Корен квадратен от число на степен. Умножаване на корени: методи и приложения. Основно правило за умножение

Формули за степенизползвани в процеса на редуциране и опростяване на сложни изрази, при решаване на уравнения и неравенства.

Номер ° Се н-та степен на число аКога:

Операции със степени.

1. Чрез умножаване на градуси с една и съща основа се добавят техните показатели:

a m·a n = a m + n .

2. При деление на степени с еднаква основа се изваждат техните експоненти:

3. Степента на произведението на 2 или повече фактора е равна на произведението на степените на тези фактори:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степента на дроб е равна на отношението на степените на делителя и делителя:

(a/b) n = a n /b n.

5. Повишаване на степен на степен, показателите се умножават:

(a m) n = a m n.

Всяка формула по-горе е вярна в посоките отляво надясно и обратно.

Например. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Операции с корени.

1. Коренът на произведението на няколко фактора е равен на произведението на корените на тези фактори:

2. Коренът на съотношението е равен на съотношението на дивидента и делителя на корените:

3. Когато повдигате корен на степен, достатъчно е да повдигнете радикалното число на тази степен:

4. Ако увеличите степента на корена в нведнъж и в същото време се вграждат в нта степен е радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:

5. Ако намалите степента на корена в низвлечете корена едновременно н-та степен на радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:

Степен с отрицателен показател.Степента на определено число с неположителен (цял) показател се определя като единица, разделена на степента на същото число с показател, равен на абсолютната стойност на неположителния показател:

Формула a m:a n =a m - nможе да се използва не само за м> н, но и с м< н.

Например. а4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

За формулиране a m:a n =a m - nстана справедливо, когато m=n, изисква се наличие на нулева степен.

Диплома с нулев индекс.Степента на всяко число, което не е равно на нула с нулев показател, е равна на едно.

Например. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степен с дробен показател.Да се ​​вдигне реално число Адо степен м/н, трябва да извлечете корена нта степен на м-та степен на това число А.

За да използвате успешно операцията за извличане на корен на практика, трябва да се запознаете със свойствата на тази операция.
Всички свойства са формулирани и доказани само за неотрицателни стойности на променливите, съдържащи се под знаците на корените.

Теорема 1. Коренът n-ти (n=2, 3, 4,...) от произведението на два неотрицателни чипа е равен на произведението от корените n-ти на тези числа:

коментар:

1. Теорема 1 остава валидна за случая, когато радикалният израз е произведение на повече от две неотрицателни числа.

Теорема 2.Ако, и n е естествено число, по-голямо от 1, тогава равенството е вярно

Накратко(макар и неточна) формулировка, която е по-удобна за използване на практика: коренът на една дроб е равен на частта от корените.

Теорема 1 ни позволява да умножим t само корени от една и съща степен , т.е. само корени със същия индекс.

Теорема 3. Ако ,k е естествено число и n е естествено число, по-голямо от 1, тогава равенството е вярно

С други думи, за да се издигне корен до естествена сила, достатъчно е да се издигне радикалният израз до тази сила.
Това е следствие от теорема 1. Всъщност, например, за k = 3 получаваме: Можем да разсъждаваме по абсолютно същия начин в случай на всяка друга естествена стойност на показателя k.

Теорема 4. Ако ,k, n са естествени числа, по-големи от 1, тогава равенството е вярно

С други думи, за да извлечете корен от корен, достатъчно е да умножите показателите на корените.
Например,

Бъди внимателен!Научихме, че върху корените могат да се извършват четири операции: умножение, деление, степенуване и извличане на корен (от корена). Но какво да кажем за добавяне и изваждане на корени? Няма начин.
Например, вместо да напишете Наистина, Но е очевидно, че

Теорема 5. Ако индикаторите на корена и радикалния израз се умножават или разделят на едно и също естествено число, тогава стойността на корена няма да се промени, т.е.

Примери за решаване на проблеми

Пример 1.Изчисли

Решение.Използвайки първото свойство на корените (теорема 1), получаваме:

Пример 2.Изчисли
Решение.Преобразувайте смесено число в неправилна дроб.
Имаме Използване на второто свойство на корените ( Теорема 2 ), получаваме:

Пример 3.Изчисли:

Решение.Всяка формула в алгебрата, както добре знаете, се използва не само „отляво надясно“, но и „отдясно наляво“. По този начин първото свойство на корените означава, че те могат да бъдат представени във формата и, обратно, могат да бъдат заменени с израза. Същото важи и за второто свойство на корените. Като вземем това предвид, нека направим изчисленията.

Ирационални изрази и техните трансформации

Последния път си спомнихме (или научихме, зависи кой) какво е това , научиха как да извличат такива корени, сортираха основните свойства на корените част по част и решиха прости примери с корени.

Този урок ще бъде продължение на предишния и ще бъде посветен на трансформациите на голямо разнообразие от изрази, съдържащи всички видове корени. Такива изрази се наричат ирационален. Тук ще се появят изрази с букви, допълнителни условия, премахване на ирационалността в дроби и някои усъвършенствани техники за работа с корени. Техниките, които ще бъдат обсъдени в този урок, ще станат добра основа за решаване на USE проблеми (и не само) на почти всяко ниво на сложност. Така че да започваме.

