როგორ მოვძებნოთ სეგმენტის კუთვნილი განტოლების ფესვები. სეგმენტის კუთვნილი განტოლების ფესვების პოვნა. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები
თქვენ შეგიძლიათ შეუკვეთოთ თქვენი პრობლემის დეტალური გადაწყვეტა !!!
ნიშნის ქვეშ უცნობის შემცველი ტოლობა ტრიგონომეტრიული ფუნქცია(`sin x, cos x, tg x` ან `ctg x`), ეწოდება ტრიგონომეტრიული განტოლება და სწორედ მათ ფორმულებს განვიხილავთ შემდგომში.
უმარტივესი განტოლებებია `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, სადაც `x` არის მოსაძებნი კუთხე, `a` არის ნებისმიერი რიცხვი. მოდით დავწეროთ თითოეული მათგანის ძირეული ფორმულები.
1. განტოლება `sin x=a`.
`|a|>1`-ისთვის მას არ აქვს გამოსავალი.
`|ა|-ით \leq 1`-ს აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.
ძირეული ფორმულა: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. განტოლება `cos x=a`
`|a|>1`-ისთვის - როგორც სინუსის შემთხვევაში, ნამდვილ რიცხვებს შორის ამონახსნები არ არის.
`|ა|-ით \leq 1`-ს აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.
ძირეული ფორმულა: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
სინუსის და კოსინუსების სპეციალური შემთხვევები გრაფიკებში. 
3. განტოლება `tg x=a`
აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა `a`-ს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.
ძირეული ფორმულა: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. განტოლება `ctg x=a`
მას ასევე აქვს გადაწყვეტილებების უსასრულო რაოდენობა `a`-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.
ძირეული ფორმულა: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
ცხრილის ტრიგონომეტრიული განტოლებების ფესვების ფორმულები
სინუსისთვის: 
კოსინუსისთვის: 
ტანგენტისა და კოტანგენსისთვის: 
შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცველი განტოლებების ამოხსნის ფორმულები:
ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები
ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნა შედგება ორი ეტაპისგან:
- გამოყენება უმარტივესად გადასაყვანად;
- ამოხსენით მიღებული მარტივი განტოლება ფესვებისა და ცხრილების ზემოთ მოცემული ფორმულების გამოყენებით.
განვიხილოთ გადაწყვეტის ძირითადი მეთოდები მაგალითების გამოყენებით.
ალგებრული მეთოდი.
ამ მეთოდით ხდება ცვლადის ჩანაცვლება და მისი თანასწორობით ჩანაცვლება.
მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
გააკეთეთ ჩანაცვლება: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, შემდეგ `2y^2-3y+1=0`,
ვპოულობთ ფესვებს: `y_1=1, y_2=1/2`, საიდანაც მოდის ორი შემთხვევა:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
პასუხი: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
ფაქტორიზაცია.
მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `sin x+cos x=1`.
გამოსავალი. გადაიტანეთ მარცხნივ ტოლობის ყველა პირობა: `sin x+cos x-1=0`. გამოყენებით, ჩვენ გარდაქმნით და ვანაწილებთ მარცხენა მხარეს:
`sin x - 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
პასუხი: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
შემცირება ერთგვაროვან განტოლებამდე
პირველ რიგში, თქვენ უნდა მიიყვანოთ ეს ტრიგონომეტრიული განტოლება ორიდან ერთ-ერთ ფორმამდე:
`a sin x+b cos x=0` (პირველი ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლება) ან `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (მეორე ხარისხის ჰომოგენური განტოლება).
შემდეგ გაყავით ორივე ნაწილი `cos x \ne 0` პირველი შემთხვევისთვის და `cos^2 x \ne 0` მეორეზე. ვიღებთ `tg x`-ის განტოლებებს: `a tg x+b=0` და `a tg^2 x + b tg x +c =0`, რომლებიც უნდა ამოხსნას ცნობილი მეთოდების გამოყენებით.
მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
გამოსავალი. მოდით დავწეროთ მარჯვენა მხარე, როგორც `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.
ეს არის მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი ტრიგონომეტრიული განტოლება, რომელიც ყოფს მის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს `cos^2 x \ne 0`-ზე, მივიღებთ:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x - 2=0`. შემოვიღოთ ჩანაცვლება `tg x=t`, შედეგად `t^2 + t - 2=0`. ამ განტოლების ფესვებია `t_1=-2` და `t_2=1`. შემდეგ:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \Z-ში`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-ში`.
უპასუხე. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \ Z-ში`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \Z-ში`.
გადადით ნახევარ კუთხეში
მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
გამოსავალი. ორმაგი კუთხის ფორმულების გამოყენებით, შედეგი არის: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2 =` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`
ზემოაღნიშნულის გამოყენება ალგებრული მეთოდი, ვიღებთ:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \Z-ში`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \Z-ში`.
უპასუხე. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \ Z-ში`.
დამხმარე კუთხის დანერგვა
ტრიგონომეტრიულ განტოლებაში `a sin x + b cos x =c`, სადაც a,b,c არის კოეფიციენტები და x არის ცვლადი, ორივე ნაწილს ვყოფთ `sqrt (a^2+b^2)`-ზე:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 +b^2))`.
მარცხენა მხარეს კოეფიციენტებს აქვთ სინუსის და კოსინუსის თვისებები, კერძოდ, მათი კვადრატების ჯამი 1-ის ტოლია და მათი მოდული არ არის 1-ზე მეტი. აღნიშნეთ ისინი შემდეგნაირად: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C, მაშინ:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი:
მაგალითი. ამოხსენით განტოლება: `3 sin x+4 cos x=2`.
გამოსავალი. განტოლების ორივე მხარის გაყოფით `sqrt (3^2+4^2)`-ზე მივიღებთ:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
აღნიშნეთ `3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi`. ვინაიდან `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, ჩვენ ვიღებთ `\varphi=arcsin 4/5` როგორც დამხმარე კუთხე. შემდეგ ჩვენ ვწერთ ჩვენს თანასწორობას ფორმაში:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
სინუსისთვის კუთხეების ჯამის ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ვწერთ ჩვენს ტოლობას შემდეგი ფორმით:
`sin(x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
უპასუხე. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
წილად-რაციონალური ტრიგონომეტრიული განტოლებები
ეს არის წილადების ტოლობები, რომელთა მრიცხველებსა და მნიშვნელებში არის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.
მაგალითი. ამოხსენით განტოლება. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
გამოსავალი. გაამრავლეთ და გაყავით განტოლების მარჯვენა მხარე `(1+cos x)`-ზე. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
იმის გათვალისწინებით, რომ მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს ნული, მივიღებთ `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
წილადის მრიცხველი გავაიგივოთ ნულთან: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. შემდეგ `sin x=0` ან `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
იმის გათვალისწინებით, რომ `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, ამონახსნები არის `x=2\pi n, n \in Z` და `x=\pi /2+2\pi n` , `n \ Z-ში`.
უპასუხე. `x=2\pi n`, `n \ Z-ში`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \ Z-ში`.
ტრიგონომეტრია და კერძოდ ტრიგონომეტრიული განტოლებები გამოიყენება გეომეტრიის, ფიზიკისა და ინჟინერიის თითქმის ყველა სფეროში. სწავლა იწყება მე-10 კლასში, გამოცდაზე ყოველთვის არის დავალებები, ამიტომ შეეცადეთ დაიმახსოვროთ ყველა ფორმულა ტრიგონომეტრიული განტოლებები- აუცილებლად გამოგადგებათ!
თუმცა, თქვენ არც კი გჭირდებათ მათი დამახსოვრება, მთავარია გაიგოთ არსი და შეძლოთ დასკვნა. ეს არც ისე რთულია, როგორც ჩანს. თავად ნახეთ ვიდეოს ყურებით.
სავალდებულო მინიმალური ცოდნა
sin x \u003d a, -1 a 1 (a 1)x = arcsin a + 2 n, n Z
x = - arcsin a + 2 n, n Z
ან
x = (- 1)k arcsin a + k, k Z
arcsin (- ა) = - arcsin a
sin x = 1
x = /2 + 2 k, k Z
sin x = 0
x = k, kZ
sin x = - 1
x = - /2 + 2 k, k Z
წ
წ
x
წ
x
x
სავალდებულო მინიმალური ცოდნა
cos x = a, -1 a 1 (a 1)x = arccos a + 2 n, n Z
arccos (- ა) = - arccos a
cos x = 1
x = 2 k, k Z
cos x = 0
x = /2 + k, k Z
წ
წ
x
cos x = - 1
x = + 2 k, k Z
წ
x
x
სავალდებულო მინიმალური ცოდნა
tg x = a, a Rx = arctg a + n, n Z
ctg x = a, a R
x = arcctg a + n, n Z
arctg (- a) = - arctg ა
arctg (- a) = - arctg a განტოლების შემცირება ერთ ფუნქციამდე
ერთ არგუმენტამდე დაყვანა
გადაწყვეტის რამდენიმე მეთოდი
ტრიგონომეტრიული განტოლებები
ტრიგონომეტრიული ფორმულების გამოყენება
შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენება
ფაქტორიზაცია
შემცირება კვადრატული განტოლება sin x, cos x, tg x მიმართ
დამხმარე არგუმენტის შემოტანით
ორივე ნაწილის გაყოფით ერთგვაროვანი განტოლებაპირველი ხარისხი
(asin x +bcosx = 0) cos x-მდე
მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლების ორივე მხარის გაყოფით
(a sin2 x +bsin x cos x+ c cos2x =0) cos2 x-მდე
ზეპირი ვარჯიშები გამოთვალეთ
რკალი½რკალი (-√2/2)
arccos √3/2
arccos (-1/2)
არქტანი √3
არქტანი (-√3/3)
= /6
= - /4
= /6
= - arccos ½ = - /3 = 2 /3
= /3
= - /6
(ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით)
cos 2x \u003d ½, x [- / 2; 3/2]
2x = ± arccos ½ + 2 n, n Z
2x = ± /3 + 2n, nZ
x = ± /6 + n, n Z
ჩვენ ვირჩევთ ფესვებს ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით
პასუხი: - /6; /6; 5/6; 7/6
ფესვის შერჩევის სხვადასხვა მეთოდი
იპოვეთ განტოლების ფესვები, რომლებიც მიეკუთვნება მოცემულ ინტერვალსsin 3x \u003d √3/2, x [- /2; /2]
3x = (– 1)k /3 + k, k Z
x = (– 1)k /9 + k/3, k Z
ჩვენ ვირჩევთ ფესვებს k-ის მნიშვნელობების ჩამოთვლით:
k = 0, x = /9 - ეკუთვნის ინტერვალს
k = 1, x = - /9 + /3 = 2 /9 - ეკუთვნის ინტერვალს
k = 2, x = /9 + 2 /3 = 7 /9 - არ ეკუთვნის ინტერვალს
k = - 1, x = - /9 - /3 = - 4 /9 - ეკუთვნის ინტერვალს
k = - 2, x = /9 - 2 /3 = - 5 /9 - არ ეკუთვნის ინტერვალს
პასუხი: -4/9; /9; 2/9
ფესვის შერჩევის სხვადასხვა მეთოდი
იპოვეთ განტოლების ფესვები, რომლებიც მიეკუთვნება მოცემულ ინტერვალს(უთანასწორობის გამოყენებით)
tan 3x = - 1, x (- /2;)
3x = - /4 + n, n Z
x = - /12 + n/3, n Z
ჩვენ ვირჩევთ ფესვებს უტოლობის გამოყენებით:
– /2 < – /12 + n/3 < ,
– 1/2 < – 1/12 + n/3 < 1,
– 1/2 + 1/12 < n/3 < 1+ 1/12,
– 5/12 < n/3 < 13/12,
– 5/4 < n < 13/4, n Z,
n = – 1; 0; 1; 2; 3
n \u003d - 1, x \u003d - / 12 - / 3 \u003d - 5/12
n = 0, x = – /12
n = 1, x = - /12 + /3 = /4
n \u003d 2, x \u003d - / 12 + 2 / 3 \u003d 7 / 12
n \u003d 3, x \u003d - / 12 + \u003d 11/12
პასუხი: - 5/12; - /12; /4; 7/12; 11/12
10. ფესვის შერჩევის სხვადასხვა მეთოდი
იპოვეთ განტოლების ფესვები, რომლებიც მიეკუთვნება მოცემულ ინტერვალს(დიაგრამის გამოყენებით)
cos x = – √2/2, x [–4; 5/4]
x = arccos (– √2/2) + 2n, nZ
x = 3 /4 + 2n, nZ
მოდით ავირჩიოთ ფესვები გრაფიკის გამოყენებით:
x \u003d - / 2 - / 4 \u003d - 3 / 4; x = - - /4 = - 5 /4
პასუხი: 5/4; 3/4
11. 1. ამოხსენით განტოლება 72cosx = 49sin2x და მიუთითეთ მისი ფესვები სეგმენტზე [; 5/2]
1. ამოხსენით განტოლება 72cosx = 49sin2xდა მიუთითეთ მისი ფესვები სეგმენტზე [; 5/2]
მოდით ამოხსნათ განტოლება:
72cosx = 49sin2x,
72cosx = 72sin2x,
2cos x = 2sin 2x,
cos x – 2 sinx cosx = 0,
cosx(1 - 2sinx) = 0,
cos x = 0,
x = /2 + k, k Z
ან
1 - 2 სინქს = 0,
sin x = ½,
x = (-1)n /6 + n, n Z
მოდით შევარჩიოთ ფესვები გამოყენებით
ტრიგონომეტრიული წრე:
x = 2 + /6 = 13 /6
პასუხი:
ა) /2 + k, k Z, (-1)n /6 + n, n Z
ბ) 3/2; 5/2; 13/6
12. 2. ამოხსენით განტოლება 4cos2 x + 8 cos (x - 3/2) +1 = 0 იპოვეთ მისი ფესვები მონაკვეთზე.
2. ამოხსენით განტოლება 4cos2 x + 8 cos (x - 3/2) +1 = 0იპოვეთ მისი ფესვები სეგმენტზე
4cos2 x + 8 cos (x - 3/2) +1 = 0
4cos2x + 8 cos (3/2 - x) +1 = 0,
4cos2x - 8 sin x +1 = 0,
4 - 4sin2 x - 8sin x +1 = 0,
4sin 2x + 8sin x - 5 = 0,
D/4 = 16 + 20 = 36,
sin x = -2.5
ან
sin x = ½
x = (-1)k /6 + k, k Z
13. ჩვენ ვირჩევთ ფესვებს სეგმენტზე (გრაფიკების გამოყენებით)
ჩვენ შევარჩევთ ფესვებს სეგმენტზე(სქემების გამოყენებით)
sin x = ½
მოდით გამოვსახოთ y = sin x და y = ½ ფუნქციები
x = 4 + /6 = 25 /6
პასუხი: ა) (-1)k /6 + k, k Z; ბ) 25/6
14. 3. ამოხსენი განტოლება იპოვე მისი ფესვები მონაკვეთზე
4 - cos2 2x = 3 sin2 2x + 2 sin 4x4 (sin2 2x + cos2 2x) – cos2 2x = 3 sin2 2x + 4 sin 2x cos 2x,
sin2 2x + 3 cos2 2x – 4 sin 2x cos 2x = 0
თუ cos2 2x = 0, მაშინ sin2 2x = 0, რაც შეუძლებელია, ასე რომ
cos2 2x 0 და განტოლების ორივე მხარე შეიძლება გაიყოს cos2 2x-ზე.
tg22x + 3 – 4 tg2x = 0,
tg22x – 4tg 2x + 3= 0,
tg 2x = 1,
2x = /4 + n, n Z
x = /8 + n/2, n Z
ან
tg 2x = 3,
2x = arctg 3 + k, k Z
x \u003d ½ არქტანი 3 + k / 2, k Z
15.
4 - cos2 2x = 3 sin2 2x + 2 sin 4xx = /8 + n/2, n Z ან x = ½ არქტანი 3 + k/2, k Z
0 წლიდან< arctg 3< /2,
0 < ½ arctg 3< /4, то ½ arctg 3
არის გამოსავალი
0 წლიდან< /8 < /4 < 1,значит /8
ასევე გამოსავალია
სხვა გადაწყვეტილებები არ მოხვდება
უფსკრული მათგან
მიღებულია ½ არქტანი 3 და /8 რიცხვებიდან
/2-ის ჯერადი რიცხვების მიმატებით.
პასუხი: ა) /8 + n/2, n Z; ½ არქტანი 3 + k/2, k Z
ბ) /8; ½ არქტანი 3
16. 4. ამოხსენით განტოლება log5 (cos x - sin 2x + 25) = 2 იპოვეთ მისი ფესვები სეგმენტზე.
4. ამოხსენით განტოლება log5 (cos x - sin 2x + 25) = 2იპოვეთ მისი ფესვები სეგმენტზე
მოდით ამოხსნათ განტოლება:
log5 (cos x – sin 2x + 25) = 2
ODZ: cos x - sin 2x + 25 > 0,
cos x - sin 2x + 25 \u003d 25, 25\u003e 0,
cos x – 2sin x cos x = 0,
cos x (1 - 2sin x) = 0,
cos x = 0,
x = /2 + n, n Z
ან
1 - 2 სინქს = 0,
sin x = 1/2
x = (-1)k /6 + k, k Z
17.
მოდით განვახორციელოთ ფესვების შერჩევა სეგმენტზემოდით განვახორციელოთ ფესვების შერჩევა სეგმენტზე:
1) x = /2 + n, n Z
2/2 + n 7/2, n Z
2 1/2 + n 7/2, n Z
2 – ½ n 7/2 – ½, n Z
1.5 n 3, n Z
n = 2; 3
x = /2 + 2 = 5 /2
x = /2 + 3 = 7 /2
2) sin x = 1/2
x = 2 + /6 = 13 /6
x = 3 - /6 = 17 /6
პასუხი: ა) /2 + n, n Z ; (-1)k /6 + k, k Z
ბ) 13/6; 5/2; 7/2; 17/6
18. 5. ამოხსენით განტოლება 1/sin2x + 1/sin x = 2 იპოვეთ მისი ფესვები მონაკვეთზე [-5/2; -3/2]
5. ამოხსენით განტოლება 1/sin2x + 1/sin x = 2იპოვეთ მისი ფესვები [-5/2; -3/2]
მოდით ამოხსნათ განტოლება:
1/sin2x + 1/sinx = 2
x k
შეცვლა 1/sin x = t,
t2 + t = 2,
t2 + t – 2 = 0,
t1= – 2, t2 = 1
1/ცოდვა x = - 2,
sin x \u003d - ½,
x = - /6 + 2 n, n Z
ან
x = – 5/6 + 2n, nZ
1/ცოდვა x = 1,
sin x = 1,
x = /2 + 2n, nZ
ფესვების ეს სერია გამორიცხულია, რადგან -150º+ 360ºn დიაპაზონის გარეთ
დაყენებული ინტერვალი [-450º; -270º]
19.
