Двойка въображаеми пресичащи се линии. Каква е каноничната форма на уравнение? Елипса и нейното канонично уравнение

8.3.15. Точка А лежи на права линия. Разстояние от точка А до равнината

8.3.16. Напишете уравнение за права, която е симетрична на права

спрямо самолета .

8.3.17. Запишете уравнения за проекции върху равнина следните редове:

а) ;

б)

V) .

8.3.18. Намерете ъгъла между равнината и правата:

а) ;

б) .

8.3.19. Намерете точката симетрична точка спрямо равнината, минаваща през линиите:

И

8.3.20. Точка А лежи на права линия

Разстояние от точка А до права линия равно на . Намерете координатите на точка А.

§ 8.4. КРИВИ ВТОРИ РЕД

Нека установим правоъгълна координатна система на равнината и разгледаме общото уравнение от втора степен

в който .

Множеството от всички точки на равнината, чиито координати отговарят на уравнение (8.4.1), се нарича крив (линия) втора поръчка.

За всяка крива от втори ред има правоъгълна координатна система, наречена канонична, в която уравнението на тази крива има една от следните форми:

1) (елипса);

2) (въображаема елипса);

3) (двойка въображаеми пресичащи се линии);

4) (хипербола);

5) (чифт пресичащи се линии);

6) (парабола);

7) (чифт успоредни линии);

8) (двойка въображаеми успоредни прави);

9) (двойка съвпадащи линии).

Уравнения 1) – 9) се наричат канонични уравнения на криви от втори ред.

Решаване на задачата за редуциране на уравнението на крива от втори ред до канонична формавключва намиране канонично уравнениекрива и канонична координатна система. Намаляването до канонична форма позволява да се изчислят параметрите на кривата и да се определи нейното местоположение спрямо оригиналната координатна система. Преход от оригинала правоъгълна системакоординати към канонични се осъществява чрез завъртане на осите на първоначалната координатна система около точка O на определен ъгъл j и последващо паралелно преместване на координатната система.

Инварианти на крива от втори ред(8.4.1) са такива функции на коефициентите на неговото уравнение, чиито стойности не се променят при преминаване от една правоъгълна координатна система към друга от същата система.

За крива от втори ред (8.4.1), сумата от коефициентите за квадратните координати

,

детерминанта, съставена от коефициенти на водещи членове

и детерминанта от трети ред

са инварианти.

Стойността на инвариантите s, d, D може да се използва за определяне на типа и съставяне на каноничното уравнение на крива от втори ред.

Таблица 8.1.

Класификация на криви от втори ред въз основа на инварианти

Елиптична крива		sD<0. Эллипс
		sD>0. Въображаема елипса
		Двойка въображаеми линии, пресичащи се в реална точка
Хиперболична крива		Хипербола
		Двойка пресичащи се линии
Параболична крива		Парабола
		Двойка успоредни линии (различни, въображаеми или съвпадащи)

Нека разгледаме по-отблизо елипсата, хиперболата и параболата.

Елипса(фиг. 8.1) е геометричното място на точките в равнината, за които сумата от разстоянията до две фиксирани точки този самолет, наречен фокуси на елипса, е постоянна стойност (по-голяма от разстоянието между фокусите). В този случай не е изключено съвпадението на фокусите на елипсата. Ако фокусите съвпадат, тогава елипсата е кръг.

Полусумата от разстоянията от точка на елипсата до нейните фокуси се означава с a, половината от разстоянията между фокусите с c. Ако правоъгълна координатна система в равнина е избрана така, че фокусите на елипсата да са разположени на оста Ox симетрично спрямо началото, тогава в тази координатна система елипсата се дава от уравнението

, (8.4.2)

Наречен канонично уравнение на елипса, Където .

Ориз. 8.1

При посочения избор на правоъгълна координатна система елипсата е симетрична спрямо координатните оси и началото. Осите на симетрия на елипса се наричат брадви, а центърът на симетрия е центъра на елипсата. В същото време числата 2a и 2b често се наричат ​​оси на елипсата, а числата a и b са голямИ второстепенна оссъответно.

Точките на пресичане на елипса с нейните оси се наричат върховете на елипсата. Върховете на елипсата имат координати (a,0), (–a,0), (0,b), (0,–b).

Ексцентричност на елипсаизвикан номер

Тъй като 0£c

.

Това показва, че ексцентричността характеризира формата на елипсата: колкото по-близо е e до нула, толкова повече елипсата прилича на кръг; с увеличаване на e елипсата става по-удължена.