Първо, ще дублирам тук основните формули и свойства на корените. За да не прескачам от тема на тема. Ето ги и тях:

при

Трябва да знаете тези формули и да можете да ги прилагате. И то в двете посоки – и от ляво на дясно, и от дясно на ляво. На тях се основава решението на повечето задачи с корени от всякаква степен на сложност. Нека засега започнем с най-простото - с директното прилагане на формули или техните комбинации.

Лесно прилагане на формули

В тази част ще бъдат разгледани прости и безобидни примери - без букви, допълнителни условия и други трикове. Въпреки това, дори и в тях, като правило, има опции. И колкото по-сложен е примерът, толкова повече такива опции има. И неопитният ученик се сблъсква с основния проблем - откъде да започне? Отговорът тук е прост - Ако не знаете от какво имате нужда, направете каквото можете. Стига вашите действия да са в мир и хармония с правилата на математиката и да не им противоречат.) Например тази задача:

Изчисли:

Дори в такъв прост пример има няколко възможни пътя към отговора.

Първият е просто да умножите корените по първото свойство и да извлечете корена от резултата:

Вторият вариант е следният: ние не го пипаме, ние работим с . Изваждаме множителя от под знака на корена, а след това - според първото свойство. Като този:

Можете да решавате колкото искате. Във всяка от опциите отговорът е едно - осем. Например, за мен е по-лесно да умножа 4 и 128 и да получа 512, а кубичният корен може лесно да бъде извлечен от това число. Ако някой не си спомня, че 512 е 8 на куб, тогава няма значение: можете да напишете 512 като 2 9 (първите 10 степени на две, надявам се, че помните?) и използвайки формулата за корена на степента :

Друг пример.

Изчисли: .

Ако работите според първото свойство (поставяйки всичко под един корен), ще получите солидно число, от което после може да се извлече коренът - също не захар. И не е факт, че ще бъде извлечен точно.) Следователно тук е полезно да премахнете факторите от корена в числото. И се възползвайте максимално от:

И сега всичко е наред:

Остава само да напишем осмицата и две под един корен (по първото свойство) и работата е готова. :)

Сега нека добавим няколко дроби.

Изчисли:

Примерът е доста примитивен, но има и опции. Можете да използвате множителя, за да трансформирате числителя и да го намалите със знаменателя:

Или можете веднага да използвате формулата за разделяне на корени:

Както виждаме, така и така - всичко е правилно.) Ако не се спънете наполовина и не направите грешка. Въпреки че къде мога да сбъркам тук...

Нека сега да разгледаме последния пример от домашното от последния урок:

Опростете:

Напълно невъобразим набор от корени и дори вложени такива. Какво трябва да направя? Основното нещо е да не се страхувате! Тук първо забелязваме под корените числата 2, 4 и 32 – степени на две. Първото нещо, което трябва да направите, е да намалите всички числа до две: в края на краищата, колкото повече еднакви числа в примера и по-малко различни, толкова по-лесно е.) Нека започнем отделно с първия фактор:

Числото може да бъде опростено чрез намаляване на двете под корена с четирите в степента на корена:

Сега, според корена на работата:

.

В числото изваждаме двете като коренен знак:

И ние се занимаваме с израза, използвайки корена на коренната формула:

И така, първият фактор ще бъде написан така:

Вложените корени изчезнаха, броят им стана по-малък, което вече е приятно. Просто корените са различни, но засега ще го оставим така. При необходимост ще ги конвертираме в същите. Да вземем втория фактор.)

Трансформираме втория множител по подобен начин, използвайки формулата на корена на произведението и корена на корена. Когато е необходимо, намаляваме показателите по петата формула:

Поставяме всичко в оригиналния пример и получаваме:

Получихме продукта от цял ​​куп напълно различни корени. Би било хубаво да ги приведем всички към един индикатор и тогава ще видим. Е, напълно възможно е. Най-големият от степенните корени е 12, а всички останали - 2, 3, 4, 6 - са делители на числото 12. Следователно ще сведем всички корени според петото свойство до един показател - 12:

Преброяваме и получаваме:

Не получихме хубав номер, но това е добре. Попитаха ни опростявамизраз, не броя. Опростено? Със сигурност! И видът на отговора (цяло число или не) вече не играе никаква роля тук.

Някои формули за събиране/изваждане и съкратено умножение

За съжаление, общите формули за събиране и изваждане на коренине по математика. Въпреки това, в задачите тези действия с корени често се срещат. Тук е необходимо да се разбере, че всички корени са точно същите математически символи като буквите в алгебрата.) И за корените се прилагат същите техники и правила като за буквите - отваряне на скоби, поставяне на подобни, съкратени формули за умножение и т.н. P.

