পরীক্ষার পরীক্ষায় জটিল সূচকীয় সমীকরণ সমাধান করা। সূচকীয় সমীকরণ লোগারিদম পদ্ধতি। একটি স্থিতিশীল অভিব্যক্তি হাইলাইট করা
আমার কথায় ভয় পাবেন না, আপনি ইতিমধ্যে 7 ম শ্রেণিতে এই পদ্ধতিটি জুড়ে এসেছেন যখন আপনি বহুবর্ষগুলি অধ্যয়ন করেছেন।
উদাহরণস্বরূপ, আপনার যদি প্রয়োজন হয়:
আসুন এটি ভাগ করে নিন: প্রথম এবং তৃতীয় পদ, পাশাপাশি দ্বিতীয় এবং চতুর্থ।
এটি পরিষ্কার যে প্রথম এবং তৃতীয়টি স্কোয়ারের পার্থক্য:
এবং দ্বিতীয় এবং চতুর্থ তিনটির একটি সাধারণ কারণ রয়েছে:
তারপরে মূল ভাবটি এর সমান:
সাধারণ বিষয়টিকে কোথায় নিয়ে যাওয়া এখন আর কঠিন নয়:
অতএব,
ঘনিষ্ঠ সমীকরণগুলি সমাধান করার সময় আমরা এটি কীভাবে কাজ করব: পদগুলির মধ্যে "সাধারণতা" সন্ধান করুন এবং এটি বন্ধনীগুলির বাইরে রেখে দিন well তবে যা-ই আসতে পারে, আমি বিশ্বাস করি যে আমরা ভাগ্যবান হব \u003d))
উদাহরণ নং 14
ডানদিকে সাত ডিগ্রি থেকে অনেক দূরে (আমি এটি চেক করেছি!) এবং বাম দিকে - আরও ভাল নয় ...
আপনি অবশ্যই প্রথম পদ থেকে দ্বিতীয় থেকে গুণককে "কাটা" করতে পারেন, এবং তারপরে ফলাফলটি মোকাবেলা করতে পারেন, তবে আসুন আপনার সাথে এটি আরও সংবেদনশীলভাবে করা উচিত।
আমি ভগ্নাংশের সাথে মোকাবিলা করতে চাই না, যা অনিবার্যভাবে "নির্বাচন" থেকে আসে, তাই আমার পক্ষে সহ্য করা কি ভাল হবে না?
তাহলে আমার ভগ্নাংশ থাকবে না: যেমন তারা বলে, নেকড়েদের খাওয়ানো হয় এবং মেষগুলি নিরাপদ:
বন্ধনীতে এক্সপ্রেশন গণনা করুন।
একটি যাদুকরী, যাদুকরী উপায়ে, এটি সক্রিয় যে (আশ্চর্যজনক, যদিও আমরা আরও কি আশা করতে পারি?)।
তারপরে আমরা এই ফ্যাক্টর দ্বারা সমীকরণের উভয় পক্ষ বাতিল করি। আমরা পেয়েছি:, কোথা থেকে।
এখানে আরও জটিল উদাহরণ (বেশ খানিকটা সত্যই):
কী কষ্ট! আমাদের এখানে একটি সাধারণ ভিত্তি নেই!
এখন কী করা যায় তা পুরোপুরি পরিষ্কার নয়।
আসুন আমরা যা করতে পারি তা করতে দিন: প্রথমে আসুন "চারটি" একদিকে এবং অন্যদিকে "পাঁচটি" সরান:
এখন আসুন "সাধারণ" বাম এবং ডানদিকে সরানো যাক:
এখন কি?
এরকম বোকা গোষ্ঠীর কী লাভ? প্রথম নজরে, এটি মোটেও দৃশ্যমান নয়, তবে আরও গভীরভাবে দেখি:
ঠিক আছে, এখন এটি তৈরি করা যাক যাতে বাম দিকে আমাদের সাথে এবং ডানদিকে - সমস্ত কিছুর সাথে কেবল প্রকাশ থাকে।
আমরা এটা কিভাবে করব?
এখানে কীভাবে: সমীকরণের উভয় দিককে আগে ভাগ করুন (এইভাবে আমরা ডানদিকে ডিগ্রিটি পরিত্রাণ পেতে পারি) এবং তারপরে উভয় পক্ষকে বিভাজন করুন (এইভাবে আমরা বামে সংখ্যাসূচক ফ্যাক্টর থেকে মুক্তি পাবো)।
আমরা শেষ পর্যন্ত:
অবিশ্বাস্য!
বাম দিকে আমাদের একটি এক্সপ্রেশন আছে এবং ডানদিকে আমাদের একটি সাধারণ আছে।
তারপরে আমরা তাৎক্ষণিকভাবে এটি শেষ করি
15 নং উদাহরণ
আমি তার সংক্ষিপ্ত সমাধানটি দেব (ব্যাখ্যা দিয়ে খুব বেশি বিরক্ত না করে) সমাধানের সমস্ত "সূক্ষ্মতা" নিজেই বের করার চেষ্টা করব।
এখন পাস করা উপাদান চূড়ান্ত একীকরণ।
নিম্নলিখিত 7 টি সমস্যা স্বতন্ত্রভাবে সমাধান করা (উত্তর সহ)
- আসুন বন্ধনীগুলির বাইরে সাধারণ উপাদানটি নেওয়া যাক:
- আমরা ফর্মটিতে প্রথম প্রকাশটি উপস্থাপন করি:, উভয় অংশকে বিভক্ত করে তা পেয়ে যাই
- , তারপরে আসল সমীকরণটি ফর্মে রূপান্তরিত হয়েছে: ঠিক আছে, এখন একটি ইঙ্গিত - আপনি এবং আমি ইতিমধ্যে এই সমীকরণটি কোথায় সমাধান করেছেন তা সন্ধান করুন!
- কীভাবে, কীভাবে, এবং ভালভাবে কল্পনা করুন, তারপরে উভয় অংশকে ভাগ করে নিন, যাতে আপনি সরল সূচকীয় সমীকরণ পান।
- বন্ধনীগুলি বের করুন।
- বন্ধনীগুলি বের করুন।
বর্ণনামূলক মূল্যায়ন। মধ্যম স্তর
আমি ধরে নিলাম যে প্রথম নিবন্ধটি পড়ার পরে বলেছিল ক্ষতিকারক সমীকরণগুলি কী কী এবং সেগুলি কীভাবে সমাধান করা যায়, আপনি সহজতম উদাহরণগুলি সমাধান করার জন্য প্রয়োজনীয় ন্যূনতম জ্ঞান অর্জনে আয়ত্ত করেছেন।
এখন আমি সূচকীয় সমীকরণগুলি সমাধানের জন্য অন্য একটি পদ্ধতি বিশ্লেষণ করব, এটি ...
নতুন পরিবর্তনশীল (বা প্রতিস্থাপন) প্রবর্তনের পদ্ধতি
তিনি সূচকীয় সমীকরণ (এবং কেবল সমীকরণই নয়) বিষয়টির বেশিরভাগ "কঠিন" সমস্যার সমাধান করেন।
এই পদ্ধতি একটি প্রায়শই অনুশীলনে ব্যবহৃত হয়। প্রথমত, আমি আপনাকে এই বিষয়ের সাথে নিজেকে পরিচিত করার পরামর্শ দিচ্ছি।
আপনি ইতিমধ্যে নামটি থেকে বুঝতে পেরেছেন, এই পদ্ধতির সারমর্মটি হ'ল পরিবর্তনশীলের এমন একটি পরিবর্তন প্রবর্তন করা যা আপনার ঘনিষ্ঠ সমীকরণটি অলৌকিকভাবে এমন একটিতে রূপান্তরিত করে যা আপনি সহজেই সমাধান করতে পারেন।
এই "সরলীকৃত সমীকরণ" সমাধান করার পরে যা কিছু আপনার কাছে বাকী রয়েছে তা হ'ল "বিপরীত প্রতিস্থাপন": যা প্রতিস্থাপন থেকে প্রতিস্থাপনটিতে ফিরে আসা to
আসুন আমরা খুব সাধারণ উদাহরণ দিয়ে কী বলেছি তা বর্ণনা করুন:
উদাহরণ 16. সহজ প্রতিস্থাপন পদ্ধতি
এই সমীকরণটি ব্যবহার করে সমাধান করা হয় "সরল প্রতিস্থাপন"গণিতবিদরা যেমন এটাকে কলঙ্কজনকভাবে ডাকে।
প্রকৃতপক্ষে, প্রতিস্থাপন এখানে সর্বাধিক সুস্পষ্ট। একজনকে কেবল এটি দেখতে হবে
তারপরে মূল সমীকরণটি এতে রূপান্তরিত হবে:
আপনি যদি অতিরিক্তভাবে কীভাবে কল্পনা করেন তবে এটি কী পরিষ্কার প্রতিস্থাপন করা দরকার তা পুরোপুরি পরিষ্কার ...
অবশ্যই, .
তাহলে মূল সমীকরণটি কী রূপান্তরিত হবে? এবং এখানে কি:
আপনি সহজেই নিজের থেকে এটির শিকড়গুলি খুঁজে পেতে পারেন:।
আমাদের এখন কি করা উচিৎ?
আসল পরিবর্তনশীলটিতে ফিরে যাওয়ার সময় time
আমি কি ইঙ্গিত করতে ভুলে গেছি?
যথা: নতুন ভেরিয়েবলের সাথে কিছুটা ডিগ্রি প্রতিস্থাপন করার সময় (অর্থাত্ পরিবর্তনের সময়) আমি আগ্রহী হব কেবল ইতিবাচক শিকড়!
আপনি নিজেই কেন সহজে উত্তর দিতে পারেন।
সুতরাং, আপনি এবং আমি আগ্রহী নই, তবে দ্বিতীয় মূলটি আমাদের পক্ষে বেশ উপযুক্ত:
তারপর যেখানে.