Сега ще покажем, че афинната класификация на криви от втори ред се дава от имената на самите криви, т.е., че афинните класове на криви от втори ред са класовете:

реални елипси;

въображаеми елипси;

хипербола;

двойки реални пресичащи се прави;

двойки имагинерни (конюгирани) пресичащи се;

двойки успоредни реални прави;

двойки успоредни въображаеми спрегнати прави;

двойки съвпадащи реални линии.

Трябва да докажем две твърдения:

A. Всички криви с едно и също име (т.е. всички елипси, всички хиперболи и т.н.) са афинно еквивалентни една на друга.

B. Две криви с различни имена никога не са афинно еквивалентни.

Доказваме твърдение А. В глава XV, § 3 вече е доказано, че всички елипси са афинно еквивалентни на една от тях, а именно окръжност, и всички хиперболи са хипербола. Това означава, че всички елипси, съответно всички хиперболи, са афинно еквивалентни един на друг. Всички въображаеми елипси, бидейки афинно еквивалентни на окръжност - - 1 радиус, също са афинно еквивалентни една на друга.

Нека докажем афинната еквивалентност на всички параболи. Ще докажем още повече, а именно, че всички параболи са подобни една на друга. Достатъчно е да се докаже, че парабола, дадена в определена координатна система от нейното канонично уравнение

подобно на парабола

За да направим това, подлагаме равнината на трансформация на подобие с коефициент -:

След това, с нашата трансформация, кривата

се превръща в крива

тоест в парабола

Q.E.D.

Да преминем към затихващи криви. В § формули (9) и (11), стр. 401 и 402) беше доказано, че крива, която се разделя на двойка пресичащи се прави в някаква (дори правоъгълна) координатна система, има уравнението

Чрез извършване на допълнителна координатна трансформация

виждаме, че всяка крива, която се разделя на двойка пресичащи се реални, съответно имагинерни спрегнати прави линии, има уравнението в някаква афинна координатна система

Що се отнася до кривите, които се разделят на двойка успоредни прави, всяка от тях може да бъде (дори в някаква правоъгълна координатна система) дадена от уравнението

за реални, респ

за въображаем, директен. Преобразуването на координатите ни позволява да поставим тези уравнения (или за съвпадащи прави линии. Това предполага афинната еквивалентност на всички западащи криви от втори ред, които имат едно и също име.

Да преминем към доказателството на твърдение B.

Нека отбележим първо: при афинна трансформация на равнината редът на алгебричната крива остава непроменен. По-нататък: всяка затихваща крива от втори ред е двойка прави линии и с афинна трансформация права линия преминава в права линия, двойка пресичащи се линии преминава в двойка пресичащи се и двойка успоредни линии влиза в двойка паралелни; освен това реалните линии се превръщат в реални линии, а въображаемите линии във въображаеми линии. Това следва от факта, че всички коефициенти във формули (3) (Глава XI, § 3), които определят афинното преобразуване, са реални числа.

От казаното следва, че права, афинно еквивалентна на дадена затихваща крива от втори ред, е затихваща крива със същото име.

Нека да преминем към неразпадащи се криви. Отново, с афинна трансформация, реална крива не може да се трансформира във въображаема и обратно. Следователно класът на въображаемите елипси е афинно инвариантен.

Нека разгледаме класовете реални незатихващи криви: елипси, хиперболи, параболи.

Сред всички криви от втори ред всяка елипса и само елипса лежи в определен правоъгълник, докато параболите и хиперболите (както и всички затихващи криви) се простират до безкрайност.

При афинна трансформация правоъгълникът ABCD, съдържащ дадената елипса, ще се превърне в успоредник, съдържащ трансформираната крива, която следователно не може да отиде до безкрайност и следователно е елипса.

И така, крива, афинно еквивалентна на елипса, със сигурност е елипса. От доказаното следва, че крива, афинно еквивалентна на хипербола или парабола, не може да бъде елипса (и също, както знаем, не може да бъде затихваща крива. Следователно остава само да се докаже, че с афинна трансформация на равнината , хиперболата не може да се трансформира в парабола и напротив. Това може би най-просто следва от факта, че параболата няма център на симетрия, а хиперболата има. Но тъй като липсата на център на симетрия за парабола ще бъде доказана едва в следващата глава, сега ще дадем второ, също много просто доказателство за афинна нееквивалентност на хипербола и парабола.

