দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সংজ্ঞা প্রণয়ন কর। একটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়। অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা

শুধু। সূত্র এবং পরিষ্কার সহজ নিয়ম অনুযায়ী. প্রথম পর্যায়ে

আমাদের প্রদত্ত সমীকরণটি আনতে হবে স্ট্যান্ডার্ড ভিউ, অর্থাৎ দেখার জন্য:

যদি সমীকরণটি ইতিমধ্যেই এই ফর্মে আপনাকে দেওয়া হয়, তাহলে আপনাকে প্রথম পর্যায়টি করতে হবে না। সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ জিনিসটি সঠিক

সমস্ত সহগ নির্ধারণ করুন ক, খএবং গ.

দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড় খুঁজে বের করার সূত্র।

মূল চিহ্নের নিচের অভিব্যক্তিকে বলা হয় বৈষম্যমূলক . আপনি দেখতে পারেন, এক্স খুঁজে বের করতে, আমরা

ব্যবহার শুধুমাত্র a, b এবং c. সেগুলো. থেকে মতভেদ দ্বিঘাত সমীকরণ. শুধু সাবধানে ঢোকান

মান a, b এবং cএই সূত্র এবং গণনা মধ্যে. সঙ্গে বিকল্প তাদেরলক্ষণ!

উদাহরণ স্বরূপ, সমীকরণে:

ক =1; খ = 3; গ = -4.

মান প্রতিস্থাপন করুন এবং লিখুন:

উদাহরণ প্রায় সমাধান করা হয়েছে:

এই উত্তর.

সবচেয়ে সাধারণ ভুল হল মানগুলির লক্ষণগুলির সাথে বিভ্রান্তি ক, খএবং সঙ্গে. বরং প্রতিস্থাপন সহ

শিকড় গণনার সূত্রে নেতিবাচক মান। এখানে বিস্তারিত সূত্র সংরক্ষণ করে

নির্দিষ্ট সংখ্যা সহ। হিসেব-নিকেশের সমস্যা থাকলেই করুন!

ধরুন আমাদের নিম্নলিখিত উদাহরণটি সমাধান করতে হবে:

এখানে ক = -6; খ = -5; গ = -1

আমরা সমস্ত চিহ্ন এবং বন্ধনী সহ কিছু মিস না করে, সাবধানতার সাথে সমস্ত কিছু আঁকতে পারি:

প্রায়শই দ্বিঘাত সমীকরণগুলি কিছুটা আলাদা দেখায়। উদাহরণস্বরূপ, এই মত:

এখন ব্যবহারিক কৌশলগুলি নোট করুন যা নাটকীয়ভাবে ত্রুটির সংখ্যা হ্রাস করে।

প্রথম অভ্যর্থনা. আগে অলস হবেন না একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করাএটিকে আদর্শ আকারে আনুন।

এটার মানে কি?

ধরুন, কোন রূপান্তরের পরে, আপনি নিম্নলিখিত সমীকরণ পাবেন:

শিকড়ের সূত্র লিখতে তাড়াহুড়া করবেন না! আপনি প্রায় অবশ্যই মতভেদ মিশ্রিত হবে a, b এবং c.

সঠিকভাবে উদাহরণ তৈরি করুন। প্রথমে, x বর্গক্ষেত্র, তারপর একটি বর্গক্ষেত্র ছাড়া, তারপর একটি বিনামূল্যে সদস্য. এটার মত:

বিয়োগ থেকে মুক্তি পান। কিভাবে? আমাদের পুরো সমীকরণটিকে -1 দ্বারা গুণ করতে হবে। আমরা পেতে:

এবং এখন আপনি নিরাপদে শিকড়গুলির জন্য সূত্রটি লিখতে পারেন, বৈষম্যকারী গণনা করতে পারেন এবং উদাহরণটি সম্পূর্ণ করতে পারেন।

নিজেই সিদ্ধান্ত নিন। আপনার শিকড় 2 এবং -1 দিয়ে শেষ হওয়া উচিত।

দ্বিতীয় অভ্যর্থনা।আপনার শিকড় পরীক্ষা করুন! দ্বারা ভিয়েতার উপপাদ্য.

প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করতে, যেমন যদি সহগ

x2+bx+c=0,

তারপরx 1 x 2 =c

x1 +x2 =−খ

একটি সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য যার মধ্যে a≠1:

x 2 +খx+গ=0,

পুরো সমীকরণটি দ্বারা ভাগ করুন একটি:

→ →

কোথায় x 1এবং এক্স 2 - সমীকরণের মূল।

অভ্যর্থনা তৃতীয়. যদি আপনার সমীকরণে ভগ্নাংশের সহগ থাকে তবে ভগ্নাংশগুলি থেকে মুক্তি পান! গুন করুন

একটি সাধারণ হর জন্য সমীকরণ.

উপসংহার। ব্যবহারিক টিপস:

1. সমাধান করার আগে, আমরা দ্বিঘাত সমীকরণটিকে আদর্শ আকারে নিয়ে আসি, এটি তৈরি করি অধিকার.

2. যদি বর্গক্ষেত্রে x-এর সামনে একটি ঋণাত্মক সহগ থাকে, তাহলে আমরা সবকিছুকে গুণ করে তা দূর করি

-1 এর সমীকরণ।

3. যদি সহগগুলি ভগ্নাংশ হয়, তাহলে আমরা সমস্ত সমীকরণটিকে সংশ্লিষ্ট দ্বারা গুণ করে ভগ্নাংশগুলিকে বাদ দিই

ফ্যাক্টর

4. যদি x বর্গক্ষেত্র খাঁটি হয়, তাহলে এর সহগ একের সমান হয়, সমাধানটি সহজেই পরীক্ষা করা যেতে পারে

ভিডিও পাঠ 2: দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা

বক্তৃতা: দ্বিঘাত সমীকরণ

সমীকরণটি

সমীকরণটি- এটি এক ধরণের সমতা, যার অভিব্যক্তিতে একটি পরিবর্তনশীল রয়েছে।

সমীকরণ সমাধান করুন- মানে একটি পরিবর্তনশীলের পরিবর্তে এমন একটি সংখ্যা খুঁজে বের করা যা এটিকে সঠিক সমতার দিকে নিয়ে যাবে।

একটি সমীকরণের একটি সমাধান থাকতে পারে, বা একাধিক, বা কোনটিই নয়।

যেকোন সমীকরণ সমাধান করতে, ফর্মটিতে যতটা সম্ভব সরলীকরণ করা উচিত:

রৈখিক: a*x = b;

বর্গক্ষেত্র: a*x 2 + b*x + c = 0।

অর্থাৎ, সমাধান করার আগে যেকোনো সমীকরণকে একটি আদর্শ ফর্মে রূপান্তর করতে হবে।

যেকোনো সমীকরণ দুটি উপায়ে সমাধান করা যেতে পারে: বিশ্লেষণাত্মক এবং গ্রাফিক্যাল।

গ্রাফে, সমীকরণের সমাধানকে সেই বিন্দু হিসাবে বিবেচনা করা হয় যেখানে গ্রাফটি x-অক্ষকে ছেদ করে।

দ্বিঘাত সমীকরণ

একটি সমীকরণকে দ্বিঘাত বলা যেতে পারে যদি, সরলীকৃত হলে, এটি রূপ নেয়:

a*x 2 + b*x + c = 0।

যার মধ্যে a, b, cশূন্য থেকে পৃথক সমীকরণের সহগ। কিন্তু "এক্স"- সমীকরণের মূল। এটা বিশ্বাস করা হয় যে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূল আছে বা এর কোনো সমাধান নাও থাকতে পারে। ফলে শিকড় একই হতে পারে।

"একটি"- সহগ যা বর্গক্ষেত্রে মূলের সামনে দাঁড়িয়ে আছে।

"খ"- প্রথম ডিগ্রিতে অজানার সামনে দাঁড়ায়।

"সঙ্গে"- সমীকরণের মুক্ত শব্দ।

যদি, উদাহরণস্বরূপ, আমাদের ফর্মের একটি সমীকরণ আছে:

2x 2 -5x+3=0

এতে, "2" হল সমীকরণের সর্বোচ্চ পদে সহগ, "-5" হল দ্বিতীয় সহগ এবং "3" হল মুক্ত পদ।

একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা

একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করার অনেক উপায় আছে। যাইহোক, স্কুলের গণিত কোর্সে, সমাধানটি ভিয়েটা উপপাদ্য ব্যবহার করে অধ্যয়ন করা হয়, পাশাপাশি বৈষম্যকারী ব্যবহার করে।

বৈষম্যমূলক সমাধান:

এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করে সমাধান করার সময়, সূত্রটি ব্যবহার করে বৈষম্যকারী গণনা করা প্রয়োজন:

যদি গণনার সময় আপনি পেয়ে থাকেন যে বৈষম্যকারী শূন্যের চেয়ে কম, এর মানে হল এই সমীকরণের কোনো সমাধান নেই।

যদি বৈষম্যকারী শূন্য হয়, তাহলে সমীকরণটির দুটি অভিন্ন সমাধান রয়েছে। এই ক্ষেত্রে, বহুপদকে সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র অনুসারে যোগফল বা পার্থক্যের বর্গক্ষেত্রে ভেঙে ফেলা যেতে পারে। তারপর একটি রৈখিক সমীকরণের মত সমাধান করুন। অথবা সূত্র ব্যবহার করুন:

যদি বৈষম্যকারী শূন্যের চেয়ে বেশি হয়, তাহলে নিম্নলিখিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করতে হবে:

ভিয়েতার উপপাদ্য

যদি সমীকরণটি হ্রাস করা হয়, অর্থাৎ সর্বোচ্চ পদে সহগ একের সমান হয়, তাহলে আপনি ব্যবহার করতে পারেন ভিয়েতার উপপাদ্য.

তাহলে ধরা যাক সমীকরণটি হল:

সমীকরণের মূলগুলি নিম্নরূপ পাওয়া যায়:

অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ

একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ পাওয়ার জন্য বেশ কয়েকটি বিকল্প রয়েছে, যার ফর্মটি সহগগুলির উপস্থিতির উপর নির্ভর করে।

1. যদি দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সহগ শূন্য হয় (b=0, c=0), তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণটি এরকম দেখাবে:

এই সমীকরণের একটি অনন্য সমাধান থাকবে। সমতা তখনই সত্য হবে যদি সমীকরণের সমাধান শূন্য হয়।

আমরা আপনাকে মনে করিয়ে দিচ্ছি যে সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণটি ফর্মের একটি সমীকরণ:

সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করা প্রদত্তগুলির চেয়ে একটু বেশি জটিল (একটু সামান্য)।

মনে রেখো, যে কোন দ্বিঘাত সমীকরণ বৈষম্যকারী ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে!