Например, на всички е ясно, че . Подобен същотоКорените могат да се добавят/изваждат един към друг доста лесно:

Ако корените са различни, тогава търсим начин да ги направим еднакви - чрез добавяне/изваждане на множител или използване на петото свойство. Ако не е опростено по никакъв начин, тогава може би трансформациите са по-хитри.

Нека разгледаме първия пример.

Намерете значението на израза: .

И трите корена, макар и кубични, са от различенчисла. Те не са чисто извлечени и се добавят/изваждат един от друг. Следователно използването на общи формули не работи тук. Какво трябва да направя? Нека извадим факторите във всеки корен. Във всеки случай няма да е по-лошо.) Освен това всъщност няма други опции:

Това е, .

Това е решението. Тук преминахме от различни корени към едни и същи с помощта премахване на множителя изпод корена. И тогава те просто донесоха подобни.) Ние решаваме по-нататък.

Намерете стойността на израз:

Определено не можете да направите нищо относно корена от седемнадесет. Работим според първото свойство - правим един корен от произведението на два корена:

Сега нека погледнем по-отблизо. Какво има под нашия голям кубичен корен? Разликата е ква... Е, разбира се! Разлика на квадратите:

Сега всичко, което остава, е да извлечете корена: .

Изчисли:

Тук ще трябва да покажете математическа изобретателност.) Мислим приблизително по следния начин: „И така, в примера, произведението на корените. Под единия корен е разликата, а под другия е сумата. Много подобно на формулата за разликата на квадратите. Но... Корените са други! Първата е квадратна, а втората е от четвърта степен... Би било хубаво да са еднакви. Според петото свойство можете лесно да направите четвърти корен от корен квадратен. За да направите това, достатъчно е да поставите радикалния израз на квадрат.

Ако сте мислили за същото, значи сте на половината път към успеха. Абсолютно прав! Нека превърнем първия фактор в четвърти корен. Като този:

Сега няма какво да се направи, но ще трябва да запомните формулата за квадрат на разликата. Само когато се прилага върху корените. Какво от това? Защо корените са по-лоши от други числа или изрази?! Ние изграждаме:

„Хм, добре, издигнаха го, какво от това? Хрянът не е по-сладък от ряпата. Спри се! И ако извадите четирите под корена? Тогава ще излезе същият израз като под втория корен, само че с минус и точно това се опитваме да постигнем!“

вярно! Да вземем четири:

.

А сега - въпрос на технология:

Ето как се разплитат сложни примери.) Сега е време да се упражнявате с дроби.

Изчисли:

Ясно е, че числителят трябва да се преобразува. как? Използвайки формулата на квадрата на сумата, разбира се. Имаме ли други възможности? :) Поставяме на квадрат, изваждаме факторите, намаляваме показателите (където е необходимо):

Еха! Получихме точно знаменателя на нашата дроб.) Това означава, че цялата дроб очевидно е равна на едно:

Друг пример. Само сега на друга формула за съкратено умножение.)

Изчисли:

Ясно е, че квадратът на разликата трябва да се използва на практика. Изписваме знаменателя отделно и - да вървим!

Изваждаме факторите изпод корените:

следователно

Сега всичко лошо е превъзходно намалено и се оказва:

Е, нека го пренесем на следващото ниво. :)

Писма и допълнителни условия

Буквалните изрази с корени са по-сложно нещо от числовите изрази и са неизчерпаем източник на досадни и много сериозни грешки. Нека затворим този източник.) Грешките възникват поради факта, че такива задачи често включват отрицателни числа и изрази. Те или ни се дават директно в задачата, или са скрити писма и допълнителни условия. И в процеса на работа с корените ние постоянно трябва да помним, че в корените дори степенкакто под самия корен, така и в резултат на извличането на корена трябва да има неотрицателен израз. Ключовата формула в задачите на този параграф ще бъде четвъртата формула:

Няма въпроси с корени от нечетни степени - винаги се извлича всичко, както положително, така и отрицателно. И минусът, ако има такъв, се изнася напред. Да преминем направо към корените дориградуса.) Например такава кратка задача.

Опростете: , Ако .

Изглежда, че всичко е просто. Просто ще се окаже, че е X.) Но защо тогава допълнителното условие? В такива случаи е полезно да се направи оценка с числа. Чисто за себе си.) Ако, тогава x очевидно е отрицателно число. Минус три например. Или минус четиридесет. Позволявам . Можете ли да повдигнете минус три на четвърта степен? Със сигурност! Резултатът е 81. Възможно ли е да се извлече четвърти корен от 81? Защо не? Мога! Получавате три. Сега нека анализираме цялата ни верига:

какво виждаме Входът беше отрицателно число, а изходът вече беше положителен. Беше минус три, сега е плюс три.) Да се ​​върнем към буквите. Без съмнение по модул ще бъде точно X, но само самото X е минус (по условие!), а резултатът от извличането (поради аритметичния корен!) трябва да бъде плюс. Как да получите плюс? Много просто! За да направите това, просто поставете минус пред очевидно отрицателно число.) И правилното решение изглежда така:

Между другото, ако използваме формулата, тогава, спомняйки си дефиницията на модул, веднага ще получим правилния отговор. Тъй като

|x| = -x при x<0.