Лема. Ако една парабола има общи точки с всяка от двете полуравнини, определени в равнината на дадена права d, тогава тя има поне една обща точка с правата.

Всъщност видяхме, че има координатна система, в която дадена парабола има уравнението

Нека спрямо тази координатна система правата d има уравнението

По предположение има две точки на параболата, едната от които, да речем, лежи в положителната полуравнина, а другата в отрицателната полуравнина по отношение на уравнение (1). Следователно, спомняйки си, че можем да пишем

За да изясня това с конкретен пример, ще ви покажа какво съответства в тази интерпретация на следното твърдение: (реалната или въображаема) точка P лежи на (реалната или въображаема) права g. В този случай, разбира се, трябва да правим разлика между следните случаи:

1) реална точка и реална линия,

2) реална точка и въображаема линия,

Случай 1) не изисква специално обяснение от нас; Тук имаме едно от основните отношения на обикновената геометрия.

В случай 2) през дадена реална точка, заедно с дадена имагинерна права, през нея трябва да минава и комплексно спрегнатата права; следователно тази точка трябва да съвпада с върха на снопа от лъчи, които използваме, за да изобразим въображаемата линия.

По същия начин, в случай 3), реалната линия трябва да бъде идентична с опората на тази праволинейна инволюция от точки, която служи като представител на дадена въображаема точка.

Най-интересен е случай 4) (фиг. 96): тук очевидно комплексно спрегнатата точка трябва също да лежи на комплексно спрегнатата права и от това следва, че всяка двойка точки в инволюцията на точките, представляващи точката P, трябва да бъде на някаква двойка линии в инволюцията на линиите, изобразяваща правата линия g, т.е. че и двете тези инволюции трябва да бъдат разположени перспективно една спрямо друга; освен това се оказва, че стрелките на двете инволюции също са разположени проспективно.

Като цяло, в аналитичната геометрия на равнината, която също обръща внимание на сложната област, ще получим пълна реална картина на тази равнина, ако към множеството от всички нейни реални точки и прави добавим като нови елементи набор от инволюционни фигури, обсъдени по-горе, заедно със стрелките на техните посоки. Тук ще бъде достатъчно, ако очертая най-общо каква форма ще приеме изграждането на такава реална картина на сложна геометрия. Правейки това, ще следвам реда, в който сега обикновено се представят първите предложения на елементарната геометрия.

1) Те започват с аксиомите на съществуването, чиято цел е да дадат точна формулировка на присъствието на току-що споменатите елементи в разширена в сравнение с обичайната геометрия област.

2) Тогава аксиомите на връзката, които гласят, че също и в разширения регион, дефиниран в параграф 1)! през (всеки) две точки минава една и само една права и че (всеки) две прави имат една и само една обща точка.

В този случай, подобно на това, което имахме по-горе, трябва да разграничаваме всеки път четири случая в зависимост от това дали дадените елементи са реални и изглежда много интересно да помислим кои точно реални конструкции с инволюции от точки и линии служат като образ на тези сложни отношения.

3) Що се отнася до аксиомите на подредбата (реда), тук, в сравнение с действителните отношения, на сцената се появяват напълно нови обстоятелства; по-специално, всички реални и комплексни точки, лежащи на една фиксирана линия, както и всички лъчи, преминаващи през една фиксирана точка, образуват двуизмерен континуум. В края на краищата, всеки от нас научи от изучаването на теорията на функциите навика да представя набора от стойности на сложна променлива от всички точки на равнината.

4) И накрая, по отношение на аксиомите за непрекъснатост, тук ще посоча само как са изобразени сложни точки, разположени възможно най-близо до някаква реална точка. За да направите това, през взетата реална точка P (или през друга реална точка близо до нея), трябва да начертаете някаква права линия и да разгледате върху нея две двойки точки, които се разделят една от друга (т.е. лежат по „кръстосан начин“ ) (фиг. 97), така че две точки, взети от различни двойки, лежат близо една до друга и до точка P; ако сега доближим точките една до друга за неопределено време, тогава инволюцията, дефинирана от посочените двойки точки, се изражда, т.е. другата стрелка) преминава, следователно, непрекъснато до някаква точка близо до точка P или дори директно до точка P. Разбира се, за да можем да приложим тези идеи за приемственост, е необходимо да работим с тях в детайли .

Въпреки че цялата тази конструкция е доста тромава и досадна в сравнение с обикновената реална геометрия, тя може да даде несравнимо повече. По-специално, той е в състояние да издигне алгебрични изображения, разбирани като набори от техните реални и сложни елементи, до нивото на пълна геометрична яснота и с негова помощ можете ясно да разберете в самите фигури такива теореми като основната теорема на алгебрата или Теорема на Безу, че два реда на криви имат, най-общо казано, точно общи точки. За тази цел би било необходимо, разбира се, да се осмислят основните положения в много по-точна и нагледна форма, отколкото е правено досега; литературата обаче вече съдържа всички необходими материали за подобни изследвания.

Но в повечето случаи прилагането на тази геометрична интерпретация все още би довело, въпреки всичките си теоретични предимства, до такива усложнения, че човек трябва да се задоволи с нейната фундаментална възможност и всъщност да се върне към една по-наивна гледна точка, която се състои в следното : комплексна точка е съвкупност от три комплексни координати и с нея може да се работи точно по същия начин, както с реални точки. Всъщност такова въвеждане на въображаеми елементи, въздържайки се от каквито и да било принципни разсъждения, винаги се е оказвало плодотворно в онези случаи, когато трябваше да се занимаваме с въображаеми циклични точки или с кръга от сфери. Както вече споменахме, Понселе е първият, който използва въображаеми елементи в този смисъл; негови последователи в това отношение са други френски геометри, главно Шалс и Дарбукс; в Германия редица геометри, особено Ли, също използваха това разбиране за въображаеми елементи с голям успех.

С това отстъпление в царството на въображаемото приключвам цялата втора част от моя курс и преминавам към нова глава,

Редове от втори ред

равнинни линии, чиито декартови правоъгълни координати отговарят на алгебрично уравнение от степен 2

a 11 x 2 + a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 11 = 0. (*)

Уравнение (*) може да не дефинира реално геометрично изображение, но за да се запази общото в такива случаи се казва, че то дефинира въображаемо линейно изображение. и т.н. В зависимост от стойностите на коефициентите на общото уравнение (*), то може да се трансформира чрез паралелно прехвърляне на началото и завъртане на координатната система с определен ъгъл към един от 9-те канонични типа, дадени по-долу, всеки от които съответства на определен клас линии. Точно,

неразрушими линии:

y 2 = 2px - параболи,

гниещи линии:

x 2 - a 2 = 0 - двойки успоредни прави,

x 2 + a 2 = 0 - двойки въображаеми успоредни прави,

x 2 = 0 - двойки съвпадащи успоредни прави.

Проучване на типа L. v. може да се извърши без редуциране на общото уравнение до канонична форма. Това се постига чрез съвместно разглеждане на значенията на т.нар. основни инварианти на линейно v. н. - изрази, съставени от коефициенти на уравнението (*), чиито стойности не се променят по време на паралелно преместване и въртене на координатната система:

S = a 11 + a 22,(a ij = a ji).

Така например елипсите, подобно на неразпадащите се линии, се характеризират с факта, че за тях Δ ≠ 0; положителна стойност на инварианта δ разграничава елипсите от други видове неразпадащи се линии (за хиперболи δ

Три основни инварианти Δ, δ и S определят линейното движение. стр. (с изключение на случая на успоредни прави) до движението (вижте движение) на евклидовата равнина: ако съответните инварианти Δ, δ и S на две прави са равни, тогава такива линии могат да бъдат комбинирани чрез движение. С други думи, тези линии са еквивалентни по отношение на групата движения на равнината (метрично еквивалентни).

Има класификации на L. v. от гледна точка на други трансформационни групи. По този начин, относително по-обща от групата движения - групата на афинните трансформации (вижте Афинни трансформации) - всеки две линии, дефинирани от уравнения от една и съща канонична форма, са еквивалентни. Например две подобни L. v. н. (вижте сходство) се считат за еквивалентни. Връзки между различни афинни класове на линейни v. стр. ни позволява да установим класификация от гледна точка на проективната геометрия (виж Проективна геометрия), в която елементите в безкрайността не играят специална роля. Истински неразпадащи се лекарства. стр.: елипсите, хиперболите и параболите образуват един проективен клас - класът на реалните овални линии (овали). Истинската овална линия е елипса, хипербола или парабола, в зависимост от това как е разположена спрямо права в безкрайност: елипса пресича неправилна права в две въображаеми точки, хипербола в две различни реални точки, парабола докосва неправилна линия; има проективни трансформации, които трансформират тези линии една в друга. Има само 5 проективни класа на еквивалентност на линейни вектори. стр. Точно така,

неизродени линии

(x 1, x 2, x 3- хомогенни координати):

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2= 0 - истински овал,

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2= 0 - въображаем овал,

дегенериращи линии:

x 1 2 - x 2 2= 0 - двойка реални линии,

x 1 2 + x 2 2= 0 - двойка въображаеми линии,

х 1 2= 0 - двойка съвпадащи реални линии.

