المدونة النصية للدرس:

أنت تعرف بالفعل حالتين للترتيب المتبادل للخطوط المستقيمة في الفضاء:

1. خطوط مستقيمة متقاطعة.

2. الخطوط المتوازية.

دعونا نتذكر تعريفاتهم.

تعريف. تسمى الخطوط في الفضاء متقاطعة إذا كانت تقع في نفس المستوى ولها نقطة مشتركة واحدة

تعريف. تسمى الخطوط في الفضاء بالتوازي إذا كانت تقع في نفس المستوى وليس لها نقاط مشتركة.

المشترك بين هذه التعريفات هو أن الخطوط تقع في نفس المستوى.

هذا ليس هو الحال دائمًا في الفضاء. يمكننا التعامل مع عدة مستويات ، ولن يقع كل خطين مستقيمين في نفس المستوى.

على سبيل المثال ، حواف المكعب ABCDA1B1C1D1

يقع AB و A1D1 في مستويات مختلفة.

تعريف. يُطلق على خطين تقاطع إذا لم يكن هناك مستوى يمر عبر هذه الخطوط. يتضح من التعريف أن هذه الخطوط لا تتقاطع وليست متوازية.

دعونا نثبت نظرية تعبر عن معيار الخطوط المتقاطعة.

نظرية (علامة الخطوط المتقاطعة).

إذا كان أحد الخطوط يقع في مستوى معين ، والخط الآخر يتقاطع مع هذا المستوى عند نقطة لا تنتمي إلى هذا الخط ، فإن هذين الخطين يتقاطعان.

يقع الخط AB في المستوى α. يتقاطع الخط CD مع المستوى α عند النقطة C التي لا تنتمي إلى الخط AB.

إثبات أن الخطين AB و DC متقاطعين.

دليل

سيتم الإثبات بالتناقض.

لنفترض أن AB و CD يقعان في نفس المستوى ، فإننا نشير إلى ذلك β.

ثم يمر المستوى عبر الخط AB والنقطة C.

من خلال النتيجة الطبيعية للبديهيات ، يمكن رسم مستوى من خلال الخط AB والنقطة C ليست ملقاة عليه ، وعلاوة على ذلك ، يمكن رسم مستوى واحد فقط.

لكن لدينا بالفعل مثل هذه الطائرة - الطائرة α.

وبالتالي ، فإن الطائرات β و α تتطابق.

لكن هذا مستحيل منذ ذلك الحين يتقاطع خط CD مع α ، لكنه لا يكمن فيه.

لقد وصلنا إلى تناقض ، وبالتالي ، فإن افتراضنا خاطئ. يقع AB و CD في

يتم عبور طائرات مختلفة.

تم إثبات النظرية.

إذن ، هناك ثلاث طرق ممكنة للترتيب المتبادل للخطوط المستقيمة في الفضاء:

أ) تتقاطع الخطوط ، أي أن لديها نقطة مشتركة واحدة فقط.

ب) الخطوط متوازية ، أي تقع في نفس المستوى وليس لها نقاط مشتركة.

ج) تتقاطع الخطوط المستقيمة ، أي لا تكذب في نفس الطائرة.

ضع في اعتبارك نظرية أخرى للخط المتقاطع

نظرية. من خلال كل خط من خطي العبور توجد طائرة موازية للخط الآخر ، وعلاوة على ذلك ، هناك طائرة واحدة فقط.

AB و CD - عبور الخطوط المستقيمة

أثبت وجود مستوى α بحيث يقع الخط AB في المستوى α ، والخط CD موازٍ للمستوى α.

دليل

دعونا نثبت وجود مثل هذه الطائرة.

1) من خلال النقطة أ ، ارسم خطًا AE موازٍ للقرص المضغوط.

2) نظرًا لتقاطع الخطوط المستقيمة AE و AB ، يمكن رسم مستوى من خلالها. دعونا نشير إليه بواسطة α.

3) بما أن الخط CD موازٍ لـ AE ، و AE يقع في المستوي α ، فإن الخط CD للمستوى α (بواسطة نظرية على عمودي الخط والمستوى).

المستوى α هو المستوى المطلوب.

دعنا نثبت أن المستوى α هو الوحيد الذي يفي بالشرط.

أي مستوى آخر يمر عبر الخط AB سوف يتقاطع مع AE ، وبالتالي خط CD موازٍ له. أي أن أي مستوى آخر يمر عبر AB يتقاطع مع الخط CD ، وبالتالي فهو ليس موازيًا له.

وبالتالي ، فإن المستوى α فريد من نوعه. تم إثبات النظرية.

في هذه المقالة ، سنقدم أولاً تعريف الزاوية بين الخطوط المتقاطعة ونقدم رسمًا توضيحيًا. بعد ذلك ، سنجيب على السؤال التالي: "كيف نوجد الزاوية بين عبور الخطوط المستقيمة ، إذا كانت إحداثيات متجهات الاتجاه لهذه الخطوط المستقيمة في نظام إحداثيات مستطيلة معروفة؟" في الختام ، سنتدرب على إيجاد الزاوية بين الخطوط المتقاطعة عند حل الأمثلة والمشكلات.

التنقل في الصفحة.

الزاوية بين الخطوط المتقاطعة - التعريف.

سوف نقترب من تحديد الزاوية بين الخطوط المتقاطعة تدريجياً.

أولاً ، تذكر تعريف الخطوط المتقاطعة: يتم استدعاء خطين في فضاء ثلاثي الأبعاد التهجينإذا لم يكذبوا في نفس الطائرة. ويترتب على هذا التعريف أن خطوط العبور لا تتقاطع ، وليست متوازية ، وعلاوة على ذلك ، لا تتطابق ، وإلا فسيقع كلاهما في مستوى معين.

فيما يلي بعض الحجج المساعدة.

