সেকেন্ড অর্ডার ইনভার্স ম্যাট্রিক্স সূত্র। বিপরীত ম্যাট্রিক্স এবং এর বৈশিষ্ট্য। প্রাথমিক আনুমানিক পছন্দ

অনেক বৈশিষ্ট্যে বিপরীতের অনুরূপ।

বিশ্বকোষীয় ইউটিউব

1 / 5

✪ ইনভার্স ম্যাট্রিক্স (খোজার 2 উপায়)

✪ কিভাবে ইনভার্স ম্যাট্রিক্স খুঁজে পাবেন - bezbotvy

✪ ইনভার্স ম্যাট্রিক্স #1

✪ পদ্ধতি দ্বারা সমীকরণ পদ্ধতি সমাধান করা বিপরীত ম্যাট্রিক্স- bezbotvy

✪ বিপরীত ম্যাট্রিক্স

সাবটাইটেল

ইনভার্স ম্যাট্রিক্স বৈশিষ্ট্য

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), কোথায় det (\displaystyle \ \det )একটি নির্ধারক নির্দেশ করে।
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))দুটি বর্গক্ষেত্র ইনভার্টেবল ম্যাট্রিসের জন্য A (\displaystyle A)এবং বি (\ ডিসপ্লেস্টাইল বি).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), কোথায় (... .) T (\displaystyle (...)^(T))ট্রান্সপোজড ম্যাট্রিক্স বোঝায়।
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))যে কোন সহগের জন্য k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
• রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করার প্রয়োজন হলে, (b হল একটি অ-শূন্য ভেক্টর) যেখানে x (\displaystyle x)পছন্দসই ভেক্টর, এবং যদি A − 1 (\displaystyle A^(-1))বিদ্যমান, তারপর x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). অন্যথায়, হয় দ্রবণ স্থানের মাত্রা শূন্যের চেয়ে বেশি, অথবা সেখানে কোনোটিই নেই।

ইনভার্স ম্যাট্রিক্স খুঁজে বের করার উপায়

যদি ম্যাট্রিক্সটি বিপরীতমুখী হয় তবে ম্যাট্রিক্সের বিপরীতটি খুঁজে পেতে আপনি নিম্নলিখিত পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি ব্যবহার করতে পারেন:

সঠিক (সরাসরি) পদ্ধতি

গাউস-জর্ডান পদ্ধতি

এর দুটি ম্যাট্রিক্স নেওয়া যাক: নিজেই কএবং একক ই. ম্যাট্রিক্স নিয়ে আসা যাক ক Gauss-Jordan পদ্ধতি দ্বারা সারিতে রূপান্তর প্রয়োগ করে পরিচয় ম্যাট্রিক্সে (আপনি কলামেও রূপান্তর প্রয়োগ করতে পারেন, কিন্তু মিশ্রণে নয়)। প্রথম ম্যাট্রিক্সে প্রতিটি অপারেশন প্রয়োগ করার পরে, একই অপারেশন দ্বিতীয়টিতে প্রয়োগ করুন। পরিচয় ফর্মে প্রথম ম্যাট্রিক্সের হ্রাস সম্পূর্ণ হলে, দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সমান হবে ক -1.

গাউস পদ্ধতি ব্যবহার করার সময়, প্রথম ম্যাট্রিক্সকে বাম থেকে প্রাথমিক ম্যাট্রিক্সের একটি দ্বারা গুণ করা হবে Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(একটি অবস্থান ব্যতীত প্রধান তির্যকের উপর থাকা ট্রান্সভেকশন বা তির্যক ম্যাট্রিক্স):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Rightarrow \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ এবং m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).

সমস্ত ক্রিয়াকলাপ প্রয়োগ করার পরে দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্স সমান হবে Λ (\ ডিসপ্লেস্টাইল \ ল্যাম্বদা ), যে, কাঙ্ক্ষিত এক হবে. অ্যালগরিদমের জটিলতা - O(n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

বীজগণিত সংযোজনের ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে

ম্যাট্রিক্স ইনভার্স ম্যাট্রিক্স A (\displaystyle A), ফর্মে প্রতিনিধিত্ব করুন

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

কোথায় adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- সংযুক্ত ম্যাট্রিক্স;

অ্যালগরিদমের জটিলতা নির্ভর করে নির্ধারক O det গণনার জন্য অ্যালগরিদমের জটিলতার উপর এবং O(n²) O det এর সমান।

LU/LUP পচন ব্যবহার করে

ম্যাট্রিক্স সমীকরণ A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))বিপরীত ম্যাট্রিক্সের জন্য X (\displaystyle X)সংগ্রহ হিসাবে দেখা যেতে পারে n (\ প্রদর্শনশৈলী n)ফর্মের সিস্টেম A x = b (\displaystyle Ax=b). বোঝান i (\displaystyle i)-ম্যাট্রিক্সের তম কলাম X (\displaystyle X)মাধ্যম X i (\displaystyle X_(i)); তারপর A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),কারন i (\displaystyle i)-ম্যাট্রিক্সের তম কলাম আমি n (\displaystyle I_(n))একক ভেক্টর e i (\ প্রদর্শনশৈলী e_(i)). অন্য কথায়, বিপরীত ম্যাট্রিক্স খুঁজে পাওয়া একই ম্যাট্রিক্স এবং বিভিন্ন ডানদিকের সাথে n সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য হ্রাস করা হয়। LUP সম্প্রসারণ (সময় O(n³)) চালানোর পরে প্রতিটি n সমীকরণের সমাধান করতে O(n²) সময় লাগে, তাই কাজের এই অংশটিও O(n³) সময় নেয়।

যদি ম্যাট্রিক্স A অসঙ্গীয় হয়, তাহলে আমরা এটির জন্য LUP পচন গণনা করতে পারি P A = L U (\ ডিসপ্লেস্টাইল PA=LU). দিন P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). তারপর, বিপরীত ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে, আমরা লিখতে পারি: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). যদি আমরা এই সমতাকে U এবং L দিয়ে গুণ করি, তাহলে আমরা ফর্মের দুটি সমতা পেতে পারি U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))এবং D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). এই সমতাগুলির প্রথমটি হল n² এর একটি সিস্টেম রৈখিক সমীকরণজন্য n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))যার মধ্যে ডানদিকের দিকগুলি পরিচিত (ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিসের বৈশিষ্ট্য থেকে)। দ্বিতীয়টি হল n² রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))যার মধ্যে ডানদিকের দিকগুলি পরিচিত (এছাড়াও ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিসের বৈশিষ্ট্য থেকে)। তারা একসাথে n² সমতার একটি সিস্টেম গঠন করে। এই সমতাগুলি ব্যবহার করে, আমরা পুনরাবৃত্তভাবে ডি ম্যাট্রিক্সের সমস্ত n² উপাদান নির্ধারণ করতে পারি। তারপর সমতা (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D থেকে। আমরা সমতা পাই A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

LU পচন ব্যবহার করার ক্ষেত্রে, ম্যাট্রিক্স D-এর কলামগুলির কোন স্থানান্তর প্রয়োজন হয় না, তবে ম্যাট্রিক্স A ননসিঙ্গুলার হলেও সমাধানটি ভিন্ন হতে পারে।

অ্যালগরিদমের জটিলতা হল O(n³)।

পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতি

শুল্টজ পদ্ধতি

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\ displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(কেস)))

ত্রুটি অনুমান

প্রাথমিক আনুমানিক পছন্দ

এখানে বিবেচিত পুনরাবৃত্ত ম্যাট্রিক্স ইনভার্সন প্রক্রিয়ায় প্রাথমিক আনুমানিকতা বেছে নেওয়ার সমস্যাটি আমাদেরকে সেগুলিকে স্বাধীন সার্বজনীন পদ্ধতি হিসাবে বিবেচনা করার অনুমতি দেয় না যা সরাসরি বিপরীত পদ্ধতির সাথে প্রতিযোগিতা করে, উদাহরণস্বরূপ, ম্যাট্রিক্সের LU পচনের উপর। নির্বাচন করার জন্য কিছু সুপারিশ আছে U 0 (\ প্রদর্শনশৈলী U_(0)), শর্ত পূরণ নিশ্চিত করা ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (ম্যাট্রিক্সের বর্ণালী ব্যাসার্ধ একতার চেয়ে কম), যা প্রক্রিয়াটির একত্রিত হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট। যাইহোক, এই ক্ষেত্রে, প্রথমে, ইনভার্টেবল ম্যাট্রিক্স A বা ম্যাট্রিক্সের বর্ণালীর জন্য অনুমানের উপর থেকে জানতে হবে A A T (\ ডিসপ্লেস্টাইল AA^(T))(যেমন, যদি A একটি প্রতিসম ধনাত্মক নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স হয় এবং ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), তাহলে আপনি নিতে পারেন U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), কোথায় ; যদি A হয় একটি নির্বিচারে ননসিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স এবং ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), তাহলে ধরুন U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), যেখানে এছাড়াও α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); অবশ্যই, পরিস্থিতি সরলীকৃত করা যেতে পারে এবং, যে ব্যবহার করে ρ (A A T) ≤ k A A T k (\ ডিসপ্লেস্টাইল \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), করা U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))) দ্বিতীয়ত, প্রারম্ভিক ম্যাট্রিক্সের এই ধরনের স্পেসিফিকেশনের সাথে, এর কোন গ্যারান্টি নেই ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)ছোট হবে (সম্ভবত এমনকি ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), এবং অভিসারী হারের উচ্চ ক্রম অবিলম্বে স্পষ্ট হবে না।

উদাহরণ

ম্যাট্রিক্স 2x2

এক্সপ্রেশন পার্স করতে অক্ষম (সিনট্যাক্স ত্রুটি): (\displaystyle \mathbf(A)^(-1) = \begin(bmatrix) a & b \\ c & d \\ \end(bmatrix)^(-1) = \ frac (1)(\det(\mathbf(A))) \begin& \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end(bmatrix) = frac(1)(ad - bc) \ শুরু (bmatrix) \,\,\,d & \!\!-b\\ -c & \,a \\ \end(bmatrix)।

একটি 2x2 ম্যাট্রিক্সের উল্টানো কেবলমাত্র সেই শর্তে সম্ভব a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

nম ক্রমটির একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স থাকুক

ম্যাট্রিক্স A-1 বলা হয় বিপরীত ম্যাট্রিক্সম্যাট্রিক্স A এর ক্ষেত্রে, যদি A * A -1 = E হয়, যেখানে E হল nম ক্রমটির পরিচয় ম্যাট্রিক্স।

পরিচয় ম্যাট্রিক্স- এই ধরনের একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স, যাতে প্রধান তির্যক বরাবর সমস্ত উপাদান, উপরের বাম কোণ থেকে নীচের ডান কোণে চলে যায়, এবং বাকিগুলি শূন্য, উদাহরণস্বরূপ:

বিপরীত ম্যাট্রিক্সবিদ্যমান থাকতে পারে শুধুমাত্র বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্যসেগুলো. সারি এবং কলামের একই সংখ্যক ম্যাট্রিক্সের জন্য।

ইনভার্স ম্যাট্রিক্স এক্সিস্টেন্স কন্ডিশন থিওরেম

একটি ম্যাট্রিক্সের একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স থাকার জন্য, এটি ননডিজেনারেট হওয়া আবশ্যক এবং যথেষ্ট।

ম্যাট্রিক্স A = (A1, A2,...A n) বলা হয় অধঃপতিতযদি কলাম ভেক্টর রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়। একটি ম্যাট্রিক্সের রৈখিকভাবে স্বাধীন কলাম ভেক্টরের সংখ্যাকে ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক বলা হয়। অতএব, আমরা বলতে পারি যে একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্বের জন্য, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক তার মাত্রার সমান, যেমন r = n.

বিপরীত ম্যাট্রিক্স খোঁজার জন্য অ্যালগরিদম

1. গাউস পদ্ধতিতে সমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধানের জন্য টেবিলে ম্যাট্রিক্স A লিখুন এবং ডানদিকে (সমীকরণের ডান অংশের জায়গায়) এটিতে ম্যাট্রিক্স E নির্ধারণ করুন।
2. জর্ডান রূপান্তর ব্যবহার করে, একক কলাম সমন্বিত একটি ম্যাট্রিক্স এ ম্যাট্রিক্স এ আনুন; এই ক্ষেত্রে, একই সাথে ম্যাট্রিক্স E রূপান্তর করা প্রয়োজন।
3. যদি প্রয়োজন হয়, শেষ টেবিলের সারি (সমীকরণ) পুনর্বিন্যাস করুন যাতে পরিচয় ম্যাট্রিক্স E মূল টেবিলের ম্যাট্রিক্স A-এর অধীনে পাওয়া যায়।
4. বিপরীত ম্যাট্রিক্স A -1 লিখুন, যা মূল টেবিলের ম্যাট্রিক্স E এর অধীনে শেষ টেবিলে রয়েছে।

উদাহরণ 1

ম্যাট্রিক্স A-এর জন্য, বিপরীত ম্যাট্রিক্স A -1 খুঁজুন

সমাধান: আমরা ম্যাট্রিক্স A লিখে রাখি এবং ডানদিকে আমরা পরিচয় ম্যাট্রিক্স E নির্ধারণ করি। জর্ডান রূপান্তর ব্যবহার করে, আমরা ম্যাট্রিক্স A-কে আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স E-তে কমিয়ে দিই। গণনাগুলি সারণি 31.1 এ দেখানো হয়েছে।

আসল ম্যাট্রিক্স A এবং বিপরীত ম্যাট্রিক্স A -1 গুণ করে গণনার সঠিকতা পরীক্ষা করা যাক।

ম্যাট্রিক্স গুণনের ফলে, পরিচয় ম্যাট্রিক্স প্রাপ্ত হয়। অতএব, গণনা সঠিক।

উত্তর:

ম্যাট্রিক্স সমীকরণের সমাধান

ম্যাট্রিক্স সমীকরণগুলি এর মতো দেখতে পারে:

AX = B, XA = B, AXB = C,

যেখানে A, B, C ম্যাট্রিক্স দেওয়া আছে, X হল কাঙ্খিত ম্যাট্রিক্স।

ম্যাট্রিক্স সমীকরণগুলি বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণকে গুণ করে সমাধান করা হয়।

উদাহরণস্বরূপ, একটি সমীকরণ থেকে ম্যাট্রিক্স খুঁজে পেতে, আপনাকে এই সমীকরণটিকে বাম দিকে দিয়ে গুণ করতে হবে।

অতএব, সমীকরণের সমাধান খুঁজতে, আপনাকে ইনভার্স ম্যাট্রিক্স খুঁজে বের করতে হবে এবং সমীকরণের ডান পাশের ম্যাট্রিক্স দিয়ে গুণ করতে হবে।

অন্যান্য সমীকরণ একইভাবে সমাধান করা হয়।

উদাহরণ 2

AX = B যদি সমীকরণটি সমাধান করুন

সমাধান: যেহেতু ম্যাট্রিক্সের বিপরীত সমান (উদাহরণ 1 দেখুন)

অর্থনৈতিক বিশ্লেষণে ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি

অন্যদের সাথে, তারাও আবেদন খুঁজে পায় ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি. এই পদ্ধতিগুলি রৈখিক এবং ভেক্টর-ম্যাট্রিক্স বীজগণিতের উপর ভিত্তি করে। জটিল এবং বহুমাত্রিক অর্থনৈতিক ঘটনা বিশ্লেষণের উদ্দেশ্যে এই ধরনের পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। প্রায়শই, এই পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করা হয় যখন সংস্থাগুলির কার্যকারিতা এবং তাদের কাঠামোগত বিভাগগুলির তুলনা করার প্রয়োজন হয়।

বিশ্লেষণের ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি প্রয়োগের প্রক্রিয়ায়, বিভিন্ন পর্যায়ে পার্থক্য করা যেতে পারে।

প্রথম পর্যায়েঅর্থনৈতিক সূচকগুলির একটি সিস্টেম গঠন করা হয় এবং এর ভিত্তিতে প্রাথমিক ডেটার একটি ম্যাট্রিক্স সংকলন করা হয়, যা একটি টেবিল যেখানে সিস্টেম নম্বরগুলি তার পৃথক লাইনে দেখানো হয় (i = 1,2,....,n), এবং উল্লম্ব গ্রাফ বরাবর - সূচকের সংখ্যা (j = 1,2, ....,m).

দ্বিতীয় পর্যায়েপ্রতিটি উল্লম্ব কলামের জন্য, সূচকগুলির উপলব্ধ মানগুলির মধ্যে বৃহত্তমটি প্রকাশিত হয়, যা একটি ইউনিট হিসাবে নেওয়া হয়।

এর পরে, এই কলামে প্রতিফলিত সমস্ত পরিমাণ দ্বারা ভাগ করা হয় সর্বোচ্চ মানএবং প্রমিত সহগগুলির একটি ম্যাট্রিক্স গঠিত হয়।

তৃতীয় পর্যায়েম্যাট্রিক্সের সমস্ত উপাদান বর্গাকার। যদি তাদের আলাদা তাত্পর্য থাকে, তবে ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি সূচককে একটি নির্দিষ্ট ওজন সহগ বরাদ্দ করা হয় k. পরেরটির মান একজন বিশেষজ্ঞ দ্বারা নির্ধারিত হয়।

শেষের দিকে চতুর্থ পর্যায়রেটিং এর মান পাওয়া গেছে আরজেবৃদ্ধি বা হ্রাসের ক্রমে গোষ্ঠীবদ্ধ।

উপরের ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করা উচিত, উদাহরণস্বরূপ, কখন তুলনামূলক বিশ্লেষণবিভিন্ন বিনিয়োগ প্রকল্প, সেইসাথে সংস্থার অন্যান্য অর্থনৈতিক কর্মক্ষমতা সূচক মূল্যায়ন করার সময়।

এই নিবন্ধে, আমরা রৈখিক বীজগণিত সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধানের জন্য ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি সম্পর্কে কথা বলব, এর সংজ্ঞা খুঁজে বের করব এবং সমাধানের উদাহরণ দেব।

সংজ্ঞা 1

ইনভার্স ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি অজানা সংখ্যা সমীকরণের সংখ্যার সমান হলে SLAE সমাধান করতে ব্যবহৃত পদ্ধতি।

উদাহরণ 1

n অজানা সহ n রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের সমাধান খুঁজুন:

একটি 11 x 1 + একটি 12 x 2 +। . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 +। . . + a n n x n = b n

ম্যাট্রিক্স রেকর্ড ভিউ : A × X = B

যেখানে A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n হল সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স।

X = x 1 x 2 ⋮ x n - অজানা কলাম,

B = b 1 b 2 ⋮ b n - মুক্ত সহগগুলির কলাম।

আমরা যে সমীকরণ পেয়েছি তা থেকে আমাদের এক্স প্রকাশ করতে হবে। এটি করার জন্য, বাম দিকের ম্যাট্রিক্স সমীকরণের উভয় দিককে A - 1 দ্বারা গুণ করুন:

A - 1 × A × X = A - 1 × B।

যেহেতু A - 1 × A = E, তাহলে E × X = A - 1 × B বা X = A - 1 × B।

মন্তব্য করুন

ইনভার্স ম্যাট্রিক্স থেকে ম্যাট্রিক্স A-এর অস্তিত্বের অধিকার শুধুমাত্র তখনই আছে যদি d e t A শূন্যের সমান না হয়। অতএব, বিপরীত ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি দ্বারা SLAE সমাধান করার সময়, প্রথমত, d e t A পাওয়া যায়।

যদি d e t A শূন্যের সমান না হয়, সিস্টেমের শুধুমাত্র একটি সমাধান আছে: ইনভার্স ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি ব্যবহার করে। যদি d e t A = 0 হয়, তাহলে এই পদ্ধতিতে সিস্টেমটি সমাধান করা যাবে না।

বিপরীত ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি ব্যবহার করে রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধানের একটি উদাহরণ

উদাহরণ 2

আমরা বিপরীত ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি দ্বারা SLAE সমাধান করি:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

কিভাবে সিদ্ধান্ত নিতে?

• আমরা সিস্টেমটিকে একটি ম্যাট্রিক্স সমীকরণ А X = B , যেখানে লিখি

A \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X \u003d x 1 x 2 x 3, B \u003d 1 3 2।

• আমরা এই সমীকরণ X থেকে প্রকাশ করি:

• আমরা ম্যাট্রিক্স A এর নির্ধারক খুঁজে পাই:

d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t А 0 এর সমান নয়, তাই, ইনভার্স ম্যাট্রিক্স সমাধান পদ্ধতি এই সিস্টেমের জন্য উপযুক্ত।

• আমরা ইউনিয়ন ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে বিপরীত ম্যাট্রিক্স A - 1 খুঁজে পাই। আমরা ম্যাট্রিক্স A এর সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলিতে বীজগাণিতিক সংযোজন A i j গণনা করি:

A 11 \u003d (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 \u003d - 10 + 4 \u003d - 6,

A 12 \u003d (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 \u003d - (5 - 12) \u003d 7,

A 13 \u003d (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 \u003d - 1 + 6 \u003d 5,

A 21 \u003d (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 \u003d - (- 20 + 3) \u003d 17,

A 22 \u003d (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 \u003d 1,

A 23 \u003d (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 \u003d - (- 2 + 12) \u003d - 10,

A 31 \u003d (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 \u003d - 16 + 6 \u003d - 10,

A 32 \u003d (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 \u003d - (8 - 3) \u003d - 5,

A 33 \u003d (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 \u003d - 4 + 4 \u003d 0।

• আমরা ইউনিয়ন ম্যাট্রিক্স A * লিখি, যা ম্যাট্রিক্স A এর বীজগণিতিক পরিপূরক দ্বারা গঠিত:

A * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• আমরা সূত্র অনুযায়ী বিপরীত ম্যাট্রিক্স লিখি:

A - 1 \u003d 1 d e t A (A *) T: A - 1 \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0,

• আমরা বিপরীত ম্যাট্রিক্স A - 1 কে মুক্ত পদ B এর কলাম দ্বারা গুণ করি এবং সিস্টেমের সমাধান পাই:

X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

উত্তর : x 1 = - 1; x 2 \u003d 0; x 3 = 1

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ভুল লক্ষ্য করেন, দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন

সূত্র অনুসারে প্রাথমিক: A^-1 = A*/detA, যেখানে A* যুক্ত ম্যাট্রিক্স, detA হল আসল ম্যাট্রিক্স। সংযুক্ত ম্যাট্রিক্স হল মূল ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলির সংযোজনের ট্রান্সপোজড ম্যাট্রিক্স।

প্রথমত, ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকটি খুঁজুন, এটি অবশ্যই শূন্য থেকে আলাদা হতে হবে, তারপর থেকে নির্ধারকটি ভাজক হিসাবে ব্যবহৃত হবে। উদাহরণস্বরূপ, তৃতীয়টির একটি ম্যাট্রিক্স দেওয়া যাক (তিনটি সারি এবং তিনটি কলাম নিয়ে গঠিত)। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক শূন্যের সমান নয়, তাই একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স রয়েছে।

ম্যাট্রিক্স A-এর প্রতিটি উপাদানের পরিপূরক খুঁজুন। A-এর পরিপূরক হল i-th সারি এবং j-th কলাম মুছে মূল থেকে প্রাপ্ত সাবম্যাট্রিক্সের নির্ধারক এবং এই নির্ধারকটিকে একটি চিহ্ন দিয়ে নেওয়া হয়। নির্ণায়ককে (-1) দিয়ে i+j এর শক্তিতে গুণ করে চিহ্নটি নির্ধারণ করা হয়। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, A-এর পরিপূরকটি চিত্রে বিবেচিত নির্ধারক হবে। চিহ্নটি এইরকম দেখা গেল: (-1)^(2+1) = -1।

ফলে আপনি পাবেন ম্যাট্রিক্সসংযোজন, এখন এটি স্থানান্তর করুন। ট্রান্সপোজিশন হল একটি অপারেশন যা ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণ, কলাম এবং সারিগুলি অদলবদল করা হয়। এইভাবে, আপনি সংশ্লিষ্ট ম্যাট্রিক্স A* খুঁজে পেয়েছেন।

একটি প্রদত্ত একটির জন্য একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স হল এমন একটি ম্যাট্রিক্স, মূলটির গুণন যা একটি পরিচয় ম্যাট্রিক্স দেয়: একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্সের উপস্থিতির জন্য একটি বাধ্যতামূলক এবং পর্যাপ্ত শর্ত হল মূলটির নির্ধারকের অসমতা (যা পালাক্রমে বোঝায় যে ম্যাট্রিক্স অবশ্যই বর্গক্ষেত্র হতে হবে)। যদি একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক শূন্যের সমান হয়, তবে এটিকে ডিজেনারেট বলা হয় এবং এই ধরনের ম্যাট্রিক্সের কোন বিপরীত নেই। উচ্চতর গণিতে, বিপরীত ম্যাট্রিক্স গুরুত্বপূর্ণ এবং বেশ কয়েকটি সমস্যা সমাধানের জন্য ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, অন বিপরীত ম্যাট্রিক্স খুঁজে বের করাসমীকরণের সিস্টেমগুলি সমাধানের জন্য একটি ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি তৈরি করা হয়। আমাদের পরিষেবা সাইট অনুমতি দেয় অনলাইনে ম্যাট্রিক্স ইনভার্স গণনা করুনদুটি পদ্ধতি: গাউস-জর্ডান পদ্ধতি এবং বীজগণিত সংযোজনের ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে। প্রথমটি ম্যাট্রিক্সের মধ্যে প্রচুর পরিমাণে প্রাথমিক রূপান্তরকে বোঝায়, দ্বিতীয়টি - সমস্ত উপাদানের নির্ধারক এবং বীজগণিতিক সংযোজনের গণনা। অনলাইনে একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক গণনা করতে, আপনি আমাদের অন্যান্য পরিষেবা ব্যবহার করতে পারেন - অনলাইনে একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক গণনা করা

.

সাইটে ইনভার্স ম্যাট্রিক্স খুঁজুন

ওয়েবসাইটআপনাকে খুঁজে পেতে অনুমতি দেয় ইনভার্স ম্যাট্রিক্স অনলাইনদ্রুত এবং বিনামূল্যে। সাইটে, আমাদের পরিষেবা দ্বারা গণনা করা হয় এবং একটি ফলাফল অনুসন্ধানের জন্য একটি বিশদ সমাধান সহ প্রদর্শিত হয় বিপরীত ম্যাট্রিক্স. সার্ভার সবসময় শুধুমাত্র সঠিক এবং সঠিক উত্তর দেয়। সংজ্ঞা দ্বারা কর্মে ইনভার্স ম্যাট্রিক্স অনলাইন, এটা প্রয়োজনীয় যে নির্ধারক ম্যাট্রিক্সশূন্য থেকে ভিন্ন ছিল, অন্যথায় ওয়েবসাইটআসল ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক শূন্যের সমান হওয়ার কারণে বিপরীত ম্যাট্রিক্স খুঁজে পাওয়ার অসম্ভবতা রিপোর্ট করবে। টাস্ক খোঁজা বিপরীত ম্যাট্রিক্সগণিতের অনেক শাখায় পাওয়া যায়, বীজগণিতের অন্যতম মৌলিক ধারণা এবং ফলিত সমস্যার একটি গাণিতিক হাতিয়ার। স্বাধীন ইনভার্স ম্যাট্রিক্স সংজ্ঞাগণনায় একটি স্লিপ বা ছোট ত্রুটি না করার জন্য যথেষ্ট প্রচেষ্টা, অনেক সময়, গণনা এবং মহান যত্ন প্রয়োজন। অতএব, আমাদের সেবা অনলাইনে ইনভার্স ম্যাট্রিক্স খোঁজাআপনার কাজটি ব্যাপকভাবে সহজতর করবে এবং সমাধানের জন্য একটি অপরিহার্য হাতিয়ার হয়ে উঠবে গানিতিক সমস্যাগুলো. এমনকি যদি আপনি বিপরীত ম্যাট্রিক্স খুঁজুননিজে, আমরা আমাদের সার্ভারে আপনার সমাধান পরীক্ষা করার পরামর্শ দিই। আমাদের ক্যালকুলেট ইনভার্স ম্যাট্রিক্স অনলাইনে আপনার আসল ম্যাট্রিক্স লিখুন এবং আপনার উত্তর পরীক্ষা করুন। আমাদের সিস্টেম কখনও ভুল এবং খুঁজে পায় না বিপরীত ম্যাট্রিক্সমোডে প্রদত্ত মাত্রা অনলাইনসঙ্গে সঙ্গে! সাইটে ওয়েবসাইটউপাদানগুলিতে অক্ষর এন্ট্রি অনুমোদিত ম্যাট্রিক্স, এক্ষেত্রে ইনভার্স ম্যাট্রিক্স অনলাইনসাধারণ প্রতীকী আকারে উপস্থাপন করা হবে।