А. Б. Иванов.

Велика съветска енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. 1969-1978 .

Вижте какво представляват „редовете от втори ред“ в други речници:

Равнинни линии, чиито правоъгълни координати на точките отговарят на алгебрично уравнение от 2-ра степен. Сред линиите от втори ред са елипси (по-специално кръгове), хиперболи, параболи... Голям енциклопедичен речник

Равнинни линии, чиито правоъгълни координати на точките отговарят на алгебрично уравнение от 2-ра степен. Сред линиите от втори ред са елипси (по-специално кръгове), хиперболи и параболи. * * * ЛИНИИ ОТ ВТОРИ РЕД ЛИНИИ ОТ ВТОРИ РЕД,... ... енциклопедичен речник

Плоски линии, правоъгълни. координатите на точките удовлетворяват алгебрите. 2 степен степен. Сред L. v. и др. елипси (по-специално кръгове), хиперболи, параболи... Естествени науки. енциклопедичен речник

Плоска линия, декартови правоъгълни координати отговарят на алгебричните. уравнение от 2-ра степен Уравнение (*) може да не определя действителната геометрична. изображение, но за да запазят общото в такива случаи казват, че то определя... ... Математическа енциклопедия

Набор от точки от тримерно реално (или комплексно) пространство, чиито координати в декартовата система отговарят на алгебричната. уравнение от 2-ра степен (*) Уравнение (*) може да не определя действителната геометрична. изображения, в такива... ... Математическа енциклопедия

Тази дума, много често използвана в геометрията на кривите линии, има неясно значение. Когато тази дума се прилага към незатворени и неразклонени криви линии, тогава под разклонение на кривата се разбира всяка непрекъсната отделна... ... Енциклопедичен речник F.A. Брокхаус и И.А. Ефрон

Линии от втори ред, два диаметъра, всеки от които разполовява хордите на тази крива, успоредни на другия. S. d. играят важна роля в общата теория на линиите от втори ред. При едновременно проектиране на елипса в нейната обиколка, S. d.... ...

Линии, които се получават чрез разрязване на прав кръгов конус с равнини, които не минават през върха му. К. с. може да бъде от три вида: 1) режеща равнина пресича всички генератори на конуса в точки на една от неговите кухини; линия... ... Велика съветска енциклопедия

Линии, получени чрез разрязване на прав кръгов конус с равнини, които не минават през върха му. К. с. може да бъде от три вида: 1) режеща равнина пресича всички образуващи на конуса в точки на една от неговите кухини (фиг., а): линия на пресичане... ... Математическа енциклопедия

Раздел Геометрия. Основните понятия на геометричната геометрия са най-простите геометрични изображения (точки, прави линии, равнини, криви и повърхности от втори ред). Основните средства за изследване в АГ са координатният метод (виж по-долу) и методите... ... Велика съветска енциклопедия

Книги

• Кратък курс по аналитична геометрия, Ефимов Николай Владимирович. Предмет на изучаване на аналитичната геометрия са фигури, които са определени в декартови координати чрез уравнения от първа или втора степен. На равнина това са прави линии и линии от втори ред....

Това е общоприетата стандартна форма на уравнение, когато за секунди става ясно какъв геометричен обект определя. В допълнение, каноничната форма е много удобна за решаване на много практически задачи. Така, например, според каноничното уравнение "плоска" права, първо, веднага става ясно, че това е права линия, и второ, точката, принадлежаща към нея, и векторът на посоката са лесно видими.

Очевидно е, че всяка 1-ва линия за поръчкае права линия. На втория етаж вече не ни чака пазачът, а много по-разнообразна компания от девет статуи:

Класификация на линии от втори ред

Използвайки специален набор от действия, всяко уравнение на линия от втори ред се редуцира до една от следните форми:

(и са положителни реални числа)

1) – канонично уравнение на елипсата;

2) – канонично уравнение на хипербола;

3) – канонично уравнение на парабола;

4) – въображаемелипса;

5) – двойка пресичащи се прави;

6) – двойка въображаемпресичащи се линии (с една валидна пресечна точка в началото);

7) – двойка успоредни прави;

8) – двойка въображаемпаралелни линии;

9) – двойка съвпадащи линии.

Някои читатели може да имат впечатлението, че списъкът е непълен. Например в точка № 7 уравнението уточнява двойката директен, успоредна на оста, и възниква въпросът: къде е уравнението, което определя правите, успоредни на ординатната ос? Отговор: то не се считат за канонични. Правите линии представляват същия стандартен случай, завъртян на 90 градуса, а допълнителният запис в класификацията е излишен, тъй като не носи нищо принципно ново.

По този начин има девет и само девет различни типа линии от 2-ри ред, но на практика най-често срещаните са елипса, хипербола и парабола.

Нека първо да разгледаме елипсата. Както обикновено, аз се съсредоточавам върху онези моменти, които са от голямо значение за решаването на задачи и ако имате нужда от подробно извеждане на формули, доказателства на теореми, моля, вижте например учебника на Базилев/Атанасян или Александров..

Елипса и нейното канонично уравнение

Правопис... моля, не повтаряйте грешките на някои потребители на Yandex, които се интересуват от „как да се изгради елипса“, „разликата между елипса и овал“ и „ексцентричността на елипса“.

Каноничното уравнение на елипса има формата , където са положителни реални числа и . По-късно ще формулирам самата дефиниция на елипса, но засега е време да си дам почивка от магазина за говорене и да реша общ проблем:

Как да изградим елипса?

Да, просто го вземете и просто го нарисувайте. Задачата се появява често и значителна част от учениците не се справят правилно с чертежа:

Пример 1

Построете елипсата, дадена от уравнението

Решение: Първо, нека приведем уравнението в канонична форма:

Защо да донесе? Едно от предимствата на каноничното уравнение е, че ви позволява незабавно да определите върховете на елипсата, които са разположени в точки. Лесно се вижда, че координатите на всяка от тези точки удовлетворяват уравнението.

В такъв случай :


Линеен сегментНаречен главна оселипса;
линейна отсечка – второстепенна ос;
номер Наречен полу-голям валелипса;
номер – второстепенна ос.
в нашия пример: .

За да си представите бързо как изглежда определена елипса, просто погледнете стойностите на „a“ и „be“ на нейното канонично уравнение.

Всичко е наред, гладко и красиво, но има едно предупреждение: завърших рисунката с помощта на програмата. И можете да направите рисунката с помощта на всяко приложение. В суровата реалност обаче на масата има карирано листче, а мишките танцуват в кръг по ръцете ни. Хората с артистичен талант, разбира се, могат да спорят, но вие също имате мишки (макар и по-малки). Не напразно човечеството е изобретило линийка, компас, транспортир и други прости устройства за рисуване.

Поради тази причина е малко вероятно да успеем да начертаем точно елипса, познавайки само върховете. Всичко е наред, ако елипсата е малка, например с полуоси. Като алтернатива можете да намалите мащаба и съответно размерите на чертежа. Но като цяло е много желателно да се намерят допълнителни точки.

Има два подхода за построяване на елипса - геометричен и алгебричен. Не харесвам конструирането с пергел и линийка, защото алгоритъмът не е най-краткият и чертежът е значително претрупан. В случай на спешност, моля, обърнете се към учебника, но в действителност е много по-рационално да използвате инструментите на алгебрата. От уравнението на елипсата в черновата бързо изразяваме:

След това уравнението се разделя на две функции:
– определя горната дъга на елипсата;
– определя долната дъга на елипсата.

Всяка елипса е симетрична по отношение на координатните оси, както и по отношение на началото. И това е страхотно - симетрията почти винаги е предвестник на безплатните. Очевидно е достатъчно да се справим с 1-вата координатна четвърт, така че имаме нужда от функцията . Моли да се намерят допълнителни точки с абсцисите . Нека докоснем три SMS съобщения на калкулатора:

Разбира се, също така е хубаво, че ако се направи сериозна грешка в изчисленията, това веднага ще стане ясно по време на строителството.

Нека маркираме точките на чертежа (червено), симетричните точки на останалите дъги (синьо) и внимателно да свържем цялата компания с линия:


По-добре е да нарисувате първоначалната скица много тънко и едва след това да приложите натиск с молив. Резултатът трябва да е доста прилична елипса. Между другото, бихте ли искали да знаете каква е тази крива?