لنفترض وجود خطين مستقيمين متقاطعين أ وب في فضاء ثلاثي الأبعاد. لنقم ببناء الخطين a 1 و b 1 بحيث يتوازيان مع المستقيمين المتقاطعين a و b ، على التوالي ، ويمران عبر نقطة ما في الفضاء M 1. وهكذا ، نحصل على خطين متقاطعين أ 1 وب 1. اجعل الزاوية بين الخطوط المستقيمة المتقاطعة a 1 و b 1 مساوية للزاوية. الآن سنقوم ببناء الخطين a 2 و b 2 ، بالتوازي مع المستقيمين المتقاطعين a و b ، على التوالي ، مرورين بالنقطة М 2 ، مختلفين عن النقطة М 1. الزاوية بين الخطين المستقيمين المتقاطعين a 2 و b 2 ستكون أيضًا مساوية للزاوية. هذه العبارة صحيحة ، لأن الخطين المستقيمين a 1 و b 1 سيتطابقان مع الخطين المستقيمين a 2 و b 2 ، على التوالي ، إذا أجريت ترجمة موازية ، حيث تنتقل النقطة M 1 إلى النقطة M 2. وبالتالي ، فإن قياس الزاوية بين خطين مستقيمين متقاطعين عند النقطة M ، بالتوازي مع الخطوط المستقيمة المتقاطعة المعينة ، لا يعتمد على اختيار النقطة M.

الآن نحن جاهزون لتحديد الزاوية بين خطوط العبور.

تعريف.

الزاوية بين خطوط العبور هي الزاوية بين خطين مستقيمين متقاطعين متوازيين على التوالي مع الخطوط المستقيمة المتقاطعة.

ويترتب على التعريف أن الزاوية بين خطوط العبور لن تعتمد أيضًا على اختيار النقطة M. لذلك ، كنقطة M ، يمكنك أخذ أي نقطة تنتمي إلى أحد الخطوط المتقاطعة.

دعونا نعطي توضيحًا لتعريف الزاوية بين خطوط العبور.

إيجاد الزاوية بين الخطوط المتقاطعة.

نظرًا لأن الزاوية بين الخطوط المستقيمة المتقاطعة يتم تحديدها من خلال الزاوية بين الخطوط المستقيمة المتقاطعة ، يتم تقليل إيجاد الزاوية بين الخطوط المستقيمة المتقاطعة لإيجاد الزاوية بين الخطوط المستقيمة المتقاطعة المقابلة في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

مما لا شك فيه أن الأساليب التي يتم تدريسها في دروس الهندسة في المدرسة الثانوية مناسبة لإيجاد الزاوية بين الخطوط المتقاطعة. أي بعد الانتهاء من الإنشاءات اللازمة ، يمكنك ربط الزاوية المرغوبة بأي زاوية معروفة من الحالة ، بناءً على تساوي أو تشابه الأشكال ، وفي بعض الحالات سيساعد ذلك نظرية جيب التمام، وأحيانًا تكون النتيجة تعريف الجيب وجيب التمام وظل الزاوية مثلث قائم.

ومع ذلك ، فمن الملائم جدًا حل مشكلة إيجاد الزاوية بين عبور الخطوط المستقيمة بطريقة الإحداثيات. هذا ما سننظر فيه.

دع Oxyz يتم تقديمه في الفضاء ثلاثي الأبعاد (ومع ذلك ، في العديد من المشاكل يجب إدخاله بشكل مستقل).

لنحدد لأنفسنا المهمة: إيجاد الزاوية بين خطي العبور المستقيمين أ وب ، والتي تتوافق مع بعض معادلات الخط المستقيم في الفراغ في نظام الإحداثيات المستطيل Oxyz.

دعونا نحلها.

خذ نقطة عشوائية من الفضاء ثلاثي الأبعاد M وافترض أن الخطوط المستقيمة 1 و b 1 تمر عبرها ، بالتوازي مع المستقيمين المتقاطعين أ وب ، على التوالي. ثم الزاوية المطلوبة بين الخطوط المستقيمة المتقاطعة a و b تساوي الزاوية بين الخطين المستقيمين المتقاطعين a 1 و b 1 حسب التعريف.

وبالتالي ، يبقى علينا إيجاد الزاوية بين الخطوط المستقيمة المتقاطعة a 1 و b 1. لتطبيق صيغة إيجاد الزاوية بين خطين مستقيمين متقاطعين في الفضاء ، نحتاج إلى معرفة إحداثيات متجهات الاتجاه للخطوط المستقيمة a 1 و b 1.

كيف يمكننا الحصول عليهم؟ انه بسيط جدا. يتيح لنا تعريف متجه الاتجاه للخط المستقيم أن نؤكد أن مجموعات متجهات الاتجاه للخطوط المستقيمة المتوازية تتطابق. لذلك ، بصفتنا متجهي الاتجاه للخطوط المستقيمة a 1 و b 1 ، يمكننا أخذ متجهات الاتجاه و سطور أ و ب على التوالي.

وبالتالي، الزاوية بين خطين مستقيمين متقاطعين أ و ب تحسب بالصيغة
أين و - متجهات الاتجاه للخطوط المستقيمة أ وب ، على التوالي.

صيغة لإيجاد جيب تمام الزاوية بين الخطوط المستقيمة المتقاطعة أ و ب له الشكل .

يسمح لك بإيجاد جيب الزاوية بين الخطوط المتقاطعة ، إذا كان جيب التمام معروفًا: .

يبقى لتحليل حلول الأمثلة.

مثال.

أوجد الزاوية بين عبور الخطوط المستقيمة أ وب ، والمحددة في نظام الإحداثيات المستطيل Oxyz بواسطة المعادلات و .

القرار.

تسمح لك المعادلات الأساسية للخط المستقيم في الفضاء بتحديد إحداثيات متجه التوجيه لهذا الخط المستقيم على الفور - يتم الحصول عليها من خلال الأرقام الموجودة في مقامات الكسور ، أي ، ... تتيح المعادلات البارامترية للخط المستقيم في الفضاء أيضًا تدوين إحداثيات متجه الاتجاه على الفور - فهي تساوي المعاملات أمام المعلمة ، أي ، - توجيه متجه لخط مستقيم ... وبالتالي ، لدينا جميع البيانات اللازمة لتطبيق الصيغة التي يتم بها حساب الزاوية بين خطوط العبور:

إجابة:

الزاوية بين خطوط العبور المحددة هي.

مثال.

أوجد جيب وجيب الزاوية بين الخطوط المستقيمة المتقاطعة التي تقع عليها الحواف AD و BC للهرم ABCD ، إذا كانت إحداثيات رءوسه معروفة :.

القرار.

المتجهات الموجهة لخطوط العبور AD و BC هي نواقل و. دعنا نحسب إحداثياتهم على أنها اختلاف الإحداثيات المقابلة لنقاط النهاية وبداية المتجه:

حسب الصيغة يمكننا حساب جيب التمام للزاوية بين خطوط العبور المحددة:

لنحسب الآن جيب الزاوية بين الخطوط المتقاطعة:

إجابة:

في الختام ، سننظر في حل المشكلة التي تتطلب إيجاد الزاوية بين عبور الخطوط المستقيمة ، ويجب إدخال نظام الإحداثيات المستطيلة بشكل مستقل.

مثال.

بالنظر إلى المستطيل المتوازي ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ، حيث AB \u003d 3 و AD \u003d 2 و AA 1 \u003d 7 وحدات. تقع النقطة E على الحافة AA 1 وتقسمها بنسبة 5 إلى 2 عد من النقطة A. أوجد الزاوية بين الخطين المتقاطعين BE و A 1 C.

القرار.

نظرًا لأن حواف خط متوازي السطوح المستطيل عند قمة واحدة متعامدة بشكل متبادل ، فمن الملائم إدخال نظام إحداثيات مستطيل ، وتحديد الزاوية بين خطوط العبور المشار إليها باستخدام طريقة الإحداثيات من خلال الزاوية بين متجهات الاتجاه لهذه الخطوط.

دعنا نقدم نظام إحداثيات مستطيل Oxyz على النحو التالي: دع أصل الإحداثيات يتطابق مع الرأس A ، ويتطابق محور Ox مع خط AD ، ومحور Oy مع خط AB ، ومحور Oz مع خط AA 1.

ثم تحتوي النقطة B على إحداثيات ، والنقطة E - (إذا لزم الأمر ، راجع المقالة) ، والنقطة A1 - ، والنقطة C -. من إحداثيات هذه النقاط ، يمكننا حساب إحداثيات المتجهات و. نملك , .

يبقى تطبيق الصيغة للعثور على الزاوية بين خطوط العبور على طول إحداثيات متجهات الاتجاه:

إجابة:

قائمة المراجع.

• Atanasyan L.S.، Butuzov V.F.، Kadomtsev S.B.، Kiseleva L.S.، Poznyak E.G. الهندسة. كتاب مدرسي للصفوف 10-11 من المدرسة الثانوية.
• Pogorelov A.V. ، الهندسة. كتاب مدرسي للصفوف 7-11 من المؤسسات التعليمية.
• بوغروف يس ، نيكولسكي إس إم. الرياضيات العليا. المجلد الأول: عناصر الجبر الخطي والهندسة التحليلية.
• Ilyin V.A.، Poznyak E.G. الهندسة التحليلية.

من السهل التعرف على الخطوط المستقيمة المتقاطعة من خلال هذه الميزات. العلامة 1. إذا كانت هناك أربع نقاط على خطين لا تقعان في نفس المستوى ، فإن هذه الخطوط تتقاطع (الشكل 1.21).

في الواقع ، إذا كانت هذه الخطوط ستتقاطع أو تكون متوازية ، فستقع في نفس المستوى ، وستكون هذه النقاط في نفس المستوى ، مما يتعارض مع الشرط.

العلامة 2. إذا كان الخط O يقع في المستوى ، والخط b يتقاطع مع المستوى a في نقطة ما

م ، لا يرقد على الخط المستقيم أ ، ثم يتقاطع الخطان المستقيمان أ وب (الشكل 1.22).

في الواقع ، بأخذ أي نقطتين على السطر أ وأي نقطتين على السطر ب ، نصل إلى الميزة 1 ، أي أ و ب هجن.

يتم إعطاء أمثلة حقيقية لتقاطع الخطوط المستقيمة بواسطة تقاطعات النقل (الشكل 1.23).

في الفضاء ، يوجد عدد أزواج من الخطوط المتقاطعة أكثر من أزواج الخطوط المتوازية أو المتقاطعة. ويمكن تفسير ذلك على النحو التالي.

دعونا نأخذ في الفضاء بعض النقطة A وبعض الخط المستقيم أ الذي لا يمر عبر النقطة A. لرسم خط مستقيم من خلال النقطة A موازية للخط أ ، من الضروري رسم المستوى أ خلال النقطة A وخط مستقيم أ (الاقتراح 2 في الفقرة 1.1) ، ثم في المستوى أ ارسم خطًا مستقيمًا ب موازٍ لخط مستقيم أ (الشكل 1.24).

لا يوجد سوى خط مستقيم واحد من هذا القبيل ب. جميع الخطوط التي تمر عبر النقطة A والخط المتقاطع O تقع أيضًا في المستوى a وتملأها جميعًا باستثناء الخط b. ستتقاطع جميع الخطوط المتبقية التي تمر عبر A وتملأ كل المساحة باستثناء المستوى a مع الخط a. يمكننا القول أن الخطوط المتقاطعة في الفضاء هي حالة عامة ، والخطوط المتقاطعة والمتوازية حالات خاصة. "اضطرابات صغيرة" في خطوط العبور تتركهم يعبرون. لكن خصائص التوازي أو التقاطع مع "الاضطرابات الصغيرة" في الفضاء لا يتم الحفاظ عليها.

الترتيب المتبادل خطين مستقيمين في الفضاء.

يتميز الموضع النسبي لخطين ومساحة بالاحتمالات الثلاثة التالية.

تقع الخطوط في مستوى واحد وليس لها نقاط مشتركة - خطوط متوازية.

تقع الخطوط على نفس المستوى ولها نقطة مشتركة واحدة - تتقاطع الخطوط.

في الفضاء ، يمكن أيضًا وضع خطين مستقيمين بحيث لا يقعان في أي مستوى. تسمى هذه الخطوط المستقيمة بالعبور (لا تتقاطع وليست متوازية).

مثال:

المشكلة 434 في المستوى يوجد مثلث ABC ، \u200b\u200ba

يقع المثلث ABC في المستوى ، والنقطة D ليست في هذا المستوى. النقاط M و N و K ، على التوالي ، هي نقاط المنتصف للمقاطع DA و DB و DC

نظرية. إذا كان أحد الخطين المستقيمين يقع في مستوى معين ، والآخر يتقاطع مع هذا المستوى وإلى نقطة لا تقع على الخط المستقيم الأول ، فإن هذه الخطوط المستقيمة تتقاطع.

