Сбор от медианите на триъгълник. Медиана. Подробна теория с примери. Основни елементи на триъгълник abc

Съдържащ този сегмент. Пресечната точка на медианата със страната на триъгълника се нарича основа на медианата.

Можете също да представите концепцията външна медианатриъгълник.

Енциклопедичен YouTube

1 / 3

✪ МЕДИАНИ на ъглополовящи и ВИСОЧИНИ на триъгълник - 7 клас

✪ Медиана на триъгълник. Строителство. Имоти.

✪ ъглополовяща, медиана, височина на триъгълник. Геометрия 7 клас

субтитри

Имоти

Основна собственост

И трите медиани на триъгълника се пресичат в една точка, която се нарича центроид или център на тежестта на триъгълника, и се разделят от тази точка на две части в съотношение 2:1, като се брои от върха.

Свойства на медианите на равнобедрен триъгълник

В равнобедрен триъгълник две медиани, начертани към еднакви страни на триъгълника, са равни, а третата медиана е едновременно ъглополовяща и надморска височина.
Обратното също е вярно: ако две медиани в триъгълник са равни, тогава триъгълникът е равнобедрен, а третата медиана е едновременно ъглополовяща и височината на ъгъла при неговия връх.
В равностранен триъгълник и трите медиани са равни.

Свойства на медианните основи

Теорема на Ойлер за окръжност от девет точки: основите на трите височини на произволен триъгълник, средите на трите му страни ( основи на неговите медиани) и средите на три сегмента, свързващи върховете му с ортоцентъра, всички лежат на една и съща окръжност (т.нар. кръг от девет точки).
Сегмент, прекаран през основаниявсеки две медиани на триъгълник е неговата средна линия. Средната линия на триъгълника винаги е успоредна на страната на триъгълника, с която няма общи точки.
- Следствие (теорема на Талес за паралеленсегменти). Средната линия на триъгълника е равна на половината от дължината на страната на триъгълника, на която е успоредна.

Други имоти

Ако триъгълник универсален (скален), тогава неговата ъглополовяща, изтеглена от който и да е връх, лежи между медианата и височината, изтеглени от същия връх.
Медианата разделя триъгълника на два равни (по площ) триъгълника.
Триъгълник е разделен от три медиани на шест равни триъгълника.
От сегментите, образуващи медианите, можете да направите триъгълник, чиято площ ще бъде равна на 3/4 от целия триъгълник. Медианните дължини удовлетворяват неравенството на триъгълника.
В правоъгълен триъгълник медианата, изтеглена от върха с прав ъгъл, е равна на половината от хипотенузата.
По-голямата страна на триъгълника съответства на по-малката медиана.
Прав сегмент, симетричен или изогонално спрегнативътрешната медиана спрямо вътрешната ъглополовяща се нарича симедиана на триъгълника. Три симедианципреминава през една точка - Твърдението на Лемоан.
Медиана на ъгъл на триъгълник изотомно конюгиранна себе си.

Основни взаимоотношения

По-специално, сборът от квадратите на медианите на произволен триъгълник е 3/4 от сбора от квадратите на неговите страни: m a 2 + m b 2 + m c 2 = 3 4 (a 2 + b 2 + c 2) (\displaystyle m_(a)^(2)+m_(b)^(2)+m_(c)^(2) =(\frac (3)(4))(a^(2)+b^(2)+c^(2))).

Обратно, можете да изразите дължината на произволна страна на триъгълник чрез медиани:

a = 2 3 2 (m b 2 + m c 2) − m a 2 (\displaystyle a=(\frac (2)(3))(\sqrt (2(m_(b)^(2)+m_(c)^ (2))-m_(a)^(2)))), Където m a , m b , m c (\displaystyle m_(a),m_(b),m_(c))медиани към съответните страни на триъгълника, a , b , c (\displaystyle a,b,c)- страни на триъгълника.

Свойства на акордите

1. Диаметърът (радиусът), перпендикулярен на хордата, разделя тази хорда и двете дъги, свързани с нея, наполовина. Обратната теорема също е вярна: ако диаметърът (радиусът) разполовява хорда, тогава той е перпендикулярен на тази хорда.

2. Дъгите, съдържащи се между успоредни хорди, са равни.

3. Ако две акорди на кръг, ABИ CDпресичат се в точка М, тогава произведението на сегментите на една хорда е равно на произведението на сегментите на друга хорда: AM MB = CM MD.

Свойства на кръг

1. Правата линия може да няма общи точки с окръжност; имат една обща точка с окръжността ( допирателна); имат две общи точки с нея ( секуща).

2. През три точки, които не лежат на една права, можете да начертаете окръжност и само една.

3. Допирната точка на две окръжности лежи на правата, свързваща центровете им.

Теорема за допирателната и секущата

Ако допирателната и секансът са изтеглени от точка, разположена извън окръжността, тогава квадратът на дължината на допирателната е равен на произведението на секанса и неговата външна част: MC 2 = MA MB.