উত্তর:
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, পূর্ববর্তী উদাহরণে প্রতিস্থাপনটি আমাদের হাত চাইছিল। দুর্ভাগ্যক্রমে, এটি সবসময় হয় না।
তবে আসুন আমরা সরাসরি দুঃখের দিকে না যাই, তবে মোটামুটি সহজ প্রতিস্থাপনের সাথে আরও একটি উদাহরণ দিয়ে অনুশীলন করি
উদাহরণ 17. সহজ প্রতিস্থাপন পদ্ধতি
এটা পরিষ্কার যে সম্ভবত এটি প্রতিস্থাপন করতে হবে (এটি আমাদের সমীকরণের অন্তর্ভুক্ত ডিগ্রির মধ্যে সবচেয়ে ছোট)।
তবে, প্রতিস্থাপন প্রবর্তনের আগে, আমাদের সমীকরণ অবশ্যই এটির জন্য "প্রস্তুত" হওয়া উচিত, যথা:,।
তারপরে আপনি প্রতিস্থাপন করতে পারেন, ফলস্বরূপ আমি নিম্নলিখিত প্রকাশটি পেয়েছি:
ওহ হরর: এর সমাধানের জন্য সম্পূর্ণ ক্রিপি সূত্রে একটি ঘন সমীকরণ (ভাল, সাধারণ ভাষায় বলছি)।
তবে আসুন এখনই হতাশ হবেন না, কী করবেন তা ভেবে দেখুন।
আমি প্রতারণার প্রস্তাব দেব: আমরা জানি যে "সুন্দর" উত্তর পেতে গেলে আমাদের এটি একটি ট্রিপলের কিছু শক্তির আকারে পাওয়া দরকার (কেন হবে, তাই?)।
আসুন আমাদের সমীকরণের কমপক্ষে একটি মূল অনুমান করার চেষ্টা করি (আমি তিনটি শক্তির সাথে অনুমান করা শুরু করব)।
প্রথম অনুমান। এটি মূল নয় is হায় ও আহ ...
.
বাম দিক সমান।
ডান অংশ:!
এখানে! আপনি প্রথম মূল অনুমান করেছেন। এখন জিনিস আরও সহজ হবে!
আপনি "কোণার" বিভাগ প্রকল্প সম্পর্কে জানেন? অবশ্যই আপনি জানেন যে আপনি এটি ব্যবহার করেছেন যখন আপনি একটি নম্বরকে অন্য দ্বারা বিভক্ত করেন।
তবে খুব কম লোকই জানেন যে বহুবর্ষ নিয়ে একই কাজ করা যায়।
একটি দুর্দান্ত উপপাদ্য রয়েছে:
আমার পরিস্থিতিতে প্রযোজ্য, এটি আমাকে কী দ্বারা ভাগ করা যায় তা বলে tells
বিভাগ কিভাবে পরিচালিত হয়? এভাবে:
আমি দেখতে পাই কোন একরকমটি পেতে আমাকে গুণ করতে হবে
এটি পরিষ্কার যে পরে,
এর ফলে ফলাফলটি বিয়োগ করুন, পান:
এখন আমার কী পেতে হবে?
এটি পরিষ্কার যে এর পরে, আমি পাব:
এবং আবার অবশিষ্টটি থেকে ফলাফলটি প্রকাশ করুন:
ঠিক আছে, শেষ পদক্ষেপটি, আমি গুণিত করব এবং বাকী বাক্যটি থেকে বিয়োগ করব:
হুররে, বিভাগ শেষ! আমরা কী গোপনে সংরক্ষণ করেছি?
নিজেই:।
তারপরে আমরা মূল বহুবর্ষের নিম্নলিখিত পচন পেয়েছি:
দ্বিতীয় সমীকরণটি সমাধান করা যাক:
এর শিকড় রয়েছে:
তারপরে মূল সমীকরণ:
তিনটি শিকড় রয়েছে:
এটি অবশ্যই শূন্যের চেয়ে কম হওয়ায় আমরা শেষের মূলটি বাতিল করব।
এবং বিপরীত প্রতিস্থাপনের পরে প্রথম দুটি আমাদের দুটি মূল দেবে:
উত্তর: ..
আমি এই উদাহরণ দিয়ে আপনাকে ভয় দেখাতে চাইনি!
বিপরীতে, আমার লক্ষ্যটি দেখানো ছিল যে আমাদের মোটামুটি সহজ প্রতিস্থাপন থাকা সত্ত্বেও এটি একটি জটিল সমীকরণের দিকে পরিচালিত করেছিল, যার সমাধানটি আমাদের কাছ থেকে কিছু বিশেষ দক্ষতার প্রয়োজন।
ঠিক আছে, কেউ এ থেকে রেহাই নেই। তবে এই ক্ষেত্রে প্রতিস্থাপনটি বেশ সুস্পষ্ট ছিল।
উদাহরণ # 18 (একটি স্বল্প প্রতিস্থাপন সহ)
আমাদের কী করা উচিত তা মোটেও পরিষ্কার নয়: সমস্যাটি হ'ল আমাদের সমীকরণে দুটি পৃথক ঘাঁটি রয়েছে এবং একটি ভিত্তি অন্য থেকে কোনও (যুক্তিসঙ্গত, প্রাকৃতিক) ডিগ্রি বৃদ্ধি করে প্রাপ্ত করা যায় না।
তবে আমরা কী দেখছি?
উভয় ভিত্তি কেবলমাত্র চিহ্নে পৃথক হয় এবং তাদের পণ্যগুলি একটি সমান বর্গের পার্থক্য:
সংজ্ঞা:
সুতরাং, আমাদের উদাহরণে যে সংখ্যাগুলি হ'ল সংযুক্তি।
এই ক্ষেত্রে, একটি স্মার্ট পদক্ষেপ হবে উভয় পক্ষকে সমীকরণের সংখ্যাকে দ্বিগুণ করুন।
উদাহরণস্বরূপ, অন, তারপর সমীকরণের বাম দিকটি সমান হবে এবং ডান দিকটি হবে।
আমরা যদি প্রতিস্থাপন করি, তবে আমাদের মূল সমীকরণটি এর মতো হয়ে উঠবে:
এর শিকড়গুলি, তারপরে এবং এটি মনে রেখে আমরা তা পেয়ে যাই।
উত্তর:,.
একটি নিয়ম হিসাবে, প্রতিস্থাপন পদ্ধতি বেশিরভাগ "স্কুল" সূচকীয় সমীকরণ সমাধান করার জন্য যথেষ্ট।
জটিলতার বর্ধিত স্তরের নিম্নলিখিত কাজগুলি মার্কিন সংস্করণ থেকে নেওয়া হয়।
পরীক্ষার অপশন থেকে জটিলতা বাড়ানোর তিনটি কাজ
আপনি ইতিমধ্যে স্বাধীনভাবে এই উদাহরণগুলি সমাধান করার জন্য যথেষ্ট সক্ষম tent আমি কেবল প্রয়োজনীয় প্রতিস্থাপন করব।
- সমীকরণটি সমাধান করুন:
- সমীকরণের মূলগুলি অনুসন্ধান করুন:
- সমীকরণটি সমাধান করুন:। বিভাগটির সাথে সম্পর্কিত এই সমীকরণের সমস্ত শেকড় সন্ধান করুন:
এবং এখন একটি সংক্ষিপ্ত ব্যাখ্যা এবং উত্তর:
উদাহরণ নং 19
এখানে আমাদের জন্য এটি যথেষ্ট এবং যথেষ্ট।
তারপরে মূল সমীকরণটি এর সমতুল্য হবে:
এই সমীকরণটি প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে সমাধান করা হয়
পরবর্তী হিসাব নিজেই করুন।
শেষ পর্যন্ত, আপনার কাজটি সহজতম ত্রিকোণমিতিক (সাইন বা কোসিনের উপর নির্ভর করে) সমাধান করার ক্ষেত্রে হ্রাস পাবে। আমরা অন্যান্য বিভাগে যেমন উদাহরণগুলির সমাধান বিশ্লেষণ করব।
উদাহরণ নং 20
এখানে আপনি প্রতিস্থাপন ছাড়াও করতে পারেন ...
বিয়োগফলকে ডানে সরানো এবং দুটি:: এর শক্তির মাধ্যমে উভয় ঘাঁটি উপস্থাপন করার পক্ষে যথেষ্ট এবং তারপরে সরাসরি চতুর্ভুজ সমীকরণে যেতে হবে।
উদাহরণ নং 21
এটি মোটামুটি স্ট্যান্ডার্ড পদ্ধতিতেও সমাধান করা হয়: কীভাবে তা কল্পনা করুন।
তারপরে প্রতিস্থাপন করে আমরা একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ পাই: তারপরে,
আপনি কি ইতিমধ্যে জানেন যে লগারিদম কী? না? তারপরে জরুরি বিষয় পড়ুন!
প্রথম মূলটি স্পষ্টতই বিভাগটির অন্তর্গত নয়, এবং দ্বিতীয়টি বোধগম্য নয়!
তবে আমরা খুব শীঘ্রই এটি আবিষ্কার করব!
যেহেতু, তখন (এটি লগারিদমের সম্পত্তি!)
উভয় অংশ থেকে বিয়োগ, তারপর আমরা পেতে:
বাম দিকটি উপস্থাপিত হতে পারে:
আমরা উভয় অংশ এর দ্বারা গুন করি:
তারপরে গুণ করা যায়
তারপরে তুলনা করা যাক:
তখন থেকে:
তারপরে দ্বিতীয় মূলটি প্রয়োজনীয় বিরতিতে অন্তর্ভুক্ত
উত্তর:
যেমন তুমি দেখো, সূচকীয় সমীকরণের শিকড় নির্বাচনের জন্য লগারিদমের বৈশিষ্ট্যগুলির যথেষ্ট গভীর জ্ঞান প্রয়োজনসুতরাং আমি আপনাকে সূচকীয় সমীকরণগুলি সমাধান করার সময় যথাসম্ভব যত্নবান হওয়ার পরামর্শ দিচ্ছি।
আপনি যেমন কল্পনা করতে পারেন, গণিতে সব কিছু একে অপরের সাথে সংযুক্ত!
আমার গণিত শিক্ষক হিসাবে বলতেন: "গণিত, ইতিহাসের মতো, আপনি রাতারাতি পড়তে পারবেন না।"
একটি নিয়ম হিসাবে, সব জটিলতার বর্ধিত স্তরের সমস্যার সমাধানে অসুবিধা হ'ল সমীকরণের শিকড় নির্বাচন করা।
প্রশিক্ষণের জন্য আরেকটি উদাহরণ ...
উদাহরণ 22
এটা পরিষ্কার যে সমীকরণটি নিজেই সমাধান করা বেশ সহজ।
প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে, আমরা আমাদের মূল সমীকরণটি নীচের থেকে হ্রাস করব:
প্রথমে বিবেচনা করা যাক প্রথম শিকড়
আসুন তুলনা করা যাক: তারপর থেকে। (লগারিদমিক ফাংশনের সম্পত্তি, এ)।
তারপরে এটি স্পষ্ট যে প্রথম মূলটি আমাদের অন্তর অন্তর্ভুক্ত নয়।
এখন দ্বিতীয় মূল:। এটা পরিষ্কার যে (যেহেতু এ ফাংশনটি বাড়ছে)।
এটি তুলনা এবং অবশেষ।
যেহেতু, তখন একই সাথে।
এইভাবে, আমি এবং এর মধ্যে একটি পেগ চালাতে পারি।
এই পেগ একটি সংখ্যা।
প্রথম প্রকাশটি ছোট এবং দ্বিতীয়টি বৃহত্তর।
তারপরে দ্বিতীয় প্রকাশটি প্রথমের চেয়ে বেশি এবং মূলটি অন্তর অন্তর্গত।
উত্তর:.
