الحل x 5. حل المعادلات الخطية مع الأمثلة. كيفية حل المعادلات: إضافة أو طرح

لحل الرياضيات. ابحث بسرعة حل معادلة رياضية في الوضع عبر الانترنت... موقع www.site يسمح حل المعادلة تقريبا أي معطى جبري, حساب المثاثات أو المعادلة المتسامية عبر الإنترنت... عند دراسة أي فرع من فروع الرياضيات تقريبًا في مراحل مختلفة ، عليك حلها المعادلات عبر الإنترنت... للحصول على إجابة على الفور ، والأهم من ذلك إجابة دقيقة ، تحتاج إلى مورد يتيح لك القيام بذلك. شكرا لموقع www.site حل المعادلات عبر الإنترنت سيستغرق بضع دقائق. الميزة الرئيسية لموقع www.site في حل الرياضيات المعادلات عبر الإنترنت هي سرعة ودقة الاستجابة. الموقع قادر على حل أي المعادلات الجبرية على الإنترنت, المعادلات المثلثية على الإنترنت, المعادلات المتسامية عبر الإنترنتو و المعادلات مع معلمات غير معروفة في الوضع عبر الانترنت. المعادلات بمثابة جهاز رياضي قوي حلول مهام عملية. مع مساعدة معادلات رياضية يمكنك التعبير عن الحقائق والعلاقات التي قد تبدو مربكة ومعقدة للوهلة الأولى. كميات غير معروفة المعادلات يمكن العثور عليها من خلال صياغة المشكلة على رياضي لغة في النموذج المعادلات و قرر المهمة المستلمة في الوضع عبر الانترنت على الموقع www.site. أي معادلة جبرية, المعادلة المثلثية أو المعادلات تحتوي متسام يعمل بسهولة قرر عبر الإنترنت واحصل على الإجابة الدقيقة. بدراسة العلوم الطبيعية ، فإنك حتما تواجه الحاجة حل المعادلات... في هذه الحالة ، يجب أن تكون الإجابة دقيقة ويجب استلامها على الفور في الوضع عبر الانترنت... لذلك حل المعادلات الرياضية عبر الإنترنت نوصي باستخدام موقع الويب www.site ، والذي سيصبح الآلة الحاسبة التي لا يمكن الاستغناء عنها في حل المعادلات الجبرية عبر الإنترنت, المعادلات المثلثية عبر الانترنتو و المعادلات المتسامية عبر الإنترنت أو المعادلات مع معلمات غير معروفة. لمهام عملية لإيجاد جذور متنوعة معادلات رياضية الموارد www .. حل المعادلات عبر الإنترنت بمفردك ، من المفيد اختبار الإجابة التي تلقيتها باستخدام حل عبر الإنترنت المعادلات على الموقع www.site. من الضروري كتابة المعادلة بشكل صحيح والحصول على الفور حل عبر الإنترنت، وبعد ذلك يبقى فقط مقارنة الإجابة بحل المعادلة. لن يستغرق الأمر أكثر من دقيقة للتحقق من الإجابة ، يكفي حل المعادلة على الإنترنت وقارن الإجابات. سيساعدك هذا على تجنب الأخطاء في القرار وتصحيح الإجابة في الوقت المناسب حل المعادلات عبر الإنترنت إما جبري, حساب المثاثات, متسام أو المعادلة مع معلمات غير معروفة.

المعادلة هي المساواة التي يوجد فيها مصطلح غير معروف - x. يجب العثور على معناه.

الكمية غير المعروفة تسمى جذر المعادلة. حل المعادلة يعني إيجاد جذرها ، ولهذا تحتاج إلى معرفة خصائص المعادلات. معادلات الصف الخامس بسيطة ، ولكن إذا تعلمت كيفية حلها بشكل صحيح ، فلن تواجه مشاكل معها في المستقبل.

