Ако едно число се раздели на безкрайност, частното ще клони ли към нула? Продължих вътре и получих най-добрия отговор

Отговор от Оленка [новак]
всички 0
Краб Вark
Оракул
(56636)
Не. Точна нула. Тъй като делителят клони към безкрайност, частното ще клони към нула. И ако разделим не на число, клонящо към безкрайност, а на самата безкрайност (между другото, за да бъдем по-точни, то изобщо не се счита официално за число, а се счита за специален символ, който допълва обозначението на числата) - точно нула.

Отговор от Югий Владимир[гуру]
Дори да разделите нула, дори и да я умножите по произволно число, пак ще е нула!

Отговор от 1 23 [гуру]
ако някои глупости клонят към нула, тогава умножаването им по нещо крайно (число или ограничена функция) е безполезно, защото всичко клони към нула.
но ако го умножите по нещо, което клони към безкрайност, може да има опции.

Отговор от Краб Вark[гуру]
Когато което и да е число се раздели на безкрайност, резултатът е нула. Точна нула, без „стремеж към нула“. И след това, без значение с какво число го умножите, нула. И резултатът от разделяне на нула на произволно число, различно от нула, ще бъде нула, само когато разделяме нула на нула, резултатът не е дефиниран, тъй като всяко число ще бъде подходящо като частно.

Методи за решаване на граници. Несигурности.
Редът на нарастване на функцията. Метод на замяна

Пример 4

Намерете границата

Това е по-прост пример, който можете да решите сами. В предложения пример отново има несигурност (от по-висок порядък на растеж от корена).

Ако "x" клони към "минус безкрайност"

Призракът на „минус безкрайността“ витае в тази статия от дълго време. Нека разгледаме граници с полиноми, в които . Принципите и методите на решение ще бъдат абсолютно същите като в първата част на урока, с изключение на редица нюанси.

Нека да разгледаме 4 трика, които ще са необходими за решаване на практически задачи:

1) Изчислете границата

Стойността на лимита зависи само от термина, тъй като той има най-висок ред на нарастване. Ако , тогава безкрайно голям по модулотрицателно число на ЧЕТНА степен, в случая – в четвъртата, е равно на „плюс безкрайност”: . Постоянно („две“) положителен, Ето защо:

2) Изчислете границата

Ето я отново висшата степен дори, Ето защо: . Но пред него има „минус“ ( отрицателенконстанта –1), следователно:

3) Изчислете границата

Граничната стойност зависи само от. Както си спомняте от училище, „минусът“ „изскача“ изпод нечетната степен, така че безкрайно голям по модулотрицателно число на НЕЧЕТНА степене равно на „минус безкрайност“, в този случай: .
Постоянно ("четири") положителен, означава:

4) Изчислете границата

Първият момък в селото отново има странностепен, освен това, в пазвата отрицателенконстанта, което означава: Така:
.

Пример 5

Намерете границата

Използвайки горните точки, стигаме до извода, че тук има несигурност. Числителят и знаменателят са от един и същи ред на растеж, което означава, че в ограничението резултатът ще бъде крайно число. Нека разберем отговора, като изхвърлим цялото пържене:

Решението е тривиално:

Пример 6

Намерете границата

Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока.

И сега, може би, най-фините случаи:

Пример 7

Намерете границата

Имайки предвид водещите термини, стигаме до извода, че тук има несигурност. Числителят е от по-висок порядък на нарастване от знаменателя, така че веднага можем да кажем, че границата е равна на безкрайност. Но каква безкрайност, „плюс“ или „минус“? Техниката е същата - нека се отървем от малките неща в числителя и знаменателя:

Ние решаваме:

Разделете числителя и знаменателя на

Пример 15

Намерете границата

Това е пример, който можете да решите сами. Приблизителна проба на окончателния дизайн в края на урока.

Още няколко интересни примера по темата за замяна на променливи:

Пример 16

Намерете границата

При заместване на единица в границата се получава несигурност. Промяната на променливата вече се предполага, но първо преобразуваме тангентата с помощта на формулата. Наистина, защо се нуждаем от допирателна?

Забележете, че следователно. Ако не е съвсем ясно, погледнете синусовите стойности в тригонометрична таблица. Така веднага се отърваваме от множителя, освен това получаваме по-познатата несигурност от 0:0. Би било хубаво, ако нашата граница клонеше към нула.

Да заменим:

Ако , тогава

Под косинуса имаме “x”, което също трябва да бъде изразено чрез “te”.
От замяната изразяваме: .

Завършваме решението:

(1) Извършваме замяната

(2) Отворете скобите под косинуса.