পরিশেষে, আসুন একটি সমীকরণের অন্য উদাহরণটি দেখুন যেখানে প্রতিস্থাপনটি বেশ মানহীন।
উদাহরণ # 23 (অ-স্ট্যান্ডার্ড প্রতিস্থাপনের সাথে সমীকরণ!)
আসুন আপনি এখনই যা করতে পারেন এবং আপনি কী করতে পারেন তা শুরু করেই শুরু করুন তবে এটি না করা ভাল।
আপনি - তিন, দুই এবং ছয়টির শক্তির মাধ্যমে সমস্ত কিছু উপস্থাপন করতে পারেন।
কোথায় যায়?
হ্যাঁ, এটি কোনও কিছুর দিকে পরিচালিত করবে না: ডিগ্রিগুলির একটি হজপোজ এবং কিছু থেকে মুক্তি পাওয়া বেশ কঠিন হবে be
এবং তারপরে কী দরকার?
আসুন লক্ষ্য করুন যে একটি
এবং এটি আমাদের কী দেবে?
এবং সত্য যে আমরা এই উদাহরণটির সমাধানকে মোটামুটি সরল সূচকীয় সমীকরণের সমাধানে হ্রাস করতে পারি!
প্রথমে আসুন আমাদের সমীকরণটি আবার লিখি:
এখন আমরা ফলাফল সমীকরণের উভয় পক্ষকে এর দ্বারা ভাগ করি:
ইউরেকা! এখন আমরা প্রতিস্থাপন করতে পারি, আমরা পাই:
ঠিক আছে, এখন আপনার বিক্ষোভের সমস্যাগুলি সমাধান করার পালা, এবং আমি তাদের কেবল সংক্ষিপ্ত মন্তব্য করব, যাতে আপনি বিপথগামী না হন! শুভকামনা!
24 নং উদাহরণ
সবচেয়ে কঠিন!
এখানে প্রতিস্থাপন পাওয়া সহজ নয়! তবুও, আমরা ব্যবহার করে এই উদাহরণটি সম্পূর্ণ সমাধান করতে পারি একটি পূর্ণ বর্গ নির্বাচন.
এটির সমাধানের জন্য, এটি লক্ষ করা যথেষ্ট:
তারপরে এখানে আপনার জন্য প্রতিস্থাপন রয়েছে:
(দয়া করে মনে রাখবেন যে, আমাদের প্রতিস্থাপনের সময়, আমরা নেতিবাচক মূলকে ফেলে দিতে পারি না !!! এবং আপনি কেন ভাবেন?)
এখন উদাহরণটির সমাধান করতে আপনাকে দুটি সমীকরণ সমাধান করতে হবে:
উভয়ই "স্ট্যান্ডার্ড প্রতিস্থাপন" দ্বারা সমাধান করা হয়েছে (তবে একটি উদাহরণে দ্বিতীয়!)
উদাহরণ নং 25
2. এটি নোট করুন এবং একটি প্রতিস্থাপন করুন।
উদাহরণ নং 26
৩. সংখ্যাটি কপিরাইট ফ্যাক্টারে বিভক্ত করুন এবং ফলাফলটি প্রকাশ করুন।
উদাহরণ নং 27
৪) ভগ্নাংশের অঙ্ক এবং ডিনোমিনেটরকে (অথবা, যদি আপনি চান) ভাগ করুন এবং প্রতিস্থাপন করুন বা।
28 নং উদাহরণ
৫. নোট করুন এবং সংযোগ স্থাপন করুন।
লোগারিথ মেথডের মাধ্যমে এক্সপ্রেস ইক্যুয়েশনের সমাধান। অ্যাডভান্সড লেভেল
এছাড়াও, আসুন অন্য উপায় বিবেচনা করুন - লগারিদম পদ্ধতি দ্বারা সূচকীয় সমীকরণের সমাধান.
আমি বলতে পারি না যে এই পদ্ধতির দ্বারা সূচকীয় সমীকরণগুলির সমাধান খুব জনপ্রিয়, তবে কিছু ক্ষেত্রে কেবল এটি আমাদের সমীকরণের সঠিক সমাধানের দিকে নিয়ে যেতে পারে।
এটি প্রায়শই তথাকথিত সমাধানের জন্য ব্যবহৃত হয় " মিশ্র সমীকরণ।: অর্থাৎ, যেখানে বিভিন্ন ধরণের ফাংশনগুলি মিলিত হয়।
উদাহরণ নং 29
সাধারণ ক্ষেত্রে, এটি কেবলমাত্র উভয় পক্ষের লগারিদম (উদাহরণস্বরূপ, বেস দ্বারা) গ্রহণের মাধ্যমে সমাধান করা যেতে পারে, যেখানে মূল সমীকরণটি নিম্নলিখিতটিতে পরিবর্তিত হয়:
আসুন নিম্নলিখিত উদাহরণটি বিবেচনা করুন:
এটা পরিষ্কার যে লগারিদমিক ফাংশনের ওডিজেড অনুযায়ী আমরা কেবল আগ্রহী।
যাইহোক, এটি কেবল লগারিদমের ওডিজেড থেকে অনুসরণ করা হয়নি, তবে অন্য একটি কারণেও রয়েছে।
আমি মনে করি যে কোনটি অনুমান করা আপনার পক্ষে কঠিন হবে না।
আসুন আমাদের সমীকরণের উভয় দিকে বেসে লগ করা যাক:
যেমন আপনি দেখতে পাচ্ছেন, আমাদের মূল সমীকরণের লগারিদমটি দ্রুত গ্রহণ করা আমাদের সঠিক (এবং সুন্দর!) উত্তরের দিকে নিয়ে যায়।
আরও একটি উদাহরণ দিয়ে অনুশীলন করা যাক।
30 নং উদাহরণ
এখানেও কোনও ভুল নেই: আমরা বেস দ্বারা সমীকরণের উভয় দিক লগারিদম করি, তবে আমরা পাই:
একটি প্রতিস্থাপন করা যাক:
তবে আমরা কিছু মিস করছি! তুমি কোথায় খেয়াল করেছ আমি কোথায় ভুল করেছি? সর্বোপরি, তারপর:
যা প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে না (ভাবুন এটি কোথা থেকে এসেছে!)
উত্তর:
নিজের নীচে সূচকীয় সমীকরণের সমাধানটি লেখার চেষ্টা করুন:
এখন এর বিরুদ্ধে আপনার সিদ্ধান্ত পরীক্ষা করুন:
31 নং উদাহরণ
লোগারিদম উভয় পক্ষের বেসে, অ্যাকাউন্টটি গ্রহণ করে:
(দ্বিতীয় রুট প্রতিস্থাপনের কারণে আমাদের উপযুক্ত নয়)
উদাহরণ নং 32
লোগারিদম বেস:
আসুন ফলস্বরূপ প্রকাশটি নিম্নলিখিত ফর্মটিতে রূপান্তর করুন:
বর্ণনামূলক মূল্যায়ন। ব্রাইফ বর্ণনা এবং বেসিক ফর্মুলস
সূচকীয় সমীকরণ
ফর্মের সমীকরণ:
বলা হয় সহজ সূচকীয় সমীকরণ।
পাওয়ার বৈশিষ্ট্য
সমাধান পন্থা
- একই বেসে হ্রাস
- একই অভ্যাসকারীর কাছে রূপান্তর
- পরিবর্তনশীল প্রতিস্থাপন
- উপরোক্ত যেকোন একটির প্রকাশের প্রয়োগ এবং প্রয়োগের সরলকরণ।
এই পাঠটি তাদের জন্যই করা হয়েছে যারা কেবল সূচকীয় সমীকরণগুলি শিখতে শুরু করেছেন। সর্বদা হিসাবে, আসুন একটি সংজ্ঞা এবং সহজ উদাহরণ দিয়ে শুরু করা যাক।
আপনি যদি এই পাঠটি পড়ছেন তবে আমার সন্দেহ হয় যে আপনার ইতিমধ্যে সরলতম সমীকরণ - লিনিয়ার এবং বর্গক্ষেত্রের কমপক্ষে ন্যূনতম বোধগম্যতা রয়েছে: x 56x-11 \u003d $ 0; $ ((x) ^ (2)) + 5x + 4 \u003d 0 $; $ ((x) ^ (2)) - 12x + 32 \u003d 0 $, ইত্যাদি এখন আলোচিত বিষয়টিতে "আটকে না পড়ার" জন্য এই জাতীয় নির্মাণগুলি সমাধান করতে সক্ষম হওয়া একেবারেই প্রয়োজনীয়।
সুতরাং, সূচকীয় সমীকরণ। এখনই আপনাকে কয়েকটি উদাহরণ দেই:
\\ [((2) ^ (x)) \u003d 4; \\ কোয়াড ((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ ফ্র্যাক (1) (25); \\ কোয়াড ((9) ^ (এক্স)) \u003d - 3 \\]
এর মধ্যে কিছু আপনার কাছে আরও জটিল বলে মনে হতে পারে, কেউ কেউ - বিপরীতে, খুব সহজ। তবে এগুলির সমস্ত একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য দ্বারা একত্রিত হয়েছে: তাদের স্বরলিপিটিতে সূচকীয় ফাংশন রয়েছে $ f \\ বাম (x \\ ডান) \u003d ((a) ^ (x)) $ $ সুতরাং, আমরা সংজ্ঞাটি প্রবর্তন করি:
সূচকীয় সমীকরণ হ'ল যে কোনও সমীকরণ যা একটি ঘৃণ্য ফাংশন ধারণ করে, যেমন। expression ((a) ^ (x)) like এর মত প্রকাশ $ নির্দেশিত ফাংশন ছাড়াও, এই ধরনের সমীকরণগুলিতে অন্য কোনও বীজগণিত নির্মাণ - বহুভুজ, শিকড়, ত্রিকোনমিতি, লোগারিদম ইত্যাদি থাকতে পারে
আচ্ছা ভালো. আমরা সংজ্ঞাটি বের করেছিলাম। এখন প্রশ্ন হ'ল: এই সমস্ত জঞ্জালটি কীভাবে সমাধান করবেন? উত্তরটি সহজ এবং জটিল উভয়ই।
আসুন আমরা সুসংবাদ দিয়ে শুরু করি: অনেক শিক্ষার্থীর সাথে আমার ক্লাস সম্পর্কে আমার অভিজ্ঞতা থেকে, আমি বলতে পারি যে তাদের বেশিরভাগের জন্য একই লোগারিথগুলি এবং আরও ত্রিকোণমিতির চেয়ে সূচকীয় সমীকরণগুলি দেওয়া আরও সহজ easier
তবে একটি খারাপ খবরও রয়েছে: কখনও কখনও সমস্ত ধরণের পাঠ্যপুস্তক এবং পরীক্ষার সমস্যার লেখকরা "অনুপ্রেরণা" পান এবং তাদের ওষুধে স্ফীত মস্তিষ্ক এমন নৃশংস সমীকরণ জারি করতে শুরু করে যে তাদের সমাধান কেবল শিক্ষার্থীদের জন্যই সমস্যাযুক্ত হয়ে ওঠে - এমনকি অনেক শিক্ষক এই জাতীয় সমস্যায় আটকে যান।
যাইহোক, আসুন দু: খজনক জিনিস সম্পর্কে কথা বলি না। এবং সেই তিনটি সমীকরণ ফিরে এসেছিল যা গল্পের একেবারে শুরুতে দেওয়া হয়েছিল। আসুন তাদের প্রতিটি সমাধান করার চেষ্টা করুন।