الخاصية الرئيسية للمعادلات

عندما تقوم بتغيير طرفي المعادلة بنفس المقدار ، فإنها تظل نفس المعادلة بنفس الجذر. دعنا نحل بعض الأمثلة لفهم هذه القاعدة بشكل أفضل.

كيفية حل المعادلات: إضافة أو طرح

افترض أن لدينا معادلة بالصيغة:

• أ + س \u003d ب - هنا أ و ب أرقام ، و س مصطلح غير معروف في المعادلة.

إذا أضفنا (أو طرحنا من) الكمية c إلى طرفي المعادلة ، فلن تتغير:

• أ + س + ج \u003d ب + ج
• أ + س - ج \u003d ب - ج.

مثال 1

دعنا نستخدم هذه الخاصية لحل المعادلة:

• 37 + س \u003d 51

اطرح 37 من كلا الجزأين:

• 37 + س -37 \u003d 51-37

نحن نحصل:

• س \u003d 51-37.

جذر المعادلة هو x \u003d 14.

إذا نظرنا عن كثب إلى المعادلة الأخيرة ، نجد أنها مماثلة للمعادلة الأولى. لقد نقلنا الحد 37 ببساطة من أحد طرفي المعادلة إلى الجانب الآخر ، واستبدلنا زائد بسالب.

اتضح أنه يمكن نقل أي رقم من أحد جوانب المعادلة إلى جانب آخر بعلامة معاكسة.

مثال 2

• 37 + س \u003d 37 + 22

ننفذ نفس الإجراء ، وننقل الرقم 37 من الجانب الأيسر للمعادلة إلى اليمين:

• س \u003d 37-37 + 22

نظرًا لأن 37-37 \u003d 0 ، فإننا ببساطة نقلل هذا ونحصل على:

• س \u003d 22.

يمكن إلغاء (حذف) المصطلحات المتطابقة للمعادلة بعلامة واحدة ، والموجودة في أجزاء مختلفة من المعادلة.

ضرب وقسمة المعادلات

يمكن أيضًا ضرب جانبي المساواة أو قسمة نفس الرقم:

إذا كانت المساواة أ \u003d ب مقسمة أو مضروبة في ج ، فلن تتغير:

• أ / ج \u003d ب / ج ،
• ج \u003d قبل الميلاد.

مثال 3

• 5 س \u003d 20

اقسم طرفي المعادلة على 5:

• 5 س / 5 \u003d 20/5.

بما أن 5/5 \u003d 1 ، فإننا نلغي هذا العامل والمقسوم عليه في الجانب الأيسر من المعادلة ونحصل على:

• س \u003d 20/5 ، س \u003d 4

مثال 4

• 5 س \u003d 5 أ

إذا تم تقسيم طرفي المعادلة على 5 ، نحصل على:

• 5 س / 5 \u003d 5 أ / 5.

تم إلغاء 5 في البسط والمقام من الجانبين الأيمن والأيسر ، واتضح أن x \u003d a. هذا يعني أن نفس العوامل في الجانبين الأيمن والأيسر من المعادلات تلغي.

لنحل مثالاً آخر:

• 13 + 2 س \u003d 21

انقل المصطلح 13 من الجانب الأيسر للمعادلة إلى اليمين مع الإشارة المعاكسة:

• 2 س \u003d 21-13
• 2 س \u003d 8.

نقسم طرفي المعادلة على 2 ، نحصل على:

• س \u003d 4.

معادلة مجهولة واحدة ، والتي بعد فتح الأقواس وتقليل المصطلحات المتشابهة تأخذ الشكل

الفأس + ب \u003d 0، حيث a و b أرقام عشوائية ، يسمى معادلة خط مستقيم مع واحد غير معروف. سنكتشف اليوم كيفية حل هذه المعادلات الخطية.

على سبيل المثال ، كل المعادلات:

2 س + 3 \u003d 7 - 0.5 س ؛ 0.3x \u003d 0 ؛ س / 2 + 3 \u003d 1/2 (س - 2) - خطي.

تسمى قيمة المجهول الذي يحول المعادلة إلى مساواة حقيقية القرار أو جذر المعادلة .

