خطوط العبور AB و CD. ومع ذلك ، يمكنك أن تقتصر على بناء مستوى واحد فقط ، على سبيل المثال ، Q ، بالتوازي مع AB ، ثم تحديد المسافة من النقطة A على الأقل إلى هذا المستوى.

في التين. يُظهر 163c المستوى Q المرسوم عبر القرص المضغوط بالتوازي مع AB ؛ في الإسقاطات المرسومة بحرف "e" || أ "ب" و م || أب. تطبيق طريقة تغيير المربع. الإسقاطات (الشكل 163 ، ج) ، نقدم مربعًا إضافيًا. S عمودي على رر. الخامس وفي نفس الوقت

عمودي على رر. Q. لرسم محور S / V ، خذ الجبهة D-1 في هذا المستوى. نرسم الآن S / V عموديًا على d "1" (الشكل 163 ، ج). رر سيتم عرض Q على رر. S كخط مستقيم مع s d s. الباقي واضح من الرسم.

168. إعطاء الهرم SABC (انظر الشكل 160). تحديد المسافة بين الضلوع SC و AB تطبيق: 1) طريقة تغيير المربع. الإسقاطات ، 2) طريقة الحركة المتوازية.

169 *. أوجد المسافة بين المستويين المتوازيين ، أحدهما يُعطى بخطوط مستقيمة AB و AC والآخر بخطوط مستقيمة DE و DF (الشكل 164 ، أ). نفذ أيضًا بناء الحالة عندما يتم تحديد الطائرات بآثار (الشكل 164 ، ب).

القرار. يمكن تحديد المسافة (الشكل 164 ، ج) بين المستويات المتوازية عن طريق رسم عمودي من أي نقطة في مستوى ما إلى مستوى آخر. في التين. 164 ، ز قدم رر إضافية. S عمودي على رر. H ولكلا الطائرات المعطاة. محور SH عمودي على الأفق. إسقاط أفقي مرسوم في إحدى المستويات. نبني إسقاطًا لهذا المستوى ونشير إلى مستوى آخر على المربع. 5. مسافة النقطة d s إلى الخط المستقيم l s a s تساوي المسافة المطلوبة بين المستويين المتوازيين.

في التين. 164 ، د تم إعطاء بناء آخر (وفقًا لطريقة الحركة الموازية). لكي يكون المستوى ، معبرًا عنه بخطوط مستقيمة متقاطعة AB و AC ، متعامدًا مع pl. الخامس ، الأفق. نضع إسقاط أفقي هذا المستوى عموديًا على المحور x: 1 1 2 1 ⊥ x. المسافة بين الجبهة. الإسقاط d "1 نقطة D والخط المستقيم" 1 2 "1 (الإسقاط الأمامي للمستوى) يساوي المسافة المطلوبة بين المستويين.

في التين. 164 ، ه يظهر إدخال رر إضافية. S ، عمودي على المنطقة H وعلى المستويين المعينين P و Q (يكون محور S / H عموديًا على المسارين P h و Q h). نبني آثار P s و Q s. المسافة بينهما (انظر الشكل 164 ، ج) تساوي المسافة المطلوبة l بين المستويين P و Q.

في التين. 164 ، g يوضح حركة الطائرات P 1 n Q 1 ، إلى الموضع P 1 و Q 1 ، عند الأفق. اتضح أن المسارات متعامدة مع المحور السيني. المسافة بين الجبهة الجديدة. بالتتبع P 1ϑ و Q 1ϑ تساوي المسافة المطلوبة l.

170. إعطاء ABCDEFGH متوازي السطوح (شكل 165). تحديد المسافات: أ) بين قواعد خط الموازي - ل 1 ؛ ب) بين الوجوه ABFE و DCGH - l 2 ؛ ج) بين الحواف ADHE و BCGF-l 3.