প্রথম সমীকরণ: $ ((2) ^ (x)) \u003d 4 $ ঠিক আছে, 4 নম্বর পেতে কোন ডিগ্রীতে 2 নম্বর বাড়াতে হবে? সম্ভবত দ্বিতীয়? সর্বোপরি, $ ((2) ^ (2)) \u003d 2 \\ সিডট 2 \u003d 4 $ - এবং আমরা সঠিক সংখ্যার সমতা পেয়েছি, অর্থাৎ i সত্যই $ x \u003d 2 $। আচ্ছা ধন্যবাদ ক্যাপ, তবে এই সমীকরণটি এত সহজ ছিল যে এমনকি আমার বিড়ালও এটি সমাধান করতে পারে :) :)
আসুন নীচের সমীকরণটি দেখুন:
\\ [((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25) \\]
এবং এখানে এটি ইতিমধ্যে কিছুটা জটিল। অনেক শিক্ষার্থী জানেন যে $ ((5) ^ (2)) \u003d 25। একটি গুণ টেবিল। কেউ কেউ সন্দেহও করেছেন যে $ ((5) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (5) $ মূলত নেতিবাচক শক্তির সংজ্ঞা (সূত্রের অনুরূপ $ ((a) ^ (- n)) \u003d rac frac (1) ((a) ^ (n))))।
অবশেষে, শুধুমাত্র কয়েকটি নির্বাচিত অনুমান করে যে এই তথ্যগুলি একত্রিত করা যায় এবং নিম্নলিখিত ফলাফলটি আউটপুট এ পাওয়া যায়:
\\ [\\ frac (1) (25) \u003d \\ frac (1) (((5) ^ (2))) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]
সুতরাং, আমাদের মূল সমীকরণটি আবার নিম্নরূপে লেখা হবে:
\\ [((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25) \\ রাইটাররো ((5) ^ (2x-3)) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]
তবে এটি ইতিমধ্যে বেশ সমাধানযোগ্য! সমীকরণের বাম দিকে একটি সূচকীয় ফাংশন রয়েছে, সমীকরণের ডানদিকে একটি সূচকীয় ফাংশন রয়েছে, এগুলি ছাড়া অন্য কোথাও কিছুই নেই। অতএব, আপনি বেসগুলি "বাতিল" করতে পারেন এবং নির্বোধকে সূচকগুলি সমান করতে পারেন:
আমরা সহজতম লিনিয়ার সমীকরণ পেয়েছি যা যে কোনও শিক্ষার্থী মাত্র কয়েক লাইনে সমাধান করতে পারে। ঠিক আছে, চার লাইনে:
\\ [\\ শুরু (প্রান্তিককরণ) এবং 2x-3 \u003d -2 \\\\ & 2x \u003d 3-2 \\\\ & 2x \u003d 1 \\\\ এবং x \u003d \\ frac (1) (2) \\\\\\ শেষ (প্রান্তিককরণ) \\]
আপনি যদি শেষ চারটি লাইনে কী ঘটছে তা বুঝতে না পারলে "রৈখিক সমীকরণ" বিষয়টিতে ফিরে আসার বিষয়টি নিশ্চিত করুন। কারণ এই বিষয়টির স্পষ্ট বোঝা ছাড়াই, আপনি সূচকীয় সমীকরণগুলি মোকাবেলা করতে খুব তাড়াতাড়ি।
\\ [((9) ^ (এক্স)) \u003d - 3 \\]
আচ্ছা, এটিকে কীভাবে সমাধান করা যায়? প্রথম চিন্তা: $ 9 \u003d 3 \\ সিডট 3 \u003d ((3) ^ (2)) $, সুতরাং আসল সমীকরণটি এই জাতীয়ভাবে আবার লেখা যেতে পারে:
\\ [((\\ বাম ((3) ^ (2)) \\ ডানদিকে)) ^ (এক্স)) \u003d - 3 \\]
তারপরে আমরা মনে করি যে কোনও পাওয়ারে শক্তি উত্থাপন করার সময় সূচকগুলি বহুগুণিত হয়:
\\ [((\\ বাম (((3) ^ (2))) \\ ডান)) ^ (এক্স)) \u003d ((3) ^ (2x)) \\ রাইটারো ((3) ^ (2x)) \u003d - ((( 3) ^ (1)) \\]
\\ [\\ শুরু (প্রান্তিককরণ) এবং 2x \u003d -1 \\\\ & x \u003d - rac frac (1) (2) \\\\\\ শেষ (সারিবদ্ধ) \\]
এবং এই জাতীয় সিদ্ধান্তের জন্য, আমরা একটি সৎভাবে প্রাপ্য ডিউস পাবেন। আমরা একটি পোকেমন এর ন্যায়সঙ্গততার সাথে, তিনটির সামনে বিয়োগ চিহ্নটি এই তিনটির শক্তিতে প্রেরণ করেছি। এবং আপনি এটি করতে পারবেন না। এবং এজন্যই. ট্রিপলেটের বিভিন্ন শক্তিগুলি একবার দেখুন:
\\ [\\ শুরু (ম্যাট্রিক্স) ((3) ^ (1)) \u003d 3 এবং ((3) ^ (- 1)) \u003d \\ ফ্র্যাক (1) (3) এবং ((3) ^ (\\ ফ্র্যাক (1) ( 2))) \u003d q বর্গ (3) \\\\ ((3) ^ (2)) \u003d 9 & ((3) ^ (- 2)) \u003d \\ ফ্র্যাক (1) (9) এবং ((3) ^ (\\ 3) ^ (- - \\ frac (1) (2))) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (3)) \\\\\\ শেষ (ম্যাট্রিক্স) \\]
এই ট্যাবলেটটি সংকলন করার সময়, আমি বিকৃত না হওয়ার সাথে সাথেই ছিলাম: আমি ইতিবাচক ডিগ্রি, এবং নেতিবাচক এবং এমনকি ভগ্নাংশ বিবেচনা করেছি ... ভাল, এখানে কমপক্ষে একটি নেতিবাচক সংখ্যা কোথায়? সে চলে গেছে! এবং এটি হতে পারে না, কারণ সূচকীয় ফাংশন $ y \u003d ((a) ^ (x)) $, সর্বদা সর্বদা কেবল ধনাত্মক মান গ্রহণ করে (কোনও ব্যক্তি যতই দুটি দ্বারা বিভক্ত হয় বা ভাগ করে দেয় তা এখনও ইতিবাচক সংখ্যা হবে), এবং দ্বিতীয়ত, এই জাতীয় ফাংশনের ভিত্তি - সংখ্যা $ a $ - সংজ্ঞা দ্বারা একটি ধনাত্মক সংখ্যা!
ঠিক আছে, তাহলে সমীকরণটি কীভাবে সমাধান করবেন $ ((9) ^ (x)) \u003d - 3 solve? কিন্তু কোনও উপায়েই: শিকড় নেই। এবং এই অর্থে, সূচকীয় সমীকরণগুলি চতুর্ভুজগুলির সাথে খুব মিল - সেখানে কোনও শিকড় থাকতে পারে না। তবে যদি হয় দ্বিঘাত সমীকরণ শিকড়ের সংখ্যাটি বৈষম্যমূলক দ্বারা নির্ধারিত হয় (বৈষম্যমূলক ইতিবাচক - 2 শিকড়, নেতিবাচক - কোনও শিকড় নেই), তবে ঘাতক সংখ্যায় সমান চিহ্নের ডানদিকে কী রয়েছে তার উপর নির্ভর করে।
সুতরাং, আমরা মূল উপসংহারটি প্রণয়ন করি: $ ((a) ^ (x)) \u003d b form রূপটির সর্বাধিক সূচকীয় সমীকরণের মূল রয়েছে এবং যদি কেবল only b \\ gt 0 $ থাকে $ এই সাধারণ ঘটনাটি জেনে আপনি সহজেই নির্ধারণ করতে পারবেন যে আপনার প্রস্তাবিত সমীকরণের মূল রয়েছে কিনা whether সেগুলো. এটি কি একেবারেই সমাধান করার উপযুক্ত বা কেবল লিখুন যে কোনও শিকড় নেই।
যখন আমাদের আরও জটিল সমস্যাগুলি সমাধান করতে হবে তখন এই জ্ঞান আমাদের অনেক সময় সহায়তা করবে। আপাতত, যথেষ্ট গানের কথা - সূচকীয় সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য প্রাথমিক অ্যালগরিদম অধ্যয়নের সময় এসেছে।
সূচকীয় সমীকরণ কীভাবে সমাধান করবেন
সুতরাং, আসুন সমস্যাটি প্রণয়ন করা যাক। সূচকীয় সমীকরণটি সমাধান করা প্রয়োজন:
\\ [((ক) ^ (এক্স)) \u003d বি, \\ কোয়াড এ, বি \\ জিটি 0 \\]
"নিষ্পাপ" অ্যালগরিদম অনুসারে, যার ভিত্তিতে আমরা আগে অভিনয় করেছি, $ a number সংখ্যার শক্তি হিসাবে the b number সংখ্যাটি উপস্থাপন করা প্রয়োজন:
তদ্ব্যতীত, পরিবর্তনশীল $ x instead এর পরিবর্তে যদি কোনও অভিব্যক্তি থাকে তবে আমরা একটি নতুন সমীকরণ পাব, যা ইতিমধ্যে সমাধান করা যেতে পারে। উদাহরণ স্বরূপ:
\\ [\\ শুরু (প্রান্তিককরণ) এবং ((2) ^ (x)) \u003d 8 \\ রাইটারো ((2) ^ (x)) \u003d ((2) ^ (3)) \\ রাইটারো এক্স \u003d 3; \\\\ & ((3) ^ (- x)) \u003d 81 \\ রাইটারো ((3) ^ (- x)) \u003d ((3) ^ (4)) \\ রাইটারো -x \u003d 4 \\ রাইটারো এক্স \u003d -4; \\\\ & ((5) ^ (2x)) \u003d 125 \\ রাইটারো ((5) ^ (2x)) \u003d ((5) ^ (3)) \\ রাইটারো 2x \u003d 3 \\ রাইটারো x \u003d \\ frac (3) ( 2)। \\\\\\ শেষ (সারিবদ্ধ) \\]
এবং অদ্ভুতভাবে যথেষ্ট, এই স্কিমটি প্রায় 90% সময় কাজ করে। এবং তারপরে বাকি 10% সম্পর্কে কী বলা যায়? বাকি 10% হ'ল "স্কিজোফ্রেনিক" ফর্মের ঘনিষ্ঠ সমীকরণ:
\\ [((2) ^ (x)) \u003d 3; \\ কোয়াড ((5) ^ (এক্স)) \u003d 15; \\ কোয়াড ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\]
ঠিক আছে, 3 পেতে কোন ডিগ্রি বাড়ানো উচিত? প্রথম? তবে না: $ ((2) ^ (1)) \u003d 2 $ - পর্যাপ্ত নয়। দ্বিতীয়? এছাড়াও নয়: $ ((2) ^ (2)) \u003d 4 $ - কিছুটা বেশি। তখন কি?