على سبيل المثال ، إذا كان في المعادلة 3x + 7 \u003d 13 بدلاً من x المجهول لتعويض الرقم 2 ، فإننا نحصل على المساواة الصحيحة 3 · 2 +7 \u003d 13. هذا يعني أن القيمة x \u003d 2 هي الحل أو جذر المعادلة.

والقيمة x \u003d 3 لا تحول المعادلة 3x + 7 \u003d 13 إلى معادلة حقيقية ، لأن 3 · 2 +7 13. وبالتالي ، فإن القيمة x \u003d 3 ليست حلاً أو جذرًا للمعادلة.

يتم تقليل حل أي معادلات خطية إلى حل المعادلات بالصيغة

الفأس + ب \u003d 0.

تحريك المصطلح الحر من الجانب الأيسر للمعادلة إلى اليمين ، وتغيير الإشارة أمام b إلى العكس ، نحصل على

إذا كانت a ≠ 0 ، فإن x \u003d - b / a .

مثال 1. حل المعادلة 3 س + 2 \u003d 11.

انقل 2 من الجانب الأيسر للمعادلة إلى اليمين ، مع تغيير الإشارة الموجودة أمام 2 إلى العكس ، نحصل على
3 س \u003d 11-2.

اطرح ، إذن
3 س \u003d 9.

للعثور على x ، تحتاج إلى تقسيم المنتج على عامل معروف ، أي
س \u003d 9: 3.

ومن ثم ، فإن القيمة x \u003d 3 هي الحل أو جذر المعادلة.

الجواب: س \u003d 3.

إذا كان a \u003d 0 و b \u003d 0، ثم نحصل على المعادلة 0x \u003d 0. تحتوي هذه المعادلة على عدد لا نهائي من الحلول ، لأنه عندما نضرب أي رقم في 0 نحصل على 0 ، لكن b تساوي أيضًا 0. أي رقم هو حل لهذه المعادلة.

مثال 2.حل المعادلة 5 (س - 3) + 2 \u003d 3 (س - 4) + 2 س - 1.

دعنا نفدد الأقواس:
5 س - 15 + 2 \u003d 3 س - 12 + 2 س - 1.

٥ س - ٣ س - ٢ س \u003d - ١٢ - ١ + ١٥ - ٢.

فيما يلي مصطلحات متشابهة:
0 x \u003d 0.

الجواب: x هو أي رقم.

إذا كان a \u003d 0 و b ≠ 0، ثم نحصل على المعادلة 0x \u003d - b. لا توجد حلول لهذه المعادلة ، بما أن ضرب أي عدد في 0 نحصل على 0 ، لكن ب ≠ 0.

مثال 3.حل المعادلة x + 8 \u003d x + 5.

دعونا نجمع الأعضاء التي تحتوي على مجهولين على اليسار ، والأعضاء الأحرار على اليمين:
س - س \u003d 5-8.

فيما يلي مصطلحات متشابهة:
0 x \u003d - 3.

الجواب: لا توجد حلول.

على الصورة 1 يوضح مخطط حل المعادلة الخطية

لنرسم مخططًا عامًا لحل المعادلات بمتغير واحد. ضع في اعتبارك الحل للمثال 4.

مثال 4. دع المعادلة تحل

1) اضرب كل حدود المعادلة في المضاعف المشترك الأصغر للمقام ، يساوي 12.

2) بعد التخفيض نحصل
4 (س - 4) + 32 (س + 1) - 12 \u003d 6.5 (س - 3) + 24 س - 2 (11 س + 43)

3) لفصل الأعضاء التي تحتوي على أعضاء غير معروفين وحرة ، قم بتوسيع الأقواس:
4 س - 16 + 6 س + 6 - 12 \u003d 30 س - 90 + 24 س - 22 س - 86.

4) دعنا نجمع في جزء الأعضاء الذين يحتويون على مجهولين ، وفي الجزء الآخر - الأعضاء الأحرار:
4 س + 6 س - 30 س - 24 س + 22 س \u003d - 90-86 + 16-6 + 12.