في التين. يقع الخط 26 a في المستوى ، والخط c يتقاطع عند النقطة N. يتقاطع الخطان a و c.

نظرية.تمر طائرة واحدة فقط عبر كل من خطي العبور ، بالتوازي مع الخط الآخر.

في التين. 26 خطوط مستقيمة أ و ب تقاطع. خط أسود مستقيم ومستوى مرسوم أ (ألفا) || b (السطر a1 || b يشار إليه في المستوى B (تجريبي)).

نظرية 3.2.

خطان مستقيمان متوازيان مع الخط الثالث.

هذه الخاصية تسمى عبوريةتوازي الخطوط المستقيمة.

دليل

لنفترض أن الخطين a و b متوازيان في نفس الوقت مع الخط c. افترض أن a لا يوازي b ، ثم يتقاطع الخط a مع الخط b عند نقطة ما لا تقع على السطر c من خلال الفرضية. إذن ، لدينا خطان أ و ب يمران بالنقطة أ ، وليس على الخط المعطى ج ، ومتوازيان معًا في نفس الوقت. هذا يتعارض مع اكسيوم 3.1. تم إثبات النظرية.

نظرية 3.3.

من خلال نقطة لا تقع على خط مستقيم معين ، يمكن رسم خط مستقيم واحد فقط موازٍ للخط المعطى.

دليل

لنفترض أن (AB) خطًا معينًا ، وأن تكون C نقطة لا تقع عليها. يقسم الخط AC المستوى إلى نصفين. النقطة B تقع في إحداها. وفقًا للبديهية 3.2 ، من الممكن تأجيل الزاوية (ACD) التي تساوي الزاوية (CAB) من الشعاع C A إلى نصف مستوى آخر. ACD و CAB عبارة عن خطوط متقاطعة داخلية متساوية مع الخطوط AB و CD و secant (AC) ثم ، بواسطة Theorem 3.1 (AB) || (قرص مضغوط). مع الأخذ بعين الاعتبار البديهية 3.1. تم إثبات النظرية.

يتم إعطاء خاصية الخطوط المتوازية من خلال النظرية التالية ، والتي هي عكس النظرية 3.1.

نظرية 3.4.

إذا تم تقاطع خطين متوازيين بواسطة خط ثالث ، فإن الزوايا الداخلية الموجودة بالعرض تكون متساوية.

دليل

دع (AB) || (قرص مضغوط). افترض ACD ≠ BAC. ارسم خطًا AE يمر بالنقطة A بحيث يكون EAC \u003d ACD. ولكن بعد ذلك ، بواسطة Theorem 3.1 (AE) || (CD) ، وبحسب الفرضية - (AB) || (قرص مضغوط). حسب النظرية 3.2 (AE) || (AB). هذا يتناقض مع النظرية 3.3 ، التي بموجبها يمكن رسم خط مستقيم واحد موازٍ له من خلال النقطة A التي لا تقع على القرص المضغوط. تم إثبات النظرية.

الشكل 3.3.1.

بناءً على هذه النظرية ، يمكن تبرير الخصائص التالية بسهولة.

إذا تم عبور خطين متوازيين بواسطة خط ثالث ، فإن الزوايا المقابلة لها متساوية.

إذا تم تقاطع خطين متوازيين بواسطة خط ثالث ، فإن مجموع الزوايا الداخلية أحادية الجانب هو 180 درجة.

النتيجة الطبيعية 3.2.

إذا كان الخط متعامدًا على أحد الخطوط المتوازية ، فإنه يكون عموديًا على الآخر.

يسمح لنا مفهوم التوازي بتقديم المفهوم الجديد التالي ، والذي سنحتاجه لاحقًا في الفصل 11.

يتم استدعاء الشعاعين موجه بالتساويإذا كان هناك خط مستقيم ، فهي أولاً متعامدة مع هذا الخط المستقيم ، وثانياً ، تقع الأشعة في نفس المستوى النصف بالنسبة لهذا الخط المستقيم.

يتم استدعاء الشعاعين موجه بشكل معاكسإذا تم توجيه كل منهما بالتساوي مع شعاع مكمل للآخر.

سيتم الإشارة إلى الأشعة الموجهة بالتساوي AB و CD: والأشعة الموجهة بشكل معاكس AB و CD -

الشكل 3.3.2.

علامة خطوط العبور.

إذا كان أحد الخطين المستقيمين يقع في مستوى معين ، والخط المستقيم الآخر يتقاطع مع هذا المستوى في نقطة لا تقع على الخط المستقيم الأول ، فإن هذين الخطين يتقاطعان.

حالات الترتيب المتبادل للخطوط المستقيمة في الفضاء.

1. توجد أربع حالات مختلفة لخطين مستقيمين في الفضاء:

   
   

   - عبور مستقيم ، أي لا تكذب في نفس الطائرة ؛

   - تتقاطع الخطوط المستقيمة ، أي الاستلقاء في نفس المستوى ولديك نقطة مشتركة واحدة ؛

   - خطوط مستقيمة متوازية ، أي تقع في نفس المستوى ولا تتقاطع ؛

   - تتطابق الخطوط المستقيمة.

   
   

   دعونا نحصل على علامات هذه الحالات من الترتيب المتبادل للخطوط المستقيمة التي قدمتها المعادلات الكنسية

   
   
   أين - نقاط تنتمي إلى خطوط مستقيمة و على التوالي ، أ - ناقلات الاتجاه (الشكل 4.34). دعونا نشير بواسطة متجه يربط بين نقاط معينة.
   
   

   الحالات المذكورة أعلاه من الترتيب المتبادل للخطوط المستقيمة وتتوافق مع العلامات التالية:

   
   

   - النواقل المباشرة والمتقاطعة ليست متحد المستوى ؛

   
   

   - الخطوط المستقيمة والمتجهات المتقاطعة متحد المستوى ، لكن المتجهات ليست على خط واحد ؛

   
   

   - النواقل المباشرة والمتوازية متداخلة ، لكن النواقل ليست على خط واحد ؛

   
   

   - النواقل المستقيمة والمتطابقة متداخلة.

