ექსპონენციალური უტოლობების სისტემის ამოხსნა. ექსპონენციალური განტოლებების და უტოლობების ამოხსნა. ერთგვაროვანი განტოლებების ამოხსნის მაგალითები

განტოლებების სისტემების ამოხსნის მეთოდები

დასაწყისისთვის, მოკლედ გავიხსენოთ განტოლებების სისტემების ამოხსნის რა მეთოდები არსებობს ზოგადად.

არსებობა ოთხი ძირითადი გზა განტოლების სისტემების ამოხსნა:

ჩანაცვლების მეთოდი: ამ განტოლებებიდან რომელიმე მიიღება და $ y $ გამოიხატება $ x $ - ით, შემდეგ $ y $ ჩაანაცვლებს სისტემის განტოლებაში, საიდანაც გვხვდება $ x ცვლადი. $ ამის შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გამოვთვალოთ $ y. $ ცვლადი.

დამატების მეთოდი: ამ მეთოდში აუცილებელია ერთი ან ორივე განტოლების გამრავლება ისეთ ციფრებზე, რომ როდესაც ორივე ერთად დაემატება, რომელიმე ცვლადი "ქრება".

გრაფიკული მეთოდი: სისტემის ორივე განტოლება აისახება კოორდინატთა სიბრტყეზე და გვხვდება მათი გადაკვეთის წერტილი.

ახალი ცვლადების დანერგვის მეთოდი: ამ მეთოდით ვცვლით ნებისმიერ გამოთქმას სისტემის გასამარტივებლად და შემდეგ ვიყენებთ ზემოთ ჩამოთვლილ მეთოდებს.

ექსპონენციალური განტოლებების სისტემები

განმარტება 1

ექსპონენციური განტოლებებისგან შემდგარ განტოლებათა სისტემებს ეწოდება ექსპონენციალური განტოლებების სისტემა.

ექსპონენციალური განტოლებების სისტემების ამოხსნას მაგალითებით განვიხილავთ.

მაგალითი 1

განტოლებების სისტემის ამოხსნა

სურათი 1.

გადაწყვეტილება.

ამ სისტემის გადასაჭრელად გამოვიყენებთ პირველ მეთოდს. პირველი, მოდით გამოვსახოთ $ y $ პირველი განტოლების $ x $ მიხედვით.

სურათი 2

ჩაანაცვლეთ $ y $ მეორე განტოლებაში:

\\ \\ \\ [- 2-x \u003d 2 \\] \\ \\

პასუხი: $(-4,6)$.

მაგალითი 2

განტოლებების სისტემის ამოხსნა

სურათი 3.

გადაწყვეტილება.

ეს სისტემა ექვივალენტურია სისტემისთვის

სურათი 4.

განტოლებების ამოხსნის მეოთხე მეთოდი გამოვიყენოთ. მოდით $ 2 ^ x \u003d u \\ (u\u003e 0) $ და $ 3 ^ y \u003d v \\ (v\u003e 0) $, მივიღებთ:

სურათი 5

მოდით, მოვაგვაროთ მიღებული სისტემა დამატების მეთოდით. დავამატოთ განტოლებები:

\ \

მეორე განტოლებიდან მივიღებთ ამას

ჩანაცვლებას დავუბრუნდი, მე მივიღე ექსპონენციური განტოლებების ახალი სისტემა:

სურათი 6

მივიღებთ:

სურათი 7.

პასუხი: $(0,1)$.

ექსპონენციალური უტოლობების სისტემები

განმარტება 2

ექსპონენციალური განტოლებებისგან შემდგარი უტოლობების სისტემებს უწოდებენ სისტემას ექსპონენციალური უტოლობები.

ჩვენ მაგალითებით განვიხილავთ ექსპონენციალური უტოლობების სისტემების ამოხსნას.

მაგალითი 3

უთანასწორობის სისტემის ამოხსნა

Ფიგურა 8.

გადაწყვეტილება:

უტოლობების ეს სისტემა უდრის სისტემას

სურათი 9.

პირველი უტოლობის გადასაჭრელად გაიხსენეთ შემდეგი თეორემა ექსპონენციალური უტოლობების ტოლობის შესახებ:

თეორემა 1. უთანასწორობა $ a ^ (f (x))\u003e a ^ (\\ varphi (x)) $, სადაც $ a\u003e 0, a \\ ne 1 $ უდრის ორი სისტემის შეგროვებას

\\ U)