স্কোয়ার ইউআর দ্বিঘাত সমীকরণ. সম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধান করা। হ্রাস এবং অপ্রত্যাশিত চতুর্ভুজ সমীকরণ
আমি আশা করি এই নিবন্ধটি অধ্যয়ন করে আপনি কীভাবে একটি সম্পূর্ণ চতুষ্কোণ সমীকরণের শিকড় খুঁজে পাবেন তা শিখবেন।
বৈষম্যমূলক ব্যক্তির সাহায্যে, কেবল সম্পূর্ণ চতুষ্কোণ সমীকরণগুলি সমাধান করা হয়, অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য অন্যান্য পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়, যা আপনি "অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি সমাধান করা" নিবন্ধে পাবেন।
চতুর্ভুজ সমীকরণকে কী বলা হয় সম্পূর্ণ? এটা 2 + বি x + c \u003d 0 ফর্মের সমীকরণ, যেখানে সহগের a, b এবং c শূন্যের সমান নয়। সুতরাং, সম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণটি সমাধান করার জন্য আপনাকে বৈষম্যমূলক ডি গণনা করতে হবে
D \u003d b 2 - 4ac।
বৈষম্যমূলক মূল্যমানের উপর নির্ভর করে আমরা উত্তরটি লিখব।
বৈষম্যমূলক হলে নেতিবাচক (ডি< 0),то корней нет.
যদি বৈষম্যমূলক শূন্যের সমান হয়, তবে x \u003d (-বি) / 2 এ। যখন বৈষম্যমূলক ইতিবাচক হয় (D\u003e 0),
তারপরে x 1 \u003d (-b - )D) / 2a, এবং x 2 \u003d (-b + )D) / 2a।
এই ক্ষেত্রে. সমীকরণটি সমাধান করুন x 2 - 4x + 4 \u003d 0।
ডি \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0
x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2
উত্তর: ২।
সমীকরণ 2 সমাধান করুন x 2 + x + 3 \u003d 0।
ডি \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23
উত্তর: শিকড় নেই.
সমীকরণ 2 সমাধান করুন x 2 + 5x - 7 \u003d 0.
ডি \u003d 5 2 - 4 · 2 · (–7) \u003d 81
x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5
x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1
উত্তর: - 3.5; ঘ.
সুতরাং, আমরা চিত্র 1 এ সার্কিট দ্বারা সম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণের সমাধান উপস্থাপন করব।
যে কোনও সম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ এই সূত্রগুলি ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে। এটি নিশ্চিত করার জন্য আপনার অবশ্যই যত্নবান হওয়া দরকার সমীকরণটি একটি প্রমিত বহুপদী হিসাবে লেখা হয়েছিল
এবং x 2 + বিএক্স + সি, অন্যথায়, আপনি একটি ভুল করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, x + 3 + 2x 2 \u003d 0 সমীকরণটি লেখার ক্ষেত্রে, আপনি ভুলের সাথে এটি সিদ্ধান্ত নিতে পারেন
a \u003d 1, b \u003d 3 এবং c \u003d 2. তারপরে
ডি \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 এবং তারপরে সমীকরণটির দুটি শিকড় থাকে। এবং এটি সত্য নয়। (উপরের উদাহরণ 2 এর সমাধান দেখুন)।
সুতরাং, যদি সমীকরণটি স্ট্যান্ডার্ড ফর্মের বহুবর্ষ হিসাবে লেখা না হয় তবে প্রথমে সম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণটি অবশ্যই স্ট্যান্ডার্ড ফর্মের বহুবর্ষ হিসাবে লিখতে হবে (প্রথম স্থানে বৃহত্তম ব্যয়কারীর সাথে একক চিহ্ন হওয়া উচিত) এবং x 2 , তারপর কম সঙ্গে – বিএক্সএবং তারপরে একজন নিখরচায় সদস্য থেকে।
হ্রাস চতুষ্কোণ সমীকরণ এবং দ্বিতীয় পদে এমনকি একটি সহগ সহ একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধান করার সময়, অন্যান্য সূত্রগুলিও ব্যবহার করা যেতে পারে। আসুন এই সূত্রগুলির সাথে পরিচিত হন। যদি দ্বিতীয় পদটির সাথে পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণে সহগটি সমান (b \u003d 2 কে) হয় তবে চিত্র 2 এর চিত্রায় প্রদর্শিত সূত্রগুলি ব্যবহার করে সমীকরণটি সমাধান করা যেতে পারে।
একটি সম্পূর্ণ চতুষ্কোণ সমীকরণকে হ্রাস বলা হয় যদি এর সহগ হয় x 2 একের সমান এবং সমীকরণটি রূপ নেয় x 2 + পিক্স + কিউ \u003d 0... সমাধানের জন্য এই জাতীয় সমীকরণ দেওয়া যেতে পারে, বা এটি সহগের দ্বারা সমীকরণের সমস্ত সহগকে ভাগ করে পাওয়া যায় এবংদাঁড়িয়ে x 2 .
চিত্র 3 হ্রাস করা বর্গক্ষেত্র সমাধানের জন্য একটি স্কিম দেখায় 
সমীকরণ আসুন এই নিবন্ধে আলোচিত সূত্রগুলির প্রয়োগের উদাহরণ দেখুন।
উদাহরণ। সমীকরণটি সমাধান করুন
3x 2 + 6x - 6 \u003d 0
আসুন চিত্র 1-এ ডায়াগ্রামে প্রদর্শিত সূত্রগুলি ব্যবহার করে এই সমীকরণটি সমাধান করুন।
ডি \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108
\u003dD \u003d √108 \u003d √ (363) \u003d 6√3
x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d –1 - √3
x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + √3
উত্তর: -1 - √3; .1 + √3
এটি লক্ষ করা যেতে পারে যে এই সমীকরণের x এর সহগ একটি সমান সংখ্যা, যা, b \u003d 6 বা b \u003d 2k, কোথাও k \u003d 3. তারপর আমরা ডি 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6 চিত্রের ডায়াগ্রামে দেখানো সূত্রগুলি দ্বারা সমীকরণটি সমাধান করার চেষ্টা করব) ) \u003d 9 + 18 \u003d 27
√ (ডি 1) \u003d √27 \u003d √ (9 3) \u003d 3√3
x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3
উত্তর: -1 - √3; .1 + √3... এই চতুষ্কোণ সমীকরণের সমস্ত সহগগুলি 3 দ্বারা বিভাজ্য এবং পারফরম্যান্স বিভাজনকে লক্ষ্য করে আমরা হ্রাস চতুষ্কোণ সমীকরণ x 2 + 2x - 2 \u003d 0 হ্রাস চতুষ্কোণের সূত্রগুলি ব্যবহার করে এই সমীকরণটি সমাধান করুন 
সমীকরণ চিত্র 3।
ডি 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12
√ (ডি 2) \u003d √12 \u003d √ (4 3) \u003d 2√3
x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3
x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3
উত্তর: -1 - √3; .1 + √3।
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, বিভিন্ন সূত্র ব্যবহার করে এই সমীকরণটি সমাধান করার সময়, আমরা একই উত্তর পেয়েছি। সুতরাং, চিত্র 1 এর ডায়াগ্রামে দেখানো সূত্রগুলি ভালভাবে আয়ত্ত করে আপনি সর্বদা যে কোনও সম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধান করতে পারেন।
সাইট, সামগ্রীর সম্পূর্ণ বা আংশিক অনুলিপি সহ, উত্সের একটি লিঙ্ক প্রয়োজন।
আমরা বিষয়টি অধ্যয়ন অব্যাহত রাখি “ সমীকরণ সমাধান"। আমরা ইতিমধ্যে লিনিয়ার সমীকরণের সাথে দেখা করেছি এবং এর সাথে পরিচিত হতে এগিয়ে চলেছি দ্বিঘাত সমীকরণ.
প্রথমত, আমরা চতুর্ভুজ সমীকরণ কী, কীভাবে এটি সাধারণ আকারে লেখা হয় তা বিশ্লেষণ করব এবং সম্পর্কিত সংজ্ঞা দেব। এর পরে, উদাহরণগুলি ব্যবহার করে আমরা বিশদ বিশ্লেষণ করব যে কীভাবে অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি সমাধান করা হয়। তারপরে আমরা সম্পূর্ণ সমীকরণগুলি সমাধান করার দিকে এগিয়ে যাই, শিকড়গুলির সূত্র গ্রহণ করি, চতুর্ভুজ সমীকরণের বৈষম্যমূলক সাথে পরিচিত হই এবং আদর্শ উদাহরণগুলির সমাধানগুলি বিবেচনা করি। পরিশেষে, আসুন শিকড় এবং সহগের মধ্যে সম্পর্কটি চিহ্নিত করি।
পৃষ্ঠা নেভিগেশন।
চতুর্ভুজ সমীকরণ কী? তাদের প্রকার
চতুর্ভুজ সমীকরণ কী তা আপনাকে প্রথমে পরিষ্কারভাবে বুঝতে হবে। সুতরাং, চতুর্ভুজ সমীকরণের সাথে চতুর্ভুজ সমীকরণের সংজ্ঞা এবং সেই সাথে সম্পর্কিত সংজ্ঞাগুলির সাথে কথা বলা শুরু করা যৌক্তিক। এর পরে, আপনি প্রধান ধরণের চতুষ্কোণ সমীকরণগুলি বিবেচনা করতে পারেন: হ্রাস এবং অ-হ্রাস, পাশাপাশি সম্পূর্ণ এবং অসম্পূর্ণ সমীকরণ।
চতুর্ভুজ সমীকরণের সংজ্ঞা এবং উদাহরণ
সংজ্ঞা।
দ্বিঘাত সমীকরণ ফর্ম একটি সমীকরণ a x 2 + b x + c \u003d 0 , যেখানে x হল একটি ভেরিয়েবল, ক, খ এবং সি কিছু নম্বর এবং একটি ননজারো।
আসুন এখনই বলা যাক চতুর্ভুজ সমীকরণগুলিকে প্রায়শই দ্বিতীয় ডিগ্রির সমীকরণ বলা হয়। এটি কারণ চতুর্ভুজ সমীকরণ হয় বীজগণিত সমীকরণ দ্বিতীয় ডিগ্রী.
শব্দযুক্ত সংজ্ঞাটি আমাদের চতুর্ভুজ সমীকরণের উদাহরণ দিতে দেয়। সুতরাং 2 x 2 + 6 x + 1 \u003d 0, 0.2 x 2 + 2.5 x + 0.03 \u003d 0, ইত্যাদি চতুর্ভুজ সমীকরণ।
সংজ্ঞা।
সংখ্যা a, b এবং c বলা হয় চতুর্ভুজ সমীকরণের সহগ a x 2 + b x + c \u003d 0, এবং সহগ a কে প্রথম, বা সর্বোচ্চ, বা x 2 এর সহগ বলা হয়, দ্বিতীয়টি সহগ হয়, বা x এর সহগ হয়, এবং c হয় মুক্ত শব্দ।
উদাহরণস্বরূপ, আসুন 5x2 −2x3 \u003d 0 ফর্মের একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ নেওয়া যাক, এখানে অগ্রণী সহগ 5, দ্বিতীয় সহগ −2, এবং ইন্টারসেপ্ট −3 হয়। দ্রষ্টব্য যে যখন সহগ বি এবং / বা সি নেতিবাচক হবে, যেমনটি কেবল উদাহরণ হিসাবে দেওয়া হয়েছে, তখন চতুর্ভুজ সমীকরণের সংক্ষিপ্ত রূপটি 5 x 2 + (- 2) নয় 5 x 2 −2 x - 3 \u003d 0 ) এক্স + (- 3) \u003d 0।
এটি লক্ষ করা উচিত যে যখন সহগ এবং a বা / b বি 1 বা −1 এর সমান হয়, তখন তারা সাধারণত স্পষ্টভাবে চতুষ্কোণ সমীকরণে উপস্থিত হয় না, যা এ জাতীয় লেখার বিশেষত্বের কারণে। উদাহরণস্বরূপ, চতুর্ভুজ সমীকরণ y 2 −y + 3 \u003d 0 এ, অগ্রণী সহগ একটি হয়, এবং y এর সহগ −1 হয়।
হ্রাস এবং অপ্রত্যাশিত চতুর্ভুজ সমীকরণ
নেতৃস্থানীয় সহগের মানের উপর নির্ভর করে হ্রাস এবং অ-হ্রাস চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি পৃথক করা হয়। আসুন আমরা সংজ্ঞা প্রদান করি।
সংজ্ঞা।
একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ যেখানে শীর্ষস্থানীয় সহগ 1 হয় is চতুর্ভুজ সমীকরণ হ্রাস... অন্যথায় চতুর্ভুজ সমীকরণ হয় অবিশ্বস্ত.
অনুসারে এই সংজ্ঞা, চতুর্ভুজ সমীকরণ x 2 −3 x + 1 \u003d 0, x 2 −x - 2/3 \u003d 0, ইত্যাদি - প্রদত্ত, তাদের প্রত্যেকের মধ্যে প্রথম সহগ একটির সমান। এবং 5 x 2 --x - 1 \u003d 0 ইত্যাদি - অপরিবর্তিত চতুষ্কোণ সমীকরণ, তাদের নেতৃস্থানীয় সহগ 1 থেকে পৃথক।
নেতৃস্থানীয় সহগ দ্বারা তার উভয় অংশকে বিভাজন করে যে কোনও অ-হ্রাস চতুষ্কোণ সমীকরণ থেকে, আপনি হ্রাস করাতে যেতে পারেন। এই ক্রিয়াটি একটি সমতুল রূপান্তর, অর্থাৎ, এইভাবে প্রাপ্ত হ্রাস চতুর্ভুজ সমীকরণের মূল অবিশ্বাস্য চতুর্ভুজ সমীকরণের মতো একই শিকড় রয়েছে, বা এর মতো এর কোনও শিকড় নেই।
আসুন আমরা উদাহরণস্বরূপ বিশ্লেষণ করা যাক কীভাবে একটি অনুন্নত চতুর্ভুজ সমীকরণ থেকে হ্রাসিত স্থানে রূপান্তর করা হয়।
উদাহরণ।
3 x 2 + 12 x - 7 \u003d 0 সমীকরণ থেকে, সম্পর্কিত হ্রাস চতুর্ভুজ সমীকরণে যান।
সিদ্ধান্ত।
আমাদের কেবলমাত্র মূল সমীকরণের উভয় দিকটি শীর্ষস্থানীয় ফ্যাক্টর 3 দ্বারা বিভক্ত করা দরকার, এটি ননজারো তাই আমরা এই ক্রিয়াটি সম্পাদন করতে পারি। আমাদের কাছে (3 x 2 + 12 x - 7): 3 \u003d 0: 3, যা একই, (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 \u003d 0 এবং আরও (3: 3) এক্স 2 + (12: 3) এক্স - 7: 3 \u003d 0, কোথা থেকে। সুতরাং আমরা হ্রাস চতুষ্কোণ সমীকরণ পেয়েছি, যা মূল একের সমান।
উত্তর:
সম্পূর্ণ এবং অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ
চতুর্ভুজ সমীকরণের সংজ্ঞাটিতে শর্তটি একটি ≠ 0 রয়েছে। এই শর্তটি একটি x 2 + b x + c \u003d 0 সমীকরণের জন্য হুবহু চতুষ্কোণীয় হওয়া আবশ্যক, যেহেতু a \u003d 0 এ এটি প্রকৃতপক্ষে b x + c \u003d 0 ফর্মের লিনিয়ার সমীকরণ হয়ে যায়।
সহগ বি এবং গ হিসাবে, তারা পৃথক এবং একসাথে উভয় শূন্য হতে পারে। এই ক্ষেত্রে চতুর্ভুজ সমীকরণকে অসম্পূর্ণ বলা হয়।
সংজ্ঞা।
চতুর্ভুজ সমীকরণকে একটি x 2 + b x + c \u003d 0 বলা হয় অসম্পূর্ণযদি কমপক্ষে একটি সহগ বি, গ এর সমান হয় তবে শূন্যের সমান।
তার পালা
সংজ্ঞা।
সম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ এমন একটি সমীকরণ যেখানে সমস্ত সহগ ননজারো।
এ জাতীয় নামগুলি সুযোগ মতো দেওয়া হয় না। এটি নিম্নলিখিত বিবেচ্য বিষয়গুলি থেকে পরিষ্কার হয়ে যাবে।
সহগ বি যদি শূন্যের সমান হয়, তবে চতুর্ভুজ সমীকরণটি একটি x 2 + 0 x + c \u003d 0 রূপ ধারণ করে এবং এটি একটি x 2 + সি \u003d 0 সমীকরণের সমান। যদি সি \u003d 0, অর্থাৎ, চতুর্ভুজ সমীকরণটির আকারটি একটি x 2 + বি x + 0 \u003d 0 হয় তবে এটি একটি এক্স 2 + বি x \u003d 0 হিসাবে আবারও লেখা যেতে পারে। এবং b \u003d 0 এবং c \u003d 0 দিয়ে আমরা চতুর্ভুজ সমীকরণটি একটি x 2 \u003d 0 পাই। ফলস্বরূপ সমীকরণগুলি সম্পূর্ণ চতুষ্কোণ সমীকরণ থেকে পৃথক হয় যে তাদের বাম-হাতের দিকগুলিতে ভেরিয়েবল এক্স সহ একটি শব্দ বা একটি মুক্ত শব্দ বা উভয়ই থাকে না। সুতরাং তাদের নাম - অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ।
সুতরাং x 2 + x + 1 \u003d 0 এবং x2 x 2 −5 x + 0.2 \u003d 0 সমীকরণগুলি সম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণের উদাহরণ এবং x 2 \u003d 0, x2 x 2 \u003d 0.5 x 2 + 3 \u003d 0, 2x 2 −5 · x \u003d 0 অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ।
অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি সমাধান করা
পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে তথ্য থেকে এটি নিম্নলিখিত যে অনুসরণ করে অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ তিন ধরণের:
- a x 2 \u003d 0, সহগ খ \u003d 0 এবং সি \u003d 0 এর সাথে মিল;
- a x 2 + c \u003d 0 যখন খ \u003d 0;
- এবং একটি x 2 + বি x \u003d 0 যখন সি \u003d 0 হয়।
আসুন কীভাবে এই প্রতিটি ধরণের অপূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি সমাধান করা হয় তা বিশ্লেষণ করা যাক।
একটি এক্স 2 \u003d 0
আসুন অসম্পূর্ণ চতুষ্কোণ সমীকরণগুলি সমাধান করে শুরু করুন যেখানে সহগ বি এবং সি সমান শূন্য, অর্থাৎ, ফর্মের সমীকরণের সাথে একটি · x 2 \u003d 0 হবে। A · x 2 \u003d 0 সমীকরণটি x 2 \u003d 0 সমীকরণের সমতুল্য, যা মূলটি থেকে এর উভয় অংশকে ননজারো নম্বর দ্বারা বিভাজন করে প্রাপ্ত হয়। স্পষ্টতই, x 2 \u003d 0 সমীকরণের মূলটি 0, \u003d 0 থেকে শূন্য। এই সমীকরণটির অন্য কোনও শিকড় নেই, যা ব্যাখ্যা করা হয়েছে, প্রকৃতপক্ষে কোনও ননজারো সংখ্যা পি এর জন্য, বৈষম্য p 2\u003e 0 ধারণ করে, যেহেতু এটি পি ≠ 0 এর জন্য সমতা পি 2 \u003d 0 অর্জন করে না।
সুতরাং, অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ a · x 2 \u003d 0 এর একটি একক মূল x \u003d 0 রয়েছে।
উদাহরণস্বরূপ, আসুন আমরা অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ -4 · x 2 \u003d 0 এর সমাধান দিতে পারি। সমীকরণ x 2 \u003d 0 এর সমান, এর একমাত্র মূলটি x \u003d 0, সুতরাং, মূল সমীকরণটিরও একটি অনন্য রুট শূন্য রয়েছে।
এই ক্ষেত্রে একটি সংক্ষিপ্ত সমাধানটি নীচে হিসাবে তৈরি করা যেতে পারে:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x \u003d 0
একটি এক্স 2 + সি \u003d 0
এখন আসুন বিবেচনা করা যাক কীভাবে অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি সমাধান করা হয়, যার মধ্যে সহগ খ শূন্য, এবং সি ≠ 0, যা ফর্মের সমীকরণ a · x 2 + c \u003d 0 হয়। আমরা জানি যে সমীকরণের একপাশ থেকে বিপরীত চিহ্ন দিয়ে অন্যটিতে রূপান্তর করার পাশাপাশি সমীকরণের উভয় দিককে ননজারো সংখ্যায় ভাগ করে সমান সমীকরণ দেয় give অতএব, আমরা একটি এক্স 2 + সি \u003d 0 অপূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণের নিম্নলিখিত সমতুল্য রূপান্তরগুলি সম্পাদন করতে পারি:
- সিটিকে ডান দিকে সরান, যা সমীকরণটি 2 \u003d −c সরবরাহ করে,
- এবং উভয় অংশকে একটি দ্বারা ভাগ করুন, আমরা পেয়েছি।
ফলস্বরূপ সমীকরণ আমাদের এর শিকড় সম্পর্কে উপসংহার আঁকতে সহায়তা করে। A এবং c এর মানগুলির উপর নির্ভর করে, অভিব্যক্তিটির মানটি নেতিবাচক হতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, যদি a \u003d 1 এবং c \u003d 2, তবে) বা ধনাত্মক, (উদাহরণস্বরূপ, যদি a \u003d −2 এবং c \u003d 6 হয় তবে), এটি শূন্যের সমান নয় , যেহেতু শর্তে সি ≠ 0। আসুন আমরা কেসগুলি পৃথকভাবে পরীক্ষা করি এবং।
যদি, তবে সমীকরণটির কোনও শিকড় নেই। এই বিবৃতিটি যে কোনও সংখ্যার বর্গক্ষেত্রটি একটি অ-নেতিবাচক সংখ্যার থেকে আসে। এটি এ থেকে অনুসরণ করে যে যখন কোনও সংখ্যার জন্য পি সমতাটি সত্য হতে পারে না।
যদি, তবে সমীকরণের শিকড়গুলির সাথে পরিস্থিতি আলাদা। এই ক্ষেত্রে, আপনি যদি মনে রাখেন তবে সমীকরণের মূলটি তাত্ক্ষণিকভাবে স্পষ্ট হয়ে ওঠে, এটি একটি সংখ্যা, যেহেতু। অনুমান করা সহজ যে সংখ্যাটিও সমীকরণের মূল, প্রকৃতপক্ষে, is এই সমীকরণের অন্য কোনও শিকড় নেই, যা দেখানো যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, দ্বন্দ্বের দ্বারা। চল এটা করি.
আসুন সমীকরণের শিকড়গুলি কেবল x 1 এবং 1x 1 হিসাবে শোনানো। ধরা যাক সমীকরণটির আরও একটি মূল 2 x 2 রয়েছে যা নির্দেশিত শিকড় x 1 এবং 1x 1 এর চেয়ে আলাদা। এটি পরিচিত যে এর শিকড়গুলির পরিবর্তনের পরিবর্তে x এর পরিবর্তে সমীকরণকে সমীকরণটিকে সত্য সংখ্যার সমতায় পরিণত করে। এক্স 1 এবং 1x 1 এর জন্য আমাদের এবং এক্স 2 এর জন্য রয়েছে। সংখ্যাগত সমতার বৈশিষ্ট্যগুলি আমাদের সত্য সংখ্যার সমতাগুলির টু-কাল-বিয়োগ বিয়োগ করতে দেয়, সুতরাং সমতার সাথে সম্পর্কিত অংশগুলি বিয়োগ করে x 1 2 −x 2 2 \u003d 0 দেয়। সংখ্যার সাথে ক্রিয়াগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি আপনাকে ফলস্বরূপ সমতা (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0 হিসাবে পুনরায় লেখার অনুমতি দেয়। আমরা জানি যে দুটি সংখ্যার গুণফল শূন্যের সমান এবং যদি কেবল তাদের মধ্যে কমপক্ষে একটি শূন্যের সমান হয়। সুতরাং, এটি প্রাপ্ত সমতা থেকে অনুসরণ করে যে x 1 - x 2 \u003d 0 এবং / অথবা x 1 + x 2 \u003d 0, যা একই, x 2 \u003d x 1 এবং / অথবা x 2 \u003d −x 1। এভাবেই আমরা একটি বৈপরীত্যে পৌঁছলাম, শুরু থেকেই আমরা বলেছিলাম যে x 2 সমীকরণের মূলটি x 1 এবং 1x 1 থেকে পৃথক। এটি প্রমাণ করে যে সমীকরণটির শিকড় ছাড়া আর কোনও নেই।
আসুন এই আইটেমের তথ্য সংক্ষেপে। অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ একটি x 2 + সি \u003d 0 সমীকরণের সমতুল্য
- শিকড় নেই যদি,
- দুটি শিকড় আছে এবং, যদি।
একটি · x 2 + c \u003d 0 ফর্মের অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণের উদাহরণ বিবেচনা করুন।
চতুর্ভুজ সমীকরণ 9 x 2 + 7 \u003d 0 দিয়ে শুরু করা যাক। বিনামূল্যে শব্দটিকে সমীকরণের ডান দিকে স্থানান্তরিত করার পরে, এটি রূপটি 9 · x 2 \u003d −7 নেবে। ফলাফল সমীকরণের উভয় পক্ষকে 9 দ্বারা ভাগ করে আমরা পৌঁছে যাচ্ছি। যেহেতু ডানদিকে নেতিবাচক সংখ্যা পাওয়া যায়, সুতরাং এই সমীকরণের কোনও শিকড় নেই, সুতরাং, মূল অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ 9 · x 2 + 7 \u003d 0 এর কোনও শিকড় নেই।
আরও একটি অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ −x 2 + 9 \u003d 0 সমাধান করুন। নয়টি ডানদিকে নিয়ে যান: 2x 2 \u003d −9। এখন আমরা উভয় পক্ষকে −1 দ্বারা বিভক্ত করি, আমরা এক্স 2 \u003d 9 পাই। ডানদিকে একটি ধনাত্মক সংখ্যা রয়েছে, যা থেকে আমরা এটি বা শেষ করি। তারপরে আমরা চূড়ান্ত উত্তরটি লিখি: অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ 2x 2 + 9 \u003d 0 এর দুটি শিকড় x \u003d 3 বা x \u003d −3 রয়েছে।
a x 2 + b x \u003d 0
এটি সি \u003d 0 এর জন্য শেষ প্রকারের অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণের সমাধান নিয়ে কাজ করে। X 2 + b x \u003d 0 ফর্মের অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ আপনাকে সমাধান করতে দেয় গুণন পদ্ধতি... স্পষ্টতই, আমরা সমীকরণের বাম দিকে অবস্থিত করতে পারি, যার জন্য এটি সাধারণ ফ্যাক্টর এক্স বের করার পক্ষে যথেষ্ট। এটি আমাদের মূল অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ থেকে ফর্মের x · (a · x + b) \u003d 0 এর সমতুল্য সমীকরণে যেতে দেয়। এবং এই সমীকরণটি দুটি সমীকরণ x \u003d 0 এবং একটি x + b \u003d 0 এর সংমিশ্রণের সমতুল্য, যার শেষটি লিনিয়ার এবং একটি মূল x \u003d −b / a রয়েছে।
সুতরাং, অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণের একটি x 2 + বি x \u003d 0 এর দুটি শিকড় x \u003d 0 এবং x \u003d −b / a রয়েছে।
উপাদানটি একীভূত করতে আমরা একটি নির্দিষ্ট উদাহরণের সমাধান বিশ্লেষণ করব।
উদাহরণ।
সমীকরণটি সমাধান করুন।
সিদ্ধান্ত।
প্রথম বন্ধনীর বাইরে x সরানো একটি সমীকরণ দেয়। এটি x \u003d 0 এবং দুটি সমীকরণের সমান। আমরা প্রাপ্তদের সমাধান করি একঘাত সমীকরণ:, এবং একটি সাধারণ ভগ্নাংশ দ্বারা মিশ্র সংখ্যাটি ভাগ করার পরে, আমরা সন্ধান করি। সুতরাং, মূল সমীকরণের শিকড়গুলি x \u003d 0 এবং।
প্রয়োজনীয় অনুশীলন পাওয়ার পরে, এই জাতীয় সমীকরণগুলির সমাধানগুলি সংক্ষেপে লেখা যেতে পারে:
উত্তর:
x \u003d 0 ,.
বৈষম্যমূলক, একটি চতুর্ভুজ সমীকরণের মূলের সূত্র
চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য একটি মূল সূত্র রয়েছে। চল লিখি দ্বিঘাত সূত্র:, কোথায় ডি \u003d বি 2 −4 এ সি - তথাকথিত চতুর্ভুজ বৈষম্যমূলক... স্বরলিপিটির মূল অর্থ এটি।
চতুর্ভুজ সমীকরণের শিকড়গুলি খুঁজে যখন কীভাবে মূল সূত্রটি পাওয়া যায় এবং কীভাবে এটি প্রয়োগ করা হয় তা জানা দরকারী। আসুন এটি বের করা যাক।
চতুর্ভুজ সমীকরণের মূলের সূত্রটি বের করা
মনে করুন আমাদের চতুর্ভুজ সমীকরণটি একটি x 2 + বি x + সি \u003d 0 সমাধান করতে হবে। আসুন কিছু সমতুল্য রূপান্তর সম্পাদন করুন:
- আমরা এই সমীকরণের উভয় পক্ষকে একটি ননজারো সংখ্যা দ্বারা বিভক্ত করতে পারি, ফলস্বরূপ আমরা হ্রাস চতুষ্কোণ সমীকরণ পেতে পারি।
- এখন একটি সম্পূর্ণ বর্গ নির্বাচন করুন এর বাম দিকে:। এর পরে, সমীকরণটি রূপ নেবে।
- এই পর্যায়ে, বিপরীত চিহ্ন সহ শেষ দুটি পদটি ডান-হাত দিকে স্থানান্তর করা সম্ভব।
- এবং আমরা ডানদিকে অভিব্যক্তি রূপান্তর:।
ফলস্বরূপ, আমরা এমন একটি সমীকরণ আসি যা মূল চতুর্ভুজ সমীকরণের সাথে একটি x 2 + বি x + সি \u003d 0 এর সমান।
আমরা ইতিমধ্যে পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে ফর্মের অনুরূপ সমীকরণগুলি সমাধান করেছি যখন সেগুলি বিশ্লেষণ করেছি। এটি আমাদের সমীকরণের মূল সম্পর্কে নিম্নলিখিত সিদ্ধান্তগুলি আঁকতে সহায়তা করে:
- যদি, তাহলে এই সমীকরণটির কোনও আসল সমাধান নেই;
- যদি, তাহলে এই সমীকরণটির রূপ রয়েছে, সুতরাং এর একমাত্র মূলটি দৃশ্যমান;
- যদি, তবে বা, যা একই বা এটি, সমীকরণের দুটি মূল থাকে।
সুতরাং, সমীকরণের মূলের উপস্থিতি বা অনুপস্থিতি এবং সুতরাং মূল চতুর্ভুজ সমীকরণটি ডান পাশে অভিব্যক্তির চিহ্নের উপর নির্ভর করে। পরিবর্তে, এই অভিব্যক্তির চিহ্নটি সংখ্যার চিহ্ন দ্বারা নির্ধারিত হয়, যেহেতু ডিন 4 4 · a 2 সর্বদা ধনাত্মক হয়, অর্থাৎ, বি 2 −4 · a · সি বর্ণের চিহ্ন the এই এক্সপ্রেশন b 2 −4 a c বলা হয়েছিল চতুর্ভুজ সমীকরণের বৈষম্যমূলক এবং চিঠি দিয়ে চিহ্নিত ডি... এ থেকে, বৈষম্যের মূল বিষয়টি স্পষ্ট - এর মান এবং চিহ্ন দ্বারা এটি সিদ্ধান্ত নেওয়া হয় যে চতুর্ভুজ সমীকরণের মূল শিকড় রয়েছে কিনা, এবং যদি থাকে তবে তাদের সংখ্যাটি কী - এক বা দুটি।
সমীকরণে ফিরে, বৈষম্যমূলক স্বরলিপি ব্যবহার করে এটি পুনরায় লিখুন:। এবং আমরা সিদ্ধান্তে টান:
- যদি ডি<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
- যদি ডি \u003d 0 হয়, তবে এই সমীকরণটির একটি একক মূল রয়েছে;
- শেষ অবধি, যদি ডি\u003e ০ হয়, তবে সমীকরণটির দুটি মূল রয়েছে বা যা এর ভিত্তিতে আবার বা আবার লিখতে পারে এবং ভগ্নাংশকে একটি সাধারণ ডিনমিনেটরে বিস্তৃত ও হ্রাস করার পরে আমরা পাই।
সুতরাং আমরা একটি চতুর্ভুজ সমীকরণের মূলের সূত্রগুলি পেয়েছি, তাদের এমন ফর্ম রয়েছে যেখানে বৈষম্যমূলক ডি সূত্র D \u003d b 2 −4 · a · c দ্বারা গণনা করা হয়।
তাদের সহায়তায়, একটি ইতিবাচক বৈষম্যমূলক, আপনি চতুর্ভুজ সমীকরণের উভয় আসল শিকড় গণনা করতে পারেন। বৈষম্যমূলক শূন্যের সমান হলে, উভয় সূত্রই চতুর্ভুজ সমীকরণের একটি অনন্য সমাধানের সাথে মিল রেখে একই মূল মান দেয়। একটি নেতিবাচক বৈষম্যমূলক সাথে, যখন চতুর্ভুজ সমীকরণের মূলের জন্য সূত্রটি ব্যবহার করার চেষ্টা করা হচ্ছে, আমরা নিষ্কাশনটির মুখোমুখি হই বর্গমূল একটি নেতিবাচক সংখ্যা থেকে, যা আমাদের ছাড়িয়ে যায় এবং স্কুলের পাঠ্যক্রম... নেতিবাচক বৈষম্যমূলকভাবে, চতুর্ভুজ সমীকরণের কোনও আসল শিকড় নেই, তবে এর একটি জুড়ি রয়েছে জটিল অনুবন্ধী শিকড়গুলি, যা আমরা পেয়েছি একই মূল সূত্রগুলি ব্যবহার করে পাওয়া যায়।
মূল সূত্রগুলি ব্যবহার করে চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য অ্যালগরিদম
অনুশীলনে, চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি সমাধান করার সময়, আপনি অবিলম্বে শিকড়গুলির জন্য সূত্রটি ব্যবহার করতে পারেন, যার সাহায্যে আপনি তাদের মানগুলি গণনা করতে পারেন। তবে এটি জটিল শিকড়গুলি সন্ধান করা সম্পর্কে আরও বেশি।
তবে বীজগণিতের স্কুল কোর্সে এটি সাধারণত জটিল নয়, তবে চতুর্ভুজ সমীকরণের মূল শিকড় সম্পর্কে। এই ক্ষেত্রে, চতুর্ভুজ সমীকরণের শিকড়গুলির সূত্রগুলি ব্যবহার করার আগে প্রথমে বৈষম্যমূলক সন্ধান করার পরামর্শ দেওয়া হয়, এটি অ-নেতিবাচক কিনা তা নিশ্চিত করুন (অন্যথায়, আমরা এই সিদ্ধান্ত নিতে পারি যে সমীকরণটির কোনও বাস্তব শিকড় নেই), এবং তারপরেই শিকড়গুলির মানগুলি গণনা করে।
উপরের যুক্তি আমাদের লেখার অনুমতি দেয় চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধানকারী... চতুর্ভুজ সমীকরণকে x 2 + b x + c \u003d 0 সমাধান করার জন্য আপনার প্রয়োজন:
- বৈষম্যমূলক সূত্র দ্বারা D \u003d b 2 −4 · a · c এর মান গণনা করুন;
- এই সিদ্ধান্তে পৌঁছাও যে বৈষম্যমূলক নেতিবাচক হলে চতুর্ভুজ সমীকরণের কোনও আসল মূল থাকে না;
- সূত্র দ্বারা সমীকরণের একমাত্র মূল গণনা করুন যদি ডি \u003d 0;
- বৈষম্যমূলক ইতিবাচক হলে মূল সূত্রটি ব্যবহার করে একটি চতুর্ভুজ সমীকরণের দুটি আসল মূল সন্ধান করুন।
এখানে আমরা কেবল লক্ষ্য করি যে বৈষম্যমূলক শূন্যের সমান হলে, সূত্রটিও ব্যবহার করা যেতে পারে, এটি একই মান দেয়।
চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধানের জন্য আপনি অ্যালগরিদম ব্যবহারের উদাহরণগুলিতে এগিয়ে যেতে পারেন।
চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধানের উদাহরণ
ইতিবাচক, নেতিবাচক এবং শূন্য বৈষম্য সহ তিনটি চতুষ্কোণ সমীকরণের সমাধানগুলি বিবেচনা করুন। তাদের সমাধানের সাথে মোকাবিলা করার পরে, সাদৃশ্য দ্বারা অন্য কোনও চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধান করা সম্ভব হবে। চল শুরু করি.
উদাহরণ।
X 2 + 2 x - 6 \u003d 0 সমীকরণের শিকড়গুলি সন্ধান করুন।
সিদ্ধান্ত।
এই ক্ষেত্রে, আমাদের চতুর্ভুজ সমীকরণের নিম্নলিখিত সহগ রয়েছে: a \u003d 1, b \u003d 2 এবং c \u003d .6। অ্যালগরিদম অনুসারে, প্রথমে আপনাকে বৈষম্যমূলক গণনা করা দরকার, এর জন্য আমরা বৈষম্যমূলক সূত্রে সূচিত একটি, বি এবং সি পরিবর্তিত করি, আমাদের কাছে ডি \u003d বি 2 −4 এ সি \u003d 2 2 −4 1 (−6) \u003d 4 + 24 \u003d 28... ২৮\u003e ০, যেহেতু, বৈষম্যমূলক শূন্যের চেয়ে বেশি, চতুর্ভুজ সমীকরণের দুটি আসল মূল রয়েছে। আমরা এগুলি মূল সূত্র অনুসারে পাই, আমরা পাই, এখানে আপনি করিয়া প্রাপ্ত প্রকাশগুলি সহজ করতে পারেন l মূলের সাইন ফ্যাক্টরিং ভগ্নাংশ পরবর্তী হ্রাস সঙ্গে:
উত্তর:
আসুন পরবর্তী টিপিক্যাল উদাহরণে চলে আসা যাক।
উদাহরণ।
চতুর্ভুজ সমীকরণ olve4x2 + 28x - 49 \u003d 0 সমাধান করুন।
সিদ্ধান্ত।
আমরা বৈষম্যমূলক খুঁজে বের করে শুরু: ডি \u003d 28 2 −4 (−4) (−49) \u003d 784−784 \u003d 0... অতএব, এই চতুর্ভুজ সমীকরণের একটি একক মূল রয়েছে, যা আমরা দেখতে পাই,
উত্তর:
x \u003d 3.5।
এটি নেতিবাচক বৈষম্যমূলক সহ চতুষ্কোণ সমীকরণগুলির সমাধান বিবেচনা করা অবশেষ।
উদাহরণ।
5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0 সমীকরণটি সমাধান করুন।
সিদ্ধান্ত।
এখানে চতুর্ভুজ সমীকরণের সহগ রয়েছে: a \u003d 5, b \u003d 6 এবং c \u003d 2। এই মানগুলি বৈষম্যমূলক সূত্রে প্রতিস্থাপন করা, আমাদের কাছে রয়েছে ডি \u003d বি 2 −4 এ সি \u003d 6 2 −4 5 2 \u003d 36−40 \u003d −4... বৈষম্যমূলক নেতিবাচক, অতএব, এই চতুর্ভুজ সমীকরণের কোনও আসল মূল নেই।
আপনার যদি জটিল শিকড়গুলি ইঙ্গিত করার দরকার হয়, তবে আমরা চতুর্ভুজ সমীকরণের মূলের জন্য সুপরিচিত সূত্রটি প্রয়োগ করি এবং সম্পাদন করি জটিল সংখ্যা অপারেশন:
উত্তর:
বাস্তব শিকড় নেই, জটিল শিকড় নীচে রয়েছে:।
আবার আমরা নোট করি যে চতুর্ভুজ সমীকরণের বৈষম্যমূলক যদি নেতিবাচক হয় তবে স্কুলে তারা সাধারণত তাত্ক্ষণিকভাবে উত্তরটি লিখে দেয়, যার মধ্যে তারা ইঙ্গিত দেয় যে কোনও আসল শিকড় নেই, এবং জটিল শিকড়গুলি খুঁজে পাওয়া যায় না।
এমনকি দ্বিতীয় সহগের জন্য মূল সূত্র
চতুর্ভুজ সমীকরণের মূলের সূত্র, যেখানে ডি \u003d বি 2 −4 সি সি একটি আরও কমপ্যাক্ট সূত্র পেতে সক্ষম করে যা x এর সমান সহগের সাথে চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি সমাধান করার অনুমতি দেয় (অথবা কেবলমাত্র 2 এন ফর্মের সহগ সহ, উদাহরণস্বরূপ, বা 14 ln5 \u003d 2 7 ln5)। আসুন এটি বাইরে নেওয়া যাক।
ধরা যাক আমাদের ফর্মের একটি চতুর্ভুজ সমীকরণের সমাধান করতে হবে x x 2 + 2 n x + c \u003d 0। আসুন আমরা জানি যে সূত্রটি ব্যবহার করে এর শিকড়গুলি সন্ধান করি। এটি করতে, বৈষম্যমূলক গণনা করুন ডি \u003d (2 এন) 2 −4 এ সি \u003d 4 এন 2 −4 এ সি \u003d 4 (এন 2 −এ সি), এবং তারপরে মূল সূত্রটি ব্যবহার করুন:
আসুন n 2 - a · c কে D 1 হিসাবে প্রকাশ করি (কখনও কখনও এটি ডি দ্বারা বোঝানো হয়) Then তারপরে দ্বিতীয় সহগ 2 এন দিয়ে বিবেচিত চতুর্ভুজ সমীকরণের মূলের সূত্রটি রূপ নেয় 
, যেখানে D 1 \u003d n 2 - a · c।
এটি দেখতে সহজ যে ডি \u003d 4 · ডি 1, বা ডি 1 \u003d ডি / 4। অন্য কথায়, ডি 1 বৈষম্যের চতুর্থ অংশ part এটি পরিষ্কার যে ডি 1 এর চিহ্নটি ডি এর চিহ্ন হিসাবে একই is অর্থাৎ, ডি 1 এর চিহ্নটি একটি চতুর্ভুজ সমীকরণের মূলের উপস্থিতি বা অনুপস্থিতিরও একটি সূচক।
সুতরাং, দ্বিতীয় সহগ 2 এন দিয়ে চতুর্ভুজ সমীকরণটি সমাধান করার জন্য আপনার প্রয়োজন
- ডি 1 \u003d n 2 −a · c গণনা করুন;
- যদি ডি 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
- যদি ডি 1 \u003d 0 হয় তবে সূত্র দ্বারা সমীকরণের একমাত্র মূল গণনা করুন;
- যদি ডি 1\u003e 0 হয় তবে সূত্রের দ্বারা দুটি আসল শেকড় সন্ধান করুন।
এই অনুচ্ছেদে প্রাপ্ত মূল সূত্রটি ব্যবহার করে একটি উদাহরণ সমাধান করার বিষয়টি বিবেচনা করুন।
উদাহরণ।
চতুর্ভুজ সমীকরণ 5x2 −6x - 32 \u003d 0 সমাধান করুন।
সিদ্ধান্ত।
এই সমীকরণের দ্বিতীয় সহগকে 2 · (−3) হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। এটি হল, আপনি 5 x 2 + 2 (−3) x - 32 \u003d 0, এখানে a \u003d 5, n \u003d −3 এবং c \u003d −32 আকারে মূল চতুর্ভুজ সমীকরণটি আবার লিখতে পারেন এবং বৈষম্যমূলক চতুর্থ অংশ গণনা করতে পারেন: ডি 1 \u003d এন 2 −a সি \u003d (- 3) 2 −5 (−32) \u003d 9 + 160 \u003d 169... যেহেতু এর মান ইতিবাচক, সমীকরণের দুটি আসল মূল রয়েছে। আসুন এটি সম্পর্কিত মূল সূত্রটি ব্যবহার করে সন্ধান করুন:
নোট করুন যে চতুর্ভুজ সমীকরণের শিকড়গুলির জন্য সাধারণ সূত্র ব্যবহার করা সম্ভব ছিল, তবে এই ক্ষেত্রে আরও গণ্যমূলক কাজ করতে হবে।
উত্তর:
চতুর্ভুজ সমীকরণের ভিউ সরলকরণ
কখনও কখনও, সূত্রগুলি দ্বারা চতুষ্কোণ সমীকরণের মূলের গণনা শুরু করার আগে, এই প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করতে ক্ষতি করে না: "এই সমীকরণের রূপটি কি সহজ করা সম্ভব?" সম্মত হন যে গণনার শর্তে চতুর্ভুজ সমীকরণ 11 x 2 −4 x - 6 \u003d 0 থেকে 1100 x 2 −400 x - 600 \u003d 0 এর সমাধান করা সহজ হবে।
সাধারণত, চতুর্ভুজ সমীকরণের রূপের সরলীকরণ এটির উভয় অংশকে কয়েকটি সংখ্যার দ্বারা গুণিত বা ভাগ করে অর্জন করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে, আমরা উভয় পক্ষকে 100 দ্বারা বিভাজন করে 1100x2 −400x - 600 \u003d 0 সমীকরণটি সহজ করতে পেরেছি।
চতুর্ভুজ সমীকরণগুলির সাথে একই ধরণের রূপান্তর পরিচালিত হয়, যার গুণফলগুলি নেই। এক্ষেত্রে সমীকরণের উভয় দিকই সাধারণত ভাগ করে নেওয়া হয় পরম মান এর সহগ উদাহরণস্বরূপ, চতুর্ভুজ সমীকরণটি 12 x 2 −42 x + 48 \u003d 0 নেওয়া যাক। এর সহগের পরম মান: জিসিডি (12, 42, 48) \u003d জিসিডি (জিসিডি (12, 42), 48) \u003d জিসিডি (6, 48) \u003d 6। মূল চতুষ্কোণ সমীকরণের উভয় পক্ষকে 6 দিয়ে বিভক্ত করে আমরা সমমানের চতুর্ভুজ সমীকরণ 2 x 2 −7 x + 8 \u003d 0 এ পৌঁছাচ্ছি।
এবং একটি চতুর্ভুজ সমীকরণের উভয় দিকের গুণগুলি সাধারণত ভগ্নাংশের সহগগুলি থেকে মুক্তি পাওয়ার জন্য করা হয়। এই ক্ষেত্রে, গুণটি তার সহগের ডিনোমিনেটর দ্বারা সম্পাদিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি চতুর্ভুজ সমীকরণের উভয় পক্ষের এলসিএম (6, 3, 1) \u003d 6 দ্বারা গুণ করা হয়, তবে এটি একটি সহজ ফর্ম x 2 + 4 x - 18 \u003d 0 দ্বারা গ্রহণ করবে।
এই অনুচ্ছেদের উপসংহারে, আমরা দ্রষ্টব্য যে আমরা প্রায় সর্বদা চতুর্ভুজ সমীকরণের নেতৃস্থানীয় সহগতে বিয়োগ থেকে মুক্তি পেয়েছি, সমস্ত পদগুলির লক্ষণগুলি পরিবর্তন করে, যা উভয় অংশকে −1 দিয়ে গুণমান (বা বিভাজন) এর সাথে মিলে যায়। উদাহরণস্বরূপ, সাধারণত চতুর্ভুজ সমীকরণ from2 · x 2 −3 · x + 7 \u003d 0 থেকে আমরা দ্রবণ 2 · x 2 + 3 · x - 7 \u003d 0 তে যাই।
চতুর্ভুজ সমীকরণের শিকড় এবং সহগের মধ্যে সম্পর্ক
চতুষ্কোণ সমীকরণের মূলের সূত্রটি তার সহগের দিক থেকে সমীকরণের মূলকে প্রকাশ করে। মূল সূত্রের ভিত্তিতে, আপনি শিকড় এবং সহগের মধ্যে অন্যান্য নির্ভরতা পেতে পারেন।
সর্বাধিক বিখ্যাত এবং প্রযোজ্য সূত্রগুলি ভিয়েতের ফর্মের উপপাদ্য থেকে এবং। বিশেষত, প্রদত্ত চতুষ্কোণ সমীকরণের জন্য, শিকড়গুলির যোগফল বিপরীত চিহ্ন সহ দ্বিতীয় সহগের সমান হয় এবং শিকড়ের গুণফল মুক্ত শব্দটির সমান হয়। উদাহরণস্বরূপ, চতুর্ভুজ সমীকরণ 3 x 2 −7 x + 22 \u003d 0 আকারে, আমরা তাত্ক্ষণিকভাবে বলতে পারি যে এর শিকড়গুলির যোগফল 7/3, এবং শিকড়ের গুণমান 22/3 হয়।
ইতিমধ্যে লিখিত সূত্রগুলি ব্যবহার করে, আপনি চতুর্ভুজ সমীকরণের শিকড় এবং সহগের মধ্যে বেশ কয়েকটি অন্যান্য সম্পর্ক পেতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, আপনি এর সহগের মাধ্যমে চতুর্ভুজ সমীকরণের মূলের স্কোয়ারগুলির যোগফল প্রকাশ করতে পারেন:
রেফারেন্স এর তালিকা.
- বীজগণিত: অধ্যয়ন. 8 সিএল জন্য। সাধারণ শিক্ষা. প্রতিষ্ঠান / [ইউ। এন। ম্যাকারিচেভ, এন। জি। মিন্ড্যুক, কে। আই নেশকভ, এস। বি। সুভেরোভা]; ed। এস এ। টেলিয়াভস্কি। - 16 তম সংস্করণ। - এম .: শিক্ষা, 2008 .-- 271 পৃষ্ঠা p : অসুস্থ - আইএসবিএন 978-5-09-019243-9।
- উঃ জি মোর্দকোভিচ বীজগণিত। অষ্টম শ্রেণি। দুপুর ২ টায় অংশ ১. শিক্ষাপ্রতিষ্ঠানের শিক্ষার্থীদের জন্য পাঠ্যপুস্তক / এ। জি মর্ডকভিচ। - 11 তম সংস্করণ, মোছা। - এম .: মোনোমজিনা, ২০০৯ .-- ২১৫ পৃষ্ঠা: অসুস্থ। আইএসবিএন 978-5-346-01155-2।
ঠিক সূত্র এবং পরিষ্কার, সহজ নিয়ম দ্বারা। প্রথম পর্যায়ে
এটি প্রদত্ত সমীকরণটি হ্রাস করা প্রয়োজন স্ট্যান্ডার্ড ভিউ, অর্থাত্ দেখা:
যদি এই ফর্মটিতে ইতিমধ্যে সমীকরণটি আপনাকে দেওয়া হয় তবে প্রথম ধাপটি প্রয়োজনীয় নয়। সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ জিনিস সঠিক
সমস্ত সহগ নির্ধারণ করুন, এবং, খ এবং গ.
চতুর্ভুজ সমীকরণের শিকড় সন্ধানের সূত্র।
মূল চিহ্নের নীচে একটি অভিব্যক্তি বলা হয় বৈষম্যমূলক ... আপনি দেখতে পারেন, এক্স সন্ধান করতে, আমরা
ব্যবহার কেবল ক, খ এবং গ. সেগুলো. সহগ দ্বিঘাত সমীকরণ... শুধু সাবধানে বিকল্প
অর্থ ক, খ এবং গ এই সূত্র এবং গণনা মধ্যে। বিকল্প হিসাবে তাদের দ্বারা লক্ষণ!
এই ক্ষেত্রেসমীকরণে:
এবং =1; খ = 3; গ = -4.
মানগুলি লিখুন এবং লিখুন:
উদাহরণটি প্রায় সমাধান করা হয়েছে:
এই উত্তর।
সর্বাধিক সাধারণ ভুল অর্থ সংকেতগুলির সাথে বিভ্রান্তি। ক, খএবং থেকে... বরং প্রতিস্থাপনের সাথে
শিকড় গণনা করার সূত্রে নেতিবাচক মানগুলি। এখানে সূত্রের একটি বিশদ স্বরলিপি সংরক্ষণ করে
নির্দিষ্ট সংখ্যা সহ আপনার যদি গণনার সমস্যা থাকে তবে তা করুন!
মনে করুন আপনার এই উদাহরণটি সমাধান করা দরকার:
এখানে ক = -6; খ = -5; গ = -1
আমরা সমস্ত চিহ্ন এবং বন্ধনীগুলির সাথে কোনও কিছু হারিয়ে না ফেলে সাবধানতার সাথে সমস্ত কিছু রঙ করি:
চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি প্রায়শই কিছুটা আলাদা দেখায়। উদাহরণস্বরূপ, এটি পছন্দ করুন:
আপাতত, সেরা অনুশীলনের নোট নিন যা নাটকীয়ভাবে ত্রুটিগুলি হ্রাস করবে।
প্রথম সংবর্ধনা... আগে অলসতা করবেন না চতুর্ভুজ সমীকরণের সমাধান এটি স্ট্যান্ডার্ড আকারে আনুন।
এটার মানে কি?
যাক, যেকোন রূপান্তরের পরে আপনি নিম্নলিখিত সমীকরণটি পেয়েছেন:
মূল সূত্র লেখার জন্য তাড়াহুড়ো করবেন না! আপনি অবশ্যই প্রতিকূলতাকে মিশিয়ে ফেলবেন। ক, খ এবং গ।
উদাহরণটি সঠিকভাবে তৈরি করুন। প্রথমে এক্সটি স্কোয়ার করা হয়, তারপরে স্কোয়ার ছাড়া, তারপরে ফ্রি মেম্বার। এটার মত:
বিয়োগ থেকে মুক্তি পান। কীভাবে? আপনাকে পুরো সমীকরণটি -1 দ্বারা গুণতে হবে। আমরা পেতে:
তবে এখন আপনি শিকড়গুলির সূত্রটি নিরাপদে লিখতে পারেন, বৈষম্যমূলক গণনা করতে পারেন এবং উদাহরণটি সম্পূর্ণ করতে পারেন।
নিজে করো. আপনার শিকড় 2 এবং -1 হওয়া উচিত।
দ্বিতীয় অভ্যর্থনা। শিকড় পরীক্ষা করে দেখুন! দ্বারা ভিয়েটার উপপাদ্য.
প্রদত্ত চতুষ্কোণ সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য, অর্থাৎ যদি সহগ হয়
x 2 + বিএক্স + সি \u003d 0,
তারপর x 1 x 2 \u003d গ
x 1 + x 2 \u003d -খ
সম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণের জন্য যা a ≠ 1:
এক্স 2 +খএক্স +গ=0,
দ্বারা সম্পূর্ণ সমীকরণ ভাগ এবং:
→ 
→
কোথায় x 1 এবং এক্স 2 - সমীকরণের শিকড়।
রিসেপশন তৃতীয়... যদি আপনার সমীকরণে ভগ্নাংশের সহগ থাকে তবে ভগ্নাংশ থেকে মুক্তি পান! গুণ
সাধারণ বর্ণ সমীকরণ
উপসংহার। বাস্তবিক উপদেশ:
1. সমাধানের আগে, আমরা চতুর্ভুজ সমীকরণটিকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে নিয়ে আসি, এটি তৈরি করি সঠিকভাবে.
২. বর্গক্ষেত্রে যদি এক্স এর সামনে কোনও নেতিবাচক সহগ থাকে তবে আমরা মোটটি গুণ করে এটি নির্মূল করি
সমীকরণ -1 দ্বারা।
৩. সহগগুলি যদি ভগ্নাংশ হয় তবে আমরা সমীকরণটিকে সংশ্লিষ্ট দ্বারা গুণ করে ভগ্নাংশগুলি নির্মূল করি
ফ্যাক্টর।
৪. x বর্গক্ষেত্র শুদ্ধ হলে এর সহগ একের সমান, সমাধানটি সহজেই পরীক্ষা করে নেওয়া যায়
দ্বিঘাত সমীকরণ... সাধারণ জ্ঞাতব্য.
ভিতরে চতুর্ভুজ x অবশ্যই অবশ্যই স্কোয়ারে উপস্থিত থাকতে হবে (এ কারণেই এটি বলা হয়
"স্কয়ার")। তাকে ছাড়াও এই সমীকরণটি কেবল x (প্রথম ডিগ্রীতে) এবং হতে পারে
শুধু একটি সংখ্যা (বিনামূল্যে সদস্য). এবং দুটি এর চেয়ে বেশি ডিগ্রীতে কোনও এক্স থাকতে হবে না।
সাধারণ বীজগণিত সমীকরণ।
কোথায় এক্স - বিনামূল্যে পরিবর্তনশীল, ক, খ, গ - সহগ, এবং ক≠0 .
এই ক্ষেত্রে: 
এক্সপ্রেশন 
বলা হয় বর্গক্ষেত্রীয়.
চতুর্ভুজ সমীকরণের উপাদানগুলির নিজস্ব নাম রয়েছে:
প্রথম বা সর্বোচ্চ গুণফল বলা হয়েছে,
এখানে দ্বিতীয় বা সহগ বলা হয়,
A একজন নিখরচায় সদস্য বলা হয়।
চতুর্ভুজ সমীকরণ সম্পূর্ণ করুন।
এই চতুর্ভুজ সমীকরণের বামে শর্তগুলির একটি সম্পূর্ণ সেট রয়েছে have এক্স সহ স্কোয়ার
গুণাঙ্ক এবং, x সহগ সহ প্রথম শক্তি খ এবং বিনামূল্যে সদস্য থেকে। ভিতরেসব মতভেদ
নোনজারো হতে হবে।
অসম্পূর্ণ চতুষ্কোণ সমীকরণ বলা হয় যার মধ্যে কমপক্ষে একটি সহগের ব্যতীত
সর্বোচ্চটি (দ্বিতীয় সহগ বা বিনামূল্যে শব্দ) হয় শূন্যের সমান।
এর ভান করা যাক খ \u003d 0, - এক্স প্রথম ডিগ্রীতে অদৃশ্য হয়ে যায়। এটি দেখা যাচ্ছে, উদাহরণস্বরূপ:
2x 2 -6x \u003d 0,
ইত্যাদি এবং যদি উভয় সহগ হয়, খ এবং গ শূন্যের সমান, তারপরে সবকিছু আরও সহজ, যেমন:
2x 2 \u003d 0,
নোট করুন যে x স্কোয়ারটি সমস্ত সমীকরণে উপস্থিত রয়েছে।
কেন এবং শূন্য হতে পারে না? তারপরে এক্স স্কোয়ার অদৃশ্য হয়ে যায় এবং সমীকরণ হয়ে যায় রৈখিক .
এবং এটি সম্পূর্ণ ভিন্ন উপায়ে সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়েছে ...
অসম্পূর্ণ চতুষ্কোণ সমীকরণটি ক্লাসিকাল (সম্পূর্ণ) সমীকরণের থেকে পৃথক যে এর কারণগুলি বা বিরতি শূন্যের সমান। এই ধরনের ফাংশনগুলির গ্রাফটি প্যারোবোলাস। তাদের সাধারণ উপস্থিতির উপর নির্ভর করে এগুলি 3 টি দলে বিভক্ত। সব ধরণের সমীকরণ সমাধানের নীতিগুলি একই।
অসম্পূর্ণ বহুবর্ষের ধরণ নির্ধারণে অসুবিধা নেই। উদাহরণস্বরূপ উদাহরণগুলি ব্যবহার করে মূল পার্থক্যগুলি বিবেচনা করা ভাল:
- যদি খ \u003d 0 হয় তবে সমীকরণটি অক্ষ 2 + সি \u003d 0 হয়।
- যদি সি \u003d 0 হয়, তবে এক্স 2 এক্সপ্রেশন 0 + বিএক্স \u003d 0 সমাধান করা উচিত।
- যদি বি \u003d 0 এবং সি \u003d 0 হয়, তবে বহুপাক্ষিকটি ধরণের অক্ষ 2 \u003d 0 এর সমতা হয়ে যায়।
পরবর্তী ঘটনাটি তাত্ত্বিক সম্ভাবনার বেশি এবং জ্ঞান পরীক্ষার কার্যগুলিতে কখনই ঘটে না, কারণ এক্সপ্রেশনটিতে ভেরিয়েবল এক্সের একমাত্র বৈধ মান শূন্য। ভবিষ্যতে, অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ 1) এবং 2) প্রকারগুলি সমাধান করার পদ্ধতি এবং উদাহরণ বিবেচনা করা হবে।
সমাধান সহ ভেরিয়েবল এবং উদাহরণগুলি সন্ধানের জন্য সাধারণ অ্যালগরিদম
সমীকরণের ধরণ নির্বিশেষে সমাধান অ্যালগরিদম নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলিতে সিদ্ধ হয়:
- শিকড় সন্ধানের জন্য সুবিধাজনক এমন ফর্মে অভিব্যক্তিটি আনুন।
- গণনা সম্পাদন করুন।
- আপনার উত্তর রেকর্ড করুন।
অসম্পূর্ণ সমীকরণগুলি সমাধান করার সহজ উপায় হ'ল বাম দিকটি ফ্যাক্টর করে এবং ডানদিকে শূন্য রেখে। সুতরাং, শিকড়গুলি সন্ধানের জন্য অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণের সূত্রটি প্রতিটি কারণের জন্য x এর মান গণনা করে হ্রাস পেয়েছে।
আপনি কেবল এটি প্রয়োগে কীভাবে সমাধান করবেন তা শিখতে পারেন, তাই আসুন একটি অসম্পূর্ণ সমীকরণের শিকড় সন্ধান করার একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ বিবেচনা করুন:
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এক্ষেত্রে বি \u003d ০. আমরা বাম দিকটি ফ্যাক্টর করি এবং অভিব্যক্তিটি পাই:
4 (x - 0.5) ⋅ (x + 0.5) \u003d 0।
স্পষ্টতই, পণ্যটি শূন্য হয় যখন কমপক্ষে কোনও একটি কারণ শূন্য হয়। পরিবর্তনশীল x1 \u003d 0.5 এবং (বা) x2 \u003d -0.5 এর মানগুলি এই প্রয়োজনীয়তাগুলি পূরণ করে।
বর্গক্ষেত্রের ত্রিকোণীয় উপাদানগুলিকে ফ্যাক্টরিংয়ের সমস্যাটি সহজে এবং দ্রুত মোকাবেলায় আপনার নিম্নলিখিত সূত্রটি মনে রাখা উচিত:
অভিব্যক্তিতে কোনও নিখরচায় শব্দ না থাকলে, কার্যটি খুব সহজসাধ্য করা হয়। এটি কেবল সাধারণ ডিনোমিনেটরকে খুঁজে বের করতে এবং খুঁজে বের করার জন্য যথেষ্ট হবে। স্বচ্ছতার জন্য, কীভাবে ax2 + bx \u003d 0 ফর্মের অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি সমাধান করবেন তার একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন।
চলুন এক্স বন্ধনী থেকে বের করে নিন এবং নিম্নলিখিত এক্সপ্রেশন পান:
x ⋅ (x + 3) \u003d 0।
যুক্তি দ্বারা পরিচালিত, আমরা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছি যে x1 \u003d 0, এবং x2 \u003d -3।
Ditionতিহ্যগত সমাধান এবং অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ
আপনি বৈষম্যমূলক সূত্রটি প্রয়োগ করে এবং বহুগুণের শিকড়গুলি শূন্যের সমান সহগ সহ অনুসন্ধান করার চেষ্টা করলে কী হবে? আসুন ২০১৩ সালে গণিতে পরীক্ষার জন্য সাধারণ কাজের একটি সংগ্রহ থেকে একটি উদাহরণ নেওয়া যাক, এটি স্ট্যান্ডার্ড সূত্র এবং ফ্যাক্টরাইজেশন পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করুন।
7x 2 - 3x \u003d 0।
আসুন বৈষম্যের মান গণনা করুন: ডি \u003d (-3) 2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 \u003d 9. এটি দেখা যাচ্ছে যে বহুবর্ষের দুটি মূল রয়েছে:
এখন আসুন ফ্যাক্টরিং করে সমীকরণটি সমাধান করুন এবং ফলাফলগুলি তুলনা করুন।
এক্স ⋅ (7x + 3) \u003d 0,
2) 7x + 3 \u003d 0,
7x \u003d -3,
x \u003d -।
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, উভয় পদ্ধতিই একই ফল দেয় তবে দ্বিতীয় পদ্ধতি দ্বারা সমীকরণটি সমাধান করা অনেক সহজ এবং দ্রুত পরিণত হয়েছিল।
ভিয়েটার উপপাদ্য
এবং প্রিয় ভিয়েটার উপপাদ্যটি কী করবেন? এই পদ্ধতিটি কি অসম্পূর্ণ ত্রৈমাসিকের সাথে ব্যবহার করা যেতে পারে? আসুন ধ্রুপদী ফর্ম ax2 + বিএক্স + সি \u003d 0 এর অসম্পূর্ণ সমীকরণ হ্রাস করার দিকগুলি বোঝার চেষ্টা করি।
আসলে, এক্ষেত্রে ভিয়েটার উপপাদ্য প্রয়োগ করা সম্ভব। অনুপস্থিত সদস্যদের শূন্য দিয়ে প্রতিস্থাপন করে কেবলমাত্র একটি সাধারণ আকারে অভিব্যক্তিটি আনা প্রয়োজন।
উদাহরণস্বরূপ, বি \u003d 0 এবং a \u003d 1 এর সাথে বিভ্রান্তির সম্ভাবনা দূর করার জন্য, কার্যটি ফর্মটিতে লিখতে হবে: ax2 + 0 + c \u003d 0. তারপরে বহুবর্ষের শিকড় এবং উপাদানগুলির যোগফল এবং গুণমানের অনুপাতটি নীচে প্রকাশ করা যেতে পারে:
তাত্ত্বিক গণনাগুলি ইস্যুটির সারমর্মের সাথে পরিচিত হতে সহায়তা করে এবং সর্বদা নির্দিষ্ট সমস্যা সমাধানে দক্ষতার অনুশীলন প্রয়োজন। আসুন পরীক্ষার জন্য সাধারণ কাজের রেফারেন্স বইটিতে আবার ফিরে আসুন এবং একটি উপযুক্ত উদাহরণ খুঁজে পান:
আসুন আমরা ভিয়েটার উপপাদ্য প্রয়োগের জন্য সুবিধাজনক এমন ফর্মে ভাবটি লিখি:
x 2 + 0 - 16 \u003d 0
পরবর্তী পদক্ষেপটি একটি শর্তাদি সিস্টেম তৈরি করা:
স্পষ্টতই, একটি বর্গাকার বহুপথের মূলগুলি x 1 \u003d 4 এবং x 2 \u003d -4 হবে।
এখন, সমীকরণটিকে একটি সাধারণ আকারে আনার অনুশীলন করি। নিম্নলিখিত উদাহরণটি ধরুন: 1/4 × x 2 - 1 \u003d 0
ভিয়েটার উপপাদ্যকে একটি অভিব্যক্তিতে প্রয়োগ করতে, ভগ্নাংশ থেকে মুক্তি পাওয়া প্রয়োজন। বাম এবং ডান পাশকে 4 দিয়ে গুণ করুন এবং ফলাফলটি দেখুন: x2– 4 \u003d 0. ফলাফলের সাম্যতা ভিয়েটার উপপাদ্য দ্বারা সমাধানের জন্য প্রস্তুত, তবে সি \u003d 4 সমীকরণের ডানদিকে স্থানান্তরিত করে উত্তরটি পাওয়া সহজতর এবং দ্রুততর: x2 \u003d 4।
সংক্ষেপে, এটি বলা উচিত যে অসম্পূর্ণ সমীকরণগুলি সমাধান করার সর্বোত্তম উপায় হ'ল ফ্যাক্টরাইজেশন, যা সহজ এবং দ্রুততম পদ্ধতি। শিকড় সন্ধানের প্রক্রিয়ায় যদি আপনার সমস্যার মুখোমুখি হয় তবে আপনি বৈষম্যমূলকদের মাধ্যমে শিকড় সন্ধানের প্রচলিত পদ্ধতিতে ফিরে যেতে পারেন।
