Решаване на дробни рационални неравенства онлайн калкулатор. Решаване на неравенства с модул. Линейни неравенства. Решение, примери
Неравенство това е израз с, ≤ или ≥. Например 3x - 5 Решаването на неравенство означава намиране на всички стойности на променливите, за които това неравенство е вярно. Всяко от тези числа е решение на неравенството и множеството от всички такива решения е негово много решения... Извикват се неравенства, които имат еднакъв набор от решения еквивалентни неравенства.
Линейни неравенства
Принципите за решаване на неравенства са подобни на тези за решаване на уравнения.Принципи за решаване на неравенства
За всякакви реални числа a, b и c:
Принципът на добавяне на неравенства: Ако Принципът на умножение за неравенства: Ако 0 е вярно, тогава ac \u200b\u200bАко bc също е вярно.
Подобни твърдения се прилагат и за a ≤ b.
Когато двете страни на неравенството се умножат по отрицателно число, знакът на неравенството трябва да се обърне.
Извикват се неравенствата от първо ниво, както в пример 1 (по-долу) линейни неравенства.
Пример 1 Решете всяко от следните неравенства. След това изобразете много решения.
а) 3x - 5 б) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Решение
Всяко число по-малко от 11/5 е решение.
Наборът от решения е (x | x
За да проверим, можем да начертаем y 1 \u003d 3x - 5 и y 2 \u003d 6 - 2x. Тогава от това става ясно, че за x 
Наборът от решения е (x | x ≤ 1) или (-∞, 1]. Графиката за набор от решения е показана по-долу. 
Двойни неравенства
Когато две неравенства са свързани с дума и, илитогава се формира двойно неравенство... Двойно неравенство като
-3
и 2x + 5 ≤ 7
Наречен свързанизащото използва и... Писане -3 Двойни неравенства могат да бъдат решени, като се използват принципите на събиране и умножение на неравенствата.
Пример 2 Решаване -3 Решение Ние имаме
Наборът от решения (x | x ≤ -1 или x\u003e 3). Можем също да напишем решение, като използваме интервал и символ за асоциации или включвания на двата набора: (-∞ -1] (3, ∞). Графиката на набора от решения е показана по-долу. 
За да тествате, нарисувайте y 1 \u003d 2x - 5, y 2 \u003d -7 и y 3 \u003d 1. Обърнете внимание, че за (x | x ≤ -1 или x\u003e 3), y 1 ≤ y 2 или y 1\u003e y 3. 
Неравенства с абсолютна стойност (модул)
Понякога неравенствата съдържат модули. За разрешаването им се използват следните свойства.
За a\u003e 0 и алгебричен израз x:
| x | | x | \u003e a е еквивалентно на x или x\u003e a.
Подобни изявления за | x | ≤ a и | x | ≥ a.
Например,
| x | | у | ≥ 1 е еквивалентно на y ≤ -1 или y ≥ 1;
и | 2x + 3 | ≤ 4 е еквивалентно на -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.
Пример 4 Решете всяко от следните неравенства. Начертайте набора от решения.
а) | 3x + 2 | б) | 5 - 2x | ≥ 1
Решение
а) | 3x + 2 |
б) | 5 - 2x | ≥ 1
Наборът от решения е (x | x ≤ 2 или x ≥ 3) или (-∞, 2] Следващият пример използва такава скоба.
Нека запишем отговора: x ≥ -0,5 на интервали:
x ∈ [-0,5; + ∞)
Прочети: x принадлежи на интервала от минус 0,5, включително, до плюс безкрайност.
Безкрайността никога не може да бъде включена. Това не е число, а символ. Следователно в такива записи безкрайността винаги е в непосредствена близост до скоба.
Тази форма на нотация е удобна за сложни отговори, състоящи се от няколко интервала. Но - само за окончателните отговори. При междинни резултати, където се очаква по-нататъшно решение, е по-добре да се използва обичайната форма, под формата на просто неравенство. Ще се справим с това в съответните теми.
Популярни работни места с неравенства.
Самите линейни неравенства са прости. Затова често задачите се усложняват. Така че, за да мисля, че е необходимо. Не е много приятно, ако не сте свикнали.) Но полезно. Ще покажа примери за такива задачи. Не за вас да ги научите, това е ненужно. И за да не се страхувате при среща с подобни примери. Помислете малко - и всичко е просто!)
1. Намерете произволни две решения на неравенството 3x - 3< 0
Ако не е много ясно какво да правите, запомнете основното правило на математиката:
Ако не знаете какво е необходимо, направете каквото можете!)
х < 1
И какво? Нищо специално. Какво ни питат? От нас се иска да намерим две конкретни числа, които решават неравенството. Тези. отговаря на отговора. Две всякакви числа. Всъщност това е неудобно.) Няколко 0 и 0,5 са подходящи. Чифт -3 и -8. Да, тези двойки са безкрайни! Какъв е правилният отговор?!
Отговорът е: всичко! Всяка двойка числа, всяко по-малко от едно, би бил правилният отговор. Напишете това, което искате. Да вървим по-нататък.
2. Решаване на неравенството:
4x - 3 ≠ 0
Куестове в тази форма са редки. Но като спомагателни неравенства, когато намират ODZ например или когато намират областта на дефиниция на функция, те често се срещат. Такова линейно неравенство може да бъде решено като обикновено линейно уравнение. Само навсякъде, с изключение на знака "\u003d" ( по равно) поставете знака " ≠ " (не е равно). Така че ще стигнете до отговора със знак за неравенство:
х ≠ 0,75
В по-сложни примери е по-добре да се направи по различен начин. Направете неравенството равно. Като този:
4x - 3 = 0
Спокойно го решете, както сте научили, и получете отговора:
x \u003d 0,75
Основното нещо, в самия край, когато записвате окончателния отговор, е да не забравяте, че намерихме X, който дава равенство. И ние се нуждаем - неравенство. Следователно просто нямаме нужда от този X.) И трябва да го запишем с правилната икона:
х ≠ 0,75
Този подход води до по-малко грешки. Тези, които решават уравненията автоматично. А за тези, които не решават уравненията, неравенствата всъщност са безполезни ...) Друг пример за популярна задача:
3. Намерете най-малкото цяло число решение на неравенството:
3 (x - 1) < 5x + 9
Първо, просто решаваме неравенството. Отваряме скобите, прехвърляме ги, даваме подобни ... Получаваме:
х > - 6
Грешно!? Следваха ли знаците!? И зад знаците на членовете, и зад знака на неравенството ...
Отново се замислям. Трябва да намерим конкретно число, което да отговаря както на отговора, така и на условието "най-малкото цяло число".Ако не изгрее веднага, можете просто да вземете произволно число и да изчислите. Двама ли са повече от минус шест? Сигурен! Има ли подходящ по-малък брой? Разбира се. Например нулата е по-голяма от -6. И дори по-малко? Нуждаем се от възможно най-малкия! Минус три е повече от минус шест! Вече можете да схванете шаблона и да спрете да преминавате през номера глупаво, нали?)
Взимаме число по-близо до -6. Например -5. Отговорът се изпълнява, -5 > - 6. Можете ли да намерите друго число, по-малко от -5, но повече от -6? Можете например -5,5 ... Спри! Казват ни цялорешение! Не се търкаля -5,5! Минус шест? Ъ-ъ! Неравенството е строго, минус 6 е не по-малко от минус 6!
Така че правилният отговор е -5.
Надявам се всичко да е ясно при избора на стойност от общото решение. Друг пример:
4. Решаване на неравенството:
7 < 3x + 1 < 13
Как! Този израз се нарича тройно неравенство. Строго погледнато, това е стенография за система от неравенства. Но все пак трябва да решите такива тройни неравенства в някои задачи ... Решава се без никакви системи. За същите идентични трансформации.
Необходимо е да се опрости, да се доведе това неравенство до чист хх. Но ... Какво е къде да прехвърля!? Сега е моментът да запомните, че смяната наляво-надясно е съкратена форма първата идентична трансформация.
И пълната форма звучи така: Можете да добавите / извадите произволно число или израз от двете страни на уравнението (неравенство).
Тук има три части. Така че ние ще кандидатстваме идентични трансформации към трите части!
И така, нека се отървем от 1 в средата на неравенството. Извадете един от цялата средна част. За да предотвратим промяната на неравенството, изваждаме 1 от останалите две части. Като този:
7 -1< 3x + 1-1 < 13-1
6 < 3x < 12
Вече е по-добре, нали?) Остава да разделим и трите части на три:
2 < х < 4
Това е всичко. Това е отговорът. X може да бъде произволно число от две (без) до четири (без). Този отговор също се записва на интервали, като тези записи ще бъдат в квадратни неравенства. Там те са най-често срещаното нещо.
В края на урока ще повторя най-важното. Успехът в решаването на линейни неравенства зависи от способността за трансформиране и опростяване на линейни уравнения. Ако едновременно внимавайте за знака на неравенството, няма да има проблеми. Което е, което ви пожелавам. Няма проблем.)
Ако този сайт ви харесва ...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете нивото си. Тестване за незабавно валидиране. Учене - с интерес!)
можете да се запознаете с функции и производни.