জ্ঞানী শিক্ষার্থীরা সম্ভবত ইতিমধ্যে অনুমান করেছে: এ জাতীয় ক্ষেত্রে যখন "সুন্দরভাবে" সমাধান করা অসম্ভব, তখন "ভারী আর্টিলারি" - লোগারিথাম - বিষয়টি জড়িত। আমি আপনাকে স্মরণ করিয়ে দিই যে লগারিদম ব্যবহার করে যে কোনও ধনাত্মক সংখ্যাটি অন্য কোনও ধনাত্মক সংখ্যার শক্তি হিসাবে উপস্থাপিত হতে পারে (একটি ব্যতীত):
এই সূত্রটি মনে আছে? আমি যখন আমার শিক্ষার্থীদের লগারিদম সম্পর্কে বলি, আমি আপনাকে সর্বদা সতর্ক করে দিই: এই সূত্রটি (এটিও মূল লোগারিদমিক পরিচয় বা যদি আপনি পছন্দ করেন তবে লোগারিদমের সংজ্ঞা) আপনাকে খুব দীর্ঘ সময়ের জন্য পীড়িত করবে এবং সর্বাধিক অপ্রত্যাশিত জায়গায় "পপ আপ" করবে। ঠিক আছে, তিনি প্রকাশিত। আসুন আমাদের সমীকরণ এবং এই সূত্রটি একবার দেখুন:
\\ [\\ শুরু (প্রান্তিককরণ) এবং ((2) ^ (x)) \u003d 3 \\\\ এবং a \u003d ((খ) ^ (((\\ লগ) _ (খ)) ক)) \\\\\\ শেষ (সারিবদ্ধ) \\]
যদি আমরা ধরে নিই যে $ a \u003d 3 ডানদিকে আমাদের মূল সংখ্যা, এবং, b \u003d 2 the হ'ল বেস ব্যাখ্যামূলক কাজ, যা আমরা তাই ডান দিকটি হ্রাস করতে চাই, আমরা নিম্নলিখিতটি পাই:
\\ [\\ শুরু (সারিবদ্ধ) এবং একটি \u003d ((খ)) ^ (((লগ)) _ (খ) ক)) \\ রাইটারো 3 \u003d ((2) ^ (((লগ)) _ (2)) 3 )); \\\\ এবং ((2) ^ (x)) \u003d 3 \\ রাইটারো ((2) ^ (এক্স)) \u003d ((2) ^ (((\\ লগ) _ (2)) 3)) \\ রাইটারো এক্স \u003d ( (\\ লগ) _ (2)) 3। \\\\\\ শেষ (সারিবদ্ধ) \\]
আমরা কিছুটা অদ্ভুত উত্তর পেয়েছি: $ x \u003d ((\\ লগ) _ (2)) 3 $ $ অন্য কোনও কাজে, এমন উত্তর সহ অনেকেই সন্দেহ করতে পারত এবং তাদের সমাধানটি ডাবল-চেক করতে শুরু করত: কোথাও কোথাও ত্রুটি থাকলে? আমি আপনাকে সন্তুষ্ট করতে তড়িঘড়ি করেছি: এখানে কোনও ভুল নেই, এবং ঘনিষ্ঠ সমীকরণের গোড়ায় লগারিদমগুলি একটি সাধারণ পরিস্থিতি। তাই এটি ব্যবহার করতে পারেন. :)
এখন আসুন বাকী দুটি সমীকরণ সাদৃশ্য দ্বারা সমাধান করুন:
\\ [\\ শুরু (প্রান্তিককরণ) এবং ((5) ^ (x)) \u003d 15 \\ রাইটারো ((5) ^ (এক্স)) \u003d ((5) ^ (((লগ)) _ (5)) 15) \\ রাইটারো x \u003d ((\\ লগ) _ (5)) 15; \\\\ এবং ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\ রাইটারো ((4) ^ (2x)) \u003d ((4) ^ (((লগ)) ((4)) 11)) \\ রাইটারো 2x \u003d ( (\\ লগ) _ (4)) 11 \\ রাইটারো x \u003d \\ frac (1) (2) ((\\ লগ) _ (4)) 11। \\\\\\ শেষ (সারিবদ্ধ) \\]
এখানেই শেষ! যাইহোক, শেষ উত্তরটি ভিন্নভাবে লেখা যেতে পারে:
আমরা লগারিদম আর্গুমেন্টটির সাথে ফ্যাক্টরটি প্রবর্তন করেছি। তবে কেউ আমাদের এই উপাদানটিকে বেসে প্রবর্তন করতে বিরক্ত করে না:
তদুপরি, তিনটি অপশনই সঠিক - এগুলি একই সংখ্যা লেখার বিভিন্ন ধরণের। এই সমাধানটিতে কোনটি চয়ন বা লিখবেন তা আপনার উপর নির্ভর করে।
সুতরাং, আমরা কীভাবে $ ((a) ^ (x)) \u003d বি like এর মতো ঘনিষ্ঠ সমীকরণগুলি সমাধান করতে শিখলাম, যেখানে $ a $ এবং $ b the সংখ্যাগুলি কঠোরভাবে ইতিবাচক। তবে আমাদের বিশ্বের কঠোর বাস্তবতা হ'ল এ জাতীয় সাধারণ কাজগুলি আপনার জন্য খুব বিরল হবে। আরও প্রায়শই আপনি এরকম কিছু দেখতে পাবেন:
\\ [\\ শুরু (সারিবদ্ধ) এবং ((4) ^ (এক্স)) + ((4) ^ (এক্স -1)) \u003d ((4) ^ (এক্স + 1)) - 11; \\\\ & ((7) ^ (x + 6)) d সিডট ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & ((100) ^ (x-1)) d সিডট ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09। \\\\\\ শেষ (সারিবদ্ধ) \\]
আচ্ছা, এর সমাধান কীভাবে? এটি কি আদৌ সমাধান করা যায়? এবং যদি তা হয়, কিভাবে?
আতঙ্কিত হবেন না। এই সমস্ত সমীকরণগুলি দ্রুত এবং সহজেই সেই সহজ সূত্রগুলিতে হ্রাস পাবে যা আমরা ইতিমধ্যে বিবেচনা করেছি। আপনার কেবল বীজগণিত কোর্স থেকে কয়েকটি কৌশল জানতে এবং মনে রাখা দরকার। এবং অবশ্যই, ডিগ্রি নিয়ে কাজ করার নিয়ম ছাড়া কোথাও নেই। আমি এখন এই সব সম্পর্কে আপনাকে বলব। :)
সূচকীয় সমীকরণ রূপান্তর করা
প্রথম জিনিসটি মনে রাখবেন: যে কোনও ঘনিষ্ঠ সমীকরণ, তা যত জটিলই হোক না কেন, কোনও এককভাবে সরল সমীকরণগুলিতে হ্রাস করতে হবে - আমরা ইতিমধ্যে বিবেচনা করেছি এবং আমরা কীভাবে সমাধান করতে জানি। অন্য কথায়, কোনও ঘনিষ্ঠ সমীকরণ সমাধানের জন্য প্রকল্পটি এরকম দেখাচ্ছে:
- মূল সমীকরণটি লিখুন। উদাহরণস্বরূপ: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
- একরকম বোধগম্য জঞ্জাল তৈরি করুন। অথবা "ট্রান্সফর্ম সমীকরণ" নামে পরিচিত কয়েকটি বোকাও;
- আউটপুটে, express ((4) ^ (x)) \u003d 4 like বা এর মতো আরও কিছু সাদামাটা এক্সপ্রেশন পান। তদুপরি, একটি মূল সমীকরণ একবারে এই জাতীয় বেশ কয়েকটি এক্সপ্রেশন দিতে পারে।
প্রথম বিষয়টির সাথে, সমস্ত কিছুই পরিষ্কার - এমনকি আমার বিড়ালও কাগজের টুকরোয় সমীকরণ লিখতে পারে। তৃতীয় বিষয়টির সাথেও, এটি মনে হয়, এটি কম-বেশি পরিষ্কার - আমরা ইতিমধ্যে উপরে এই জাতীয় সমীকরণগুলির একটি গোছা সমাধান করেছি।
তবে দ্বিতীয় দফার কী হবে? কি ধরণের রূপান্তর? কী রূপান্তর করতে হবে? এবং কিভাবে?