এমনকি অসম্পূর্ণ।

বাকি পদ্ধতিগুলি আপনাকে এটি দ্রুত করতে সাহায্য করবে, কিন্তু যদি আপনার দ্বিঘাত সমীকরণে সমস্যা থাকে, তাহলে প্রথমে বৈষম্যকারী ব্যবহার করে সমাধানটি আয়ত্ত করুন।

1. বৈষম্যকারী ব্যবহার করে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা।

এইভাবে দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করা খুব সহজ, প্রধান জিনিসটি কর্মের ক্রম এবং কয়েকটি সূত্র মনে রাখা।

যদি, তাহলে সমীকরণটির 2টি মূল আছে। ধাপ 2 বিশেষ মনোযোগ দিন।

বৈষম্যকারী D আমাদের সমীকরণের মূল সংখ্যা বলে।

• যদি, তাহলে ধাপে ফর্মুলা কমে যাবে। সুতরাং, সমীকরণের শুধুমাত্র একটি মূল থাকবে।
• যদি, তাহলে আমরা ধাপে ধাপে বৈষম্যকারীর মূল উত্তোলন করতে সক্ষম হব না। এটি ইঙ্গিত দেয় যে সমীকরণটির কোন শিকড় নেই।

চতুর্ভুজ সমীকরণের জ্যামিতিক অর্থের দিকে ফিরে আসা যাক।

ফাংশনের গ্রাফ একটি প্যারাবোলা:

আসুন আমাদের সমীকরণে ফিরে যাই এবং কয়েকটি উদাহরণ দেখি।

উদাহরণ 9

সমীকরণটি সমাধান করুন

ধাপ 1এড়িয়ে যান

ধাপ ২

বৈষম্যকারীর সন্ধান করা:

সুতরাং সমীকরণ দুটি মূল আছে.

ধাপ 3

উত্তর:

উদাহরণ 10

সমীকরণটি সমাধান করুন

সমীকরণটি প্রমিত আকারে, তাই ধাপ 1এড়িয়ে যান

ধাপ ২

বৈষম্যকারীর সন্ধান করা:

সুতরাং সমীকরণ একটি মূল আছে.

উত্তর:

উদাহরণ 11

সমীকরণটি সমাধান করুন

সমীকরণটি প্রমিত আকারে, তাই ধাপ 1এড়িয়ে যান

ধাপ ২

বৈষম্যকারীর সন্ধান করা:

এর মানে আমরা বৈষম্যকারীর কাছ থেকে মূল বের করতে সক্ষম হব না। সমীকরণের কোন শিকড় নেই।

এখন আমরা জানি কিভাবে এই ধরনের উত্তর সঠিকভাবে লিখতে হয়।

উত্তর:কোন শিকড়

2. ভিয়েটা উপপাদ্য ব্যবহার করে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা

আপনি যদি মনে রাখবেন, তাহলে এমন এক ধরণের সমীকরণ রয়েছে যাকে হ্রাস করা হয় (যখন a সহগ সমান হয়):

এই ধরনের সমীকরণগুলি ভিয়েতার উপপাদ্য ব্যবহার করে সমাধান করা খুব সহজ:

মূলের সমষ্টি দেওয়াদ্বিঘাত সমীকরণ সমান, এবং মূলের গুণফল সমান।

আপনাকে শুধু একটি জোড়া সংখ্যা বেছে নিতে হবে যার গুণফলটি সমীকরণের মুক্ত পদের সমান, এবং যোগফলটি বিপরীত চিহ্নের সাথে নেওয়া দ্বিতীয় সহগের সমান।

উদাহরণ 12

সমীকরণটি সমাধান করুন

এই সমীকরণ Vieta এর উপপাদ্য ব্যবহার করে সমাধানের জন্য উপযুক্ত, কারণ .

সমীকরণের মূলের যোগফল হল, i.e. আমরা প্রথম সমীকরণ পাই:

এবং পণ্য হল:

চলুন সিস্টেম তৈরি এবং সমাধান করা যাক:

• এবং. যোগফল হল;
• এবং. যোগফল হল;
• এবং. পরিমাণ সমান।

এবং সিস্টেমের সমাধান:

উত্তর: ; .

উদাহরণ 13

সমীকরণটি সমাধান করুন

উত্তর:

উদাহরণ 14

সমীকরণটি সমাধান করুন

সমীকরণটি হ্রাস পেয়েছে, যার অর্থ:

উত্তর:

দ্বিঘাত সমীকরণ. গড় স্তর

দ্বিঘাত সমীকরণ কি?

অন্য কথায়, একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হল ফর্মের একটি সমীকরণ, যেখানে - অজানা, - কিছু সংখ্যা, অধিকন্তু।

সংখ্যাটিকে সর্বোচ্চ বা বলা হয় প্রথম সহগদ্বিঘাত সমীকরণ, - দ্বিতীয় সহগ, ক - বিনামূল্যে সদস্য.

কারণ যদি, সমীকরণ অবিলম্বে রৈখিক হয়ে যাবে, কারণ অদৃশ্য হবে.

এই ক্ষেত্রে, এবং শূন্য সমান হতে পারে. এই চেয়ার সমীকরণ বলা হয় অসম্পূর্ণ.

যদি সমস্ত পদ যথাস্থানে থাকে, অর্থাৎ সমীকরণ - সম্পূর্ণ.

অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি

শুরুতে, আমরা অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করার পদ্ধতিগুলি বিশ্লেষণ করব - সেগুলি আরও সহজ।

নিম্নলিখিত ধরণের সমীকরণগুলিকে আলাদা করা যেতে পারে:

I., এই সমীকরণে সহগ এবং মুক্ত পদ সমান।

২. , এই সমীকরণে সহগ সমান।

III. , এই সমীকরণে মুক্ত শব্দটি সমান।

এখন এই সাবটাইপের প্রতিটির সমাধান বিবেচনা করুন।

স্পষ্টতই, এই সমীকরণের সর্বদা একটি মাত্র মূল থাকে:

একটি সংখ্যার বর্গ ঋণাত্মক হতে পারে না, কারণ দুটি ঋণাত্মক বা দুটি ধনাত্মক সংখ্যাকে গুণ করার সময় ফলাফলটি সর্বদা একটি ধনাত্মক সংখ্যা হবে। এই জন্য:

যদি, তাহলে সমীকরণের কোন সমাধান নেই;

যদি আমাদের দুটি শিকড় থাকে

এই সূত্রগুলো মুখস্থ করার দরকার নেই। মনে রাখা প্রধান জিনিস এটি কম হতে পারে না।

দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের উদাহরণ

উদাহরণ 15

উত্তর:

একটি নেতিবাচক চিহ্ন সঙ্গে শিকড় সম্পর্কে ভুলবেন না!

