Съкратени формули за умножение. Съкратени формули за умножение Разлика и добавяне на кубчета

Формули или правила за съкратено умножение се използват в аритметиката, или по-скоро в алгебрата, за по-бърз процес на изчисляване на големи алгебрични изрази. Самите формули са извлечени от правилата, съществуващи в алгебрата за умножаване на няколко полинома.

Използването на тези формули осигурява доста бързо решение на различни математически задачи и също така помага за опростяване на изразите. Правилата за алгебрична трансформация ви позволяват да извършвате някои манипулации с изрази, след което можете да получите израза от лявата страна на равенството от дясната страна или да трансформирате дясната страна на равенството (за да получите израза от лявата страна след знака за равенство).

Удобно е да знаете формулите, използвани за намалено умножение по памет, тъй като те често се използват при решаване на задачи и уравнения. По-долу са основните формули, включени в този списък, и тяхното име.

Сума на квадрат

За да изчислите квадрата на сумата, трябва да намерите сумата, състояща се от квадрата на първия член, два пъти произведението на първия член на втория и квадрата на втория. Като израз това правило се пише по следния начин: (a + c) ² \u003d a² + 2ac + c².

Разликата на квадрат

За да се изчисли квадратът на разликата, е необходимо да се изчисли сумата, състояща се от квадрата на първото число, удвоен произведението на първото число на второто (взето с противоположния знак) и квадрата на второто число. Като израз това правило изглежда така: (a - c) ² \u003d a² - 2ac + c².

Разлика в квадратите

Формулата за разликата между две числа на квадрат е равна на произведението от сумата на тези числа на тяхната разлика. Под формата на израз това правило изглежда така: a² - c² \u003d (a + c) · (a - c).

Сум куб

За да се изчисли кубът на сумата от два члена, е необходимо да се изчисли сумата, състояща се от куба от първия член, тройното произведение на квадрата от първия член и втория, тройния продукт от първия член и втория квадрат и куба от втория член. Под формата на израз това правило е, както следва: (a + c) ³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Сума от кубчета

Според формулата тя се приравнява на произведението на сумата на тези членове от непълния им квадрат на разликата. Под формата на израз това правило изглежда по следния начин: a³ + c³ \u003d (a + c) · (a² - ac + c²).

Пример. Необходимо е да се изчисли обемът на фигурата, който се формира чрез добавяне на две кубчета. Известни са само размерите на страните им.

Ако страничните стойности са малки, изчисленията са лесни.

Ако дължините на страните са изразени в тромави числа, тогава в този случай е по-лесно да приложите формулата "Сума от кубчета", което значително ще опрости изчисленията.

Различен куб

Изразът за кубичната разлика е следният: като сумата от третата степен на първия член, утрои отрицателното произведение на квадрата на първия член с втория, утрои произведението на първия член с квадрата на втория и отрицателния куб на втория член. Под формата на математически израз кубът на разликата изглежда по следния начин: (a - c) ³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Различни кубчета

Формулата за разликата на кубовете се различава от сумата на кубовете само в един знак. По този начин разликата между кубчетата е формула, равна на произведението от разликата на тези числа от непълния им квадрат от сумата. Във формата разликата на кубчетата е както следва: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Пример. Необходимо е да се изчисли обемът на фигурата, който ще остане след изваждане на жълтата обемна фигура от обема на синия куб, който също е куб. Известен е само размерът на страната на малкия и големия куб.

Ако страничните стойности са малки, изчисленията са доста ясни. И ако дължините на страните са изразени в значителен брой, тогава си струва да се използва формула, озаглавена "Различни кубчета" (или "Различен куб"), която значително ще опрости изчисленията.

В предишните уроци разгледахме два начина да разделим полином на фактори: скоби и групиране.

В този урок ще разгледаме друг начин за факторизиране на полином като се използват съкратени формули за умножение.

Препоръчваме да предписвате всяка формула поне 12 пъти. За по-добро запаметяване напишете всички формули за съкратено умножение за себе си на малък мамят.

Нека си припомним как изглежда формулата за разликата на кубчетата.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Формулата за разликата между кубчетата не е много лесна за запомняне, затова препоръчваме да се използва специален начин за запаметяването.

Важно е да се разбере, че всяка формула за съкратено умножение работи в задната страна.

(а - б) (а 2 + ab + b 2) \u003d a 3 - b 3

Нека разгледаме един пример. Необходимо е да се раздели разликата между кубчетата.

Обърнете внимание, че „27a 3“ е „(3a) 3“, което означава, че за формулата за разликата между кубчетата, вместо „a“ използваме „3a“.

Използваме формулата за разликата на кубчетата. На място "a 3" имаме "27a 3", а на място "b 3", както е във формулата, има "b 3".

Прилагане на разликата от кубчета в обратна посока

Нека разгледаме друг пример. Искате да преобразувате произведението на многочлените в разликата на кубовете, като използвате съкратената формула за умножение.

