Как да изчислим корена на число до степен. Инженерен калкулатор. Въведение под коренния знак

За да използвате успешно операцията по извличане на корен на практика, трябва да се запознаете със свойствата на тази операция.
Всички свойства са формулирани и доказани само за неотрицателни стойности на променливите, съдържащи се под знаците на корените.

Теорема 1. N -ти корен (n = 2, 3, 4, ...) на произведението на два неотрицателни чипсела е равен на произведението на n -тия корен на тези числа:

Коментар:

1. Теорема 1 остава валидна за случая, когато радикалният израз е продукт на повече от две неотрицателни числа.

Теорема 2.Ако, и n е естествено число, по -голямо от 1, тогава равенството

Кратко(макар и неточна) формулировка, която е по -удобна за използване на практика: коренът на фракцията е равен на фракцията на корените.

Теорема 1 ни позволява да умножим m само корени със същата степен , т.е. само корени със същия индекс.

Теорема 3 Ако ,k е естествено число и n е естествено число, по -голямо от 1, тогава равенството

С други думи, за да се издигне корен до естествена степен, е достатъчно да се повиши радикален израз до тази степен.
Това е следствие от теорема 1. Всъщност например за k = 3 получаваме: По същия начин може да се разсъждава в случай на всяка друга естествена стойност на показателя k.

Теорема 4 Ако ,k, n са естествени числа, по -големи от 1, тогава равенството

С други думи, за да извлечете корен от корен, е достатъчно да умножите индексите на корените.
Например,

Бъди внимателен!Научихме, че върху корените могат да се извършат четири операции: умножение, деление, степенуване и извличане на корена (от корена). Но какво да кажем за събирането и изваждането на корените? Няма начин.
Например, вместо да е невъзможно да се напише Наистина, но е очевидно, че

Теорема 5 Ако индексите на корена и радикалния израз се умножават или делят на едно и също естествено число, тогава стойността на корена няма да се промени, т.е.

Примери за решаване на задачи

Пример 1.Изчисли

Решение.Използвайки първото свойство на корените (теорема 1), получаваме:

Пример 2.Изчисли
Решение.Преобразувайте смесеното число в неправилна дроб.
Имаме Използване на второто свойство на корените ( Теорема 2 ), получаваме:

Пример 3.Изчисли:

Решение.Всяка формула в алгебрата, както добре знаете, се използва не само „отляво надясно“, но и „отдясно наляво“. И така, първото свойство на корените означава, че може да бъде представено във формата и обратно, може да бъде заменено с израз. Същото се отнася и за второто свойство на корените. Имайки това предвид, нека извършим изчисленията.

Примери:

\ (\ sqrt (16) = 2 \) тъй като \ (2 ^ 4 = 16 \)
\ (\ sqrt (- \ frac (1) (125)) \) \ (= \) \ (- \ frac (1) (5) \), защото \ ((- \ frac (1) (5)) ^ 3 \) \ (= \) \ (- \ frac (1) (125) \)

Как да се изчисли n -ти корен?

За да изчислите корена на \ (n \) - та степен, трябва да си зададете въпроса: кое число в \ (n \) - та степен ще даде под корена?

Например... Изчислете корена \ (n \) - та степен: а) \ (\ sqrt (16) \); б) \ (\ sqrt (-64) \); в) \ (\ sqrt (0.00001) \); г) \ (\ sqrt (8000) \); д) \ (\ sqrt (\ frac (1) (81)) \).

а) Какво число в \ (4 \) - та степен ще даде \ (16 \)? Очевидно \ (2 \). Ето защо:

б) Какво число в \ (3 \) -та степен ще даде \ ( - 64 \)?

\ (\ sqrt (-64) = - 4 \)

в) Какво число в \ (5 \) - та степен ще даде \ (0.00001 \)?

\ (\ sqrt (0.00001) = 0.1 \)

г) Какво число в \ (3 \) -та степен ще даде \ (8000 \)?

\ (\ sqrt (8000) = 20 \)

д) Какво число в \ (4 \) - та степен ще даде \ (\ frac (1) (81) \)?

\ (\ sqrt (\ frac (1) (81)) = \ frac (1) (3) \)

Разгледахме най -простите примери с корен \ (n \) - та степен. За решаването на по -сложни проблеми с корени \ (n \) - та степен - жизненоважно е да ги познавате.