আচ্ছা, এটি বের করা যাক। প্রথমত, আমি নিম্নলিখিতগুলি উল্লেখ করতে চাই। সমস্ত ক্ষতিকারক সমীকরণ দুটি প্রকারে বিভক্ত:
- সমীকরণটি একই বেসের সাথে সূচকীয় ফাংশন নিয়ে গঠিত। উদাহরণ: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
- সূত্রটিতে বিভিন্ন ঘাঁটি সহ সূচকীয় ফাংশন রয়েছে। উদাহরণ: $ ((7) ^ (x + 6)) d সিডট ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)) $ এবং $ ((100) ^ (এক্স -1) ) \\ সিডট ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09 $
আসুন প্রথম ধরণের সমীকরণগুলি দিয়ে শুরু করা যাক - এগুলি সমাধান করা সবচেয়ে সহজ। এবং এগুলি সমাধান করার ক্ষেত্রে, আমরা স্থিতিশীল অভিব্যক্তি হাইলাইট করার মতো কৌশল দ্বারা সহায়তা করব।
একটি স্থিতিশীল অভিব্যক্তি হাইলাইট করা
আসুন এই সমীকরণটি আবার দেখুন:
\\ [((4) ^ (এক্স)) + ((4) ^ (এক্স -1)) \u003d ((4) ^ (এক্স + 1)) - 11 \\]
আমরা কী দেখতে পাই? চারটি বিভিন্ন ডিগ্রীতে উঠানো হচ্ছে। তবে এই সমস্ত শক্তি হ'ল অন্যান্য সংখ্যার সাথে পরিবর্তনশীল $ x। এর সহজ পরিমাণ। সুতরাং, ডিগ্রি নিয়ে কাজ করার নিয়মগুলি মনে রাখা দরকার:
\\ [\\ শুরু (প্রান্তিককরণ) এবং ((ক) ^ (x + y)) \u003d ((ক) ^ (এক্স)) \\ সিডট ((ক) ^ (y)); \\\\ & ((a) ^ (xy)) \u003d ((a) ^ (x)): ((a) ^ (y)) \u003d \\ frac ((a) ^ (x))) ((a ) ^ (y)))। \\\\\\ শেষ (সারিবদ্ধ) \\]
সহজ কথায় বলতে গেলে এক্সটেনশন সংযোজনকে শক্তির পণ্যতে রূপান্তর করা যায় এবং বিয়োগফলকে সহজেই বিভাগে রূপান্তর করা যায়। আসুন আমাদের সমীকরণ থেকে পাওয়ারগুলিতে এই সূত্রগুলি প্রয়োগ করার চেষ্টা করুন:
\\ [\\ শুরু (প্রান্তিককরণ) এবং ((4) ^ (x-1)) \u003d \\ ফ্র্যাক (((4) ^ (এক্স))) (((4) ^ (1))) \u003d ((4) ^ (x)) \\ সিডট \\ ফ্র্যাক (1) (4); \\\\ & ((4) ^ (x + 1)) \u003d ((4) ^ (x)) d সিডট ((4) ^ (1)) \u003d ((4) ^ (এক্স)) d সিডট 4 \\ আসুন আসল সমীকরণটি এই সত্যটিকে বিবেচনায় নিয়ে আবার লিখি, এবং তারপরে বাম দিকের সমস্ত পদ সংগ্রহ করি:
\\ [\\ শুরু (সারিবদ্ধ) এবং ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) d সিডট \\ ফ্র্যাক (1) (4) \u003d ((4) ^ (এক্স)) \\ সিডট 4 -ভুক্ত \\\\ এবং ((4) ^ (এক্স)) + ((4) ^ (এক্স)) d সিডট \\ ফ্র্যাক (1) (4) - ((4) ^ (এক্স)) d সিডট 4 + 11 \u003d 0। \\\\\\ শেষ (সারিবদ্ধ) \\]
প্রথম চারটি শর্তায় $ ((4) ^ (x)) element উপাদান রয়েছে - আসুন এটি প্রথম বন্ধনীর বাইরে নেওয়া যাক:
\\ [\\ শুরু (সারিবদ্ধ) এবং ((4) ^ (x)) \\ সিডট \\ বাম (1+ \\ frac (1) (4) -4 \\ ডান) + 11 \u003d 0; \\\\ & ((4) ^ (x)) d সিডট \\ frac (4 + 1-16) (4) + 11 \u003d 0; \\\\ & ((4) ^ (x)) d সিডট \\ বাম (- \\ frac (11) (4) \\ ডান) \u003d - 11 \\\\\\ শেষ (সারিবদ্ধ) \\]
{!LANG-34d2229edd09fb5bdb4babd7c818ddf2!}
এটি সমীকরণের উভয় দিককে ভগ্নাংশ $ - rac frac (11) (4) $ এ ভাগ করতে থাকবে, যথা মূলত ইনভার্টেড ভগ্নাংশ - $ - \\ frac (4) (11) by দ্বারা গুণ করুন $ আমরা পেতে:
\\ [\\ শুরু (সারিবদ্ধ) এবং ((4) ^ (x)) d সিডট \\ বাম (- \\ frac (11) (4) \\ ডান) \\ সিডট \\ বাম (- \\ frac (4) (11) \\ ডান ) \u003d - 11 \\ সিডট \\ বাম (- \\ frac (4) (11) \\ ডান); \\\\ & ((4) ^ (x)) \u003d 4; \\\\ & ((4) ^ (x)) \u003d ((4) ^ (1)); \\\\ & এক্স \u003d 1। \\\\\\ শেষ (সারিবদ্ধ) \\]
এখানেই শেষ! আমরা আসল সমীকরণটিকে সহজতমতে কমিয়ে চূড়ান্ত উত্তর পেয়েছি।
একই সময়ে, সমাধানের প্রক্রিয়ায়, আমরা খুঁজে পেয়েছি (এবং এমনকি প্রথম বন্ধনীর বাইরেও) সাধারণ কারণ $ ((4) ^ (x)) factor - এটি স্থিতিশীল অভিব্যক্তি। এটি একটি নতুন ভেরিয়েবল হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে, বা এটি সঠিকভাবে প্রকাশ করা এবং উত্তর দেওয়া যেতে পারে। যে কোনও ক্ষেত্রে, সমাধানের মূল নীতিটি নিম্নরূপ:
আসল সমীকরণে একটি স্থিতিশীল অভিব্যক্তিটি আবিষ্কার করুন যা একটি ভেরিয়েবল সমন্বিত করে যা সহজেই সমস্ত ঘৃণ্য ফাংশন থেকে আলাদা করা যায়।
সুসংবাদটি হ'ল কার্যত প্রতিটি সূচকীয় সমীকরণ এ জাতীয় স্থিতিশীল অভিব্যক্তির অনুমতি দেয়।
তবে খারাপ খবরটি হ'ল এগুলির মত প্রকাশগুলি বেশ কৌতূহলপূর্ণ হতে পারে এবং এটি বেছে নেওয়া জটিলও হতে পারে। অতএব, আসুন আরও একটি কাজ বিশ্লেষণ করুন:
\\ [((5) ^ (x + 2)) + ((0,2) ^ (- x-1)) + 4 \\ সিডট ((5) ^ (এক্স + 1)) \u003d 2 \\]
সম্ভবত এখন কারও কাছে প্রশ্ন থাকবে: "পাশা, আপনি কি পাথর মারছেন? এখানে বিভিন্ন ঘাঁটি রয়েছে - 5 এবং 0.2 "। তবে আসুন বেস 0.2 থেকে ডিগ্রি রূপান্তর করার চেষ্টা করি। উদাহরণস্বরূপ, আসুন দশমিক ভগ্নাংশটি থেকে মুক্তি দিন, এটিকে স্বাভাবিকের কাছে নিয়ে আসা:
\\ [((0,2) ^ (- x-1)) \u003d ((0,2) ^ (- \\ বাম (x + 1 \\ ডান))) \u003d ((\\ বাম (\\ frac (2)) (10 ) \\ ডান)) ^ (- \\ বাম (x + 1 \\ ডান))) \u003d ((\\ বাম (\\ frac (1) (5) \\ ডান))) ^ (- \\ বাম (x + 1 \\ ডান)) ) \\]
আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে, 5 সংখ্যাটি এখনও উপস্থিত হয়েছিল, ডিনোনেটরে থাকলেও। একই সময়ে, সূচকটি নেতিবাচক হিসাবে আবারও লেখা হয়েছিল। এখন ডিগ্রি নিয়ে কাজ করার জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ নিয়মটি মনে রাখি:
\\ [((a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) (((a) ^ (n))) \\ রাইটারো ((\\ বাম (\\ frac (1) (5) \\ ডান))) ^ ( - \\ বাম (x + 1 \\ ডান)) \u003d ((\\ বাম (\\ frac (5) (1) \\ ডান))) ^ (x + 1)) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\ এখানে আমি অবশ্যই কিছুটা প্রতারণা করেছি। কারণ সম্পূর্ণ বোঝার জন্য, নেতিবাচক সূচকগুলি থেকে মুক্তি পাওয়ার সূত্রটি নীচে লিখতে হয়েছিল:
\\ [((a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) (((a) ^ (n))) \u003d ((\\ বাম (\\ frac (1) (a) \\ ডান))) ^ (এন )) \\ রাইটারো ((\\ বাম (\\ frac (1) (5) \\ ডান))) ^ (- \\ বাম (x + 1 \\ ডান))) \u003d ((\\ বাম (\\ frac (5) (1) \\ অন্যদিকে, কিছুই কেবলমাত্র একটি মাত্র ভগ্নাংশ নিয়ে কাজ করতে বাধা দেয় না:
\\ [((\\ বাম (\\ frac (1) (5) \\ ডান))) ^ (- - \\ বাম (x + 1 \\ ডান))) \u003d ((\\ বাম (((5)) ^ (- 1)) \\ )) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\]
{!LANG-864d2acd6e2c44f0816ab1138baac0d4!}
{!LANG-6579fb0af584a9a5f5d4d697e15834a6!}
তবে এক্ষেত্রে আপনার ডিগ্রি আলাদা ডিগ্রীতে বাড়াতে সক্ষম হওয়া প্রয়োজন (মনে রাখবেন: এই ক্ষেত্রে সূচকগুলি যোগ হয়)। তবে ভগ্নাংশগুলি "পাল্টানোর" দরকার ছিল না - সম্ভবত কারওর জন্য এটি আরও সহজ হবে :)
যাই হোক না কেন, মূল সূচকীয় সমীকরণটি এ হিসাবে আবারও লেখা হবে:
\\ [\\ শুরু (প্রান্তিককরণ) এবং ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) + 4 \\ সিডট ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + 5 \\ সিডট ((5) ^ (এক্স + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (1)) সিডট ((5)) (এক্স + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2; \\\\ & 2 \\ সিডট ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2; \\\\ এবং ((5) ^ (x + 2)) \u003d 1। \\\\\\ শেষ (সারিবদ্ধ) \\]
সুতরাং দেখা যাচ্ছে যে মূল সমীকরণটি আগে বিবেচিত হিসাবে তুলনামূলকভাবে সমাধান করা আরও সহজ: এখানে আপনাকে একটি স্থিতিশীল অভিব্যক্তিটি একাকীকরণ করার প্রয়োজনও নেই - সবকিছু নিজেই হ্রাস পেয়েছে। এটি কেবল মনে রাখা যায় যে $ 1 \u003d ((5) ^ (0)) $, আমরা যেখান থেকে পেয়েছি:
\\ [\\ শুরু (সারিবদ্ধ) এবং ((5) ^ (x + 2)) \u003d ((5) ^ (0)); \\\\ & এক্স + 2 \u003d 0; \\\\ & এক্স \u003d -2। \\\\\\ শেষ (সারিবদ্ধ) \\]
এটাই পুরো সমাধান! আমরা চূড়ান্ত উত্তর পেয়েছি: $ x \u003d -2 $ $ একই সময়ে, আমি একটি কৌশল নোট করতে চাই যা আমাদের জন্য সমস্ত গণনা ব্যাপকভাবে সরলীকৃত করেছে:
সূচকীয় সমীকরণগুলিতে, দশমিক ভগ্নাংশগুলি থেকে মুক্তি পাওয়ার বিষয়ে নিশ্চিত হন, এগুলিকে সাধারণ হিসাবে রূপান্তর করুন। এটি আপনাকে ডিগ্রির একই ঘাঁটি দেখতে এবং সমাধানটিকে ব্যাপকভাবে সরল করার অনুমতি দেবে।
আরও আরও এগিয়ে চলুন জটিল সমীকরণ, যার মধ্যে বিভিন্ন ঘাঁটি রয়েছে, যা সাধারণত একে অপরের সাথে ডিগ্রি ব্যবহার করে হ্রাস পায় না।
ডিগ্রি সম্পত্তি ব্যবহার করে
আমি আপনাকে স্মরণ করিয়ে দিই যে আমাদের আরও দুটি কঠোর সমীকরণ রয়েছে:
\\ [\\ শুরু (প্রান্তিককরণ) এবং ((7) ^ (x + 6)) d সিডট ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & ((100) ^ (x-1)) d সিডট ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09। \\\\\\ শেষ (সারিবদ্ধ) \\]
এখানে প্রধান অসুবিধাটি হ'ল কোনটি এবং কী কারণে নেতৃত্ব দেবে তা পরিষ্কার নয়। সেট এক্সপ্রেশন কোথায়? একই ভিত্তি কোথায়? এর কিছুই নেই।
তবে আসুন অন্যভাবে যাওয়ার চেষ্টা করা যাক। যদি কোনও রেডিমেড অভিন্ন কাঠামো না থাকে তবে আপনি বিদ্যমান ঘাঁটিগুলি ফ্যাক্টর করে এটি সন্ধানের চেষ্টা করতে পারেন।
প্রথম সমীকরণ দিয়ে শুরু করা যাক:
\\ [\\ শুরু (সারিবদ্ধ) এবং ((7) ^ (x + 6)) \\ সিডট ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & 21 \u003d 7 \\ সিডট 3 \\ রাইটারো ((21) ^ (3x)) \u003d ((\\ বাম (7 \\ সিডট 3 \\ ডান)) ^ (3x)) \u003d ((7) ^ (3x)) \\ \\\\\\ শেষ (সারিবদ্ধ) \\]
তবে আপনি বিপরীতটি করতে পারেন - 7 এবং 3 নম্বর থেকে 21 নম্বর তৈরি করুন, এটি বামদিকে বিশেষভাবে করা সহজ, যেহেতু উভয় ডিগ্রির সূচকগুলি একই:
\\ [\\ শুরু (সারিবদ্ধ) এবং ((7) ^ (x + 6)) d সিডট ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((\\ বাম (7 \\ সিডট 3 \\ ডান))) ^ (এক্স + 6)) \u003d ((21) ^ (x + 6)); \\\\ & ((21) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & x + 6 \u003d 3x; ; & 2x \u003d 6; \\\\ এবং এক্স \u003d 3। \\\\\\ শেষ (সারিবদ্ধ) \\]
এখানেই শেষ! আপনি উত্পাদকের বাহিরে সরানো এবং ততক্ষনে একটি সুন্দর সমীকরণ পেয়েছেন যা কয়েক লাইনে সমাধান করা যেতে পারে।
এখন আসুন দ্বিতীয় সমীকরণটি নিয়ে কাজ করি। এখানে সবকিছু আরও জটিল:
\\ [((100) ^ (x-1)) d সিডট ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0.09 \\]
\\ [((100) ^ (x-1)) d সিডট ((\\ বাম (\\ frac (27) (10) \\ ডান))) ^ (1-x)) \u003d \\ frac (9) (100) \\]
এই ক্ষেত্রে, ভগ্নাংশটি অপ্রতুল্য হয়ে উঠেছে, তবে যদি কিছু হ্রাস করা যায় তবে তা হ্রাস করতে ভুলবেন না। প্রায়শই এটি কাজ করার সাথে আকর্ষণীয় ভিত্তি তৈরি করে।
দুর্ভাগ্যক্রমে, আমাদের দেশে সত্যই কিছুই উপস্থিত হয়নি। তবে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে পণ্যটির বাম দিকে ঘুরিয়ে দেওয়া লোকগুলি বিপরীত:
আমাকে আপনাকে স্মরণ করিয়ে দিতে দাও: সূচকটির মধ্যে বিয়োগ চিহ্নটি থেকে মুক্তি পেতে আপনাকে ভগ্নাংশটি "ফ্লিপ" করতে হবে। ঠিক আছে, আসল সমীকরণটি আবার লিখি:
\\ [\\ শুরু (প্রান্তিককরণ) এবং ((100) ^ (এক্স -1)) d সিডট ((\\ বাম (\\ frac (10) (27) \\ ডান))) ^ (এক্স -1)) \u003d \\ frac (9 )(একশত); \\\\ & ((\\ বাম (100 \\ সিডট \\ frac (10) (27) \\ ডান))) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (9) (100); \\\\ & ((\\ বাম (\\ frac (1000) (27) \\ ডান))) ^ (এক্স -1)) \u003d \\ frac (9) (100) \\\\\\ শেষ (সারিবদ্ধ) \\]
দ্বিতীয় লাইনে আমরা $ ((a) ^ (x)) d সিডট ((বি) ^ (এক্স)) \u003d ((\\ বাম (একটি \\ সিডট বি \\ ডান)) to অনুসারে ব্র্যাককেটের বাইরে পণ্য থেকে মোট ব্যয়কারীকে সরানো করেছি ^ (x)) $, এবং পরবর্তীকালে তারা সহজেই ভগ্নাংশের মাধ্যমে 100 সংখ্যাটি বাড়িয়েছিল।
এখন নোট করুন যে বামে (নীচে) এবং ডানদিকে সংখ্যাগুলি কিছুটা অনুরূপ। চেয়ে? তবে এটি সুস্পষ্ট: তারা একই সংখ্যার শক্তি! আমাদের আছে:
\\ [\\ শুরু (সারিবদ্ধ) & rac frac (1000) (27) \u003d \\ frac (((10) ^ (3))) (((3) ^ (3))) \u003d ((\\ বাম (\\ frac ( 10) (3) \\ ডান)) ^ (3)); \\\\ & \\ frac (9) (100) \u003d \\ frac (((3) ^ (2))) (((10) ^ (3))) \u003d ((\\ বাম (\\ frac (3) (10) \\ ডান)) ^ (2))। \\\\\\ শেষ (সারিবদ্ধ) \\]
সুতরাং, আমাদের সমীকরণটি আবার নিম্নরূপে লিখিত হবে:
\\ [((\\ বাম (((\\ বাম) (\\ frac (10) (3) \\ ডান))) ^ (3)) \\ ডান)) ^ (এক্স -1)) \u003d ((\\ বাম (\\ frac (3 ) (10) \\ ডান)) ^ (2)) \\]
\\ [((\\ বাম (((\\ বাম) (\\ frac (10) (3) \\ ডান))) ^ (3)) \\ ডান)) ^ (এক্স -1)) \u003d ((\\ বাম (\\ frac (10 ) (3) \\ ডান)) ^ (3 \\ বাম (x-1 \\ ডান))) \u003d ((\\ বাম (\\ frac (10) (3) \\ ডান))) ^ (3x-3)) \\]
এই ক্ষেত্রে, ডানদিকে, আপনি একই বেসের সাথে একটি ডিগ্রিও পেতে পারেন, যার জন্য ভগ্নাংশটি কেবল "ফ্লিপ" করার পক্ষে যথেষ্ট:
\\ [((\\ বাম (\\ frac (3) (10) \\ ডান))) ^ (2)) \u003d ((\\ বাম (\\ frac (10) (3) \\ ডান))) ^ (- 2)) \\]
অবশেষে, আমাদের সমীকরণটি ফর্মটি গ্রহণ করবে:
\\ [\\ শুরু (সারিবদ্ধ) এবং ((\\ বাম (\\ frac (10) (3) \\ ডান))) ^ (3x-3)) \u003d ((\\ বাম (\\ frac (10) (3) \\ ডান))) ^ (- 2)); \\\\ & 3x-3 \u003d -2; \\\\ & 3x \u003d 1; \\\\ & x \u003d \\ frac (1) (3)। \\\\\\ শেষ (সারিবদ্ধ) \\]
এটাই পুরো সমাধান। এর মূল ধারণাটি এই সত্যে ফুটে উঠেছে যে এমনকি বিভিন্ন ভিত্তি থাকা সত্ত্বেও আমরা এই ভিত্তিগুলিকে একইরকম হ্রাস করতে হুক বা কুটিল মাধ্যমে চেষ্টা করি। এতে আমরা ডিগ্রি নিয়ে কাজ করার জন্য সমীকরণ এবং নিয়মের প্রাথমিক রূপান্তর দ্বারা সহায়তা করি।
তবে কোন নিয়ম এবং কখন ব্যবহার করবেন? কীভাবে বুঝতে হবে যে একটি সমীকরণে আপনাকে উভয় পক্ষকে কিছু দিয়ে বিভক্ত করতে হবে এবং অন্যটিতে আপনাকে ঘনিষ্ঠ ফাংশনটির ভিত্তি নির্ধারণ করতে হবে?
এই প্রশ্নের উত্তরটি অভিজ্ঞতা নিয়ে আসবে। প্রথমে আপনার হাত দিয়ে চেষ্টা করুন সাধারণ সমীকরণ, এবং তারপরে ধীরে ধীরে কার্যগুলিকে জটিল করে তুলুন - এবং খুব শীঘ্রই আপনার দক্ষতাগুলি একই পরীক্ষা বা কোনও স্বতন্ত্র / পরীক্ষামূলক কাজ থেকে কোনও সূচকীয় সমীকরণ সমাধান করার জন্য যথেষ্ট হবে।
এবং এই কঠিন কাজে আপনাকে সহায়তা করার জন্য, আমি আমার ওয়েবসাইটে স্বাধীন সমাধানের জন্য সমীকরণের একটি সেট ডাউনলোড করার পরামর্শ দিচ্ছি। সমস্ত সমীকরণের উত্তর রয়েছে, যাতে আপনি সর্বদা নিজেকে পরীক্ষা করতে পারেন।
সাধারণভাবে, আমি আপনাকে একটি সফল প্রশিক্ষণ চাই। এবং আপনাকে পরবর্তী পাঠে দেখুন - সেখানে আমরা সত্যিই জটিল সূচকীয় সমীকরণ বিশ্লেষণ করব, যেখানে উপরে বর্ণিত পদ্ধতিগুলি এখন পর্যাপ্ত নয়। এবং একটি সাধারণ ওয়ার্কআউট যথেষ্ট হবে না। :)
পিছনে এগিয়ে
মনোযোগ! স্লাইড পূর্বরূপটি কেবল তথ্যের জন্য ব্যবহৃত হয় এবং সমস্ত উপস্থাপনা বিকল্পগুলির প্রতিনিধিত্ব করতে পারে না। আপনি যদি এই কাজের প্রতি আগ্রহী হন তবে দয়া করে পুরো সংস্করণটি ডাউনলোড করুন।
পাঠের ধরণ
: সাধারণীকরণের একটি পাঠ এবং এই বিষয়ে জ্ঞান, দক্ষতা এবং দক্ষতার জটিল প্রয়োগ " সূচকীয় সমীকরণ এবং তাদের সমাধানের উপায় ”।পাঠ উদ্দেশ্য।
সরঞ্জাম:
কম্পিউটার এবং মাল্টিমিডিয়া প্রজেক্টর।পাঠটি ব্যবহার করে তথ্য প্রযুক্তি : পাঠের জন্য পদ্ধতিগত সহায়তা - মাইক্রোসফ্ট পাওয়ার পয়েন্ট প্রোগ্রামে উপস্থাপনা।
ক্লাস চলাকালীন
প্রতিটি দক্ষতা শ্রমের দ্বারা দেওয়া হয়
আই। পাঠ লক্ষ্য সেট(স্লাইড নম্বর 2 )
এই পাঠে, আমরা সংক্ষিপ্ত বিবরণ এবং সাধারণকরণ করব "সূচকীয় সমীকরণ, তাদের সমাধান"। আসুন এই বিষয়ে বিভিন্ন বছর থেকে সাধারণ ইউএসই অ্যাসাইনমেন্টগুলির সাথে পরিচিত হন।
সূচকীয় সমীকরণ সমাধানের জন্য কার্যাদি পরীক্ষার যে কোনও অংশে পাওয়া যায়। অংশে “ ভিতরে " সাধারণত তারা সরল সূচকীয় সমীকরণগুলি সমাধান করার প্রস্তাব দেয়। অংশে “ "থেকে" আপনি আরও জটিল সূচকীয় সমীকরণ খুঁজে পেতে পারেন, এর সমাধান সাধারণত কার্যের একটি পর্যায়ে।
উদাহরণ স্বরূপ ( স্লাইড নম্বর 3 ).
- ইউনিফাইড রাষ্ট্র পরীক্ষা - 2007
প্রশ্ন 4 - বৃহত্তম প্রকাশের মানটি সন্ধান করুন x yকোথায় ( এক্স; at) - সিস্টেম সমাধান:
বি 1 - সমীকরণগুলি সমাধান করুন:
এবং) এক্স 6 3এক্স – 36 6 3এক্স = 0;
খ) 4 এক্স +1 + 8 4 এক্স= 3.
প্রশ্ন 4 - অভিব্যক্তির অর্থটি সন্ধান করুন x + yকোথায় ( এক্স; at) - সিস্টেম সমাধান:
- ইউনিফাইড রাজ্য পরীক্ষা - ২০১০
II। প্রাথমিক জ্ঞান আপডেট করা। পুনরাবৃত্তি
(স্লাইড সংখ্যা 4 - 6 পাঠের জন্য উপস্থাপনা)স্ক্রিন শো তাত্ত্বিক উপাদান সমর্থন সংক্ষিপ্তসার এই বিষয়ে.
নিম্নলিখিত বিষয়গুলি আলোচনা করা হয়:
- কী সমীকরণ বলা হয় নির্দেশক?
- এগুলি সমাধানের প্রধান উপায়গুলির নাম দিন। তাদের ধরণের উদাহরণ দিন ( স্লাইড নম্বর 4 )
- কোন উপপাদ্যটি ফর্মটির সহজতম ঘনিষ্ঠ সমীকরণগুলি সমাধান করতে ব্যবহৃত হয়: এবং f (x) \u003d a g (x)?
- সূচকীয় সমীকরণ সমাধানের জন্য অন্যান্য কোন পদ্ধতি রয়েছে? ( স্লাইড নম্বর 5 )
(প্রতিটি পদ্ধতির প্রস্তাবিত সমীকরণগুলি নিজে থেকে সমাধান করুন এবং একটি স্লাইড ব্যবহার করে একটি স্ব-পরীক্ষা করুন)
- ফ্যাক্টরিং পদ্ধতি (এর সাথে ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে একই ঘাঁটি, ভর্তি: ক্ষুদ্রতম অভিজাতের সাথে ডিগ্রিটি বন্ধনী থেকে নেওয়া হয়)।
- একজাতীয় সূচকীয় সমীকরণগুলি সমাধান করার সময় শূন্য ব্যতীত কোনও সূচকীয় ভাব দ্বারা বিভাগের (গুণ) সংবর্ধনা .
- পরামর্শ:
-
শেষ দুটি পদ্ধতির সাথে সমীকরণগুলি সমাধান করার পরে মন্তব্যগুলি
(স্লাইড 6 নম্বর ).
. 4 এক্স+ 1 – 2 4 এক্স– 2 = 124, 4 এক্স– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 এক্স– 2 62 = 124,4 এক্স– 2 = 2, 4 এক্স– 2 = 4 0,5 , এক্স– 2 = 0,5, x \u003d 2,5 .
2 2 2x - 3 2 এক্স 5 এক্স - 5 5 2এক্স \u003d 0¦: 5 2 এক্স0,2 (2/5) 2x - 3 (2/5) এক্স - 5 = 0,
t \u003d (2/5) এক্স, টি > 0, 2টি 2 - 3 t - 5 = 0, টি= -1(?...), t \u003d 5/2; 5/2 \u003d (2/5) এক্স, এক্স= ?...
III। ২০১০ সালের পরীক্ষার কাজগুলি সমাধান করা
শিক্ষার্থীরা 3 টি স্লাইডের পাঠের শুরুতে প্রস্তাবিত কার্যগুলি সমাধানের জন্য নির্দেশাবলীর সাহায্যে সমাধান করে, তাদের সমাধান কোর্সটি পরীক্ষা করে নিন এবং উপস্থাপনাটি ব্যবহার করে তাদের উত্তরগুলি ( স্লাইড নম্বর 7 )। কাজের সময়, বিকল্পগুলি এবং সমাধানের উপায়গুলি নিয়ে আলোচনা করা হয়, সমাধানের সম্ভাব্য ত্রুটির দিকে মনোযোগ আকর্ষণ করা হয়।
: ক) 7 এক্স- 2 \u003d 49, খ) (1/6) 12 - 7 এক্স = 36. উত্তর: এবং) এক্স\u003d 4, খ) এক্স = 2. : 4 এক্স2 + 3এক্স – 2 - 0,5 2এক্স 2 + 2এক্স - 1 \u003d 0. (আপনি 0.5 \u003d 4 - 0.5 প্রতিস্থাপন করতে পারেন)সিদ্ধান্ত. ,
এক্স 2 + 3এক্স – 2 = -এক্স 2 - 4এক্স + 0,5 …
উত্তর: এক্স= -5/2, এক্স = 1/2.
: 5 5 টিজি y + 4 \u003d 5 -টিজি y , কোস সহ y< 0.সমাধান ইঙ্গিত
... 5 5 টিজি y + 4 \u003d 5 -টিজি y T 5 টিজি y 0,5 5 2 জি y + 4 5 টিজি y - 1 \u003d 0. আসুন এক্স\u003d 5 টিজি y , …
5 টিজি y = -1 (?...), 5 টিজি y \u003d1/5.
যেহেতু টিজি y\u003d -1 এবং কোস y< 0, তারপর at II সমন্বয় কোয়ার্টার
উত্তর: at= 3/4 + 2কে, কে এন.
চতুর্থ। ব্ল্যাকবোর্ডে সহযোগিতা করুন
উচ্চ স্তরের প্রশিক্ষণের কাজটি বিবেচনা করা হয় - স্লাইড 8 ... এই স্লাইডটির সাহায্যে, শিক্ষক এবং শিক্ষার্থীদের মধ্যে একটি সংলাপ হয়, যা সমাধানের বিকাশে অবদান রাখে।
- কি পরামিতি এবং সমীকরণ 2 2 এক্স – 3 2 এক্স + এবং 2 – 4এবং \u003d 0 এর দুটি শিকড় আছে?হতে দিন টি= 2 এক্স কোথায় টি > 0 ... আমরা পেতে টি 2 – 3টি + (এবং 2 – 4এবং) = 0 .
1)। যেহেতু সমীকরণের দুটি মূল রয়েছে, তারপরে ডি\u003e 0;
2)। যেমন টি 1,2\u003e 0, তারপর টি 1 টি 2\u003e 0, তা এবং 2 – 4এবং> 0 (?...).
উত্তর: এবং(- 0.5; 0) বা (4; 4.5)।
ভি। যাচাইকরণের কাজ
(স্লাইড নম্বর 9 )শিক্ষার্থীরা পারফর্ম করে যাচাইকরণ কাজ কাগজের টুকরোয়, বিষয়টিকে নিশ্চিত করে একটি উপস্থাপনার সাহায্যে সম্পাদিত কাজের স্ব-নিয়ন্ত্রণ এবং স্ব-মূল্যায়ন অনুশীলন করা। তারা ওয়ার্কবুকগুলিতে করা ভুলের উপর ভিত্তি করে জ্ঞানকে নিয়ন্ত্রণ এবং সংশোধন করার জন্য স্বাধীনভাবে তাদের জন্য একটি প্রোগ্রাম নির্ধারণ করে। সম্পূর্ণ স্বতন্ত্র কাজ সহ শীটগুলি যাচাইয়ের জন্য শিক্ষকের হাতে দেওয়া হয়।
আন্ডারলাইন করা সংখ্যার - বেসিক স্তরের, একটি নক্ষত্রের সাথে - অসুবিধা বৃদ্ধি
সমাধান এবং উত্তর.
3. 2 এক্স– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 এক্স– 1 76 = 19, 2 এক্স– 1 = 1/4, 2 এক্স– 1 = 2 – 2 , এক্স– 1 = -2,
x \u003d -1.
4 * .3 9 x \u003d 2 3 এক্স 5 এক্স+ 5 25 এক্স | : 25 এক্স ,
3 (9/25) x \u003d 2 (3/5) এক্স+ 5,
3 (9/27) এক্স = 2 (3/5) এক্স + 5 = 0,
3 (3/5) 2এক্স – 2 (3/5) এক্স - 5 = 0,…, (3/5) এক্স = -1 (মিলছে না),
(3/5) এক্স = 5, x \u003d -1.
ভি। বাড়ির কাজ
(স্লাইড নম্বর 10 )- Eat 11, 12 পুনরাবৃত্তি করুন।
- এর পরীক্ষার উপকরণ 2008 - 2010 এ বিষয়ের উপর কাজগুলি নির্বাচন করতে এবং সেগুলি সমাধান করার জন্য।
- হোম টেস্টের কাজ :