Моля, обърнете внимание, че произведението на полиноми "(x - 1) (x 2 + x + 1)" прилича на дясната страна на формулата за разликата между кубчета "", само вместо "a" е "x", а вместо "b" е "1" ...

Използваме за "(x - 1) (x 2 + x + 1)" формулата на разликата на кубовете в обратна посока.

Нека разгледаме по-сложен пример. Необходимо е да се опрости произведението на многочлените.

Ако сравним "(y 2 - 1) (y 4 + y 2 + 1)" с дясната страна на формулата за разлика на кубовете
« a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)", Тогава можете да разберете, че на място" а "от първата скоба е" y 2, а на място "b" е "1".

Съкратените формули за умножение (ACF) се използват за степенуване и умножение на числа и изрази. Често тези формули ви позволяват да направите изчисленията по-компактни и по-бързи.

В тази статия ще изброим основните формули за съкратено умножение, ще ги групираме в таблица, ще разгледаме примери за използването на тези формули и ще се спрем на принципите на доказване на съкратените формули за умножение.

За първи път темата за FSU се разглежда в рамките на курса "Алгебра" за 7 клас. По-долу са дадени 7 основни формули.

Съкратени формули за умножение

1. формулата за квадрата на сумата: a + b 2 \u003d a 2 + 2 a b + b 2
2. формулата за квадрата на разликата: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. формула за куб на сумата: a + b 3 \u003d a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. формула за куб на разлика: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. формула за разлика на квадратите: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. формулата за сумата на кубовете: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. формулата за разликата на кубчета: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

Буквите a, b, c в тези изрази могат да бъдат всякакви числа, променливи или изрази. За по-лесно използване е най-добре да научите седемте основни формули наизуст. Нека ги обобщим в таблица и ги представим по-долу, като ги обградим с рамка.

Първите четири формули ви позволяват да изчислите съответно квадрата или куба на сумата или разликата на два израза.

Петата формула изчислява разликата на квадратите на изразите по произведение на тяхната сума и разлика.

Шестата и седмата формули са съответно умножението на сумата и разликата на изразите по непълния квадрат на разликата и непълния квадрат на сумата.

Формулата за съкратено умножение понякога се нарича още съкратената идентичност на умножението. Това не е изненадващо, тъй като всяко равенство е идентичност.

При решаването на практически примери често се използват съкратени формули за умножение с пренаредени лява и дясна страна. Това е особено полезно, когато се извършва факторизиране на полинома.

Допълнителни съкратени формули за умножение

Няма да се ограничим до курса по алгебра от 7 клас и ще добавим още няколко формули към нашата таблица на FSU.

Първо, разгледайте биномната формула на Нютон.

a + b n \u003d C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 +. ... + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

Тук C n k - биномни коефициенти, които са в ред n в паскалния триъгълник. Биномиалните коефициенти се изчисляват по формулата:

C n k \u003d n! к! (N - k)! \u003d n (n - 1) (n - 2). ... (n - (k - 1)) k!

Както можете да видите, FSE за квадрата и куба на разликата и сумата е частен случай на биномната формула на Нютон за n \u003d 2 и n \u003d 3, съответно.

Но какво, ако има повече от два члена в сумата, които трябва да бъдат издигнати до степен? Формулата за квадрата на сумата от три, четири или повече членове ще бъде полезна.

a 1 + a 2 +. ... + a n 2 \u003d a 1 2 + a 2 2 +. ... + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 +. ... + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 +. ... + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Друга формула, която може да ви бъде полезна, е формулата за разликата между n-ите степени на два члена.

a n - b n \u003d a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 +. ... + a 2 b n - 2 + b n - 1

Тази формула обикновено се разделя на две формули - съответно за четни и нечетни градуси.

За равномерни показатели 2m:

a 2 m - b 2 m \u003d a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. ... + b 2 m - 2

За нечетни експоненти 2m + 1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 \u003d a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 +. ... + b 2 m

Формулите за разликата на квадратите и разликата на кубовете, както се досещате, са частни случаи на тази формула за n \u003d 2 и n \u003d 3, съответно. За разликата на кубчетата b също се заменя с - b.

Как да чета съкратени формули за умножение?

Ще дадем подходящите формули за всяка формула, но първо ще разберем принципа на четене на формули. Най-удобният начин да направите това е чрез пример. Нека вземем първата формула за квадрата на сумата от две числа.

a + b 2 \u003d a 2 + 2 a b + b 2.

Казват: квадратът на сумата от два израза a и b е равен на сумата на квадрата на първия израз, удвоеното произведение на изразите и квадрата на втория израз.

Всички останали формули се четат по същия начин. За квадрата на разликата a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 пишем:

квадратът на разликата между двата израза a и b е равен на сумата от квадратите на тези изрази минус два пъти произведението на първия и втория израз.

Прочетете формулата a + b 3 \u003d a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Кубът на сумата от два израза a и b е равен на сумата от кубовете на тези изрази, три пъти квадрата на първия израз от втория и три пъти квадрата на втория израз от първия израз.