Теоремата за секущата

Ако два секанса са изтеглени от точка, разположена извън окръжността, тогава произведението на единия секанс и неговата външна част е равно на произведението на другия секанс и неговата външна част. MA MB = MC MD.

Ъгли в кръг

ЦентралнаЪгъл в окръжност е равнинен ъгъл с връх в центъра му.

Ъгъл, чийто връх лежи върху окръжност и чиито страни пресичат тази окръжност, се нарича вписан ъгъл.

Всякакви две точки от окръжност я разделят на две части. Всяка от тези части се нарича дъгакръгове. Мярката на дъга може да бъде мярката на съответния централен ъгъл.

Дъгата се нарича полукръг,ако отсечката, свързваща краищата му, е диаметър.

Свойства на ъгли, свързани с окръжност

1. Вписан ъгъл е или равен на половината от съответния централен ъгъл, или допълва половината от този ъгъл до 180°.

2. Ъглите, вписани в една окръжност и опиращи се на една и съща дъга, са равни.

3. Вписаният ъгъл, сключен от диаметъра, е 90°.

5. Ъгълът, образуван от допирателна към окръжност и секанс, прекарани през точката на контакт, е равен на половината от дъгата, съдържаща се между страните му.

Дължини и площи

1. Обиколка ° Срадиус Ризчислено по формулата: C= 2 Р.

2. Площ Срадиус на кръга Ризчислено по формулата: S = R 2.

3. Дължина на кръговата дъга Лрадиус Рс централен ъгъл, измерен в радиани, изчислен по формулата: L = R .

4. Площ Срадиусни сектори Рс централен ъгъл в радиани се изчислява по формулата: S = R 2 .

Вписани и описани окръжности

Кръг и триъгълник

· центърът на вписаната окръжност е пресечната точка на ъглополовящите на триъгълника, неговият радиус rизчислено по формулата:

r =, Където Се площта на триъгълника и - полупериметър;

· центърът на описаната окръжност е пресечната точка на ъглополовящите перпендикуляри, нейният радиус R се изчислява по формулата:

R= , R = ;

· центърът на окръжност, описана около правоъгълен триъгълник, лежи в средата на хипотенузата;

· центровете на описаната и вписаната окръжност на триъгълник съвпадат само ако този триъгълник е правилен.

Кръг и четириъгълници

· около изпъкнал четириъгълник може да се опише окръжност тогава и само тогава, когато сборът от неговите вътрешни противоположни ъгли е равен на 180°:

180°;

окръжност може да бъде вписана в четириъгълник тогава и само тогава, когато сумите на срещуположните му страни са равни a + c = b + d;

успоредникът може да бъде описан като кръг тогава и само ако е правоъгълник;

· около трапец може да се опише окръжност тогава и само тогава, когато този трапец е равнобедрен; центърът на окръжността лежи в пресечната точка на оста на симетрия на трапеца с перпендикулярната ъглополовяща на страната;

· окръжност може да бъде вписана в успоредник тогава и само ако е ромб.

Триъгълници

Свойства на медианите на триъгълника

1. Медианата разделя триъгълник на два триъгълника с еднаква площ.

2. Медианите на триъгълника се пресичат в една точка, която разделя всяка от тях в съотношение 2:1, считано от върха. Тази точка се нарича център на тежесттатриъгълник.

3. Целият триъгълник е разделен от своите медиани на шест равни триъгълника.

Свойства на ъглополовящи на триъгълник

1. Симетралата на ъгъл е геометричното място на точките, еднакво отдалечени от страните на този ъгъл.

2. Симетралата на вътрешния ъгъл на триъгълник разделя противоположната страна на отсечки, пропорционални на съседните страни: .

3. Пресечната точка на ъглополовящите на триъгълник е центърът на окръжността, вписана в този триъгълник.

Свойства на височините на триъгълника

1. В правоъгълен триъгълник надморската височина, изтеглена от върха на правия ъгъл, го разделя на два триъгълника, подобни на оригиналния.

2. В остроъгълен триъгълник двете му височини отрязват подобни триъгълници от него.

Медианата е сегмент, изтеглен от върха на триъгълник до средата на противоположната страна, т.е. разделя го наполовина в точката на пресичане. Точката, в която медианата пресича страната, противоположна на върха, от който излиза, се нарича основа. Всяка медиана на триъгълника минава през една точка, наречена пресечна точка. Формулата за неговата дължина може да се изрази по няколко начина.

Формули за изразяване на дължината на медианата

Често при задачи по геометрия учениците трябва да се справят с сегмент като медианата на триъгълник. Формулата за неговата дължина се изразява чрез страни:

където a, b и c са страните. Освен това c е страната, на която пада медианата. Ето как изглежда най-простата формула. Медианите на триъгълник понякога са необходими за спомагателни изчисления. Има и други формули.

Ако по време на изчислението са известни две страни на триъгълник и определен ъгъл α, разположен между тях, тогава дължината на медианата на триъгълника, спусната до третата страна, ще бъде изразена по следния начин.

