გაკვეთილის ტექსტური კოდი:

თქვენ უკვე იცით სივრცეში სწორი ხაზების ურთიერთგანლაგების ორი შემთხვევა:

1. სწორი ხაზების გადაკვეთა;

2. პარალელური ხაზები.

გავიხსენოთ მათი განმარტებები.

განმარტება ხაზებს სივრცეში გადაკვეთს უწოდებენ, თუ ისინი იმავე სიბრტყეში მდებარეობს და აქვთ ერთი საერთო წერტილი

განმარტება ხაზებს სივრცეში პარალელურად უწოდებენ, თუ ისინი იმავე სიბრტყეში მდებარეობს და საერთო წერტილები არ აქვთ.

ამ განმარტებებში საერთოა ის, რომ ხაზები ერთ სიბრტყეში მდებარეობს.

სივრცეში ყოველთვის ასე არ ხდება. ჩვენ შეგვიძლია გაუმკლავდეთ რამდენიმე თვითმფრინავს და ყოველი ორი სწორი ხაზი ერთსა და იმავე სიბრტყეზე არ იტყუება.

მაგალითად, ABCDA1B1C1D1 კუბის კიდეები

AB და A1D1 სხვადასხვა სიბრტყეში მდებარეობს.

განმარტება ორ ხაზს კვეთას უწოდებენ, თუ არ არსებობს თვითმფრინავი, რომელიც ამ ხაზებს გაივლის. განმარტებით, ნათელია, რომ ეს ხაზები არ იკვეთება და არ არის პარალელური.

მოდით დავამტკიცოთ თეორემა, რომელიც გამოხატავს ხაზების გადაკვეთის კრიტერიუმს.

თეორემა (ხაზების გადაკვეთა).

თუ რომელიმე სწორი ხაზი გარკვეულ სიბრტყეში მდებარეობს, ხოლო მეორე სწორი ხაზი კვეთს ამ სიბრტყეს იმ წერტილში, რომელიც არ მიეკუთვნება ამ სწორ ხაზს, მაშინ ეს ხაზები იკვეთება.

AB ხაზი მდებარეობს α სიბრტყეში. ხაზი CD კვეთს α სიბრტყეს C წერტილში, რომელიც არ მიეკუთვნება AB ხაზს.

დაამტკიცეთ, რომ AB და DC ხაზები გადაიკვეთა.

მტკიცებულებები

მტკიცებულება განხორციელდება წინააღმდეგობებით.

დავუშვათ, რომ AB და CD ერთ სიბრტყეში მდებარეობს, მოდით, აღვნიშნოთ β- ით.

შემდეგ თვითმფრინავი β გადის AB ხაზსა და C წერტილში.

აქსიომების დასკვნის მიხედვით, AB ხაზითა და მასზე დაწოლილი C წერტილით შეიძლება განვსაზღვროთ თვითმფრინავი და, უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთი.

მაგრამ ჩვენ უკვე გვაქვს ასეთი თვითმფრინავი - თვითმფრინავი α.

შესაბამისად, β და α თვითმფრინავები ემთხვევა ერთმანეთს.

მაგრამ ეს შეუძლებელია, რადგან ხაზი CD კვეთს α, მაგრამ არ დევს მასში.

ჩვენ წინააღმდეგობამდე მივედით, ამიტომ ჩვენი ვარაუდი არასწორია. AB და CD მდგომარეობენ

სხვადასხვა თვითმფრინავები და გადაკვეთა.

დადასტურებულია თეორემა.

ასე რომ, სივრცეში სწორი ხაზების ორმხრივი მოწყობის სამი გზა არსებობს:

ა) ხაზები იკვეთება, ანუ მათ მხოლოდ ერთი საერთო წერტილი აქვთ.

ბ) ხაზები პარალელურია, ე.ი. ერთ სიბრტყეში იტყუებიან და საერთო წერტილები არ აქვთ.

გ) გადაკვეთა სწორი ხაზები, ე.ი. არ იტყუოთ იმავე თვითმფრინავში.

განვიხილოთ სხვა გადაკვეთადი ხაზის თეორემა

თეორემა. გადაკვეთის ორი ხაზისგან თითოეული არის სხვა ხაზის პარალელური სიბრტყე და უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთი.

AB და CD - სწორი ხაზების გადაკვეთა

დაამტკიცეთ, რომ არსებობს α სიბრტყე ისეთი, რომ წრფე AB მდებარეობს α სიბრტყეში, ხოლო წრფე CD პარალელურად α სიბრტყეა.

მტკიცებულებები

მოდით დავამტკიცოთ ასეთი თვითმფრინავის არსებობა.

1) A წერტილის საშუალებით დახაზეთ AE წრფე CD პარალელურად.

2) მას შემდეგ, რაც AE და AB სწორი ხაზები იკვეთება, მათი საშუალებით შეიძლება თვითმფრინავის დახაზვა. მოდით აღვნიშნოთ α.

3) რადგან წრფე CD პარალელურია AE, და AE მდგომარეობს α სიბრტყეში, მაშინ წრფე CD სიბრტყეზე α (თეორემის საშუალებით წრფის პერპენდიკულარობაზე).

Α თვითმფრინავი სასურველი სიბრტყეა.

მოდით დავამტკიცოთ, რომ α თვითმფრინავი ერთადერთია, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას.

ნებისმიერი სხვა თვითმფრინავი, რომელიც გადის AB ხაზს, გადაკვეთს AE- ს და, შესაბამისად, მის პარალელურად CD ხაზს. ეს არის ის, რომ ნებისმიერი სხვა სიბრტყე, რომელიც გადის AB– ზე, კვეთს წრფე CD– ს, ამიტომ იგი არ არის პარალელური მას.

შესაბამისად, თვითმფრინავი α უნიკალურია. დადასტურებულია თეორემა.

ამ სტატიაში პირველ რიგში მივცემთ გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხის განმარტებას და გრაფიკულ ილუსტრაციას მივცემთ. შემდეგ, ჩვენ ვუპასუხებთ კითხვას: "როგორ ვიპოვოთ კუთხე სწორი ხაზების გადაკვეთას შორის, თუ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში ცნობილია ამ სწორი ხაზების მიმართულების ვექტორების კოორდინატები?" დასასრულს, ჩვენ ვივარჯიშებთ გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხის პოვნას, მაგალითების და პრობლემების გადაჭრისას.

გვერდის ნავიგაცია.

კუთხე გადაკვეთილ ხაზებს შორის - განმარტება.

გადაკვეთილ ხაზებს შორის კუთხის განსაზღვრას თანდათან მივუახლოვდებით.

პირველი, გაიხსენეთ გადაკვეთის ხაზების განმარტება: სამგანზომილებიან სივრცეში ორი ხაზი ეწოდება შეჯვარებათუ ისინი ერთ სიბრტყეში არ იტყუებიან. ამ განსაზღვრებიდან გამომდინარეობს, რომ გადაკვეთის ხაზები არ იკვეთება ერთმანეთთან, არ არის პარალელური და, უფრო მეტიც, არ ემთხვევა ერთმანეთს, წინააღმდეგ შემთხვევაში ისინი ორივე გარკვეულ სიბრტყეში იწვებიან.

აქ არის რამდენიმე დამატებითი არგუმენტი.

მოდით, სამ და განზომილებიან სივრცეში მოცემულია ორი გადაკვეთა სწორი ხაზები a და b. მოდით ავაშენოთ a 1 და b 1 წრფეები ისე, რომ ისინი პარალელურად გადაკვეთონ a და b წრფეებს, შესაბამისად და გაიარონ M 1 სივრცის რომელიმე წერტილში. ამრიგად, მივიღებთ ორ გადაკვეთულ ხაზს a 1 და b 1. მოდით, 1 და b 1 სწორ ხაზებს შორის კუთხე ტოლი იყოს კუთხისა. ახლა ჩვენ ავაშენებთ a და b 2 წრფეებს, პარალელურად გადაკვეთს a და b წრფეებს, შესაბამისად, გავლით М 2 წერტილში, განსხვავებული М 1 წერტილისგან. კუთხე, რომელიც გადაკვეთს სწორ ხაზებს a 2 და b 2, ასევე ტოლი იქნება კუთხისა. ეს დებულება მართალია, ვინაიდან a და b 1 სწორი ხაზები ემთხვევა a და b 2 სწორ ხაზებს, თუ თქვენ პარალელურ გადატანას ასრულებთ, რომელშიც M 1 მიდის M 2 წერტილზე. ამრიგად, M წერტილის ორ გადაკვეთულ სწორ ხაზს შორის კუთხის ზომა, შესაბამისად მოცემული გადაკვეთადი სწორი ხაზების პარალელურად, არ არის დამოკიდებული M წერტილის არჩევაზე.

ახლა ჩვენ მზად ვართ განვსაზღვროთ კუთხე გადაკვეთის ხაზებს შორის.

განმარტება

კუთხე გადაკვეთის ხაზებს შორის არის კუთხე ორ გადაკვეთულ სწორ ხაზს შორის, რომლებიც შესაბამისად მოცემულია გადაკვეთილი სწორი ხაზების პარალელურად.

განსაზღვრებიდან გამომდინარეობს, რომ გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხე ასევე არ იქნება დამოკიდებული M წერტილის არჩევაზე. ამიტომ, როგორც M წერტილი, თქვენ შეგიძლიათ აიღოთ ნებისმიერი წერტილი, რომელიც მიეკუთვნება ერთ გადაკვეთის ხაზს.

აქ მოცემულია გადაკვეთილ ხაზებს შორის კუთხის განსაზღვრის ილუსტრაცია.

გადაკვეთილ ხაზებს შორის კუთხის პოვნა.

ვინაიდან სწორ ხაზებს გადაკვეთის კუთხე განისაზღვრება სწორ ხაზებს შორის გადაკვეთის კუთხით, სწორი ხაზების გადაკვეთის კუთხის პოვნა შემცირდება სამგანზომილებიან სივრცეში შესაბამის გადაკვეთულ სწორ ხაზებს შორის კუთხის პოვნაში.

ეჭვგარეშეა, საშუალო სკოლებში გეომეტრიის გაკვეთილებზე ასწავლილი მეთოდები შესაფერისია გადაკვეთილ ხაზებს შორის კუთხის მოსაძებნად. ეს არის ის, რომ დასრულებული გაქვთ საჭირო კონსტრუქციები, შეგიძლიათ დააკავშიროთ სასურველი კუთხე პირობიდან ცნობილი ნებისმიერი კუთხით, ფიგურების თანასწორობის ან მსგავსების საფუძველზე, ზოგიერთ შემთხვევაში ეს დაგეხმარებათ კოსინუსის თეორემადა ზოგჯერ შედეგიც არის სინუსის, კოსინუსის და კუთხის ტანგენციის განმარტება მართკუთხა სამკუთხედი.

ამასთან, ძალზე მოსახერხებელია საკოორდინატო მეთოდით სწორი ხაზების გადაკვეთის კუთხის პოვნის პრობლემის გადაჭრა. სწორედ ამას გავითვალისწინებთ.

მოდით, Oxyz შემოვიდეს სამგანზომილებიან სივრცეში (თუმცა, ბევრ პრობლემასთან დაკავშირებით იგი დამოუკიდებლად უნდა იყოს შეყვანილი).

დავსვათ ჩვენი ამოცანა: ვიპოვოთ a და b გადაკვეთის სწორ ხაზებს შორის კუთხე, რომელიც შეესაბამება Oxyz- ის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის სივრცეში სწორი ხაზის ზოგიერთ განტოლებას.

მოდით მოვაგვაროთ.

მიიღეთ სამგანზომილებიანი M სივრცის თვითნებური წერტილი და ჩავთვალოთ, რომ მასში გადიან a და b 1 სწორი ხაზები, შესაბამისად a და b გადაკვეთის ხაზების პარალელურად. მაშინ a და b გადაკვეთილ სწორ ხაზებს შორის საჭირო კუთხე ტოლობის მიხედვით განსაზღვრულია a 1 და b 1 სწორ ხაზებს შორის.

ამრიგად, ჩვენთვის რჩება კუთხე, რომელიც გადაკვეთს სწორ ხაზებს a 1 და b 1. იმისათვის, რომ გამოვიყენოთ სივრცეში ორ გადაკვეთს სწორ ხაზს შორის კუთხის პოვნის ფორმულა, უნდა ვიცოდეთ a 1 და b 1 სწორი ხაზების მიმართულების ვექტორების კოორდინატები.

როგორ შეგვიძლია მივიღოთ ისინი? ეს ძალიან მარტივია. სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორის განმარტება საშუალებას გვაძლევს ვამტკიცოთ, რომ პარალელური სწორი ხაზების მიმართულების ვექტორების სიმრავლეები ემთხვევა ერთმანეთს. ამიტომ, როგორც a 1 და b 1 წრფეების მიმართულების ვექტორები, შეგვიძლია ავიღოთ მიმართულების ვექტორები და შესაბამისად a და b ხაზები.

Ისე, a და b ორ გადაკვეთილ სწორ ხაზს შორის კუთხე გამოითვლება ფორმულით
სად და - a და b სწორი ხაზების მიმართულების ვექტორები, შესაბამისად.

გადაკვეთილ სწორ ხაზებს შორის კუთხის კოსინუსის პოვნის ფორმულა a და b ფორმას აქვს .

საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხის სინუსი, თუ კოსინუსი ცნობილია: .

რჩება მაგალითების ამოხსნების ანალიზი.

მაგალითი.

იპოვნეთ a და b სწორი ხაზების გადაკვეთის კუთხე, რომლებიც განისაზღვრება მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში Oxyz განტოლებებით და .

გადაწყვეტილება.

სივრცეში სწორი ხაზის კანონიკური განტოლებები საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ განსაზღვროთ ამ სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორის კოორდინატები - ისინი მოცემულია წილადების მნიშვნელების რიცხვებით, ... სივრცეში სწორი ხაზის პარამეტრიული განტოლებები ასევე საშუალებას იძლევა დაუყოვნებლივ ჩაიწეროს მიმართულების ვექტორის კოორდინატები - ისინი ტოლია კოეფიციენტების პარამეტრის წინაშე, ანუ, - სწორი ხაზის ვექტორის სარეჟისორო ... ამრიგად, ჩვენ გვაქვს ყველა საჭირო მონაცემი, რომ გამოვიყენოთ ფორმულა, რომლითაც გამოითვლება კუთხე გადაკვეთის ხაზებს შორის:

პასუხი:

კუთხე მოცემულ გადაკვეთის ხაზებს შორის არის.

მაგალითი.

იპოვნეთ კუთხის სინუსი და კოსინუსუსი გადაკვეთილ სწორ ხაზებს შორის, რომელზეც დევს AD და BC პირამიდის პირამიდა, თუ ცნობილია მისი ვერტიკების კოორდინატები:

გადაწყვეტილება.

გადაკვეთა AD და BC ხაზების ვექტორებს წარმოადგენს ვექტორებს და. მოდით გამოვთვალოთ მათი კოორდინატები, როგორც ვექტორის დასასრულის და დასაწყისის წერტილების შესაბამისი კოორდინატების სხვაობა:

ფორმულის მიხედვით ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ კუთხის კოსინუსი მითითებულ გადაკვეთის ხაზებს შორის:

მოდით გამოვთვალოთ კუთხის სინუსი გადაკვეთის ხაზებს შორის:

პასუხი:

დასასრულს, მოდით განვიხილოთ პრობლემის გადაწყვეტა, რომელშიც საჭიროა კუთხის მოძებნა სწორი ხაზების გადაკვეთას შორის და მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა დამოუკიდებლად უნდა შევიდეს.

მაგალითი.

მოცემულია მართკუთხა პარალელეპიპი ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, რომელშიც AB \u003d 3, AD \u003d 2 და AA 1 \u003d 7 ერთეული. E წერტილი მდებარეობს AA 1 ზღვარზე და ყოფს მას 5 – დან 2 – ის თანაფარდობით, A წერტილის დათვლით. იპოვნეთ კუთხე BE და A 1 C გადაკვეთულ ხაზებს შორის.

გადაწყვეტილება.

მას შემდეგ, რაც მართკუთხა პარალელეპიპედის კიდეები ერთ წვერზე ორმხრივია პერპენდიკულარული, მართებულია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში შესვლა და მითითებული გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხის დადგენა საკოორდინატო მეთოდის გამოყენებით ამ ხაზების მიმართულების ვექტორებს შორის.

განვიხილოთ მართკუთხა კოორდინატების სისტემა Oxyz შემდეგნაირად: წარმოშობა დაემთხვა A მწვერვალს, Ox ღერძი ემთხვევა AD სწორ ხაზს, Oy ღერძი AB სწორ ხაზს და Oz ღერძი - AA 1 სწორ ხაზს.

შემდეგ B წერტილს აქვს კოორდინატები, E წერტილი - (საჭიროების შემთხვევაში, იხილეთ სტატია), A1 წერტილი - და C წერტილი -. ამ წერტილების კოორდინატებიდან შეგვიძლია გამოვთვალოთ ვექტორების კოორდინატები და. Ჩვენ გვაქვს , .

რჩება ფორმულის გამოყენება, რომ იპოვოთ კუთხე გადაკვეთის ხაზებს შორის მიმართულების ვექტორების კოორდინატების გასწვრივ:

პასუხი:

ცნობების სია.

• ათანასიანი ლ.ს., ბუტუზოვი ვ.ფ., კადომცევი ს.ბ., კისელევა ლ.ს., პოზნიაკი ე.გ. გეომეტრია. საშუალო სკოლის 10-11 კლასის სახელმძღვანელო.
• Pogorelov A.V., გეომეტრია. სახელმძღვანელო სასწავლო დაწესებულებების 7-11 კლასისთვის.
• ბუგროვი ი.შ., ნიკოლსკი ს.მ. უმაღლესი მათემატიკა. ტომი პირველი: ხაზოვანი ალგებრის ელემენტები და ანალიტიკური გეომეტრია.
• ილინი ვ.ა., პოზნიაკი ე.გ. ანალიტიკური გეომეტრია.

გადაკვეთილი სწორი ხაზები ამ მახასიათებლებით ადვილად ამოიცნობენ. ნიშანი 1. თუ ორ სტრიქონზე არის ოთხი წერტილი, რომლებიც ერთ სიბრტყეში არ იტყუებიან, მაშინ ეს ხაზები იკვეთება (ნახ. 1.21).

მართლაც, თუ ეს წრფეები გადაიკვეთება ან პარალელური იქნება, მაშინ ისინი იმავე სიბრტყეზე იწვებიან, შემდეგ კი ეს წერტილები იმავე სიბრტყეზე იტყუებიან, რაც პირობას ეწინააღმდეგება.

ნიშანი 2. თუ O ხაზი მდებარეობს სიბრტყეში, ხოლო b ხაზი გარკვეულ მომენტში კვეთს a სიბრტყეს

M, არ არის წოლა ა სწორ ხაზზე, მაშინ a და b სწორი ხაზები იკვეთება (ნახ. 1.22).

მართლაც, ა წრფის ნებისმიერი ორი წერტილისა და წრფის ნებისმიერი ორი წერტილის აღებით, მივიღებთ კრიტერიუმ 1-ს, ე.ი. გადაკვეთა a და b.

გადაკვეთის სწორი ხაზების რეალური მაგალითები მოცემულია სატრანსპორტო გადაკვეთებით (ნახ. 1.23).

სივრცეში, უფრო მეტი გადაკვეთაა სწორი ხაზების წყვილი, ვიდრე პარალელური ან გადაკვეთის სწორი ხაზების წყვილი. ეს შეიძლება აიხსნას შემდეგნაირად.

აიღეთ სივრცეში გარკვეული წერტილი A და ზოგიერთი სწორი ხაზი a, რომელიც არ გაივლის A წერტილში. A ხაზის პარალელურად A ხაზის გასწვრივ სწორი ხაზის გასავლელად საჭიროა თვითმფრინავის დახაზვა A წერტილისა და a სწორი ხაზის მეშვეობით (1.1 პუნქტის წინადადება 2), შემდეგ კი თვითმფრინავში და დახაზეთ b სწორი ხაზი a სწორი ხაზის პარალელურად (ნახ. 1.24).

მხოლოდ ერთი ასეთი სწორი ხაზია b. ყველა წერტილი, რომელიც გადის A წერტილს და კვეთს O ხაზს, ასევე მდებარეობს A სიბრტყეში და ავსებს ყველაფერს, გარდა b ხაზისა. ყველა სხვა სწორი ხაზი, რომლებიც გადიან A- ს და ავსებენ ყველა სივრცეს, გარდა თვითმფრინავისა, იკვეთება a ხაზი. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ სივრცეში გადაკვეთადი ხაზები ზოგადი შემთხვევაა, ხოლო გადაკვეთა და პარალელური ხაზები განსაკუთრებული შემთხვევებია. გადაკვეთის ხაზების "მცირე დარღვევები" მათ გადაკვეთას ტოვებს. მაგრამ სივრცეში პარალელური ყოფნის ან სივრცეში "მცირე არეულობებთან" გადაკვეთის თვისებები არ არის დაცული.

ორმხრივი შეთანხმება სივრცეში ორი სწორი ხაზი.

ორი ხაზისა და სივრცის ფარდობითი პოზიცია ხასიათდება შემდეგი სამი შესაძლებლობით.

ხაზები იმავე სიბრტყეში მდებარეობს და საერთო წერტილები არ აქვთ - პარალელური ხაზები.

ხაზები ერთ სიბრტყეზე მდებარეობს და ერთი საერთო წერტილი აქვთ - ხაზები იკვეთება.

სივრცეში, ორი სწორი ხაზი ასევე შეიძლება განთავსდეს ისე, რომ ისინი არ იტყუებიან არცერთ სიბრტყეზე. ასეთ სწორ ხაზებს გადაკვეთას უწოდებენ (არ იკვეთება და არ არის პარალელური).

მაგალითი:

პრობლემა 434 სიბრტყეში მდებარეობს სამკუთხედი ABC, a

სამკუთხედი ABC მდებარეობს სიბრტყეში და D წერტილი არ არის ამ სიბრტყეში. შესაბამისად, M, N და K წერტილებია DA, DB და DC სეგმენტების შუა წერტილები

თეორემა. თუ ორი სწორი ხაზიდან ერთი მდებარეობს გარკვეულ სიბრტყეში, ხოლო მეორე კვეთს ამ სიბრტყეს და ისეთ წერტილამდე, რომელიც არ მდებარეობს პირველ სწორ ხაზზე, მაშინ ეს სწორი ხაზები იკვეთება.

ნახ. 26 ხაზი a მდებარეობს სიბრტყეში და c ხაზი იკვეთება N. წერტილში. ა და c ხაზები იკვეთება.

თეორემა.მხოლოდ ორი თვითმფრინავი გადის ორი გადაკვეთის ხაზიდან, სხვა ხაზის პარალელურად.

ნახ. A და b ჯვრის 26 სწორი ხაზი. შავი სწორი ხაზი და დახაზული სიბრტყე a (ალფა) || b (a1 || b ხაზი მითითებულია B სიბრტყეში (ბეტა)).

თეორემა 3.2.

მესამეს პარალელურად ორი სწორი ხაზი პარალელურია.

ამ თვისებას ეწოდება ტრანზიტულობასწორი ხაზების პარალელიზმი.

მტკიცებულებები

მოდით a და b წრფეები ერთდროულად c წრფის პარალელურად. დავუშვათ, რომ a არ არის b პარალელური, მაშინ A ხაზი იკვეთება b ხაზთან A გარკვეულ წერტილში A, რომელიც ჰიპოთეზით არ მდებარეობს c წრფეზე. ამიტომ, ჩვენ გვაქვს a და b ორი წრფე, რომლებიც A წერტილში გადიან, მოცემულ წრფეზე არ იტყუება და პარალელურად მასთან ერთად. ეს ეწინააღმდეგება აქსიომა 3.1-ს. დადასტურებულია თეორემა.

თეორემა 3.3.

წერტილის საშუალებით, რომელიც მოცემულ სწორ ხაზზე არ დევს, მოცემულია პარალელურად ერთი და მხოლოდ ერთი სწორი ხაზი.

მტკიცებულებები

მოდით (AB) იყოს მოცემული ხაზი, C იყოს წერტილი, რომელიც მასზე არ წევს. ხაზი AC ყოფს სიბრტყეს ორ ნახევრად თვითმფრინავად. B წერტილი იმალება ერთ-ერთ მათგანში. აქსიომის 3.2 შესაბამისად, შესაძლებელია კუთხის (ACD) ტოლი კუთხის (CAB) გადადება C A სხივიდან სხვა ნახევრად სიბრტყემდე. ACD და CAB არის თანაბარი შიდა ჯვარედინი ხაზები AB და CD ხაზების ქვეშ და ერთმნიშვნელოვანი (AC) შემდეგ თეორემა 3.1 (AB) | (CD). აქსიომის გათვალისწინებით 3.1. დადასტურებულია თეორემა.

პარალელური წრფეების თვისებას მოცემულია შემდეგი თეორემა, რომელიც წარმოადგენს თეორემ 3.1-ს საპირისპიროდ.

თეორემა 3.4.

თუ ორ პარალელურ ხაზს კვეთს მესამე ხაზი, მაშინ ჯვარედინად მწოლიარე შიდა კუთხეები ტოლია.

მტკიცებულებები

მოდით (AB) || (CD). დავუშვათ, ACD ≠ BAC. დახაზეთ AE ხაზი A წერტილის გავლით ისე, რომ EAC \u003d ACD. შემდეგ, თეორემის 3.1 (AE) მიერ || (CD), ხოლო ჰიპოთეზის მიხედვით - (AB) || (CD). 3.2 (AE) თეორემის თანახმად || (AB) ეს ეწინააღმდეგება თეორემა 3.3-ს, რომლის თანახმად, მისი პარალელურად ერთი სწორი ხაზი შეიძლება გაისვას A წერტილის საშუალებით, რომელიც არ დგას CD- ზე. დადასტურებულია თეორემა.

სურათი 3.3.1.

ამ თეორემის საფუძველზე შემდეგი გამართლებული თვისებები მარტივად არის გამართლებული.

თუ ორ პარალელურ ხაზს კვეთს მესამე ხაზი, მაშინ შესაბამისი კუთხეები ტოლია.

თუ ორ პარალელურ ხაზს კვეთს მესამე ხაზი, მაშინ შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი 180 °.

დასკვნა 3.2.

თუ წრფე ერთ-ერთი პარალელური წრფის პერპენდიკულარულია, მაშინ ის მეორეზე პერპენდიკულარულია.

პარალელიზმის კონცეფცია საშუალებას გვაძლევს დავნერგოთ შემდეგი ახალი კონცეფცია, რომელიც მოგვიანებით საჭირო იქნება მე -11 თავში.

ორი სხივი ეწოდება თანაბრად მიმართულიათუ არსებობს ისეთი სწორი ხაზი, რომ, პირველ რიგში, ისინი ამ სწორი ხაზის პერპენდიკულარულია და მეორეც, სხივები იმავე ნახევრად სიბრტყეში მდებარეობს ამ ხაზის მიმართ.

ორი სხივი ეწოდება საწინააღმდეგოდ მიმართულითუ თითოეული მათგანი თანაბრად მიმართულია სხვის დამატებით სხივთან.

აღინიშნება AB და CD თანაბრად მიმართული სხივები: და პირიქით მიმართული სხივები AB და CD -

სურათი 3.3.2.

ხაზების გადაკვეთის ნიშანი.

თუ ორი სწორი ხაზიდან ერთი მდგომარეობს გარკვეულ სიბრტყეში, ხოლო მეორე სწორი ხაზი კვეთს ამ სიბრტყეს იმ წერტილში, რომელიც პირველ სწორ ხაზზე არ წევს, მაშინ ეს ხაზები იკვეთება.

სივრცეში სწორი ხაზების ურთიერთგანლაგების შემთხვევები.

1. სივრცეში ორი სწორი ხაზის ოთხი განსხვავებული შემთხვევაა:

   
   

   - სწორი გადაკვეთა, ე.ი. არ იტყუოთ იმავე თვითმფრინავში;

   - სწორი ხაზები იკვეთება, ე.ი. ერთ სიბრტყეში იწვა და ერთი საერთო წერტილი აქვს;

   - სწორი ხაზები პარალელურად, ე.ი. მოტყუება იმავე თვითმფრინავში და არ გადაიკვეთოთ;

   - სწორი ხაზები ემთხვევა ერთმანეთს.

   
   

   მოდით ავიღოთ კანონიკური განტოლებებით მოცემული სწორი ხაზების ურთიერთგანლაგების ამ შემთხვევების ნიშნები

   
   
   სად - სწორი ხაზების კუთვნილი წერტილები და შესაბამისად, ა - მიმართულების ვექტორები (სურათი 4.34). მოდით აღვნიშნოთ მოცემული წერტილების დამაკავშირებელი ვექტორი.
   
   

   სწორი ხაზების ურთიერთგანლაგების ზემოთ ჩამოთვლილი შემთხვევები და შეესაბამება შემდეგ ნიშნებს:

   
   

   - პირდაპირი და გადაკვეთილი ვექტორები არ არის თანაბარი;

   
   

   - სწორი ხაზები და გადაკვეთადი ვექტორები თანაბარია, მაგრამ ვექტორები არ არის ხაზოვანი;

   
   

   - პირდაპირი და პარალელური ვექტორები კოლინარულია, მაგრამ ვექტორები არ არის ხაზოვანი;

   
   

   - სწორი და თანხვედრილი ვექტორები ხაზოვანია.

   
   

   ამ პირობების დაწერა შესაძლებელია შერეული და ვექტორული პროდუქტების თვისებების გამოყენებით. შეგახსენებთ, რომ ვექტორების შერეული პროდუქტი სწორკუთხა მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში მოცემულია ფორმულით:

   
   
   და განმსაზღვრელი კვეთს ნულს, ხოლო მისი მეორე და მესამე ხაზები არ არის პროპორციული, ე.ი.
   

   - დეტერმინანტის სწორი და პარალელური მეორე და მესამე ხაზები პროპორციულია, ე.ი. და პირველი ორი ხაზი არ არის პროპორციული, ე.ი.

   
   

   - დეტერმინანტის ყველა ხაზი სწორია და ემთხვევა პროპორციულს, ე.ი.

გადაკვეთილი ხაზების ნიშნის დამადასტურებელი საბუთი.

თუ ორი ხაზიდან ერთი მდებარეობს სიბრტყეში, ხოლო მეორე კვეთს ამ სიბრტყეს იმ წერტილზე, რომელიც არ მიეკუთვნება პირველ ხაზს, მაშინ ეს ორი ხაზი იკვეთება.

მტკიცებულებები

მოდით a ეკუთვნის α- ს, b გადაკვეთს α \u003d A, A არ ეკუთვნის a- ს (ნახაზი 2.1.2). დავუშვათ, რომ a და b წრფეები არ იკვეთება, ანუ იკვეთება. შემდეგ არის თვითმფრინავი β, რომელსაც ეკუთვნის a და b ხაზები. წრფე ა და წერტილი მდებარეობს ამ სიბრტყეში β. რადგან წრფე a და A წერტილი მის გარეთ განსაზღვრავს უნიკალურ სიბრტყეს, მაშინ β \u003d α. მაგრამ b მივყავართ β და b არ ეკუთვნის α- ს, ამიტომ თანასწორობა β \u003d α შეუძლებელია.

ერთ წუთზე ნაკლებ დროში შევქმენი ახალი Vord ფაილი და გავაგრძელე ასეთი საინტერესო თემა. თქვენ უნდა დაიჭიროთ სამუშაო განწყობის მომენტები, ასე რომ არ იქნება ლირიკული შესავალი. იქნება პროზაული whipping \u003d)

ორი სწორი სივრცე შეიძლება:

1) შეჯვარება;

2) იკვეთება წერტილზე;

3) იყოს პარალელური;

4) მატჩი.

საქმე No1 არსებითად განსხვავდება სხვა შემთხვევებისგან. ორი სწორი ხაზი იკვეთება, თუ ისინი ერთ სიბრტყეში არ მდებარეობენ... ერთი ხელი ასწიეთ ზემოთ, ხოლო მეორე ხელი წინ გაიწიეთ - აი სწორი ხაზების გადაკვეთის მაგალითი. 2-4 წერტილებში, სწორი ხაზები აუცილებლად მდგომარეობს ერთ თვითმფრინავში.

როგორ გავიგოთ სწორი ხაზების ფარდობითი პოზიცია სივრცეში?

განვიხილოთ ორი სწორი სივრცე:

- სწორი, მოცემული წერტილი და მიმართულების ვექტორი;
- სწორი ხაზი მოცემულია წერტილით და მიმართულების ვექტორით.

უკეთესი გაგებისთვის მოდით შევასრულოთ სქემატური ნახაზი:

ნახატზე ნაჩვენებია გადაკვეთილი სწორი ხაზები.

როგორ გაუმკლავდეთ ამ სწორ ხაზებს?

რადგან წერტილები ცნობილია, ვექტორის პოვნა ადვილია.

თუ პირდაპირ შეჯვარება, შემდეგ ვექტორები არ არის გეგმიური (იხ. გაკვეთილი ვექტორების წრფივი (არა) დამოკიდებულება. ვექტორული საფუძველი), და, მაშასადამე, მათი კოორდინატებისგან შემდგარი დეტერმინანტი არის ნულოვანი. ან, რაც სინამდვილეში იგივეა, იქნება ნულოვანი: .

No2–4 შემთხვევებში, ჩვენი კონსტრუქცია "ვარდება" ერთ სიბრტყეში, ხოლო ვექტორები თანაპლანერიდა წრფივი დამოკიდებულ ვექტორების შერეული პროდუქტი ნულის ტოლია: .

ჩვენ ალგორითმს კიდევ უფრო ვატრიალებთ. მოდით ვითომ ასე ამიტომ, ხაზები ან იკვეთება, ან პარალელურად, ან ემთხვევა ერთმანეთს.

თუ მიმართულების ვექტორები სწორხაზოვანი, მაშინ ხაზები ან პარალელურია ან ემთხვევა ერთმანეთს. როგორც საბოლოო ფრჩხილი, მე გთავაზობთ შემდეგ ტექნიკას: აიღეთ ერთი წრფის გარკვეული წერტილი და შეცვალეთ მისი კოორდინატები მეორე სწორი ხაზის განტოლებაში; თუ კოორდინატები "ჯდება", მაშინ სწორი ხაზები ემთხვევა; თუ ისინი "არ ჯდება", მაშინ სწორი ხაზები პარალელურია.

ალგორითმის ნაკადი მარტივია, მაგრამ პრაქტიკული მაგალითები მაინც არ ავნებს:

მაგალითი 11

შეიტყვეთ ორი ხაზის ფარდობითი პოზიცია

გადაწყვეტილება: როგორც გეომეტრიის მრავალ პრობლემას, მოსახერხებელია გამოსავალის შედგენა პუნქტების მიხედვით:

1) განტოლებებიდან ამოვიღებთ წერტილებსა და მიმართულების ვექტორებს:

2) იპოვნეთ ვექტორი:

ამრიგად, ვექტორები თანაბარია, რაც ნიშნავს, რომ ხაზები ერთ სიბრტყეზეა და შეიძლება გადაიკვეთოს, იყოს პარალელური ან დაემთხვეს ერთმანეთს.

4) შეამოწმეთ მიმართულების ვექტორები კოლინარულობისთვის.

მოდით შევადგინოთ ამ ვექტორების შესაბამისი კოორდინატების სისტემა:

იმ თითოეული განტოლება გულისხმობს, რომ, შესაბამისად, სისტემა თანმიმდევრულია, ვექტორების შესაბამისი კოორდინატები პროპორციულია, ხოლო ვექტორები ხაზოვანია.

დასკვნა: სწორი ხაზები პარალელურია ან ემთხვევა ერთმანეთს.

5) გავეცნოთ აქვს თუ არა სტრიქონებს საერთო წერტილები. აიღეთ პირველი სტრიქონის კუთვნილი წერტილი და შეცვალეთ მისი კოორდინატები ხაზის განტოლებებში:

ამრიგად, სტრიქონებს საერთო წერტილები არ აქვთ და მათ სხვა არჩევანი არ აქვთ, თუ არა პარალელური.

პასუხი:

საინტერესო მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 12

გაირკვეს სწორი ხაზების ფარდობითი პოზიცია

ეს არის მაგალითი საკუთარი თავის გაკეთების შესახებ. გაითვალისწინეთ, რომ მეორე სტრიქონს აქვს პარამეტრი, როგორც ასო. ლოგიკურია. ზოგადად, ეს ორი განსხვავებული სწორი ხაზია, ამიტომ თითოეულ სწორ ხაზს აქვს საკუთარი პარამეტრი.

და ისევ მოგიწოდებთ არ გამოტოვოთ მაგალითები, მე შემოგთავაზებთ ჩემს მიერ შემოთავაზებულ პრობლემებს შემთხვევითი არ არის ;-)

პრობლემები სწორი ხაზის სივრცეში

გაკვეთილის ბოლო ნაწილში შევეცდები განვიხილო სივრცული ხაზების სხვადასხვა პრობლემების მაქსიმალური რაოდენობა. ამ შემთხვევაში, დაცული იქნება თხრობის საწყისი რიგი: ჯერ განვიხილავთ პრობლემებს სწორი ხაზების გადაკვეთასთან, შემდეგ გადაკვეთულ სწორ ხაზებთან და ბოლოს ვისაუბრებთ პარალელურ ხაზებზე სივრცეში. ამასთან, უნდა ითქვას, რომ ამ გაკვეთილის ზოგიერთი ამოცანა შეიძლება ერთდროულად ჩამოყალიბდეს ხაზების განლაგების რამდენიმე შემთხვევისთვის და ამ მხრივ, სექციის აბზაცებად დაყოფა გარკვეულწილად თვითნებურია. უფრო მეტია მარტივი მაგალითებიარსებობს უფრო რთული მაგალითები, და იმედია ყველანი ნახავთ იმას რაც სჭირდებათ.

გადაკვეთა სწორი ხაზები

შეგახსენებთ, რომ სწორი ხაზები იკვეთება, თუ არ არსებობს სიბრტყე, რომელშიც ორივე წევს. როდესაც ვარჯიშზე ვფიქრობდი, მონსტრის პრობლემამ გამიელვა და ახლა მოხარული ვარ, რომ თქვენს ყურადღებას გავეცანი დრაკონს ოთხი თავით:

მაგალითი 13

მოცემულია სწორი ხაზები. აუცილებელია:

ა) დაამტკიცეთ, რომ სწორი ხაზები იკვეთება;

ბ) იპოვნეთ სწორი ხაზის განტოლებები, რომელიც გადის ამ სწორი ხაზების პერპენდიკულარულ წერტილზე;

გ) შეადგინეთ სწორი ხაზის განტოლებები, რომელიც შეიცავს საერთო პერპენდიკულარული სწორი ხაზების გადაკვეთა;

დ) იპოვნეთ მანძილი სტრიქონებს შორის.

გადაწყვეტილება: გზას აითვისებს სიარული:

ა) დავამტკიცოთ, რომ ხაზები იკვეთება. იპოვნეთ ამ ხაზების წერტილები და მიმართულების ვექტორები:

იპოვნეთ ვექტორი:

ჩვენ გამოვთვლით ვექტორების შერეული პროდუქტი:

ამრიგად, ვექტორები არ არის გეგმიური, რაც ნიშნავს, რომ ხაზები იკვეთება, როგორც საჭიროა.

ალბათ, ყველამ დიდი ხნის წინათ შეამჩნია, რომ ხაზების გადაკვეთისთვის, შემოწმების ალგორითმი უმოკლესი აღმოჩნდა.

ბ) იპოვნეთ სწორი ხაზის განტოლებები, რომელიც წერტილში გადის და სწორი ხაზების პერპენდიკულარულია. მოდით შევასრულოთ სქემატური ნახაზი:

ცვლილებისთვის, მე დავაყენე სწორი ხაზი უკან პირდაპირ, ნახეთ როგორ არის ოდნავ წაშლილი ის გადაკვეთის წერტილებში. შეჯვარება? დიახ, ზოგადად, სწორი ხაზი "დე" გადაკვეთს თავდაპირველ სწორ ხაზებს. მართალია ეს მომენტი არ გვაინტერესებს, მაგრამ უბრალოდ უნდა გავაშენოთ პერპენდიკულარული ხაზი და ეს არის ის.

რა არის ცნობილი პირდაპირი "დე" –ს შესახებ? მისი კუთვნილი წერტილი ცნობილია. მიმართულების ვექტორი არ არის.

პირობითად, სწორი ხაზი უნდა იყოს პერპენდიკულარული სწორი ხაზების, რაც ნიშნავს, რომ მისი მიმართულების ვექტორი მართკუთხა იქნება მიმართულების ვექტორებთან. უკვე ნაცნობი მაგალითი No 9 მოტივიდან, იპოვეთ ჯვარედინი პროდუქტი:

მოდით შევადგინოთ სწორი ხაზის "de" განტოლებები წერტილისა და მიმართულების ვექტორის მიხედვით:

Შესრულებულია. პრინციპში, შეგიძლიათ შეცვალოთ ნიშნები მნიშვნელობებში და დაწეროთ პასუხი ფორმით , მაგრამ ამის საჭიროება არ არის.

შემოწმების მიზნით, საჭიროა წერტილის კოორდინატების ჩანაცვლება სწორი ხაზის მიღებულ განტოლებებში, შემდეგ კი მათი გამოყენება ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტიდარწმუნდით, რომ ვექტორი ორთოგონალურია მიმართულების ვექტორებისთვის "pe one" და "pe two".

როგორ მოვძებნოთ სწორი წრფის განტოლებები, რომელიც შეიცავს საერთო პერპენდიკულურს?

გ) ეს ამოცანა უფრო რთული იქნება. მე ვურჩევ დუმილებს გამოტოვონ ეს საკითხი, არ მინდა გაგრილდეს შენი გულწრფელი სიმპათია ანალიტიკური გეომეტრიის მიმართ \u003d) სხვათა შორის, უფრო მომზადებული მკითხველისთვის, შეიძლება უკეთესი იყოს დაველოდოთ, ფაქტია, რომ სირთულის თვალსაზრისით, მაგალითი სტატიაში ბოლო უნდა იყოს, მაგრამ პრეზენტაციის ლოგიკის მიხედვით აქ უნდა განთავსდეს.

ამრიგად, საჭიროა სწორი ხაზის განტოლების პოვნა, რომელიც შეიცავს გადაკვეთის სწორი ხაზების საერთო პერპენდიკულარს.

არის ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს მოცემულ ხაზებს და მოცემული ხაზების პერპენდიკულარულია:

აი, ჩვენი სიმპათიური კაცი: - ხაზების გადაკვეთის საერთო პერპენდიკულარი. ის ერთადერთია. სხვა ასეთი არ არსებობს. ასევე უნდა შევადგინოთ სწორი ხაზის განტოლებები, რომელიც შეიცავს მოცემულ სეგმენტს.

რა არის ცნობილი სწორი "უჰ" შესახებ? მისი მიმართულების ვექტორი, რომელიც წინა აბზაცშია ნაპოვნი, ცნობილია. სამწუხაროდ, ჩვენ არ ვიცით ერთი წერტილი, რომელიც მიეკუთვნება სწორ ხაზს "უჰ", არ ვიცით პერპენდიკულარული - წერტილების ბოლოები. სად კვეთს ეს პერპენდიკულარული ხაზი ორ თავდაპირველ ხაზს? აფრიკაში, ანტარქტიდაზე? მდგომარეობის საწყისი მიმოხილვიდან და ანალიზიდან საერთოდ არ არის ნათელი, როგორ უნდა მოგვარდეს პრობლემა. ხაზის პარამეტრული განტოლებების გამოყენებასთან დაკავშირებულია რთული ნაბიჯი.

გადაწყვეტილებას გამოვიტანთ პუნქტების შესაბამისად:

1) გადავწეროთ პირველი სწორი ხაზის განტოლებები პარამეტრული ფორმით:

განვიხილოთ წერტილი. ჩვენ არ ვიცით კოორდინატები. მაგრამ... თუ წერტილი ეკუთვნის მოცემულ სწორ ხაზს, მაშინ ის შეესაბამება მის კოორდინატებს, ჩვენ მას აღვნიშნავთ. შემდეგ წერტილის კოორდინატები დაიწერება სახით:

ცხოვრება უკეთესობისკენ მიდის, ერთი უცნობი - ბოლოს და ბოლოს, სამი უცნობი.

2) იგივე აღშფოთება უნდა განხორციელდეს მეორე პუნქტზე. მოდით, გადავწეროთ მეორე სწორი ხაზის განტოლებები პარამეტრული ფორმით:

თუ წერტილი მოცემულ სწორ ხაზს ეკუთვნის, მაშინ ძალიან სპეციფიკური ღირებულებითმისი კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს პარამეტრულ განტოლებებს:

ან:

3) ვექტორი, ისევე როგორც ადრე ნაპოვნი ვექტორი, იქნება სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი. როგორ უნდა შევადგინოთ ვექტორი ორი პუნქტით, გაითვალისწინეს გაკვეთილზე ანტიკურ დროში ვექტორები დუმიტებისთვის... ახლა განსხვავება იმაშია, რომ ვექტორების კოორდინატები დაწერილია უცნობი პარამეტრის მნიშვნელობებით. Მერე რა? არავინ კრძალავს ვექტორის წარმოშობის შესაბამისი კოორდინატების გამოკლებას ვექტორის დასასრულის კოორდინატებიდან.

არსებობს ორი წერტილი: .

იპოვნეთ ვექტორი:

4) ვინაიდან მიმართულების ვექტორები ხაზოვანია, მაშინ ერთი ვექტორი ხაზობრივად გამოხატულია მეორის საშუალებით გარკვეული პროპორციულობის კოეფიციენტით "ლამბდა":

ან კოორდინაცია ასევე:

აღმოჩნდა ყველაზე მეტად, რომ არც არის ჩვეულებრივი ხაზოვანი განტოლებების სისტემა სამი უცნობით, რაც სტანდარტში მოგვარებადია, მაგალითად, კრამერის მეთოდი... აქ არის შესაძლებლობა, თავი დაეღწია ცოტა სისხლს, მესამე განტოლებიდან გამოვხატავთ "ლამბდას" და ჩავანაცვლებთ მას პირველ და მეორე განტოლებებში:

ამრიგად: და ჩვენ არ გვჭირდება ლამბდა. ის, რომ პარამეტრების მნიშვნელობები იგივე აღმოჩნდა, სუფთა დამთხვევაა.

5) ცა სრულიად სუფთაა, ჩაანაცვლეთ ნაპოვნი მნიშვნელობებით ჩვენს წერტილებზე:

მიმართულების ვექტორი განსაკუთრებით არ არის საჭირო, რადგან მისი კოლეგა უკვე ნაპოვნია.

ხანგრძლივი მოგზაურობის შემდეგ ყოველთვის სასიამოვნოა შემოწმება.

:

მიღებულია სწორი ტოლობები.

წერტილის კოორდინატების განტოლებებში ჩანაცვლება :

მიღებულია სწორი ტოლობები.

6) საბოლოო აკორდი: შეადგინეთ სწორი ხაზის განტოლებები წერტილის გასწვრივ (შეგიძლიათ აიღოთ იგი) და მიმართულების ვექტორი:

პრინციპში, თქვენ შეგიძლიათ აიღოთ "კარგი" წერტილი მთელი კოორდინატებით, მაგრამ ეს უკვე კოსმეტიკური საშუალებაა.

როგორ მოვძებნოთ მანძილი გადაკვეთილ ხაზებს შორის?

დ) მეოთხე დრაკონის თავი დავჭრათ.

მეთოდი პირველი... გზა კი არა, პატარა განსაკუთრებული შემთხვევა. გადაკვეთის ხაზებს შორის მანძილი ტოლია მათი საერთო პერპენდიკულურის სიგრძისა: .

საერთო პერპენდიკულურის უკიდურესი წერტილები წინა პუნქტში ნაპოვნია და ამოცანა ელემენტარულია:

მეთოდი ორი... პრაქტიკაში, ყველაზე ხშირად საერთო პერპენდიკულარის ბოლოები უცნობია, ამიტომ განსხვავებული მიდგომა გამოიყენება. პარალელური სიბრტყეების დახაზვა შეიძლება ორი გადაკვეთის ხაზის საშუალებით და ამ სიბრტყეებს შორის მანძილი ტოლია ამ ხაზებს შორის მანძილი. კერძოდ, ამ სიბრტყეებს შორის ჩნდება საერთო პერპენდიკულური.

ანალიტიკური გეომეტრიის მსვლელობისას, ზემოთ მოყვანილი მოსაზრებებიდან გამომდინარე, მიღებული იქნა ფორმულა სწორი ხაზების გადაკვეთას შორის მანძილის დასადგენად:
(ჩვენი წერტილების ნაცვლად "ერთი, ორი" შეგიძლიათ სწორი ხაზების თვითნებური წერტილების აღება).

ვექტორების შერეული პროდუქტი "ა" პუნქტში უკვე ნაპოვნია: .

ვექტორების ვექტორული პროდუქტი საქონელში ნაპოვნია "bae": მოდით გამოვთვალოთ მისი სიგრძე:

ამრიგად:

მოდით, ამაყად გამოვყავით თასები ერთ რიგში:

პასუხი:
და) , რაც ნიშნავს, რომ ხაზები იკვეთება, რისი დამტკიცებაც მოითხოვებოდა;
ბ) ;
in) ;
დ)

კიდევ რას გვეტყვით სწორი ხაზების გადაკვეთის შესახებ? მათ შორის განისაზღვრება კუთხე. მაგრამ შემდეგ პუნქტში განვიხილავთ უნივერსალურ კუთხის ფორმულას:

სივრცის სწორი ხაზების გადაკვეთა აუცილებლად იმავე სიბრტყეში მდებარეობს:

პირველი აზრი არის გადაკვეთაზე მთელი ძალებით გადახტომა. და მაშინვე გავიფიქრე, რატომ უარყო საკუთარ თავს სწორი სურვილები?! მოდით დავეხეთქოთ მას ახლა!

როგორ მოვძებნოთ სივრცული ხაზების გადაკვეთის წერტილი?

მაგალითი 14

იპოვნეთ წრფეების გადაკვეთის წერტილი

გადაწყვეტილება: გადავწეროთ სწორი ხაზების განტოლებები პარამეტრული ფორმით:

ეს დავალება დეტალურად განიხილეს ამ გაკვეთილის No7 მაგალითში (იხ. სივრცეში სწორი ხაზის განტოლებები) სხვათა შორის, მე თვითონ სწორი ხაზები ავიღე No12 მაგალითიდან. არ ვიტყუები, მე ძალიან ზარმაცი ვარ ახლის გამოგონებას.

ამოხსნა სტანდარტულია და უკვე გვხვდება, როდესაც გადავკვეთთ გადაკვეთადი ხაზების საერთო პერპენდიკულარის განტოლებებს.

სწორი ხაზების გადაკვეთის წერტილი ეკუთვნის სწორ ხაზს, ამიტომ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებს მოცემული სწორი ხაზის პარამეტრულ განტოლებებს და ისინი შეესაბამება საკმაოდ სპეციფიკური პარამეტრის მნიშვნელობა:

მაგრამ იგივე წერტილი ეკუთვნის მეორე სწორ ხაზს, შესაბამისად:

ჩვენ ვატოლებთ შესაბამის განტოლებებს და ვაკეთებთ გამარტივებებს:

მიიღება სამი წრფივი განტოლების სისტემა, ორი უცნობით. თუ ხაზები იკვეთება (როგორც მაგალითი 12), სისტემა აუცილებლად თანმიმდევრულია და აქვს უნიკალური ამოხსნა. ეს შეიძლება მოგვარდეს გაუსის მეთოდი, მაგრამ ჩვენ არ ვცოდავთ საბავშვო ბაღის ფეტიშიზმს, ჩვენ ამას უფრო მარტივად გავაკეთებთ: პირველი განტოლებიდან გამოვხატავთ "ნულს" და ჩავანაცვლებთ მეორე და მესამე განტოლებებში:

სინამდვილეში, ბოლო ორი განტოლება იგივე იყო და აქედან გამომდინარეობს, რომ. შემდეგ:

შეცვალეთ პარამეტრის ნაპოვნი მნიშვნელობა განტოლებებში:

პასუხი:

შემოწმების მიზნით, პარამეტრის ნაპოვნი მნიშვნელობას ვანაცვლებთ განტოლებებში:
მიღებული იქნა იგივე კოორდინატები, რაც საჭიროა გადამოწმების მიზნით. საგულდაგულოდ მკითხველს შეუძლია შეცვალოს წერტილის კოორდინატები სწორი ხაზების ორიგინალური კანონიკური განტოლებებით.

სხვათა შორის, ამის საპირისპირო გაკეთება იყო შესაძლებელი: წერტილის პოვნა "es zero" - ს საშუალებით და შემოწმება "te zero" - ს საშუალებით.

ცნობილი მათემატიკური ნიშანი ამბობს: სადაც ისინი განიხილავენ სწორი ხაზების გადაკვეთას, მას ყოველთვის აქვს პერპენდიკულარების სუნი.

როგორ უნდა ავაშენოთ მოცემული პერპენდიკულარული სივრცის ხაზი?

(ხაზები იკვეთება)

მაგალითი 15

ა) შეადგინეთ სწორი ხაზის განტოლებები, რომლებიც გადიან წრფეზე პერპენდიკულარულად (ხაზები იკვეთება).

ბ) იპოვნეთ მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე.

შენიშვნა : პუნქტი "ხაზები იკვეთება" - არსებითი... წერტილის საშუალებით
თქვენ შეგიძლიათ დახაზოთ უსასრულოდ ბევრი პერპენდიკულარული სწორი ხაზი, რომელიც გადაკვეთს პირდაპირ "ალე" -ს. ერთადერთი გამოსავალი ხდება მაშინ, როდესაც ამ წერტილში სწორი ხაზი გადის, პერპენდიკულარულად ორი მოცემულია სწორი ხაზით (იხ. მაგალითი No13, პუნქტი "ბ").

და) გადაწყვეტილება: უცნობი სტრიქონით აღინიშნება. მოდით შევასრულოთ სქემატური ნახაზი:

რა არის ცნობილი სწორი ხაზის შესახებ? პირობითად მოცემულია წერტილი. სწორი ხაზის განტოლების შესადგენად აუცილებელია მიმართულების ვექტორის პოვნა. ვექტორი საკმაოდ შესაფერისია, როგორც ასეთი ვექტორი, და ჩვენ მას გაუმკლავდებით. უფრო ზუსტად, ავიღოთ ვექტორის უცნობი დასასრული სკრუფის მიერ.

1) მოდით, ამოვიღოთ მისი მიმართულების ვექტორი სწორი ხაზის "el" განტოლებებიდან და განტოლებები თავიდან გადავწეროთ პარამეტრული ფორმით:

ბევრმა გამოიცნო, რომ ახლა მესამედ გაკვეთილზე ჯადოქარი ქუდიდან თეთრ გედს ამოიღებს. განვიხილოთ წერტილი უცნობი კოორდინატებით. წერტილიდან გამომდინარე, მისი კოორდინატები აკმაყოფილებს სწორი ხაზის "el" - ის პარამეტრულ განტოლებებს და ისინი შეესაბამება პარამეტრის სპეციფიკურ მნიშვნელობას:

ან ერთ სტრიქონში:

2) პირობითად, სწორი ხაზები უნდა იყოს პერპენდიკულარული, შესაბამისად, მათი მიმართულების ვექტორები ორთოგონალურია. და თუ ვექტორები ორთოგონალურია, მაშინ მათი სკალარული პროდუქტი ნულის ტოლია:

Რა მოხდა? უმარტივესი წრფივი განტოლება ერთი უცნობით:

3) პარამეტრის მნიშვნელობა ცნობილია, ჩვენ ვხვდებით წერტილს:

და მიმართულების ვექტორი:
.

4) მოდით შევადგინოთ სწორი ხაზის განტოლებები წერტილისა და მიმართულების ვექტორის მიერ:

პროპორციის მნიშვნელები აღმოჩნდა წილადები და ეს ზუსტად ის შემთხვევაა, როდესაც წილადების მოშორება მიზანშეწონილია. მე გავამრავლებ მათ -2-ზე:

პასუხი:

შენიშვნა : ამოხსნის უფრო მკაცრი დასასრული შემდეგნაირად ყალიბდება: ჩვენ ვადგენთ სწორი ხაზის განტოლებებს წერტილისა და მიმართულების ვექტორის გასწვრივ. მართლაც, თუ ვექტორი არის სწორი ხაზის მამოძრავებელი ვექტორი, მაშინ ვექტორი მას სწორხაზოვანი იქნება მოცემული სწორი ხაზის მმართველი ვექტორი.

შემოწმება შედგება ორი ეტაპისგან:

1) შეამოწმეთ სწორი ხაზების მიმართულების ვექტორები ორთოგონალურობის მიხედვით;

2) წერტილის კოორდინატებს ვცვლით თითოეული სწორი ხაზის განტოლებებში, ისინი უნდა "ჯდებოდნენ" იქაც და იქაც.

ბევრი რამ ითქვა ტიპურ მოქმედებებზე, ამიტომ პროექტი გადავამოწმე.

სხვათა შორის, ეს წერტილიც დამავიწყდა - "en" წერტილის სიმეტრიული წერტილის აშენება "en" - ის სწორი ხაზის "el" - ს მიმართ. ამასთან, არსებობს კარგი ”ბრტყელი ანალოგი”, რომლის ნახვაც შეგიძლიათ სტატიაში უმარტივესი პრობლემები თვითმფრინავზე სწორი ხაზის დროს... აქ, ყველა სხვაობა იქნება დამატებით "zeta" კოორდინატში.

როგორ მოვძებნოთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე სივრცეში?

ბ) გადაწყვეტილება: იპოვნეთ მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე.

მეთოდი პირველი... ეს მანძილი ზუსტად უდრის პერპენდიკულარის სიგრძეს :. გამოსავალი აშკარაა: თუ წერტილები ცნობილია შემდეგ:

მეთოდი ორი... პრაქტიკულ ამოცანებში, პერპენდიკულურის საფუძველი ხშირად არის საიდუმლოება შვიდი ბეჭდის უკან, ამიტომ უფრო რაციონალურია მზა ფორმულის გამოყენება.

მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე გამოხატულია ფორმულით:
სად არის სწორი ხაზის "ელ" -ს სარეჟისორო ვექტორი და - თვითნებურიწერტილი, რომელიც ამ ხაზს მიეკუთვნება.

1) სწორი ხაზის განტოლებებიდან ვიღებთ მიმართულების ვექტორს და ყველაზე ხელმისაწვდომ წერტილს.

2) წერტილი ცნობილია მდგომარეობიდან, გაასწორეთ ვექტორი:

3) იპოვნე ჯვარედინი პროდუქტი და გამოთვალეთ მისი სიგრძე:

4) გამოთვალეთ მიმართულების ვექტორის სიგრძე:

5) ამრიგად, მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე: