বিন্দু গ থেকে সোজা রেখা AB পর্যন্ত দূরত্ব। একটি বিন্দু থেকে একটি সরলরেখার দূরত্ব নির্ধারণ করে। দুটি সরল রেখার আপেক্ষিক অবস্থান

এই নিবন্ধটি বিষয় সম্পর্কে আলোচনা করে « বিন্দু থেকে লাইন দূরত্ব », স্থানাঙ্কের পদ্ধতি দ্বারা সচিত্র উদাহরণ সহ একটি বিন্দু থেকে একটি সরলরেখার দূরত্ব নির্ধারণ বিবেচনা করা হয়। শেষে তত্ত্বের প্রতিটি ব্লক অনুরূপ সমস্যা সমাধানের উদাহরণ দেখিয়েছে।

একটি বিন্দু থেকে একটি সরলরেখার দূরত্বটি একটি বিন্দু থেকে বিন্দুতে দূরত্বের সংজ্ঞা দিয়ে পাওয়া যায়। এর আরও বিস্তারিত বিবেচনা করা যাক।

একটি লাইন a এবং একটি বিন্দু M 1 থাকা উচিত যা প্রদত্ত লাইনের সাথে সম্পর্কিত নয়। এর মধ্য দিয়ে ল রেখা আঁকুন, যা লাইন এ এর \u200b\u200bলম্ব। আমরা রেখাগুলির ছেদ বিন্দুকে এইচ 1 হিসাবে গ্রহণ করি। আমরা পেয়েছি যে এম 1 এইচ 1টি লম্ব হয়, যা এম 1 বিন্দু থেকে লাইন এ-তে নামানো হয়েছিল।

সংজ্ঞা ১

বিন্দু М 1 থেকে রেখার দূরত্ব এম 1 এবং এইচ 1 পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব বলে।

লম্ব দৈর্ঘ্যের চিত্র সহ সংজ্ঞা রেকর্ড রয়েছে।

সংজ্ঞা 2

বিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব প্রদত্ত সরলরেখার প্রদত্ত বিন্দু থেকে আঁকা লম্ব দৈর্ঘ্য।

সংজ্ঞা সমতুল্য। নীচের চিত্রটি বিবেচনা করুন।

এটি জানা যায় যে একটি বিন্দু থেকে একটি সরলরেখার দূরত্বটি যতটা সম্ভব সম্ভবতমতম। আসুন একটি উদাহরণ তাকান।

যদি আমরা সরলরেখায় একটি পয়েন্ট Q নিয়ে থাকি, তবে M 1 বিন্দুটির সাথে মিলে না যায়, তবে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে বিভাগ 1 M 1 কে ঝুঁকী বলা হয়, এম 1 থেকে রেখা এ নামানো হয়েছে। এটি নির্দেশ করা দরকার যে বিন্দু М 1 থেকে লম্ব লম্বটি বিন্দু থেকে সরলরেখায় আঁকা অন্য কোনও ঝুঁকির রেখার চেয়ে কম।

এটি প্রমাণ করার জন্য, M 1 Q 1 H 1 একটি ত্রিভুজটি বিবেচনা করুন, যেখানে এম 1 কিউ 1 হ'ল অনুমান। এটি পরিচিত যে এর দৈর্ঘ্য সর্বদা কোনও পায়ের দৈর্ঘ্যের চেয়ে বেশি। আমাদের কাছে এম 1 এইচ 1 রয়েছে< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

একটি বিন্দু থেকে একটি সরলরেখার সন্ধানের প্রাথমিক তথ্য আপনাকে বেশ কয়েকটি সমাধান পদ্ধতি ব্যবহার করতে দেয়: পাইথাগোরিয়ান উপপাদনের মাধ্যমে সাইন, কোসাইন, একটি কোণের স্পর্শক এবং অন্যান্য নির্ধারণ করে। এই ধরণের বেশিরভাগ কাজ বিদ্যালয়ে জ্যামিতির পাঠগুলিতে সমাধান করা হয়।

যখন কোনও সরলরেখার বিন্দু থেকে দূরত্বটি সন্ধান করার সময় আপনি একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা প্রবেশ করতে পারেন, তারপরে স্থানাঙ্ক পদ্ধতিটি ব্যবহৃত হয় method এই অনুচ্ছেদে আমরা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে কাঙ্ক্ষিত দূরত্ব নির্ধারণের জন্য প্রধান দুটি পদ্ধতি বিবেচনা করব।

প্রথম পদ্ধতির মধ্যে এম 1 থেকে সরলরেখার জন্য আঁকা লম্ব হিসাবে দূরত্ব সন্ধান করা জড়িত। দ্বিতীয় পদ্ধতিতে, সরল রেখার সাধারণ সমীকরণটি কাঙ্ক্ষিত দূরত্বটি সনাক্ত করতে ব্যবহৃত হয়।

আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমে স্থানাঙ্ক এম 1 (x 1, y 1) সমেত সমতলে যদি কোনও বিন্দু থাকে তবে সরল রেখা ক এবং আপনার দূরত্ব M 1 H 1 পাওয়া দরকার, আপনি দুটি উপায়ে গণনা করতে পারবেন। আসুন তাদের বিবেচনা করা যাক।

প্রথম উপায়

যদি x 2, y 2 এর সমান বিন্দু H 1 এর স্থানাঙ্ক থাকে তবে বিন্দু থেকে সরলরেখার দূরত্বটি M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 সূত্র থেকে স্থানাঙ্ক দ্বারা গণনা করা হয়।

এখন আসুন পয়েন্ট এইচ 1 এর স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করতে এগিয়ে চলুন।

এটি জানা যায় যে O x y এর একটি সরল রেখা একটি সমতলের একটি সরল রেখার সমীকরণের সাথে মিলিত হয়। সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ বা orালু সহ একটি সমীকরণ লেখার মাধ্যমে একটি সরলরেখা নির্দিষ্ট করার একটি উপায় নেওয়া যাক। আমরা একটি সরল রেখার সমীকরণটি রচনা করি যা প্রদত্ত সরলরেখার লম্ব লম্বের লম্বের মধ্য দিয়ে যায়। সরলরেখাটি বিচ দ্বারা চিহ্নিত করা হবে খ। এইচ 1 হ'ল লাইন a এবং b এর ছেদগুলির বিন্দু, যার অর্থ স্থানাঙ্কগুলি নির্ধারণ করতে আপনাকে অবশ্যই নিবন্ধটি ব্যবহার করতে হবে, যা দুটি লাইনের ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্কের সাথে কাজ করে।

এটি দেখা যায় যে প্রদত্ত বিন্দু M 1 (x 1, y 1) থেকে একটি সরলরেখার দূরত্ব নির্ধারণের জন্য অ্যালগরিদমটি বিন্দু অনুসারে বাহিত হয়:

সংজ্ঞা 3

• সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ সন্ধান করুন, ফর্মটি A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, অথবা y \u003d k 1 x + b 1 ফর্মযুক্ত slাল সহ সমীকরণ;
• a 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 বা aালু y \u003d k 2 x + b 2 সমীকরণের সমীকরণ হিসাবে লাইন বি এর একটি সাধারণ সমীকরণ প্রাপ্ত করা, যদি লাইন বিটি 1 M কে ছেদ করে এবং প্রদত্ত রেখার সাথে লম্ব হয়;
• h 1 বিন্দুর x 2, y 2 স্থানাঙ্ক নির্ধারণ, যা a এবং b এর ছেদ বিন্দু, এর জন্য সিস্টেমটি সমাধান করা হয়েছে রৈখিক সমীকরণ A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 বা y \u003d k 1 x + b 1 y \u003d k 2 x + b 2;
• এম 1 এইচ 1 \u003d (এক্স 2 - এক্স 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 সূত্রটি ব্যবহার করে একটি বিন্দু থেকে একটি সরলরেখায় প্রয়োজনীয় দূরত্ব গণনা করা হচ্ছে।

দ্বিতীয় উপায়

উপপাদ্য একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে একটি বিমানের প্রদত্ত সরলরেখার দূরত্ব নির্ধারণের প্রশ্নের উত্তর দিতে সহায়তা করতে পারে।

উপপাদ্য

আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমে O x y এর একটি বিন্দু M 1 (x 1, y 1) থাকে, যেখান থেকে একটি সরলরেখা একটি বিমানের দিকে টানা হয়, বিমানের সাধারণ সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত, যা রূপটি cos x + cos β y - p \u003d 0 হয় x \u003d x 1, y \u003d y 1 তে গণনা করা সরলরেখার সাধারণ সমীকরণের বাম দিকে প্রাপ্ত মানের মডুলাসের অর্থ এম এম 1 এইচ 1 \u003d কোস α এক্স 1 + কোস β ই 1 - পি।

প্রমান

একটি রেখাকে সমতলের সাধারণ সমীকরণের সাথে সামঞ্জস্য করে, যার রূপটি cos x + cos β y - p \u003d 0 হয়, তবে n → \u003d (cos α, cos β) পি ইউনিটগুলির সাথে একটি লাইনটির উত্স থেকে দূরত্বে রেখার একটি সাধারণ ভেক্টর হিসাবে বিবেচিত হয় ... চিত্রটিতে সমস্ত ডেটা প্রদর্শন করা প্রয়োজন, স্থানাঙ্ক M 1 (x 1, y 1) সহ একটি পয়েন্ট যুক্ত করুন, যেখানে M 1 - O M 1 → \u003d (x 1, y 1) এর ব্যাসার্ধের ভেক্টর। এটি একটি বিন্দু থেকে একটি সরলরেখায় সরলরেখা আঁকতে প্রয়োজনীয়, যা আমরা এম 1 এইচ 1 দ্বারা চিহ্নিত করি। এম 1 এবং এইচ 2 পয়েন্টের এম 2 এবং এইচ 2 এর প্রক্ষেপণগুলি N → \u003d (কোস α, কোস β) ফর্মের একটি দিক ভেক্টর সহ একটি বিন্দু হে অতিক্রম করে একটি সরল রেখায় দেখানো প্রয়োজন, এবং ভেক্টরের সংখ্যাসূচক প্রজেকশনটি ওএম 1 → \u003d (x 1, y 1) npn → OM 1 as হিসাবে n → \u003d (cos α, cos β) দিকের দিকে →

তারতম্যগুলি নিজেই M 1 পয়েন্টের অবস্থানের উপর নির্ভর করে। নীচের চিত্রে বিবেচনা করুন।

আমরা এম 1 এইচ 1 \u003d n পি n → হে এম → 1 - পি সূত্রটি ব্যবহার করে ফলাফলগুলি ঠিক করি। তারপরে আমরা এই ফর্মটির এম 1 এইচ 1 \u003d কোস α x 1 + কোস β y 1 - পি এর সমতা হ্রাস করব যাতে এন পি এন → হে এম → 1 \u003d কোস α এক্স 1 + কোস β y 1 প্রাপ্ত করতে।

ফলস্বরূপ ভেক্টরগুলির স্কেলার পণ্যটি n →, ওএম → 1 \u003d n → npn → ওএম 1 → \u003d 1 এনপিএন → ওএম 1 → \u003d এনপিএন → ওএম 1 form ফর্মের একটি রূপান্তর সূত্র দেয়, যা ফর্ম এন →, ওএম এর স্থানাঙ্ক আকারে একটি পণ্য 1 → \u003d cos α x 1 + cos β y 1। অতএব, আমরা সেই এন পি এন → হে এম 1 cos \u003d কোস α এক্স 1 + কোস β ওয়াই 1 পেয়েছি। এটি অনুসরণ করে যে এম 1 এইচ 1 \u003d n পি এন → হে এম 1 → - পি \u003d কোস α এক্স 1 + কোস β ই 1 - পি। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়।

প্লেনের এম 1 (x 1, y 1) থেকে সোজা রেখার একটি থেকে দূরত্বটি খুঁজে পেতে আমরা আপনাকে বেশ কয়েকটি ক্রিয়া সম্পাদন করতে হবে:

সংজ্ঞা 4

• সোজা রেখার একটি সাধারণ সমীকরণ প্রাপ্ত করা একটি cos α x + cos β y - p \u003d 0, তবে শর্ত থাকে যে এটি কাজটিতে নেই;
• কোস α · x 1 + কোস β · y 1 - পি অভিব্যক্তির গণনা, যেখানে প্রাপ্ত মান এম 1 এইচ 1 নেয়।

বিমানের বিন্দু থেকে দূরত্ব নির্ধারণের ক্ষেত্রে সমস্যাগুলি সমাধান করার জন্য এই পদ্ধতিগুলি প্রয়োগ করি।

উদাহরণ 1

স্থানাঙ্ক এম 1 (- 1, 2) এর সাথে 4 x - 3 y + 35 \u003d 0 রেখার সাথে বিন্দু থেকে দূরত্বটি সন্ধান করুন।

সিদ্ধান্ত

আসুন সমাধান করার জন্য প্রথম পদ্ধতিটি প্রয়োগ করুন।

এটি করার জন্য, সরলরেখের সাধারণ সমীকরণটি সন্ধান করা প্রয়োজন, যা প্রদত্ত বিন্দু এম 1 (- 1, 2) এর মধ্য দিয়ে যায়, সরল রেখা 4 x - 3 y + 35 \u003d 0 এর লম্ব হয়। এটি শর্ত থেকে দেখা যায় যে লাইন বি রেখার লম্বের লম্ব হয়, তারপথের দিকের ভেক্টরটির সমান স্থানাঙ্ক থাকে (4, - 3)। সুতরাং, আমাদের বিমানে সোজা রেখার বিবিধ সমীকরণ লেখার সুযোগ রয়েছে, যেহেতু M 1 বিন্দুর স্থানাঙ্ক রয়েছে, সরলরেখার সাথে সম্পর্কিত। সরলরেখার দিকনির্দেশক ভেক্টরের স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করুন খ। আমরা এক্স - (- - 1) 4 \u003d y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 \u003d y - 2 - 3 পাই। ফলাফলগত প্রান্তিক সমীকরণটি অবশ্যই সাধারণের মধ্যে রূপান্তর করতে হবে। তারপরে আমরা তা পাই

x + 1 4 \u003d y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) \u003d 4 (y - 2) x 3 x + 4 y - 5 \u003d 0

আসুন সরলরেখার ছেদগুলির পয়েন্টগুলির স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করি, যা আমরা এইচ 1 হিসাবে উপাধি হিসাবে গ্রহণ করব। রূপান্তরগুলি এর মতো দেখাচ্ছে:

4 x - 3 y + 35 \u003d 0 3 x + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 y \u003d 5 ⇔ x \u003d 3 4 5 - 35 4 y \u003d 5 ⇔ x \u003d - 5 y \u003d 5

উপরের দিক থেকে আমাদের কাছে পয়েন্ট এইচ 1 এর স্থানাঙ্কগুলি হ'ল (- 5; 5)।

পয়েন্ট এম 1 থেকে লাইন এ এর \u200b\u200bদূরত্ব গণনা করা দরকার। আমাদের কাছে পয়েন্ট এম 1 (- 1, 2) এবং এইচ 1 (- 5, 5) এর স্থানাঙ্কগুলি রয়েছে, তারপরে আমরা দূরত্ব সন্ধানের সূত্রটিতে প্রতিস্থাপন করি এবং আমরা এটি পাই

এম 1 এইচ 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

দ্বিতীয় সমাধান।

অন্য কোনও উপায়ে সমাধান করার জন্য, লাইনের স্বাভাবিক সমীকরণ প্রাপ্ত করা প্রয়োজন। স্বাভাবিককরণের ফ্যাক্টরটি মূল্যায়ন করুন এবং 4 x - 3 y + 35 \u003d 0 সমীকরণের উভয় দিককে গুণ করুন। এর থেকে আমরা পাই যে নরমালাইজিং ফ্যাক্টর হ'ল - 1 4 2 + (- 3) 2 \u003d - 1 5, এবং সাধারণ সমীকরণটি ফর্মের হবে - 1 5 4 x - 3 y + 35 \u003d - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 \u003d 0।

গণনা অ্যালগরিদম অনুসারে, সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ প্রাপ্ত করা এবং এটি x \u003d - 1, y \u003d 2 মান দিয়ে গণনা করা প্রয়োজন। তারপরে আমরা তা পাই

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 \u003d - 5

সুতরাং, আমরা দেখতে পাই যে প্রদত্ত সোজা রেখা 4 x - 3 y + 35 \u003d 0 এর বিন্দু M 1 (- 1, 2) থেকে দূরত্বটির মান রয়েছে - 5 \u003d 5।

উত্তর: 5 .

এটি দেখা যায় যে এই পদ্ধতিতে একটি সরলরেখার সাধারণ সমীকরণটি ব্যবহার করা গুরুত্বপূর্ণ, যেহেতু এই পদ্ধতিটি সবচেয়ে স্বল্পতম। তবে প্রথম পদ্ধতিটি এটি সুসংগত এবং যৌক্তিক যে সুবিধাজনক, যদিও এটির আরও গণনা পয়েন্ট রয়েছে।

উদাহরণ 2

বিমানে একটি পয়েন্ট এম 1 (8, 0) এবং একটি সরল রেখা y \u003d 1 2 x + 1 সহ একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় ব্যবস্থা O x y রয়েছে। প্রদত্ত বিন্দু থেকে সরলরেখার দূরত্বটি সন্ধান করুন।

সিদ্ধান্ত

সমাধানটি প্রথম উপায়ে প্রদত্ত সমীকরণটিকে equালের সাথে সাধারণ সমীকরণে আনতে বোঝায়। সরলতার জন্য, আপনি এটি অন্যভাবে করতে পারেন।

যদি লম্ব লাইনগুলির opালুগুলির পণ্যটির মান হয় - 1, তবে প্রদত্ত y \u003d 1 2 x + 1 এর সাথে লম্বের লম্বের 2াল 2 হয়। এখন আমরা স্থানাঙ্ক এম 1 (8, 0) সহ পয়েন্টের মধ্য দিয়ে সরানো রেখার সমীকরণ পাব। আমাদের কাছে y - 0 \u003d - 2 (x - 8) ⇔ y \u003d - 2 x + 16 রয়েছে।

আমরা এইচ 1 বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করতে চাই, যেটি ছেদ পয়েন্টগুলি y \u003d - 2 x + 16 এবং y \u003d 1 2 x + 1। আমরা সমীকরণের একটি সিস্টেম রচনা করি এবং পাই:

y \u003d 1 2 x + 1 y \u003d - 2 x + 16 ⇔ y \u003d 1 2 x + 1 1 2 x + 1 \u003d - 2 x + 16 ⇔ y \u003d 1 2 x + 1 x \u003d 6 ⇔ ⇔ y \u003d 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ এইচ 1 (6, 4)

এটি অনুসরণ করে যে স্থানাঙ্ক এম 1 (8, 0) এর সাথে বিন্দু থেকে সরল রেখার y \u003d 1 2 x + 1 এর দূরত্বটি সূচনা পয়েন্ট থেকে দূরত্বের সমান এবং স্থানাঙ্কগুলি এম 1 (8, 0) এবং এইচ 1 (6, 4) এর সাথে সমান ... আমরা গণনা করি এবং পাই যে এম 1 এইচ 1 \u003d 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 \u003d 2 5।

দ্বিতীয় উপায়ের সমাধানটি হ'ল একটি গুণাগুণ সহ কোনও সমীকরণ থেকে তার স্বাভাবিক রূপের দিকে যাওয়া। অর্থাৎ, আমরা y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0 পাই, তবে নরমালাইজিং ফ্যাক্টরের মান হবে - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5। এটি অনুসরণ করে যে লাইনের সাধারণ সমীকরণটি রূপটি গ্রহণ করে - 2 5 1 2 x - y + 1 \u003d - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 \u003d 0। আসুন বিন্দু M 1 8, 0 থেকে ফর্মের একটি সরলরেখায় 1 গণনা করা যাক - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 \u003d 0। আমরা পেতে:

এম 1 এইচ 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

উত্তর: 2 5 .

উদাহরণ 3

স্থানাঙ্ক এম 1 (- 2, 4) এর সাথে সরল রেখা 2 x - 3 \u003d 0 এবং y + 1 \u003d 0 এর সাথে বিন্দু থেকে দূরত্ব গণনা করা দরকার।

সিদ্ধান্ত

আমরা সোজা লাইনের 2 x - 3 \u003d 0 এর স্বাভাবিক ফর্মের সমীকরণটি পাই:

2 এক্স - 3 \u003d 0 ⇔ 1 2 2 এক্স - 3 \u003d 1 2 0 ⇔ এক্স - 3 2 \u003d 0

তারপরে আমরা বিন্দু এম 1 - 2, 4 থেকে সোজা রেখা x - 3 2 \u003d 0 এর দূরত্ব গণনা করতে এগিয়ে চলি। আমরা পেতে:

এম 1 এইচ 1 \u003d - 2 - 3 2 \u003d 3 1 2

সরলরেখার y + 1 \u003d 0 এর সমীকরণের -1 এর স্বাভাবিককরণের গুণক রয়েছে। এর অর্থ হল সমীকরণটি রূপটি গ্রহণ করবে - y - 1 \u003d 0। আমরা বিন্দু এম 1 (- 2, 4) থেকে সরলরেখার - y - 1 \u003d 0 পর্যন্ত দূরত্ব গণনা করতে এগিয়ে চলেছি। আমরা পেয়েছি যে এটি 4 - 1 \u003d 5 এর সমান।

উত্তর: 3 1 2 এবং 5।

কীভাবে বিমানের একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে স্থানাঙ্কের অক্ষটি x x এবং O y এর দূরত্বটি নির্ধারণ করতে হবে তা বিশদে বিবেচনা করুন।

একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, ও y অক্ষের একটি সরলরেখার সমীকরণ থাকে, যা অসম্পূর্ণ, রূপটি \u003d \u003d 0 এবং হে x - y \u003d 0 হয়। স্থানাঙ্ক অক্ষের জন্য সমীকরণগুলি সাধারণ, তারপরে আপনাকে স্থানাঙ্কগুলি এম 1 x 1, y 1 থেকে সরলরেখার সাথে বিন্দু থেকে দূরত্বটি সন্ধান করতে হবে। এটি এম 1 এইচ 1 \u003d এক্স 1 এবং এম 1 এইচ 1 \u003d y 1 সূত্রগুলির ভিত্তিতে করা হয়। নীচের চিত্রে বিবেচনা করুন।

উদাহরণ 4

পয়েন্ট এম 1 (6, - 7) থেকে O x y সমতল অবস্থিত স্থানাঙ্ক রেখার দূরত্বটি সন্ধান করুন।

সিদ্ধান্ত

যেহেতু y \u003d 0 সমীকরণটি সরল রেখা O xকে বোঝায় তাই আপনি সূত্রটি ব্যবহার করে এই সরলরেখাকে প্রদত্ত স্থানাঙ্কের সাথে এম 1 থেকে দূরত্বটি খুঁজে পেতে পারেন। আমরা এটি 6 \u003d 6 পাই।

যেহেতু x \u003d 0 সমীকরণটি হ'ল সরল রেখা O y বোঝায়, আপনি সূত্রটি ব্যবহার করে এম 1 থেকে এই সরলরেখার দূরত্বটি খুঁজে পেতে পারেন। তারপরে আমরা তা পাই - 7 \u003d 7।

উত্তর:এম 1 থেকে ও x এর দূরত্ব 6 এবং এম 1 থেকে হে y এর দূরত্ব 7।

ত্রি-মাত্রিক জায়গাতে যখন আমাদের স্থানাঙ্ক M 1 (x 1, y 1, z 1) এর সাথে একটি বিন্দু থাকে, তখন বিন্দু A থেকে লাইন a এর দূরত্বটি খুঁজে পাওয়া প্রয়োজন।

দুটি পদ্ধতি বিবেচনা করুন যা আপনাকে স্থান থেকে একটি সরু রেখার বিন্দু থেকে দূরত্ব গণনা করতে দেয়। প্রথম ক্ষেত্রেটি বিন্দু এম 1 থেকে সরলরেখার দূরত্বকে বিবেচনা করে, যেখানে সরলরেখার বিন্দুটিকে এইচ 1 বলা হয় এবং এটি এম 1 থেকে সরলরেখার লম্বায় আঁকা লম্বের ভিত্তি। দ্বিতীয় কেসটি পরামর্শ দেয় যে এই সমতলটির পয়েন্টগুলি অবশ্যই সমান্তরালগ্রামের উচ্চতা হিসাবে অনুসন্ধান করা উচিত।

প্রথম উপায়

সংজ্ঞা থেকে আমাদের কাছে আছে যে সরলরেখার a তে অবস্থিত পয়েন্ট M 1 এর দূরত্বটি লম্ব দৈর্ঘ্য M 1 H 1 এর দৈর্ঘ্য, তারপর আমরা এটি পয়েন্ট H 1 এর সাদৃশ্য স্থানাঙ্কের সাথে পাই, তারপরে আমরা এম 1 (x 1, y 1, z 1) এর মধ্যে দূরত্বটি পাই find ) এবং এইচ 1 (x 1, y 1, z 1), M 1 এইচ 1 \u003d x 2 - এক্স 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 সূত্রের উপর ভিত্তি করে।

আমরা পেয়েছি যে পুরো সমাধানটি М 1 থেকে লাইন এ টানা লম্বের লম্বের স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করতে যায়। এটি নিম্নলিখিত হিসাবে সম্পন্ন করা হয়: এইচ 1 হ'ল বিন্দু যেখানে সরল রেখাটি একটি প্রদত্ত বিন্দুটি দিয়ে যায় এমন বিমানের সাথে ছেদ করে।