Извадете фактора от знака за корен: , Където .

Първият поглед е към радикалния израз. Тук всичко е наред. Във всеки случай тя ще бъде неотрицателна. Да започнем да извличаме. Използвайки формулата за корена на продукт, извличаме корена на всеки фактор:

Не мисля, че има нужда да обяснявам откъде идват модулите.) Сега нека анализираме всеки от модулите.

Множител | а | оставяме го непроменен: нямаме никакви условия за писмотоа. Не знаем дали е положително или отрицателно. Следващ модул |б 2 | може безопасно да се пропусне: във всеки случай изразътб 2 неотрицателни. Но относно |c 3 | - тук вече има проблем.) Ако, тогава c 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть с минус: | c 3 | = - c 3 . Като цяло правилното решение би било:

А сега - обратният проблем. Не е от най-лесните, предупреждавам ви веднага!

Въведете множител под знака на корена: .

Ако веднага запишете решението по този начин

тогава ти падна в капан. Това грешно решение! Какъв е проблема?

Нека разгледаме по-отблизо израза под корена. Под корена на четвърта степен, както знаем, трябва да има неотрицателниизразяване. В противен случай коренът няма значение.) Следователно И това от своя страна означава, че и, следователно, самият също е неположителен: .

И грешката тук е, че въвеждаме в основата неположителенномер: четвъртата степен го превръща в неотрицателнии се получава грешен резултат - отляво има умишлен минус, а отдясно вече има плюс. И нанесете в корена дористепен имаме право само неотрицателничисла или изрази. И оставете минуса, ако има такъв, пред корена.) Как можем да идентифицираме неотрицателен фактор в числото, знаейки, че самата тя е напълно негативна? Да, абсолютно същото! Поставете минус.) И за да не се промени нищо, компенсирайте го с друго минус. Като този:

И сега вече неотрицателниНие спокойно въвеждаме числото (-b) под корена според всички правила:

Този пример ясно показва, че за разлика от други клонове на математиката, в корените правилният отговор не винаги следва автоматично от формулите. Трябва да помислите и лично да вземете правилното решение.) Особено трябва да сте по-внимателни със знаците ирационални уравнения и неравенства.

Нека да разгледаме следващата важна техника при работа с корени - освобождаване от ирационалността.

Премахване на ирационалността в дробите

Ако изразът съдържа корени, тогава, нека ви напомня, такъв израз се нарича изразяване с ирационалност. В някои случаи може да бъде полезно да се отървете от тази ирационалност (т.е. корени). Как можете да премахнете корена? Нашият корен изчезва, когато... бъде издигнат до степен. С индикатор, равен на коренния индикатор или кратен на него. Но ако повдигнем корена на степен (т.е. умножим корена по себе си необходимия брой пъти), тогава изразът ще се промени. Не е добре.) В математиката обаче има теми, където умножението е доста безболезнено. В дроби например. Според основното свойство на дроб, ако числителят и знаменателят се умножат (разделят) на едно и също число, стойността на дробта няма да се промени.

Да кажем, че ни е дадена тази дроб:

Възможно ли е да се отървем от корена в знаменателя? Мога! За да направите това, коренът трябва да бъде кубичен. Какво ни липсва в знаменателя за пълен куб? Липсва ни множител, т.е.. Така че умножаваме числителя и знаменателя на дробта по

Коренът в знаменателя е изчезнал. Но... той се появи в числителя. Нищо не може да се направи, такава е съдбата.) Това вече не е важно за нас: помолиха ни да освободим знаменателя от корените. Освободен? Несъмнено.)

Между другото, тези, които вече са удобни с тригонометрията, може би са обърнали внимание на факта, че в някои учебници и таблици, например, те обозначават по различен начин: някъде , и някъде . Въпросът е - кое е правилното? Отговор: всичко е правилно!) Ако познаете това– това е просто резултат от освобождаване от ирационалността в знаменателя на дробта. :)

Защо трябва да се освобождаваме от ирационалността на части? Каква е разликата дали коренът е в числителя или в знаменателя? Калкулаторът така или иначе ще изчисли всичко.) Е, за тези, които не се разделят с калкулатор, наистина практически няма разлика... Но дори и да разчитате на калкулатор, можете да обърнете внимание на факта, че разделямНа цялономерът винаги е по-удобен и по-бърз от on ирационален. И ще премълча за разделянето на колона.)

Следващият пример само ще потвърди думите ми.

Как можем да премахнем квадратния корен от знаменателя тук? Ако числителят и знаменателят се умножат по израза, тогава знаменателят ще бъде квадрат на сумата. Сумата от квадратите на първото и второто число ще ни даде само числа без никакви корени, което е много приятно. Обаче... ще изскочи двойно произведениепървото число към второто, където коренът от три все още ще остане. Не канализира. Какво трябва да направя? Спомнете си още една чудесна формула за съкратено умножение! Където няма двойни продукти, а само квадрати:

Израз, който, когато се умножи по определена сума (или разлика), дава разлика на квадратите, също наричан спрегнат израз. В нашия пример спрегнатият израз ще бъде разликата. Така че умножаваме числителя и знаменателя по тази разлика:

Какво мога да кажа? В резултат на нашите манипулации не само коренът на знаменателя изчезна, но и дробта изчезна напълно! :) Дори и с калкулатор, изваждането на корен от три от три е по-лесно от пресмятането на дроб с корен в знаменателя. Друг пример.