উদাহরণ 16

একটি সংখ্যার বর্গ ঋণাত্মক হতে পারে না, যার অর্থ হল সমীকরণ

কোন শিকড়

সংক্ষেপে লিখতে যে সমস্যার কোন সমাধান নেই, আমরা খালি সেট আইকন ব্যবহার করি।

উত্তর:

উদাহরণ 17

সুতরাং, এই সমীকরণের দুটি মূল রয়েছে: এবং।

উত্তর:

বন্ধনী থেকে সাধারণ ফ্যাক্টরটি নেওয়া যাক:

গুণনীয়কগুলির মধ্যে অন্তত একটি শূন্যের সমান হলে গুণফলটি শূন্যের সমান। এর মানে হল যে সমীকরণের একটি সমাধান আছে যখন:

সুতরাং, এই দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূল রয়েছে: এবং।

উদাহরণ:

সমীকরণটি সমাধান করুন।

সমাধান:

আমরা সমীকরণের বাম দিকে ফ্যাক্টরাইজ করি এবং শিকড়গুলি খুঁজে পাই:

উত্তর:

সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি

1. বৈষম্যমূলক

এইভাবে দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করা সহজ, প্রধান জিনিসটি কর্মের ক্রম এবং কয়েকটি সূত্র মনে রাখা। মনে রাখবেন, বৈষম্যকারী ব্যবহার করে যেকোনো দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা যেতে পারে! এমনকি অসম্পূর্ণ।

আপনি কি মূল সূত্রে বৈষম্যকারীর মূল লক্ষ্য করেছেন?

কিন্তু বৈষম্যকারী নেতিবাচক হতে পারে।

কি করো?

আমাদের ২য় ধাপে বিশেষ মনোযোগ দিতে হবে। বৈষম্যকারী আমাদের সমীকরণের মূল সংখ্যা বলে।

• যদি, তাহলে সমীকরণটির একটি মূল আছে:
• যদি, তাহলে সমীকরণের একই রুট আছে, কিন্তু আসলে, একটি রুট:

  এই জাতীয় শিকড়কে ডাবল রুট বলা হয়।

• যদি, তাহলে বৈষম্যকারীর মূল নিষ্কাশন করা হয় না। এটি ইঙ্গিত দেয় যে সমীকরণটির কোন শিকড় নেই।

কেন বিভিন্ন সংখ্যা শিকড় আছে?

চতুর্ভুজ সমীকরণের জ্যামিতিক অর্থের দিকে ফিরে আসা যাক। ফাংশনের গ্রাফ একটি প্যারাবোলা:

একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে, যা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ, .

এবং এর অর্থ হল দ্বিঘাত সমীকরণের মূলগুলি হল x-অক্ষ (অক্ষ) এর সাথে ছেদ বিন্দু।

প্যারাবোলা মোটেও অক্ষ অতিক্রম করতে পারে না, বা এটি একটি (যখন প্যারাবোলার শীর্ষ অক্ষের উপর থাকে) বা দুটি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে।

উপরন্তু, সহগ প্যারাবোলার শাখাগুলির দিকনির্দেশের জন্য দায়ী। যদি, তাহলে প্যারাবোলার শাখাগুলি উপরের দিকে নির্দেশিত হয়, এবং যদি - তাহলে নীচের দিকে।

দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের 4টি উদাহরণ

উদাহরণ 18

উত্তর:

উদাহরণ 19

উত্তর: .

উদাহরণ 20

উত্তর:

উদাহরণ 21

এর মানে কোন সমাধান নেই।

উত্তর: .

2. ভিয়েটার উপপাদ্য

ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করা খুবই সহজ।

তোমার যা দরকার তা হল কুড়ানএই ধরনের একটি জোড়া সংখ্যা, যার গুণফল সমীকরণের মুক্ত পদের সমান এবং যোগফলটি বিপরীত চিহ্নের সাথে নেওয়া দ্বিতীয় সহগের সমান।

এটা মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ যে Vieta এর উপপাদ্য শুধুমাত্র প্রয়োগ করা যেতে পারে প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণ ()।

আসুন কয়েকটি উদাহরণ দেখি:

উদাহরণ 22

সমীকরণটি সমাধান করুন।

সমাধান:

এই সমীকরণ Vieta এর উপপাদ্য ব্যবহার করে সমাধানের জন্য উপযুক্ত, কারণ . অন্যান্য সহগ: ; .

সমীকরণের মূলের যোগফল হল:

এবং পণ্য হল:

আসুন এই জাতীয় জোড়া সংখ্যা নির্বাচন করি, যার গুণফল সমান, এবং তাদের যোগফল সমান কিনা তা পরীক্ষা করি:

• এবং. যোগফল হল;
• এবং. যোগফল হল;
• এবং. পরিমাণ সমান।

এবং সিস্টেমের সমাধান:

এইভাবে, এবং আমাদের সমীকরণের মূল।

উত্তর: ; .