সুতরাং, স্থান 1 এর বিন্দু M 1 (x 1, y 1, z 1) থেকে রেখার লাইনটির দূরত্ব নির্ধারণের জন্য অ্যালগরিদম বিভিন্ন পয়েন্টকে বোঝায়:

সংজ্ঞা 5

• given সমতলের সমীকরণ অঙ্কন করা যেমন একটি নির্দিষ্ট বিন্দু যা সরলরেখার সাথে লম্ব হয় তার মধ্য দিয়ে বিমানের সমীকরণটি অঙ্কন করা;
• স্থানাঙ্ক নির্ধারণ (x 2, y 2, z 2) এইচ 1 বিন্দুতে অন্তর্নিহিত, যা সরলরেখা a এবং সমুদ্রের রেখাংশের বিন্দু χ;
• m 1 H 1 \u003d x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 সূত্রটি ব্যবহার করে একটি বিন্দু থেকে একটি সরলরেখার দূরত্ব গণনা করা।

দ্বিতীয় উপায়

শর্ত থেকে আমাদের একটি সরল রেখা আছে, তারপরে আমরা দিক ভেক্টর a → \u003d x, y, একটি জেড স্থানাঙ্ক x 3, y 3, z 3 এবং একটি নির্দিষ্ট বিন্দু M 3 সরাসরি লাইনের সাথে সম্পর্কিত নির্ধারণ করতে পারি a M 1 (x 1, y 1) এবং M 3 x 3, y 3, z 3 পয়েন্টের স্থানাঙ্কগুলি দেওয়া, আপনি এম 3 এম 1 → গণনা করতে পারেন:

এম 3 এম 1 → \u003d (এক্স 1 - এক্স 3, y 1 - y 3, জেড 1 - জেড 3)

আপনার ভেক্টরগুলিকে a → \u003d x, y, a z এবং M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 বিন্দু M 3 থেকে স্থগিত করা উচিত এবং সংযোগ করুন এবং একটি সমান্তরাল চিত্র পাবেন। এম 1 এইচ 1 সমান্তরালগ্রামের উচ্চতা।

নীচের চিত্রে বিবেচনা করুন।

আমাদের কাছে উচ্চতা এম 1 এইচ 1 হ'ল কাঙ্ক্ষিত দূরত্ব, তবে সূত্র দ্বারা এটি সন্ধান করা প্রয়োজন। যে, আমরা এম 1 এইচ 1 খুঁজছি।

আমরা S অক্ষরটির সমান্তরাল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রটি চিহ্নিত করি, ভেক্টর a → \u003d (একটি x, একটি y, একটি z) এবং এম 3 এম 1 → \u003d এক্স 1 - x 3 ব্যবহার করে সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়। y 1 - y 3, z 1 - z 3। অঞ্চল সূত্রটি S \u003d a a 3 M 3 M 1 → → এছাড়াও, চিত্রটির ক্ষেত্রফল উচ্চতা দ্বারা এর পাশের দৈর্ঘ্যের মানের সমান, আমরা পেয়েছি যে এস \u003d আ → এম 1 এইচ 1 এর সাথে একটি → \u003d অক্ষ 2 + আয় 2 + এজে 2, যা ভেক্টরের দৈর্ঘ্য a → \u003d (কুড়াল, আই, অ্যাজ), যা সমান্তরাল পাশের সমান। সুতরাং, এম 1 এইচ 1 হল একটি বিন্দু থেকে একটি লাইনের দূরত্ব। এটি এম 1 এইচ 1 \u003d a × × এম 3 এম 1 → a the সূত্রটি দ্বারা পাওয়া যায় →

স্থানাঙ্কে এম 1 (x 1, y 1, z 1) এর একটি সরলরেখার সাথে একটি বিন্দু থেকে দূরত্ব খুঁজতে, অ্যালগরিদমের কয়েকটি ধাপ সম্পাদন করা প্রয়োজন:

সংজ্ঞা 6

• সরলরেখার নির্দেশক ভেক্টরের সংকল্প a - a → \u003d (a x, y, a z);
• a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2 অভিমুখ ভেক্টরের দৈর্ঘ্য গণনা করা;
• স্থানাঙ্কগুলি এক্স 3, y 3, জেড 3, সরলরেখায় অবস্থিত পয়েন্ট এম 3 পয়েন্টের সাথে প্রাপ্ত;
• ভেক্টর এম 3 এম 1 → এর স্থানাঙ্কগুলির গণনা;
• a → (এম, এম, এজে) এবং এম 3 এম 1 → \u003d এক্স 1 - এক্স 3, ওয়াই 1 - ই 3, জেড 1 - জেড 3 হিসাবে ভেক্টরগুলির ভেক্টর পণ্য সন্ধান করুন × এম 3 এম 1 i \u003d i as j → k → axayazx 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 সূত্র দ্বারা দৈর্ঘ্য পেতে a × × M 3 M 1 →;
• একটি বিন্দু থেকে একটি সরলরেখা এম 1 এইচ 1 \u003d a → × এম 3 এম 1 → a to থেকে দূরত্ব গণনা করা হচ্ছে →

একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে মহাকাশে প্রদত্ত সরলরেখার দূরত্ব নির্ধারণে সমস্যা সমাধান করা

উদাহরণ 5

স্থানাঙ্ক এম 1 2, - 4, - 1 এর সাথে বিন্দু থেকে x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 এর দূরত্বটি সন্ধান করুন।

সিদ্ধান্ত

প্রথম পদ্ধতিটি বিমানের সমীকরণ লেখার সাথে শুরু করে - এম 1 এর মধ্য দিয়ে যায় এবং লম্ব হয় চিহ্নিত করা... আমরা ফর্ম একটি অভিব্যক্তি পেতে:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (জেড - (- 1)) \u003d 0 ⇔ 2 এক্স - y + 5 জেড - 3 \u003d 0

শর্ত দ্বারা নির্দিষ্ট রেখার জন্য বিমানের সাথে ছেদ বিন্দু is পয়েন্ট এইচ 1 এর স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করা প্রয়োজন। থেকে সরানো উচিত ক্যানোনিকাল ফর্ম ছেদ করার জন্য। তারপরে আমরা ফর্মের সমীকরণগুলির একটি সিস্টেম পেয়েছি:

x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) \u003d 2 y 5 (x + 1) \u003d 2 (জেড + 5) 5 y \u003d - 1 (জেড + 5) ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0 5 y + z + 5 \u003d 0 ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0

সিস্টেমটি x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0 ⇔ x + 2 y \u003d - 1 5 x - 2 z \u003d 5 2 x - y সিস্টেম গণনা করা দরকার ক্র্যামারের পদ্ধতি অনুসারে + 5 জেড \u003d 3, তারপরে আমরা এটি পেয়েছি:

∆ \u003d 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 \u003d - 60 ∆ x \u003d - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 \u003d - 60 ⇔ x \u003d ∆ x ∆ \u003d - 60 - 60 \u003d 1 ∆ y \u003d 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 \u003d 60 ⇒ y \u003d ∆ y ∆ \u003d 60 - 60 \u003d - 1 ∆ z \u003d 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 \u003d 0 ⇒ z \u003d ∆ z ∆ \u003d 0 - 60 \u003d 0

সুতরাং আমাদের কাছে এইচ 1 (1, - 1, 0) রয়েছে।

এম 1 এইচ 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

দ্বিতীয় উপায়টি হ'ল প্রমিত সমীকরণের স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করে শুরু করা। এটি করার জন্য, আপনাকে ভগ্নাংশের ডোনমিনেটরগুলিতে মনোযোগ দিতে হবে। তারপরে একটি → \u003d 2, - 1, 5 হ'ল x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 রেখার দিকের ভেক্টর। A → \u003d 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 \u003d 30 সূত্র দ্বারা দৈর্ঘ্য গণনা করা প্রয়োজন।

এটি স্পষ্ট যে x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 রেখাটি M 3 বিন্দুকে ছেদ করে (- 1, 0, - 5), সুতরাং আমাদের কাছে এম 3 এর উত্স সহ ভেক্টর রয়েছে (- 1, 0, - 5) এবং এর শেষ এম 1 2, - 4, - 1 এ এম 3 এম 1 → \u003d 3, - 4, 4। ভেক্টর পণ্য একটি → \u003d (2, - 1, 5) এবং এম 3 এম 1 → \u003d (3, - 4, 4) সন্ধান করুন।

আমরা ফর্মটির একটি এক্সপ্রেশন পেয়েছি → × M 3 M 1 → \u003d i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 \u003d - 4 i → + 15 জে → - 8 কে → + 20 আই → - 8 জে → \u003d 16 আমি → + 7 জে → - 5 কে → →

আমরা পেয়েছি যে ভেক্টর পণ্যের দৈর্ঘ্য হ'ল → × M 3 M 1 → \u003d 16 2 + 7 2 + - 5 2 \u003d 330।

একটি সরলরেখার জন্য বিন্দু থেকে দূরত্ব গণনা করার সূত্রটি ব্যবহার করার জন্য আমাদের কাছে সমস্ত ডেটা রয়েছে, তাই আমরা এটি প্রয়োগ করে পাই:

এম 1 এইচ 1 \u003d এ × × এম 3 এম 1 → এ → \u003d 330 30 \u003d 11

উত্তর: 11 .

আপনি যদি পাঠ্যে কোনও ত্রুটি লক্ষ্য করেন তবে দয়া করে এটি নির্বাচন করুন এবং Ctrl + এন্টার টিপুন

প্লেনের একটি বিন্দু থেকে একটি সরলরেখার দূরত্ব গণনার সূত্র

যদি সোজা রেখার অক্ষ + বাই + সি \u003d ০ এর সমীকরণ দেওয়া হয় তবে নীচের সূত্রটি ব্যবহার করে বিন্দু M (M x, M y) থেকে সরলরেখার দূরত্বটি পাওয়া যাবে

বিমানের বিন্দু থেকে একটি রেখার দূরত্ব গণনা করার জন্য কার্যগুলির উদাহরণ

উদাহরণ 1।

3x + 4y - 6 \u003d 0 এবং পয়েন্ট এম (-1, 3) এর মধ্যে দূরত্বটি সন্ধান করুন।

সিদ্ধান্ত। সূত্রটিতে সরলরেখার সহগ এবং বিন্দুর স্থানাঙ্কের পরিবর্তে

উত্তর: একটি সরলরেখার বিন্দু থেকে দূরত্ব 0.6।

সমতল বিন্দুতে ভেক্টরের সাধারণ সমীকরণের সমতল হতে সমতলের সমীকরণ

প্রদত্ত সমতলে একটি ননজারো ভেক্টর লম্বকে বলা হয় সাধারণ ভেক্টর (বা সংক্ষেপে, সাধারণ ) এই বিমানের জন্য।

স্থানাঙ্ক স্থান (একটি আয়তক্ষেত্র সমন্বয় ব্যবস্থায়) দেওয়া হোক:

একটি বিন্দু ;

খ) ননজারো ভেক্টর (চিত্র 4.8, ক)

এটি একটি বিন্দু দিয়ে যেতে বিমানের একটি সমীকরণ আঁকা প্রয়োজন ভেক্টরের লম্ব প্রমাণের সমাপ্তি।

আসুন এখন একটি বিমানে একটি সরল রেখার বিভিন্ন ধরণের সমীকরণ বিবেচনা করি।

1) বিমানের সাধারণ সমীকরণপি .

এটি একই সাথে সমীকরণের উত্স থেকে উদ্ভূত হয়েছে ক, খ এবং গ 0 এর সমান নয় (কেন ব্যাখ্যা করুন)।

পয়েন্টটি বিমানের অন্তর্গত পি কেবলমাত্র যদি এর সমন্বয়কারীরা সমতল সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। প্রতিকূলতার উপর নির্ভর করে ক, খ, গ এবং ডিপ্লেন পি একটি বা অন্য অবস্থান দখল করে:

- বিমানটি স্থানাঙ্ক সিস্টেমের উত্সের মধ্য দিয়ে যায়, - বিমানটি স্থানাঙ্ক সিস্টেমের উত্সের মধ্য দিয়ে যায় না,

- বিমানটি অক্ষের সমান্তরাল এক্স,

এক্স,

- বিমানটি অক্ষের সমান্তরাল ওয়াই,

- বিমানটি অক্ষের সাথে সমান্তরাল নয় ওয়াই,

- বিমানটি অক্ষের সমান্তরাল জেড,

- বিমানটি অক্ষের সাথে সমান্তরাল নয় জেড.

এই বিবৃতি নিজেই প্রমাণ করুন।

সমীকরণ (6) সহজেই সমীকরণ (5) থেকে উদ্ভূত হয়। প্রকৃতপক্ষে, বিন্দুটি বিমানটিতে থাকা উচিত পি... তারপরে স্থানাঙ্কগুলি সমীকরণ (5) সমীকরণ (5) থেকে বিয়োগ সমীকরণ (7) এবং শর্তগুলি গোষ্ঠীকরণের সাথে সন্তুষ্ট হয়, আমরা সমীকরণ পাই (6)। স্থানাঙ্ক সহ যথাক্রমে দুটি ভেক্টর বিবেচনা করুন। সূত্র (6) থেকে এটি অনুসরণ করে যে তাদের স্কেলারের পণ্যটি শূন্যের সমান। সুতরাং, ভেক্টরটি ভেক্টরটির জন্য লম্ব হয়। শুরু এবং শেষ ভেক্টরের শেষটি যথাক্রমে বিমানের অন্তর্গত পয়েন্টগুলিতে থাকে পি... অতএব, ভেক্টরটি সমতলের জন্য লম্ব পি... পয়েন্ট থেকে প্লেনে দূরত্ব পি, সাধারণ সমীকরণ যা সূত্র দ্বারা নির্ধারিত এই সূত্রের প্রমাণটি একটি বিন্দু এবং একটি লাইনের মধ্যবর্তী দূরত্বের সূত্রের প্রমাণের সাথে পুরোপুরি সাদৃশ্যপূর্ণ (চিত্র 2 দেখুন)।
চিত্র: ২. একটি প্লেন এবং একটি সরলরেখার মধ্যে দূরত্বের সূত্রটি বের করার জন্য।

প্রকৃতপক্ষে, দূরত্ব d একটি সরলরেখা এবং একটি বিমানের মধ্যে

একটি পয়েন্ট একটি বিমানে পড়ে আছে যেখানে। সুতরাং, ১১ নং লেকচারের মতো উপরের সূত্রটি প্রাপ্ত। দুটি প্লেন সমান্তরাল হয় যদি তাদের সাধারণ ভেক্টরগুলি সমান্তরাল হয়। এটি থেকে আমরা দুটি বিমানের সমান্তরালতার শর্তটি অর্জন করি প্লেনগুলির সাধারণ সমীকরণের সহগ রয়েছে। দুটি প্লেন লম্ব হয় যদি তাদের সাধারণ ভেক্টরগুলি লম্ব হয় তবে আমরা দুটি প্লেনের লম্বের শর্তটি পাই, যদি তাদের সাধারণ সমীকরণগুলি জানা থাকে

কোণ চ দুটি প্লেনের মধ্যে তাদের সাধারণ ভেক্টরগুলির মধ্যবর্তী কোণের সমান (চিত্র 3 দেখুন) এবং সুতরাং সূত্র ধরে গণনা করা যায়
প্লেনগুলির মধ্যে কোণ নির্ধারণ।

(11)

বিন্দু থেকে বিমান এবং এটির সন্ধানের উপায়গুলি থেকে দূরত্ব

বিন্দু থেকে দূরত্ব প্লেন - লম্বের দৈর্ঘ্য এই বিমানে একটি বিন্দু থেকে নেমে গেছে। একটি বিন্দু থেকে একটি বিমানের দূরত্ব নির্ধারণের জন্য কমপক্ষে দুটি উপায় রয়েছে: জ্যামিতিক এবং বীজগণিত.

জ্যামিতিক পদ্ধতিতে আপনাকে প্রথমে বুঝতে হবে যে লম্বটি কীভাবে বিন্দু থেকে সমতলে অবস্থিত: সম্ভবত এটি কোনও সুবিধাজনক বিমানের মধ্যে অবস্থিত, কিছু সুবিধাজনক (বা না) ত্রিভুজের উচ্চতা বা সম্ভবত এই লম্ব সাধারণত কিছু পিরামিডের উচ্চতা।

এই প্রথম এবং সবচেয়ে কঠিন পর্যায়ে পরে, টাস্কটি কয়েকটি সুনির্দিষ্ট প্লেনিমিট্রিক কার্যগুলিতে বিভক্ত হয় (সম্ভবত বিভিন্ন বিমানে)।

বীজগণিত উপায়ে একটি বিন্দু থেকে একটি বিমানের দূরত্ব জানতে, আপনাকে একটি সমন্বিত ব্যবস্থা প্রবেশ করতে হবে, পয়েন্টের স্থানাঙ্ক এবং বিমানের সমীকরণ সন্ধান করতে হবে এবং তারপরে একটি বিন্দু থেকে একটি বিমানের দূরত্বের সূত্রটি প্রয়োগ করতে হবে।

Ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooসুতরাং, আমরা প্রথম বিভাগে এগিয়ে যাব, আশা করি, নিবন্ধের শেষে আমি প্রফুল্ল থাকব।

দুটি সরল রেখার আপেক্ষিক অবস্থান

শ্রোতা যখন কোরাস সহকারে গান করে। দুটি সোজা লাইন পারে:

1) মিল;

2) সমান্তরাল হতে হবে :;

3) বা একক বিন্দুতে ছেদ করুন:।

ডামিদের জন্য সহায়তা : দয়া করে ছেদটির গাণিতিক চিহ্নটি মনে রাখবেন, এটি খুব সাধারণ হবে। স্বরলিপিটি নির্দেশ করে যে লাইনটি একটি বিন্দুতে রেখার সাথে ছেদ করে।

দুটি সরলরেখার আপেক্ষিক অবস্থান কীভাবে নির্ধারণ করবেন?

প্রথম কেস দিয়ে শুরু করা যাক:

দুটি সরল রেখার সাথে মিলে যায় এবং যদি তাদের সংশ্লিষ্ট সহগগুলি আনুপাতিক হয়, যে, যেমন একটি সংখ্যা "ল্যাম্বদা" যে সমতা

সরলরেখাগুলি বিবেচনা করুন এবং সংশ্লিষ্ট সহগগুলি থেকে তিনটি সমীকরণ রচনা করুন:। এটি প্রতিটি সমীকরণ থেকে অনুসরণ করে যা এই লাইনগুলির সাথে মিলে যায় co

আসলে, যদি সমীকরণের সমস্ত সহগ হয় –1 (পরিবর্তনের লক্ষণ) দ্বারা গুণিত করুন, এবং সমীকরণের সমস্ত সহগকে 2 দ্বারা হ্রাস করুন, তারপরে আপনি একই সমীকরণ পাবেন :.

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, যখন লাইনগুলি সমান্তরাল হয়:

দুটি সরল রেখা সমান্তরাল হয় এবং কেবল যদি ভ্যারিয়েবলের জন্য তাদের সহগগুলি আনুপাতিক হয়: কিন্তু.

উদাহরণ হিসাবে, দুটি লাইন বিবেচনা করুন। আমরা ভেরিয়েবলগুলির জন্য সংশ্লিষ্ট সহগের আনুপাতিকতা পরীক্ষা করি:

তবে এটি বেশ পরিষ্কার is

এবং তৃতীয় ক্ষেত্রে, যখন লাইনগুলি ছেদ করে:

দুটি সরল রেখা ছেদ করে যদি এবং কেবল যদি তাদের ভেরিয়েবলের সহগগুলি আনুপাতিক না হয়, যে, এমন একটি ল্যাম্বডা মান নেই যে সমতাগুলি সন্তুষ্ট হয়

সুতরাং, সরলরেখার জন্য আমরা সিস্টেমটি রচনা করব:

প্রথম সমীকরণ থেকে এটি অনুসরণ করে এবং দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে: সুতরাং, সিস্টেমটি বেমানান (কোনও সমাধান নেই)। সুতরাং, ভেরিয়েবলের সহগগুলি সমানুপাতিক নয়।

উপসংহার: লাইনগুলি ছেদ করে

ব্যবহারিক সমস্যায় আপনি সলিউশন স্কিমটি সবেমাত্র বিবেচিত ব্যবহার করতে পারেন। যাইহোক, কোলাইনারিটির জন্য ভেক্টরগুলি পরীক্ষা করার জন্য এটি অ্যালগরিদমের সাথে খুব মিল, যা আমরা পাঠ্যটিতে বিবেচনা করেছি ভেক্টরগুলির রৈখিক (অ) নির্ভরতার ধারণা। ভেক্টর ভিত্তি... তবে আরও একটি সভ্য প্যাকেজিং রয়েছে:

উদাহরণ 1

সরল রেখার আপেক্ষিক অবস্থানটি সন্ধান করুন:

সিদ্ধান্ত সরলরেখার দিকনির্দেশক ভেক্টরগুলির অধ্যয়নের উপর ভিত্তি করে:

ক) সমীকরণগুলি থেকে আমরা সরলরেখার দিকনির্দেশক ভেক্টরগুলি পাই: .

, সুতরাং ভেক্টরগুলি কলিনারি নয় এবং লাইনগুলি ছেদ করে।

কেবলমাত্র, আমি চৌমাথায় পয়েন্টার সহ একটি পাথর রাখব:

বাকী অংশটি পাথরের উপরে ঝাঁকুন এবং অনুসরণ করুন, সরাসরি কাশছিই অমর \u003d)

খ) সরল রেখার দিকের ভেক্টরগুলি সন্ধান করুন:

লাইনের একই দিকের ভেক্টর রয়েছে যার অর্থ তারা হয় সমান্তরাল বা একত্রিত। এখানে নির্ধারক গণনা করার দরকার নেই।

এটা স্পষ্ট যে অজানা জন্য সহগগুলি আনুপাতিক, যখন।

সাম্যটি সত্য কিনা তা আমাদের খুঁজে বার করুন:

এইভাবে,

গ) সরল রেখার দিকের ভেক্টরগুলি সন্ধান করুন:

আসুন আমরা এই ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলির সমন্বয়ে নির্ধারক গণনা করি:
অতএব দিকের ভেক্টরগুলি লম্বা হয় are লাইনগুলি হয় সমান্তরাল বা একযোগে হয়।

অনুপাতের সহগ "ল্যাম্বডা" সহগামী দিকের ভেক্টরগুলির অনুপাত থেকে সরাসরি দেখা সহজ see তবে এটি সমীকরণের সহগের মাধ্যমেও পাওয়া যাবে: .

এখন আসুন জেনে নেওয়া যাক সাম্যটি সত্য কিনা। উভয় ফ্রি শর্তাদি শূন্য, সুতরাং:

ফলস্বরূপ মানটি এই সমীকরণটিকে সন্তুষ্ট করে (যে কোনও সংখ্যা সাধারণত এটি সন্তুষ্ট করে)।

সুতরাং, লাইন একত্রিত হয়।

উত্তর:

খুব শীঘ্রই আপনি শিখবেন (বা এমনকি ইতিমধ্যে শিখেছেন) কীভাবে কয়েক সেকেন্ডের মধ্যে মৌখিকভাবে বিবেচিত সমস্যাটি সমাধান করবেন। এই বিষয়ে, আমি একটি স্বাধীন সমাধানের জন্য কোনও প্রস্তাব দেওয়ার কোনও কারণ দেখছি না, জ্যামিতিক ভিত্তিতে আরও একটি গুরুত্বপূর্ণ ইট স্থাপন করা ভাল:

প্রদত্তটির সমান্তরালভাবে একটি সরল রেখা কীভাবে তৈরি করবেন?

এই সাধারণ কাজটি অজ্ঞতার জন্য, নাইটিংগেল ডাকাত কঠোর শাস্তি দেয়।

উদাহরণ 2

সরলরেখাটি সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়। সমান্তরাল রেখার সমান করুন যা একটি বিন্দু দিয়ে যায়।

সিদ্ধান্ত: অজানা প্রত্যক্ষ চিঠিটি বোঝাতে দিন। শর্তটি তার সম্পর্কে কী বলে? সরল রেখাটি বিন্দু দিয়ে যায়। এবং যদি সরল রেখাগুলি সমান্তরাল হয় তবে স্পষ্টতই বোঝা যায় যে সরলরেখা "tse" এর পরিচালনা ভেক্টর সরলরেখা "ডি" নির্মাণের জন্যও উপযুক্ত।

আমরা সমীকরণ থেকে দিক ভেক্টরটি বের করি:

উত্তর:

উদাহরণটির জ্যামিতিটি সহজ দেখাচ্ছে:

বিশ্লেষণী যাচাইকরণ নিম্নলিখিত পদক্ষেপ নিয়ে গঠিত:

1) আমরা পরীক্ষা করে দেখি যে রেখাগুলির একই দিকনির্দেশক ভেক্টর রয়েছে (যদি লাইনের সমীকরণটি সঠিকভাবে সরল করা না হয় তবে ভেক্টরগুলি কোলাইনারি হবে)।

2) পয়েন্টটি প্রাপ্ত সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে কিনা তা পরীক্ষা করে দেখুন।

বিশ্লেষণমূলক পর্যালোচনা বেশিরভাগ ক্ষেত্রে মৌখিকভাবে করা সহজ। দুটি সমীকরণ দেখুন এবং আপনার অনেকগুলি সরাসরি কোনও অঙ্কন ছাড়াই সরাসরি লাইনের সমান্তরালতাটি বের করে ফেলবেন।

আজ স্ব-সমাধানের উদাহরণগুলি সৃজনশীল হবে। কারণ আপনাকে এখনও বাবার ইয়াগার সাথে প্রতিযোগিতা করতে হবে এবং তিনি জানেন যে তিনি সমস্ত ধরণের ধাঁধার এক প্রেমিক।

উদাহরণ 3

একটি সরলরেখার সমান্তরাল বিন্দু দিয়ে পার হওয়া সরলরেখার সমীকরণ করুন যদি

একটি যুক্তিযুক্ত এবং খুব যুক্তিযুক্ত সমাধান নেই। সংক্ষিপ্ততম উপায় পাঠের শেষে।

আমরা সমান্তরাল লাইনগুলির সাথে কিছুটা কাজ করেছি এবং পরে তাদের কাছে ফিরে আসব। সরাসরি সরলরেখার সাথে একত্রিত হওয়ার ক্ষেত্রে খুব আগ্রহ নেই, সুতরাং এমন একটি সমস্যা বিবেচনা করুন যা আপনার কাছে সুপরিচিত স্কুলের পাঠ্যক্রম:

দুটি লাইনের ছেদ পয়েন্টটি কীভাবে সন্ধান করবেন?

যদি সোজা হয় একটি বিন্দুতে ছেদ করুন, তার সমন্বয়গুলি হ'ল সমাধান রৈখিক সমীকরণ সিস্টেম

রেখার ছেদ বিন্দুটি কীভাবে সন্ধান করবেন? সিস্টেমটি সমাধান করুন।

আপনার জন্য অনেক কিছু দুটি অজানাতে দুটি লিনিয়ার সমীকরণের সিস্টেমের জ্যামিতিক অর্থ একটি বিমানে দুটি ছেদকারী (বেশিরভাগ ক্ষেত্রে) সরল রেখা হয়।

উদাহরণ 4

রেখার ছেদ বিন্দু সন্ধান করুন

সিদ্ধান্ত: সমাধানের দুটি উপায় রয়েছে - গ্রাফিকাল এবং বিশ্লেষণাত্মক।

গ্রাফিকাল উপায়টি হ'ল ডেটা লাইনগুলি আঁকতে এবং অঙ্কন থেকে সরাসরি ছেদ পয়েন্টটি সন্ধান করা:

আমাদের বক্তব্য এখানে:। এটি পরীক্ষা করার জন্য, আপনাকে সরাসরি স্থায়ী রেখার প্রতিটি সমীকরণে এর স্থানাঙ্কগুলি প্রতিস্থাপন করতে হবে, সেগুলি সেখানে এবং সেখানে উভয়ই ফিট করা উচিত। অন্য কথায়, একটি পয়েন্টের স্থানাঙ্কগুলি হ'ল সিস্টেমের সমাধান। মূলত, আমরা সমাধানের জন্য একটি গ্রাফিকাল পদ্ধতিতে দেখেছি রৈখিক সমীকরণ সিস্টেম দুটি সমীকরণ, দুটি অজানা

গ্রাফিকাল পদ্ধতি অবশ্যই খারাপ নয়, তবে লক্ষণীয় অসুবিধাও রয়েছে। না, বিষয়টি এই নয় যে সপ্তম গ্রেডাররা তাই সিদ্ধান্ত নেন, মূল বিষয়টি এটি একটি সঠিক এবং নির্ভুল অঙ্কন পেতে সময় লাগবে take তদতিরিক্ত, কিছু সরল রেখাগুলি নির্মাণ করা এত সহজ নয় এবং চৌরাস্তাটি পয়েন্টটি নিজেই নোটবুকের শীটের বাইরে ত্রিশটি রাজ্যে কোথাও অবস্থিত হতে পারে।

সুতরাং, বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতি ব্যবহার করে ছেদ পয়েন্টটি সন্ধান করা আরও সমীচীন। আসুন সিস্টেমটি সমাধান করুন:

সিস্টেমটি সমাধানের জন্য, সমীকরণের মেয়াদ-পরবর্তী শব্দ যুক্ত করা হয়। প্রাসঙ্গিক দক্ষতা তৈরির পাঠটি দেখুন। সমীকরণের পদ্ধতি কীভাবে সমাধান করবেন?

উত্তর:

চেকটি তুচ্ছ - ছেদ পয়েন্টের স্থানাঙ্কগুলিকে অবশ্যই সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণকে সন্তুষ্ট করতে হবে।

উদাহরণ 5

তারা ছেদ করলে রেখার ছেদ বিন্দুটি সন্ধান করুন।

এটি স্ট্যান্ড একা সমাধানের উদাহরণ। টাস্কটি বিভিন্ন পর্যায়ে বিভক্ত করা সুবিধাজনক। অবস্থার বিশ্লেষণে কী প্রয়োজন তা বোঝায়:
1) সরলরেখার সমীকরণ তৈরি করুন।
2) সরলরেখার সমীকরণ তৈরি করুন।
3) সরল রেখার আপেক্ষিক অবস্থানটি সন্ধান করুন।
4) লাইনগুলি ছেদ করে থাকলে ছেদ বিন্দুটি সন্ধান করুন।

ক্রিয়াগুলির একটি অ্যালগরিদমের বিকাশ অনেক জ্যামিতিক সমস্যার জন্য আদর্শ এবং আমি বারবার এটিতে ফোকাস করব।

সম্পূর্ণ সমাধান এবং টিউটোরিয়াল শেষে উত্তর:

পাঠের দ্বিতীয় বিভাগে আমরা যেমন পেলাম তখনও একজোড়া জুতো পড়ে যায়নি:

লম্ব সোজা লাইন। বিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব।
সরলরেখার মাঝে কোণ

একটি সাধারণ এবং খুব গুরুত্বপূর্ণ কাজ দিয়ে শুরু করা যাক। প্রথম অংশে, আমরা শিখেছি কীভাবে এটির সাথে সমান্তরালভাবে একটি সরল রেখা তৈরি করা যায় এবং এখন মুরগির পায়ে কুটিরটি 90 ডিগ্রি পরিণত হবে:

প্রদত্তটির জন্য লম্ব লম্ব কীভাবে তৈরি করবেন?

উদাহরণ 6

সরলরেখাটি সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়। একটি বিন্দু দিয়ে একটি লম্ব লাইন সমান।

সিদ্ধান্ত: শর্তে এটি জানা যায়। সোজা লাইনের দিকনির্দেশক ভেক্টরটি খুঁজে পাওয়া ভাল লাগবে। যেহেতু লাইনগুলি লম্ব হয়, কৌশলটি সহজ:

সমীকরণ থেকে "সরান" সাধারণ ভেক্টর:, যা সরলরেখার দিকনির্দেশক ভেক্টর হবে।

আসুন একটি বিন্দু এবং একটি দিক ভেক্টর দ্বারা একটি সরল রেখার সমীকরণ রচনা করি:

উত্তর:

আসুন জ্যামিতিক স্কেচটি প্রসারিত করুন:

হুমমম ... কমলা আকাশ, কমলা সমুদ্র, কমলা উট।

সমাধানটির বিশ্লেষণযোগ্য যাচাইকরণ:

1) সমীকরণগুলি থেকে দিক ভেক্টরগুলি বের করুন এবং সাহায্যে ভেক্টরের বিন্দু পণ্য আমরা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছি যে সরল রেখাগুলি প্রকৃতপক্ষে লম্ব:

যাইহোক, আপনি সাধারণ ভেক্টর ব্যবহার করতে পারেন, এটি আরও সহজ।

2) পয়েন্টটি প্রাপ্ত সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে কিনা তা পরীক্ষা করে দেখুন .

চেক আবারও মুখে মুখে করা সহজ।

উদাহরণ 7

সমীকরণটি জানা থাকলে লম্ব লাইনগুলির ছেদ বিন্দুটি সন্ধান করুন এবং পয়েন্ট।

এটি নিজেই করণীয় সমাধানের উদাহরণ। কার্যটিতে বেশ কয়েকটি ক্রিয়া রয়েছে, সুতরাং সমাধান পয়েন্টটি পর্যায়ক্রমে আঁকানো সুবিধাজনক।

আমাদের উত্তেজনাপূর্ণ যাত্রা অব্যাহত:

বিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব

আমাদের আগে নদীর সরল স্ট্রিপ এবং আমাদের কাজটি সংক্ষিপ্ততম রুটে পৌঁছে দেওয়া। কোনও বাধা নেই, এবং সর্বাধিক অনুকূল রুটটি লম্ব লম্ব বরাবর চলবে। অর্থাৎ, একটি বিন্দু থেকে একটি সরলরেখার দূরত্ব একটি লম্ব লম্বের দৈর্ঘ্য।

জ্যামিতির মধ্যে দূরত্ব traditionতিহ্যগতভাবে গ্রীক অক্ষর "রো" দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, উদাহরণস্বরূপ: - বিন্দু "em" থেকে সরাসরি লাইন "ডি" থেকে দূরত্ব।

বিন্দু থেকে রেখার দূরত্ব সূত্র দ্বারা প্রকাশিত

উদাহরণ 8

বিন্দু থেকে রেখার দূরত্বটি সন্ধান করুন

সিদ্ধান্ত: আপনার যা প্রয়োজন কেবল তা হ'ল সাবধানে সংখ্যাগুলিকে সূত্রের পরিবর্তে গণনা সম্পাদন করা:

উত্তর:

আসুন অঙ্কনটি কার্যকর করুন:

বিন্দু থেকে প্রাপ্ত রেখার দূরত্বটি হ'ল লাল রেখার দৈর্ঘ্য। যদি আপনি 1 ইউনিটের স্কেলে চেকার্ড পেপারে অঙ্কন আঁকেন। \u003d 1 সেমি (2 কোষ), তারপরে দূরত্বটি কোনও সাধারণ শাসকের সাথে পরিমাপ করা যায়।

একই নীলনকশাটির জন্য অন্য একটি কাজ বিবেচনা করুন:

কাজটি হ'ল একটি সরলরেখার সাথে সামঞ্জস্য রেখে এমন বিন্দুর সমান্তরাল বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করা to ... আমি ক্রিয়াগুলি নিজেই সম্পাদন করার প্রস্তাব দিচ্ছি, তবে আমি মধ্যবর্তী ফলাফলগুলির সাথে সমাধান অ্যালগরিদমের রূপরেখা করব:

1) একটি লাইন যে লম্বের লম্ব হয় তা সন্ধান করুন।

2) রেখার ছেদ বিন্দুটি সন্ধান করুন: .

উভয় পদক্ষেপ এই টিউটোরিয়ালে বিস্তারিত রয়েছে।

3) বিন্দুটি রেখাংশের মধ্যবিন্দু। আমরা মাঝের স্থানাঙ্কগুলি এবং শেষগুলির একটি জানি। দ্বারা বিভাগটির মিডপয়েন্টের স্থানাঙ্কের জন্য সূত্র আমরা খুঁজি.

দূরত্বটিও ২.২ ইউনিট কিনা তা যাচাই করা অতিরিক্ত প্রয়োজন হবে না।

এখানে গণনাগুলিতে অসুবিধা দেখা দিতে পারে তবে টাওয়ারে একটি মাইক্রো ক্যালকুলেটর আপনাকে সাধারণ ভগ্নাংশ গণনা করার সুযোগ দেয় great বারবার পরামর্শ দেওয়া, আবার পরামর্শ দেওয়া হবে।

দুটি সমান্তরাল লাইনের মধ্যে দূরত্বটি কীভাবে খুঁজে পাবেন?

উদাহরণ 9

দুটি সমান্তরাল লাইনের মধ্যবর্তী দূরত্বটি সন্ধান করুন

এটি একটি স্বাধীন সমাধানের জন্য আরেকটি উদাহরণ। আমি আপনাকে কিছুটা ইঙ্গিত দিচ্ছি: এটি সমাধানের জন্য অসীম অনেক উপায় রয়েছে। পাঠ শেষে আলোচনা করা, তবে নিজের জন্য আরও অনুমান করার চেষ্টা করুন, আমি মনে করি আপনার বুদ্ধি বেশ ভালভাবে ছড়িয়ে গেছে ers

দুটি সোজা রেখার মাঝে কোণ

প্রতিটি কোণ একটি জাম:


জ্যামিতিতে, দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণটি ছোট্ট কোণ হিসাবে নেওয়া হয়, যেখান থেকে এটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে অনুসরণ করে যে এটি অবসন্ন হতে পারে না। চিত্রটিতে, লাল চাপ দ্বারা নির্দেশিত কোণটি সরলরেখাকে ছেদ করার মধ্যবর্তী কোণ হিসাবে বিবেচিত হয় না। এবং তার "সবুজ" প্রতিবেশী যেমন, বা হিসাবে বিবেচিত হয় বিপরীতমুখী "ক্রিমসন" কোণে।

যদি সরল রেখাগুলি লম্ব হয়, তবে 4 টি কোণগুলির মধ্যে যে কোনও একটিকে তাদের মধ্যবর্তী কোণ হিসাবে নেওয়া যেতে পারে।

কোণগুলি কীভাবে পৃথক হয়? ওরিয়েন্টেশন। প্রথমত, কোণার "স্ক্রোলিং" এর দিকটি মৌলিক গুরুত্বের। দ্বিতীয়ত, একটি নেতিবাচকমুখী কোণ একটি বিয়োগ চিহ্ন সহ লেখা হয়, উদাহরণস্বরূপ, যদি।

কেন এ কথা বললাম? দেখে মনে হচ্ছে আপনি কোনও কোণের সাধারণ ধারণাটি পেয়ে যেতে পারেন। আসল বিষয়টি হল যে সূত্রগুলির সাহায্যে আমরা কোণগুলি পেয়ে যাব, আপনি সহজেই একটি নেতিবাচক ফলাফল পেতে পারেন এবং এটি আপনাকে অবাক করে নেওয়া উচিত নয়। বিয়োগ চিহ্ন সহ একটি কোণ আরও খারাপ নয় এবং এর খুব নির্দিষ্ট জ্যামিতিক অর্থ রয়েছে। অঙ্কনটিতে, নেতিবাচক কোণের জন্য, একটি তীর (ঘড়ির কাঁটার) দিয়ে এর দিকনির্দেশনাটি নিশ্চিত করতে ভুলবেন না।

দুটি সোজা লাইনের মধ্যবর্তী কোণটি কীভাবে খুঁজে পাবেন? দুটি কার্যকারী সূত্র রয়েছে:

উদাহরণ 10

সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণটি সন্ধান করুন

সিদ্ধান্ত এবং পদ্ধতি এক

সাধারণ আকারে সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত দুটি সরল রেখা বিবেচনা করুন:

যদি সোজা হয় লম্ব নাতারপর ভিত্তিক সূত্রটি ব্যবহার করে তাদের মধ্যবর্তী কোণটি গণনা করা যেতে পারে:

আসুন ডিনোমিনেটরের দিকে মনোযোগ দিন - এটি হুবহু স্কালে পণ্য সরল রেখার দিকনির্দেশক ভেক্টর:

যদি, তবে সূত্রটির ডিনোমিনেটর অদৃশ্য হয়ে যায় এবং ভেক্টরগুলি অর্থোগোনাল হবে এবং সরলরেখাগুলি লম্ব হয়। সে কারণেই সূত্রের সরলরেখার অলক্ষ্যতা সম্পর্কে একটি সংরক্ষণ করা হয়েছিল।

উপরের ভিত্তিতে, দুটি পদক্ষেপে একটি সমাধান ব্যবস্থা করা সুবিধাজনক:

1) গণনা স্কালে পণ্য সরল রেখার দিকনির্দেশক ভেক্টর:
সুতরাং সরলরেখাগুলি লম্ব নয়।

2) সূত্রের সাহায্যে সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণটি পাওয়া যায়:

মাধ্যম বিপরীত ফাংশন কোণটি নিজেই খুঁজে পাওয়া সহজ। এই ক্ষেত্রে, আমরা আর্কট্যানজেন্টের বিজোড়তা ব্যবহার করি (দেখুন দেখুন)। গ্রাফ এবং প্রাথমিক ফাংশনগুলির বৈশিষ্ট্য):

উত্তর:

উত্তরে, আমরা সঠিক মান, পাশাপাশি একটি আনুমানিক মান (সাধারণত ডিগ্রি এবং রেডিয়ানে উভয়) নির্দেশ করে ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে গণনা করি।

ভাল, বিয়োগ, তাই বিয়োগ, ঠিক আছে। এখানে একটি জ্যামিতিক চিত্র:

এটি আশ্চর্যজনক নয় যে কোণটি একটি নেতিবাচক প্রবণতা হিসাবে দেখা দিয়েছে, কারণ সমস্যার বিবৃতিতে প্রথম সংখ্যাটি একটি সরলরেখা এবং কোণটির "মোচড়" এর সাথে শুরু হয়েছিল।

আপনি যদি সত্যিই একটি ধনাত্মক কোণ পেতে চান তবে আপনার সরল রেখাগুলি অদলবদল করা দরকার, এটি হ'ল দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে গুণফলগুলি গ্রহণ করুন , এবং সহগগুলি প্রথম সমীকরণ থেকে নেওয়া হয়। সংক্ষেপে, আপনাকে অবশ্যই একটি সরলরেখা দিয়ে শুরু করতে হবে .

একটি বিন্দু থেকে একটি রেখার দূরত্বটি একটি বিন্দু থেকে একটি লাইনে নামানো লম্বের দৈর্ঘ্য। বর্ণনামূলক জ্যামিতিতে, এটি নিচের আলগোরিদম ব্যবহার করে গ্রাফিক্যভাবে নির্ধারিত হয়।

অ্যালগরিদম

1. সরল রেখাটি এমন অবস্থানে স্থানান্তরিত হয় যেখানে এটি কোনও প্রক্ষেপণ বিমানের সমান্তরাল হবে। এর জন্য, অর্থোগোনাল প্রজেকশনগুলিকে রূপান্তর করার পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করা হয়।
2. একটি বিন্দু থেকে, একটি লম্ব একটি সরলরেখায় টানা হয়। এই নির্মাণটি প্রক্ষেপণ উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে সমকোণ.
3. লম্বের দৈর্ঘ্যটি তার অনুমানগুলি রূপান্তর করে বা ডান ত্রিভুজ পদ্ধতিটি ব্যবহার করে নির্ধারিত হয়।

নিম্নলিখিত চিত্র দেখায় জটিল অঙ্কন বিন্দু এম এবং লাইন বি বিভাগ সিডি দ্বারা সংজ্ঞায়িত। তাদের মধ্যে দূরত্ব খুঁজে পাওয়া দরকার।

আমাদের অ্যালগরিদম অনুসারে, প্রথম কাজটি হ'ল লাইনটিকে প্রজেকশন বিমানের সমান্তরাল অবস্থানে নিয়ে যাওয়া। এটি বোঝা গুরুত্বপূর্ণ যে রূপান্তরের পরে, বিন্দু এবং রেখার মধ্যে প্রকৃত দূরত্ব পরিবর্তন করা উচিত নয়। এ কারণেই এখানে বিমানগুলি প্রতিস্থাপনের পদ্ধতিটি ব্যবহার করা সুবিধাজনক, যাতে স্থানটিতে চলমান পরিসংখ্যান জড়িত না।

নির্মাণের প্রথম পর্যায়ে ফলাফল নীচে দেখানো হয়েছে। চিত্রটি দেখায় যে কীভাবে একটি অতিরিক্ত সামনের বিমান P 4 বি এর সমান্তরালে প্রবর্তিত হয়। নতুন সিস্টেমে (পি 1, পি 4) পয়েন্ট C "" 1, ডি "" 1, এম "" 1 অক্ষ থেকে 1 "অক্ষ থেকে সমান দূরত্বে রয়েছে" ", ডি" ", এম" "অক্ষ থেকে এক্স.

অ্যালগরিদমের দ্বিতীয় অংশটি সম্পাদন করে, এম "" 1 থেকে আমরা লম্বভূমি এম "" 1 এন "" 1 টি সরল রেখা খ "" 1 তে নামিয়ে আনছি, যেহেতু খ এবং এমএন এর মধ্যে ডান কোণ এমএনডি সমুদ্রের পি 4 পুরো আকারে প্রক্ষেপণ করা হয়েছে। যোগাযোগের লাইনে, আমরা বিন্দু N "এর অবস্থানটি নির্ধারণ করি এবং বিভাগের এমএন এর প্রজেকশন" "" N "পরিচালনা করি।

চূড়ান্ত পর্যায়ে, আপনাকে এম "এন" এবং এম "" 1 এন "" 1 এর অনুমান দ্বারা বিভাগের এমএন এর মান নির্ধারণ করতে হবে। এই জন্য আমরা নির্মাণ সঠিক ত্রিভুজ এম "" 1 এন "" 1 এন 0, যার মধ্যে লেগ এন "" 1 এন 0 টি পার্থক্যের সমান (ওয়াই এম 1 - ওয়াই এন 1) এক্স 1 অক্ষ থেকে এম "এবং এন" পয়েন্টগুলি অপসারণ করবে। ত্রিভুজ এম "" 1 এন 0 "হাইপোপেনজ এম এর দৈর্ঘ্য এম" "1 এন" "1 এন 0 এম থেকে খ এর পছন্দসই দূরত্বের সাথে মিলে যায়।

দ্বিতীয় সমাধান

• সিডির সমান্তরাল, আমরা একটি নতুন সামনের বিমান P 4 প্রবর্তন করি। এটি এক্স 1 অক্ষ বরাবর П 1 এবং X 1 ∥C "D" কে ছেদ করে। প্লেনগুলি প্রতিস্থাপনের পদ্ধতি অনুসারে আমরা চিত্র "" 1, ডি "" 1 এবং এম "" 1 এর পয়েন্টগুলির অনুমানগুলি নির্ধারণ করি।
• সি "" 1 ডি "" 1 এর সাথে লম্ব হয়ে আমরা একটি অতিরিক্ত অনুভূমিক প্লেন পি 5 তৈরি করি, যার উপরে সোজা লাইন বি বিন্দু "" 2 \u003d বি "2 তে প্রত্যাশিত হয়।
• বিন্দু এম এবং লাইন বি এর মধ্যকার দূরত্বটি লাল রঙের চিহ্নযুক্ত বিভাগ "এম" 2 সি "2 এর দৈর্ঘ্যের দ্বারা নির্ধারিত হয়।

অনুরূপ কাজ:

155 *। সাধারণ অবস্থানে রেখাংশের AB এর প্রকৃত আকার নির্ধারণ করুন (চিত্র 153, ক)।

সিদ্ধান্ত। আপনি যেমন জানেন যে কোনও প্লেনে সরাসরি স্ট্রিম রেখাংশের প্রজেকশনটি সেগমেন্টের সমান (অঙ্কনের স্কেল বিবেচনায়) যদি এই বিমানের সমান্তরাল হয়

(চিত্র 153, খ) এটি এ থেকে অনুসরণ করে যে অঙ্কনকে রূপান্তর করে স্কোয়ারের এই বিভাগটির সমান্তরালতা অর্জন করা প্রয়োজন। ভি বা প্ল Pl বা লম্বাকৃতির অন্য প্লেনের সাথে ভি, এইচ সিস্টেমের এইচ বা পরিপূরক। ভি বা প্লা। এইচ এবং একই সাথে এই বিভাগের সমান্তরাল।

ডুমুর মধ্যে। 153, pl তে লম্বাকৃতির একটি অতিরিক্ত প্লেন এসের প্রবর্তন দেখায়। এইচ এবং প্রদত্ত বিভাগের AB এর সমান্তরাল।

প্রজেকশন একটি s বি গুলি বিভাগের AB এর প্রাকৃতিক মানের সমান।

ডুমুর মধ্যে। 153, d আরেকটি কৌশল দেখায়: খণ্ড AB এ বিন্দু B এর মধ্য দিয়ে সরানো একটি সরলরেখার চারদিকে ঘোরানো হয় এবং pl তে লম্ব হয়। সমান্তরাল অবস্থানে এইচ

pl ভি। এই ক্ষেত্রে, পয়েন্ট বি স্থানে থাকে এবং পয়েন্ট এ একটি নতুন অবস্থান এ 1 গ্রহণ করে। দিগন্তটি নতুন অবস্থানে রয়েছে। প্রজেকশন а 1 খ || এক্স-অক্ষ প্রজেকশন একটি "1 বি" বিভাগের AB এর প্রাকৃতিক মানের সমান।

156. একটি পিরামিড এসএবিসিডি দেওয়া (চিত্র 154)। ঘূর্ণন পদ্ধতিটি ব্যবহার করে প্রজেকশন প্লেনগুলি পরিবর্তন করার পদ্ধতি এবং বিএস এবং ডিএস প্রান্তটি ব্যবহার করে পিরামিড এএস এবং সিএসের প্রান্তগুলির আসল আকার নির্ধারণ করুন এবং ঘূর্ণনটির অক্ষটি বর্গক্ষেত্রের সাথে লম্বণ করুন। এইচ।

157 *। বিন্দু A থেকে সরলরেখার বিসি অবধি দূরত্ব নির্ধারণ করুন (চিত্র 155, ক)।

সিদ্ধান্ত। একটি বিন্দু থেকে একটি সরলরেখার দূরত্বটি একটি বিন্দু থেকে একটি সরলরেখায় আঁকা লম্ব অংশ দ্বারা পরিমাপ করা হয়।

যদি সরলরেখাটি কোনও প্লেনের লম্ব হয় (চিত্র 155.6), তবে বিন্দু থেকে সরলরেখার দূরত্বটি বিন্দুর অভিক্ষেপের মধ্যবর্তী দূরত্ব দ্বারা পরিমাপ করা হয় পয়েন্ট-প্রজেকশন এই বিমানে সোজা লাইন। যদি ভি, এইচ সিস্টেমে কোনও সরল রেখা একটি সাধারণ অবস্থান দখল করে থাকে, তবে প্রক্ষেপণ প্লেনগুলি পরিবর্তন করে একটি বিন্দু থেকে একটি সরলরেখার দূরত্ব নির্ধারণের জন্য, ভি, এইচ সিস্টেমে দুটি অতিরিক্ত প্লেন প্রবেশ করা প্রয়োজন।

প্রথম (চিত্র 155, সি) আমরা pl লিখুন। এস বি বি বিভাগের সমান্তরাল (নতুন এস / এইচ অক্ষটি বিসি প্রক্ষেপণের সাথে সমান্তরাল), এবং বি সি সি এবং এস এর অনুমানগুলি তৈরি করুন। তারপরে (চিত্র 155, d) আমরা আরেকটি pl উপস্থাপন করব। T লম্ব বিসি লম্ব লম্বালম্বি (নতুন টি / এস অক্ষ লম্ব লম্বা বি স গ)। আমরা টি (বি টি) এবং একটি টি সহ - একটি লাইন এবং একটি পয়েন্টের অনুমান তৈরি করি। A টি পয়েন্ট এবং t (b t) এর সাথে দূরত্ব l বিন্দু A থেকে লাইন বিসি অবধি সমান।

ডুমুর মধ্যে। 155e, একই রূপটি তার আকারে আবর্তন পদ্ধতি ব্যবহার করে সম্পন্ন হয়, যা সমান্তরাল চলন পদ্ধতি বলে। প্রথমে, খ্রিস্টপূর্ব সরলরেখা এবং পয়েন্ট এ, তাদের পারস্পরিক অবস্থান অপরিবর্তিত রেখে কিছুকে ঘুরিয়ে দিন (অঙ্কনটিতে নির্দেশিত নয়) সরলরেখার জন্য লম্ব লম্ব করুন। এইচ, যাতে বিসি রেখাটি বর্গক্ষেত্রের সমান্তরাল হয়। ভি। এটি বর্গক্ষেত্রের সমান্তরাল বিমানগুলিতে A, B, C স্থানান্তর পয়েন্টের সমতুল্য। এইচ। এই ক্ষেত্রে, দিগন্ত প্রদত্ত সিস্টেমের বিসি (বিসি + এ) প্রস্থ বা কনফিগারেশনে পরিবর্তন হয় না, কেবল এক্স অক্ষের সাথে সম্পর্কিত এর অবস্থান পরিবর্তন করে। আমরা দিগন্তের অবস্থান। এক্স-অক্ষের সমান্তরাল বিসি সরলরেখার প্রজেকশন (পজিশন বি 1 সি 1) এবং প্রজেকশনটি 1 টি সংজ্ঞায়িত করুন, সি 1 1 1 \u003d সি -1 এবং 1 1 1 \u003d a-1 এবং 1 1 1 ⊥ সি 1 1 1 উপস্থাপন করুন। এক্স অক্ষের সাথে সমান্তরাল সোজা লাইনগুলি খ "বি" 1, একটি "এ" 1, সি "সি" আঁকুন, আমরা তাদের সম্মুখভাগটি পাই find প্রোজেকশন বি "1, এ" 1, সি "1. পরবর্তী, বর্গ বর্গের সমান্তরাল সমতলগুলিতে বি 1, সি 1 এবং এ 1 পয়েন্টগুলি সরান (এছাড়াও তাদের আপেক্ষিক অবস্থান পরিবর্তন না করে), যাতে বি 2 সি 2 get প্রাপ্ত হয় বর্গ এইচ। এই ক্ষেত্রে, সরলরেখার প্রক্ষেপণ লম্ব অবস্থিত হবে এক্স, খ অক্ষ 2 গ "2 \u003d বি" 1 সি "1, এবং একটি" 2 "প্রক্ষেপণটি তৈরি করতে, খ" 2 2 "2 \u003d বি" 1 2 "1 নিন, 2" a "2 ⊥ বি" 2 সি "2 আঁকুন এবং পিছিয়ে দিন a "2 2" 2 \u003d a "1 2" 1। এখন, 1 থেকে 2 এবং একটি 1 থেকে 2 পর্যন্ত ব্যয় করার পরে || x 1 আমরা 2 এবং 2 এর সাথে বি 2 এবং প্রসংশ A থেকে লাইন বিসি পর্যন্ত প্রয়োজনীয় দূরত্ব পেতে পারি j আপনি A থেকে খ্রিস্টপূর্বের দূরত্বটি নির্ধারণ করতে পারেন বিমানটি বিন্দু A এবং বিসি রেখার মাধ্যমে নির্ধারিত বিমানটিকে এই সমুদ্রের অনুভূমিকের কাছাকাছি T অবস্থানের দিকে ঘুরানোর মাধ্যমে || pl এইচ (চিত্র 155, চ)

বিন্দু A এবং খ্রিস্টপূর্ব লাইন বিস দ্বারা সেট করা বিমানটিতে, একটি অনুভূমিক রেখা এ -1 আঁকুন (চিত্র 155, ছ) এবং এর চারপাশে বি বিন্দু ঘুরিয়ে দিন। পয়েন্ট বি স্কোয়ারে সরবে আর (আর এইচ এর ট্রেস দ্বারা অঙ্কন দেওয়া), এ -1 এর লম্ব লম্ব; বিন্দুতে O বিন্দু বি এর ঘূর্ণনের কেন্দ্র, এখন আমরা ভিওয়ের ঘূর্ণনের ব্যাসার্ধের প্রকৃত মান নির্ধারণ করি (চিত্র 155, সি)। প্রয়োজনীয় অবস্থানে, অর্থাত্ যখন pl। টি, পয়েন্ট এ এবং লাইন বিসি দ্বারা সংজ্ঞায়িত টি হয়ে যাবে || pl এইচ, পয়েন্ট বি বিন্দু হে থেকে ওব 1 এর দূরত্বে আর এইচ থেকে বের হবে (একই ট্র্যাক আর এইচ এর অন্য একটি অবস্থান হতে পারে তবে ও এর অন্য দিকে থাকতে পারে)। পয়েন্ট বি 1 দিগন্ত বিন্দু বি এর অভিক্ষেপ স্থান থেকে বি 1 এ স্থান পরিবর্তন করার পরে, যখন বিন্দু A এবং লাইন বিসি দ্বারা নির্ধারিত বিমানটি T এ অবস্থান নিয়েছিল

আঁকা (চিত্র 155, i) সরল রেখা খ 1 1, আমরা দিগন্তটি পাই। বিসি সরলরেখার প্রক্ষেপণ, ইতিমধ্যে অবস্থিত || pl এ এর সাথে একই সমতলে এইচ এই অবস্থানে, a থেকে b 1 1 এর দূরত্বটি পছন্দসই দূরত্বের সমান l প্লেন পি, যাতে প্রদত্ত উপাদানগুলি থাকে, প্লটের সাথে একত্রিত হতে পারে। এইচ (চিত্র 155, জে), টার্নিং প্ল। এর চারদিকে দিগন্ত। ট্রেস বিসি এ এবং সরলরেখার বিসি দ্বারা বিসকে নির্দিষ্ট করে বিসি এবং এ-1 (চিত্র 155, এল) নির্দিষ্ট করে আমরা বিমানটি নির্দিষ্ট করে এগিয়ে চলেছি এবং এইগুলি সরাসরি রেখার সন্ধান পেয়েছি এবং এর মধ্য দিয়ে পি ϑ এবং পি এইচ চিহ্নিত করি। আমরা pl (মূর্তি 155, মি) pl সঙ্গে মিলিত তৈরি। এইচ অবস্থান সামনে। ট্রেস - পি ϑ0।

A বিন্দুর মধ্য দিয়ে দিগন্তটি আঁকুন। সম্মুখ প্রজেকশন; সারিবদ্ধ সামনের দিকটি ট্র্যাকের point h এর সমান্তরাল 2 পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যায় ϑ বিন্দু A 0 - pl এর সাথে মিলিত। H বিন্দু A এর অবস্থান একইভাবে, আমরা বি 0 বিন্দুটি পাই। সরাসরি সূর্য pl সঙ্গে মিলিত। এইচ অবস্থানটি বিন্দু বি 0 এবং পয়েন্ট এম (অনুভূমিক রেখার ট্রেস) এর মধ্য দিয়ে যায়।

বিন্দু A 0 থেকে লাইন B 0 C 0 এর দূরত্বটি প্রয়োজনীয় দূরত্বের সমান l

আপনি কেবলমাত্র একটি ট্রেস পি এইচ (চিত্র 155, এন এবং ও) সন্ধান করে নির্দেশিত নির্মাণ সম্পাদন করতে পারেন। পুরো নির্মাণটি একটি অনুভূমিকের কাছাকাছি ঘোরের মতো (চিত্র 155, জি, সি, i দেখুন): ট্রেস Р এইচটি বর্গাকার কনট্যুর লাইনের একটি। আর।

এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য প্রদত্ত অঙ্কনকে রূপান্তর করার জন্য যে পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি অনুভূমিক বা সামনের দিকে ঘোরানোর পদ্ধতিটি পছন্দ করা হয়।

158. দেওয়া পিরামিড এসএবিসি (চিত্র 156)। দূরত্ব নির্ধারণ করুন:

ক) সমান্তরাল গতিবিধির মাধ্যমে বেসের উপরের বি থেকে তার পাশের এসি পর্যন্ত;

খ) এস পিরামিডের শীর্ষ থেকে বেসের বিসি এবং এবি এর পাশের দিকে অনুভূমিকের চারদিকে ঘোরে;

গ) প্রজেকশন প্লেনগুলি পরিবর্তন করে বেসের পাশের এসি থেকে শীর্ষ এস থেকে।

159. একটি প্রিজম দেওয়া হয় (ডুমুর 157)। দূরত্ব নির্ধারণ করুন:

ক) প্রজেকশন প্লেনগুলি পরিবর্তন করে এডি এবং সিএফ প্রান্তগুলির মধ্যে;

খ) সামনের দিকে ঘোরানো দ্বারা পাঁজর বিই এবং সিএফের মধ্যে;

গ) সমান্তরাল গতিবেগ দ্বারা AD এবং BE প্রান্তের মধ্যে।

160. এটি pl এর সাথে সারিবদ্ধ করে চতুর্ভুজ ABCD (চিত্র 158) এর আসল আকার নির্ধারণ করুন। এইচ। শুধুমাত্র অনুভূমিক বিমানের ট্রেস ব্যবহার করুন।

161 *। ক্রসিং রেখাগুলির AB এবং CD এর মধ্যে দূরত্ব নির্ধারণ করুন (চিত্র 159, a) এবং তাদের কাছে সাধারণ লম্বের অনুমানগুলি নির্মান করুন।

সিদ্ধান্ত। অতিক্রমকৃত রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব উভয় লাইনের লম্বাকৃতির অংশ (এমএন) দ্বারা পরিমাপ করা হয় (চিত্র 159, খ)। স্পষ্টতই, যদি কোনও সরলরেখার লাইনটি কোনও বর্গক্ষেত্রের জন্য লম্ব হয়। টি তখন

উভয় লাইনের লম্বের দৈর্ঘ্যের এমএন বিভাগের সমান্তরাল হবে। এই বিমানের টি প্রক্ষেপণ পছন্দসই দূরত্ব প্রদর্শন করবে। বর্গাকারে ডান কোণ মেনাদ এমএন এন এবির প্রজেকশন। টি এম টি এন টি এবং টি বি টি এর মধ্যেও একটি সমকোণ, যেহেতু ডান কোণের এএমএন এর একটি দিক, এমএন। pl সমান্তরাল। টি।

ডুমুর মধ্যে। 159, সি এবং ডি পছন্দসই দূরত্ব l প্রক্ষেপণ প্লেন পরিবর্তন করার পদ্ধতি দ্বারা নির্ধারিত হয়। প্রথমত, আমরা একটি অতিরিক্ত স্কোয়ার প্রবর্তন করি। প্রক্ষেপণ এস, pl এর জন্য লম্ব এইচ এবং সোজা লাইন সিডির সমান্তরাল (চিত্র 159, সি)। তারপরে আমরা আরও একটি অতিরিক্ত স্কোয়ার চালু করি। টি, pl থেকে লম্ব এস এবং একই সরল রেখার সিডির লম্ব লম্বা (চিত্র 159, ডি)। এখন আপনি প্রজেকশনের টি লম্বালম্বের লম্ব থেকে লম্বা লম্বা লম্বা টুকরো টানা অঙ্কন করে সাধারণ লম্বের একটি প্রজেকশন তৈরি করতে পারেন। বিন্দুগুলি m t এবং n t হ'ল সরল রেখাগুলির AB এবং CD এর সাথে এই লম্বের ছেদগুলির পয়েন্টগুলির অনুমান। M বিন্দুতে (চিত্র 159, e) আমরা একটি s বি s তে m গুলি পাই: প্রজেকশন m s n গুলি টি / এস অক্ষের সমান্তরাল হওয়া আবশ্যক। আরও, এম এস এবং এন এস দ্বারা আমরা আব এবং সিডির উপর এম এবং এন খুঁজে পাই এবং তার উপর মি "এবং এন" একটি "বি" এবং সি "ডি" তে পাই।

ডুমুর মধ্যে। 159, সি সমান্তরাল গতিবিধির পদ্ধতি দ্বারা এই সমস্যার সমাধান দেখায়। প্রথমে বর্গক্ষেত্রের সমান্তরালে একটি সরল সিডি রাখুন। ভি: প্রজেকশন সি 1 ডি 1 || এক্স. এরপরে, আমরা সি 1 ডি 1 এবং এ 1 বি 1 পজিশন থেকে সি 2 ডি 2 এবং এ 2 বি 2 থেকে সোজা লাইনগুলি সিডি এবং এবি স্থানান্তরিত করি যাতে সি 2 ডি 2 টি এইচ এর লম্ব হয়: "2 ডি" 2 ⊥ x দিয়ে প্রক্ষেপণ হয়। প্রয়োজনীয় উল্লম্ব অংশটি অবস্থিত || pl এইচ, এবং তাই মি 2 এন 2 AB এবং CD এর মধ্যে কাঙ্ক্ষিত দূরত্বটি প্রকাশ করে। মি "2", এবং এন "2" 2 বি "2 এবং সি" 2 ডি "2 তে অনুমানের অবস্থানটি সন্ধান করুন, তারপরে অনুমানগুলি এবং এম 1 এবং এম" 1, এন 1 এবং এন "1 এবং শেষ পর্যন্ত প্রক্ষেপণগুলি এম" এবং এন ", মি এবং এন।

162. একটি পিরামিড এসএবিসি দেওয়া (চিত্র 160)। প্রজেকশন প্লেন পরিবর্তন করার পদ্ধতি প্রয়োগ করে, পিরামিডের বেসের প্রান্ত এসবি এবং সাইড এসির মধ্যে দূরত্ব নির্ধারণ করুন এবং এসবি এবং এসির সাধারণ লম্বের অনুমানগুলি তৈরি করুন।

163. একটি পিরামিড এসএবিসি দেওয়া (চিত্র 161)। পিরামিডের বেসের প্রান্ত এসএইচ এবং বিসি পাশের দূরত্ব নির্ধারণ করুন এবং সমান্তরাল চলন পদ্ধতিটি প্রয়োগ করে এসএক্স এবং বিসি-তে সাধারণ লম্বের প্রক্ষেপণটি তৈরি করুন।

164 *। যে ক্ষেত্রে প্লেনটি দেওয়া হয় সেখানে পয়েন্ট এ থেকে প্লেনের দূরত্ব নির্ধারণ করুন: ক) ত্রিভুজ বিসিডির মাধ্যমে (চিত্র 162, ক); খ) ট্রেস (চিত্র 162, খ)।

সিদ্ধান্ত। আপনি জানেন যে, একটি বিন্দু থেকে একটি প্লেনের দূরত্বটি একটি বিন্দু থেকে একটি বিমানের দিকে টানা লম্বের মান দ্বারা পরিমাপ করা হয়। এই দূরত্বটি কোনও বর্গক্ষেত্রের দিকে অনুমান করা হয়। পূর্ণ আকারের অনুমান, যদি এই প্লেনটি বর্গক্ষেত্রের জন্য লম্ব হয়। অনুমান (চিত্র 162, সি)। অঙ্কনকে রূপান্তর করে উদাহরণস্বরূপ, বর্গ পরিবর্তন করে এই পরিস্থিতি অর্জন করা যেতে পারে। অনুমান। আমরা pl উপস্থাপন। এস (চিত্র 16c, d), pl এর লম্ব লম্বা। ত্রিভুজ বিসিডি। এটি করতে, আমরা pl এ ব্যয় করি। ত্রিভুজ অনুভূমিক বি -১ এবং অনুভূমিক অক্ষটি অনুভূমিকের প্রক্ষেপণ বি -১ এর লম্বকে স্থাপন করুন। আমরা একটি বিন্দু এবং একটি বিমানের অনুমান তৈরি করি - একটি গুলি এবং একটি বিভাগ সি এস ডি এস। S থেকে c s d s এর দূরত্বটি সমতলের বিন্দুর প্রয়োজনীয় দূরত্ব l এর সমান।

রিওতে 162, e সমান্তরাল গতিবিধির পদ্ধতি প্রয়োগ করা হয়। বি -১ সমতলের অনুভূমিক সমতল V এর দৈর্ঘ্য না হওয়া পর্যন্ত আমরা পুরো সিস্টেমটি সরিয়ে নিয়েছি: প্রজেকশন বি 1 1 1 এক্স-অক্ষের সাথে লম্ব হওয়া উচিত। এই অবস্থানে, ত্রিভুজের বিমানটি সামনের-প্রক্ষেপণে পরিণত হবে, এবং বিন্দু A থেকে এটির দূরত্বটি বর্গাকারে পরিণত হবে। বিকৃতি ছাড়া ভি।

ডুমুর মধ্যে। 162, বি বিমানটি ট্রেস দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। আমরা একটি অতিরিক্ত স্কোয়ার (চিত্র 162, ই) প্রবর্তন করি। এস, পিলে লম্ব পি: এস / এইচ অক্ষটি লম্বভাবে পি এইচ। বাকিটি অঙ্কন থেকে পরিষ্কার is ডুমুর মধ্যে। 162, সমস্যাটি একটি আন্দোলনের সাথে সমাধান করা হয়েছিল: pl pl পি অবস্থানে যায় পি 1, অর্থাৎ এটি প্রজেক্টে প্রজেক্ট হয়ে যায়। ট্র্যাক। Р 1h এক্স-অক্ষের জন্য লম্ব হয়। আমরা বিমানের এই অবস্থানে একটি ফ্রন্ট নির্মাণ করি। অনুভূমিক ট্রেস - বিন্দু n "1, n 1. ট্রেস পি 1ϑ পি 1x এবং n এর মধ্য দিয়ে যাবে 1" 1 থেকে পি 1ϑ এর দূরত্বটি পছন্দসই দূরত্বের সমান l।

165. একটি পিরামিড এসএবিসি দেওয়া (চিত্র দেখুন 160)। সমান্তরাল চলন পদ্ধতিটি ব্যবহার করে পিরামিডের এসবিসি মুখ পয়েন্ট এ থেকে দূরত্ব নির্ধারণ করুন।

166. একটি পিরামিড এসএবিসি দেওয়া (চিত্র 161 দেখুন)। সমান্তরাল চলন পদ্ধতিটি ব্যবহার করে পিরামিডের উচ্চতা নির্ধারণ করুন।

167 *। এই সরলরেখাগুলির মধ্য দিয়ে আঁকা সমান্তরাল প্লেনগুলির মধ্যকার দূরত্ব হিসাবে সরলরেখার AB এবং CD (পার্থক্য 159, এ দেখুন) এর মধ্যকার দূরত্ব নির্ধারণ করুন।

সিদ্ধান্ত। ডুমুর মধ্যে। 163, এবং সমান্তরাল বিমানগুলি পি এবং কিউ দেখায়, এর মধ্যে পিএল। প্রশ্নটি AB এর সমান্তরাল সিডি মাধ্যমে সম্পন্ন হয় এবং pl। আর - পি এর সমান্তরাল মাধ্যমে পি। প্র: এ জাতীয় বিমানের মধ্যকার দূরত্বটি ক্রসিং রেখাগুলির AB এবং CD এর মধ্যবর্তী দূরত্ব। তবে আপনি নিজেকে কেবল একটি বিমান তৈরিতে সীমাবদ্ধ করতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ, Q, AB এর সমান্তরাল এবং তারপরে এ প্লেনের কমপক্ষে পয়েন্ট এ থেকে দূরত্ব নির্ধারণ করুন।

ডুমুর মধ্যে। 163c সিডি সমান্তরালভাবে AB এর সাথে টানা কিউ বিমানটি দেখায়; "ই" দিয়ে আঁকা প্রজেক্টে || a "b" এবং ce || আব। বর্গ পরিবর্তন করার পদ্ধতি প্রয়োগ করা। অনুমান (চিত্র 163, সি), আমরা একটি অতিরিক্ত বর্গ চালু। এস, পিলে লম্ব ভি এবং একই সাথে

pl তে লম্বা। প্র: এস / ভি অক্ষটি আঁকতে, এই বিমানে সামনের ডি -1 নিন। এখন আমরা ডি / 1 "(চিত্র 163, সি) এর S / V লম্ব আঁকুন। Pl। কিউ pl তে প্রদর্শিত হবে। এস ডি এস এর সাথে একটি সরল রেখা হিসাবে এস। বাকিটি অঙ্কন থেকে পরিষ্কার is

168. পিরামিড এসএবিসি দেওয়া (চিত্র দেখুন 160)। এসসি এবং এবি এর পাঁজরের মধ্যে দূরত্ব নির্ধারণ করুন। প্রয়োগ করুন: 1) বর্গ পরিবর্তন করার পদ্ধতি। অনুমান, ২) সমান্তরাল গতিবিধির একটি পদ্ধতি।

169 *। সমান্তরাল প্লেনগুলির মধ্যে দূরত্ব নির্ধারণ করুন, যার একটি সরলরেখা AB এবং AC দ্বারা এবং অন্যটি সরল রেখা DE এবং DF দ্বারা দেওয়া হয়েছে (চিত্র 164, a)। যখন প্লেনগুলি ট্রেস দ্বারা দেওয়া হয় তখন চিত্রটির জন্য নির্মাণও চালিয়ে যান (চিত্র 164, খ)।

সিদ্ধান্ত। সমান্তরাল প্লেনগুলির মধ্যে দূরত্ব (চিত্র 164, সি) একটি বিমানের যে কোনও বিন্দু থেকে অন্য বিমানে লম্ব আঁকিয়ে নির্ধারণ করা যেতে পারে। ডুমুর মধ্যে। 164, ছ একটি অতিরিক্ত pl উপস্থাপন করেছে। এস পি লম্বা। এইচ এবং উভয় প্রদত্ত বিমানগুলিতে। এস.এইচ অক্ষটি দিগন্তের জন্য লম্ব। প্লেনগুলির একটিতে অনুভূমিক প্রক্ষেপণ আঁকা। আমরা এই প্লেনটির একটি প্রক্ষেপণ এবং স্কোয়ারের অন্য একটি বিমানের একটি বিন্দু তৈরি করি। 5. সোজা রেখা l s এর s বিন্দু d এর দূরত্ব সমান্তরাল প্লেনগুলির মধ্যে প্রয়োজনীয় দূরত্বের সমান।

ডুমুর মধ্যে। 164, d আরেকটি নির্মাণ দেওয়া হয়েছে (সমান্তরাল গতিবিধির পদ্ধতি অনুসারে)। প্লেনের জন্য, সরলরেখার AB এবং AC কে ছেদ করে প্রকাশ করা হবে, pl করার জন্য লম্ব করুন। ভি, দিগন্ত আমরা এই সমতলের অনুভূমিকটির প্রজেকশনটি এক্স-অক্ষের উপর লম্ব করে রেখেছি: 1 1 2 1 ⊥ x। সামনের মধ্যে দূরত্ব। প্রক্ষেপণ ডি "1 পয়েন্ট ডি এবং স্ট্রেইট লাইন একটি" 1 2 "1 (সামনের। বিমানের প্রক্ষেপণ) বিমানগুলির মধ্যে প্রয়োজনীয় দূরত্বের সমান।

ডুমুর মধ্যে। 164, e একটি অতিরিক্ত pl এর পরিচিতি দেখায়। এস, অঞ্চল H এর লম্ব এবং লম্বা বিমানগুলি পি এবং কিউ (এস / এইচ অক্ষগুলি ট্র্যাক পি এবং এইচ এবং Q h এর লম্ব হয়)। আমরা ট্রেস পি এস এবং কি এস তৈরি করি। তাদের মধ্যে দূরত্ব (চিত্র 164, গ দেখুন) প্লেন P এবং Q এর মধ্যে প্রয়োজনীয় দূরত্বের সমান is

ডুমুর মধ্যে। 164, জি দিগন্ত যখন পি 1 এন কিউ 1, পেন 1 এবং কিউ 1 অবস্থানে প্লেনগুলির চলাচল দেখায়। ট্র্যাকগুলি এক্স-অক্ষের লম্ব হয়ে উঠেছে। নতুন ফ্রন্টের মধ্যে দূরত্ব। ট্রেস দ্বারা পি 1ϑ এবং কিউ 1 প্রয়োজনীয় দূরত্বের সমান l

170. একটি সমান্তরাল ABCDEFGH (ডুমুর। 165) দেওয়া হয়েছে। দূরত্ব নির্ধারণ করুন: ক) সমান্তরাল ঘাঁটির মধ্যে - l 1; খ) ABFE এবং DCGH এর মুখের মধ্যে - l 2; গ) এডিএইচই এবং বিসিজিএফ-এল 3 প্রান্তগুলির মধ্যে।