(4) Да организира първата прекрасна граница, изкуствено умножете числителя по и реципрочното число.

Задача за самостоятелно решение:

Пример 17

Намерете границата

Пълно решение и отговор в края на урока.

Това бяха прости задачи в техния клас, на практика всичко може да бъде по-лошо и в допълнение формули за намаляване, трябва да използвате различни тригонометрични формули, както и други трикове. В статията Комплексни граници разгледах няколко реални примера =)

В навечерието на празника най-накрая ще изясним ситуацията с друга често срещана неизвестност:

Елиминиране на несигурността „едно на степен на безкрайност“

Тази несигурност се „сервира“ втора прекрасна граница, а във втората част на този урок разгледахме много подробно стандартни примери за решения, които се срещат на практика в повечето случаи. Сега картината с експонентите ще бъде завършена, освен това последните задачи на урока ще бъдат посветени на „фалшиви“ граници, в които ИЗГЛЕЖДА, че е необходимо да се приложи втората прекрасна граница, въпреки че това изобщо не е случай.

Недостатъкът на двете работещи формули за втората забележителна граница е, че аргументът трябва да клони към „плюс безкрайност“ или към нула. Но какво ще стане, ако аргументът клони към различно число?

На помощ идва универсална формула (която всъщност е следствие от второто забележително ограничение):

Несигурността може да се елиминира с помощта на формулата:

Някъде мисля, че вече обясних какво означават квадратните скоби. Нищо особено, скобите са си просто скоби. Те обикновено се използват за по-ясно подчертаване на математическата нотация.

Нека подчертаем основните точки на формулата:

1) Става въпрос за само за несигурността и нищо друго.

2) Аргументът „x“ може да има тенденция произволна стойност(а не само до нула или), по-специално до „минус безкрайност“ или до всекикрайно число.

С помощта на тази формула можете да решите всички примери в урока. Прекрасни граници, които спадат към 2-ра забележителна граница. Например, нека изчислим лимита:

В такъв случай , и по формулата :

Вярно е, че не препоръчвам да правите това; традицията е все още да се използва „обичайният“ дизайн на решението, ако може да се приложи. въпреки това с помощта на формулата е много удобно да се провери"класически" примери до 2-ра забележителна граница.

Много често много хора се чудят защо не може да се използва разделяне на нула? В тази статия ще говорим много подробно за това откъде идва това правило, както и какви действия могат да се извършват с нула.

Във връзка с

Нулата може да се нарече едно от най-интересните числа. Това число няма значение, това означава празнота в истинския смисъл на думата. Ако обаче до което и да е число се постави нула, тогава стойността на това число ще стане няколко пъти по-голяма.

Самото число е много загадъчно. Използван е от древния народ на маите. За маите нулата означава "начало" и календарните дни също започват от нула.

Много интересен факт е, че знакът нула и знакът за несигурност са сходни. С това маите искаха да покажат, че нулата е същият идентичен знак като несигурността. В Европа обозначението нула се появи сравнително наскоро.

Много хора знаят и забраната, свързана с нулата. Всеки ще го каже не можеш да делиш на нула. Учителите в училище казват това и децата обикновено вярват на думата им. Обикновено децата или просто не се интересуват да знаят това, или знаят какво ще се случи, ако след като чуят важна забрана, веднага попитат: „Защо не можете да разделите на нула?“ Но когато остареете, интересът ви се пробужда и искате да научите повече за причините за тази забрана. Въпреки това има разумни доказателства.

Действия с нула

Първо трябва да определите какви действия могат да се извършват с нула. Съществува няколко вида действия:

• Добавяне;
• умножение;
• изваждане;
• Деление (нула по число);
• степенуване.

важно!Ако добавите нула към което и да е число по време на добавяне, това число ще остане същото и няма да промени числената си стойност. Същото се случва, ако извадите нула от произволно число.

При умножение и деление нещата са малко по-различни. Ако умножете всяко число по нула, тогава продуктът също ще стане нула.

Да разгледаме един пример:

Нека напишем това като допълнение:

Има общо пет нули, така че се оказва, че

Нека се опитаме да умножим едно по нула. Резултатът също ще бъде нула.

Нулата може да бъде разделена и на всяко друго число, което не е равно на нея. В този случай резултатът ще бъде , чиято стойност също ще бъде нула. Същото правило важи и за отрицателните числа. Ако нулата се раздели на отрицателно число, резултатът е нула.

Можете също така да конструирате произволно число до нулева степен. В този случай резултатът ще бъде 1. Важно е да запомните, че изразът „нула на степен нула“ е абсолютно безсмислен. Ако се опитате да повдигнете нула на произволна степен, ще получите нула. Пример:

Използваме правилото за умножение и получаваме 0.