5) فيما يلي مصطلحات متشابهة:
- 22 س \u003d - 154.

6) اقسم على - 22 ، نحصل على
س \u003d 7.

كما ترى ، جذر المعادلة هو سبعة.

عموما مثل يمكن حل المعادلات حسب المخطط التالي:

أ) جعل المعادلة في شكلها الكامل ؛

ب) افتح الأقواس.

ج) جمّع المصطلحات التي تحتوي على المجهول في جزء واحد من المعادلة ، والمصطلحات الحرة في الجزء الآخر ؛

د) إحضار أعضاء مشابهين ؛

هـ) حل معادلة بالصيغة ax \u003d b ، والتي تم الحصول عليها بعد جلب شروط مماثلة.

ومع ذلك ، فإن هذا المخطط غير مطلوب لكل معادلة. عند حل الكثير معادلات بسيطة عليك أن تبدأ ليس بالأول بل بالثاني ( مثال. 2)، الثالث ( مثال. 13) وحتى من المرحلة الخامسة كما في المثال 5.

مثال 5.حل المعادلة 2 س \u003d 1/4.

أوجد المجهول x \u003d 1/4: 2،
س \u003d 1/8 .

ضع في اعتبارك حل بعض المعادلات الخطية الموجودة في اختبار الحالة الرئيسي.

مثال 6.حل المعادلة 2 (س + 3) \u003d 5-6 س.

2 س + 6 \u003d 5-6 س

2 س + 6 س \u003d 5-6

الجواب: - 0 ، 125

مثال 7.حل المعادلة - ٦ (٥ - ٣ س) \u003d ٨ س - ٧.

- 30 + 18 س \u003d 8 س - 7

18x - 8x \u003d - 7 +30

الجواب: 2.3

المثال 8. حل المعادلة

3 (3 س - 4) \u003d 4.7 س + 24

9 س - 12 \u003d 28 س + 24

9 س - 28 س \u003d 24 + 12

المثال 9.أوجد f (6) إذا كانت f (x + 2) \u003d 3 7

القرار

بما أننا نحتاج إلى إيجاد f (6) ونعرف f (x + 2) ،
ثم x + 2 \u003d 6.

حل المعادلة الخطية س + 2 \u003d 6 ،
نحصل على x \u003d 6-2 ، x \u003d 4.

إذا كانت x \u003d 4 ، إذن
و (6) \u003d 3 7-4 \u003d 3 3 \u003d 27

الجواب: 27.

إذا كان لا يزال لديك أسئلة ، إذا كنت تريد فهم حل المعادلات بشكل أكثر شمولاً ، فقم بالتسجيل في دروسي في الجدول. سأكون مسرورا بمساعدتك!

يوصي TutorOnline أيضًا بمشاهدة فيديو تعليمي جديد من مدرسنا Olga Alexandrovna ، والذي سيساعدك على فهم المعادلات الخطية وغيرها.

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

ضرب نظام المعادلات العادية NttXt1 + Bt1 \u003d 0 في معكوس المصفوفة N-1

احصل على:

(34)

(35)

حل المعادلات العادية بطريقة الانعكاس.

الدير مصفوفة معكوسة، N-1N \u003d E. تُستخدم هذه المساواة لإثبات طريقة تحديد عناصر المصفوفة العكسية. دع t \u003d 2.

هذا يعني:

- النظام الأول للمعادلات العادية الموزونة.

- النظام الثاني للمعادلات العادية الموزونة.

