მათემატიკური მოლოდინის მაგალითები. მათემატიკური მოლოდინი არის შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილება. მათემატიკური მოლოდინის გამოყენება ფორექსში
მათემატიკური მოლოდინი (საშუალო მნიშვნელობა) შემთხვევითი ცვლადიდისკრეტულ ალბათობათა სივრცეზე მოცემულ X-ს ეწოდება რიცხვი m =M[X]=∑x i p i, თუ რიგი აბსოლიტურად იყრის თავს.
მომსახურების მიზანი. ონლაინ სერვისის გამოყენებით გამოითვლება მოსალოდნელი ღირებულება, ვარიაცია და სტანდარტული გადახრა(იხ. მაგალითი). გარდა ამისა, გამოსახულია F(X) განაწილების ფუნქციის გრაფიკი.
შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინის თვისებები
- მუდმივი მნიშვნელობის მათემატიკური მოლოდინი უდრის თავის თავს: M[C]=C, C – მუდმივი;
- M=C M[X]
- შემთხვევითი ცვლადების ჯამის მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ჯამს: M=M[X]+M[Y]
- დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ნამრავლის მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ნამრავლს: M=M[X] M[Y] , თუ X და Y დამოუკიდებელია.
დისპერსიული თვისებები
- მუდმივი მნიშვნელობის ვარიაცია არის ნული: D(c)=0.
- მუდმივი კოეფიციენტი შეიძლება ამოღებულ იქნას დისპერსიული ნიშნის ქვეშ მისი კვადრატში: D(k*X)= k 2 D(X).
- თუ შემთხვევითი ცვლადები X და Y დამოუკიდებელია, მაშინ ჯამის დისპერსია უდრის ვარიაციების ჯამს: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- თუ შემთხვევითი ცვლადები X და Y არიან დამოკიდებული: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- შემდეგი გამოთვლითი ფორმულა მოქმედებს დისპერსიისთვის:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
მაგალითი. ცნობილია ორი დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადის X და Y მათემატიკური მოლოდინი და ვარიაციები: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. იპოვეთ Z=9X-8Y+7 შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და ვარიაცია.
გამოსავალი. მათემატიკური მოლოდინის თვისებებზე დაყრდნობით: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
დისპერსიის თვისებებზე დაყრდნობით: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
მათემატიკური მოლოდინის გამოთვლის ალგორითმი
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების თვისებები: მათი ყველა მნიშვნელობის გადანომრვა შესაძლებელია ნატურალური რიცხვები; თითოეულ მნიშვნელობას მიანიჭეთ არანულოვანი ალბათობა.- წყვილებს ვამრავლებთ სათითაოდ: x i p i-ზე.
- დაამატეთ თითოეული წყვილის ნამრავლი x i p i.
მაგალითად, n = 4-ისთვის: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
მაგალითი No1.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
მათემატიკურ მოლოდინს ვპოულობთ m = ∑x i p i ფორმულის გამოყენებით.
მოლოდინი M[X].
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
ჩვენ ვპოულობთ დისპერსიას d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 ფორმულის გამოყენებით.
ვარიაცია D[X].
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
სტანდარტული გადახრა σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78
მაგალითი No2. დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადს აქვს შემდეგი განაწილების სერიები:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| რ | ა | 0,32 | 2ა | 0,41 | 0,03 |
გამოსავალი. a-ს მნიშვნელობა იპოვება მიმართებიდან: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 ან 0,24 = 3 a , საიდანაც a = 0,08
მაგალითი No3. დაადგინეთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი, თუ მისი დისპერსია ცნობილია და x 1
p 1 =0.3; p 2 =0.3; p 3 =0.1; p 4 = 0.3
d(x)=12.96
გამოსავალი.
აქ თქვენ უნდა შექმნათ ფორმულა d(x) დისპერსიის საპოვნელად:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
სადაც მოლოდინი m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
ჩვენი მონაცემებისთვის
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
ან -9/100 (x 2 -20x+96)=0
შესაბამისად, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ განტოლების ფესვები და იქნება ორი მათგანი.
x 3 =8, x 3 =12
აირჩიეთ ის, რომელიც აკმაყოფილებს x1 პირობას
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0.3; p 2 =0.3; p 3 =0.1; p 4 = 0.3
გამოსავალი:
6.1.2 მათემატიკური მოლოდინის თვისებები
1. მუდმივი მნიშვნელობის მათემატიკური მოლოდინი ტოლია თავად მუდმივის.
2. მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას მათემატიკური მოლოდინის ნიშნად. 
3. ორი დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადის ნამრავლის მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ნამრავლს.
ეს თვისება მართალია შემთხვევითი ცვლადების თვითნებური რაოდენობისთვის.
4. ორი შემთხვევითი ცვლადის ჯამის მათემატიკური მოლოდინი უდრის ტერმინების მათემატიკური მოლოდინების ჯამს.
ეს თვისება ასევე შეესაბამება შემთხვევითი ცვლადების თვითნებურ რაოდენობას.
მაგალითი: M(X) = 5, ᲩᲔᲛᲘ)= 2. იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი ზ, მათემატიკური მოლოდინის თვისებების გამოყენება, თუ ცნობილია, რომ Z=2X+3Y.
გამოსავალი: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =
1) ჯამის მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათემატიკური მოლოდინების ჯამს
2) მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას მათემატიკური მოლოდინის ნიშნიდან
მოდით ჩატარდეს n დამოუკიდებელი ცდა, A მოვლენის დადგომის ალბათობა, რომელშიც უდრის p. მაშინ მოქმედებს შემდეგი თეორემა:
თეორემა. A მოვლენის შემთხვევების რაოდენობის მათემატიკური მოლოდინი M(X) n დამოუკიდებელ ცდაში ტოლია ცდების რაოდენობისა და თითოეულ ცდაში მოვლენის დადგომის ალბათობის ნამრავლის.
6.1.3 დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია
მათემატიკური მოლოდინი სრულად ვერ ახასიათებს შემთხვევით პროცესს. მათემატიკური მოლოდინის გარდა, აუცილებელია შეიყვანოთ მნიშვნელობა, რომელიც ახასიათებს შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების მათემატიკური მოლოდინიდან გადახრას.
ეს გადახრა უდრის შემთხვევით ცვლადსა და მის მათემატიკურ მოლოდინს შორის სხვაობას. ამ შემთხვევაში, გადახრის მათემატიკური მოლოდინი ნულის ტოლია. ეს აიხსნება იმით, რომ ზოგიერთი შესაძლო გადახრები დადებითია, სხვები უარყოფითი და მათი ურთიერთ გაუქმების შედეგად მიიღება ნული.
დისპერსია (გაფანტვა)დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის არის მათემატიკური მოლოდინი შემთხვევითი ცვლადის კვადრატული გადახრის მათემატიკური მოლოდინისაგან.
პრაქტიკაში, დისპერსიის გამოთვლის ეს მეთოდი მოუხერხებელია, რადგან იწვევს უხერხულ გამოთვლებს შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების დიდი რაოდენობით.
ამიტომ, სხვა მეთოდი გამოიყენება.
თეორემა. ვარიაცია უდრის სხვაობას X შემთხვევითი ცვლადის კვადრატის მათემატიკური მოლოდინისა და მის მათემატიკური მოლოდინის კვადრატს შორის.
მტკიცებულება. იმის გათვალისწინებით, რომ მათემატიკური მოლოდინი M(X) და მათემატიკური მოლოდინის კვადრატი M2(X) მუდმივი სიდიდეებია, შეგვიძლია დავწეროთ:
მაგალითი. იპოვეთ განაწილების კანონით მოცემული დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია.
| X | ||||
| X 2 | ||||
| რ | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
გამოსავალი:.
6.1.4 დისპერსიული თვისებები
1. მუდმივი მნიშვნელობის ვარიაცია არის ნული. .
2. მუდმივი ფაქტორის ამოღება შესაძლებელია დისპერსიის ნიშნიდან მისი კვადრატში. 
.
3. ორი დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადის ჯამის დისპერსია უდრის ამ ცვლადების ვარიაციების ჯამს. .
4. ორ დამოუკიდებელ შემთხვევით ცვლადს შორის სხვაობის დისპერსია უდრის ამ ცვლადების ვარიაციების ჯამს. .
თეორემა. A მოვლენის შემთხვევების რაოდენობის ვარიაცია n დამოუკიდებელ ცდაში, რომელთაგან თითოეულში მოვლენის დადგომის p ალბათობა მუდმივია, ტოლია ცდების რაოდენობის ნამრავლის დადგომის ალბათობით და არა. მოვლენის შემთხვევა ყოველ სასამართლო პროცესზე.
მაგალითი: იპოვეთ DSV X-ის ვარიაცია - A მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა 2 დამოუკიდებელ ცდაში, თუ ამ ცდებში მოვლენის დადგომის ალბათობა იგივეა და ცნობილია, რომ M(X) = 1.2.
მოდით გამოვიყენოთ თეორემა 6.1.2 ნაწილიდან:
M(X) = np
M(X) = 1,2; ნ= 2. ვიპოვოთ გვ:
1,2 = 2∙გვ
გვ = 1,2/2
ქ = 1 – გვ = 1 – 0,6 = 0,4
მოდით ვიპოვოთ განსხვავება ფორმულის გამოყენებით:
D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48
6.1.5 დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის სტანდარტული გადახრა
Სტანდარტული გადახრაშემთხვევითი ცვლადი X ეწოდება დისპერსიის კვადრატულ ფესვს.
(25)
თეორემა. ორმხრივად დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების სასრული რაოდენობის ჯამის სტანდარტული გადახრა უდრის ამ ცვლადების სტანდარტული გადახრების კვადრატების ჯამის კვადრატულ ფესვს.
6.1.6 დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის რეჟიმი და მედიანა
მოდა M o DSVშემთხვევითი ცვლადის ყველაზე სავარაუდო მნიშვნელობა ეწოდება (ე.ი. მნიშვნელობა, რომელსაც აქვს ყველაზე მაღალი ალბათობა)
მედიანა M e DSVარის შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობა, რომელიც ყოფს განაწილების სერიას შუაზე. თუ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების რაოდენობა ლუწია, მაშინ მედიანა მოიძებნება, როგორც ორი საშუალო მნიშვნელობის არითმეტიკული საშუალო.
მაგალითი: იპოვეთ DSV-ის რეჟიმი და მედიანა X:
| X | ||||
| გვ | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
მ ე = = 5,5
პროგრესი
1. გაეცანით ამ ნაშრომის თეორიულ ნაწილს (ლექციები, სახელმძღვანელო).
2. დაასრულეთ დავალება თქვენივე ვერსიის მიხედვით.
3. გააკეთეთ ანგარიში სამუშაოზე.
4. დაიცავით თქვენი სამუშაო.
2. სამუშაოს მიზანი.
3. სამუშაო პროგრესი.
4. საკუთარი ვარიანტის გადაჭრა.