Пример. Изчисли:

\ (\ sqrt 3 \ cdot \ sqrt (-3) \ cdot \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (9) - \) \ (= \)		В момента нито един от корените не може да бъде изчислен. Затова ще приложим свойствата на корена \ (n \) - та степен и ще преобразуваме израза. \ (\ frac (\ sqrt (-64)) (\ sqrt (2)) \)\ (= \) \ (\ sqrt (\ frac (-64) (2)) \) \ (= \) \ (\ sqrt (-32) \) защото \ (\ frac (\ sqrt [n] (a)) (\ sqrt [n] (b)) \)\ (= \) \ (\ sqrt [n] (\ frac (a) (b)) \)
\ (= \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (-3) \ cdot \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (9)-\ sqrt (-32) = \)		Нека пренаредим факторите в първия член, така че квадратният корен и \ (n \) -тият корен да са един до друг. Това ще улесни прилагането на свойствата. повечето свойства на \ (n \) -ти корени работят само с корени със същата степен. И ние изчисляваме корена на 5 -та степен.
\ (= \ sqrt (3) \ cdot \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (-3) \ cdot \ sqrt (9)- (- 5) = \)		Приложете свойството \ (\ sqrt [n] (a) \ cdot \ sqrt [n] (b) = \ sqrt [n] (a \ cdot b) \) и разгънете скобата
\ (= \ sqrt (81) \ cdot \ sqrt (-27) + 5 = \)		Изчислете \ (\ sqrt (81) \) и \ (\ sqrt (-27) \)
\ (= 9 \ cdot (-3) +5 = -27 + 5 = -22 \)

Свързани ли са n -ти корен и квадратен корен?

Във всеки случай всеки корен от всяка степен е просто число, дори и да е написано в непозната форма.

Характеристика на корена на n-та степен

Коренът \ (n \) - та степен с нечетно \ (n \) може да бъде извлечен от всяко число, дори отрицателно (вижте примерите в началото). Но ако \ (n \) е четен (\ (\ sqrt (a) \), \ (\ sqrt (a) \), \ (\ sqrt (a) \) ...), тогава такъв корен се извлича само ако \ (a ≥ 0 \) (между другото, квадратният корен има същото). Това е така, защото извличането на корен е обратното на степенуването.

А повишаването на четна степен прави дори отрицателно число положително. Всъщност \ ((-2) ^ 6 = (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) = 64 \). Следователно не можем да получим равномерна степен на отрицателно число под корена. Това означава, че не можем да извлечем такъв корен от отрицателно число.

Четната степен на такива ограничения няма- отрицателно число, повишено до нечетна степен, ще остане отрицателно: \ ((- 2) ^ 5 = (- 2) \ cdot (-2) \ cdot (-2) \ cdot ( -2) \ cdot (-2) = -32 \). Следователно под корена на нечетна степен можете да получите отрицателно число. Това означава, че можете да го извлечете и от отрицателно число.

Инженерен калкулатор онлайн

Бързаме да представим безплатен инженерен калкулатор на всички. С негова помощ всеки ученик може бързо и най -важното лесно да извършва различни видове математически изчисления онлайн.

Калкулатор, взет от сайта - научен калкулатор web 2.0

Един прост и лесен за използване инженерен калкулатор с ненатрапчив и разбираем интерфейс наистина ще бъде полезен за най-широкия кръг интернет потребители. Сега, когато имате нужда от калкулатор, посетете нашия уебсайт и използвайте безплатен инженерен калкулатор.

Инженерният калкулатор е способен да извършва както прости аритметични операции, така и доста сложни математически изчисления.

Web20calc е инженерен калкулатор, който има огромен брой функции, например как да се изчислят всички елементарни функции. Калкулаторът също така поддържа тригонометрични функции, матрици, логаритми и дори графики.

Несъмнено Web20calc ще представлява интерес за тази група хора, които в търсене на прости решения въвеждат заявка в търсачките: онлайн математически калкулатор. Безплатно уеб приложение ще ви помогне незабавно да изчислите резултата от някакъв математически израз, например да извадите, добавите, разделите, извлечете корен, повишите до степен и т.н.

В израза можете да използвате операциите на степенуване, събиране, изваждане, умножение, деление, процент, постоянен PI. За сложни изчисления използвайте скоби.

Характеристики на инженерния калкулатор:

1. основни аритметични операции;
2. работа с числа в стандартен формуляр;
3. изчисляване на тригонометрични корени, функции, логаритми, степенуване;
4. статистически изчисления: добавяне, средна аритметична стойност или стандартно отклонение;
5. прилагане на клетка памет и дефинирани от потребителя функции на 2 променливи;
6. работа с ъгли в радиан и степен.

Инженерният калкулатор ви позволява да използвате различни математически функции:

Извличане на корени (квадратен корен, кубичен и n-ти корен);
ex (e към степен x), степен;
тригонометрични функции: синус - грех, косинус - cos, допирателна - тен;
обратни тригонометрични функции: арксинус - sin -1, аркосинус - cos -1, арктангенс - tan -1;
хиперболични функции: синус - синх, косинус - кош, тангенс - тан;
логаритми: двоичен логаритъм основа два - log2x, десетичен логаритъм основа десет - лог, естествен логаритъм - ln.

Този инженерен калкулатор включва и количествен калкулатор с възможност за преобразуване на физически величини за различни измервателни системи - компютърни единици, разстояние, тегло, време и т.н. С тази функция можете незабавно да конвертирате мили в километри, паунди в килограми, секунди в часове и т.н.

За да направите математически изчисления, първо въведете поредица от математически изрази в съответното поле, след това щракнете върху знака за равенство и вижте резултата. Можете да въвеждате стойности директно от клавиатурата (за това областта на калкулатора трябва да е активна, следователно няма да е излишно да поставите курсора в полето за въвеждане). Освен всичко друго, данните могат да бъдат въведени с помощта на бутоните на самия калкулатор.

За да изградите графики в полето за въвеждане, напишете функцията, както е посочено в полето с примери, или използвайте специално проектираната лента с инструменти (за да отидете до нея, щракнете върху бутона с икона под формата на графика). За да конвертирате стойности натиснете Unit, за да работите с матрици - Matrix.

Потребителите на електронни таблици използват широко функцията за извличане на корена на число. Тъй като работата с данни обикновено изисква обработка на големи числа, ръчното броене може да бъде доста трудно. В тази статия ще намерите подробен анализ на въпроса за извличане на корен от всяка степен в Excel.

Доста лесна задача, тъй като програмата има отделна функция, която може да бъде взета от списъка. За да направите това, трябва да направите следното:

1. Изберете клетката, в която искате да регистрирате функцията, като щракнете върху нея веднъж с левия бутон на мишката. Появява се черен контур, активният ред и колоната са маркирани в оранжево, а името се появява в адресната клетка.

   

2. Кликнете върху бутона „fx“ (Вмъкване на функция) над имената на колоните, след адресната клетка, преди лентата с формули.

   

3. Ще се появи падащо меню, в което трябва да намерите функцията "Root". Това може да стане в категорията „Математика“ или в „Пълен азбучен списък“, като превъртите менюто с мишката надолу.

   

4. Изберете елемента "Root", като щракнете веднъж с левия бутон на мишката, след това - бутона "OK".

   

5. Появява се следното меню - "Функционални аргументи".

   

6. Въведете число или изберете клетка, в която този израз или формула е записан преди това, за това щракнете с левия бутон веднъж върху реда „Число“, след това преместете курсора върху необходимата ви клетка и щракнете върху нея. Името на клетката автоматично ще бъде попълнено в низа.

   

7. Кликнете върху бутона „OK“.

   

8. И всичко е готово, функцията изчислява квадратния корен, записвайки резултата в избраната клетка.

   

Възможно е също така да се извлече квадратният корен от сумата от число и клетка (данни, които са опаковани в тази клетка) или две клетки, за това въведете стойностите в реда "Число". Напишете номера и щракнете веднъж върху клетката, програмата ще постави самия знак за добавяне.

На бележка!Тази функция може да бъде въведена и ръчно. В лентата с формули въведете следния израз: "= ROOT (x)", където x е числото, което търсите.

Извличане на корени от 3 -та, 4 -та и други степени.

Няма отделна функция за решаване на този израз в Excel. За да извлечете n-ти корен, първо трябва да го разгледате от математическа гледна точка.

N -ти корен е равен на повишаване на число до противоположната степен (1 / n). Тоест, квадратният корен е степента ½ (или 0,5).

Например:

• четвъртият корен от 16 е 16 към степента ¼;
• куб корен от 64 = 64 до степен 1/3;

Има два начина да направите това в програма за електронни таблици:

1. Използване на функцията.
2. Използвайки иконата за степен „^“, въведете израза ръчно.

Извличане на корен от всяка степен с помощта на функция

1. Изберете желаната клетка и кликнете върху „Вмъкване на функция“ в раздела „Формули“.

   

2. Разгънете списъка под Категория, под Математика или Пълен азбучен списък, намерете функцията Степен.

   

   

3. В реда „Номер“ въведете номер (в нашия случай това е числото 64) или името на клетка, като щракнете върху нея веднъж.

   

4. В реда "Степен" въведете степента, до която искате да повдигнете корена (1/3).

   

   Важно! За да посочите знак за разделяне, трябва да използвате знака "/", а не стандартния знак за разделяне ":".

5. Кликнете върху „OK“ и резултатът от действието ще се появи в първоначално избраната клетка.

   

   

Забележка!За най -подробни инструкции със снимка за работа с функции вижте статията по -горе.

Извлечете корен от всяка степен, като използвате символа за степен "^"

Забележка!Степента може да бъде записана като дроб или като десетично число. Например дробът ¼ може да бъде записан като 0,25. За да отделите десети, стотни, хилядни и т.н., използвайте запетая, както е обичайно в математиката.

Примери за писане на изрази