Как се решават сложни примери с корени. Как се решават примери с корени. Защо радикалните изрази трябва да са неотрицателни

Факт 1.
\(\bullet\) Нека вземем някакво неотрицателно число \(a\) (т.е. \(a\geqslant 0\) ). Тогава (аритметика) корен квадратенот числото \(a\) се нарича такова неотрицателно число \(b\), когато на квадрат получаваме числото \(a\): \[\sqrt a=b\quad \text(същото като )\quad a=b^2\]От определението следва, че \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Тези ограничения са важно условие за съществуването на квадратен корен и трябва да се запомнят!
Спомнете си, че всяко число, когато е на квадрат, дава неотрицателен резултат. Тоест \(100^2=10000\geqslant 0\) и \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) На какво е равно \(\sqrt(25)\)? Знаем, че \(5^2=25\) и \((-5)^2=25\) . Тъй като по дефиниция трябва да намерим неотрицателно число, тогава \(-5\) не е подходящо, следователно \(\sqrt(25)=5\) (тъй като \(25=5^2\) ).
Намирането на стойността на \(\sqrt a\) се нарича извличане на корен квадратен от числото \(a\) , а числото \(a\) се нарича радикален израз.
\(\bullet\) Въз основа на дефиницията, израз \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) и т.н. нямат смисъл.

Факт 2.
За бързи изчисления ще бъде полезно да научите таблицата на квадратите на естествените числа от \(1\) до \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \край (масив)\]

Факт 3.
Какви операции можете да правите с квадратни корени?
\(\bullet\) Сборът или разликата от корени квадратни НЕ Е РАВЕН на корен квадратен от сбора или разликата, т.е. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]По този начин, ако трябва да изчислите, например, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , тогава първоначално трябва да намерите стойностите на \(\sqrt(25)\) и \(\ sqrt(49)\ ) и след това ги сгънете. следователно \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ако стойностите \(\sqrt a\) или \(\sqrt b\) не могат да бъдат намерени при добавяне на \(\sqrt a+\sqrt b\), тогава такъв израз не се трансформира допълнително и остава такъв, какъвто е. Например в сумата \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) можем да намерим \(\sqrt(49)\) е \(7\) , но \(\sqrt 2\) не може да се трансформира в както и да е, Ето защо \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). За съжаление, този израз не може да бъде допълнително опростен\(\bullet\) Произведението/частното от корен квадратен е равно на корен квадратен от произведението/частното, т.е. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (при условие, че и двете страни на равенствата имат смисъл)
Пример: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Използвайки тези свойства, е удобно да намирате квадратни корени от големи числа, като ги разлагате на множители.
Нека разгледаме един пример. Нека намерим \(\sqrt(44100)\) . Тъй като \(44100:100=441\) , тогава \(44100=100\cdot 441\) . Според критерия за делимост числото \(441\) се дели на \(9\) (тъй като сборът от цифрите му е 9 и се дели на 9), следователно \(441:9=49\), т.е. \(441=9\ cdot 49\) .
Така получихме: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Нека да разгледаме друг пример: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Нека покажем как да въвеждаме числа под знака за квадратен корен, използвайки примера на израза \(5\sqrt2\) (кратка нотация за израза \(5\cdot \sqrt2\)). Тъй като \(5=\sqrt(25)\) , тогава \ Имайте предвид също, че напр.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Защо така? Нека обясним с пример 1). Както вече разбирате, не можем по някакъв начин да трансформираме числото \(\sqrt2\). Нека си представим, че \(\sqrt2\) е някакво число \(a\) . Съответно, изразът \(\sqrt2+3\sqrt2\) не е нищо повече от \(a+3a\) (едно число \(a\) плюс още три от същите числа \(a\)). И ние знаем, че това е равно на четири такива числа \(a\) , тоест \(4\sqrt2\) .