   
   

   يمكن كتابة هذه الشروط باستخدام خصائص المنتجات المختلطة والمتجهة. تذكر أن المنتج المختلط للمتجهات في نظام الإحداثيات المستطيل الأيمن موجود بالصيغة:

   
   
   ويتقاطع المحدد هو صفر ، وخطوطه الثانية والثالثة غير متناسبة ، أي
   

   - الخطان الثاني والثالث المستقيمان والمتوازيان متناسبان ، أي وأول سطرين غير متناسبين ، أي

   
   

   - جميع خطوط المحدد مستقيمة وتتطابق مع بعضها البعض ، أي

إثبات علامة الخطوط المتقاطعة.

إذا كان أحد الخطين يقع في مستوى ، والآخر يتقاطع مع هذا المستوى عند نقطة لا تنتمي إلى الخط الأول ، فإن هذين الخطين يتقاطعان.

دليل

دع a ينتمي إلى α ، b يتقاطع α \u003d A ، لا ينتمي A إلى (الرسم 2.1.2). افترض أن الخطين a و b غير متقاطعين ، أي أنهما يتقاطعان. ثم هناك المستوى β الذي ينتمي إليه الخطان أ وب. يقع الخط a والنقطة A في هذا المستوى β وبما أن الخط a والنقطة A خارجها يحددان مستوى فريدًا ، فإن then \u003d α لكن خيوط b β و b لا تنتمي إلى α ، وبالتالي ، فإن المساواة β \u003d α مستحيلة.

في أقل من دقيقة ، أنشأت ملف Vord جديدًا وواصلت الحديث عن هذا الموضوع المثير. تحتاج إلى التقاط لحظات من مزاج العمل ، لذلك لن تكون هناك مقدمة غنائية. سيكون هناك جلد مبتذل \u003d)

يمكن لمسافتين مستقيمتين:

1) تهجين.

2) تتقاطع عند نقطة ؛

3) كن متوازيًا ؛

4) المباراة.

القضية رقم 1 تختلف اختلافا جوهريا عن القضايا الأخرى. يتقاطع خطان مستقيمان إذا كانا لا يقعان في نفس المستوى... ارفع إحدى يديك لأعلى ومد اليد الأخرى للأمام - إليك مثال لعبور الخطوط المستقيمة. في النقاط 2-4 ، يجب أن تكون الخطوط المستقيمة في طائرة واحدة.

كيف تعرف الموضع النسبي للخطوط المستقيمة في الفضاء؟

ضع في اعتبارك مسافتين مستقيمتين:

- مستقيم، نقطة معينة وناقل الاتجاه.
- خط مستقيم معطى بنقطة ومتجه اتجاه.

لفهم أفضل ، دعنا نقوم برسم تخطيطي:

يُظهر الرسم خطوطًا مستقيمة متقاطعة كمثال.

كيف تتعامل مع هذه الخطوط المستقيمة؟

نظرًا لأن النقاط معروفة ، فمن السهل العثور على المتجه.

إذا كان مستقيما هجن، ثم النواقل لا متحد المستوى (انظر الدرس الاعتماد الخطي (غير) على النواقل. أساس المتجه) ، وبالتالي ، فإن المحدد المكون من إحداثياتها ليس صفريًا. أو ، التي هي نفسها في الواقع ، ستكون غير صفرية: .

في الحالات رقم 2-4 ، "يقع" بناؤنا في طائرة واحدة ، بينما المتجهات متحد المستوى، والمنتج المختلط للناقلات المعتمدة خطيًا يساوي صفرًا: .

نقوم بتدوير الخوارزمية أكثر. دعونا نتظاهر بذلك لذلك ، تتقاطع الخطوط أو تتوازى معها أو تتطابق.

إذا كانت ناقلات الاتجاه علاقة خطية متداخلة، فإن الخطوط إما موازية أو متطابقة. كمسمار أخير ، أقترح الأسلوب التالي: نأخذ أي نقطة من خط مستقيم واحد ونستبدل إحداثياته \u200b\u200bفي معادلة الخط المستقيم الثاني ؛ إذا كانت الإحداثيات "مناسبة" ، فإن الخطوط المستقيمة تتطابق ؛ إذا كانت "غير مناسبة" ، فإن الخطوط المستقيمة تكون متوازية.

إن تدفق الخوارزمية بسيط ، لكن الأمثلة العملية لا تزال غير مؤذية:

المثال 11

اكتشف الموضع النسبي لخطين مستقيمين

القرار: كما هو الحال في العديد من مشاكل الهندسة ، من الملائم وضع الحل وفقًا للنقاط:

1) نخرج النقاط ومتجهات الاتجاه من المعادلات:

2) ابحث عن المتجه:

وبالتالي ، تكون المتجهات متحد المستوى ، مما يعني أن الخطوط تقع في نفس المستوى ويمكن أن تتقاطع أو تكون متوازية أو متطابقة.

4) تحقق من متجهات الاتجاه من أجل العلاقة الخطية المتداخلة.

لنؤلف نظامًا للإحداثيات المقابلة لهذه المتجهات:

من كل تشير المعادلة إلى أن النظام متسق ، والإحداثيات المقابلة للمتجهات متناسبة ، والمتجهات على خط واحد.

الخلاصة: الخطوط المستقيمة متوازية أو متزامنة.

5) دعنا نكتشف ما إذا كانت الخطوط لها نقاط مشتركة. خذ نقطة تنتمي إلى السطر الأول واستبدل إحداثياتها في معادلات الخط:

وبالتالي ، لا توجد نقاط مشتركة بين الخطوط ، وليس أمامها خيار سوى أن تكون متوازية.

إجابة:

مثال مثير للاهتمام لحل مستقل:

المثال 12

اكتشف الموضع النسبي للخطوط المستقيمة

هذا مثال على حل افعل ذلك بنفسك. لاحظ أن السطر الثاني يحتوي على حرف كمعامل. فمن المنطقي. بشكل عام ، هذان خطان مستقيمان مختلفان ، لذلك كل خط مستقيم له معامله الخاص.