6.4 დავალებების ვარიანტები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის
ვარიანტი #1
1. იპოვეთ განაწილების კანონით მოცემული DSV X-ის მათემატიკური მოლოდინი, დისპერსია, სტანდარტული გადახრა, რეჟიმი და მედიანა.
| X | ||||
| პ | 0.1 | 0.6 | 0.2 | 0.1 |
2. იპოვეთ Z შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, თუ ცნობილია X და Y-ის მათემატიკური მოლოდინი: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.
3. იპოვეთ DSV X-ის ვარიაცია - A მოვლენის გაჩენის რაოდენობა ორ დამოუკიდებელ ცდაში, თუ ამ ცდებში მოვლენების დადგომის ალბათობა იგივეა და ცნობილია, რომ M (X) = 1.
4. მოცემულია დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების სია X: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3= 5 და ასევე ცნობილია ამ მნიშვნელობისა და მისი კვადრატის მათემატიკური მოლოდინი: , . იპოვეთ ალბათობები , , , , , , , , შესაძლო მნიშვნელობების შესაბამისი და შეადგინეთ DSV განაწილების კანონი.
ვარიანტი No2
| X | ||||
| პ | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.4 |
2. იპოვეთ Z შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, თუ ცნობილია X და Y-ის მათემატიკური მოლოდინი: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.
3. იპოვეთ DSV X-ის ვარიაცია - A მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა სამ დამოუკიდებელ ცდაში, თუ ამ ცდებში მოვლენების დადგომის ალბათობა იგივეა და ცნობილია, რომ M (X) = 0,9.
4. მოცემულია X დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობების სია: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 4, x 4= 10 და ასევე ცნობილია ამ მნიშვნელობისა და მისი კვადრატის მათემატიკური მოლოდინი: , . იპოვეთ ალბათობები , , , , , , , , შესაძლო მნიშვნელობების შესაბამისი და შეადგინეთ DSV განაწილების კანონი.
ვარიანტი #3
1. იპოვეთ DSV X-ის მათემატიკური მოლოდინი, დისპერსია და სტანდარტული გადახრა, მოცემული განაწილების კანონით.
| X | ||||
| პ | 0.5 | 0.1 | 0.2 | 0.3 |
2. იპოვეთ Z შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, თუ ცნობილია X და Y-ის მათემატიკური მოლოდინი: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.
3. იპოვეთ DSV X-ის ვარიაცია - A მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა ოთხ დამოუკიდებელ ცდაში, თუ ამ ცდებში მოვლენების დადგომის ალბათობა იგივეა და ცნობილია, რომ M (x) = 1.2.
– ბიჭების რაოდენობა 10 ახალშობილს შორის.
სრულიად ნათელია, რომ ეს რიცხვი წინასწარ არ არის ცნობილი და მომდევნო ათი შვილი შეიძლება შეიცავდეს:
ან ბიჭები - ერთი და ერთადერთიჩამოთვლილი ვარიანტებიდან.
და ფორმაში შესანარჩუნებლად, ცოტა ფიზიკური აღზრდა:
- შორი ნახტომი (ზოგიერთ ერთეულში).
სპორტის ოსტატიც კი ვერ იწინასწარმეტყველებს :)
თუმცა, თქვენი ჰიპოთეზები?
2) უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი – იღებს ყველარიცხვითი მნიშვნელობები გარკვეული სასრული ან უსასრულო ინტერვალიდან.
შენიშვნა : აბრევიატურები DSV და NSV პოპულარულია საგანმანათლებლო ლიტერატურაში
ჯერ გავაანალიზოთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი, შემდეგ - უწყვეტი.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი
- ეს მიმოწერაამ რაოდენობის შესაძლო მნიშვნელობებსა და მათ ალბათობას შორის. ყველაზე ხშირად, კანონი იწერება ცხრილში: 
ტერმინი საკმაოდ ხშირად ჩნდება რიგი
განაწილება, მაგრამ ზოგ სიტუაციაში ორაზროვანი ჟღერს და ამიტომ „კანონს“ დავიცავ.
Და ახლა ძალიან მნიშვნელოვანი წერტილი: რადგან შემთხვევითი ცვლადი აუცილებლადმიიღებს ერთ-ერთი ღირებულება, შემდეგ შესაბამისი მოვლენების ფორმა სრული ჯგუფიდა მათი გაჩენის ალბათობათა ჯამი უდრის ერთს:
ან, თუ დაწერილია შეკუმშული:
ასე რომ, მაგალითად, კალმზე შემობრუნებული წერტილების ალბათობის განაწილების კანონს აქვს შემდეგი ფორმა: 
Უკომენტაროდ.
შეიძლება გქონდეთ შთაბეჭდილება, რომ დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადს შეუძლია მიიღოს მხოლოდ "კარგი" მთელი რიცხვი. მოდით გავფანტოთ ილუზია - ისინი შეიძლება იყოს ნებისმიერი:
მაგალითი 1
ზოგიერთ თამაშს აქვს შემდეგი მომგებიანი განაწილების კანონი: 
...ასეთ ამოცანებზე ალბათ დიდი ხანია ოცნებობთ :) საიდუმლოს გეტყვით - მეც. განსაკუთრებით სამუშაოს დასრულების შემდეგ საველე თეორია.
გამოსავალი: რადგან შემთხვევით ცვლადს შეუძლია სამი მნიშვნელობიდან მხოლოდ ერთი მიიღოს, შესაბამისი მოვლენები იქმნება სრული ჯგუფი, რაც ნიშნავს, რომ მათი ალბათობების ჯამი უდრის ერთს: 
„პარტიზანის“ გამოვლენა: 
– ამრიგად, ჩვეულებრივი ერთეულების მოგების ალბათობა არის 0,4.