في الحالة العامة ، نتيجة لمثل هذه الإجراءات ، نحصل على أنظمة t للمعادلات العادية الموزونة مع معادلات t في كل نظام. هذه الأنظمة لها نفس مصفوفة المعامل مثل المصفوفة الرئيسية ، مع مجهول δхj وتختلف عنها فقط في أعمدة المصطلحات المجانية. في المعادلة j في نظام j ، المصطلح الحر هو -1 ، والباقي يساوي صفرًا. يتم حل أنظمة المعادلات العادية الموزونة بالتوازي مع النظام الرئيسي ، في المخطط العام ، باستخدام أعمدة إضافية للشروط المجانية لهذه الأنظمة (الجدول 9). للتحكم ، يتم استبدال القيم المحسوبة لعناصر المصفوفة المعكوسة Qij في المعادلات الموجزة المجمعة لأنظمة الوزن. على سبيل المثال ، بالنسبة إلى t \u003d 2 ، ستبدو هذه المعادلات كما يلي:

(+ [pab]) س 11 + (+) س 12-1 \u003d 0 ؛

(+) س 21 + (+) س 22-1 \u003d 0.

للتحكم الأولي ، يتم استخدام المساواة Qij \u003d Qji (i ≠ j).

تسمى عناصر المصفوفة المعكوسة Qij معاملات الوزن.

الجدول 9

تحديد عناصر المصفوفة المعكوسة في مخطط غاوسي

3.6 تقدير الدقة على أساس مواد التعديل

يتم تحديد خطأ جذر متوسط \u200b\u200bالتربيع لدالة المعلمة بواسطة الصيغة:

أين

(36)

متوسط \u200b\u200bالخطأ التربيعي لوحدة الوزن ؛

(37)

الوزن العكسي لوظيفة المعلمة أو في شكل مصفوفة:

(38)

الوزن العكسي للمعامل ، يساوي العنصر القطري في معكوس المصفوفة.

3.7 مخطط كتلة لطريقة التعديل البارامترية

1. تحليل مجموعة القياسات yi ، وتحديد t - عدد القياسات المطلوبة. اضبط نظام الوزن pi (i \u003d 1 ، 2 ، ... ، n).

2. اختر معاملات مستقلة x1 ، x2 ، ... ، xt ، وعددها يساوي t.

3. اصنع معادلات الاتصال البارامترية. يتم التعبير عن القيم المعادلة لجميع القيم المقاسة كوظائف للمعلمات المختارة.

4. أوجد القيم التقريبية للمعلمات x0j.

5. معادلات القيد البارامترية تؤدي إلى الشكل الخطي ، وتحسب المعاملات والمصطلحات الحرة لمعادلات التصحيح البارامترية.

6. قم بتكوين دالة للمعلمات لتقييم دقتها. تكون دالة الترجيح خطية.

7. المكياج المعادلات العادية، احسب المعاملات والشروط المجانية للمعادلات العادية.

8. حل المعادلات العادية وحساب التصحيحات لتقريب قيم المعلمات والتحكم فيها.

9. احسب التصحيحات سادسا لنتائج القياس ، وقم بإجراء التحكم νi و.

10. احسب المعلمات ونتائج القياس المتساوية وقم بإجراء التحكم في الضبط.

11. احسب الأوزان العكسية للمعلمات ووظائف المعلمات.

12. تقييم دقة نتائج القياس ، وحساب متوسط \u200b\u200bالخطأ التربيعي لوحدة الوزن.

13. احسب جذر متوسط \u200b\u200bأخطاء التربيع للقيم المعدلة.

من أهم المهارات في القبول في الصف الخامس هي القدرة على حل أبسط المعادلات. منذ الصف 5 ليس ببعيد عن مدرسة ابتدائية، إذًا لا توجد أنواع كثيرة من المعادلات يمكن للطالب حلها. سوف نقدم لك جميع الأنواع الأساسية من المعادلات التي تحتاج إلى أن تكون قادرًا على حلها إذا أردت التسجيل في مدرسة الفيزياء والرياضيات.