Освободете се от ирационалността в знаменателя на дроб:

Как да се измъкнем от това? Формулите за съкратено умножение с квадрати не работят веднага - няма да е възможно напълно да елиминираме корените поради факта, че този път коренът ни не е квадратен, а кубичен. Необходимо е коренът по някакъв начин да бъде повдигнат в куб. Следователно трябва да се използва една от формулите с кубчета. Кое? Нека помислим за това. Знаменателят е сумата. Как можем да постигнем куба на корена? Умножете по частична квадратна разлика! И така, ще приложим формулата сбор от кубове. Този:

Като аимаме три, и като качество b– корен кубичен от пет:

И отново фракцията изчезна.) Такива ситуации, когато, когато се освободи от ирационалността в знаменателя на дроб, самата дроб напълно изчезва заедно с корените, се случват много често. Как ви харесва този пример!

Изчисли:

Просто опитайте да съберете тези три дроби! Без грешки! :) Един общ знаменател си струва. Ами ако се опитаме да се освободим от ирационалността в знаменателя на всяка дроб? Е, нека опитаме:

Леле, колко интересно! Всички фракции ги няма! Напълно. И сега примерът може да бъде решен по два начина:

Просто и елегантно. И то без дълги и досадни изчисления. :)

Ето защо човек трябва да може да извършва операцията за освобождаване от ирационалността на дроби. В такива сложни примери това е единственото нещо, което спестява, да.) Разбира се, никой не е отменил вниманието. Има задачи, в които се иска да се отървете от ирационалността числител. Тези задачи не се различават от разглежданите, само числителят се изчиства от корените.)

По-сложни примери

Остава да разгледаме някои специални техники за работа с корени и да практикуваме разплитане на не най-простите примери. И тогава получената информация ще бъде достатъчна за решаване на задачи с корени от всякакво ниво на сложност. Така че - давайте.) Първо, нека разберем какво да правим с вложените корени, когато формулата корен от корен не работи. Например, ето един пример.

Изчисли:

Коренът е под корена... Още повече, че под корените е сборът или разликата. Следователно формулата за корена на корена (с умножение на показателите) е тук Не работи. Така че трябва да се направи нещо по въпроса радикални изрази: Просто нямаме други възможности. В такива примери най-често големият корен е криптиран идеален квадратнякаква сума. Или разлики. И коренът на квадрата вече е идеално извлечен! И сега нашата задача е да го дешифрираме.) Такова декриптиране се прави красиво система от уравнения. Сега ще видите всичко сами.)

И така, под първия корен имаме този израз:

Ами ако не сте познали правилно? Да проверим! Повдигаме го на квадрат по формулата за квадрат на сумата:

Точно така.) Но... Откъде взех този израз? От небето?

Не.) Честно казано, ще го получим малко по-ниско. Просто използвайки този израз, показвам точно как авторите на задачи криптират такива квадрати. :) Какво е 54? Това сбор от квадратите на първото и второто число. И, обърнете внимание, вече без корени! И коренът остава вътре двойно произведение, което в нашия случай е равно на . Следователно разгадаването на такива примери започва с търсене на двойния продукт. Ако разплетете с обичайната селекция. И, между другото, за знаците. Тук всичко е просто. Ако има плюс преди двойното, тогава квадратът на сумата. Ако е минус, тогава разликите.) Имаме плюс - това означава квадрат на сумата.) И сега - обещаният аналитичен метод за декодиране. Чрез системата.)

И така, под нашия корен ясно виси изразът (a+b) 2, а нашата задача е да намерим аИ b. В нашия случай сборът на квадратите дава 54. Така че пишем:

Сега удвоете продукта. Имаме го. Така че го записваме:

Имаме тази система:

Решаваме по обичайния метод на заместване. Изразяваме от второто уравнение, например, и го заместваме в първото:

Нека решим първото уравнение:

Има биквадратенотносително уравнениеа . Изчисляваме дискриминанта:

означава,

Имаме до четири възможни стойностиа. Ние не се страхуваме. Сега ще премахнем всички ненужни неща.) Ако сега изчислим съответните стойности за всяка от четирите намерени стойности, ще получим четири решения на нашата система. Ето ги и тях:

И тук въпросът е – кое решение е подходящо за нас? Нека помислим за това. Отрицателните решения могат да бъдат незабавно изхвърлени: при квадратура минусите ще „изгорят“ и целият радикален израз като цяло няма да се промени.) Първите две опции остават. Можете да ги избирате напълно произволно: пренареждането на членовете все още не променя сумата.) Нека, например, , a .