И така, възможно ли е да се дели на нула?

И така, стигаме до основния въпрос. Възможно ли е да се дели на нула?изобщо? И защо не можем да разделим число на нула, при положение че всички други действия с нула съществуват и се прилагат? За да се отговори на този въпрос е необходимо да се обърнем към висшата математика.

Нека започнем с определението на понятието, какво е нула? Учителите казват, че нулата е нищо. празнота. Тоест, когато казвате, че имате 0 дръжки, това означава, че нямате никакви дръжки.

Във висшата математика понятието „нула“ е по-широко. Това изобщо не означава празнота. Тук нулата се нарича несигурност, защото ако направим малко проучване, се оказва, че когато разделим нула на нула, можем да получим всяко друго число, което може да не е непременно нула.

Знаете ли, че тези прости аритметични операции, които сте изучавали в училище, не са толкова равни помежду си? Най-основните действия са събиране и умножение.

За математиците понятията "" и "изваждане" не съществуват. Да кажем: ако от пет извадите три, ще ви остане две. Ето как изглежда изваждането. Въпреки това математиците биха го написали по следния начин:

По този начин се оказва, че неизвестната разлика е определено число, което трябва да се добави към 3, за да се получи 5. Тоест, не е нужно да изваждате нищо, просто трябва да намерите подходящото число. Това правило важи за добавянето.

Нещата са малко по-различни с правила за умножение и деление.Известно е, че умножението по нула води до нулев резултат. Например, ако 3:0=x, тогава ако обърнете записа, ще получите 3*x=0. И число, умножено по 0, ще даде нула в продукта. Оказва се, че няма число, което да даде друга стойност освен нула в произведението с нула. Това означава, че деленето на нула е безсмислено, тоест отговаря на нашето правило.

Но какво се случва, ако се опитате да разделите самата нула на себе си? Нека вземем някакво неопределено число като x. Полученото уравнение е 0*x=0. Може да се реши.

Ако се опитаме да вземем нула вместо x, ще получим 0:0=0. Изглежда ли логично? Но ако се опитаме да вземем друго число, например 1, вместо х, ще завършим с 0:0=1. Същата ситуация ще се случи, ако вземем всяко друго число и включи го в уравнението.

В този случай се оказва, че можем да вземем всяко друго число като фактор. Резултатът ще бъде безкраен брой различни числа. Понякога делението на 0 във висшата математика все още има смисъл, но тогава обикновено се появява определено условие, благодарение на което все пак можем да изберем едно подходящо число. Това действие се нарича „разкриване на несигурност“. В обикновената аритметика деленето на нула отново ще загуби смисъла си, тъй като няма да можем да изберем едно число от множеството.

важно!Не можете да разделите нула на нула.

Нула и безкрайност

Безкрайността може да се намери много често във висшата математика. Тъй като за учениците просто не е важно да знаят, че има и математически операции с безкрайност, учителите не могат правилно да обяснят на децата защо е невъзможно да се дели на нула.

Студентите започват да научават основни математически тайни едва през първата година на института. Висшата математика предоставя голям комплекс от задачи, които нямат решение. Най-известните задачи са задачи с безкрайност. Те могат да бъдат решени с помощта на математически анализ.

Може да се приложи и до безкрайност елементарни математически операции:събиране, умножение с число. Обикновено те също използват изваждане и деление, но накрая все пак се свеждат до две прости операции.

Но какво ще стане ако опитате:

• Безкрайност, умножена по нула. На теория, ако се опитаме да умножим произволно число по нула, ще получим нула. Но безкрайността е неопределен набор от числа. Тъй като не можем да изберем едно число от това множество, изразът ∞*0 няма решение и е абсолютно безсмислен.
• Нула, разделена на безкрайност. Тук се случва същата история като по-горе. Не можем да изберем едно число, което означава, че не знаем на какво да разделим. Изразът няма смисъл.

важно!Безкрайността е малко по-различна от несигурността! Безкрайността е един от видовете несигурност.

Сега нека опитаме да разделим безкрайността на нула. Изглежда, че трябва да има несигурност. Но ако се опитаме да заменим делението с умножение, ще получим много категоричен отговор.

Например: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Получава се така математически парадокс.

Отговорът защо не можете да делите на нула

Мислен експеримент, опитвайки се да разделя на нула

Заключение

И така, сега знаем, че нулата е обект на почти всички операции, които се извършват с, с изключение на една единствена. Не можете да разделите на нула само защото резултатът е несигурен. Научихме също как да извършваме операции с нула и безкрайност. Резултатът от подобни действия ще бъде несигурност.

Разбрахме основните елементарни функции.

При преминаване към функции от по-сложен тип със сигурност ще се сблъскаме с появата на изрази, чийто смисъл не е дефиниран. Такива изрази се наричат несигурности.

Нека изброим всичко основни видове несигурност: нула делено на нула (0 на 0), безкрайност делено на безкрайност, нула умножена по безкрайност, безкрайност минус безкрайност, едно на степен безкрайност, нула на степен нула, безкрайност на степен нула.

ВСИЧКИ ДРУГИ ИЗРАЖЕНИЯ НА НЕСИГУРНОСТ НЕ СА И ПРИЕМАТ НАПЪЛНО СПЕЦИФИЧНА КРАЙНА ИЛИ БЕЗКРАЙНА СТОЙНОСТ.

Разкрийте несигурносттапозволява:

• опростяване на вида на функцията (преобразуване на изрази с помощта на формули за съкратено умножение, тригонометрични формули, умножение с конюгирани изрази, последвано от редукция и др.);
• използване на забележителни граници;
• приложение Правилата на L'Hopital ;
• използване замяна на безкрайно малък израз с негов еквивалент(използвайки таблица с еквивалентни безкрайно малки).

Нека групираме несигурностите в таблица на неопределеността. За всеки вид несигурност свързваме метод за нейното разкриване (метод за намиране на границата).

Тази таблица заедно с таблица с граници на основни елементарни функциище бъдат вашите основни инструменти при намиране на някакви ограничения.

Нека дадем няколко примера, когато всичко работи веднага след заместването на стойността и не възниква несигурност.

Пример.

Изчислете лимита

Решение.

Заместете стойността:

И веднага получихме отговор.

Отговор:

Пример.

Изчислете лимита

Решение.

Заместваме стойността x=0 в основата на нашата експоненциална степенна функция:

Тоест ограничението може да бъде пренаписано като

Сега нека да разгледаме индикатора. Това е степенна функция. Да се ​​обърнем към таблица с границиза степенни функции с отрицателен показател. От там имаме И , следователно можем да пишем .

Въз основа на това нашият лимит ще бъде записан като:

Обръщаме се отново към таблицата на границите, но за експоненциални функции с основа, по-голяма от единица, от която имаме:

Отговор:

Нека разгледаме примери с подробни решения Разкриване на несигурности чрез трансформиране на изрази.

Много често изразът под знака за граница трябва да бъде леко трансформиран, за да се отърве от несигурността.

Пример.

Изчислете лимита

Решение.

Заместете стойността:

Стигнахме до несигурност. Разглеждаме таблицата на несигурността, за да изберем метод за решение. Нека се опитаме да опростим израза.

Отговор:

Пример.

Изчислете лимита

Решение.

Заместете стойността:

Стигнахме до несигурност (0 на 0). Разглеждаме таблицата на несигурността, за да изберем метод на решение и се опитваме да опростим израза. Нека умножим и числителя, и знаменателя по израза, спрегнат към знаменателя.

За знаменателя спрегнатият израз ще бъде

Умножихме знаменателя, за да можем да приложим формулата за съкратено умножение - разлика на квадрати и след това намалихме получения израз.

След поредица от трансформации несигурността изчезна.

Отговор:

КОМЕНТАР:За граници от този тип методът на умножение с спрегнати изрази е типичен, така че не се колебайте да го използвате.

Пример.

Изчислете лимита

Решение.

Заместете стойността:

Стигнахме до несигурност. Разглеждаме таблицата на несигурността, за да изберем метод на решение и се опитваме да опростим израза. Тъй като и числителят, и знаменателят изчезват при x = 1, тогава ако тези изрази могат да бъдат намалени (x-1) и несигурността ще изчезне.

Нека разложим числителя на множители:

Нека разложим знаменателя на множители:

Нашият лимит ще приеме формата:

След трансформацията несигурността беше разкрита.

Отговор:

Нека разгледаме граници в безкрайност от изрази за степен. Ако показателите на степенния израз са положителни, тогава границата в безкрайността е безкрайна. Освен това най-голямата степен е от първостепенно значение; останалите могат да бъдат изхвърлени.

Пример.

Пример.

Ако изразът под граничния знак е дроб и и числителят, и знаменателят са степенни изрази (m е степента на числителя, а n е степента на знаменателя), тогава при несигурност във формата от безкрайност до безкрайност възниква, в този случай разкрива се несигурностразделяне на числителя и знаменателя на

Пример.

Изчислете лимита