Факт 4.
\(\bullet\) Те често казват „не можете да извлечете корена“, когато не можете да се отървете от знака \(\sqrt () \ \) на корена (радикал), когато намирате стойността на число . Например, можете да вземете корена на числото \(16\), защото \(16=4^2\) , следователно \(\sqrt(16)=4\) . Но е невъзможно да се извлече коренът на числото \(3\), тоест да се намери \(\sqrt3\), защото няма число, което на квадрат да даде \(3\) .
Такива числа (или изрази с такива числа) са ирационални. Например числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)и така нататък. са ирационални.
Също ирационални са числата \(\pi\) (числото "pi", приблизително равно на \(3.14\)), \(e\) (това число се нарича число на Ойлер, то е приблизително равно на \(2.7 \)) и т.н.
\(\bullet\) Моля, имайте предвид, че всяко число ще бъде рационално или ирационално. И заедно всички рационални и всички ирационални числа образуват множество, наречено набор от реални числа.Този набор се обозначава с буквата \(\mathbb(R)\) .
Това означава, че всички числа, които познаваме в момента, се наричат ​​реални числа.

Факт 5.
\(\bullet\) Модулът на реално число \(a\) е неотрицателно число \(|a|\), равно на разстоянието от точката \(a\) до \(0\) на истинска линия. Например \(|3|\) и \(|-3|\) са равни на 3, тъй като разстоянията от точките \(3\) и \(-3\) до \(0\) са същото и равно на \(3 \) .
\(\bullet\) Ако \(a\) е неотрицателно число, тогава \(|a|=a\) .
Пример: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Ако \(a\) е отрицателно число, тогава \(|a|=-a\) .
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Казват, че за отрицателните числа модулът „изяжда“ минуса, докато положителните числа, както и числото \(0\), остават непроменени от модула.
НОТова правило важи само за числа. Ако под вашия знак за модул има неизвестно \(x\) (или друго неизвестно), например \(|x|\) , за което не знаем дали е положително, нула или отрицателно, тогава се отървете на модула не можем. В този случай този израз остава същият: \(|x|\) . \(\bullet\) Важат следните формули: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \текст( предоставен) a\geqslant 0\]Много често се допуска следната грешка: казват, че \(\sqrt(a^2)\) и \((\sqrt a)^2\) са едно и също. Това е вярно само ако \(a\) е положително число или нула. Но ако \(a\) е отрицателно число, тогава това е невярно. Достатъчно е да разгледаме този пример. Нека вземем вместо \(a\) числото \(-1\) . Тогава \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , но изразът \((\sqrt (-1))^2\) изобщо не съществува (в края на краищата, невъзможно е да се използва знакът за корен с отрицателни числа!).
Затова насочваме вниманието ви към факта, че \(\sqrt(a^2)\) не е равно на \((\sqrt a)^2\) !Пример: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), защото \(-\sqrt2<0\) ;

\(\фантом(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Тъй като \(\sqrt(a^2)=|a|\) , тогава \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (изразът \(2n\) означава четно число)
Тоест, когато вземем корена на число, което е на някаква степен, тази степен се намалява наполовина.
Пример:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (имайте предвид, че ако модулът не е доставен, се оказва, че коренът на числото е равен на \(-25\ ) ; но помним, че по дефиниция на корен това не може да се случи: когато извличаме корен, винаги трябва да получаваме положително число или нула)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (тъй като всяко число на четна степен е неотрицателно)