Основни свойства

Всички медиани имат една обща пресечна точка O и се делят от нея в съотношение две към едно, ако се брои от върха. Тази точка се нарича център на тежестта на триъгълника.
Медианата разделя триъгълника на два други, чиито площи са равни. Такива триъгълници се наричат равни по площ.
Ако начертаете всички медиани, триъгълникът ще бъде разделен на 6 равни фигури, които също ще бъдат триъгълници.
Ако и трите страни на триъгълник са равни, тогава всяка от медианите също ще бъде надморска височина и ъглополовяща, тоест перпендикулярна на страната, към която е начертана, и разполовява ъгъла, от който излиза.
В равнобедрен триъгълник медианата, изтеглена от върха, който е срещу страната, която не е равна на никоя друга, също ще бъде надморската височина и ъглополовящата. Медианите, изпуснати от други върхове, са равни. Това също е необходимо и достатъчно условие за равнобедрения.
Ако триъгълник е основата на правилна пирамида, тогава височината, спусната до тази основа, се проектира до точката на пресичане на всички медиани.

В правоъгълен триъгълник медианата, прекарана към най-дългата страна, е равна на половината от дължината му.
Нека O е пресечната точка на медианите на триъгълника. Формулата по-долу ще бъде вярна за всяка точка M.

Медианата на триъгълника има друго свойство. Формулата за квадрата на неговата дължина през квадратите на страните е представена по-долу.

Свойства на страните, към които е начертана медианата

Ако свържете произволни две точки на пресичане на медианите със страните, върху които са пуснати, тогава полученият сегмент ще бъде средната линия на триъгълника и ще бъде половината от страната на триъгълника, с която той няма общи точки.
Основите на височините и медианите в триъгълник, както и средите на отсечките, свързващи върховете на триъгълника с пресечната точка на височините, лежат на една и съща окръжност.

В заключение е логично да се каже, че един от най-важните сегменти е медианата на триъгълника. Формулата му може да се използва за намиране на дължините на другите му страни.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Медианата е един от уникалните сегменти на триъгълник. Медианата има редица свойства, полезни за решаване на проблеми, а пресечната точка на медианите допълнително разширява списъка с тези свойства. Пресечната точка на медианите и нейните свойства ще бъдат обсъдени днес.

Медиана

Медианата е сегментът, свързващ върха на триъгълника със средата на сегмента от противоположната страна. Трите медиани на триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича пресечна точка на медианата.

Медианите, за разлика от надморските височини, винаги лежат вътре в триъгълника. Това е логично, тъй като средният сегмент свързва върха и средата на страната. А средата на страната винаги лежи вътре в триъгълника.

Ориз. 1. Медиани в тъп триъгълник.

Ако свържете произволни две основи на медианите с сегмент, ще получите средната линия на триъгълника. Трите средни линии на триъгълника образуват триъгълник, подобен на оригиналния със съотношение на подобие 1:2

Има още едно интересно свойство на медианите, което ще ви помогне да избегнете объркване при конструирането на златното сечение на триъгълник. Медианата в триъгълника винаги се намира между височината и ъглополовящата.

Ориз. 2. Златно сечение на произволен триъгълник.

Даваме и формула за изчисляване на дължината на медианата от трите страни. Тази формула често се използва при решаване на проблеми и затова е препоръчително да я запомните.

$$m_c=((\sqrt(2a^2+2b^2-c^2))\over(2))$$

Често за учениците е по-лесно да запомнят словесната формулировка, отколкото да запомнят формулата. За да намерите медианата по трите страни, трябва да вземете корен от сумата от удвоените квадрати на страните минус квадрата на страната, към която е начертана медианата. Полученият корен трябва да бъде разделен наполовина.

Средна пресечна точка

Пресечната точка на медианите е една от 3-те забележителни точки на триъгълника, които съставляват златното сечение на триъгълника.

Пресечната точка на медианите на триъгълник има редица свойства, които са полезни при решаването на проблеми:

Медианата е разделена от пресечната точка на сегменти с коефициент на пропорционалност 1:2, считано от върха.
Три медиани, начертани в триъгълник, го разделят на 6 равни триъгълника. Триъгълници с еднаква площ се наричат равноповърхни. Самите тези фигури имат малко общо, но числените им характеристики на площта съвпадат.
Точката, в която медианите се пресичат в триъгълник, се нарича центроид и е центърът на тежестта на триъгълника.

Пресечната точка на медианите е единствената от златното сечение на триъгълника, която има реален физически смисъл. Ако изрежете триъгълник от картон и начертаете в него медиани с тънък молив, тогава точката на тяхното пресичане ще бъде центърът на тежестта на плоската фигура.

Ориз. 3. Център на тежестта на триъгълника.

Това означава, че ако поставите игла в тази точка, фигурата ще остане върху нея без пробиване, единствено поради баланс.

Какво научихме?

Дадохме формулата за изчисляване на медианата на 3-те страни на триъгълник. Дадени са няколко свойства на пресечната точка на медианите в триъгълник. Говорихме за истинското физическо значение на центроида на триъгълник.

Тест по темата

Рейтинг на статията

Среден рейтинг: 4.1. Общо получени оценки: 255.