Пристъпваме към четене на формулата за разликата на кубчета a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Кубът на разликата от два израза a и b е равен на куба на първия израз минус три пъти квадрата на първия израз и втория, плюс три пъти квадрата на втория израз и първия израз, минус куба на втория израз.

Петата формула a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (разлика на квадратите) гласи по следния начин: разликата в квадратите на два израза е равна на произведението на разликата и сумата на двата израза.

Изрази като a 2 + a b + b 2 и a 2 - a b + b 2 за удобство се наричат \u200b\u200bсъответно непълният квадрат на сумата и непълният квадрат на разликата.

Имайки предвид това, формулите за сумата и разликата на кубовете се четат, както следва:

Сумата от кубовете на два израза е равна на произведението от сумата на тези изрази на непълния квадрат на тяхната разлика.

Разликата между кубовете на два израза е равна на произведението на разликата между тези изрази и непълния квадрат от тяхната сума.

FSU доказателство

Доста лесно е да се докаже FSO. Въз основа на свойствата на умножението умножаваме частите на формулите в скоби.

Например, разгледайте формулата за квадрата на разликата.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

За да издигнете израз до втората степен, трябва да умножите този израз по себе си.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

Нека разширим скобите:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Формулата е доказана. Останалите FSO се доказват по подобен начин.

Примери за приложение на FSU

Целта на използването на съкратените формули за умножение е да се умножават и експонират изрази бързо и кратко. Това обаче не е целият обхват на FSO. Те се използват широко при редуциране на изрази, редуциране на фракции, факторинг на полиноми. Ето няколко примера.

Пример 1. FSO

Опростете израза 9 y - (1 + 3 y) 2.

Прилагаме формулата за сумата на квадратите и получаваме:

9 y - (1 + 3 y) 2 \u003d 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) \u003d 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 \u003d 3 y - 1 - 9 y 2

Пример 2. FSO

Намалете фракцията 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Имайте предвид, че изразът в числителя е разликата между кубовете, а знаменателят е разликата в квадратите.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Съкращаваме и получаваме:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSO също помагат за изчисляване на стойностите на изразите. Основното нещо е да можете да забележите къде да приложите формулата. Нека покажем това с пример.

Да изведем на квадрат числото 79. Вместо тромави изчисления, ние пишем:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Изглежда, че сложно изчисление беше извършено бързо само с използването на съкратените формули за умножение и таблицата за умножение.

Друг важен момент е изборът на квадрата на бинома. Изразът 4 x 2 + 4 x - 3 може да бъде преобразуван в 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 \u003d 2 x + 1 2 - 4. Такива трансформации се използват широко при интеграцията.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете го и натиснете Ctrl + Enter

Съкратени формули за умножение.

Изучаване на съкратени формули за умножение: квадратът на сумата и квадратът на разликата на два израза; разлика в квадратите на два израза; куб на сумата и куб на разликата от два израза; сума и разлика на кубчета от два израза.

Прилагане на съкратени формули за умножение при решаване на примери.

За опростяване на изрази, разлагане на множества на множители и привеждане на полиноми до стандартна форма се използват съкратени формули за умножение. Съкратените формули за умножение трябва да се знаят наизуст.

Нека a, b R. Тогава:

1. Квадратът на сумата на двата израза е квадрат на първия израз плюс два пъти произведението на първия израз на втория плюс квадрата на втория израз.

(a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2

2. Квадратната разлика на двата израза е квадрат на първия израз минус два пъти произведението на първия израз на втория плюс квадратът на втория израз.

(a - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2

3. Разлика в квадратитедва израза е равен на произведението от разликата между тези изрази и тяхната сума.

a 2 - b 2 \u003d (a -b) (a + b)

4. Сум кубдва израза е равно на куба на първия израз плюс три пъти квадрата на първия израз и втория плюс три пъти на първия израз и квадрата на втория плюс куба на втория израз.

(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Различен кубдва израза е равно на куба на първия израз минус три пъти квадрата на първия израз и втория плюс три пъти произведението на първия израз и квадрата на втория минус куба на втория израз.

(a - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Сума от кубчетадва израза е равен на произведението от сумата на първия и втория израз на непълния квадрат на разликата на тези изрази.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Различни кубчета два израза е равен на произведението от разликата на първия и втория израз от непълния квадрат на сумата от тези изрази.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Прилагане на съкратени формули за умножение при решаване на примери.

Пример 1.

Изчисли

а) Използвайки формулата за квадрата на сумата от два израза, имаме

(40 + 1) 2 \u003d 40 2 + 2 40 1 + 1 2 \u003d 1600 + 80 + 1 \u003d 1681

б) Използвайки формулата за квадрата на разликата от два израза, получаваме

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604

Пример 2.

Изчисли

Използвайки формулата за разликата между квадратите на два израза, получаваме

Пример 3.

Опростете израза

(х - у) 2 + (х + у) 2

Ще използваме формулите за квадрата на сумата и квадрата на разликата на два израза

(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

Съкратени формули за умножение в една таблица:

(a + b) 2 \u003d a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)