Факт 6.
Как да сравним два квадратни корена?
\(\bullet\) За квадратни корени е вярно: ако \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aПример:
1) сравнете \(\sqrt(50)\) и \(6\sqrt2\) . Първо, нека трансформираме втория израз в \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Така, тъй като \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Между какви цели числа се намира \(\sqrt(50)\)?
Тъй като \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) и \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Нека сравним \(\sqrt 2-1\) и \(0,5\) . Да приемем, че \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((добавете по едно към двете страни))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((квадратиране на двете страни))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(подравнено)\]Виждаме, че сме получили неправилно неравенство. Следователно нашето предположение беше неправилно и \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Обърнете внимание, че добавянето на определено число към двете страни на неравенството не влияе на неговия знак. Умножаването/делението на двете страни на неравенство с положително число също не влияе на неговия знак, но умножението/делението на отрицателно число обръща знака на неравенството!
Можете да поставите на квадрат двете страни на уравнение/неравенство САМО АКО двете страни са неотрицателни. Например, в неравенството от предишния пример можете да поставите на квадрат двете страни, в неравенството \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Трябва да се помни, че \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1.4\\ &\sqrt 3\approx 1.7 \end(aligned)\]Познаването на приблизителното значение на тези числа ще ви помогне, когато сравнявате числа! \(\bullet\) За да извлечете корена (ако може да се извлече) от някакво голямо число, което не е в таблицата с квадрати, първо трябва да определите между кои „стотици“ се намира, след това – между кои „ десетки” и след това определете последната цифра на това число. Нека покажем как работи това с пример.
Нека вземем \(\sqrt(28224)\) . Знаем, че \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) и т.н. Обърнете внимание, че \(28224\) е между \(10\,000\) и \(40\,000\) . Следователно \(\sqrt(28224)\) е между \(100\) и \(200\) .
Сега нека определим между кои „десетки“ се намира нашето число (това е например между \(120\) и \(130\)). Също така от таблицата с квадрати знаем, че \(11^2=121\) , \(12^2=144\) и т.н., след това \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Така че виждаме, че \(28224\) е между \(160^2\) и \(170^2\) . Следователно числото \(\sqrt(28224)\) е между \(160\) и \(170\) .
Нека се опитаме да определим последната цифра. Нека си спомним какви едноцифрени числа, когато се повдигнат на квадрат, дават \(4\) в края? Това са \(2^2\) и \(8^2\) . Следователно \(\sqrt(28224)\) ще завършва или на 2, или на 8. Нека проверим това. Нека намерим \(162^2\) и \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Следователно \(\sqrt(28224)=168\) . Ето!

За да решите адекватно Единния държавен изпит по математика, първо трябва да изучите теоретичен материал, който ви запознава с множество теореми, формули, алгоритми и т.н. На пръв поглед може да изглежда, че това е доста просто. Въпреки това намирането на източник, в който теорията за Единния държавен изпит по математика е представена по лесен и разбираем начин за ученици с всякакво ниво на подготовка, всъщност е доста трудна задача. Училищните учебници не винаги могат да бъдат под ръка. И намирането на основни формули за Единния държавен изпит по математика може да бъде трудно дори в Интернет.

Защо е толкова важно да се изучава теория по математика не само за тези, които полагат Единния държавен изпит?

1. Защото разширява хоризонтите ви. Изучаването на теоретичен материал по математика е полезно за всеки, който иска да получи отговори на широк кръг от въпроси, свързани с познанието за света около тях. Всичко в природата е подредено и има ясна логика. Именно това е отразено в науката, чрез която е възможно да се разбере света.
2. Защото развива интелекта. Изучавайки справочни материали за Единния държавен изпит по математика, както и решавайки различни задачи, човек се научава да мисли и разсъждава логично, да формулира мисли компетентно и ясно. Развива способността да анализира, обобщава и прави изводи.

Каним ви лично да оцените всички предимства на нашия подход към систематизирането и представянето на учебни материали.

Операции с мощности и корени. Степен с минус ,

нула и дробна индикатор. За изрази, които нямат смисъл.

Операции със степени.

1. При умножаване на степени с една и съща основа техните показатели се събират:

a m · a n = a m + n.

2. При деление на степени с еднаква основа техните показатели се приспадат .

3. Степента на произведението на два или повече фактора е равна на произведението на степените на тези фактори.

(абв… ) n = a n· b n · c n…

4. Степента на отношение (фракция) е равна на съотношението на степените на дивидента (числител) и делителя (знаменател):

(а/б ) n = a n / b n.

5. При повишаване на степен на степен техните показатели се умножават:

(a m ) n = a m n .

Всички горни формули се четат и изпълняват в двете посоки отляво надясно и обратно.

ПРИМЕР (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Операции с корени. Във всички формули по-долу символът означава аритметичен корен(радикалният израз е положителен).