উদাহরণ 23

সমাধান:

আমরা সংখ্যার এই ধরনের জোড়া নির্বাচন করি যেগুলি পণ্যে দেয় এবং তারপরে তাদের যোগফল সমান কিনা তা পরীক্ষা করি:

এবং: মোট দিন।

এবং: মোট দিন। এটি পেতে, আপনাকে কেবল অভিযুক্ত শিকড়ের লক্ষণগুলি পরিবর্তন করতে হবে: এবং, সর্বোপরি, পণ্যটি।

উত্তর:

উদাহরণ 24

সমাধান:

সমীকরণের মুক্ত শব্দটি ঋণাত্মক, এবং তাই মূলের গুণফল একটি ঋণাত্মক সংখ্যা। এটি কেবল তখনই সম্ভব যখন একটি শিকড় নেতিবাচক এবং অন্যটি ইতিবাচক। তাই মূলের যোগফল তাদের মডিউলের পার্থক্য.

আমরা এই জাতীয় জোড়া সংখ্যা নির্বাচন করি যা পণ্যে দেয় এবং যার পার্থক্য সমান:

এবং: তাদের পার্থক্য হল - উপযুক্ত নয়;

এবং: - উপযুক্ত নয়;

এবং: - উপযুক্ত নয়;

এবং: - উপযুক্ত। এটি শুধুমাত্র মনে রাখা অবশেষ যে একটি শিকড় নেতিবাচক। যেহেতু তাদের যোগফল অবশ্যই সমান হতে হবে, তাহলে মূল, যা পরম মান থেকে ছোট, অবশ্যই ঋণাত্মক হতে হবে: আমরা পরীক্ষা করি:

উত্তর:

উদাহরণ 25

সমীকরণটি সমাধান করুন।

সমাধান:

সমীকরণটি হ্রাস পেয়েছে, যার অর্থ:

মুক্ত শব্দটি ঋণাত্মক, এবং তাই মূলের গুণফলটি ঋণাত্মক। এবং এটি তখনই সম্ভব যখন সমীকরণের একটি মূল ঋণাত্মক এবং অন্যটি ধনাত্মক।

আমরা সংখ্যার এই ধরনের জোড়া নির্বাচন করি যার গুণফল সমান, এবং তারপর নির্ধারণ করি কোন শিকড়গুলির একটি নেতিবাচক চিহ্ন থাকা উচিত:

স্পষ্টতই, শুধুমাত্র শিকড় এবং প্রথম অবস্থার জন্য উপযুক্ত:

উত্তর:

উদাহরণ 26

সমীকরণটি সমাধান করুন।

সমাধান:

সমীকরণটি হ্রাস পেয়েছে, যার অর্থ:

মূলের যোগফল ঋণাত্মক, যার মানে অন্তত একটি মূল ঋণাত্মক। কিন্তু যেহেতু তাদের পণ্য ইতিবাচক, এর মানে উভয় শিকড় বিয়োগ।

আমরা এই জাতীয় জোড়া সংখ্যা নির্বাচন করি, যার গুণফল সমান:

স্পষ্টতই, শিকড় হল সংখ্যা এবং.

উত্তর:

সম্মত হন, এটি খুব সুবিধাজনক - এই বাজে বৈষম্যকে গণনা করার পরিবর্তে মৌখিকভাবে শিকড় উদ্ভাবন করা।

যতবার সম্ভব ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করার চেষ্টা করুন!

কিন্তু ভিয়েটা উপপাদ্য প্রয়োজন যাতে শিকড় খোঁজার সুবিধা এবং গতি বাড়ানো যায়।

এটি ব্যবহার করা আপনার পক্ষে লাভজনক করতে, আপনাকে অবশ্যই ক্রিয়াগুলিকে স্বয়ংক্রিয়তায় আনতে হবে। এবং এর জন্য আরও পাঁচটি উদাহরণ সমাধান করুন।

কিন্তু প্রতারণা করবেন না: আপনি বৈষম্যকারী ব্যবহার করতে পারবেন না! শুধু ভিয়েতার উপপাদ্য!

স্ব-অধ্যয়নের জন্য ভিয়েটার উপপাদ্যের 5টি উদাহরণ

উদাহরণ 27

টাস্ক 1। ((x)^(2))-8x+12=0

ভিয়েতার উপপাদ্য অনুসারে:

যথারীতি, আমরা পণ্যটি দিয়ে নির্বাচন শুরু করি:

উপযুক্ত নয় কারণ পরিমাণ;

: পরিমাণ আপনার প্রয়োজন কি.

উত্তর: ; .

উদাহরণ 28

টাস্ক 2।

এবং আবার, আমাদের প্রিয় ভিয়েটা উপপাদ্য: যোগফল কাজ করা উচিত, কিন্তু পণ্য সমান।

কিন্তু যেহেতু এটি হওয়া উচিত নয়, কিন্তু, আমরা শিকড়ের লক্ষণগুলি পরিবর্তন করি: এবং (মোট)।

উত্তর: ; .

উদাহরণ 29

টাস্ক 3।

হুম... এটা কোথায়?

একটি অংশে সমস্ত শর্ত স্থানান্তর করা প্রয়োজন:

মূলের যোগফল গুণফলের সমান।

হ্যাঁ, থামুন! সমীকরণ দেওয়া হয় না।

কিন্তু ভিয়েতার উপপাদ্য শুধুমাত্র প্রদত্ত সমীকরণে প্রযোজ্য।

তাই প্রথমে আপনাকে সমীকরণ আনতে হবে।

আপনি যদি এটি আনতে না পারেন তবে এই ধারণাটি বাদ দিন এবং এটি অন্য উপায়ে সমাধান করুন (উদাহরণস্বরূপ, বৈষম্যকারীর মাধ্যমে)।

আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ আনার অর্থ হল অগ্রণী সহগকে সমান করা:

তারপর মূলের যোগফল সমান, এবং গুণফল।

এখানে বাছাই করা সহজ: সর্বোপরি - একটি মৌলিক সংখ্যা (টাউটোলজির জন্য দুঃখিত)।

উত্তর: ; .

