წარმოსახვითი გადამკვეთი ხაზების წყვილი. რა არის განტოლების კანონიკური ფორმა? ელიფსი და მისი კანონიკური განტოლება

8.3.15. წერტილი A დევს ხაზზე. მანძილი A წერტილიდან სიბრტყემდე

8.3.16. დაწერეთ განტოლება სწორი წრფის სიმეტრიული სწორი ხაზისთვის

თვითმფრინავთან შედარებით .

8.3.17. შეადგინეთ პროგნოზების განტოლებები სიბრტყეზე შემდეგი ხაზები:

ა) ;

ბ)

in) .

8.3.18. იპოვეთ კუთხე სიბრტყესა და წრფეს შორის:

ა) ;

ბ) .

8.3.19. იპოვე წერტილი სიმეტრიული წერტილი ხაზებზე გამავალი თვითმფრინავის მიმართ:

და

8.3.20. წერტილი A დევს ხაზზე

მანძილი A წერტილიდან სწორ ხაზამდე უდრის . იპოვეთ A წერტილის კოორდინატები.

§ 8.4. მეორე რიგის მრუდები

ჩამოვაყალიბოთ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სიბრტყეზე და განვიხილოთ მეორე ხარისხის ზოგადი განტოლება

სადაც .

სიბრტყის ყველა წერტილის სიმრავლე, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (8.4.1) ეწოდება მრუდე (ხაზი) მეორე შეკვეთა.

მეორე რიგის ნებისმიერი მრუდისთვის არსებობს მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა, რომელსაც ეწოდება კანონიკური, რომელშიც ამ მრუდის განტოლებას აქვს ერთ-ერთი შემდეგი ფორმა:

1) (ელიფსი);

2) (წარმოსახვითი ელიფსი);

3) (წარმოსახვითი გადამკვეთი ხაზების წყვილი);

4) (ჰიპერბოლა);

5) (გადამკვეთი წრფეების წყვილი);

6) (პარაბოლა);

7) (პარალელური წრფეების წყვილი);

8) (წარმოსახვითი პარალელური წრფეების წყვილი);

9) (დამთხვევა ხაზების წყვილი).

განტოლებები 1) - 9) ეწოდება მეორე რიგის მრუდების კანონიკური განტოლებები.

მეორე რიგის მრუდის განტოლების შემცირების ამოცანის ამოხსნა კანონიკური ფორმამოძიებას მოიცავს კანონიკური განტოლებამრუდი და კანონიკური კოორდინატთა სისტემა. კანონიკურ ფორმამდე შემცირება საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მრუდის პარამეტრები და განსაზღვროთ მისი მდებარეობა თავდაპირველ კოორდინატულ სისტემასთან შედარებით. გარდამავალი ორიგინალიდან მართკუთხა სისტემაკოორდინატები კანონიკურამდე ხორციელდება საწყისი კოორდინატთა სისტემის ღერძების O წერტილის გარშემო ჯ რაღაც კუთხით ბრუნვით და კოორდინატთა სისტემის შემდგომი პარალელური გადაცემით.

მეორე რიგის მრუდის ინვარიანტები(8.4.1) ეწოდება მისი განტოლების კოეფიციენტების ისეთ ფუნქციებს, რომელთა მნიშვნელობები არ იცვლება ერთი მართკუთხა კოორდინატთა სისტემიდან იმავე სისტემის მეორეზე გადასვლისას.

მეორე რიგის მრუდისთვის (8.4.1) კოეფიციენტების ჯამი კვადრატულ კოორდინატებზე

,

წამყვანი ტერმინების კოეფიციენტებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი

და მესამე რიგის განმსაზღვრელი

უცვლელები არიან.

s, d, D ინვარიანტების მნიშვნელობა შეიძლება გამოყენებულ იქნას მეორე რიგის მრუდის ტიპის დასადგენად და კანონიკური განტოლების შედგენისთვის.

ცხრილი 8.1.

მეორე რიგის მრუდების კლასიფიკაცია ინვარიანტებზე დაყრდნობით

ელიფსური მრუდი		SD<0. Эллипс
		SD>0. წარმოსახვითი ელიფსი
		წარმოსახვითი ხაზების წყვილი, რომლებიც იკვეთება რეალურ წერტილში
ჰიპერბოლური ტიპის მრუდი		ჰიპერბოლა
		გადამკვეთი ხაზების წყვილი
პარაბოლური მრუდი		პარაბოლა
		პარალელური წრფეების წყვილი (სხვადასხვა, წარმოსახვითი ან დამთხვევა)

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ელიფსს, ჰიპერბოლას და პარაბოლას.

ელიფსი(ნახ. 8.1) არის სიბრტყის წერტილების ადგილი, რომლისთვისაც არის მანძილების ჯამი ორ ფიქსირებულ წერტილამდე ეს თვითმფრინავი, ე.წ ელიფსის ხრიკები, არის მუდმივი მნიშვნელობა (უფრო მეტი ვიდრე მანძილი კერებს შორის). ეს არ გამორიცხავს ელიფსის კერების დამთხვევას. თუ კერები ერთნაირია, მაშინ ელიფსი არის წრე.

ელიფსის წერტილიდან მის კერებამდე მანძილების ნახევრად ჯამი აღინიშნება a-ით, კერებს შორის მანძილების ნახევარი - c. თუ სიბრტყეზე მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა არჩეულია ისე, რომ ელიფსის კერები განლაგდეს Ox ღერძზე სიმეტრიულად საწყისის მიმართ, მაშინ ამ კოორდინატულ სისტემაში ელიფსი მოცემულია განტოლებით.

, (8.4.2)

დაურეკა ელიფსის კანონიკური განტოლება, სად .

ბრინჯი. 8.1

მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის მითითებული არჩევანით, ელიფსი სიმეტრიულია კოორდინატთა ღერძებისა და საწყისის მიმართ. ელიფსის სიმეტრიის ღერძები მას უწოდებენ ცულებიდა სიმეტრიის ცენტრი არის ელიფსის ცენტრი. ამავდროულად, 2a და 2b რიცხვებს ხშირად უწოდებენ ელიფსის ღერძებს, ხოლო რიცხვებს a და b-ს. დიდიდა ნახევრად მცირე ღერძიშესაბამისად.

ელიფსის გადაკვეთის წერტილები მის ღერძებთან ეწოდება ელიფსის წვეროები. ელიფსის წვეროებს აქვთ კოორდინატები (a,0), (–a,0), (0,b), (0,–b).

ელიფსის ექსცენტრიულობადარეკა ნომერზე

0 £ ც.-დან

.

ეს აჩვენებს, რომ ექსცენტრიულობა ახასიათებს ელიფსის ფორმას: რაც უფრო ახლოს არის e ნულთან, მით უფრო ჰგავს ელიფსი წრეს; როგორც e იზრდება, ელიფსი უფრო წაგრძელებული ხდება.

ჩვენ ახლა ვაჩვენებთ, რომ მეორე რიგის მრუდების აფინური კლასიფიკაცია მოცემულია თავად მრუდების სახელებით, ანუ, რომ მეორე რიგის მრუდების აფინური კლასები არის კლასები:

ნამდვილი ელიფსები;

წარმოსახვითი ელიფსები;

ჰიპერბოლა;

რეალური გადამკვეთი ხაზების წყვილი;

წარმოსახვითი (კონიუგატური) გადაკვეთის წყვილი;

პარალელური უძრავი წრფეების წყვილი;

პარალელური წარმოსახვითი კონიუგირებული წრფეების წყვილი;

დამთხვევა რეალური ხაზების წყვილი.

ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ ორი განცხადება:

ა. ერთი და იგივე სახელის ყველა მრუდი (ანუ ყველა ელიფსი, ყველა ჰიპერბოლა და ა.შ.) აფინურად ექვივალენტურია ერთმანეთის.

B. ორი სხვადასხვა სახელწოდების მრუდი არასოდეს არის აფინური ეკვივალენტი.

ჩვენ ვამტკიცებთ მტკიცებას A. XV თავში, § 3, უკვე დადასტურდა, რომ ყველა ელიფსი აფინურად ექვივალენტურია ერთ-ერთი მათგანის, კერძოდ, წრეები და ყველა ჰიპერბოლა არის ჰიპერბოლა. შესაბამისად, ყველა ელიფსი, შესაბამისად, ყველა ჰიპერბოლა, აფინურად ექვივალენტურია. ერთმანეთი. ყველა წარმოსახვითი ელიფსი, რომელიც არის წრის - - 1 რადიუსის აფინური ეკვივალენტური, ასევე აფინურად ექვივალენტურია ერთმანეთის მიმართ.

მოდით დავამტკიცოთ ყველა პარაბოლის აფინური ეკვივალენტობა. ჩვენ კიდევ უფრო მეტს დავამტკიცებთ, კერძოდ, რომ ყველა პარაბოლა ერთმანეთის მსგავსია. საკმარისია იმის დასამტკიცებლად, რომ პარაბოლა მოცემულია ზოგიერთ კოორდინატულ სისტემაში მისი კანონიკური განტოლებით

პარაბოლას მსგავსად

ამისათვის ჩვენ ვაქვემდებარებთ სიბრტყეს მსგავსების ტრანსფორმაციას კოეფიციენტით - :

შემდეგ ისე, რომ ჩვენი ტრანსფორმაციის ქვეშ მრუდი

გადადის მოსახვევში

ანუ პარაბოლაში

ქ.ე.დ.

მოდით გადავიდეთ დაშლელ მოსახვევებზე. § ფორმულებში (9) და (11), გვ. 401 და 402) დადასტურდა, რომ მრუდს, რომელიც იშლება გადამკვეთ ხაზებად ზოგიერთ (თუნდაც მართკუთხა) კოორდინატულ სისტემაში, აქვს განტოლება.

დამატებითი კოორდინატების ტრანსფორმაციის გაკეთება

ჩვენ ვხედავთ, რომ ნებისმიერ მრუდს, რომელიც იშლება გადამკვეთ რეალურ, შესაბამისად, წარმოსახვითი კონიუგატის, სწორი ხაზების წყვილში, აქვს განტოლება ზოგიერთ აფინურ კოორდინატულ სისტემაში.

რაც შეეხება მოსახვევებს, რომლებიც იყოფა წყვილ პარალელურ ხაზებად, თითოეული მათგანი შეიძლება იყოს (თუნდაც მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში) მოცემული განტოლებით.

რეალურად, შესაბამისად

წარმოსახვითი, პირდაპირი. კოორდინატების ტრანსფორმაცია საშუალებას გვაძლევს ჩავდოთ ეს განტოლებები (ან დამთხვევა წრფეებისთვის) ეს გულისხმობს ყველა დაშლის მეორე რიგის მრუდის აფინურ ეკვივალენტობას, რომლებსაც აქვთ იგივე სახელი.

მივმართავთ B მტკიცების მტკიცებულებას.

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ სიბრტყის აფინური ტრანსფორმაციის დროს, ალგებრული მრუდის რიგი უცვლელი რჩება. გარდა ამისა: მეორე რიგის ნებისმიერი დაშლის მრუდი არის წყვილი წრფეები და აფინური ტრანსფორმაციის დროს წრფე გადადის წრფეში, გადამკვეთი წრფეების წყვილი გადამკვეთ წყვილში და პარალელური წრფეების წყვილი წყვილში. პარალელურთა; გარდა ამისა, რეალური ხაზები ხდება რეალური, ხოლო წარმოსახვითი ხაზები - წარმოსახვითი. ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ ყველა კოეფიციენტი ფორმულებში (3) (თავი XI, § 3), რომელიც განსაზღვრავს აფინურ ტრანსფორმაციას არის რეალური რიცხვები.

ნათქვამიდან გამომდინარეობს, რომ წრფე, რომელიც აფინურად ექვივალენტურია მოცემული დაშლის მეორე რიგის მრუდისა, არის ამავე სახელწოდების დაშლის მრუდი.

ჩვენ გადავდივართ არადამშლელი მოსახვევებზე. ისევ და ისევ, აფინური ტრანსფორმაციის დროს რეალური მრუდი ვერ გადადის წარმოსახვით და პირიქით. მაშასადამე, წარმოსახვითი ელიფსების კლასი აფინური ინვარიანტულია.

განვიხილოთ რეალური არადამშლელი მრუდების კლასები: ელიფსები, ჰიპერბოლები, პარაბოლები.

მეორე რიგის ყველა მრუდს შორის, ყველა ელიფსი და მხოლოდ ელიფსი დევს რომელიმე ოთხკუთხედში, ხოლო პარაბოლები და ჰიპერბოლები (ისევე როგორც ყველა დაშლის მრუდი) ვრცელდება უსასრულობამდე.

აფინური ტრანსფორმაციის დროს, ABCD მართკუთხედი, რომელიც შეიცავს მოცემულ ელიფსს, გადავა პარალელოგრამაში, რომელიც შეიცავს გარდაქმნილ მრუდს, რომელიც, შესაბამისად, ვერ მიდის უსასრულობამდე და, შესაბამისად, არის ელიფსი.

ამრიგად, მრუდი, რომელიც აფინურად ექვივალენტურია ელიფსის, აუცილებლად არის ელიფსი. დადასტურებულიდან გამომდინარეობს, რომ მრუდი, რომელიც ჰიპერბოლას ან პარაბოლას აფინურად ეკვივალენტურია, არ შეიძლება იყოს ელიფსი (და, როგორც ვიცით, არც დაშლის მრუდი. ამიტომ, რჩება მხოლოდ იმის მტკიცება, რომ აფინის ქვეშ სიბრტყის გარდაქმნისას, ჰიპერბოლა არ შეიძლება გადავიდეს პარაბოლაში და პირიქით, ეს ალბათ ყველაზე მარტივად გამომდინარეობს იმ ფაქტიდან, რომ პარაბოლას არ აქვს სიმეტრიის ცენტრი, ხოლო ჰიპერბოლას აქვს. მაგრამ რადგან სიმეტრიის ცენტრის არარსებობა პარაბოლა დადასტურდება მხოლოდ შემდეგ თავში, ჩვენ ახლა მივცემთ მეორე, ასევე ძალიან მარტივ მტკიცებულებას ჰიპერბოლისა და პარაბოლის აფინური არაეკვივალენტობის შესახებ.

ლემა. თუ პარაბოლას აქვს საერთო წერტილები მოცემული d წრფის სიბრტყეში განსაზღვრული ორი ნახევარსიბრტყიდან თითოეულთან, მაშინ მას აქვს მინიმუმ ერთი საერთო წერტილი წრფესთან.

მართლაც, ჩვენ ვნახეთ, რომ არსებობს კოორდინატთა სისტემა, რომელშიც მოცემულ პარაბოლას აქვს განტოლება

მოდით, ამ კოორდინატულ სისტემასთან შედარებით, სწორი წრფე d ჰქონდეს განტოლება

ვარაუდით, პარაბოლაზე ორი წერტილია, რომელთაგან ერთი, ჩვენი ვარაუდით, დევს დადებითში, მეორე კი უარყოფით ნახევარ სიბრტყეში (1) განტოლების მიმართ. ამიტომ, გვახსოვდეს, რომ ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ

ამის საილუსტრაციოდ კონკრეტული მაგალითით, მე გაჩვენებთ, თუ რას შეესაბამება ამ ინტერპრეტაციაში შემდეგი დებულება: (რეალური ან წარმოსახვითი) წერტილი P დევს (რეალურ ან წარმოსახვით) წრფეზე g. ამ შემთხვევაში, რა თქმა უნდა, აუცილებელია განასხვავოთ შემდეგი შემთხვევები:

1) რეალური წერტილი და რეალური ხაზი,

2) რეალური წერტილი და წარმოსახვითი ხაზი,

შემთხვევა 1) ჩვენგან არ საჭიროებს რაიმე განსაკუთრებულ განმარტებას; აქ გვაქვს ჩვეულებრივი გეომეტრიის ერთ-ერთი ძირითადი მიმართება.

მე-2 შემთხვევაში, მოცემულ წარმოსახვით წრფესთან ერთად, აუცილებლად უნდა გაიაროს მოცემულ რეალურ წერტილში მასთან შერწყმული წრფის კომპლექსი; შესაბამისად, ეს წერტილი უნდა ემთხვეოდეს სხივების შეკვრის წვეროს, რომელსაც ვიყენებთ წარმოსახვითი ხაზის წარმოსაჩენად.

ანალოგიურად, მე-3 შემთხვევაში, რეალური ხაზი უნდა იყოს იდენტური იმ წერტილების სწორხაზოვანი შემობრუნების მხარდაჭერით, რომელიც ემსახურება მოცემული წარმოსახვითი წერტილის წარმომადგენელს.

ყველაზე საინტერესო შემთხვევაა 4) (სურ. 96): აქ, ცხადია, რთული კონიუგატური წერტილი ასევე უნდა მდებარეობდეს რთულ კონიუგატ წრფეზე და აქედან გამომდინარეობს, რომ P წერტილის გამომსახველი წერტილების ინვოლუციის ყოველი წყვილი უნდა იყოს. წრფეთა ინვოლუციის ზოგიერთ წყვილზე, რომელიც წარმოადგენს g სწორ ხაზს, ანუ ორივე ეს შემობრუნება უნდა განთავსდეს პერსპექტიულად ერთი მეორის მიმართ; უფრო მეტიც, გამოდის, რომ ორივე ინვოლუციის ისრები პერსპექტივაშია მოთავსებული.

ზოგადად, სიბრტყის ანალიტიკურ გეომეტრიაში, რომელიც ასევე ყურადღებას აქცევს კომპლექსურ დომენს, ჩვენ ვიღებთ ამ სიბრტყის სრულ რეალურ სურათს, თუ დავამატებთ ახალ ელემენტებს მისი ყველა რეალური წერტილის სიმრავლეს და ხაზს ვუსვამთ ინვოლუციურ სიმრავლეს. ზემოთ განხილული ფიგურები, მათი მიმართულებების ისრებთან ერთად. აქ საკმარისი იქნება, თუ ზოგადად გამოვყოფ, რა ფორმას მიიღებს რთული გეომეტრიის ასეთი რეალური სურათის აგება. ამით მე მივყვები იმ თანმიმდევრობას, რომლითაც ახლა ჩვეულებრივ წარმოდგენილია ელემენტარული გეომეტრიის პირველი წინადადებები.

1) ისინი იწყებენ არსებობის აქსიომებს, რომელთა მიზანია ჩვეულებრივი გეომეტრიასთან შედარებით გაფართოებულ არეალში ახლად აღნიშნული ელემენტების არსებობის ზუსტი ფორმულირება.

2) შემდეგ შეერთების აქსიომები, რომლებშიც ნათქვამია, რომ ასევე 1 პუნქტში განსაზღვრულ გაფართოებულ არეში)! ერთი და მხოლოდ ერთი წრფე გადის (ყოველ) ორ წერტილში და ამ (ნებისმიერ) ორ წრფეს ერთი და მხოლოდ ერთი საერთო წერტილი აქვს.

ამავდროულად, როგორც ზემოთ გვქონდა, ყოველ ჯერზე ოთხი შემთხვევა უნდა განვასხვავოთ იმის მიხედვით, არის თუ არა მოცემული ელემენტები რეალური, და ძალიან საინტერესოა ვიფიქროთ იმაზე, თუ რომელი რეალური კონსტრუქციები წერტილებისა და ხაზების შემობრუნებით ემსახურება გამოსახულებას. ამ რთული ურთიერთობების.

3) რაც შეეხება მოწყობის (წესრიგის) აქსიომებს, აქ, ფაქტობრივ მიმართებებთან შედარებით, სრულიად ახალი გარემოებები ჩნდება; კერძოდ, ყველა რეალური და რთული წერტილი, რომლებიც დევს ერთ ფიქსირებულ ხაზზე, ისევე როგორც ყველა სხივი, რომელიც გადის ერთ ფიქსირებულ წერტილში, ქმნის ორგანზომილებიან კონტინუუმს. ყოველივე ამის შემდეგ, თითოეულმა ჩვენგანმა ფუნქციების თეორიის შესწავლიდან ისწავლა რთული ცვლადის მნიშვნელობების მთლიანობის წარმოდგენა სიბრტყის ყველა წერტილით.

4) და ბოლოს, რაც შეეხება უწყვეტობის აქსიომებს, აქ მხოლოდ აღვნიშნავ, თუ როგორ უნდა წარმოვადგინოთ რთული წერტილები, რომლებიც ისე ახლოს მდებარეობს რომელიმე რეალურ წერტილთან. ამისათვის, აღებული რეალური წერტილის P (ან მასთან ახლოს მყოფი სხვა რეალური წერტილის მეშვეობით), თქვენ უნდა დახაზოთ სწორი ხაზი და განიხილოთ მასზე ისეთი ორი წყვილი წერტილი, რომლებიც ერთმანეთს ყოფენ (ანუ, "გადაჯვარედინებული" „) წერტილების წყვილი (სურ. . 97) ისე, რომ სხვადასხვა წყვილებიდან აღებული ორი წერტილი ახლოს იყოს ერთმანეთთან და P წერტილთან; თუ წერტილებს დაუსრულებლად გავაერთიანებთ, მაშინ წერტილის დასახელებული წყვილით განსაზღვრული ინვოლუცია გადაგვარდება, ანუ მისი ორივე აქამდე რთული ორმაგი წერტილი ემთხვევა წერტილს. ამ ინვოლუციით წარმოდგენილი ორი წარმოსახვითი წერტილიდან თითოეული (ერთთან ერთად ან მეორე ისარი) გადის, მაშასადამე, უწყვეტია P-სთან ახლოს რაღაც წერტილამდე, ან თუნდაც პირდაპირ P-სთან. რა თქმა უნდა, იმისათვის, რომ შეძლოთ უწყვეტობის ამ ცნებების გამოყენება კარგი გამოყენებისთვის, მათთან დეტალურად უნდა იმუშაოთ.

მიუხედავად იმისა, რომ მთელი ეს კონსტრუქცია საკმაოდ შრომატევადი და დამღლელია ჩვეულებრივ რეალურ გეომეტრიასთან შედარებით, მას შეუძლია შეუდარებლად მეტის მიცემა. კერძოდ, მას შეუძლია აწიოს სრული გეომეტრიული სიცხადის დონემდე ალგებრული გამოსახულებები, გაგებული, როგორც მათი რეალური და რთული ელემენტების სიმრავლე, და მისი დახმარებით შეიძლება ნათლად გაიგოს თავად ფიგურებზე ისეთი თეორემები, როგორიცაა ალგებრის ფუნდამენტური თეორემა. ან ბეზოუთის თეორემა, რომ ორ მრუდის წესრიგს აქვს, ზოგადად რომ ვთქვათ, ზუსტად საერთო წერტილები. ამ მიზნით, რა თქმა უნდა, საჭირო იქნებოდა ძირითადი დებულებების გააზრება ბევრად უფრო ზუსტი და საილუსტრაციოდ, ვიდრე აქამდე იყო გაკეთებული; თუმცა, ლიტერატურა უკვე შეიცავს ყველა მასალას, რომელიც აუცილებელია ასეთი გამოკვლევებისთვის.

მაგრამ უმეტეს შემთხვევაში, ამ გეომეტრიული ინტერპრეტაციის გამოყენება, მთელი მისი თეორიული უპირატესობებით, მაინც გამოიწვევს ისეთ გართულებებს, რომ ადამიანი უნდა დაკმაყოფილდეს მისი ფუნდამენტური შესაძლებლობით და რეალურად დაუბრუნდეს უფრო გულუბრყვილო თვალსაზრისს, რომელიც შემდეგია: რთული წერტილი არის სამი რთული კოორდინატის ერთობლიობა და მასთან ერთად ოპერაცია შეიძლება ზუსტად ისე, როგორც რეალური წერტილებით. მართლაც, წარმოსახვითი ელემენტების ასეთი შემოტანა, ყოველგვარი ფუნდამენტური მსჯელობისგან თავის შეკავება, ყოველთვის ნაყოფიერი აღმოჩნდა იმ შემთხვევებში, როდესაც საქმე გვაქვს წარმოსახვით ციკლურ წერტილებთან ან სფეროების წრესთან. როგორც უკვე აღვნიშნეთ, პონსლეტმა პირველად დაიწყო წარმოსახვითი ელემენტების ამ გაგებით გამოყენება; მისი მიმდევრები ამ მხრივ იყვნენ სხვა ფრანგი გეომეტრები, ძირითადად შალი და დარბუ; გერმანიაში არაერთმა გეომეტრმა, განსაკუთრებით ლიემ, ასევე დიდი წარმატებით გამოიყენა წარმოსახვითი ელემენტების ეს გაგება.

წარმოსახვის სფეროში ამ გადახრით ვასრულებ ჩემი კურსის მთელ მეორე ნაწილს და გადავდივარ ახალ თავში,

მეორე რიგის ხაზები

სიბრტყე ხაზები, რომელთა დეკარტის მართკუთხა კოორდინატები აკმაყოფილებს მე-2 ხარისხის ალგებრულ განტოლებას

a 11 x 2 + a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 11 = 0. (*)

განტოლებამ (*) შეიძლება არ განსაზღვროს ფაქტობრივი გეომეტრიული გამოსახულება, მაგრამ განზოგადების მიზნით ასეთ შემთხვევებში ნათქვამია, რომ იგი განსაზღვრავს წარმოსახვით წრფივ წარმოდგენას. n. ზოგადი განტოლების (*) კოეფიციენტების მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, ის შეიძლება გარდაიქმნას კოორდინატთა სისტემის წარმოშობის პარალელური თარგმნით და ბრუნვით გარკვეული კუთხით ქვემოთ მოცემულ 9 კანონიკურ ფორმაზე, რომელთაგან თითოეული შეესაბამება ხაზების გარკვეულ კლასს. ზუსტად,

ურღვევი ხაზები:

y 2 = 2px - პარაბოლები,

ხაზების გაწყვეტა:

x 2 - a 2 \u003d 0 - პარალელური ხაზების წყვილი,

x 2 + a 2 \u003d 0 - წარმოსახვითი პარალელური ხაზების წყვილი,

x 2 = 0 - პარალელური წრფეების წყვილი.

გამოხედვის კვლევა L. in. შეიძლება განხორციელდეს ზოგადი განტოლების კანონიკურ ფორმამდე გადაყვანის გარეშე. ეს მიიღწევა ღირებულებების ერთობლივი განხილვით ე.წ. ძირითადი ინვარიანტები L.v. n. - გამონათქვამები, რომლებიც შედგება განტოლების (*) კოეფიციენტებისგან, რომელთა მნიშვნელობები არ იცვლება კოორდინატთა სისტემის პარალელური თარგმნით და ბრუნვით:

S \u003d a 11 + a 22,(a ij = ჯი).

ასე, მაგალითად, ელიფსები, როგორც არამდგრადი ხაზები, ხასიათდება იმით, რომ მათთვის Δ ≠ 0; ინვარიანტული δ-ის დადებითი მნიშვნელობა განასხვავებს ელიფსებს სხვა ტიპის არადაშლილი ხაზებისგან (δ ჰიპერბოლებისთვის

სამი ძირითადი უცვლელი Δ, δ და S განსაზღვრავს LV-ს. (გარდა პარალელური წრფეების შემთხვევისა) ევკლიდეს სიბრტყის მოძრაობამდე (იხ. მოძრაობა): თუ ორი წრფის შესაბამისი ინვარიანტები Δ, δ და S ტოლია, მაშინ ასეთი წრფეები შეიძლება გადაიტანოს მოძრაობით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს ხაზები ეკვივალენტურია სიბრტყის მოძრაობათა ჯგუფის მიმართ (მეტრულად ეკვივალენტური).

არსებობს ლ. გარდაქმნების სხვა ჯგუფების თვალსაზრისით. ამრიგად, შედარებით უფრო ზოგადი, ვიდრე მოძრაობათა ჯგუფი - აფინური გარდაქმნების ჯგუფი (იხ. აფინური გარდაქმნები) - იგივე კანონიკური ფორმის განტოლებებით განსაზღვრული ნებისმიერი ორი წრფე ეკვივალენტურია. მაგალითად, ორი მსგავსი L. in. n. (იხ. მსგავსება) ითვლება ეკვივალენტად. ხაზოვანი ც.ვ.-ის სხვადასხვა აფინურ კლასებს შორის კავშირები. საშუალებას გვაძლევს დავადგინოთ კლასიფიკაცია პროექციული გეომეტრიის თვალსაზრისით (იხ. პროექციული გეომეტრია), რომელშიც ელემენტები უსასრულობაში არ თამაშობენ განსაკუთრებულ როლს. უძრავი არადაშლილი ლ. და ა.შ.: ელიფსები, ჰიპერბოლები და პარაბოლები ქმნიან ერთ პროექციულ კლასს - რეალური ოვალური ხაზების (ოვალების) კლასს. ნამდვილი ოვალური ხაზი არის ელიფსი, ჰიპერბოლა ან პარაბოლა, იმისდა მიხედვით, თუ როგორ მდებარეობს იგი უსასრულობის ხაზთან: ელიფსი კვეთს არასწორ ხაზს ორ წარმოსახვით წერტილში, ჰიპერბოლა ორ სხვადასხვა რეალურ წერტილში, პარაბოლა ეხება არასწორ ხაზს. ; არის პროექციული გარდაქმნები, რომლებიც ამ ხაზებს ერთმანეთში გადააქვს. არსებობს მხოლოდ 5 პროექციული ეკვივალენტობის კლასი L.v. ნ. ზუსტად,

არადეგენერაციული ხაზები

(x 1, x 2, x 3- ერთგვაროვანი კოორდინატები):

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2= 0 - ნამდვილი ოვალური,

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2= 0 - წარმოსახვითი ოვალური,

დეგენერაციული ხაზები:

x 1 2 - x 2 2= 0 - რეალური ხაზების წყვილი,

x 1 2 + x 2 2= 0 - წარმოსახვითი ხაზების წყვილი,

x 1 2= 0 - წყვილი ემთხვევა რეალური ხაზები.

A.B. ივანოვი.

დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია. - მ.: საბჭოთა ენციკლოპედია. 1969-1978 .

ნახეთ, რა არის "მეორე რიგის ხაზები" სხვა ლექსიკონებში:

სიბრტყის ხაზები, რომელთა მართკუთხა წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს მე-2 ხარისხის ალგებრულ განტოლებას. მეორე რიგის ხაზებს შორისაა ელიფსები (კერძოდ, წრეები), ჰიპერბოლები, პარაბოლები ... დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი

სიბრტყის ხაზები, რომელთა მართკუთხა წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს მე-2 ხარისხის ალგებრულ განტოლებას. მეორე რიგის ხაზებს შორისაა ელიფსები (კერძოდ, წრეები), ჰიპერბოლები, პარაბოლები. * * * SECOND-ORDER LINES SECOND-ORDER LINES,… … ენციკლოპედიური ლექსიკონი

ბრტყელი ხაზები, მართკუთხა k px წერტილების კოორდინატები აკმაყოფილებს ალგებრებს. მე-2 ხარისხის ურნიუმი. ლ-ს შორის in. n. ელიფსები (კერძოდ წრეები), ჰიპერბოლები, პარაბოლები… ბუნებისმეტყველება. ენციკლოპედიური ლექსიკონი

ბრტყელი ხაზი, დეკარტის მართკუთხა კოორდინატები, რათა აკმაყოფილებდეს ალგებრული. მე-2 ხარისხის განტოლებამ (*) შეიძლება არ განსაზღვროს ფაქტობრივი გეომეტრიული. იმიჯი, მაგრამ ასეთ შემთხვევებში ზოგადობის შესანარჩუნებლად, ისინი ამბობენ, რომ ეს განსაზღვრავს ... ... მათემატიკური ენციკლოპედია

სამგანზომილებიანი რეალური (ან რთული) სივრცის წერტილთა სიმრავლე, რომელთა კოორდინატები დეკარტის სისტემაში აკმაყოფილებს ალგებრულს. მე-2 ხარისხის განტოლება (*) განტოლებამ (*) შეიძლება არ განსაზღვროს ფაქტობრივი გეომეტრიული. სურათები, ასეთ ...... მათემატიკური ენციკლოპედია

ამ სიტყვას, რომელიც ძალიან ხშირად გამოიყენება მრუდი ხაზების გეომეტრიაში, აქვს არც თუ ისე გარკვეული მნიშვნელობა. როდესაც ეს სიტყვა გამოიყენება არადახურულ და არაგანშტოება მრუდ ხაზებზე, მაშინ მრუდის ტოტი ნიშნავს თითოეულ უწყვეტ ინდივიდს ... ... ენციკლოპედიური ლექსიკონი F.A. ბროკჰაუსი და ი.ა. ეფრონი

მეორე რიგის ხაზები, ორი დიამეტრი, რომელთაგან თითოეული ორად ყოფს ამ მრუდის აკორდებს მეორის პარალელურად. SD-ები მნიშვნელოვან როლს ასრულებენ მეორე რიგის ხაზების ზოგად თეორიაში. ელიფსის პარალელური პროექციით მისი S. d. ... ...

ხაზები, რომლებიც მიიღება მარჯვენა წრიული კონუსის დაყოფით სიბრტყეებთან, რომლებიც არ გადიან მის წვეროზე. კ.ს. შეიძლება იყოს სამი სახის: 1) ჭრის სიბრტყე კვეთს კონუსის ყველა გენერატორს მისი ერთ-ერთი ღრუს წერტილში; ხაზი…… დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

ხაზები, რომლებიც მიიღება მარჯვენა წრიული კონუსის დაყოფით სიბრტყეებთან, რომლებიც არ გადიან მის წვეროზე. კ.ს. შეიძლება იყოს სამი სახის: 1) ჭრის სიბრტყე კვეთს კონუსის ყველა გენერატორს მისი ერთ-ერთი ღრუს წერტილში (ნახ., ა): გადაკვეთის ხაზი ... ... მათემატიკური ენციკლოპედია

გეომეტრიის განყოფილება. ალგებრული გეომეტრიის ძირითადი ცნებები არის უმარტივესი გეომეტრიული გამოსახულებები (წერტილები, ხაზები, სიბრტყეები, მრუდები და მეორე რიგის ზედაპირები). A.g-ში კვლევის ძირითადი საშუალებებია კოორდინატების მეთოდი (იხ. ქვემოთ) და მეთოდები ... ... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

წიგნები

• მოკლე კურსი ანალიტიკური გეომეტრიაში, ეფიმოვი ნიკოლაი ვლადიმიროვიჩი. ანალიტიკური გეომეტრიის შესწავლის საგანია ფიგურები, რომლებიც დეკარტის კოორდინატებში მოცემულია პირველი ან მეორე ხარისხის განტოლებებით. თვითმფრინავზე ეს არის მეორე რიგის სწორი ხაზები და ხაზები. ...

ეს არის განტოლების ზოგადად მიღებული სტანდარტული ფორმა, როდესაც რამდენიმე წამში ირკვევა, თუ რა გეომეტრიულ ობიექტს განსაზღვრავს იგი. გარდა ამისა, კანონიკური ფორმა ძალიან მოსახერხებელია მრავალი პრაქტიკული პრობლემის გადასაჭრელად. ასე, მაგალითად, კანონიკური განტოლების მიხედვით "ბრტყელი" სწორი, ჯერ ერთი, მაშინვე ცხადია, რომ ეს არის სწორი ხაზი და მეორეც, მისი კუთვნილი წერტილი და მიმართულების ვექტორი უბრალოდ ჩანს.

ცხადია, ნებისმიერი 1-ლი შეკვეთის ხაზიწარმოადგენს სწორ ხაზს. მეორე სართულზე უკვე აღარ გველოდება დამლაგებელი, არამედ ცხრა ქანდაკებისგან შემდგარი გაცილებით მრავალფეროვანი კომპანია:

მეორე რიგის ხაზების კლასიფიკაცია

მოქმედებების სპეციალური ნაკრების დახმარებით, ნებისმიერი მეორე რიგის ხაზის განტოლება მცირდება ერთ-ერთ შემდეგ ტიპზე:

(და დადებითი რეალური რიცხვებია)

1) არის ელიფსის კანონიკური განტოლება;

2) არის ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლება;

3) არის პარაბოლის კანონიკური განტოლება;

4) – წარმოსახვითიელიფსი;

5) - გადამკვეთი ხაზების წყვილი;

6) - წყვილი წარმოსახვითიგადამკვეთი ხაზები (საწყისზე გადაკვეთის ერთადერთი რეალური წერტილით);

7) - პარალელური წრფეების წყვილი;

8) - წყვილი წარმოსახვითიპარალელური ხაზები;

9) არის წყვილი, რომლებიც ემთხვევა ერთმანეთს.

ზოგიერთ მკითხველს შეიძლება ჰქონდეს შთაბეჭდილება, რომ სია არასრულია. მაგალითად, მე-7 პუნქტში, განტოლება ადგენს წყვილს პირდაპირი, ღერძის პარალელურად და ჩნდება კითხვა: სად არის განტოლება, რომელიც განსაზღვრავს y ღერძის პარალელურ წრფეებს? Უპასუხე არ ითვლება კანონად. სწორი ხაზები წარმოადგენს იგივე სტანდარტულ შემთხვევას, რომელიც შემოტრიალებულია 90 გრადუსით, ხოლო კლასიფიკაციაში დამატებითი ჩანაწერი ზედმეტია, რადგან ის არ შეიცავს რაიმე ძირეულად ახალს.

ამრიგად, არსებობს ცხრა და მხოლოდ ცხრა სხვადასხვა ტიპის მეორე რიგის ხაზები, მაგრამ პრაქტიკაში ყველაზე გავრცელებულია ელიფსი, ჰიპერბოლა და პარაბოლა.

ჯერ ელიფსს გადავხედოთ. ჩვეულებისამებრ, მე ყურადღებას ვამახვილებ იმ პუნქტებზე, რომლებსაც დიდი მნიშვნელობა აქვს პრობლემების გადასაჭრელად, და თუ გჭირდებათ ფორმულების დეტალური წარმოშობა, თეორემების მტკიცებულებები, გთხოვთ, მიმართოთ, მაგალითად, ბაზილევის / ატანასიანის ან ალექსანდროვის სახელმძღვანელოს..

ელიფსი და მისი კანონიკური განტოლება

მართლწერა... გთხოვთ, არ გაიმეოროთ Yandex-ის ზოგიერთი მომხმარებლის შეცდომები, რომლებსაც აინტერესებთ „როგორ ავაშენოთ ელიფსი“, „განსხვავება ელიფსსა და ოვალურს შორის“ და „ელების ექსცენტრიულობა“.

ელიფსის კანონიკურ განტოლებას აქვს ფორმა, სადაც დადებითი რეალური რიცხვებია და. ელიფსის განმარტებას მოგვიანებით ჩამოვაყალიბებ, მაგრამ ახლა დროა შეისვენოთ საუბარს და გადავჭრათ საერთო პრობლემა:

როგორ ავაშენოთ ელიფსი?

დიახ, აიღე და უბრალოდ დახატე. დავალება საერთოა და მოსწავლეთა მნიშვნელოვანი ნაწილი არც თუ ისე კომპეტენტურად უმკლავდება ნახატს:

მაგალითი 1

ააგეთ განტოლებით მოცემული ელიფსი

გამოსავალი: ჯერ განტოლებას მივყავართ კანონიკურ ფორმამდე:

რატომ მოიტანე? კანონიკური განტოლების ერთ-ერთი უპირატესობა ის არის, რომ ის საშუალებას გაძლევთ მყისიერად განსაზღვროთ ელიფსის წვეროები, რომლებიც პუნქტებშია . ადვილი მისახვედრია, რომ თითოეული ამ წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას.

Ამ შემთხვევაში :


ხაზის სეგმენტიდაურეკა ძირითადი ღერძიელიფსი;
ხაზის სეგმენტი – მცირე ღერძი;
ნომერი დაურეკა ნახევრად ძირითადი ღერძიელიფსი;
ნომერი – ნახევრად მცირე ღერძი.
ჩვენს მაგალითში: .

იმისათვის, რომ სწრაფად წარმოიდგინოთ, როგორ გამოიყურება ესა თუ ის ელიფსი, უბრალოდ გადახედეთ მისი კანონიკური განტოლების "a" და "be" მნიშვნელობებს.

ყველაფერი კარგად არის, მოწესრიგებული და ლამაზი, მაგრამ არის ერთი გაფრთხილება: ნახატი პროგრამის გამოყენებით გავაკეთე. და თქვენ შეგიძლიათ დახატოთ ნებისმიერი აპლიკაციით. თუმცა, მკაცრ რეალობაში, მაგიდაზე ფურცელი დევს და თაგვები ჩვენს ხელებზე ცეკვავენ. მხატვრული ნიჭის მქონე ადამიანებს, რა თქმა უნდა, შეუძლიათ კამათი, მაგრამ თაგვებიც გყავთ (თუმცა უფრო პატარა). ტყუილად არ გამოიგონა კაცობრიობამ სახაზავი, კომპასი, პროტრაქტორი და სხვა მარტივი სახატავი მოწყობილობები.

ამ მიზეზით, ჩვენ ნაკლებად სავარაუდოა, რომ შევძლებთ ზუსტად დავხატოთ ელიფსი, მხოლოდ წვეროების ცოდნა. მაინც კარგია, თუ ელიფსი პატარაა, მაგალითად, ნახევარღერძებით. გარდა ამისა, შეგიძლიათ შეამციროთ მასშტაბი და, შესაბამისად, ნახაზის ზომები. მაგრამ ზოგადად, ძალიან სასურველია დამატებითი ქულების პოვნა.

ელიფსის აგების ორი მიდგომა არსებობს - გეომეტრიული და ალგებრული. არ მიყვარს კომპასითა და სახაზავებით აშენება მოკლე ალგორითმისა და ნახატის მნიშვნელოვანი არეულობის გამო. გადაუდებელი შემთხვევის შემთხვევაში მიმართეთ სახელმძღვანელოს, მაგრამ რეალურად გაცილებით რაციონალურია ალგებრის იარაღების გამოყენება. მონახაზის ელიფსის განტოლებიდან ჩვენ სწრაფად გამოვხატავთ:

შემდეგ განტოლება იყოფა ორ ფუნქციად:
– განსაზღვრავს ელიფსის ზედა რკალს;
– განსაზღვრავს ელიფსის ქვედა რკალს.

ნებისმიერი ელიფსი სიმეტრიულია კოორდინატთა ღერძების მიმართ, ასევე წარმოშობის მიმართ. და ეს მშვენიერია - სიმეტრია თითქმის ყოველთვის უსასყიდლოების საწინდარია. ცხადია, საკმარისია საქმე 1 კოორდინატულ კვარტალთან, ამიტომ გვჭირდება ფუნქცია . იგი გვთავაზობს დამატებითი ქულების პოვნას აბსცისებით . კალკულატორზე დავაფიქსირეთ სამი SMS:

რა თქმა უნდა, სასიამოვნოა ისიც, რომ თუ გამოთვლებში დაშვებულია სერიოზული შეცდომა, მაშინ ეს მაშინვე გახდება ნათელი მშენებლობის დროს.

მონიშნეთ წერტილები ნახაზზე (წითელი ფერი), სიმეტრიული წერტილები დანარჩენ რკალებზე (ლურჯი ფერი) და ყურადღებით დააკავშირეთ მთელი კომპანია ხაზით:


უმჯობესია საწყისი ესკიზი თხლად და თხლად დახატოთ და მხოლოდ ამის შემდეგ მოახდინოთ ზეწოლა ფანქარზე. შედეგი უნდა იყოს საკმაოდ წესიერი ელიფსი. სხვათა შორის, გსურთ იცოდეთ რა არის ეს მრუდი?