Като цяло получихме квадрата на следната сума под корена:

Всичко е чисто.)

Не напразно описвам процеса на вземане на решение толкова подробно. За да стане ясно как става дешифрирането.) Но има един проблем. Аналитичният метод на декодиране, макар и надежден, е много дълъг и тромав: трябва да решите биквадратно уравнение, да получите четири решения на системата и след това да мислите кои да изберете... Притеснително? Съгласен съм, неприятно е. Този метод работи безупречно в повечето от тези примери. Много често обаче можете да си спестите много работа и да намерите и двете числа творчески. По избор.) Да, да! Сега, използвайки примера на втория член (втори корен), ще покажа по-лесен и бърз начин за изолиране на целия квадрат под корена.

Така че сега имаме този корен: .

Нека помислим така: „Под корена най-вероятно е шифрован пълен квадрат. След като има минус преди двойното, това означава квадрат на разликата. Сумата от квадратите на първото и второто число ни дава числото 54. Но що за квадрати са тези? 1 и 53? 49 и 5 ? Има твърде много опции... Не, по-добре е да започнете разплитането с удвояване на продукта. Нашитеможе да се запише като . След като продуктът удвоени, тогава веднага изхвърляме двете. Тогава кандидати за ролята a и b остават 7 и . Ами ако е на 14 и/2 ? Възможно е. Но винаги започваме с нещо просто!“Така че, нека , a . Нека ги проверим за сумата на квадратите:

Се случи! Това означава, че нашият радикален израз всъщност е квадрат на разликата:

Ето лек начин да избегнете забъркване със системата. Не винаги работи, но в много от тези примери е напълно достатъчно. И така, под корените има пълни квадрати. Всичко, което остава, е да извлечете правилно корените и да изчислите примера:

Сега нека да разгледаме още по-нестандартна задача за корени.)

Докажете, че числото А– цяло число, ако .

Нищо не се извлича директно, корените са вградени и дори в различна степен... Кошмар! Задачата обаче има смисъл.) Следователно има ключ за решаването й.) И ключът тук е следният. Помислете за нашето равенство

как относително уравнение А. Да да! Би било хубаво да се отървете от корените. Нашите корени са кубични, така че нека разделим на куб и двете страни на уравнението. Според формулата куб от сумата:

Кубовете и кубичните корени взаимно се компенсират и под всеки голям корен вземаме една скоба от квадрата и свиваме произведението на разликата и сумата в разлика от квадрати:

Отделно изчисляваме разликата на квадратите под корените:

В началото на урока ще прегледаме основните свойства на квадратните корени и след това ще разгледаме няколко сложни примера за опростяване на изрази, съдържащи квадратни корени.

Предмет:функция. Свойства на квадратния корен

Урок:Преобразуване и опростяване на по-сложни изрази с корени

1. Преглед на свойствата на квадратния корен

Нека повторим накратко теорията и си припомним основните свойства на квадратния корен.

Свойства на квадратния корен:

1. следователно, ;

3. ;

4. .

2. Примери за опростяване на изрази с корени

Нека да преминем към примери за използване на тези свойства.

Пример 1: Опростяване на израз .

Решение. За да се опрости, числото 120 трябва да бъде разложено на прости множители:

Ще разкрием квадрата на сумата, като използваме подходящата формула:

Пример 2: Опростяване на израз .

Решение. Нека вземем предвид, че този израз няма смисъл за всички възможни стойности на променливата, тъй като този израз съдържа квадратни корени и дроби, което води до „стесняване“ на диапазона от допустими стойности. ODZ: ().

Нека приведем израза в скоби към общия знаменател и запишем числителя на последната дроб като разликата на квадратите:

При.

Отговор. при.

Пример 3: Опростяване на израз .

Решение. Вижда се, че втората числителна скоба има неудобен вид и трябва да бъде опростена; нека се опитаме да я разделим на множители, като използваме метода на групиране.

За да можем да изведем общ множител, опростихме корените, като ги разложихме на множители. Нека заместим получения израз в оригиналната дроб:

След като намалим дробта, прилагаме формулата за разликата на квадратите.

3. Пример за избавяне от ирационалността

Пример 4. Освободете се от ирационалността (корени) в знаменателя: а) ; б) .

Решение. а) За да се отървем от ирационалността в знаменателя, се използва стандартният метод за умножаване както на числителя, така и на знаменателя на дроб по спрегнатия множител към знаменателя (същият израз, но с обратен знак). Това се прави, за да се допълни знаменателят на дробта до разликата на квадратите, което ви позволява да се отървете от корените в знаменателя. Нека направим това в нашия случай:

б) извършете подобни действия:

Отговор.; .

4. Пример за доказателство и идентификация на пълен квадрат в комплексен радикал

Пример 5. Докажете равенство .

Доказателство. Нека използваме определението за квадратен корен, от което следва, че квадратът на десния израз трябва да бъде равен на радикалния израз:

. Нека отворим скобите, използвайки формулата за квадрат на сбора:

, получихме правилното равенство.

Доказано.