উদাহরণ 30

টাস্ক 4।

মুক্ত শব্দটি নেতিবাচক।

এটা সম্পর্কে এত বিশেষ কি?

এবং শিকড় বিভিন্ন লক্ষণ হবে যে সত্য।

এবং এখন, নির্বাচনের সময়, আমরা শিকড়ের যোগফল পরীক্ষা করি না, তবে তাদের মডিউলগুলির মধ্যে পার্থক্য: এই পার্থক্যটি সমান, তবে পণ্য।

সুতরাং, শিকড় সমান এবং, কিন্তু তাদের মধ্যে একটি বিয়োগ সহ।

ভিয়েতার উপপাদ্য আমাদের বলে যে মূলের যোগফল বিপরীত চিহ্ন সহ দ্বিতীয় সহগের সমান, অর্থাৎ।

এর মানে হল যে ছোট রুটের একটি বিয়োগ থাকবে: এবং, যেহেতু।

উত্তর: ; .

উদাহরণ 31

টাস্ক 5।

প্রথমে কি করা দরকার?

এটা ঠিক, সমীকরণ দিন:

আবার: আমরা সংখ্যার গুণক নির্বাচন করি, এবং তাদের পার্থক্য সমান হওয়া উচিত:

শিকড় সমান এবং, কিন্তু তাদের মধ্যে একটি বিয়োগ। কোনটি? তাদের যোগফল অবশ্যই সমান হতে হবে, যার মানে একটি বিয়োগের সাথে একটি বড় মূল থাকবে।

উত্তর: ; .

সারসংক্ষেপ

1. ভিয়েতার উপপাদ্যটি শুধুমাত্র প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণে ব্যবহৃত হয়।
2. ভিয়েটা উপপাদ্য ব্যবহার করে, আপনি মৌখিকভাবে নির্বাচনের মাধ্যমে শিকড় খুঁজে পেতে পারেন।
3. যদি সমীকরণটি দেওয়া না হয় বা মুক্ত শব্দের কারণগুলির কোনও উপযুক্ত জোড়া পাওয়া যায় না, তবে কোনও পূর্ণসংখ্যার মূল নেই এবং আপনাকে এটি অন্য উপায়ে সমাধান করতে হবে (উদাহরণস্বরূপ, বৈষম্যকারীর মাধ্যমে)।

3. সম্পূর্ণ বর্গ নির্বাচন পদ্ধতি

যদি অজানা সম্বলিত সমস্ত পদগুলিকে সংক্ষিপ্ত গুণের সূত্র থেকে পদ হিসাবে উপস্থাপন করা হয় - যোগফল বা পার্থক্যের বর্গ - তাহলে চলকের পরিবর্তনের পরে, সমীকরণটিকে প্রকারের একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে।

উদাহরণ স্বরূপ:

উদাহরণ 32

সমীকরণটি সমাধান করুন:।

সমাধান:

উত্তর:

উদাহরণ 33

সমীকরণটি সমাধান করুন:।

সমাধান:

উত্তর:

সাধারণভাবে, রূপান্তরটি এই রকম হবে:

এই থেকেই বোঝা: .

এটা কি কিছু মনে করিয়ে দেয় না?

এটা বৈষম্যকারী! ঠিক এভাবেই বৈষম্যমূলক ফর্মুলা পাওয়া গেছে।

দ্বিঘাত সমীকরণ. প্রধান সম্পর্কে সংক্ষেপে

দ্বিঘাত সমীকরণফর্মের একটি সমীকরণ, যেখানে অজানা, দ্বিঘাত সমীকরণের সহগ, মুক্ত পদ।

দ্বিঘাত সমীকরণ সম্পূর্ণ করুন- একটি সমীকরণ যেখানে সহগগুলি শূন্যের সমান নয়৷

দ্বিঘাত সমীকরণ হ্রাস করা হয়েছে- একটি সমীকরণ যেখানে সহগ, সেটি হল: .

অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ- একটি সমীকরণ যেখানে সহগ এবং বা মুক্ত শব্দ c শূন্যের সমান:

• সহগ হলে, সমীকরণটির ফর্ম আছে: ,
• যদি একটি মুক্ত শব্দ হয়, সমীকরণটির ফর্ম আছে: ,
• যদি এবং, সমীকরণটির ফর্ম আছে:

1. অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম

1.1। ফর্মের একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ, যেখানে, :

1) অজানা প্রকাশ করুন: ,

2) অভিব্যক্তির চিহ্ন পরীক্ষা করুন:

• যদি, তাহলে সমীকরণের কোন সমাধান নেই,
• যদি, তাহলে সমীকরণটির দুটি মূল আছে।

1.2। ফর্মের একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ, যেখানে, :

1) বন্ধনী থেকে সাধারণ গুণনীয়কটি নেওয়া যাক: ,

2) গুণনীয়কগুলির মধ্যে অন্তত একটি শূন্যের সমান হলে গুণফলটি শূন্যের সমান। অতএব, সমীকরণ দুটি মূল আছে:

1.3। ফর্মের একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ, যেখানে:

এই সমীকরণের সর্বদা একটি মাত্র মূল থাকে:

2. ফর্মের সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম যেখানে

2.1। বৈষম্যকারী ব্যবহার করে সমাধান

1) আসুন সমীকরণটিকে আদর্শ আকারে নিয়ে আসি: ,

2) সূত্র ব্যবহার করে বৈষম্য গণনা করুন: , যা সমীকরণের মূল সংখ্যা নির্দেশ করে:

3) সমীকরণের মূল খুঁজুন:

• যদি, তাহলে সমীকরণটির একটি মূল আছে, যা সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়:
• যদি, তাহলে সমীকরণটির একটি মূল আছে, যা সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়:
• যদি, তাহলে সমীকরণটির কোনো শিকড় নেই।

2.2। ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে সমাধান

হ্রাসকৃত দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের যোগফল (ফর্মের একটি সমীকরণ, যেখানে) সমান, এবং মূলের গুণফল সমান, অর্থাৎ , ক.