კონტროლი: ეს არის ის, რაშიც უნდა დავრწმუნდეთ.
უპასუხე:
არც ისე იშვიათია, როდესაც თქვენ თავად გჭირდებათ განაწილების კანონის შედგენა. ამისთვის იყენებენ ალბათობის კლასიკური განმარტება, გამრავლების/მიმატების თეორემები მოვლენის ალბათობებისთვისდა სხვა ჩიპები ტერვერა:
მაგალითი 2
ყუთი შეიცავს 50 ლატარიის ბილეთს, რომელთა შორის 12 არის მომგებიანი, 2 მათგანი იგებს 1000 რუბლს, ხოლო დანარჩენი - 100 რუბლს. შეადგინეთ კანონი შემთხვევითი ცვლადის განაწილებისთვის - მოგების ზომა, თუ ერთი ბილეთი შემთხვევით გამოტანილია ყუთიდან.
გამოსავალი: როგორც შენიშნეთ, შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობები ჩვეულებრივ მოთავსებულია ზრდადი თანმიმდევრობით. ამიტომ, ჩვენ ვიწყებთ ყველაზე პატარა მოგებით, კერძოდ, რუბლით.
სულ ასეთი 50 ბილეთია - 12 = 38 და შესაბამისად კლასიკური განმარტება:
– ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით გათამაშებული ბილეთი წაგებული იქნება.
სხვა შემთხვევებში ყველაფერი მარტივია. რუბლის მოგების ალბათობაა:
შეამოწმეთ: – და ეს განსაკუთრებით სასიამოვნო მომენტია ასეთი ამოცანების შესასრულებლად!
უპასუხე: მოგების განაწილების სასურველი კანონი: 
შემდეგი ამოცანა თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ დამოუკიდებლად:
მაგალითი 3
ალბათობა იმისა, რომ მსროლელი მოხვდება მიზანში არის . შეადგინეთ განაწილების კანონი შემთხვევითი ცვლადისთვის - დარტყმების რაოდენობა 2 გასროლის შემდეგ.
...ვიცოდი რომ მოგენატრე :) გავიხსენოთ გამრავლებისა და შეკრების თეორემები. გამოსავალი და პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.
განაწილების კანონი სრულად აღწერს შემთხვევით ცვლადს, მაგრამ პრაქტიკაში შეიძლება იყოს სასარგებლო (და ზოგჯერ უფრო სასარგებლო) მხოლოდ ზოგიერთის ცოდნა. რიცხვითი მახასიათებლები .
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მოლოდინი
მარტივი სიტყვებით, ეს არის საშუალო მოსალოდნელი ღირებულებაროდესაც ტესტირება ბევრჯერ მეორდება. დაე, შემთხვევითმა ცვლადმა მიიღოს მნიშვნელობები ალბათობით 
შესაბამისად. მაშინ ამ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი უდრის პროდუქტების ჯამიყველა მისი მნიშვნელობა შესაბამის ალბათობამდე:
ან დაინგრა: 
მოდით, გამოვთვალოთ, მაგალითად, შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი - ქულების რაოდენობა, რომელიც დაგორდა.
ახლა გავიხსენოთ ჩვენი ჰიპოთეტური თამაში: 
ჩნდება კითხვა: საერთოდ მომგებიანია ამ თამაშის თამაში? ...ვის აქვს შთაბეჭდილებები? ასე რომ, თქვენ არ შეგიძლიათ თქვათ ეს "უაზროდ"! მაგრამ ამ კითხვაზე პასუხის გაცემა მარტივად შეიძლება მათემატიკური მოლოდინის გამოთვლით, არსებითად - საშუალო შეწონილიგამარჯვების ალბათობით:
ამრიგად, ამ თამაშის მათემატიკური მოლოდინი კარგავს.
არ ენდოთ თქვენს შთაბეჭდილებებს - ენდეთ ციფრებს!
დიახ, აქ შეგიძლიათ ზედიზედ 10 ან თუნდაც 20-30-ჯერ მოიგოთ, მაგრამ გრძელვადიან პერსპექტივაში გარდაუვალი ნგრევა გველოდება. და ასეთ თამაშებს არ გირჩევდი :) ისე, შეიძლება მხოლოდ გასართობად.
ყოველივე ზემოთქმულიდან გამომდინარეობს, რომ მათემატიკური მოლოდინი აღარ არის შემთხვევითი მნიშვნელობა.
კრეატიული დავალება დამოუკიდებელი კვლევისთვის:
მაგალითი 4
მისტერ X თამაშობს ევროპულ რულეტს შემდეგი სისტემით: ის მუდმივად დებს 100 რუბლს "წითელზე". შეადგინეთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი - მისი მოგება. გამოთვალეთ მოგების მათემატიკური მოლოდინი და დამრგვალეთ უახლოეს კაპიკამდე. Რამდენი საშუალოაგებს თუ არა მოთამაშე ფსონის ყოველი ასისთვის?
მითითება : ევროპული რულეტკა შეიცავს 18 წითელ, 18 შავ და 1 მწვანე სექტორს („ნულოვანი“). თუ "წითელი" გამოჩნდება, მოთამაშეს ეძლევა ორმაგი ფსონი, წინააღმდეგ შემთხვევაში ის მიდის კაზინოს შემოსავალზე
არსებობს მრავალი სხვა რულეტის სისტემა, რომლისთვისაც შეგიძლიათ შექმნათ თქვენი საკუთარი ალბათობის ცხრილები. მაგრამ ეს ის შემთხვევაა, როდესაც ჩვენ არ გვჭირდება განაწილების კანონები ან ცხრილები, რადგან დანამდვილებით დადგენილია, რომ მოთამაშის მათემატიკური მოლოდინი ზუსტად იგივე იქნება. ერთადერთი, რაც იცვლება სისტემიდან სისტემაში არის
განაწილების კანონი სრულად ახასიათებს შემთხვევით ცვლადს. თუმცა, ხშირად განაწილების კანონი უცნობია და ადამიანმა უნდა შემოიფარგლოს ნაკლები ინფორმაციით. ზოგჯერ უფრო მომგებიანია რიცხვების გამოყენება, რომლებიც მთლიანობაში აღწერს შემთხვევით ცვლადს; ასეთ რიცხვებს ე.წ. რიცხვითი მახასიათებლებიშემთხვევითი ცვლადი. ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი რიცხვითი მახასიათებელია მათემატიკური მოლოდინი.
მათემატიკური მოლოდინი, როგორც ქვემოთ იქნება ნაჩვენები, დაახლოებით უდრის შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობას. ბევრი პრობლემის გადასაჭრელად საკმარისია მათემატიკური მოლოდინის ცოდნა. მაგალითად, თუ ცნობილია, რომ პირველი მსროლელის მიერ გატანილი ქულების რაოდენობის მათემატიკური მოლოდინი მეორეზე მეტია, მაშინ პირველი მსროლელი საშუალოდ მეორეზე მეტ ქულას აგროვებს და, შესაბამისად, უკეთესად ისვრის. ვიდრე მეორე.
განმარტება 4.1: მათემატიკური მოლოდინიდისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი არის მისი ყველა შესაძლო მნიშვნელობის პროდუქციის ჯამი და მათი ალბათობა.
მოდით შემთხვევითი ცვლადი Xშეუძლია მხოლოდ ღირებულებების აღება x 1, x 2, … x n, რომლის ალბათობაც შესაბამისად ტოლია გვ 1, გვ 2, … p n.შემდეგ მათემატიკური მოლოდინი M(X) შემთხვევითი ცვლადი Xთანასწორობით განისაზღვრება
M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …+ x n p n.
თუ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი Xშემდეგ იღებს შესაძლო მნიშვნელობების თვლადი ნაკრები
,
უფრო მეტიც, მათემატიკური მოლოდინი არსებობს, თუ ტოლობის მარჯვენა მხარეს მყოფი სერიები აბსოლუტურად იყრის თავს.
მაგალითი.იპოვეთ მოვლენის შემთხვევების რაოდენობის მათემატიკური მოლოდინი აერთ ცდაში, თუ მოვლენის ალბათობაა ატოლია გვ.
გამოსავალი:შემთხვევითი მნიშვნელობა X- მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა ააქვს ბერნულის განაწილება, ასე რომ
ამრიგად, ერთ ცდაში მოვლენის შემთხვევების რაოდენობის მათემატიკური მოლოდინი უდრის ამ მოვლენის ალბათობას.
მათემატიკური მოლოდინის ალბათური მნიშვნელობა
დაე, წარმოიქმნას ნტესტები, რომლებშიც შემთხვევითი ცვლადია Xმიღებული მ 1ჯერ ღირებულება x 1, მ 2ჯერ ღირებულება x 2 ,…, მ კჯერ ღირებულება x k, და m 1 + m 2 + …+ m k = n. შემდეგ მიღებული ყველა მნიშვნელობის ჯამი X, ტოლია x 1 m 1 + x 2 m 2 + …+ x k m k .
შემთხვევითი ცვლადის მიერ აღებული ყველა მნიშვნელობის საშუალო არითმეტიკული იქნება
დამოკიდებულება მ ი/ნ- ფარდობითი სიხშირე ვ იღირებულებები x iდაახლოებით უდრის მოვლენის დადგომის ალბათობას p i, სად , Ამიტომაც
მიღებული შედეგის სავარაუდო მნიშვნელობა ასეთია: მათემატიკური მოლოდინი დაახლოებით თანაბარია(რაც უფრო ზუსტია, მით მეტია ტესტების რაოდენობა) შემთხვევითი ცვლადის დაკვირვებული მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკული.
მათემატიკური მოლოდინის თვისებები
საკუთრება 1:მუდმივი მნიშვნელობის მათემატიკური მოლოდინი ტოლია თავად მუდმივის
საკუთრება 2:მუდმივი ფაქტორი შეიძლება იქნას მიღებული მათემატიკური მოლოდინის ნიშნის მიღმა
განმარტება 4.2: ორი შემთხვევითი ცვლადიუწოდებენ დამოუკიდებელითუ ერთი მათგანის განაწილების კანონი არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ რა შესაძლო მნიშვნელობებს აიღო მეორე რაოდენობამ. წინააღმდეგ შემთხვევაში შემთხვევითი ცვლადები დამოკიდებულია.
განმარტება 4.3: რამდენიმე შემთხვევითი ცვლადიდაურეკა ორმხრივად დამოუკიდებელითუ რომელიმე მათგანის განაწილების კანონები არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ რა შესაძლო მნიშვნელობებს აიღეს სხვა რაოდენობები.
თვისება3:ორი დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადის ნამრავლის მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ნამრავლს.
შედეგი:რამდენიმე ურთიერთდამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადის ნამრავლის მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ნამრავლს.
საკუთრება 4:ორი შემთხვევითი ცვლადის ჯამის მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ჯამს.
შედეგი:რამდენიმე შემთხვევითი ცვლადის ჯამის მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ჯამს.
მაგალითი.გამოვთვალოთ ბინომიური შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი X -მოვლენის დადგომის თარიღი ავ ნექსპერიმენტები.
გამოსავალი:საერთო რაოდენობა Xმოვლენის შემთხვევები აამ ცდებში არის ცალკეულ ცდებში მოვლენის შემთხვევების რაოდენობის ჯამი. მოდით შემოვიტანოთ შემთხვევითი ცვლადები X ი- მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა მე th ტესტი, რომელიც არის ბერნულის შემთხვევითი ცვლადები მათემატიკური მოლოდინით, სადაც . მათემატიკური მოლოდინის თვისებით გვაქვს
ამრიგად, n და p პარამეტრების მქონე ბინომალური განაწილების მათემატიკური მოლოდინი ტოლია ნამრავლის np.
მაგალითი.იარაღის სროლისას მიზანში დარტყმის ალბათობა p = 0.6.იპოვეთ დარტყმების საერთო რაოდენობის მათემატიკური მოლოდინი, თუ გასროლილია 10 გასროლა.
გამოსავალი:თითოეული გასროლის დარტყმა არ არის დამოკიდებული სხვა დარტყმების შედეგებზე, ამიტომ განსახილველი მოვლენები დამოუკიდებელია და, შესაბამისად, სასურველი მათემატიკური მოლოდინი.
ასევე იქნება თქვენთვის გადასაჭრელი პრობლემები, რომლებზეც შეგიძლიათ ნახოთ პასუხები.
მოლოდინი და განსხვავება შემთხვევითი ცვლადის ყველაზე ხშირად გამოყენებული რიცხვითი მახასიათებლებია. ისინი ახასიათებენ განაწილების ყველაზე მნიშვნელოვან მახასიათებლებს: მის პოზიციას და გაფანტვის ხარისხს. მოსალოდნელ მნიშვნელობას ხშირად უწოდებენ უბრალოდ საშუალოს. შემთხვევითი ცვლადი. შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია - დისპერსიის დამახასიათებელი, შემთხვევითი ცვლადის გავრცელება მისი მათემატიკური მოლოდინის შესახებ.
ბევრ პრაქტიკულ პრობლემაში შემთხვევითი ცვლადის სრული, ამომწურავი მახასიათებელი - განაწილების კანონი - ან ვერ მიიღება, ან საერთოდ არ არის საჭირო. ამ შემთხვევებში, ერთი შემოიფარგლება შემთხვევითი ცვლადის სავარაუდო აღწერით რიცხვითი მახასიათებლების გამოყენებით.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მოლოდინი
მოდი მივედით მათემატიკური მოლოდინის ცნებამდე. მოდით, რაღაც ნივთიერების მასა გადანაწილდეს x-ღერძის წერტილებს შორის x1 , x 2 , ..., xნ. უფრო მეტიც, თითოეულ მატერიალურ წერტილს აქვს შესაბამისი მასა ალბათობით გვ1 , გვ 2 , ..., გვნ. საჭიროა აბსცისის ღერძზე ერთი წერტილის შერჩევა, რომელიც ახასიათებს მატერიალური წერტილების მთელი სისტემის პოზიციას, მათი მასების გათვალისწინებით. ბუნებრივია მატერიალური წერტილების სისტემის მასის ცენტრი ასეთ წერტილად ავიღოთ. ეს არის შემთხვევითი ცვლადის შეწონილი საშუალო X, რომელსაც თითოეული წერტილის აბსციზა xმეშედის შესაბამისი ალბათობის ტოლი „წონით“. ამ გზით მიღებული შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა Xმის მათემატიკური მოლოდინი ეწოდება.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი არის მისი ყველა შესაძლო მნიშვნელობის ნამრავლების ჯამი და ამ მნიშვნელობების ალბათობა:
მაგალითი 1.მოეწყო მომგებიანი ლატარია. არის 1000 მოგება, აქედან 400 არის 10 რუბლი. თითოეული 300-20 რუბლი. თითო 200-100 რუბლი. და თითოეული 100-200 რუბლი. რა არის საშუალო მოგება მათთვის, ვინც ყიდულობს ერთ ბილეთს?
გამოსავალი. საშუალო მოგებას ვიპოვით, თუ მოგების მთლიან რაოდენობას, რომელიც არის 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 რუბლს გავყოფთ 1000-ზე (მოგების საერთო რაოდენობა). შემდეგ მივიღებთ 50000/1000 = 50 რუბლს. მაგრამ საშუალო მოგების გამოთვლის გამოხატულება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი ფორმით:
მეორეს მხრივ, ამ პირობებში, გამარჯვებული ზომა არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელსაც შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები 10, 20, 100 და 200 რუბლი. 0,4-ის ტოლი ალბათობით; 0.3; 0.2; 0.1. მაშასადამე, მოსალოდნელი საშუალო მოგება უდრის მოგების ზომის ნამრავლების ჯამს და მათი მიღების ალბათობას.
მაგალითი 2.გამომცემლობამ ახალი წიგნის გამოცემა გადაწყვიტა. წიგნის გაყიდვას გეგმავს 280 მანეთად, საიდანაც თავად მიიღებს 200-ს, 50-ს - წიგნის მაღაზიაში და 30-ს - ავტორს. ცხრილში მოცემულია ინფორმაცია წიგნის გამოცემის ხარჯებისა და წიგნის გარკვეული რაოდენობის ასლების გაყიდვის ალბათობის შესახებ.
იპოვეთ გამომცემლის მოსალოდნელი მოგება.
გამოსავალი. შემთხვევითი ცვლადი „მოგება“ უდრის სხვაობას გაყიდვებიდან შემოსავალსა და ხარჯების ღირებულებას შორის. მაგალითად, თუ წიგნის 500 ეგზემპლარი გაიყიდება, მაშინ გაყიდვიდან შემოსავალი არის 200 * 500 = 100 000, ხოლო გამოცემის ღირებულება 225 000 რუბლს შეადგენს. ამრიგად, გამომცემელს 125000 რუბლის ზარალი ემუქრება. შემდეგი ცხრილი აჯამებს შემთხვევითი ცვლადის - მოგების მოსალოდნელ მნიშვნელობებს:
| ნომერი | მოგება xმე | ალბათობა გვმე | xმე გვმე |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| სულ: | 1,00 | 25000 |
ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ გამომცემლის მოგების მათემატიკურ მოლოდინს:
.
მაგალითი 3.ერთი გასროლით დარტყმის ალბათობა გვ= 0.2. განსაზღვრეთ ჭურვების მოხმარება, რომლებიც უზრუნველყოფენ 5-ის ტოლი დარტყმების რაოდენობის მათემატიკურ მოლოდინს.
გამოსავალი. იგივე მათემატიკური მოლოდინის ფორმულიდან, რომელსაც აქამდე ვიყენებდით, გამოვხატავთ x- ჭურვის მოხმარება:
.
მაგალითი 4.დაადგინეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი xდარტყმების რაოდენობა სამი გასროლით, თუ ყოველი გასროლით დარტყმის ალბათობაა გვ = 0,4 .
მინიშნება: იპოვნეთ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების ალბათობა ბერნულის ფორმულა .
მათემატიკური მოლოდინის თვისებები
განვიხილოთ მათემატიკური მოლოდინის თვისებები.
საკუთრება 1.მუდმივი მნიშვნელობის მათემატიკური მოლოდინი უდრის ამ მუდმივას:
საკუთრება 2.მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას მათემატიკური მოლოდინის ნიშნიდან:
საკუთრება 3.შემთხვევითი ცვლადების ჯამის (განსხვავების) მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ჯამს (განსხვავებას):
საკუთრება 4.შემთხვევითი ცვლადების ნამრავლის მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ნამრავლს:
საკუთრება 5.თუ შემთხვევითი ცვლადის ყველა მნიშვნელობა Xკლება (გადიდება) იგივე რაოდენობით თან, მაშინ მისი მათემატიკური მოლოდინი შემცირდება (გაიზრდება) იგივე რაოდენობით:
როცა მხოლოდ მათემატიკური მოლოდინით ვერ შემოიფარგლები
უმეტეს შემთხვევაში, მხოლოდ მათემატიკური მოლოდინი არ შეუძლია საკმარისად დაახასიათოს შემთხვევითი ცვლადი.
მოდით შემთხვევითი ცვლადები Xდა იმოცემულია შემდეგი განაწილების კანონებით:
| მნიშვნელობა X | ალბათობა |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| მნიშვნელობა ი | ალბათობა |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
ამ რაოდენობების მათემატიკური მოლოდინი იგივეა - ნულის ტოლია:
თუმცა, მათი განაწილების ნიმუშები განსხვავებულია. შემთხვევითი მნიშვნელობა Xშეუძლია მიიღოს მხოლოდ მნიშვნელობები, რომლებიც მცირედ განსხვავდება მათემატიკური მოლოდინისა და შემთხვევითი ცვლადისგან იშეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები, რომლებიც მნიშვნელოვნად განსხვავდება მათემატიკური მოლოდინისგან. მსგავსი მაგალითი: საშუალო ხელფასი არ იძლევა საშუალებას ვიმსჯელოთ მაღალა და დაბალანაზღაურებადი მუშაკების წილი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მათემატიკური მოლოდინიდან არ შეიძლება ვიმსჯელოთ, რა გადახრებია მისგან, საშუალოდ მაინც, შესაძლებელი. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია.
დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია
ვარიაციადისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი Xმათემატიკური მოლოდინისგან მისი გადახრის კვადრატის მათემატიკური მოლოდინი ეწოდება:
შემთხვევითი ცვლადის სტანდარტული გადახრა Xმისი დისპერსიის კვადრატული ფესვის არითმეტიკული მნიშვნელობა ეწოდება:
.
მაგალითი 5.გამოთვალეთ შემთხვევითი ცვლადების ვარიაციები და სტანდარტული გადახრები Xდა ი, რომლის განაწილების კანონები მოცემულია ზემოთ მოცემულ ცხრილებში.
გამოსავალი. შემთხვევითი ცვლადების მათემატიკური მოლოდინი Xდა იროგორც ზემოთ ვნახეთ, ნულის ტოლია. დისპერსიის ფორმულის მიხედვით at ე(X)=ე(წ)=0 ვიღებთ:
შემდეგ შემთხვევითი ცვლადების სტანდარტული გადახრები Xდა იკოსმეტიკა
.
ამრიგად, იგივე მათემატიკური მოლოდინებით, შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია Xძალიან მცირე, მაგრამ შემთხვევითი ცვლადი ი- მნიშვნელოვანი. ეს არის მათი განაწილების განსხვავებების შედეგი.
მაგალითი 6.ინვესტორს აქვს 4 ალტერნატიული საინვესტიციო პროექტი. ცხრილი აჯამებს ამ პროექტებში მოსალოდნელ მოგებას შესაბამისი ალბათობით.
| პროექტი 1 | პროექტი 2 | პროექტი 3 | პროექტი 4 |
| 500, პ=1 | 1000, პ=0,5 | 500, პ=0,5 | 500, პ=0,5 |
| 0, პ=0,5 | 1000, პ=0,25 | 10500, პ=0,25 | |
| 0, პ=0,25 | 9500, პ=0,25 |
იპოვეთ მათემატიკური მოლოდინი, განსხვავება და სტანდარტული გადახრა თითოეული ალტერნატივისთვის.
გამოსავალი. მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ გამოითვლება ეს მნიშვნელობები მე-3 ალტერნატივისთვის:
ცხრილი აჯამებს ნაპოვნი მნიშვნელობებს ყველა ალტერნატივისთვის.
ყველა ალტერნატივას აქვს ერთი და იგივე მათემატიკური მოლოდინი. ეს ნიშნავს, რომ გრძელვადიან პერსპექტივაში ყველას ერთნაირი შემოსავალი აქვს. სტანდარტული გადახრა შეიძლება განიმარტოს, როგორც რისკის საზომი - რაც უფრო მაღალია ის, მით მეტია ინვესტიციის რისკი. ინვესტორი, რომელსაც არ სურს დიდი რისკი, აირჩევს პროექტს 1, რადგან მას აქვს ყველაზე მცირე სტანდარტული გადახრა (0). თუ ინვესტორი უპირატესობას ანიჭებს რისკს და მაღალ შემოსავალს მოკლე პერიოდში, მაშინ ის აირჩევს პროექტს ყველაზე დიდი სტანდარტული გადახრით - პროექტი 4.
დისპერსიული თვისებები
წარმოგიდგენთ დისპერსიის თვისებებს.
საკუთრება 1.მუდმივი მნიშვნელობის ვარიაცია არის ნული:
საკუთრება 2.მუდმივი ფაქტორის ამოღება შესაძლებელია დისპერსიის ნიშნიდან მისი კვადრატში:
.
საკუთრება 3.შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია ტოლია ამ მნიშვნელობის კვადრატის მათემატიკური მოლოდინისა, რომელსაც აკლდება თავად მნიშვნელობის მათემატიკური მოლოდინის კვადრატი:
,
სად 
.
საკუთრება 4.შემთხვევითი ცვლადების ჯამის (განსხვავების) ვარიაცია უდრის მათი ვარიაციების ჯამს (განსხვავებას):
მაგალითი 7.ცნობილია, რომ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი Xიღებს მხოლოდ ორ მნიშვნელობას: −3 და 7. გარდა ამისა, ცნობილია მათემატიკური მოლოდინი: ე(X) = 4. იპოვეთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია.
გამოსავალი. მოდით აღვნიშნოთ გვალბათობა, რომლითაც შემთხვევითი ცვლადი იღებს მნიშვნელობას x1 = −3 . მაშინ მნიშვნელობის ალბათობა x2 = 7 იქნება 1 − გვ. მოდით გამოვიტანოთ განტოლება მათემატიკური მოლოდინისთვის:
ე(X) = x 1 გვ + x 2 (1 − გვ) = −3გვ + 7(1 − გვ) = 4 ,
სადაც ვიღებთ ალბათობას: გვ= 0.3 და 1 - გვ = 0,7 .
შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი:
| X | −3 | 7 |
| გვ | 0,3 | 0,7 |
ჩვენ ვიანგარიშებთ ამ შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიას ფორმულის გამოყენებით დისპერსიის მე-3 თვისებიდან:
დ(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
თავად იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და შემდეგ გადახედეთ გამოსავალს
მაგალითი 8.დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი Xიღებს მხოლოდ ორ მნიშვნელობას. ის იღებს 3 მნიშვნელობების უფრო დიდს, ალბათობით 0.4. გარდა ამისა, ცნობილია შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიაც დ(X) = 6. იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი.
მაგალითი 9.ურნაში არის 6 თეთრი და 4 შავი ბურთი. ურნადან გამოყვანილია 3 ბურთი. დახატულ ბურთებს შორის თეთრი ბურთების რაოდენობა არის დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი X. იპოვეთ ამ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და ვარიაცია.
გამოსავალი. შემთხვევითი მნიშვნელობა Xშეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები 0, 1, 2, 3. შესაბამისი ალბათობები შეიძლება გამოითვალოს ალბათობის გამრავლების წესი. შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| გვ | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
აქედან გამომდინარეობს ამ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი:
მ(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
მოცემული შემთხვევითი ცვლადის ვარიაციაა:
დ(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მოლოდინი და ვარიაცია
უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის, მათემატიკური მოლოდინის მექანიკური ინტერპრეტაცია ინარჩუნებს იგივე მნიშვნელობას: მასის ცენტრი ერთეული მასისთვის, რომელიც განაწილებულია მუდმივად x ღერძზე სიმკვრივით. ვ(x). დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისგან განსხვავებით, რომლის ფუნქციის არგუმენტი xმემკვეთრად იცვლება; უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის შემთხვევაში, არგუმენტი მუდმივად იცვლება. მაგრამ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი ასევე დაკავშირებულია მის საშუალო მნიშვნელობასთან.
უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინისა და დისპერსიის საპოვნელად, თქვენ უნდა იპოვოთ განსაზღვრული ინტეგრალები. . თუ მოცემულია უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის სიმკვრივის ფუნქცია, მაშინ ის პირდაპირ შედის ინტეგრანდში. თუ მოცემულია ალბათობის განაწილების ფუნქცია, მაშინ მისი დიფერენცირებით, თქვენ უნდა იპოვოთ სიმკვრივის ფუნქცია.
უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის არითმეტიკული საშუალო ეწოდება მას მათემატიკური მოლოდინი, აღინიშნება ან .