النوع 1: "بصلي الشكل"
هذه معادلات من المحتمل أن تحدث لك عندما القبول في أي مدرسة أو دائرة من الفئة 5 كمهمة منفصلة. يسهل تمييزها عن الآخرين: فهي تحتوي على المتغير مرة واحدة فقط. على سبيل المثال ، أو.
يتم حلها بكل بساطة: ما عليك سوى "الوصول" إلى المجهول ، "إزالة" كل ما هو غير ضروري يحيط به - كما لو كنت تقشر بصلة - ومن هنا جاء الاسم. لحلها ، يكفي تذكر بعض القواعد من الفصل الثاني. دعنا نذكرهم جميعًا:

إضافة

1. مصطلح 1 + مصطلح 2 \u003d مجموع
2. المصطلح 1 \u003d المجموع - المدى 2
3. المصطلح 2 \u003d مجموع - المدى 1

الطرح

1. مطروح - مطروح \u003d الفرق
2. مطروح \u003d مطروح + فرق
3. مطروح \u003d مطروح - فرق

عمليه الضرب

1. fact1 * factor2 \u003d المنتج
2. العامل 1 \u003d المنتج: العامل 2
3. fact2 \u003d المنتج: factor1

قطاع

1. المقسوم: القاسم \u003d الحاصل
2. المقسوم \u003d القسمة * الحاصل
3. القاسم \u003d المقسوم: الحاصل

لنأخذ مثالاً على كيفية تطبيق هذه القواعد.

لاحظ أننا نقسم على ونصل. في هذه الحالة ، نعرف القاسم وحاصل القسمة. لإيجاد المقسوم ، تحتاج إلى ضرب المقسوم عليه في حاصل القسمة:

لقد اقتربنا قليلاً من أنفسنا. الآن نحن نرى ذلك أضيفت وحصلت عليها. ومن ثم ، للعثور على أحد المصطلحات ، عليك طرح المصطلح المعروف من المجموع:

ويتم إزالة "طبقة" أخرى من المجهول! الآن نرى موقفًا له قيمة معروفة للمنتج () وعامل واحد معروف ().

الآن الوضع "تناقص - مطروح \u003d فرق"

والخطوة الأخيرة هي المنتج المعروف () وأحد العوامل ()

النوع 2: المعادلات ذات الأقواس
غالبًا ما تتم مصادفة المعادلات من هذا النوع في المشكلات - 90٪ من جميع مشكلات القبول في الصف الخامس... على عكس "معادلات البصل" يمكن أن يظهر المتغير هنا عدة مرات ، لذلك من المستحيل حله باستخدام الطرق من الفقرة السابقة. المعادلات النموذجية: أو
الصعوبة الرئيسية هي فتح الأقواس بشكل صحيح. بعد أن تمكنا من القيام بذلك بشكل صحيح ، يجب أن نحضر مصطلحات متشابهة (الأرقام إلى الأرقام ، المتغيرات إلى المتغيرات) ، وبعد ذلك نحصل على أبسط "معادلة البصل"نعرف كيف نحلها. لكن أول الأشياء أولاً.

توسيع الأقواس... سنقدم بعض القواعد التي يجب استخدامها في هذه الحالة. ولكن ، كما تظهر الممارسة ، يبدأ الطالب في فتح الأقواس بشكل صحيح فقط بعد حل 70-80 مشكلة. القاعدة الأساسية هي أن أي عامل خارج الأقواس يجب ضربه في كل حد داخل الأقواس. ويغير الطرح الموجود قبل القوس إشارة جميع المقادير الموجودة في الداخل. إذن ، القواعد الأساسية للإفصاح:

جلب مماثلة... كل شيء أسهل بكثير هنا: من خلال نقل الشروط من خلال علامة التساوي ، تحتاج إلى التأكد من وجود شروط مع المجهول في جانب واحد ، ومن ناحية أخرى - أرقام فقط. القاعدة الأساسية هي: كل مصطلح يتم نقله من خلال تغيير علامته - إذا كان مع ، فسيصبح c ، والعكس صحيح. بعد النقل الناجح ، من الضروري حساب العدد الإجمالي للمجهول ، والعدد النهائي الذي يقف على الجانب الآخر من المساواة غير المتغيرات ، وحل العدد الأولي "معادلة البصل".