2.3। সম্পূর্ণ বর্গাকার সমাধান

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সূত্র। বাস্তব, একাধিক এবং জটিল মূলের ক্ষেত্রে বিবেচনা করা হয়। একটি বর্গাকার ত্রিনামিকের ফ্যাক্টরাইজেশন। জ্যামিতিক ব্যাখ্যা। শিকড় এবং ফ্যাক্টরাইজেশন নির্ধারণের উদাহরণ।

বিষয়বস্তু

আরো দেখুন: অনলাইনে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা

মৌলিক সূত্র

দ্বিঘাত সমীকরণ বিবেচনা করুন:
(1) .
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়(1) সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:
; .
এই সূত্রগুলি এইভাবে একত্রিত করা যেতে পারে:
.
যখন দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়গুলি জানা যায়, তখন দ্বিতীয় ডিগ্রির বহুপদকে গুণনীয়ক (গুণিত) হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:
.

আরও, আমরা অনুমান করি যে এটি বাস্তব সংখ্যা।
বিবেচনা একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বৈষম্যকারী:
.
যদি বৈষম্যকারী ইতিবাচক হয়, তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণ (1) এর দুটি ভিন্ন বাস্তব মূল রয়েছে:
; .
তারপর বর্গাকার ত্রিনামিকের ফ্যাক্টরাইজেশনের ফর্ম রয়েছে:
.
যদি বৈষম্যকারী শূন্য হয়, তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণ (1) এর দুটি একাধিক (সমান) বাস্তব মূল রয়েছে:
.
ফ্যাক্টরাইজেশন:
.
যদি বৈষম্যকারী নেতিবাচক হয়, তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণ (1) এর দুটি জটিল সংযোজক মূল রয়েছে:
;
.
এখানে কাল্পনিক একক, ;
এবং মূলের বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ:
; .
তারপর

.

গ্রাফিক ব্যাখ্যা

যদি নির্মাণ করা হয় ফাংশন গ্রাফ
,
যা একটি প্যারাবোলা, তাহলে অক্ষের সাথে গ্রাফের ছেদ বিন্দুগুলি হবে সমীকরণের মূল
.
যখন , গ্রাফটি দুটি বিন্দুতে অ্যাবসিসা অক্ষ (অক্ষ) অতিক্রম করে ()।
যখন , গ্রাফটি x-অক্ষকে এক বিন্দুতে স্পর্শ করে ()।
যখন , গ্রাফটি x-অক্ষ () অতিক্রম করে না।

দ্বিঘাত সমীকরণ সম্পর্কিত দরকারী সূত্র

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়ের সূত্রের প্রাপ্তি

আমরা রূপান্তর করি এবং সূত্র প্রয়োগ করি (f.1) এবং (f.3):




,
কোথায়
; .

সুতরাং, আমরা ফর্মে দ্বিতীয় ডিগ্রির বহুপদীর সূত্র পেয়েছি:
.
এ থেকে দেখা যায় সমীকরণ

এ সঞ্চালিত
এবং .
যে, এবং দ্বিঘাত সমীকরণের মূল
.

দ্বিঘাত সমীকরণের মূল নির্ণয়ের উদাহরণ

উদাহরণ 1

(1.1) .

.
আমাদের সমীকরণ (1.1) এর সাথে তুলনা করে, আমরা সহগগুলির মান খুঁজে পাই:
.
বৈষম্যকারীর সন্ধান করা:
.
যেহেতু বৈষম্যকারী ইতিবাচক, সমীকরণটির দুটি আসল মূল রয়েছে:
;
;
.

এখান থেকে আমরা স্কোয়ার ট্রিনোমিয়ালের পচনকে ফ্যাক্টরগুলিতে পাই:

.

ফাংশনের গ্রাফ y = 2 x 2 + 7 x + 3দুটি বিন্দুতে x-অক্ষ অতিক্রম করে।

এর ফাংশন প্লট করা যাক
.
এই ফাংশনের গ্রাফটি একটি প্যারাবোলা। এটি দুটি বিন্দুতে x-অক্ষ (অক্ষ) অতিক্রম করে:
এবং .
এই পয়েন্টগুলি মূল সমীকরণের মূল (1.1)।

;
;
.

উদাহরণ 2

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল খুঁজুন:
(2.1) .

আমরা সাধারণ আকারে দ্বিঘাত সমীকরণ লিখি:
.
মূল সমীকরণ (2.1) এর সাথে তুলনা করে, আমরা সহগগুলির মান খুঁজে পাই:
.
বৈষম্যকারীর সন্ধান করা:
.
যেহেতু বৈষম্যকারী শূন্য, সমীকরণটির দুটি একাধিক (সমান) মূল রয়েছে:
;
.

তারপর ত্রিনয়কের ফ্যাক্টরাইজেশন ফর্ম আছে:
.

y = x ফাংশনের গ্রাফ 2 - 4 x + 4এক বিন্দুতে x-অক্ষ স্পর্শ করে।

এর ফাংশন প্লট করা যাক
.
এই ফাংশনের গ্রাফটি একটি প্যারাবোলা। এটি এক বিন্দুতে এক্স-অক্ষ (অক্ষ) স্পর্শ করে:
.
এই বিন্দুটি মূল সমীকরণের মূল (2.1)। যেহেতু এই মূলটি দুইবার ফ্যাক্টর করা হয়েছে:
,
তাহলে এই ধরনের মূলকে একাধিক বলা হয়। অর্থাৎ, তারা বিবেচনা করে যে দুটি সমান শিকড় রয়েছে:
.

;
.

উদাহরণ 3

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল খুঁজুন:
(3.1) .

আমরা সাধারণ আকারে দ্বিঘাত সমীকরণ লিখি:
(1) .
আসুন মূল সমীকরণটি পুনরায় লিখি (3.1):
.
(1) এর সাথে তুলনা করে, আমরা সহগগুলির মান খুঁজে পাই:
.
বৈষম্যকারীর সন্ধান করা:
.
বৈষম্যকারী নেতিবাচক, . অতএব, কোন বাস্তব শিকড় আছে.

আপনি জটিল শিকড় খুঁজে পেতে পারেন:
;
;
.

তারপর


.

ফাংশনের গ্রাফটি x-অক্ষ অতিক্রম করে না। কোন প্রকৃত শিকড় আছে.

এর ফাংশন প্লট করা যাক
.
এই ফাংশনের গ্রাফটি একটি প্যারাবোলা। এটি আবসিসা (অক্ষ) অতিক্রম করে না। অতএব, কোন বাস্তব শিকড় আছে.

কোন প্রকৃত শিকড় আছে. জটিল শিকড়:
;
;
.

আরো দেখুন:

”, অর্থাৎ প্রথম ডিগ্রির সমীকরণ। এই পাঠে, আমরা অন্বেষণ করব একটি দ্বিঘাত সমীকরণ কিএবং কিভাবে সমাধান করা যায়।

একটি দ্বিঘাত সমীকরণ কি

গুরুত্বপূর্ণ !

একটি সমীকরণের ডিগ্রী অজানাটি সর্বোচ্চ ডিগ্রী দ্বারা নির্ধারিত হয়।

অজানা দাঁড়ানো সর্বোচ্চ ডিগ্রী যদি "2" হয়, তাহলে আপনার একটি দ্বিঘাত সমীকরণ আছে।

দ্বিঘাত সমীকরণের উদাহরণ

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0

গুরুত্বপূর্ণ ! দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ রূপটি এইরকম দেখায়:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" এবং "c" - প্রদত্ত সংখ্যা।

• "a" - প্রথম বা সিনিয়র সহগ;
• "বি" - দ্বিতীয় সহগ;
• "c" একটি বিনামূল্যের সদস্য।

"a", "b" এবং "c" খুঁজে পেতে আপনাকে দ্বিঘাত সমীকরণ "ax 2 + bx + c \u003d 0" এর সাধারণ ফর্মের সাথে আপনার সমীকরণ তুলনা করতে হবে।

চলুন দ্বিঘাত সমীকরণে "a", "b" এবং "c" সহগ নির্ণয়ের অনুশীলন করি।

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

সমীকরণটি	মতভেদ
a=5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• গ =

  1

  3

x2 + 0.25x = 0

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

দ্বিঘাত সমীকরণ কিভাবে সমাধান করা যায়

অপছন্দ রৈখিক সমীকরণদ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে, একটি বিশেষ শিকড় খোঁজার সূত্র.

মনে রাখবেন!

একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে আপনার প্রয়োজন:

• দ্বিঘাত সমীকরণ আনুন সাধারণ দৃষ্টিকোণ"ax 2 + bx + c = 0"। যে, শুধুমাত্র "0" ডান দিকে থাকা উচিত;
• শিকড় জন্য সূত্র ব্যবহার করুন:

চতুর্মুখী সমীকরণের শিকড় খুঁজে বের করার জন্য সূত্রটি কীভাবে প্রয়োগ করা যায় তা বোঝার জন্য একটি উদাহরণ ব্যবহার করা যাক। চলুন দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি।

X 2 - 3x - 4 = 0

"x 2 - 3x - 4 = 0" সমীকরণটি ইতিমধ্যেই সাধারণ ফর্ম "ax 2 + bx + c = 0" এ হ্রাস করা হয়েছে এবং অতিরিক্ত সরলীকরণের প্রয়োজন নেই। এটি সমাধান করার জন্য, আমাদের শুধুমাত্র আবেদন করতে হবে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল খুঁজে বের করার সূত্র.

এই সমীকরণের জন্য সহগ "a", "b" এবং "c" সংজ্ঞায়িত করা যাক।

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

এর সাহায্যে যেকোনো দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা হয়।

সূত্রে "x 1; 2 \u003d" মূল অভিব্যক্তি প্রায়ই প্রতিস্থাপিত হয়
"b 2 − 4ac" অক্ষরটিকে "D" এবং বলা হয় বৈষম্যমূলক। বৈষম্যকারীর ধারণাটি "বৈষম্যকারী কী" পাঠে আরও বিশদে আলোচনা করা হয়েছে।

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের আরেকটি উদাহরণ বিবেচনা করুন।

x 2 + 9 + x = 7x

এই ফর্মে, "a", "b", এবং "c" সহগ নির্ধারণ করা বরং কঠিন। প্রথমে সমীকরণটিকে সাধারণ ফর্মে নিয়ে আসি "ax 2 + bx + c \u003d 0"।

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

এখন আপনি শিকড় জন্য সূত্র ব্যবহার করতে পারেন.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
উত্তরঃ x = 3

এমন কিছু সময় আছে যখন দ্বিঘাত সমীকরণে কোনো শিকড় থাকে না। এই পরিস্থিতিটি ঘটে যখন মূলের নীচে সূত্রে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা উপস্থিত হয়।