კანონიკური კვადრატული ფორმა. კვადრატული ფორმის კანონიკური ფორმა. კვადრატული ფორმის შემცირება კანონიკურ ფორმაზე

კვადრატული ფორმის გათვალისწინებით (2) ა(x, x) \u003d სად x = (x 1 , x 2 , …, x ნ) განვიხილოთ კვადრატული ფორმა სივრცეში რ 3, ეს არის x = (x 1 , x 2 , x 3), ა(x, x) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(ჩვენ გამოვიყენეთ ფორმის სიმეტრიის პირობა, კერძოდ და 12 = და 21 , და 13 = და 31 , და 23 = და 32) დავწეროთ კვადრატული ფორმის მატრიცა ა საფუძველზე ( ე}, ა(ე) =
... როდესაც საფუძველი იცვლება, კვადრატული ფორმის მატრიცა იცვლება ფორმულის შესაბამისად ა(ვ) = გ ტ ა(ე)გსად გ - საფუძვლიდან გადასვლის მატრიცა ( ე) საფუძველზე ( ვ), და გ ტ - გადატანილი მატრიცა გ.

განმარტება11.12. კვადრატული ფორმის ფორმა დიაგონალური მატრიცით ეწოდება კანონიკური.

მოდით ა(ვ) =
შემდეგ ა"(x, x) =
+
+
სად x" 1 , x" 2 , x"3 - ვექტორული კოორდინატები x ახალ საფუძველზე ( ვ}.

განმარტება11.13. შეუშვი ნ ვ არჩეულია ასეთი საფუძველი ვ = {ვ 1 , ვ 2 , …, ვ ნ ), რომელშიც კვადრატულ ფორმას აქვს ფორმა

ა(x, x) =
+
+ … +
, (3)

სად y 1 , y 2 , …, y ნ - ვექტორული კოორდინატები x საფუძველზე ( ვ) გამოხატვას (3) ეწოდება კანონიკური ხედი კვადრატული ფორმა. კოეფიციენტები  1, λ 2,…, λ ნ უწოდებენ კანონიკური; ეწოდება საფუძველს, რომელშიც კვადრატულ ფორმას აქვს კანონიკური ფორმა კანონიკური საფუძველი.

კომენტარი... თუ კვადრატული ფორმა ა(x, x) შემცირდება კანონიკურ ფორმაში, მაშინ, საერთოდ, ყველა კოეფიციენტი არ არის მე ნულოვანია. კვადრატული ფორმის წოდება ტოლია მისი მატრიცის რანგის ნებისმიერი საფუძვლით.

მოდით კვადრატული ფორმის წოდება ა(x, x) ტოლია რსად რ ≤ ნ... კვადრატული ფორმის მატრიქსს კანონიკური ფორმით აქვს დიაგონალური ფორმა. ა(ვ) =
რადგან მისი წოდებაა რ, შემდეგ კოეფიციენტებს შორის მე უნდა იყოს რნულის ტოლი არ არის. აქედან გამომდინარეობს, რომ ნულოვანი კანონიკური კოეფიციენტების რაოდენობა ტოლია კვადრატული ფორმის წოდებას.

კომენტარი... კოორდინატების ხაზოვანი ტრანსფორმაცია არის ცვლადიდან გადასვლა x 1 , x 2 , …, x ნ ცვლადებისკენ y 1 , y 2 , …, y ნ , რომელშიც ძველი ცვლადები გამოხატულია ახალი ცვლადების თვალსაზრისით, ზოგიერთი ციფრული კოეფიციენტით.

x 1 \u003d α 11 y 1 + α 12 y 2 + ... + α 1 ნ y ნ ,

x 2 \u003d α 2 1 y 1 + α 2 2 y 2 + ... + α 2 ნ y ნ ,

………………………………

x 1 \u003d α ნ 1 y 1 + α ნ 2 y 2 + ... + α ნნ y ნ .

მას შემდეგ, რაც ფუძის თითოეული ტრანსფორმაცია შეესაბამება კოორდინატების არა დეგენერატულ ხაზოვან გარდაქმნას, კვადრატული ფორმის კანონიკურ ფორმაზე შემცირების საკითხი შეიძლება გადაწყდეს კოორდინატების შესაბამისი არა დეგენერაციული ტრანსფორმაციის არჩევით.

თეორემა 11.2 (კვადრატული ფორმების მთავარი თეორემა). ნებისმიერი კვადრატული ფორმა ა(x, x) მოცემულია ნ-განზომილებიანი ვექტორული სივრცე ვ, კოორდინატების არა დეგენერატული ხაზოვანი ტრანსფორმაციის გამოყენება შეიძლება შემცირდეს კანონიკურ ფორმამდე.

მტკიცებულებები... (ლაგრანგის მეთოდი) ამ მეთოდის იდეა არის თითოეულ ცვლადში კვადრატული ტრინიუმის თანმიმდევრულად შევსება სრულ კვადრატად. ჩვენ ჩავთვლით, რომ ა(x, x) ≠ 0 და საფუძველში ე = {ე 1 , ე 2 , …, ე ნ ) აქვს ფორმა (2):

ა(x, x) =
.

Თუ ა(x, x) \u003d 0, მაშინ ( ა ე.ი.) \u003d 0, ანუ ფორმა უკვე კანონიკურია. ფორმულა ა(x, x) შეიძლება გარდაიქმნას ისე, რომ კოეფიციენტი ა 11 ≠ 0. თუ ა 11 \u003d 0, მაშინ სხვა ცვლადის კვადრატული კოეფიციენტი არის ნულოვანი, შემდეგ ცვლადების ხელახლა დათვლა შესაძლებელია ამის მიღწევა ა 11 ≠ 0. ცვლადების ხელახლა დათვლა არის არა დეგენერაციული ხაზოვანი ტრანსფორმაცია. თუ ცვლადების კვადრატების ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია, მაშინ საჭირო გარდაქმნები მიიღება შემდეგნაირად. მოდით, მაგალითად, ა 12 ≠ 0 (ა(x, x) ≠ 0, შესაბამისად მინიმუმ ერთი კოეფიციენტი ა ე.ი. ≠ 0). განვიხილოთ ტრანსფორმაცია

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x მე = y მე , ზე მე = 3, 4, …, ნ.

ეს ტრანსფორმაცია არა დეგენერატულია, ვინაიდან მისი მატრიცის განმსაზღვრელი არის ნულოვანი
= = 2 ≠ 0.

შემდეგ 2 ა 12 x 1 x 2 = 2 ა 12 (y 1 – y 2)(y 1 + y 2) = 2
– 2
, ეს არის ფორმა ა(x, x) ერთდროულად გამოჩნდება ორი ცვლადის კვადრატი.

ა(x, x) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

გამოყოფილი თანხა გარდაქმნის ფორმაში:

ა(x, x) = ა 11
, (5)

ხოლო კოეფიციენტები ა ე.ი. შეცვლა ... განვიხილოთ არა დეგენერაციული ტრანსფორმაცია

y 1 = x 1 + + … + ,

y 2 = x 2 ,

y ნ = x ნ .

შემდეგ მივიღებთ

ა(x, x) =
. (6).

თუ კვადრატული ფორმა
\u003d 0, შემდეგ შემცირების საკითხი ა(x, x) კანონიკურ ფორმაში გადაწყდა.

თუ ეს ფორმა არ არის ნულის ტოლი, ჩვენ ვიმეორებთ მსჯელობას კოორდინატების გარდაქმნის გათვალისწინებით y 2 , …, y ნ და კოორდინატის შეცვლის გარეშე y 1 ცხადია, ეს გარდაქმნები არადეგენერაციული იქნება. სასრული რაოდენობის ნაბიჯებით, კვადრატული ფორმა ა(x, x) შემცირდება კანონიკურ ფორმაში (3).

კომენტარი1. ორიგინალური კოორდინატების სასურველი ტრანსფორმაცია x 1 , x 2 , …, x ნ ამის მიღება შესაძლებელია მსჯელობის პროცესში აღმოჩენილი არაადამიანური გარდაქმნების გამრავლებით: [ x] = ა[y], [y] = ბ[ზ], [ზ] = გ[ტ], შემდეგ [ x] = აბ[ზ] = აბგ[ტ], ანუ [ x] = მ[ტ], სად მ = აბგ.

კომენტარი 2. დაე ა(x, x) = ა(x, x) =
+
+ …+
, სადაც მე ≠ 0, მე = 1, 2, …, რ, სადაც 1\u003e 0, λ 2\u003e 0,…, λ q > 0, λ q +1 < 0, …, λ რ < 0.

განვიხილოთ არა დეგენერაციული ტრანსფორმაცია

y 1 = ზ 1 , y 2 = ზ 2 , …, y q = ზ q , y q +1 =
ზ q +1 , …, y რ = ზ რ , y რ +1 = ზ რ +1 , …, y ნ = ზ ნ ... Როგორც შედეგი ა(x, x) მიიღებს ფორმას: ა(x, x) = + + … + – – … – რომელსაც ქვია კვადრატული ფორმის ნორმალური ფორმა.

მაგალითი11.1. კვადრატული ფორმის კანონიზირება ა(x, x) = 2x 1 x 2 – 6x 2 x 3 + 2x 3 x 1 .

გადაწყვეტილება... Იმდენად, რამდენადაც ა 11 \u003d 0, ჩვენ ვიყენებთ ტრანსფორმაციას

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x 3 = y 3 .

ამ ტრანსფორმაციას აქვს მატრიცა ა =
, ანუ [ x] = ა[y] ვიღებთ ა(x, x) = 2(y 1 – y 2)(y 1 + y 2) – 6(y 1 + y 2)y 3 + 2y 3 (y 1 – y 2) =

2– 2– 6y 1 y 3 – 6y 2 y 3 + 2y 3 y 1 – 2y 3 y 2 = 2– 2– 4y 1 y 3 – 8y 3 y 2 .

მას შემდეგ, რაც კოეფიციენტი at არ არის ნული, შეგიძლიათ აირჩიოთ ერთი უცნობი კვადრატი, დაე იყოს y 1 მოდით ავირჩიოთ ყველა წევრი, რომელიც შეიცავს y 1 .

ა(x, x) = 2(– 2 y 1 y 3) – 2– 8y 3 y 2 = 2(– 2 y 1 y 3 + ) – 2– 2– 8y 3 y 2 = 2(y 1 – y 3) 2 – 2– 2– 8y 3 y 2 .

მოდით შევასრულოთ ტრანსფორმაცია, რომლის მატრიცა უდრის ბ.

ზ 1 = y 1 – y 3 ,  y 1 = ზ 1 + ზ 3 ,

ზ 2 = y 2 ,  y 2 = ზ 2 ,

ზ 3 = y 3 ;  y 3 = ზ 3 .

ბ =
, [y] = ბ[ზ].

მივიღებთ ა(x, x) = 2– 2–– 8ზ 2 ზ 3 მოდით ავირჩიოთ შემცველი წევრები ზ 2 Ჩვენ გვაქვს ა(x, x) = 2– 2(+ 4ზ 2 ზ 3) – 2= 2– 2(+ 4ზ 2 ზ 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(ზ 2 + 2ზ 3) 2 + 6.

მატრიცასთან ტრანსფორმაციის შესრულება გ:

ტ 1 = ზ 1 ,  ზ 1 = ტ 1 ,

ტ 2 = ზ 2 + 2ზ 3 ,  ზ 2 = ტ 2 – 2ტ 3 ,

ტ 3 = ზ 3 ;  ზ 3 = ტ 3 .

გ =
, [ზ] = გ[ტ].

მიიღო: ა(x, x) = 2– 2+ 6 კვადრატული ფორმის კანონიკური ფორმა, ხოლო [ x] = ა[y], [y] = ბ[ზ], [ზ] = გ[ტ], აქედან [ x] = ABC[ტ];

აბგ =


=
... ტრანსფორმაციის ფორმულები შემდეგია

x 1 = ტ 1 – ტ 2 + ტ 3 ,

x 2 = ტ 1 + ტ 2 – ტ 3 ,

კვადრატულ ფორმას კანონიკურს უწოდებენ, თუ ყველაფერს, ე.ი.

ნებისმიერი კვადრატული ფორმა შეიძლება შემცირდეს კანონიკურ ფორმაზე ხაზოვანი გარდაქმნების გამოყენებით. პრაქტიკაში, ჩვეულებრივ, გამოიყენება შემდეგი მეთოდები.

1. სივრცის ორთოგონალური გარდაქმნა:

სად - მატრიცის განსაკუთრებული მნიშვნელობები ა.

2. ლაგრანგის მეთოდი - სრულყოფილი კვადრატების თანმიმდევრული შერჩევა. მაგალითად, თუ

შემდეგ მსგავსი პროცედურა ტარდება კვადრატული ფორმით თუ კვადრატული ფორმაა ყველაფერი შემდეგ წინასწარი გარდაქმნის შემდეგ საქმე შემცირდება განხილულ პროცედურამდე. ასე რომ, თუ, მაგალითად, მაშინ ჩავსვამთ

3. იაკობის მეთოდი (იმ შემთხვევაში, როდესაც ყველა ძირითადი მცირეწლოვანია კვადრატული ფორმები ნულოვანია):

სიბრტყეზე ნებისმიერი სწორი ხაზი შეიძლება მოცემული იყოს პირველი რიგის განტოლებით

Ax + Wu + C \u003d 0,

და A, B მუდმივები ერთდროულად არ არის ნულის ტოლი. პირველი რიგის ამ განტოლებას ეწოდება სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება.A, B და C მუდმივების მნიშვნელობიდან გამომდინარე, შესაძლებელია შემდეგი განსაკუთრებული შემთხვევები:

C \u003d 0, A 0, B ≠ 0 - ხაზი გადის საწყისში

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - სწორი ხაზი პარალელურია Ox ღერძისა

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C \u003d 0) - სწორი ხაზი Oy ღერძის პარალელურია

B \u003d C \u003d 0, A 0 - სწორი ხაზი ემთხვევა Oy ღერძს

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - სწორი ხაზი ემთხვევა Ox ღერძს

სწორი ხაზის განტოლება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სხვადასხვა ფორმით, მოცემული საწყისი პირობებიდან გამომდინარე.

შეიძლება განისაზღვროს სწორი ხაზი სივრცეში:

1) როგორც ორი თვითმფრინავის გადაკვეთის ხაზი, ე.ი. განტოლებების სისტემა:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0; (3.2)

2) მისი ორი წერტილით M 1 (x 1, y 1, z 1) და M 2 (x 2, y 2, z 2), მაშინ მათზე გამავალი სწორი ხაზი მოცემულია განტოლებებით:

= ; (3.3)

3) წერტილი M 1 (x 1, y 1, z 1), რომელიც მას ეკუთვნის და ვექტორი ა(m, n, p), მასზე სწორხაზოვანია. შემდეგ სწორი ხაზი განისაზღვრება განტოლებებით:

. (3.4)

განტოლებები (3.4) ეწოდება წრფის კანონიკური განტოლებები.

ვექტორი ა დაურეკა სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი.

ვიღებთ სწორი ხაზის პარამეტრულ განტოლებებს თითოეული თანაფარდობის (3.4) ტოლობის პარამეტრით გათანაბრებით:

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + рt. (3.5)

ამოხსნის სისტემა (3.2), როგორც წრფივი განტოლების სისტემა, უცნობთან მიმართებაში x და y, ჩვენ მივაღწევთ ხაზის განტოლებებს პროგნოზები ან რომ სწორი ხაზის შემცირებული განტოლებები:

x \u003d მზ + ა, y \u003d ნზ + ბ. (3.6)

(3.6) განტოლებებიდან შეიძლება გადავიდეთ კანონიკურ განტოლებებზე მოძიებით ზ თითოეული განტოლებიდან და მიღებული მნიშვნელობების გათანაბრება:

.

ზოგადი განტოლებებიდან (3.2) შეიძლება გადავიდეს კანონიკურზე და სხვა გზით, თუ ამ ხაზის რომელიმე წერტილს და მის მიმართულების ვექტორს ვიპოვით ნ= [ნ 1 , ნ 2], სადაც ნ 1 (A 1, B 1, C 1) და ნ 2 (A 2, B 2, C 2) მოცემული სიბრტყეების ნორმალური ვექტორებია. თუ რომელიმე მნიშვნელი მ, ნ ან რ (3.4) განტოლებები აღმოჩნდება ნულის ტოლი, მაშინ შესაბამისი წილადის მრიცხველი უნდა დაყენდეს ნულის ტოლი, ე.ი. სისტემა

სისტემის ექვივალენტურია ; ასეთი სწორი ხაზი არის ოქსის ღერძის პერპენდიკულარული.

სისტემა ექვივალენტურია სისტემის x \u003d x 1, y \u003d y 1; სწორი ხაზი Oz ღერძის პარალელურია.

პირველი ხარისხის ნებისმიერი განტოლება კოორდინატებთან მიმართებაში x, y, z

Ax + By + Cz + D \u003d 0 (3.1)

განსაზღვრავს სიბრტყეს და პირიქით: ნებისმიერი თვითმფრინავი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს განტოლებით (3.1), რომელსაც ეწოდება სიბრტყის განტოლება.

ვექტორი ნ (A, B, C) სიბრტყის ორთოგონალური ეწოდება ნორმალური ვექტორი თვითმფრინავი (3.1) განტოლებაში A, B, C კოეფიციენტები ერთდროულად არ არის 0.

განტოლების სპეციალური შემთხვევები (3.1):

1. D \u003d 0, Ax + By + Cz \u003d 0 - სიბრტყე გადის საწყისში.

2. C \u003d 0, Ax + By + D \u003d 0 - სიბრტყე პარალელურია Oz ღერძისა.

3. C \u003d D \u003d 0, Ax + By \u003d 0 - სიბრტყე გადის Oz ღერძზე.

4. B \u003d C \u003d 0, Ax + D \u003d 0 - სიბრტყე Oyz სიბრტყის პარალელურია.

კოორდინატის სიბრტყის განტოლებები: x \u003d 0, y \u003d 0, z \u003d 0.

ხაზი შეიძლება თვითმფრინავს მიეკუთვნებოდეს ან არ ეკუთვნოდეს. იგი თვითმფრინავს ეკუთვნის, თუ მისი ორი წერტილი მაინც თვითმფრინავზე მდებარეობს.

თუ წრფე არ მიეკუთვნება სიბრტყეს, ის შეიძლება იყოს მისი პარალელური ან კვეთდეს მას.

სწორი ხაზი სიბრტყის პარალელურია, თუ ის პარალელურია ამ სიბრტყეში მწოლიარე სხვა სწორი ხაზისა.

სწორ ხაზს შეუძლია სხვადასხვა კუთხით გადაკვეთოს თვითმფრინავი და, კერძოდ, იყოს მასზე პერპენდიკულარული.

თვითმფრინავთან მიმართებაში წერტილი შეიძლება განთავსდეს შემდეგნაირად: მიეკუთვნება მას ან არ ეკუთვნის მას. წერტილი თვითმფრინავს ეკუთვნის, თუ ის მდებარეობს ამ სიბრტყეში მდებარე სწორ ხაზზე.

სივრცეში, ორი ხაზი შეიძლება გადაიკვეთოს, ან იყოს პარალელური, ან გადაიკვეთოს.

პროგნოზებში დაცულია წრფივი სეგმენტების პარალელიზმი.

თუ ხაზები იკვეთება, მაშინ მათი ამავე სახელწოდების პროგნოზების გადაკვეთის წერტილები იმავე კომუნიკაციის ხაზზეა.

გადაკვეთილი ხაზები არ მიეკუთვნება ერთსა და იმავე სიბრტყეს, ე.ი. არ იკვეთება ან პარალელურად.

ნახატზე, ამავე სახელწოდების ხაზების პროგნოზებს, ცალკე აღებულს, აქვს გადაკვეთის ან პარალელური ხაზების ნიშნები.

ელიფსი. ელიფსი არის წერტილების ლოკუსი, რომლისთვისაც მანძილების ჯამი ორ ფიქსირებულ წერტილამდე (კერა) არის იგივე მუდმივი მნიშვნელობა ელიფსის ყველა წერტილისთვის (ეს მუდმივი მნიშვნელობა უნდა იყოს მეტი, ვიდრე მანძილი კერებს შორის).

უმარტივესი ელიფსის განტოლება

სად ა - ელიფსის ნახევრად ძირითადი ღერძი, ბ არის ელიფსის ნახევრად მცირე ღერძი. თუ 2 გ არის მანძილი ფოკუსებს შორის, შემდეგ შორის ა, ბ და გ (თუ ა > ბ) არსებობს კავშირი

ა 2 - ბ 2 = გ 2 .

ელიფსის ექსცენტრიულობა არის ამ ელიფსის კერებს შორის მანძილის თანაფარდობა მისი ძირითადი ღერძის სიგრძეზე

ელიფსას აქვს ექსცენტრიულობა ე < 1 (так как გ < ა), და მისი ფოკუსირება მთავარ ღერძზე მდებარეობს.

ჰიპერბოლის განტოლება ნაჩვენებია ნახატზე.

Პარამეტრები:
a, b - ნახევრად ღერძი;
- მანძილი ფოკუსებს შორის,
- ექსცენტრიულობა;
- ასიმპტოტები;
- რეჟისორები.
მართკუთხედი ფიგურის ცენტრში ნაჩვენებია მთავარი მართკუთხედი, მისი დიაგონალები ასიმპტოტებია.