1. Коренът от произведението на няколко фактора е равен на произведението корените на тези фактори:

2. Коренът на съотношението е равен на съотношението на корените на дивидента и делителя:

3. При повдигане на корен на степен е достатъчно да се повдигне на тази степен радикално число:

4. Ако увеличим степента на корена вм повишаване нам степента th е радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:

5. Ако намалим степента на корена вм извлечете корена веднъж и по едно и също времем та степен на радикално число, тогава стойността на корена не еще се промени:

Разширяване на понятието степен. Досега разглеждахме степени само с естествени показатели;но действия с степени и корени също могат да доведат до отрицателен, нулаИ дробенпоказатели. Всички тези експоненти изискват допълнително определение.

Степен с отрицателен показател. Степен на някакво число c отрицателна (цяло число) експонента се дефинира като едно разделено на степен на същото число с показател, равен на абсолютната стойностотрицателен показател:

Tсега формулата a m: a n= a m - н може да се използва не само зам, повече от н, но и с м, по-малко от н .

ПРИМЕР а 4 :а 7 = а 4 - 7 =а - 3 .

Ако искаме формулатаa m : a n= a m - нбеше справедливо, когатоm = n, имаме нужда от дефиниция на степен нула.

Диплома с нулев индекс. Степента на всяко ненулево число с показател нула е 1.

ПРИМЕРИ. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Степен с дробен показател. Да се ​​вдигне реално числои на степен m/n , трябва да извлечете корена n-та степен на m -та степен на това число A:

За изрази, които нямат смисъл. Има няколко такива израза.произволен брой.

Всъщност, ако приемем, че този израз е равен на някакво число х, то според дефиницията на операцията деление имаме: 0 = 0 · х. Но това равенство възниква, когато всяко число x, което трябваше да се докаже.

Случай 3.

0 0 - произволен брой.

Наистина ли,

Решение Нека разгледаме три основни случая:

1) х = 0 – тази стойност не удовлетворява това уравнение

(Защо?).

2) когато х> 0 получаваме: х/х = 1, т.е. 1 = 1, което означава

Какво х– произволен брой; но като се има предвид, че в

В нашия случай х> 0, отговорът ех > 0 ;

3) кога х < 0 получаем: – х/х= 1, т.е . –1 = 1, следователно,

В този случай няма решение.

По този начин, х > 0.

В началото на урока ще прегледаме основните свойства на квадратните корени и след това ще разгледаме няколко сложни примера за опростяване на изрази, съдържащи квадратни корени.

Предмет:функция. Свойства на квадратния корен

Урок:Преобразуване и опростяване на по-сложни изрази с корени

1. Преглед на свойствата на квадратния корен

Нека повторим накратко теорията и си припомним основните свойства на квадратния корен.

Свойства на квадратния корен:

1. следователно, ;

3. ;

4. .

2. Примери за опростяване на изрази с корени

Нека да преминем към примери за използване на тези свойства.

Пример 1: Опростяване на израз .

Решение. За да се опрости, числото 120 трябва да бъде разложено на прости множители:

Ще разкрием квадрата на сумата, като използваме подходящата формула:

Пример 2: Опростяване на израз .

Решение. Нека вземем предвид, че този израз няма смисъл за всички възможни стойности на променливата, тъй като този израз съдържа квадратни корени и дроби, което води до „стесняване“ на диапазона от допустими стойности. ODZ: ().

Нека приведем израза в скоби към общия знаменател и запишем числителя на последната дроб като разликата на квадратите:

При.

Отговор. при.

Пример 3: Опростяване на израз .

Решение. Вижда се, че втората числителна скоба има неудобен вид и трябва да бъде опростена; нека се опитаме да я разделим на множители, като използваме метода на групиране.

За да можем да изведем общ множител, ние опростихме корените, като ги разложихме на множители. Нека заместим получения израз в оригиналната дроб:

След като намалим дробта, прилагаме формулата за разликата на квадратите.

3. Пример за избавяне от ирационалността

Пример 4. Освободете се от ирационалността (корени) в знаменателя: а) ; б) .

Решение. а) За да се отървем от ирационалността в знаменателя, се използва стандартният метод за умножаване както на числителя, така и на знаменателя на дроб по спрегнатия множител към знаменателя (същият израз, но с обратен знак). Това се прави, за да се допълни знаменателят на дробта до разликата на квадратите, което ви позволява да се отървете от корените в знаменателя. Нека направим това в нашия случай:

б) извършете подобни действия:

Отговор.; .

4. Пример за доказателство и идентификация на пълен квадрат в комплексен радикал

Пример 5. Докажете равенство .

Доказателство. Нека използваме определението за квадратен корен, от което следва, че квадратът на десния израз трябва да бъде равен на радикалния израз:

. Нека отворим скобите, използвайки формулата за квадрат на сбора:

, получихме правилното равенство.

Доказано.

Пример 6. Опростете израза.

Решение. Този израз обикновено се нарича сложен радикал (корен под корен). В този пример трябва да разберете как да изолирате пълен квадрат от радикалния израз. За да направите това, имайте предвид, че от двата термина той е кандидат за ролята на двойното произведение във формулата за квадратна разлика (разлика, тъй като има минус). Нека го напишем под формата на следния продукт: , тогава 1 твърди, че е един от членовете на пълен квадрат, а 1 твърди, че е вторият.

Нека заместим този израз под корена.

Тази статия е колекция от подробна информация, която се отнася до темата за свойствата на корените. Разглеждайки темата, ще започнем със свойствата, ще проучим всички формулировки и ще предоставим доказателства. За да консолидираме темата, ще разгледаме свойства от n-та степен.

Свойства на корените

Ще говорим за имоти.

1. Имот умножени числа аИ b, което се представя като равенството a · b = a · b. Тя може да бъде представена под формата на фактори, положителни или равни на нула a 1 , a 2 , … , a kкато a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
2. от частното a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, може да се запише и в този вид a b = a b;
3. Свойство от степен на число ас четен степенен показател a 2 m = a m за произволно число а, например свойството от квадрат на число a 2 = a.

Във всяко от представените уравнения можете да размените частите преди и след тире, например равенството a · b = a · b се трансформира като a · b = a · b. Свойствата за равенство често се използват за опростяване на сложни уравнения.

Доказателството на първите свойства се основава на дефиницията на квадратния корен и свойствата на степени с естествен показател. За да се обоснове третото свойство, е необходимо да се обърнем към дефиницията на модула на числото.

Преди всичко е необходимо да се докажат свойствата на квадратния корен a · b = a · b. Според дефиницията е необходимо да се има предвид, че a b е число, положително или равно на нула, което ще бъде равно на а бпо време на строителството в квадрат. Стойността на израза a · b е положителна или равна на нула като произведение на неотрицателни числа. Свойството на степените на умножените числа ни позволява да представим равенството във формата (a · b) 2 = a 2 · b 2 . По дефиницията на квадратния корен a 2 = a и b 2 = b, тогава a · b 2 = a 2 · b 2 = a · b.

По подобен начин може да се докаже това от продукта кумножители a 1 , a 2 , … , a kще бъде равно на произведението от квадратните корени на тези фактори. Наистина, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

От това равенство следва, че a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.

Нека да разгледаме няколко примера, за да подсилим темата.

Пример 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 и 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .

Необходимо е да се докаже свойството на аритметичния корен квадратен от частното: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Свойството ни позволява да запишем равенството a: b 2 = a 2: b 2 и a 2: b 2 = a: b, докато a: b е положително число или равно на нула. Този израз ще стане доказателство.

Например 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 и 30.121 = 30.121.

Нека разгледаме свойството на квадратния корен от квадрата на число. Може да се запише като равенство като a 2 = a За да докажем това свойство, е необходимо да разгледаме подробно няколко равенства за a ≥ 0и при а< 0 .

Очевидно е, че за a ≥ 0 равенството a 2 = a е вярно. При а< 0 ще бъде вярно равенството a 2 = - a. Всъщност в този случай − a > 0и (− a) 2 = a 2 . Можем да заключим, че a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Нека да разгледаме няколко примера.

