Какво означава да доведем до общ знаменател? Привеждане на дроби към общ знаменател. Изтеглете видео урок „Привеждане на дроби към общ знаменател“

Дробите имат различни или еднакви знаменатели. Същият знаменател или наречен по друг начин общ знаменателпри фракцията. Пример за общ знаменател:

\(\frac(17)(5), \frac(1)(5)\)

Пример за различни знаменатели за дроби:

\(\frac(8)(3), \frac(2)(13)\)

Как да сведа дроб до общ знаменател?

Знаменателят на първата дроб е 3, знаменателят на втората е 13. Трябва да намерите число, което се дели и на 3, и на 13. Това число е 39.

Първата дроб трябва да се умножи по допълнителен множител 13. За да сме сигурни, че дробта не се променя, трябва да умножим както числителя по 13, така и знаменателя.

\(\frac(8)(3) = \frac(8 \times \color(red) (13))(3 \times \color(red) (13)) = \frac(104)(39)\)

Умножаваме втората дроб с допълнителен коефициент 3.

\(\frac(2)(13) = \frac(2 \times \color(red) (3))(13 \times \color(red) (3)) = \frac(6)(39)\)

Сведохме дробта до общ знаменател:

\(\frac(8)(3) = \frac(104)(39), \frac(2)(13) = \frac(6)(39)\)

Най-малък общ знаменател.

Нека да разгледаме друг пример:

Нека намалим дробите \(\frac(5)(8)\) и \(\frac(7)(12)\) до общ знаменател.

Общ знаменател за числата 8 и 12 могат да бъдат числата 24, 48, 96, 120, ..., обичайно е да се избере най-малък общ знаменателв нашия случай това е числото 24.

Най-малък общ знаменателе най-малкото число, на което може да се раздели знаменателят на първата и втората дроби.

Как да намерим най-малкия общ знаменател?
Методът за изброяване на числата, чрез който се разделя знаменателят на първата и втората дроби и се избира най-малката.

Трябва да умножим дробта със знаменател 8 по 3 и дробта със знаменател 12 по 2.

\(\begin(align)&\frac(5)(8) = \frac(5 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3)) = \frac(15 )(24)\\\\&\frac(7)(12) = \frac(7 \times \color(red) (2))(12 \times \color(red) (2)) = \frac( 14)(24)\\\\\край (подравняване)\)

Ако не можете веднага да намалите дробите до най-малкия общ знаменател, няма за какво да се притеснявате; в бъдеще, когато решавате примера, може да се наложи да получите отговора, който сте получили.

Общият знаменател може да се намери за всеки две дроби; той може да бъде произведението на знаменателите на тези дроби.

Например:
Намалете дробите \(\frac(1)(4)\) и \(\frac(9)(16)\) до техния най-малък общ знаменател.

Най-лесният начин да намерите общия знаменател е да умножите знаменателите 4⋅16=64. Числото 64 не е най-малкият общ знаменател. Задачата изисква да намерите най-малкия общ знаменател. Затова търсим по-нататък. Трябва ни число, което се дели и на 4, и на 16, това е числото 16. Нека приведем дробта към общ знаменател, умножим дробта със знаменател 4 по 4, а дробта със знаменател 16 по едно. Получаваме:

\(\begin(align)&\frac(1)(4) = \frac(1 \times \color(red) (4))(4 \times \color(red) (4)) = \frac(4 )(16)\\\\&\frac(9)(16) = \frac(9 \times \color(red) (1))(16 \times \color(red) (1)) = \frac( 9)(16)\\\\ \end(align)\)

Тази статия обяснява как да намерим най-малкия общ знаменателИ как да сведем дроби до общ знаменател. Първо са дадени определенията за общ знаменател на дроби и най-малък общ знаменател и е показано как да се намери общият знаменател на дроби. По-долу е дадено правило за редуциране на дроби до общ знаменател и са разгледани примери за прилагането на това правило. В заключение се обсъждат примери за привеждане на три или повече дроби към общ знаменател.

Навигация в страницата.

Какво се нарича свеждане на дроби до общ знаменател?

Сега можем да кажем какво е свеждането на дроби до общ знаменател. Привеждане на дроби към общ знаменател- Това е умножаването на числителите и знаменателите на дадени дроби с такива допълнителни множители, че резултатът е дроби с еднакви знаменатели.

Общ знаменател, определение, примери

Сега е време да дефинираме общия знаменател на дробите.

С други думи, общият знаменател на определен набор от обикновени дроби е всяко естествено число, което се дели на всички знаменатели на тези дроби.

От дадената дефиниция следва, че даден набор от дроби има безкрайно много общи знаменатели, тъй като има безкраен брой общи кратни на всички знаменатели на оригиналния набор от дроби.

Определянето на общия знаменател на дроби ви позволява да намерите общите знаменатели на дадени дроби. Нека, например, дадени дроби 1/4 и 5/6, техните знаменатели са съответно 4 и 6. Положителни общи кратни на числата 4 и 6 са числата 12, 24, 36, 48, ... Всяко от тези числа е общ знаменател на дробите 1/4 и 5/6.

За да консолидирате материала, разгледайте решението на следния пример.

Пример.

Могат ли дробите 2/3, 23/6 и 7/12 да бъдат сведени до общ знаменател 150?

Решение.

За да отговорим на въпроса, трябва да разберем дали числото 150 е общо кратно на знаменателите 3, 6 и 12. За целта нека проверим дали 150 се дели на всяко от тези числа (ако е необходимо вижте правилата и примерите за деление на естествени числа, както и правилата и примерите за деление на естествени числа с остатък): 150:3=50 , 150:6=25, 150:12=12 (оставащи 6) .

Така, 150 не се дели равномерно на 12, следователно 150 не е общо кратно на 3, 6 и 12. Следователно числото 150 не може да бъде общият знаменател на първоначалните дроби.

Отговор:

Забранено е.

Най-малък общ знаменател, как да го намерите?

В множеството от числа, които са общ знаменател на дадени дроби, има най-малко естествено число, което се нарича най-малък общ знаменател. Нека формулираме дефиницията на най-малкия общ знаменател на тези дроби.

Определение.

Най-малък общ знаменателе най-малкото число от всички общи знаменатели на тези дроби.

Остава да се справим с въпроса как да намерим най-малкия общ делител.

Тъй като е най-малкият положителен общ делител на даден набор от числа, LCM на знаменателите на дадените дроби представлява най-малкия общ знаменател на дадените дроби.

По този начин намирането на най-малкия общ знаменател на дробите се свежда до знаменателите на тези дроби. Нека разгледаме решението на примера.

Пример.

Намерете най-малкия общ знаменател на дробите 3/10 и 277/28.

Решение.

Знаменателите на тези дроби са 10 и 28. Желаният най-малък общ знаменател се намира като LCM на числата 10 и 28. В нашия случай е лесно: тъй като 10=2·5 и 28=2·2·7, тогава LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.

Отговор:

140 .

Как да сведем дроби до общ знаменател? Правило, примери, решения

Обикновените дроби обикновено водят до най-малък общ знаменател. Сега ще запишем правило, което обяснява как да сведем дроби до най-малкия им общ знаменател.

Правило за свеждане на дроби до най-малък общ знаменателсе състои от три стъпки:

• Първо, намерете най-малкия общ знаменател на дробите.
• Второ, за всяка дроб се изчислява допълнителен фактор чрез разделяне на най-малкия общ знаменател на знаменателя на всяка дроб.
• Трето, числителят и знаменателят на всяка дроб се умножават по нейния допълнителен коефициент.

Нека приложим посоченото правило, за да решим следния пример.

Пример.

Намалете дробите 5/14 и 7/18 до техния най-малък общ знаменател.

Решение.

Нека изпълним всички стъпки от алгоритъма за свеждане на дроби до най-малкия общ знаменател.

Първо намираме най-малкия общ знаменател, който е равен на най-малкото общо кратно на числата 14 и 18. Тъй като 14=2·7 и 18=2·3·3, тогава LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.

Сега изчисляваме допълнителни множители, с помощта на които дробите 5/14 и 7/18 ще бъдат намалени до знаменател 126. За дробта 5/14 допълнителният фактор е 126:14=9, а за дробта 7/18 допълнителният фактор е 126:18=7.

Остава да умножим числителите и знаменателите на дробите 5/14 и 7/18 с допълнителни множители съответно 9 и 7. Имаме и .

И така, редуцирането на дробите 5/14 и 7/18 до най-малкия общ знаменател е завършено. Получените фракции бяха 45/126 и 49/126.

Първоначално исках да включа техники за общ знаменател в раздела за добавяне и изваждане на дроби. Но се оказа, че има толкова много информация и нейното значение е толкова голямо (в края на краищата не само числовите дроби имат общи знаменатели), че е по-добре този въпрос да се проучи отделно.

Да кажем, че имаме две дроби с различни знаменатели. И искаме да сме сигурни, че знаменателите стават еднакви. На помощ идва основното свойство на дробта, което, нека ви напомня, звучи така:

Една дроб няма да се промени, ако нейният числител и знаменател се умножат по едно и също число, различно от нула.

Така, ако изберете факторите правилно, знаменателите на дробите ще станат равни - този процес се нарича редуциране до общ знаменател. А необходимите числа, „изравняващи“ знаменателите, се наричат ​​допълнителни фактори.

Защо трябва да свеждаме дробите до общ знаменател? Ето само няколко причини:

1. Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели. Няма друг начин за извършване на тази операция;
2. Сравняване на дроби. Понякога редуцирането до общ знаменател значително опростява тази задача;
3. Решаване на задачи, включващи дроби и проценти. Процентите са по същество обикновени изрази, които съдържат дроби.

Има много начини да намерите числа, които, когато се умножат по тях, ще направят знаменателите на дробите равни. Ще разгледаме само три от тях - по ред на нарастване на сложността и в известен смисъл на ефективността.

Кръстосано умножение

Най-простият и надежден метод, който гарантирано изравнява знаменателите. Ще действаме „стремглаво“: умножаваме първата дроб по знаменателя на втората дроб, а втората по знаменателя на първата. В резултат на това знаменателите на двете дроби ще станат равни на произведението на първоначалните знаменатели. Погледни:

Като допълнителни фактори помислете за знаменателите на съседните дроби. Получаваме:

Да, толкова е просто. Ако тепърва започвате да изучавате дроби, по-добре е да работите по този метод - така ще се застраховате от много грешки и гарантирано ще получите резултата.

Единственият недостатък на този метод е, че трябва да броите много, защото знаменателите се умножават „докрай“ и резултатът може да бъде много голям брой. Това е цената, която трябва да платите за надеждността.

Метод на общия делител

Тази техника помага значително да намали изчисленията, но, за съжаление, се използва доста рядко. Методът е както следва:

1. Преди да продължите направо (т.е. като използвате метода на кръстосване), погледнете знаменателите. Може би един от тях (този, който е по-голям) е разделен на другия.
2. Числото, получено от това деление, ще бъде допълнителен фактор за дробта с по-малък знаменател.
3. В този случай дроб с голям знаменател изобщо не трябва да се умножава по нищо - това е къде се спестява. В същото време вероятността от грешка рязко намалява.

Задача. Намерете значенията на изразите:

Обърнете внимание, че 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Тъй като и в двата случая единият знаменател се дели без остатък на другия, използваме метода на общите множители. Ние имаме:

Обърнете внимание, че втората дроб изобщо не е умножена по нищо. Всъщност намаляваме количеството изчисления наполовина!

Между другото, не случайно взех дробите в този пример. Ако се интересувате, опитайте да ги преброите по метода на кръстосване. След намаляване отговорите ще бъдат същите, но ще има много повече работа.

Това е силата на метода на общите делители, но отново може да се използва само когато един от знаменателите се дели на другия без остатък. Което се случва доста рядко.

Метод за най-малко често срещано множество

Когато редуцираме дроби до общ знаменател, по същество се опитваме да намерим число, което се дели на всеки от знаменателите. След това привеждаме знаменателите на двете дроби към това число.

Има много такива числа и най-малкото от тях не е задължително да бъде равно на директния продукт на знаменателите на оригиналните дроби, както се предполага в метода „кръстосано“.

Например за знаменатели 8 и 12 числото 24 е доста подходящо, тъй като 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Това число е много по-малко от произведението 8 · 12 = 96.

Най-малкото число, което се дели на всеки от знаменателите, се нарича тяхното най-малко общо кратно (LCM).

Забележка: Най-малкото общо кратно на a и b се означава с LCM(a ; b) . Например, LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .

Ако успеете да намерите такова число, общият размер на изчисленията ще бъде минимален. Вижте примерите:

Задача. Намерете значенията на изразите:

Обърнете внимание, че 234 = 117 2; 351 = 117 3. Фактори 2 и 3 са взаимно прости (нямат общи множители, различни от 1), а фактор 117 е общ. Следователно LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

По същия начин 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Фактори 3 и 4 са взаимно прости, а фактор 5 е общ. Следователно LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Сега нека приведем дробите към общи знаменатели:

Забележете колко полезно беше разлагането на множители на оригиналните знаменатели:

1. След като открихме идентични фактори, веднага стигнахме до най-малкото общо кратно, което, най-общо казано, е нетривиална задача;
2. От полученото разширение можете да разберете кои фактори „липсват“ във всяка фракция. Например 234 · 3 = 702, следователно за първата дроб допълнителният фактор е 3.

За да оцените каква разлика прави методът на най-малко общо кратно, опитайте да изчислите същите тези примери, като използвате метода на кръстосване. Разбира се, без калкулатор. Мисля, че след това коментарите ще са излишни.

Не си мислете, че в реалните примери няма да има толкова сложни дроби. Те се срещат през цялото време и горните задачи не са ограничението!

Единственият проблем е как да намерите точно този NOC. Понякога всичко може да се намери за няколко секунди, буквално „на око“, но като цяло това е сложна изчислителна задача, която изисква отделно разглеждане. Тук няма да засягаме това.

• Събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели
• Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели
• Концепция за НОК
• Намаляване на дроби до един и същи знаменател
• Как да съберем цяло число и дроб

1 Събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели

За да добавите дроби с еднакви знаменатели, трябва да добавите техните числители, но да оставите знаменателя същия, например:

За да извадите дроби с еднакви знаменатели, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя същия, например:

За да добавите смесени дроби, трябва отделно да добавите целите им части, а след това да добавите техните дробни части и да запишете резултата като смесена дроб,

Пример 1:

Пример 2:

Ако при добавяне на дробни части получите неправилна дроб, изберете цялата част от нея и я добавете към цялата част, например:

2 Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели.

За да събирате или изваждате дроби с различни знаменатели, първо трябва да ги намалите до един и същ знаменател и след това да продължите, както е посочено в началото на тази статия. Общият знаменател на няколко дроби е LCM (най-малкото общо кратно). За числителя на всяка дроб се намират допълнителни множители чрез разделяне на LCM на знаменателя на тази дроб. Ще разгледаме пример по-късно, след като разберем какво е NOC.

3 Най-малко общо кратно (LCM)

Най-малкото общо кратно на две числа (LCM) е най-малкото естествено число, което се дели и на двете числа без остатък. Понякога LCM може да се намери устно, но по-често, особено когато работите с големи числа, трябва да намерите LCM писмено, като използвате следния алгоритъм:

За да намерите LCM на няколко числа, трябва:

1. Разложете тези числа на прости множители
2. Вземете най-голямото разширение и запишете тези числа като продукт
3. Изберете в други разложения числата, които не се появяват в най-голямото разлагане (или се срещат по-малко пъти в него), и ги добавете към произведението.
4. Умножете всички числа в продукта, това ще бъде LCM.

Например, нека намерим LCM на числата 28 и 21:

4 Намаляване на дроби до един и същи знаменател

Нека се върнем към събирането на дроби с различни знаменатели.

Когато редуцираме дроби до един и същи знаменател, равен на LCM на двата знаменателя, трябва да умножим числителите на тези дроби по допълнителни множители. Можете да ги намерите, като разделите LCM на знаменателя на съответната дроб, например:

По този начин, за да намалите дробите до един и същи показател, първо трябва да намерите LCM (т.е. най-малкото число, което се дели на двата знаменателя) на знаменателите на тези дроби, след което да добавите допълнителни множители към числителите на дробите. Можете да ги намерите, като разделите общия знаменател (CLD) на знаменателя на съответната дроб. След това трябва да умножите числителя на всяка дроб с допълнителен коефициент и да поставите LCM като знаменател.

5 Как да съберем цяло число и дроб

За да добавите цяло число и дроб, просто добавяте това число преди дробта, за да създадете смесена дроб, например:

Ако добавим цяло число и смесена дроб, добавяме това число към цялата част от дробта, например:

Треньор 1

Събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели.

Времево ограничение: 0

Навигация (само номера на задания)

0 от 20 изпълнени задачи

Информация

Този тест тества способността ви да събирате дроби с еднакви знаменатели. В този случай трябва да се спазват две правила:

• Ако резултатът е неправилна дроб, трябва да я преобразувате в смесено число.
• Ако една дроб може да бъде съкратена, не забравяйте да я съкратите, в противен случай ще бъде зачетен неправилен отговор.

Вече сте правили теста преди. Не можете да го започнете отново.

Тестът се зарежда...

Трябва да влезете или да се регистрирате, за да започнете теста.

Трябва да завършите следните тестове, за да започнете този:

резултати

Верни отговори: 0 от 20

Твоето време:

Времето изтече

Постигнахте 0 от 0 точки (0)

1. С отговор
2. С маркировка за гледане