Пример 6. Опростете израза.

Решение. Този израз обикновено се нарича сложен радикал (корен под корен). В този пример трябва да разберете как да изолирате пълен квадрат от радикалния израз. За да направите това, имайте предвид, че от двата термина той е кандидат за ролята на двойното произведение във формулата за квадратна разлика (разлика, тъй като има минус). Нека го напишем под формата на следния продукт: , тогава 1 твърди, че е един от членовете на пълен квадрат, а 1 твърди, че е вторият.

Нека заместим този израз под корена.

Преди калкулаторите учениците и учителите са изчислявали квадратни корени на ръка. Има няколко начина за ръчно изчисляване на корен квадратен от число. Някои от тях предлагат само приблизително решение, други дават точен отговор.

стъпки

Разлагане на прости множители

Разделете радикалното число на множители, които са квадратни числа.В зависимост от радикалното число ще получите приблизителен или точен отговор. Квадратните числа са числа, от които може да бъде извлечен целият квадратен корен. Факторите са числа, които, когато се умножат, дават оригиналното число. Например множителите на числото 8 са 2 и 4, тъй като 2 x 4 = 8, числата 25, 36, 49 са квадратни числа, тъй като √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратни множители са фактори, които са квадратни числа. Първо, опитайте се да разложите радикалното число на квадратни множители.

• Например, изчислете корен квадратен от 400 (на ръка). Първо опитайте да разложите 400 на квадратни множители. 400 е кратно на 100, т.е. дели се на 25 - това е квадратно число. Разделянето на 400 на 25 ви дава 16. Числото 16 също е квадратно число. По този начин 400 може да се разложи на квадратни множители на 25 и 16, тоест 25 x 16 = 400.
• Това може да се запише по следния начин: √400 = √(25 x 16).

1. Коренът квадратен от произведението на някои членове е равен на произведението от корените квадратни на всеки член, тоест √(a x b) = √a x √b. Използвайте това правило, за да вземете корен квадратен от всеки квадратен фактор и да умножите резултатите, за да намерите отговора.

   • В нашия пример вземете корен от 25 и 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 х 4 = 20

2. Ако радикалното число не се разделя на два квадратни фактора (а това се случва в повечето случаи), няма да можете да намерите точния отговор под формата на цяло число. Но можете да опростите проблема, като разложите радикалното число на квадратен множител и обикновен множител (число, от което не може да се извади целият квадратен корен). След това ще вземете корен квадратен от квадратния множител и ще вземете корен от общия множител.

   • Например, изчислете корен квадратен от числото 147. Числото 147 не може да бъде разложено на два квадратни множителя, но може да бъде разложено на следните множители: 49 и 3. Решете задачата, както следва:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Ако е необходимо, преценете стойността на корена.Сега можете да оцените стойността на корена (намерете приблизителна стойност), като го сравните със стойностите на корените на квадратните числа, които са най-близо (от двете страни на числовата линия) до радикалното число. Ще получите коренната стойност като десетична дроб, която трябва да бъде умножена по числото зад знака за корен.

   • Да се ​​върнем към нашия пример. Радикалното число е 3. Най-близките до него квадратни числа ще бъдат числата 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). Така стойността на √3 се намира между 1 и 2. Тъй като стойността на √3 вероятно е по-близо до 2, отколкото до 1, нашата оценка е: √3 = 1,7. Умножаваме тази стойност по числото в знака на корена: 7 x 1,7 = 11,9. Ако направите изчисленията с калкулатор, ще получите 12,13, което е доста близо до нашия отговор.
     • Този метод работи и с големи числа. Например, помислете за √35. Радикалното число е 35. Най-близките до него квадратни числа ще бъдат числата 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). Така стойността на √35 се намира между 5 и 6. Тъй като стойността на √35 е много по-близо до 6, отколкото до 5 (защото 35 е само с 1 по-малко от 36), можем да кажем, че √35 е малко по-малко от 6 Проверката на калкулатора ни дава отговор 5,92 - бяхме прави.

4. Друг начин - разложете радикалното число на прости множители . Простите множители са числа, които се делят само на 1 и на себе си. Напишете простите множители в редица и намерете двойки еднакви множители. Такива фактори могат да бъдат извадени от коренния знак.

   • Например, изчислете корен квадратен от 45. Разлагаме радикалното число на прости множители: 45 = 9 x 5 и 9 = 3 x 3. Така √45 = √(3 x 3 x 5). 3 може да се извади като знак за корен: √45 = 3√5. Сега можем да оценим √5.
   • Нека да разгледаме друг пример: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Получихте три множителя по 2; вземете няколко от тях и ги преместете отвъд знака за корен.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Сега можете да оцените √2 и √11 и да намерите приблизителен отговор.