Пример 2

5 2 = 5 = 5 и - 0, 36 2 = - 0, 36 = 0, 36.

Доказаното свойство ще помогне да се обоснове a 2 m = a m, където а– истински и м-естествено число. Наистина, свойството за повишаване на степен ни позволява да заменим степента на 2 мизразяване (a m) 2, тогава a 2 m = (a m) 2 = a m.

Пример 3

3 8 = 3 4 = 3 4 и (- 8 , 3) ​​​​14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) ​​​​7 .

Свойства на корена n-та

Първо, трябва да разгледаме основните свойства на n-ти корени:

1. Свойство от произведението на числата аИ b, които са положителни или равни на нула, могат да бъдат изразени като равенството a · b n = a n · b n , това свойство е валидно за продукта кчисла a 1 , a 2 , … , a kкато a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
2. от дробно число има свойството a b n = a n b n , където ае всяко реално число, което е положително или равно на нула, и b– положително реално число;
3. За всякакви аи дори индикатори n = 2 m a 2 · m 2 · m = a е вярно, а за нечетни n = 2 m − 1важи равенството a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
4. Свойство на извличане от a m n = a n m , където а– всяко число, положително или равно на нула, нИ мса естествени числа, това свойство може да бъде представено и във формата. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · n k ;
5. За всяко неотрицателно a и произволно нИ м, които са естествени, можем да дефинираме и справедливото равенство a m n · m = a n ;
6. Свойство степен нот степента на число а, което е положително или равно на нула, към естествената степен м, дефинирана от равенството a m n = a n m ;
7. Свойство за сравнение, което има еднакви показатели: за всякакви положителни числа аИ bтакова, че а< b , неравенството a n< b n ;
8. Свойство за сравнение, което има еднакви числа под корена: if мИ н -естествени числа, които m > n, след това при 0 < a < 1 неравенството a m > a n е вярно и кога а > 1изпълни m< a n .

Дадените по-горе равенства са валидни, ако частите преди и след знака за равенство са разменени. Те могат да се използват и в този вид. Това често се използва при опростяване или трансформиране на изрази.

Доказателството за горните свойства на корен се основава на дефиницията, свойствата на степента и дефиницията на модула на число. Тези свойства трябва да бъдат доказани. Но всичко е наред.

1. Първо, нека докажем свойствата на n-тия корен от произведението a · b n = a n · b n . За аИ b , коетоса положителен или равен на нула , стойността a n · b n също е положителна или равна на нула, тъй като е следствие от умножаване на неотрицателни числа. Свойството на произведението да е естествена степен ни позволява да запишем равенството a n · b n n = a n n · b n n. По дефиниция на корен н-та степен a n n = a и b n n = b , следователно a n · b n n = a · b . Полученото равенство е точно това, което трябваше да се докаже.

Това свойство може да се докаже по подобен начин за продукта кмножители: за неотрицателни числа a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.

Ето примери за използване на свойството root н-та степен от произведението: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 и 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .

1. Нека докажем свойството на корена на частното a b n = a n b n . При a ≥ 0И b > 0условието a n b n ≥ 0 е изпълнено и a n b n n = a n n b n n = a b .

Да покажем примери:

Пример 4

8 27 3 = 8 3 27 3 и 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3: 2 3 10.

1. За следващата стъпка е необходимо да се докажат свойствата на n-та степен от числото към степента н. Нека си представим това като равенството a 2 m 2 m = a и a 2 m - 1 2 m - 1 = a за всяко реално аи естествено м. При a ≥ 0получаваме a = a и a 2 m = a 2 m, което доказва равенството a 2 m 2 m = a, а равенството a 2 m - 1 2 m - 1 = a е очевидно. При а< 0 получаваме съответно a = - a и a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Последната трансформация на число е валидна според свойството степен. Точно това доказва равенството a 2 m 2 m = a и a 2 m - 1 2 m - 1 = a ще бъде вярно, тъй като се разглежда нечетната степен - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 за произволен номер ° С ,положителен или равен на нула.

За да консолидираме получената информация, нека разгледаме няколко примера, използвайки свойството:

Пример 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 и (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Нека докажем следното равенство a m n = a n m . За да направите това, трябва да размените числата преди и след знака за равенство a n · m = a m n. Това ще означава, че въведеното е правилно. За а,което е положително или равно на нула , от вида a m n е число положително или равно на нула. Нека се обърнем към свойството за повдигане на степен на степен и нейното определение. С тяхна помощ можете да преобразувате равенства във вида a m n n · m = a m n n m = a m m = a. Това доказва свойството на корена на разглеждания корен.

Други свойства се доказват по подобен начин. Наистина ли, . . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .

Например 7 3 5 = 7 5 3 и 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.

1. Нека докажем следното свойство a m n · m = a n . За да направите това, е необходимо да се покаже, че n е число, положително или равно на нула. Когато се повдигне на степен n m е равно на a m. Ако броят ае положително или равно на нула, тогава н-та степен измежду ае положително число или равно на 0. В този случай a n · m n = a n n m , което трябваше да се докаже.

За да консолидираме придобитите знания, нека разгледаме няколко примера.

1. Нека докажем следното свойство – свойството корен на степен от вида a m n = a n m . Очевидно е, че когато a ≥ 0степента a n m е неотрицателно число. Освен това, тя нстепента th е равна на a m, наистина, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Това доказва свойството на разглежданата степен.

Например 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. Необходимо е да се докаже, че за всякакви положителни числа аи b условието е изпълнено а< b . Да разгледаме неравенството a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию а< b . Следователно, a n< b n при а< b .

Например, нека дадем 12 4< 15 2 3 4 .

1. Разгледайте свойството на корена н-та степен. Необходимо е първо да разгледаме първата част от неравенството. При m > nИ 0 < a < 1 вярно a m > a n. Да приемем, че a m ≤ a n. Свойствата ще ви позволят да опростите израза до a n m · n ≤ a m m · n. Тогава, според свойствата на степен с естествен показател, е в сила неравенството a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n, т.е. a n ≤ a m. Получената стойност при m > nИ 0 < a < 1 не отговаря на посочените по-горе свойства.

По същия начин може да се докаже, че когато m > nИ а > 1условието a m е вярно< a n .

За да консолидираме горните свойства, нека разгледаме няколко конкретни примера. Нека разгледаме неравенствата, използвайки конкретни числа.

Пример 6

0, 7 3 > 0, 7 5 и 12 > 12 7.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Доста често, когато решаваме задачи, се сблъскваме с големи числа, от които трябва да извлечем Корен квадратен. Много ученици решават, че това е грешка и започват да решават отново целия пример. В никакъв случай не трябва да правите това! Има две причини за това:

1. Корените на големи числа се появяват в задачи. Особено в текстовите;
2. Има алгоритъм, по който тези корени се изчисляват почти устно.

Днес ще разгледаме този алгоритъм. Може би някои неща ще ви се сторят неразбираеми. Но ако обърнете внимание на този урок, ще получите мощно оръжие срещу квадратни корени.

И така, алгоритъмът:

1. Ограничете необходимия корен отгоре и отдолу до числа, които са кратни на 10. Така ще намалим обхвата на търсене до 10 числа;
2. От тези 10 числа отсейте тези, които определено не могат да бъдат корени. В резултат на това ще останат 1-2 номера;
3. На квадрат тези 1-2 числа. Този, чийто квадрат е равен на първоначалното число, ще бъде коренът.

Преди да приложим този алгоритъм на практика, нека разгледаме всяка отделна стъпка.

Ограничение на корена

Първо, трябва да разберем между кои числа се намира нашият корен. Много е желателно числата да са кратни на десет:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Получаваме поредица от числа:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Какво ни казват тези числа? Просто е: получаваме граници. Вземете например числото 1296. То се намира между 900 и 1600. Следователно неговият корен не може да бъде по-малък от 30 и по-голям от 40:

[Надпис към снимката]

Същото важи и за всяко друго число, от което можете да намерите квадратния корен. Например 3364:

[Надпис към снимката]

Така, вместо неразбираемо число, получаваме много специфичен диапазон, в който се намира оригиналният корен. За да стесните допълнително областта за търсене, преминете към втората стъпка.

Елиминиране на очевидно ненужни числа

И така, имаме 10 числа - кандидати за корен. Получихме ги много бързо, без сложно мислене и умножение в колона. Време е да продължиш напред.

Вярвате или не, сега ще намалим броя на кандидатстващите номера до две - отново без сложни изчисления! Достатъчно е да знаете специалното правило. Ето го:

Последната цифра на квадрата зависи само от последната цифра оригинален номер.

С други думи, просто погледнете последната цифра на квадрата и веднага ще разберем къде свършва оригиналното число.

Има само 10 цифри, които могат да бъдат на последно място. Нека се опитаме да разберем в какво се превръщат, когато са на квадрат. Разгледайте таблицата:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Тази таблица е още една стъпка към изчисляване на корена. Както можете да видите, числата във втория ред се оказаха симетрични спрямо петицата. Например:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Както можете да видите, последната цифра е една и съща и в двата случая. Това означава, че например коренът на 3364 трябва да завършва на 2 или 8. От друга страна, помним ограничението от предишния параграф. Получаваме:

[Надпис към снимката]

Червените квадрати показват, че все още не знаем тази цифра. Но коренът се намира в диапазона от 50 до 60, в който има само две числа, завършващи на 2 и 8:

[Надпис към снимката]

Това е всичко! От всички възможни корени оставихме само два варианта! И това е в най-трудния случай, защото последната цифра може да бъде 5 или 0. И тогава ще има само един кандидат за корените!

Окончателни изчисления

И така, остават ни 2 кандидатски номера. Как да разберете кой е коренът? Отговорът е очевиден: повдигнете на квадрат двете числа. Това, което на квадрат дава оригиналното число, ще бъде коренът.

Например за числото 3364 намерихме две кандидат-числа: 52 и 58. Нека ги повдигнем на квадрат:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Това е всичко! Оказа се, че коренът е 58! В същото време, за да опростя изчисленията, използвах формулата за квадратите на сбора и разликата. Благодарение на това дори не трябваше да умножавам числата в колона! Това е друго ниво на оптимизация на изчисленията, но, разбира се, е напълно незадължително :)

Примери за изчисляване на корени

Теорията, разбира се, е добра. Но нека го проверим на практика.

[Надпис към снимката]

Първо, нека разберем между кои числа се намира числото 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Сега нека да разгледаме последното число. Равно е на 6. Кога става това? Само ако коренът завършва на 4 или 6. Получаваме две числа:

Всичко, което остава, е да поставите на квадрат всяко число и да го сравните с оригинала:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Страхотен! Първият квадрат се оказа равен на първоначалното число. Така че това е коренът.

Задача. Изчислете корен квадратен:

[Надпис към снимката]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Нека да разгледаме последната цифра:

1369 → 9;
33; 37.

Квадратирайте го:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Ето отговора: 37.

Задача. Изчислете корен квадратен:

[Надпис към снимката]

Ограничаваме броя:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Нека да разгледаме последната цифра:

2704 → 4;
52; 58.

Квадратирайте го:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Получихме отговора: 52. Второто число вече няма да има нужда от повдигане на квадрат.

Задача. Изчислете корен квадратен:

[Надпис към снимката]

Ограничаваме броя:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Нека да разгледаме последната цифра:

4225 → 5;
65.

Както можете да видите, след втората стъпка остава само една опция: 65. Това е желаният корен. Но нека все пак го повдигнем на квадрат и проверим:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Всичко е точно. Записваме отговора.

Заключение

Уви, не по-добре. Нека да разгледаме причините. Има две от тях:

• При всеки нормален изпит по математика, независимо дали е държавен изпит или единен държавен изпит, използването на калкулатори е забранено. И ако носите калкулатор в час, лесно можете да бъдете изхвърлен от изпита.
• Не бъдете като глупавите американци. Които не са като корените - не могат да събират две прости числа. А като видят дроби като цяло изпадат в истерия.