ჩვენ ვაგრძელებთ ფესვების შერჩევას სეგმენტზეგანვიხილოთ ფესვების დარჩენილი სერია და აირჩიეთ ფესვები
ინტერვალზე [-5/2; -3 /2] ([-450º; -270º]):
1) x \u003d - / 6 + 2 n, n Z
2) x = /2 + 2n, n Z
-5 /2 - /6 + 2 n -3 /2, n Z
-5 /2 /2 + 2 n -3 /2, n Z
-5/2 -1/6 + 2n -3/2, n Z
-5/2 1/2 + 2n -3/2, n Z
-5/2 +1/6 2n -3/2 + 1/6, n Z
-5/2 - 1/2 2n -3/2 - 1/2, n Z
– 7/3 2n -4/3, n Z
– 3 2n -2, n Z
-7/6 n -2/3, n Z
-1,5 n -1, n Z
n=-1
n=-1
x = - /6 - 2 = -13 /6 (-390º)
x = /2 - 2 = -3 /2 (-270º)
პასუხი: ა) / 2 + 2 n, n Z; (-1)k+1 /6 + k, k Z
ბ) -13/6; -3/2
20. 6. ამოხსენით განტოლება |sin x|/sin x + 2 = 2cos x იპოვეთ მისი ფესვები [-1; 8]
მოდი ამოვხსნათ განტოლება|sinx|/sinx + 2 = 2cosx
1)თუ sin x >0, მაშინ |sin x| =sin x
განტოლება მიიღებს ფორმას:
2 cosx=3,
cos x \u003d 1.5 - არ აქვს ფესვები
2) თუ ცოდვა x<0, то |sin x| =-sin x
და განტოლება მიიღებს ფორმას
2cosx=1, cosx=1/2,
x = ±π/3 +2πk, k Z
იმის გათვალისწინებით, რომ ცოდვა x< 0, то
დარჩა ერთი პასუხის ნაკრები
x = - π/3 +2πk, k Z
მოდით გავაკეთოთ ფესვების შერჩევა
სეგმენტი [-1; 8]
k=0, x= - π/3 , - π< -3, - π/3 < -1,
-π/3 ამას არ ეკუთვნის
სეგმენტი
k=1, x = - π/3 +2π = 5π/3<8,
5 პი/3 [-1; 8]
k=2, x= - π/3 + 4π = 11π/3 > 8,
11π/3 არ ეკუთვნის ამას
სეგმენტი.
პასუხი: ა) - π/3 +2πk, k Z
ბ) 5
π/3
21. 7. ამოხსენით განტოლება 4sin3x=3cos(x- π/2) იპოვეთ მისი ფესვები ინტერვალზე.
8. ამოხსენით განტოლება √1-sin2x= sin xიპოვეთ მისი ფესვები ინტერვალში
ამოხსნათ განტოლება √1-sin2x= sin x.
sin x ≥ 0,
1-sin2x=sin2x;
sin x ≥ 0,
2sin2x = 1;
sinx≥0,
sin x =√2/2; sin x = - √2/2;
sin x =√2/2
x=(-1)k /4 + k, k Z
sin x =√2/2
25. განვახორციელოთ ფესვების შერჩევა სეგმენტზე
მოდით განვახორციელოთ ფესვების შერჩევა სეგმენტზეx=(-1)k /4 + k, k Z
sin x =√2/2
y=sin x და y=√2/2
5 /2 + /4 = 11 /4
პასუხი: ა) (-1)k /4 + k, k Z ;b) 11 /4
26. 9. ამოხსენით განტოლება (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0 იპოვეთ მისი ფესვები ინტერვალში [-5; -7/2]
9. ამოხსენით განტოლება (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0იპოვეთ მისი ფესვები ინტერვალში [-5; -7 /2]
მოდი ამოვხსნათ განტოლება
(sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0.
1) ODZ: cos x<0 ,
/2 +2n
2 sinx∙cos x + 2 sin2x =0,
sin x (cos x + sin x) = 0,
sin x=0, x= n, n Z
ან
cos x+ sin x=0 | : cosx,
tg x= -1, x= - /4 + n, n Z
ODZ-ის გათვალისწინებით
x= n, n Z, x= +2 n, n Z;
x= - /4 + n, n Z,
x= 3 /4 + 2n, nZ
27. ამოირჩიეთ ფესვები მოცემულ სეგმენტზე
ავიღოთ ფესვები მოცემულზესეგმენტი [-5; -7 /2]
x= +2 n, n Z;
-5 ≤ +2 n ≤ -7 /2,
-5-1 ≤ 2n ≤ -7/2-1,
-3≤ n ≤ -9/4, n Z
n=-3, x=-6=-5
x= 3 /4 + 2n, nZ
-5 ≤ 3 /4 + 2n ≤ -7 /2
-23/8 ≤ n ≤ -17/8, ასეთი არ არის
მთელი რიცხვი n.
პასუხი: ა) +2 n, n Z;
3/4 + 2n, n Z;
ბ) -5.
28. 10. ამოხსენით განტოლება 2sin2x =4cos x –sinx+1 იპოვეთ მისი ფესვები ინტერვალში [/2; 3/2]
10. ამოხსენით განტოლება 2sin2x \u003d 4cos x -sinx + 1იპოვეთ მისი ფესვები ინტერვალზე [ /2; 3/2]
მოდი ამოვხსნათ განტოლება
2sin2x = 4cosx - sinx+1
2sin2x \u003d 4cos x - sinx + 1,
4 sinx∙cos x - 4cos x + sin x -1 = 0,
4cos x(sin x - 1) + (sin x - 1) = 0,
(sin x – 1)(4cos x +1)=0,
sin x – 1= 0, sin x = 1, x = /2+2 n, n Z
ან
4cos x +1= 0, cos x = -0.25
x = ±(-arccos(0.25)) + 2n,nZ
ამ განტოლების ფესვებს სხვანაირად ვწერთ
x = - arccos(0.25) + 2n,
x = -(- arccos(0.25)) + 2n, n Z
29. შეარჩიეთ ფესვები წრის გამოყენებით
x = /2+2 n, n Z, x = /2;x = -arccos(0.25)+2n,
x \u003d - (-arccos (0.25)) +2 n, n Z,
x = - arccos (0.25),
x = + arccos (0.25)
პასუხი: ა) /2+2n,
-arccos(0.25)+2n,
-(-arccos(0,25)) +2 n, n Z;
ბ) /2;
- arccos (0.25); + arccos (0.25)
დავალება #1
ლოგიკა მარტივია: ჩვენ გავაკეთებთ ისე, როგორც ადრე, მიუხედავად იმისა, რომ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს ახლა უფრო რთული არგუმენტი აქვთ!
თუ გადავჭრით ფორმის განტოლებას:
შემდეგ ჩვენ დავწერდით შემდეგ პასუხს:
ან (იმიტომ)
მაგრამ ახლა ჩვენ ვთამაშობთ შემდეგ გამონათქვამს:
მაშინ შეგიძლია დაწერო:
ჩვენი მიზანი თქვენთან არის ის, რომ მარცხნივ დადგეთ მარტივად, ყოველგვარი "მინარევების" გარეშე!
მოვიშოროთ ისინი!
პირველ რიგში, ამოიღეთ მნიშვნელი: ამისათვის გაამრავლეთ ჩვენი ტოლობა:
ახლა ჩვენ მოვიშორებთ მასზე ორივე ნაწილის გაყოფით:
ახლა რვა დავაღწიოთ:
შედეგად მიღებული გამონათქვამი შეიძლება დაიწეროს ამონახსნების 2 სერიის სახით (ანალოგიით კვადრატული განტოლებით, სადაც ვამატებთ ან ვაკლებთ დისკრიმინანტს)
ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ყველაზე დიდი უარყოფითი ფესვი! გასაგებია, რომ საჭიროა დალაგება.
ჯერ პირველ სერიას გადავხედოთ:
გასაგებია, რომ თუ ავიღებთ, შედეგად მივიღებთ დადებით ციფრებს, მაგრამ არ გვაინტერესებს.
ასე რომ, ეს ნეგატიურად უნდა იქნას მიღებული. დაე იყოს.
როდესაც ფესვი უკვე იქნება:
და ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ყველაზე დიდი ნეგატივი!! ასე რომ, აქ უარყოფითი მიმართულებით წასვლას აზრი აღარ აქვს. და ამ სერიის ყველაზე დიდი უარყოფითი ფესვი ტოლი იქნება.
ახლა განიხილეთ მეორე სერია:
და ისევ ვცვლით: , შემდეგ:
Არ არის დაინტერესებული!
მერე გაზრდას აზრი აღარ აქვს! შევამციროთ! მოდით მაშინ:
ჯდება!
დაე იყოს. მერე
მაშინ - ყველაზე დიდი უარყოფითი ფესვი!
პასუხი:
დავალება #2
ისევ, ჩვენ ვხსნით რთული კოსინუსების არგუმენტის მიუხედავად:
ახლა ჩვენ კვლავ გამოვხატავთ მარცხნივ:
გავამრავლოთ ორივე მხარე
გაყავით ორივე მხარე
რჩება მხოლოდ მისი გადატანა მარჯვნივ, მისი ნიშნის შეცვლა მინუსიდან პლუსზე.
ჩვენ კვლავ ვიღებთ ფესვების 2 სერიას, ერთი და მეორე.
ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ყველაზე დიდი უარყოფითი ფესვი. განვიხილოთ პირველი სერია:
ცხადია, რომ ჩვენ მივიღებთ პირველ უარყოფით ფესვს, ის ტოლი იქნება და იქნება ყველაზე დიდი უარყოფითი ფესვი 1 სერიაში.
მეორე სერიისთვის
პირველი უარყოფითი ფესვი ასევე მიიღება და ტოლი იქნება. ვინაიდან, მაშინ არის განტოლების ყველაზე დიდი უარყოფითი ფესვი.
პასუხი: .
დავალება #3
ჩვენ ვწყვეტთ, მიუხედავად ტანგენსის რთული არგუმენტისა.
როგორც ჩანს, ეს არაფერია რთული, არა?
როგორც ადრე, ჩვენ გამოვხატავთ მარცხენა მხარეს:
კარგია, ზოგადად ფესვების მხოლოდ ერთი სერიაა! ისევ იპოვნეთ ყველაზე დიდი უარყოფითი.
გასაგებია რომ გამოდის თუ დავაყენებთ . და ეს ფესვი ტოლია.
პასუხი:
ახლა შეეცადეთ დამოუკიდებლად მოაგვაროთ შემდეგი პრობლემები.
საშინაო დავალება ან 3 დავალება დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.
- რე-ში-ტე განტოლება.
- რე-ში-ტე განტოლება.
from-ve-te on-pi-shi-te-ში ყველაზე პატარა in-lo-zhi-tel-ny ფესვი. - რე-ში-ტე განტოლება.
from-ve-te on-pi-shi-te-ში ყველაზე პატარა in-lo-zhi-tel-ny ფესვი.
მზადაა? ჩვენ ვამოწმებთ. მე დეტალურად არ აღვწერ გადაწყვეტის მთელ ალგორითმს, მეჩვენება, რომ მასზე უკვე საკმარისი ყურადღება დაეთმო ზემოთ.
ისე, ყველაფერი რიგზეა? ოჰ, ეს საზიზღარი სინუსები, მათთან ყოველთვის არის რაღაც პრობლემები!
ახლა თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებები!
შეამოწმეთ გადაწყვეტილებები და პასუხები:
დავალება #1
ექსპრესი
უმცირესი დადებითი ფესვი მიიღება თუ დავაყენებთ, მას შემდეგ
პასუხი:
დავალება #2
ყველაზე პატარა დადებითი ფესვი მიიღება ზე.
ის თანაბარი იქნება.
პასუხი: .
დავალება #3
როცა მივიღებთ, როცა გვაქვს.
პასუხი: .
ეს ცოდნა დაგეხმარებათ გადაჭრათ ბევრი პრობლემა, რომელიც გამოცდაზე შეგხვდებათ.
თუ თქვენ განაცხადებთ რეიტინგს "5", მაშინ უბრალოდ უნდა გააგრძელოთ სტატიის კითხვა საშუალო დონე,რომელიც დაეთმობა უფრო რთული ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნას (ამოცანა C1).
საშუალო დონე
ამ სტატიაში მე აღვწერ უფრო რთული ტიპის ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნადა როგორ შევარჩიოთ მათი ფესვები. აქ ყურადღებას გავამახვილებ შემდეგ თემებზე:
- ტრიგონომეტრიული განტოლებები შესვლის დონისთვის (იხ. ზემოთ).
უფრო რთული ტრიგონომეტრიული განტოლებები არის გაზრდილი სირთულის ამოცანების საფუძველი. ისინი საჭიროებენ როგორც თავად განტოლების გადაჭრას ზოგადი ფორმით, ასევე ამ განტოლების ფესვების პოვნას, რომლებიც მიეკუთვნება გარკვეულ ინტერვალს.
ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამონახვა მცირდება ორ ქვეამოცანამდე:
- განტოლების ამოხსნა
- ფესვის შერჩევა
უნდა აღინიშნოს, რომ მეორე ყოველთვის არ არის საჭირო, მაგრამ მაინც უმეტეს მაგალითებში საჭიროა შერჩევის გაკეთება. და თუ ეს არ არის საჭირო, მაშინ შეგიძლიათ საკმაოდ თანაუგრძნოთ - ეს ნიშნავს, რომ განტოლება თავისთავად საკმაოდ რთულია.
ჩემი გამოცდილება C1 ამოცანების ანალიზთან დაკავშირებით აჩვენებს, რომ ისინი ჩვეულებრივ იყოფა შემდეგ კატეგორიებად.
გაზრდილი სირთულის ამოცანების ოთხი კატეგორია (ყოფილი C1)
- განტოლებები, რომლებიც მცირდება ფაქტორიზაციამდე.
- განტოლებები, რომლებიც მცირდება ფორმამდე.
- ცვლადის ცვლილებით ამოხსნილი განტოლებები.
- განტოლებები, რომლებიც საჭიროებენ ფესვების დამატებით შერჩევას ირაციონალურობის ან მნიშვნელის გამო.
მარტივად რომ ვთქვათ: თუ მიიღებთ პირველი სამი ტიპის განტოლებიდან ერთ-ერთიმაშინ ჩათვალე თავი იღბლიანი. მათთვის, როგორც წესი, დამატებით საჭიროა გარკვეული ინტერვალის კუთვნილი ფესვების შერჩევა.
თუ თქვენ წააწყდებით მე-4 ტიპის განტოლებას, მაშინ ნაკლებად გაგიმართლათ: საჭიროა უფრო დიდხანს და ფრთხილად მოეპყროთ მას, მაგრამ საკმაოდ ხშირად ეს არ საჭიროებს ფესვების დამატებით შერჩევას. მიუხედავად ამისა, ამ ტიპის განტოლებებს გავაანალიზებ შემდეგ სტატიაში და ამ ერთს მივუძღვნი პირველი სამი ტიპის განტოლებების ამოხსნას.
ფაქტორირებამდე შემცირების განტოლებები
ყველაზე მნიშვნელოვანი, რაც უნდა გახსოვდეთ ამ ტიპის განტოლებების ამოსახსნელად არის
როგორც პრაქტიკა გვიჩვენებს, როგორც წესი, ეს ცოდნა საკმარისია. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:
მაგალითი 1. განტოლება, რომელიც მცირდება ფაქტორიზაციამდე შემცირების ფორმულების და ორმაგი კუთხის სინუსის გამოყენებით
- რე-ში-ტე განტოლება
- იპოვეთ ამ განტოლების ყველა ფესვი
აქ, როგორც დავპირდი, კასტინგის ფორმულები მუშაობს:
მაშინ ჩემი განტოლება ასე გამოიყურება:
მაშინ ჩემი განტოლება მიიღებს შემდეგ ფორმას:
შორსმჭვრეტელმა სტუდენტმა შეიძლება თქვას: ახლა კი ორივე ნაწილს შევამცირებ, მივიღებ უმარტივეს განტოლებას და დატკბი ცხოვრებით! და ის მწარედ შეცდება!
| გახსოვდეთ: არასოდეს შეამციროთ ტრიგონომეტრიული განტოლების ორივე ნაწილი უცნობის შემცველი ფუნქციისთვის! ამ გზით, თქვენ დაკარგავთ ფესვს! |
ასე რომ, რა უნდა გააკეთოს? დიახ, ყველაფერი მარტივია, გადაიტანეთ ყველაფერი ერთი მიმართულებით და ამოიღეთ საერთო ფაქტორი:
კარგად, ჩვენ გავაანალიზეთ, ჰოო! ახლა ჩვენ გადავწყვიტეთ:
პირველ განტოლებას აქვს ფესვები:
და მეორე:
ამით სრულდება პრობლემის პირველი ნაწილი. ახლა ჩვენ უნდა ავირჩიოთ ფესვები:
უფსკრული ასეთია:
ან შეიძლება ასეც დაიწეროს:
აბა, ავიღოთ ფესვები:
პირველ რიგში, მოდით ვიმუშაოთ პირველ სერიასთან (და ეს უფრო ადვილია, რბილად რომ ვთქვათ!)
ვინაიდან ჩვენი შუალედი მთლიანად უარყოფითია, არ არის საჭირო არაუარყოფითიების აღება, ისინი მაინც იძლევიან არაუარყოფით ფესვებს.
ავიღოთ, მერე - ცოტა, არ უხდება.
მოდით, მაშინ - ისევ არ მოხვდა.
კიდევ ერთი ცდა - მერე - აი, დაარტყი! ნაპოვნია პირველი ფესვი!
ისევ ვესროლე: მერე - ისევ დაარტყი!
აბა, კიდევ ერთხელ: - ეს უკვე რეისია.
ასე რომ პირველი სერიიდან 2 ძირი ეკუთვნის ინტერვალს: .
ჩვენ ვმუშაობთ მეორე სერიაზე (ვაშენებთ ძალაუფლებას წესის მიხედვით):
Undershoot!
ისევ დაკარგული!
ისევ დეფიციტი!
Გავიგე!
Ფრენა!
ამრიგად, შემდეგი ფესვები ეკუთვნის ჩემს სპანს:
ამ ალგორითმს გამოვიყენებთ ყველა სხვა მაგალითის ამოსახსნელად. ერთად ვივარჯიშოთ კიდევ ერთი მაგალითი.
მაგალითი 2. განტოლება, რომელიც მცირდება ფაქტორიზაციამდე შემცირების ფორმულების გამოყენებით
- ამოხსენით განტოლება
გამოსავალი:
ისევ ცნობილი მსახიობის ფორმულები:
კიდევ ერთხელ, ნუ ეცდებით გაჭრას!
პირველ განტოლებას აქვს ფესვები:
და მეორე:
ახლა ისევ ფესვების ძებნა.
მეორე სერიით დავიწყებ, წინა მაგალითიდან უკვე ყველაფერი ვიცი ამის შესახებ! შეხედეთ და დარწმუნდით, რომ უფსკრულის ფესვები შემდეგია:
ახლა პირველი სერია და უფრო მარტივია:
თუ - შესაფერისი
თუ - ასევე კარგი
თუ - უკვე ფრენა.
შემდეგ ფესვები იქნება:
დამოუკიდებელი მუშაობა. 3 განტოლება.
კარგად, გესმით ტექნიკა? ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა ასე რთული აღარ ჩანს? შემდეგ სწრაფად მოაგვარეთ შემდეგი პრობლემები და შემდეგ მე და თქვენ მოვაგვარებთ სხვა მაგალითებს:
- ამოხსენით განტოლება
იპოვეთ ამ განტოლების ყველა ფესვი, რომელიც მიმაგრებულია უფსკრულით. - რე-ში-ტე განტოლება
მიუთითეთ განტოლების ფესვები, რომლებიც მიმაგრებულია ჭრილზე - რე-ში-ტე განტოლება
იპოვე-დი-ის ამ განტოლების ყველა ფესვი, at-ზემოთ-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.
განტოლება 1
და ისევ ჩამოსხმის ფორმულა:
ფესვების პირველი სერია:
ფესვების მეორე სერია:
ჩვენ ვიწყებთ შერჩევას ინტერვალისთვის
პასუხი: ,.
განტოლება 2 დამოუკიდებელი მუშაობის შემოწმება.
საკმაოდ რთული დაჯგუფება ფაქტორებად (გამოვიყენებ ორმაგი კუთხის სინუსების ფორმულას):
მაშინ ან
ეს არის ზოგადი გამოსავალი. ახლა ჩვენ უნდა ავიღოთ ფესვები. უბედურება ის არის, რომ ჩვენ ვერ ვიტყვით იმ კუთხის ზუსტ მნიშვნელობას, რომლის კოსინუსი უდრის მეოთხედს. მაშასადამე, არ შემიძლია უბრალოდ არკოზინის მოშორება - ასეთი უსიამოვნოა!
რაც შემიძლია გავაკეთო არის იმის გარკვევა, რომ მას შემდეგ.
შევადგინოთ ცხრილი: ინტერვალი:
ისე, მტკივნეული ძიების შედეგად მივედით იმედგაცრუებულ დასკვნამდე, რომ ჩვენს განტოლებას აქვს ერთი ფესვი მითითებულ ინტერვალზე: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi
განტოლება 3. დამოუკიდებელი მუშაობის შემოწმება.
საშინელი განტოლება. თუმცა, ის საკმაოდ მარტივად წყდება ორმაგი კუთხის სინუსის ფორმულის გამოყენებით:
შევამციროთ 2-ით:
პირველ ტერმინს ვაჯგუფებთ მეორესთან და მესამეს მეოთხესთან და ვიღებთ საერთო ფაქტორებს:
ნათელია, რომ პირველ განტოლებას არ აქვს ფესვები და ახლა განვიხილოთ მეორე:
ზოგადად, ცოტა მოგვიანებით ვაპირებდი ასეთი განტოლებების ამოხსნას, მაგრამ რადგან აღმოჩნდა, არაფერი იყო გასაკეთებელი, უნდა გადავწყვიტოთ ...
ფორმის განტოლებები:
ეს განტოლება წყდება ორივე მხარის გაყოფით:
ამრიგად, ჩვენს განტოლებას აქვს ფესვების ერთი სერია:
თქვენ უნდა იპოვოთ ისინი, რომლებიც ეკუთვნის ინტერვალს: .
მოდი ისევ ავაშენოთ მაგიდა, როგორც ადრე გავაკეთე:
პასუხი:.
განტოლებები, რომლებიც მცირდება ფორმამდე:
კარგი, ახლა დროა გადავიდეთ განტოლებების მეორე ნაწილზე, მით უმეტეს, რომ მე უკვე გავარკვიე, რისგან შედგება ახალი ტიპის ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამონახსნი. მაგრამ ზედმეტი არ იქნება გავიმეორო, რომ ფორმის განტოლება
ის წყდება ორივე ნაწილის კოსინუსზე გაყოფით:
- რე-ში-ტე განტოლება
მიუთითეთ განტოლების ფესვები, რომლებიც მიმაგრებულია კვეთაზე. - რე-ში-ტე განტოლება
მიუთითეთ განტოლების ფესვები, at-ზემოთ-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.
მაგალითი 1
პირველი საკმაოდ მარტივია. გადადით მარჯვნივ და გამოიყენეთ ორმაგი კუთხის კოსინუსის ფორმულა:
აჰა! ტიპის განტოლება: . ორივე ნაწილად ვყოფ
ჩვენ ვაკეთებთ ფესვების ელიმინაციას:
უფსკრული:
პასუხი:
მაგალითი 2
ყველაფერი ასევე საკმაოდ ტრივიალურია: მოდით გავხსნათ ფრჩხილები მარჯვნივ:
ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტურობა:
ორმაგი კუთხის სინუსი:
საბოლოოდ მივიღებთ:
ფესვების სკრინინგი: უფსკრული.
პასუხი:.
აბა, როგორ მოგწონთ ტექნიკა, არ არის ძალიან რთული? იმედი მაქვს არა. ჩვენ შეგვიძლია დაუყოვნებლივ გავაკეთოთ დათქმა: მისი სუფთა სახით, განტოლებები, რომლებიც დაუყოვნებლივ მცირდება ტანგენტის განტოლებამდე, საკმაოდ იშვიათია. როგორც წესი, ეს გადასვლა (კოსინუსზე დაყოფა) უფრო დიდი პრობლემის მხოლოდ ნაწილია. აქ არის მაგალითი, რომ ივარჯიშოთ:
- რე-ში-ტე განტოლება
- იპოვე-დი-ის ამ განტოლების ყველა ფესვი, at-bove-le-zha-schie from-cut.
მოდით შევამოწმოთ:
განტოლება წყდება მაშინვე, საკმარისია ორივე ნაწილი გავყოთ:
ფესვების გაცრილი:
პასუხი:.
ასეა თუ ისე, ჩვენ ჯერ არ შეგვხვედრია ისეთი განტოლებები, როგორიც ახლა განვიხილეთ. თუმცა, ჩვენთვის ჯერ კიდევ ნაადრევია შეფუთვა: არის განტოლების კიდევ ერთი „ფენა“, რომელიც ჩვენ არ გავაანალიზეთ. Ისე:
ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა ცვლადის ცვლილებით
აქ ყველაფერი გამჭვირვალეა: ჩვენ კარგად ვუყურებთ განტოლებას, ვამარტივებთ მას მაქსიმალურად, ვაკეთებთ ჩანაცვლებას, ვხსნით, ვაკეთებთ შებრუნებულ ჩანაცვლებას! სიტყვებით, ყველაფერი ძალიან მარტივია. ვნახოთ მოქმედებაში:
მაგალითი.
- ამოხსენით განტოლება: .
- იპოვე-დი-ის ამ განტოლების ყველა ფესვი, at-bove-le-zha-schie from-cut.
კარგად, აქ ჩანაცვლება თავად გვთავაზობს ჩვენს ხელში!
მაშინ ჩვენი განტოლება ხდება ეს:
პირველ განტოლებას აქვს ფესვები:
და მეორე ასეთია:
ახლა ვიპოვოთ ფესვები, რომლებიც ეკუთვნის ინტერვალს
პასუხი:.
მოდით შევხედოთ ოდნავ უფრო რთულ მაგალითს ერთად:
- რე-ში-ტე განტოლება
- მიუთითეთ მოცემული განტოლების ფესვები, at-ზემოთ-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.
აქ ჩანაცვლება დაუყოვნებლივ არ ჩანს, უფრო მეტიც, ეს არც ისე აშკარაა. ჯერ ვიფიქროთ: რა შეგვიძლია გავაკეთოთ?
ჩვენ შეგვიძლია, მაგალითად, წარმოვიდგინოთ
და ამავე დროს
მაშინ ჩემი განტოლება ხდება:
ახლა კი ყურადღება, ფოკუსირება:
მოდით გავყოთ განტოლების ორივე მხარე:
უცებ მე და შენ მივიღეთ კვადრატული განტოლება! მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება, შემდეგ მივიღებთ:
განტოლებას აქვს შემდეგი ფესვები:
ფესვების უსიამოვნო მეორე სერია, მაგრამ გასაკეთებელი არაფერია! ინტერვალზე ვაკეთებთ ფესვების შერჩევას.
ისიც უნდა გავითვალისწინოთ
მას შემდეგ
პასუხი:
კონსოლიდაციისთვის, სანამ პრობლემებს თავად მოაგვარებთ, აქ არის კიდევ ერთი სავარჯიშო თქვენთვის:
- რე-ში-ტე განტოლება
- იპოვე-დი-ის ამ განტოლების ყველა ფესვი, at-ზემოთ-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.
აქ თქვენ უნდა გაახილოთ თვალები: ჩვენ გვაქვს მნიშვნელები, რომლებიც შეიძლება იყოს ნული! ამიტომ, თქვენ უნდა იყოთ განსაკუთრებით ყურადღებიანი ფესვების მიმართ!
უპირველეს ყოვლისა, მე მჭირდება განტოლების გარდაქმნა, რათა შევძლო შესაბამისი ჩანაცვლება. ახლა ვერაფერზე უკეთესს ვერ მოვიფიქრებ, ვიდრე ტანგენტის გადაწერა სინუსსა და კოსინუსში:
ახლა მე გადავალ კოსინუსიდან სინუსზე ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის მიხედვით:
და ბოლოს, მე მივიყვან ყველაფერს საერთო მნიშვნელთან:
ახლა შემიძლია გადავიდე განტოლებაზე:
მაგრამ at (ანუ at).
ახლა ყველაფერი მზად არის ჩანაცვლებისთვის:
მერე ან
თუმცა, გაითვალისწინეთ, რომ თუ, მაშინ ამავე დროს!
ვინ იტანჯება ამით? უბედურება არის ტანგენსში, ის არ არის განსაზღვრული, როდესაც კოსინუსი არის ნულოვანი (გაყოფა ხდება ნულზე).
ასე რომ, განტოლების ფესვებია:
ახლა ჩვენ გამოვყოფთ ფესვებს ინტერვალში:
| - შეესაბამება | |
| - ძებნა |
ამრიგად, ჩვენს განტოლებას აქვს ერთი ფესვი ინტერვალზე და ის ტოლია.
ხედავთ: მნიშვნელის გამოჩენა (ისევე, როგორც ტანგენსი, იწვევს გარკვეულ სირთულეებს ფესვებთან! აქ უფრო ფრთხილად უნდა იყოთ!).
ისე, მე და შენ თითქმის დავასრულეთ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ანალიზი, ძალიან ცოტა დარჩა - ორი ამოცანის გადაჭრა დამოუკიდებლად. აი ისინი.
- ამოხსენით განტოლება
იპოვე-დი-ის ამ განტოლების ყველა ფესვი, at-bove-le-zha-schie from-cut. - რე-ში-ტე განტოლება
მიუთითეთ ამ განტოლების ფესვები, რომლებიც მიმაგრებულია ჭრილზე.
გადაწყვიტა? არ არის ძალიან რთული? მოდით შევამოწმოთ:
- ჩვენ ვმუშაობთ შემცირების ფორმულების მიხედვით:
ჩვენ ვცვლით განტოლებაში:
მოდით გადავიწეროთ ყველაფერი კოსინუსების მიხედვით, რათა უფრო მოსახერხებელი იყოს ჩანაცვლება:
ახლა ადვილია ჩანაცვლება:
გასაგებია, რომ ეს არის უცხო ფესვი, რადგან განტოლებას არ აქვს ამონახსნები. შემდეგ:
ჩვენ ვეძებთ ფესვებს, რომლებიც გვჭირდება ინტერვალზე
პასუხი:.
აქ ჩანაცვლება დაუყოვნებლივ ჩანს:მერე ან
- შეესაბამება! - შეესაბამება! - შეესაბამება! - შეესაბამება! - ბევრი! - ასევე ბევრი! პასუხი:
აბა, ახლა ყველაფერი! მაგრამ ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა ამით არ მთავრდება, ჩვენ უკან დავტოვეთ ყველაზე რთული შემთხვევები: როდესაც განტოლებებში არის ირაციონალურობა ან სხვადასხვა სახის „კომპლექსური მნიშვნელები“. როგორ მოვაგვაროთ ასეთი ამოცანები, განვიხილავთ სტატიაში მოწინავე დონისთვის.
გაფართოებული დონე
წინა ორ სტატიაში განხილული ტრიგონომეტრიული განტოლების გარდა, განვიხილავთ განტოლებების კიდევ ერთ კლასს, რომელიც მოითხოვს კიდევ უფრო ფრთხილად ანალიზს. ეს ტრიგონომეტრიული მაგალითები შეიცავს ან ირაციონალურობას ან მნიშვნელს, რაც ართულებს მათ ანალიზს.. თუმცა, თქვენ შეიძლება შეხვდეთ ამ განტოლებებს საგამოცდო ნაშრომის C ნაწილში. თუმცა, არსებობს ვერცხლის ხაზი: ასეთი განტოლებისთვის, როგორც წესი, აღარ დგება საკითხი, თუ რომელი ფესვი ეკუთვნის მოცემულ ინტერვალს. მოდი, არ ვიაროთ ბუჩქის გარშემო, არამედ მხოლოდ ტრიგონომეტრიული მაგალითები.
მაგალითი 1
ამოხსენით განტოლება და იპოვეთ ის ფესვები, რომლებიც მიეკუთვნება სეგმენტს.
გამოსავალი:
ჩვენ გვაქვს მნიშვნელი, რომელიც არ უნდა იყოს ნულის ტოლი! მაშინ ამ განტოლების ამოხსნა იგივეა, რაც სისტემის ამოხსნა
მოდით ამოხსნათ თითოეული განტოლება:
და ახლა მეორე:
ახლა გადავხედოთ სერიას:
გასაგებია, რომ ვარიანტი არ ჯდება, რადგან ამ შემთხვევაში მნიშვნელი დაყენებულია ნულზე (იხ. მეორე განტოლების ფესვების ფორმულა)
თუ - მაშინ ყველაფერი რიგზეა და მნიშვნელი არ არის ნულის ტოლი! მაშინ განტოლების ფესვებია: , .
ახლა ჩვენ ვირჩევთ ინტერვალის კუთვნილ ფესვებს.
| - არაშესაფერისი | - შეესაბამება | |
| - შეესაბამება | - შეესაბამება | |
| ჩამონათვალი | ჩამონათვალი |
შემდეგ ფესვებია:
ხედავთ, მნიშვნელის სახით მცირე ჩარევის გამოჩენამაც კი მნიშვნელოვნად იმოქმედა განტოლების ამოხსნაზე: ჩვენ გავაუქმეთ ფესვების სერია, რომლებიც ანულირებენ მნიშვნელს. ყველაფერი შეიძლება კიდევ უფრო გართულდეს, თუ წააწყდებით ტრიგონომეტრიულ მაგალითებს, რომლებსაც აქვთ ირაციონალურობა.
მაგალითი 2
ამოხსენით განტოლება:
გამოსავალი:
ყოველ შემთხვევაში, თქვენ არ გჭირდებათ ფესვების შერჩევა და ეს კარგია! ჯერ განტოლება გადავწყვიტოთ, ირაციონალურობის მიუხედავად:
და რა, სულ ეს არის? არა, სამწუხაროდ, ეს ძალიან ადვილი იქნებოდა! უნდა გვახსოვდეს, რომ მხოლოდ არაუარყოფითი რიცხვები შეიძლება დადგეს ფესვის ქვეშ. შემდეგ:
ამ უთანასწორობის გამოსავალი:
ახლა რჩება იმის გარკვევა, თუ პირველი განტოლების ფესვების ნაწილი უნებურად არ მოხვდა ისეთ ადგილას, სადაც უტოლობა არ არის დაცული.
ამისათვის შეგიძლიათ კვლავ გამოიყენოთ ცხრილი:
| : , მაგრამ | არა! | |
| დიახ! | ||
| დიახ! |
ამგვარად, ერთ-ერთი ფესვი "გამივარდა"! თუ დააყენებთ თურმე . მაშინ პასუხი შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
პასუხი:
ხედავთ, ფესვი კიდევ უფრო მეტ ყურადღებას მოითხოვს! მოდით გავართულოთ: მოდით, ახლა მაქვს ტრიგონომეტრიული ფუნქცია ფესვის ქვეშ.
მაგალითი 3
როგორც ადრე: ჯერ თითოეულს ცალ-ცალკე მოვაგვარებთ და მერე ვიფიქრებთ რა გავაკეთეთ.
ახლა მეორე განტოლება:
ახლა ყველაზე რთულია იმის გარკვევა, მიიღება თუ არა უარყოფითი მნიშვნელობები არითმეტიკული ფესვის ქვეშ, თუ ჩვენ შევცვლით ფესვებს იქ პირველი განტოლებიდან:
რიცხვი უნდა გავიგოთ, როგორც რადიანები. ვინაიდან რადიანი დაახლოებით გრადუსია, რადიანები დაახლოებით გრადუსია. ეს არის მეორე მეოთხედის კუთხე. რა არის მეორე მეოთხედის კოსინუსის ნიშანი? მინუს. რაც შეეხება სინუსს? პლუს. რაც შეეხება გამონათქვამს:
ნულზე ნაკლებია!
ასე რომ - არ არის განტოლების ფესვი.
ახლა შემობრუნდი.
მოდით შევადაროთ ეს რიცხვი ნულს.
კოტანგენსი არის ფუნქცია, რომელიც მცირდება 1 მეოთხედში (რაც უფრო მცირეა არგუმენტი, მით მეტია კოტანგენსი). რადიანები დაახლოებით გრადუსია. Ამავე დროს
მას შემდეგ და ამიტომ
,
პასუხი:.
შეიძლება კიდევ უფრო რთული იყოს? გთხოვთ! უფრო რთული იქნება, თუ ფესვი კვლავ ტრიგონომეტრიული ფუნქციაა, ხოლო განტოლების მეორე ნაწილი ისევ ტრიგონომეტრიული ფუნქციაა.
რაც უფრო მეტი ტრიგონომეტრიული მაგალითებია მით უკეთესი, იხილეთ შემდგომ:
მაგალითი 4
ფესვი არ არის შესაფერისი, შეზღუდული კოსინუსის გამო
ახლა მეორე:
ამავდროულად, ფესვის განმარტებით:
უნდა გვახსოვდეს ერთეული წრე: კერძოდ, ის მეოთხედები, სადაც სინუსი ნულზე ნაკლებია. რა არის ეს კვარტლები? მესამე და მეოთხე. მაშინ ჩვენ დავინტერესდებით პირველი განტოლების ის ამონახსნები, რომლებიც დევს მესამე ან მეოთხე კვადრატში.
პირველი სერია იძლევა ფესვებს, რომლებიც დევს მესამე და მეოთხე მეოთხედის კვეთაზე. მეორე სერია მის დიამეტრალურად საპირისპიროა და წარმოშობს პირველი და მეორე კვარტლის საზღვარზე დაყრილ ფესვებს. ამიტომ ეს სერია არ გვიწყობს.
პასუხი:,
Და ისევ ტრიგონომეტრიული მაგალითები "რთული ირაციონალურობით". არა მხოლოდ ჩვენ კვლავ გვაქვს ტრიგონომეტრიული ფუნქცია ფესვის ქვეშ, არამედ ახლა ის ასევე არის მნიშვნელში!
მაგალითი 5
კარგი, გასაკეთებელი არაფერია - ჩვენ ისე ვიქცევით, როგორც ადრე.
ახლა ჩვენ ვმუშაობთ მნიშვნელთან:
მე არ მსურს ტრიგონომეტრიული უტოლობის ამოხსნა და ამიტომ ამას რთულად გავაკეთებ: ავიღებ და ჩავანაცვლებ ჩემი ფესვების სერიას უტოლობაში:
თუ არის თანაბარი, მაშინ გვაქვს:
ვინაიდან, მაშინ ხედვის ყველა კუთხე მეოთხე მეოთხედშია. და ისევ წმინდა კითხვა: რა არის სინუსის ნიშანი მეოთხე მეოთხედში? უარყოფითი. შემდეგ უთანასწორობა
თუ უცნაურია, მაშინ:
რომელ მეოთხედშია კუთხე? ეს მეორე მეოთხედის კუთხეა. შემდეგ ყველა კუთხე ისევ მეორე მეოთხედის კუთხეა. სინუსი დადებითია. მხოლოდ ის, რაც გჭირდებათ! ასე რომ, სერია არის:
ჯდება!
ჩვენ ვახდენთ ფესვების მეორე სერიას ანალოგიურად:
ჩაანაცვლეთ ჩვენს უთანასწორობაში:
თუ თანაბარია, მაშინ
პირველი მეოთხედის კუთხეები. იქ სინუსი დადებითია, ამიტომ სერია შესაფერისია. ახლა თუ უცნაურია, მაშინ:
ჯდება ძალიან!
აბა, ახლა ჩვენ ვწერთ პასუხს!
პასუხი:
ისე, ეს ალბათ ყველაზე შრომატევადი შემთხვევა იყო. ახლა მე გთავაზობთ ამოცანებს დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.
ტრენინგი
- ამოხსენით და იპოვეთ განტოლების ყველა ფესვი, რომელიც ეკუთვნის სეგმენტს.
გადაწყვეტილებები:
პირველი განტოლება:
ან
Root ODZ:მეორე განტოლება:
ფესვების შერჩევა, რომლებიც მიეკუთვნება ინტერვალს
პასუხი:
ან
ან
მაგრამ
განვიხილოთ: . თუ თანაბარია, მაშინ
- არ ერგება!
თუ - კენტი, : - შეესაბამება!
ასე რომ, ჩვენს განტოლებას აქვს ფესვების შემდეგი სერია:
ან
ფესვების შერჩევა ინტერვალზე:
| - არაშესაფერისი | - შეესაბამება | |
| - შეესაბამება | - ბევრი | |
| - შეესაბამება | ბევრი |
პასუხი: ,.
ან
მას შემდეგ, როცა ტანგენსი არ არის განსაზღვრული. დაუყოვნებლივ გააუქმეთ ფესვების ეს სერია!
Მეორე ნაწილი:
ამავე დროს, ODZ მოითხოვს ამას
ჩვენ ვამოწმებთ პირველ განტოლებაში ნაპოვნი ფესვებს:
თუ მოაწერე:
პირველი მეოთხედის კუთხეები, სადაც ტანგენსი დადებითია. Არაშესაფერისი!
თუ მოაწერე:
მეოთხე მეოთხედი კუთხე. იქ ტანგენსი უარყოფითია. ჯდება. დაწერე პასუხი:
პასუხი: ,.
ჩვენ ამ სტატიაში ერთად დავშალეთ რთული ტრიგონომეტრიული მაგალითები, მაგრამ თქვენ თავად უნდა შეძლოთ განტოლებების ამოხსნა.
შემაჯამებელი და ძირითადი ფორმულა
ტრიგონომეტრიული განტოლება არის განტოლება, რომელშიც უცნობი არის მკაცრად ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ნიშნის ქვეშ.
ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ორი გზა არსებობს:
პირველი გზა არის ფორმულების გამოყენება.
მეორე გზა არის ტრიგონომეტრიული წრის გავლით.
საშუალებას გაძლევთ გაზომოთ კუთხეები, იპოვოთ მათი სინუსები, კოსინუსები და სხვა.
ა)ამოხსენით განტოლება 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.
ბ) \left[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \მარჯვნივ].
გადაწყვეტის ჩვენებაგამოსავალი
ა)ფრჩხილების გახსნით და ყველა წევრის მარცხენა მხარეს გადაადგილებით მივიღებთ განტოლებას 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. იმის გათვალისწინებით, რომ \cos x \neq 0, ტერმინი 2 \sin x შეიძლება შეიცვალოს 2 tg x \cos x-ით, მივიღებთ განტოლებას 1+2 tan x \cos x-2 \cos x-tg x=0,რომელიც დაჯგუფებით შეიძლება შემცირდეს ფორმამდე (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.
1) 1-tgx=0, tanx=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;
2) 1-2 \cos x=0, \cosx=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.
ბ)რიცხვითი წრის დახმარებით ვირჩევთ ინტერვალის კუთვნილ ფესვებს \left[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \მარჯვნივ].
x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi)4,
x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi)3,
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi)3.
უპასუხე
ა) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;
ბ) \frac(5\pi)3, \frac(7\pi)3, \frac(9\pi)4.
მდგომარეობა
ა)ამოხსენით განტოლება (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0.
ბ)მიუთითეთ ამ განტოლების ფესვები, რომლებიც მიეკუთვნება ინტერვალს \left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ;
გადაწყვეტის ჩვენებაგამოსავალი
ა) ODZ: \begin(cases) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(შემთხვევები)
ორიგინალური განტოლება ODZ-ზე არის განტოლებათა სიმრავლის ექვივალენტური
\left[\!\!\begin(მასივი)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end(მასივი)\მარჯვნივ.
მოდით ამოხსნათ პირველი განტოლება. ამისათვის ჩვენ შევცვლით \cos 4x=t, t \in [-1; 1].შემდეგ \sin^24x=1-t^2. ჩვენ ვიღებთ:
2(1-t^2)-3t=0,
2t^2+3t-2=0,
t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\არა [-1; 1].
\cos4x=\frac12,
4x=\pm \frac\pi 3+2\pi n,
x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.
ამოხსნათ მეორე განტოლება.
tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.
ერთეული წრის გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ გადაწყვეტილებებს, რომლებიც აკმაყოფილებს ODZ-ს.
ნიშანი „+“ აღნიშნავს 1-ლ და მე-3 მეოთხედებს, რომლებშიც tg x>0.
ვიღებთ: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.
ბ)ვიპოვოთ ინტერვალის კუთვნილი ფესვები \left(0;\,\frac(3\pi)2\მარჯვნივ].
.png)
x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi)(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi)(12); x=\frac(17\pi)(12).
უპასუხე
ა) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.
ბ) \pi; \frac\pi(12); \frac(5\pi)(12); \frac(13\pi )(12); \frac(17\pi )(12).
წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.
მდგომარეობა
ა)ამოხსენით განტოლება: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;
ბ)მიუთითეთ ყველა ფესვი, რომელიც ეკუთვნის ინტერვალს \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi)2\მარჯვნივ].
გადაწყვეტის ჩვენებაგამოსავალი
ა)იმიტომ რომ \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6,რომ \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6,მაშასადამე, მოცემული განტოლება ექვივალენტურია განტოლების \cos^2x=\cos ^22x, რომელიც, თავის მხრივ, უდრის განტოლებას \cos^2x-\cos ^2 2x=0.
მაგრამ \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x)და
\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, ასე რომ განტოლება ხდება
(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,
(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.
მაშინ ან 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0 ან 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.
პირველი განტოლების ამოხსნით, როგორც კვადრატული განტოლება \cos x-ისთვის, მივიღებთ:
(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4.ამიტომ, ან \cos x=1 ან \cosx=-\frac12.თუ \cos x=1, მაშინ x=2k\pi , k \in \mathbb Z. თუ \cosx=-\frac12,რომ x=\pm \frac(2\pi)3+2s\pi, s \in \mathbb Z.
ანალოგიურად, მეორე განტოლების ამოხსნისას მივიღებთ ან \cos x=-1, ან \cosx=\frac12.თუ \cos x=-1, მაშინ ფესვები x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z.თუ \cosx=\frac12,რომ x=\pm \frac\pi 3+2n\pi, n \in \mathbb Z.
გავაერთიანოთ მიღებული გადაწყვეტილებები:
x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi, s \in \mathbb Z.
ბ)ჩვენ ვირჩევთ ფესვებს, რომლებიც ხვდება მოცემულ ინტერვალში რიცხვითი წრის გამოყენებით.
ჩვენ ვიღებთ: x_1 =\frac(11\pi)3, x_2=4\pi, x_3 =\frac(13\pi)3.
უპასუხე
ა) m\pi, m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;
ბ) \frac(11\pi)3, 4\pi, \frac(13\pi)3.
წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.
მდგომარეობა
ა)ამოხსენით განტოლება 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi)2-x\right) )(1+tgx).
ბ)მიუთითეთ ამ განტოლების ფესვები, რომლებიც მიეკუთვნება ინტერვალს \left(-2\pi ; -\frac(3\pi)2\მარჯვნივ.
გადაწყვეტის ჩვენებაგამოსავალი
ა) 1. შემცირების ფორმულის მიხედვით, ctg\left(\frac(3\pi)2-x\right) =tgx.განტოლების დომენი იქნება x მნიშვნელობები ისეთი, რომ \cos x \neq 0 და tg x \neq -1. ჩვენ გარდაქმნით განტოლებას ორმაგი კუთხის კოსინუსური ფორმულის გამოყენებით 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x.ჩვენ ვიღებთ განტოლებას: 5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx).
შეამჩნია, რომ \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx),ასე რომ, განტოლება ხდება: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx).აქედან \cosx=\frac(\dfrac65)(1+tgx), \cosx+\sinx=\frac65.
2. გარდაქმენით \sin x+\cos x შემცირების ფორმულისა და კოსინუსების ჯამის ფორმულის გამოყენებით: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\მარჯვნივ), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\მარჯვნივ)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65.
აქედან \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5.ნიშნავს, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,
ან x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.
Ამიტომაც x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,
ან x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.
x-ის ნაპოვნი მნიშვნელობები განეკუთვნება განმარტების დომენს.
ბ)ჯერ გავარკვიოთ, სად ეცემა განტოლების ფესვები k=0 და t=0. ეს იქნება შესაბამისად რიცხვები a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5და b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.
1. დავამტკიცოთ დამხმარე უტოლობა:
\frac(\sqrt 2)(2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.
მართლაც, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.
გაითვალისწინეთ ისიც \left(\frac(3\sqrt 2)5\right) ^2=\frac(18)(25)<1^2=1, ნიშნავს \frac(3\sqrt 2)5<1.
2. უთანასწორობიდან (1) არკოზინის თვისებით ვიღებთ:
arccos 1 0 აქედან \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,
0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,
0 ანალოგიურად, -\frac\pi 4 0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5<
0 k=-1 და t=-1 ვიღებთ a-2\pi და b-2\pi განტოლების ფესვებს. \Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg).სადაც -2\pi 2\pi k და t-ის სხვა მნიშვნელობებისთვის, განტოლების ფესვები არ მიეკუთვნება მოცემულ ინტერვალს. მართლაც, თუ k\geqslant 1 და t\geqslant 1, მაშინ ფესვები მეტია 2\pi-ზე. თუ k\leqslant -2 და t\leqslant -2, მაშინ ფესვები ნაკლებია -\frac(7\pi)2. ა) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z; ბ) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5. წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა. ა)ამოხსენით განტოლება \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x). ბ)იპოვეთ ამ განტოლების ყველა ფესვი, რომელიც ეკუთვნის ინტერვალს; ა)გადავცვალოთ განტოლება: \cosx=-\sin 2x, \cos x+2 \sin x \cos x=0, \cos x(1+2\sin x)=0, \cosx=0, x =\frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; 1+2\sinx=0, \sinx=-\frac12, x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z. ბ)ჩვენ ვპოულობთ სეგმენტის კუთვნილ ფესვებს ერთეული წრის გამოყენებით. მითითებული ინტერვალი შეიცავს ერთ რიცხვს \frac\pi 2. ა) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z; ბ) \frac\pi 2. წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა. ნიშნავს, \sin x \neq 1. გაყავით განტოლების ორივე მხარე ფაქტორზე (\sinx-1),განსხვავდება ნულიდან. ჩვენ ვიღებთ განტოლებას \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)),ან განტოლება 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x).შემცირების ფორმულის გამოყენებით მარცხენა მხარეს და შემცირების ფორმულის მარჯვენა მხარეს, ვიღებთ განტოლებას 2 \cos ^2 x=1-\cos x.ეს არის განტოლება ჩანაცვლების გამოყენებით \cosx=t,სად -1 \leqslant t \leqslant 1კვადრატამდე შემცირება: 2t^2+t-1=0,რომლის ფესვები t_1=-1და t_2=\frac12.დავუბრუნდეთ x ცვლადს, მივიღებთ \cos x = \frac12ან \cosx=-1,სადაც x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \ in \ mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z. ბ)უტოლობების ამოხსნა 1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi)3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2, 2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,) 3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2, 1)
-\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi)3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2, -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2მ \leqslant -\frac56, -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12). \მარცხენა [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\მარჯვნივ]. 2)
-\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12, -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12). არ არსებობს მთელი რიცხვები, რომლებიც მიეკუთვნება ინტერვალს \left[-\frac7(12) ; -\frac1(12)\right]. 3)
-\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi)2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34. ეს უტოლობა აკმაყოფილებს k=-1, შემდეგ x=-\pi. ა) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, მ, n, k \in \mathbb Z; ბ) -\pi. ამ სტატიაში შევეცდები აგიხსნათ 2 გზა ფესვების აღება ტრიგონომეტრიულ განტოლებაში: უტოლობების გამოყენებით და ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით. მოდით გადავიდეთ ნათელ მაგალითზე და გავარკვიოთ, როგორც მივდივართ. ა) ამოხსენით განტოლება sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x) მოვაგვაროთ ა. ჩვენ ვიყენებთ შემცირების ფორმულას სინუს სინუსისთვის (Pi/2+x) = cos(x) Sqrt(2)cos^2x = cosx Sqrt(2)cos^2x - cosx = 0 Cosx(sqrt(2)cosx - 1) = 0 X1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z Sqrt(2)cos - 1 = 0 cox = 1/sqrt(2) კოქსი = sqrt(2)/2 X2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z X2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z გადავწყვიტოთ ბ წერტილი. 1) ფესვების შერჩევა უტოლობების გამოყენებით აქ ყველაფერი კეთდება უბრალოდ, ჩვენ ვცვლით მიღებულ ფესვებს ჩვენთვის მოცემულ ინტერვალში [-7Pi / 2; -2Pi], იპოვნეთ n-ის მთელი მნიშვნელობები. 7Pi/2 არის Pi/2-ზე ნაკლები ან ტოლი + პინი არის -2Pi-ზე ნაკლები ან ტოლი დაუყოვნებლივ გაყავით ყველაფერი პიზე 7/2 ნაკლები ან ტოლი 1/2 + n ნაკლები ან ტოლი -2 7/2 - 1/2 ნაკლები ან ტოლი n-ზე ნაკლები ან ტოლი -2 - 1/2 4-ით ნაკლები ან ტოლი n-ზე ნაკლები ან ტოლი -5/2-ის n მთელი რიცხვები ამ უფსკრულის არის -4 და -3. ამრიგად, ამ ინტერვალის კუთვნილი ფესვები იქნება Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2 ანალოგიურად, ჩვენ ვაკეთებთ კიდევ ორ უტოლობას 7Pi/2 არის Pi/4-ზე ნაკლები ან ტოლი + 2Pin ნაკლებია ან ტოლია -2Pi-ზე ამ ინტერვალში არ არის მთელი რიცხვები n 7Pi/2 ნაკლები ან ტოლი -Pi/4 + 2Pin ნაკლები ან ტოლი -2Pi ერთი მთელი რიცხვი n ამ ხარვეზში არის -1. ასე რომ, არჩეული ფესვი ამ ინტერვალზე არის -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4. ასე რომ, პასუხი ბ პუნქტში: -7Pi / 2, -5Pi / 2, -9Pi / 4 2) ფესვების შერჩევა ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით ამ მეთოდის გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა გესმოდეთ, როგორ მუშაობს ეს წრე. შევეცდები მარტივი სიტყვებით ავხსნა, როგორ მესმის. ვფიქრობ, სკოლებში ალგებრის გაკვეთილებზე ეს თემა არაერთხელ იყო ახსნილი მასწავლებლის ჭკვიანური სიტყვებით, სახელმძღვანელოებში არის რთული ფორმულირებები. პირადად მე მესმის ეს, როგორც წრე, რომლის გარშემოც შეიძლება უსასრულო რაოდენობის სიარული, ეს აიხსნება იმით, რომ სინუს და კოსინუს ფუნქციები პერიოდულია. მოდით ვიაროთ საათის ისრის საწინააღმდეგოდ იარეთ 2-ჯერ საათის ისრის საწინააღმდეგოდ იარეთ 1 ჯერ საათის ისრის მიმართულებით (მნიშვნელობები უარყოფითი იქნება) დავუბრუნდეთ ჩვენს კითხვას, უნდა ავირჩიოთ ფესვები ინტერვალზე [-7Pi/2; -2Pi] -7Pi / 2 და -2Pi ნომრებზე მისასვლელად, თქვენ უნდა გაიაროთ წრე საათის ისრის საწინააღმდეგოდ ორჯერ. იმისათვის, რომ ვიპოვოთ განტოლების ფესვები ამ ინტერვალზე, საჭიროა შეფასება და ჩანაცვლება. განვიხილოთ x = Pi/2 + Pin. რა არის n-ის მიახლოებითი მნიშვნელობა იმისთვის, რომ x იყოს სადღაც ამ დიაპაზონში? ჩვენ ვცვლით, ვთქვათ -2, მივიღებთ Pi / 2 - 2Pi = -3Pi / 2, ცხადია, ეს არ შედის ჩვენს დიაპაზონში, ამიტომ ვიღებთ -3-ზე ნაკლებს, Pi / 2 - 3Pi = -5Pi / 2, ეს შესაფერისია, მოდით ვცადოთ სხვა -4, Pi/2 - 4Pi = -7Pi/2, ასევე შესაფერისი. ანალოგიურად ვიკამათებთ Pi/4 + 2Pin და -Pi/4 + 2Pin, ჩვენ ვპოულობთ სხვა ფესვს -9Pi/4. ორი მეთოდის შედარება. პირველი მეთოდი (უტოლობების გამოყენება) ბევრად უფრო საიმედო და ბევრად უფრო ადვილი გასაგებია, მაგრამ თუ ნამდვილად სერიოზულად გესმით ტრიგონომეტრიული წრე და მეორე შერჩევის მეთოდი, მაშინ ფესვის შერჩევა ბევრად უფრო სწრაფი იქნება, შეგიძლიათ დაზოგოთ გამოცდაზე დაახლოებით 15 წუთი.უპასუხე
მდგომარეობა
გამოსავალი
უპასუხე
მდგომარეობა
არ შედის ODZ-ში. უპასუხე
ბ) იპოვეთ ამ განტოლების ყველა ფესვი, რომელიც ეკუთვნის [-7Pi/2; -2Pi]
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
-15/8 ნაკლები ან ტოლი n-ზე ნაკლები ან ტოლი -9/8
-13/8 ნაკლები ან ტოლი n-ზე ნაკლები ან ტოლი -7/8