   Ръчно изчисляване на корен квадратен

   Използване на дълго деление

   1. Този метод включва процес, подобен на дългото деление и осигурява точен отговор.Първо начертайте вертикална линия, разделяща листа на две половини, а след това вдясно и малко под горния ръб на листа начертайте хоризонтална линия до вертикалната линия. Сега разделете радикалното число на двойки числа, като започнете с дробната част след десетичната запетая. И така, числото 79520789182.47897 е написано като "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Например, нека изчислим корен квадратен от числото 780,14. Начертайте две линии (както е показано на снимката) и напишете даденото число във формата „7 80, 14“ горе вляво. Нормално е първата цифра отляво да е несдвоена цифра. Ще напишете отговора (корена на това число) горе вдясно.

   2. За първата двойка числа (или едно число) отляво намерете най-голямото цяло число n, чийто квадрат е по-малък или равен на въпросната двойка числа (или едно число). С други думи, намерете квадратното число, което е най-близо до, но по-малко от първата двойка числа (или едно число) отляво, и извадете квадратния корен от това квадратно число; ще получите числото n. Напишете n, което сте намерили, горе вдясно и напишете квадрата на n долу вдясно.

      • В нашия случай първото число отляво ще бъде 7. След това 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Извадете квадрата на числото n, което току-що намерихте, от първата двойка числа (или едно число) вляво.Запишете резултата от изчислението под субтрахенда (квадрата на числото n).

      • В нашия пример извадете 4 от 7 и получете 3.

   4. Запишете втората двойка числа и я запишете до стойността, получена в предишната стъпка.След това удвоете числото горе вдясно и напишете резултата долу вдясно с добавянето на „_×_=".

      • В нашия пример втората двойка числа е "80". Напишете "80" след 3. След това удвоете числото горе вдясно, което дава 4. Напишете "4_×_=" долу вдясно.

   5. Попълнете празните полета вдясно.

      • В нашия случай, ако поставим числото 8 вместо тирета, тогава 48 x 8 = 384, което е повече от 380. Следователно 8 е твърде голямо число, но 7 ще свърши работа. Напишете 7 вместо тирета и получете: 47 х 7 = 329. Напишете 7 горе вдясно – това е втората цифра в желания корен квадратен от числото 780,14.

   6. Извадете полученото число от текущото число вляво.Запишете резултата от предишната стъпка под текущото число вляво, намерете разликата и я запишете под субтрахенда.

      • В нашия пример извадете 329 от 380, което е равно на 51.

   7. Повторете стъпка 4.Ако двойката числа, които се прехвърлят, е дробната част на оригиналното число, тогава поставете разделител (запетая) между целите и дробните части в необходимия корен квадратен горе вдясно. Отляво свалете следващата двойка числа. Удвоете числото горе вдясно и напишете резултата долу вдясно с добавянето на „_×_=".

      • В нашия пример следващата двойка числа, която ще бъде премахната, ще бъде дробната част на числото 780.14, така че поставете разделителя на целите и дробните части в желания квадратен корен в горния десен ъгъл. Свалете 14 и го напишете долу вляво. Удвоеното число горе вдясно (27) е 54, така че напишете "54_×_=" долу вдясно.

   8. Повторете стъпки 5 и 6.Намерете най-голямото число на мястото на тиретата отдясно (вместо тиретата трябва да замените същото число), така че резултатът от умножението да е по-малък или равен на текущото число отляво.

      • В нашия пример 549 x 9 = 4941, което е по-малко от текущото число вляво (5114). Напишете 9 горе вдясно и извадете резултата от умножението от текущото число вляво: 5114 - 4941 = 173.

   9. Ако трябва да намерите повече десетични знаци за квадратния корен, напишете няколко нули отляво на текущото число и повторете стъпки 4, 5 и 6. Повторете стъпките, докато получите точността на отговора (брой десетични знаци), който искате трябва.

   Разбиране на процеса

   За да овладеете този метод, представете си числото, чийто квадратен корен трябва да намерите, като площ на квадрат S. В този случай ще търсите дължината на страната L на такъв квадрат. Изчисляваме стойността на L така, че L² = S.

   Дайте буква за всяко число в отговора.Нека означим с A първата цифра в стойността на L (желания квадратен корен). B ще бъде втората цифра, C третата и така нататък.

   Посочете буква за всяка двойка първи цифри.Нека означим с S a първата двойка цифри в стойността на S, с S b втората двойка цифри и т.н.

   Разберете връзката между този метод и дългото деление.Точно както при деленето, където се интересуваме само от следващата цифра на числото, което делим всеки път, когато изчисляваме квадратен корен, ние работим през двойка цифри последователно (за да получим следващата една цифра в стойността на квадратния корен ).

   1. Помислете за първата двойка цифри Sa на числото S (Sa = 7 в нашия пример) и намерете неговия корен квадратен.В този случай първата цифра A от желаната стойност на квадратния корен ще бъде цифра, чийто квадрат е по-малък или равен на S a (т.е. търсим A, така че неравенството A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Да кажем, че трябва да разделим 88962 на 7; тук първата стъпка ще бъде подобна: разглеждаме първата цифра на делимото число 88962 (8) и избираме най-голямото число, което, умножено по 7, дава стойност, по-малка или равна на 8. Тоест, търсим число d, за което е вярно неравенството: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.