ومرة أخرى أحثك \u200b\u200bعلى عدم تخطي الأمثلة ، سأقوم بجلد المشاكل التي أعرضها بعيدة كل البعد عن العشوائية ؛-)

مشاكل مع وجود خط مستقيم في الفضاء

في الجزء الأخير من الدرس ، سأحاول التفكير في أكبر عدد ممكن من المشاكل المختلفة مع الخطوط المكانية. في هذه الحالة ، سيتم احترام ترتيب بداية السرد: أولاً سننظر في مشاكل تقاطع الخطوط المستقيمة ، ثم مع الخطوط المستقيمة المتقاطعة ، وفي النهاية سنتحدث عن الخطوط المتوازية في الفضاء. ومع ذلك ، يجب أن أقول إن بعض مهام هذا الدرس يمكن صياغتها في وقت واحد للعديد من حالات ترتيب الخطوط المستقيمة ، وفي هذا الصدد ، فإن تقسيم القسم إلى فقرات أمر تعسفي إلى حد ما. هناك أكثر أمثلة بسيطة، هناك أمثلة أكثر تعقيدًا ، ونأمل أن يجد الجميع ما يحتاجون إليه.

عبرت خطوط مستقيمة

أذكرك أن الخطوط المستقيمة تتقاطع إذا لم يكن هناك مستوى يقع فيه كلاهما. عندما كنت أفكر في هذه الممارسة ، خطرت على بالي مشكلة وحش ، ويسعدني الآن أن أقدم انتباهك إلى تنين له أربعة رؤوس:

المثال 13

معطى خطوط مستقيمة. مطلوب:

أ) إثبات أن الخطوط المستقيمة تتقاطع ؛

ب) إيجاد معادلات خط مستقيم يمر بنقطة متعامدة على هذه الخطوط المستقيمة ؛

ج) يؤلف معادلات الخط المستقيم الذي يحتوي عليه عمودي مشترك عبور الخطوط المستقيمة

د) أوجد المسافة بين السطور.

القرار: الطريق يتقن السير:

أ) دعنا نثبت أن الخطوط تتقاطع. ابحث عن النقاط ونواقل الاتجاه لهذه الخطوط:

ابحث عن المتجه:

دعونا نحسب منتج مختلط من النواقل:

وهكذا نواقل لا متحد المستوىوهو ما يعني أن الخطوط تتقاطع وهو المطلوب لإثباته.

ربما لاحظ الجميع منذ فترة طويلة أنه بالنسبة لعبور الخطوط ، تبين أن خوارزمية التحقق هي الأقصر.

ب) أوجد معادلات الخط المستقيم الذي يمر بنقطة ويكون عموديًا على الخطوط المستقيمة. لننفذ رسمًا تخطيطيًا:

من أجل التغيير ، لقد وضعت خطاً مستقيماً خلف بشكل مستقيم ، انظر كيف تم محوه قليلاً عند نقاط العبور. تهجين؟ نعم ، في الحالة العامة ، سيتقاطع الخط المستقيم "de" مع الخطوط المستقيمة الأصلية. على الرغم من أننا لسنا مهتمين بهذه اللحظة ، إلا أننا نحتاج فقط إلى بناء خط عمودي وهذا كل شيء.

ما هو معروف عن "دي" المباشر؟ النقطة التي تنتمي إليها معروفة. متجه الاتجاه مفقود.

حسب الشرط ، يجب أن يكون الخط المستقيم عموديًا على الخطوط المستقيمة ، مما يعني أن متجه اتجاهه سيكون متعامدًا مع متجهات الاتجاه. مألوفًا بالفعل من دافع المثال رقم 9 ، ابحث عن المنتج التبادلي:

لنؤلف معادلات الخط المستقيم "de" بالنقطة ومتجه الاتجاه:

منجز. من حيث المبدأ ، يمكنك تغيير العلامات في القواسم وكتابة الإجابة بالصيغة ولكن لا داعي لذلك.

للتحقق ، من الضروري استبدال إحداثيات النقطة في المعادلات التي تم الحصول عليها للخط المستقيم ، ثم استخدام المنتج النقطي للناقلاتتأكد من أن المتجه متعامد بالفعل مع متجهات الاتجاه "pe one" و "pe two".

كيفية إيجاد معادلات الخط المستقيم الذي يحتوي على عمودي مشترك؟

ج) ستكون هذه المهمة أكثر صعوبة. يوصي الدمى بتخطي هذه النقطة ، لا أريد أن أهدأ تعاطفك الصادق مع الهندسة التحليلية \u003d) بالمناسبة ، بالنسبة للقراء الأكثر استعدادًا ، قد يكون من الأفضل الانتظار أيضًا ، والحقيقة هي أنه من حيث التعقيد ، يجب وضع المثال في آخر مرة في المقالة ، ولكن وفقًا للمنطق يجب أن يكون موجودًا هنا.

لذلك ، من الضروري إيجاد معادلات الخط المستقيم ، الذي يحتوي على العمود العمودي المشترك للخطوط المستقيمة المتقاطعة.

عبارة عن قطعة مستقيمة تربط بين الخطوط المعينة وعمودي على الخطوط المحددة:

ها هو رجلنا الوسيم: - العمودي المشترك للخطوط المتقاطعة. هو الوحيد. لا يوجد مثل هذا. نحتاج أيضًا إلى تكوين معادلات الخط المستقيم الذي يحتوي على المقطع المحدد.

ما هو معروف عن المستقيم "اه"؟ متجه اتجاهه ، الموجود في الفقرة السابقة ، معروف. لكن للأسف لا نعرف نقطة واحدة تنتمي إلى الخط المستقيم "أه" ، لا نعرف نهايات النقاط المتعامدة. أين يتقاطع هذا الخط العمودي مع الخطين الأصليين؟ في أفريقيا ، في القارة القطبية الجنوبية؟ من المراجعة والتحليل الأوليين للحالة ، ليس من الواضح على الإطلاق كيفية حل المشكلة…. لكن هناك حركة صعبة مرتبطة باستخدام المعادلات البارامترية للخط المستقيم.

نصدر القرار حسب النقاط:

1) دعنا نعيد كتابة معادلات الخط المستقيم الأول في شكل حدودي:

ضع في اعتبارك نقطة. نحن لا نعرف الإحداثيات. لكن... إذا كانت نقطة ما تنتمي إلى خط مستقيم معين ، فإنها تتوافق مع إحداثياتها ، ونشير إليها بواسطة. ثم يتم كتابة إحداثيات النقطة بالشكل:

الحياة تتحسن ، واحدة غير معروفة - بعد كل شيء ، ليست ثلاثة مجاهيل.

2) يجب تنفيذ نفس الغضب على النقطة الثانية. دعنا نعيد كتابة معادلات الخط المستقيم الثاني بالصيغة البارامترية:

إذا كانت نقطة ما تنتمي إلى خط مستقيم معين ، إذن بقيمة محددة للغايةيجب أن تلبي إحداثياته \u200b\u200bالمعادلات البارامترية:

أو:

3) سيكون المتجه ، مثل المتجه الموجود سابقًا ، هو متجه الاتجاه للخط المستقيم. تم اعتبار كيفية تكوين المتجه بنقطتين في الدرس في العصور القديمة ناقلات للدمى... الفرق الآن هو أن إحداثيات المتجهات مكتوبة بقيم معلمة غير معروفة. وماذا في ذلك؟ لا أحد يحظر طرح الإحداثيات المقابلة لبداية المتجه من إحداثيات نهاية المتجه.

هناك نقطتان: .

ابحث عن المتجه:

4) نظرًا لأن متجهات الاتجاه متداخلة ، يتم التعبير عن أحد المتجهات خطيًا من خلال الآخر بمعامل تناسب معين "لامدا":

أو تنسيق:

اتضح أن هذا ليس هو المعتاد نظام المعادلات الخطية مع ثلاثة مجاهيل ، وهي قابلة للحل في المعيار ، على سبيل المثال ، طريقة كرامر... ولكن هنا توجد فرصة للتخلص من القليل من الدم ، من المعادلة الثالثة نعبر عن "لامدا" ونستبدلها في المعادلتين الأولى والثانية:

هكذا: ، ولسنا بحاجة إلى لامدا. حقيقة أن قيم المعلمات اتضح أنها متطابقة هي محض مصادفة.

5) السماء صافية تمامًا ، استبدل القيم الموجودة إلى نقاطنا:

ليست هناك حاجة خاصة لمتجه الاتجاه ، حيث تم العثور على زميله بالفعل.

بعد رحلة طويلة ، من الممتع دائمًا التحقق.

:

يتم الحصول على المساواة الصحيحة.

عوّض بإحداثيات النقطة في المعادلات :

يتم الحصول على المساواة الصحيحة.

6) الوتر النهائي: قم بتكوين معادلات خط مستقيم على طول نقطة (يمكنك أن تأخذها) ومتجه اتجاه:

من حيث المبدأ ، يمكنك التقاط نقطة "جيدة" بإحداثيات عدد صحيح ، لكن هذه نقطة تجميلية بالفعل.

كيف تجد المسافة بين الخطوط المتقاطعة؟

د) قطعنا رأس التنين الرابع.

الطريقة الأولى... ليست حتى طريقة ، بل حالة خاصة صغيرة. المسافة بين خطوط العبور تساوي طول عموديها المشترك: .

النقاط المتطرفة للعمودي المشترك الموجودة في الفقرة السابقة ، والمهمة أساسية:

الطريقة الثانية... من الناحية العملية ، غالبًا ما تكون نهايات العمود العمودي المشترك غير معروفة ، لذلك يتم استخدام نهج مختلف. يمكن رسم المستويات المتوازية من خلال خطين متقاطعين ، والمسافة بين هذين المستويين تساوي المسافة بين هذين الخطين. على وجه الخصوص ، يبرز عمودي مشترك بين هذه الطائرات.

في سياق الهندسة التحليلية ، من الاعتبارات المذكورة أعلاه ، تم اشتقاق صيغة لإيجاد المسافة بين عبور الخطوط المستقيمة:
(بدلاً من نقاطنا "أه واحد ، اثنان" يمكنك أن تأخذ نقاطًا عشوائية للخطوط المستقيمة).

منتج مختلط من النواقل وجدت بالفعل في الفقرة "أ": .

نتاج ناقلات من النواقل وجدت في البند "bae": لنحسب طوله:

هكذا:

دعونا نضع الجوائز بفخر في صف واحد:

إجابة:
و) ، مما يعني أن الخطوط تتقاطع ، وهو الأمر المطلوب لإثبات ذلك ؛
ب) ;
في) ;
د)

ماذا يمكنك أن تخبرنا أيضًا عن عبور الخطوط المستقيمة؟ يتم تحديد زاوية بينهما. لكننا سننظر في صيغة الزاوية الشاملة في الفقرة التالية:

تكمن خطوط الفضاء المستقيمة المتقاطعة بالضرورة في نفس المستوى:

الفكرة الأولى هي الاعتماد على التقاطع بكل قوتك. وفكرت على الفور لماذا تحرم نفسك من الرغبات الصحيحة ؟! دعونا ننقض عليها الآن!

كيف تجد نقطة تقاطع الخطوط المكانية؟

المثال 14

أوجد نقطة تقاطع الخطوط

القرار: لنعد كتابة معادلات الخطوط المستقيمة بالصيغة البارامترية:

تمت مناقشة هذه المهمة بالتفصيل في المثال رقم 7 من هذا الدرس (انظر. معادلات الخط المستقيم في الفراغ). والخطوط المستقيمة نفسها ، بالمناسبة ، مأخوذة من مثال رقم 12. لن أكذب ، أنا كسول جدًا لاختراع خطوط جديدة.

الحل قياسي وقد تمت مواجهته بالفعل عندما نطحن معادلات الخط العمودي المشترك للخطوط المتقاطعة.

تنتمي نقطة تقاطع الخطوط المستقيمة إلى الخط المستقيم ، وبالتالي فإن إحداثياتها تفي بالمعادلات البارامترية للخط المستقيم المحدد ، وتتوافق مع قيمة معلمة محددة تمامًا:

لكن نفس النقطة تنتمي إلى الخط المستقيم الثاني ، لذلك:

نحن نساوي المعادلات المقابلة ونجري التبسيط:

نظام من ثلاث معادلات خطية مع مجهولين. إذا تقاطعت الخطوط (كما ثبت في المثال 12) ، فإن النظام يكون بالضرورة متوافقًا ولديه حل فريد. يمكن حلها طريقة جاوس، لكننا لن نخطئ بمثل هذه الشهوة الجنسية في رياض الأطفال ، سنفعل ذلك أسهل: من المعادلة الأولى سنعبّر عن "te zero" ونستبدله في المعادلتين الثانية والثالثة:

اتضح أن المعادلتين الأخيرتين في الواقع هي نفسها ، ويترتب على ذلك. ثم:

استبدل القيمة التي تم العثور عليها للمعامل في المعادلات:

إجابة:

للتحقق ، استبدلنا القيمة التي تم العثور عليها للمعامل في المعادلات:
تم الحصول على نفس الإحداثيات كما هو مطلوب للتحقق منها. يمكن للقراء الدقيقين استبدال إحداثيات نقطة في المعادلات الأساسية للخطوط المستقيمة.

بالمناسبة ، كان من الممكن القيام بالعكس: إيجاد النقطة من خلال "es zero" ، والتحقق من خلال "te zero".

هناك علامة رياضية معروفة تقول: عندما يناقشون تقاطع الخطوط المستقيمة ، تنبعث منها دائمًا رائحة المتعامدة.

كيف نبني خطًا من الفضاء عموديًا على خط معين؟

(خطوط تتقاطع)

المثال 15

أ) اصنع معادلات خط مستقيم يمر بنقطة متعامدة على خط مستقيم (تتقاطع الخطوط).

ب) أوجد المسافة من نقطة إلى خط مستقيم.

ملحوظة : عبارة "تتقاطع الخطوط" - أساسى... من خلال النقطة
يمكنك رسم عدد لا نهائي من الخطوط المستقيمة المتعامدة التي ستتقاطع مع "البيرة" المستقيمة. الحل الوحيد يحدث عندما يتم رسم خط مستقيم من خلال هذه النقطة ، عموديًا عليها اثنان معطى بخط مستقيم (انظر المثال رقم 13 ، النقطة "ب").

و) القرار: يتم الإشارة إلى الخط المجهول بواسطة. لننفذ رسمًا تخطيطيًا:

ما هو معروف عن الخط المستقيم؟ حسب الشرط ، يتم إعطاء نقطة. لتكوين معادلات الخط المستقيم ، من الضروري إيجاد متجه الاتجاه. المتجه مناسب تمامًا مثل هذا المتجه ، وسنتعامل معه. بتعبير أدق ، دعنا نأخذ النهاية المجهولة للمتجه من قفاه.

1) دعنا نخرج متجه الاتجاه من معادلات الخط المستقيم "el" ، ونعيد كتابة المعادلات نفسها في شكل حدودي:

لقد خمّن الكثيرون أنه للمرة الثالثة في الدرس ، سيخرج الساحر بجعة بيضاء من قبعته. ضع في اعتبارك نقطة ذات إحداثيات غير معروفة. منذ النقطة ، فإن إحداثياتها تفي بالمعادلات البارامترية للخط المستقيم "el" وتتوافق مع قيمة محددة للمعامل:

أو في سطر واحد:

2) حسب الشرط ، يجب أن تكون الخطوط المستقيمة عمودية ، وبالتالي ، فإن متجهات اتجاهها متعامدة. وإذا كانت المتجهات متعامدة ، فعندئذٍ منتج عددي يساوي صفر:

ماذا حدث؟ أبسط معادلة خطية مجهول واحد:

3) قيمة المعلمة معروفة ، نجد النقطة:

وناقل الاتجاه:
.

4) لنؤلف معادلات الخط المستقيم بنقطة ومتجه الاتجاه:

تبين أن مقامات النسبة كسرية ، وهذا هو الحال بالضبط عندما يكون من المناسب التخلص من الكسور. سأضربهم في -2:

إجابة:

ملحوظة : يتم تشكيل نهاية أكثر صرامة للحل على النحو التالي: نقوم بتكوين معادلات خط مستقيم على طول نقطة ومتجه اتجاه. في الواقع ، إذا كان المتجه عبارة عن متجه موجه لخط مستقيم ، فإن المتجه الخطي المتجه له سيكون بطبيعة الحال أيضًا متجهًا لخط مستقيم معين.

يتكون الشيك من مرحلتين:

1) تحقق من متجهات الاتجاه للخطوط المستقيمة من أجل التعامد ؛

2) نعوض بإحداثيات النقطة في معادلات كل خط مستقيم ، يجب أن "تناسب" كلاهما هناك وهناك.

قيل الكثير عن الإجراءات النموذجية ، لذلك راجعت المسودة.

بالمناسبة ، لقد نسيت أيضًا النقطة - لبناء نقطة "siu" متناظرة مع النقطة "en" بالنسبة إلى الخط المستقيم "el". ومع ذلك ، هناك "تناظرية مسطحة" جيدة ، والتي يمكن العثور عليها في المقالة أبسط مسائل الخط المستقيم على المستوى... هنا ، سيكون كل الفرق في تنسيق "زيتا" الإضافي.

كيف تجد المسافة من نقطة إلى خط في الفضاء؟

ب) القرار: أوجد المسافة من نقطة إلى خط مستقيم.

الطريقة الأولى... هذه المسافة تساوي تمامًا طول العمود العمودي :. الحل واضح: إذا كانت النقاط معروفة ، ثم:

الطريقة الثانية... في المهام العملية ، غالبًا ما تكون قاعدة العمود العمودي سرًا وراء سبعة أختام ، لذا فمن المنطقي استخدام صيغة جاهزة.

يتم التعبير عن المسافة من نقطة إلى خط مستقيم بواسطة الصيغة:
، أين هو متجه التوجيه للخط المستقيم "el" ، و - اعتباطيانقطة تنتمي إلى الخط المحدد.

1) من معادلات الخط المستقيم نحصل على متجه الاتجاه والنقطة الأكثر سهولة.

2) النقطة معروفة من الحالة ، شحذ المتجه:

3) البحث المنتوج الوسيط وحساب طوله:

4) احسب طول متجه الاتجاه:

5) وبالتالي ، فإن المسافة من نقطة إلى خط مستقيم: