სახელმძღვანელო ი. ნ. მაკარიჩევი და ა.შ. გაკვეთილის თემა: მთელი განტოლებები. დაშლის განტოლებები დაშლის განტოლებების მეთოდი მათი ამოხსნისთვის

ეს რჩება განტოლებებით (35.21), (35.23), (35.30), (35.31), (35.32), (47.7), (47.22) და (35.20)

განმარტება 47.16.მეორე რიგის ზედაპირს ეწოდება გახრწნა თუ იგი შედგება პირველი რიგის ორი ზედაპირისაგან.

მაგალითად, განვიხილოთ განტოლებით მოცემული ზედაპირი

თანასწორობის მარცხენა მხარე (35.21) შეიძლება დაიშალა ფაქტორებად

(47.36)

ამრიგად, წერტილი განლაგებულია (35.21) მოცემულ ზედაპირზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებს შემდეგი განტოლებებიდან ერთ-ერთს ან. ეს არის ორი სიბრტყის განტოლებები, რომლებიც 36 პუნქტის შესაბამისად (იხ. ცხრილი 36.2, ცხრილი მე -10 რიგი) გადის OZ ღერძზე. მაშასადამე , განტოლება (35.21) განსაზღვრავს დაშლის ზედაპირს, უფრო სწორად, ორ გადაკვეთულ სიბრტყეს.

დავალება: დაამტკიცეთ, რომ თუ ზედაპირი ცილინდრულიცაა და კონუსურიც, და ასევე შედგება ერთზე მეტი სწორი ხაზისგან, მაშინ ის იყოფა, ე.ი. შეიცავს გარკვეულ სიბრტყეს.

ახლა განვიხილოთ განტოლება (35.30)

ის შეიძლება დაიშალა ორ ხაზოვან განტოლებად და. ამრიგად, თუ წერტილი (35.30) მოცემულია ზედაპირზე, მაშინ მისი კოორდინატები უნდა აკმაყოფილებდეს შემდეგი განტოლებებიდან ერთს: და. 36-ე პარაგრაფის თანახმად, ეს არის სიბრტყის პარალელური სიბრტყეების განტოლება. Ამგვარად, განტოლება (35.30) განსაზღვრავს ორ პარალელურ სიბრტყეს და ასევე არის დაშლის ზედაპირი.

გაითვალისწინეთ, რომ ნებისმიერი წყვილი თვითმფრინავი შეიძლება განისაზღვროს შემდეგი რიგის შემდეგი განტოლებით. (35.21) და (35.30) განტოლებებია კანონიკური ორი სიბრტყის განტოლებები, ანუ მათი განტოლებები სპეციალურად შერჩეულ კოორდინატთა სისტემაში, სადაც მათ (ამ განტოლებებს) უმარტივესი ფორმა აქვთ.

განტოლება იგივე (35.31)

ზოგადად, იგი ექვივალენტურია ერთი წრფივი განტოლების y \u003d 0 და წარმოადგენს ერთ სიბრტყეს (36.2 პუნქტის 36.2 პუნქტის მიხედვით, ცხრილის მე -12 რიგი, ეს განტოლება განსაზღვრავს სიბრტყეს).

გაითვალისწინეთ, რომ ნებისმიერი სიბრტყის განსაზღვრა შესაძლებელია შემდეგი რიგის შემდეგი განტოლებით.

(35.30) (at) განტოლების ანალოგიით, ზოგჯერ ნათქვამია, რომ თანასწორობა (35.20) განსაზღვრავს ორ შერწყმულ პარალელურ სიბრტყეს.

ახლა ჩვენ მივმართავთ გადაგვარებული შემთხვევები.

1. განვადება (35.20)

გაითვალისწინეთ, რომ M წერტილი (x, y, z) ეკუთვნის განტოლებით (35.20) მოცემულ სიმრავლეს მხოლოდ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი პირველი ორი კოორდინატი x \u003d y \u003d 0 (და მისი მესამე კოორდინატი z შეიძლება იყოს ნებისმიერი). Ეს ნიშნავს რომ განტოლება (35.20) განსაზღვრავს ერთ სწორ ხაზს - OZ განაცხადის ღერძი.

გაითვალისწინეთ, რომ ნებისმიერი სწორი ხაზის განტოლება (იხილეთ პუნქტი 40, პუნქტი 40.1, აგრეთვე 37 პუნქტი, სისტემა (37.3)) შეიძლება განისაზღვროს შემდეგი რიგის შემდეგი განტოლებით. თანასწორობა (35,20) არის კანონიკურიმეორე რიგის განტოლება სწორი ხაზისთვის, ე.ი. მისი მეორე რიგის განტოლება სპეციალურად შერჩეულ კოორდინატთა სისტემაში, სადაც მას (ამ განტოლებას) აქვს ყველაზე მარტივი.

2. განტოლება (47.7)

განტოლება (47.7) შეიძლება დაკმაყოფილდეს x \u003d y \u003d z \u003d 0 რიცხვების მხოლოდ ერთი სამეულით. ამრიგად, თანასწორობა (47,7) სივრცის ნაკრებები მხოლოდ ერთი ქულა О (0; 0; 0) - კოორდინატების წარმოშობა; სივრცის ნებისმიერი სხვა წერტილის კოორდინატები ვერ აკმაყოფილებს თანასწორობას (47.7). გაითვალისწინეთ ისიც, რომ ერთი წერტილისგან შემდგარი სიმრავლე შეიძლება განისაზღვროს შემდეგი რიგის შემდეგი განტოლებით:

3. განტოლება (35.23)

და ეს განტოლება საერთოდ ვერ დაკმაყოფილდება სივრცის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატებით, ე.ი. ის განსაზღვრავს ცარიელი სიმრავლე... ანალოგიით (33.4) განტოლებასთან

(იხ. ნაწილი 47.5, განმარტება 47.8), მას ასევე ეწოდება წარმოსახვითი ელიფსური ცილინდრი.

4.განტოლება (35.32)

სივრცის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები ასევე ვერ აკმაყოფილებს ამ განტოლებას, შესაბამისად განსაზღვრავს ცარიელი სიმრავლე. ანალოგიური განტოლების ანალოგიით (35.30), ამ "ზედაპირს" ასევე უწოდებენ წარმოსახვით პარალელურ სიბრტყეებს.

5. განტოლება (47.22)

ამ განტოლებას ვერ აკმაყოფილებენ სივრცის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები და, შესაბამისად, იგი განსაზღვრავს ცარიელი სიმრავლე... ანალოგიასთან თანასწორობის ანალოგიით (47.17) (იხ. სექცია 47.2), ამ წყაროს ასევე ეწოდება წარმოსახვითი ელიფსოიდი.

ყველა საქმე განიხილეს.

მეცნიერებათა აკადემიის დოკუმენტები, 2008, ტომი 420, 66, გვ. 744-745 წწ

მათემატიკური ფიზიკა

VESELOV-NOVIKOV EQUATION– ის გადაჭრის გადაწყვეტილებები

© 2008 RAS– ის წევრ – კორესპოდენტი I. A. Taimanov, S. P. Tsarev

მიღებულია 2008 წლის 14 თებერვალს

ვესელოვი-ნოვიკოვის განტოლება

u, \u003d e3 u + E3 u + s E (vu) + zE (vu) \u003d o, E V \u003d E u,

სადაც E \u003d (Ex - ¿Ey), E \u003d 1 (Ex + ¿Ey), არის კორტევეგ-დე ვრისის განტოლების ორგანზომილებიანი განზოგადება (KdV)

u, \u003d 4 uhxx \u200b\u200b+ viih,

რომელშიც ის მიდის ერთგანზომილებიან ლიმიტში: V \u003d u \u003d u (x). განტოლება (1) განსაზღვრავს ორგანზომილებიანი შრედინგერის ოპერატორის დეფორმაციებს

განსაზღვრავს Hf \u003d 0 განტოლების φ ამოხსნის ტრანსფორმაციას H b \u003d 0 განტოლების b გადაწყვეტაში, სადაც

H \u003d EE + u, u \u003d u + 2 EE 1n w.

ერთგანზომილებიან ზღვარში მუტარის გარდაქმნა მცირდება ცნობილ დარბუქ ტრანსფორმაციამდე.

მუტარის ტრანსფორმაცია ფართოვდება სისტემის გადაწყვეტილებების ტრანსფორმაციაში

Hf \u003d 0, f (\u003d (E3 + E3 + 3 VE + 3 V * E) f, ^^^

სადაც Э V \u003d Эи, ЭV * \u003d Э и, რომელიც უცვლელია ტრანსფორმაციის დროს (გაფართოებული მუტარის გარდაქმნა)

\u003d ~ | ((f Eyyu-Eph) dz- (f Eyu-u Ef) dz +.)

ფორმის H1 \u003d HA + 5H, სადაც A, B დიფერენციალური ოპერატორებია. ასეთი დეფორმაციები ინარჩუნებს ოპერატორის H "სპექტრს" ენერგიის ნულოვან დონეზე, გარდაქმნის განტოლების ამონახსნებს

Hf \u003d (EE + u) f \u003d 0 (3)

(Er + A) φ \u003d 0 შესაბამისად.

არსებობს ამ განტოლების ძველი ამონახსნებიდან (u, φ) ახალი განტოლების (u, φ) განტოლების (3) აგების მეთოდი, რომელიც შემცირდება კვადრატებად - მუტარის გარდაქმნა. იგი შედგება შემდეგში: მიეცით ოპერატორი H პოტენციური u და ამონახსნი w განტოლებით (3): Hw \u003d 0. შემდეგ ფორმულა

W | [(f Esh - w Ef) dz - (f Esh - w Ef) dz]

მათემატიკის ინსტიტუტი. ს.ლ. სობოლევი, რუსეთის მეცნიერებათა აკადემიის ციმბირის ფილიალი, ნოვოსიბირსკი

კრასნოიარსკის სახელმწიფო პედაგოგიური უნივერსიტეტი

+ [f E u - u E f + u E f - f E u +

2 2 "2 _ ~ _2 + 2 (E f Esh - Ef E w) -2 (E f Esh - Ef E w) +

3V (f Esh - w Ef) + 3 V * (w Ef - f Esh)] dt),

u ^ u + 2EE lnm, V ^ V + 2E21nm,

V * ^ u * + 2E21psh,

სადაც w აკმაყოფილებს (4).

ვესელოვი-ნოვიკოვის განტოლება (1) არის

სისტემის (4) თავსებადობის პირობა V * \u003d V– ზე

როდესაც w ამოხსნა რეალურია, პირობები u \u003d u u

V * \u003d V დაცულია და გაფართოებული Moutard გარდაქმნა ითარგმნება რეალურ გადაწყვეტილებებზე და

განტოლება (1) სხვა რეალურ გადაწყვეტილებებად და ეს განტოლება.

KdV განტოლების ყველა რაციონალური სოლიტონი მიიღება დარბუქსის ტრანსფორმაციის განმეორებით u \u003d 0 პოტენციალიდან. უფრო მეტიც, შედეგად მიღებული ყველა პოტენციალი სინგულარულია.

ორგანზომილებიან შემთხვევაში, ანალოგიურმა კონსტრუქციამ შეიძლება გამოიწვიოს არასამთავრობო სინგულარული და კიდევ უფრო სწრაფად შემცირებადი პოტენციალი უკვე ორი განმეორების შემდეგ.

ეკვივაციის გადაჭრის გადაწყვეტილებები

ვოლი-ტოკი. კერძოდ, მოდით, u0 \u003d 0 და ω1 ω2 იყოს სისტემის (4) რეალური ამოხსნები:

u, \u003d Γ (z, z) + f (z, z), \u003d i (z, z) + i (z, z), (5)

სადაც / და π ჰოლომორფულია r- ში და აკმაყოფილებს განტოლებებს

fg \u003d ეეი "იაგ \u003d ეიიი"

Uj u2 თითოეული ფუნქცია განსაზღვრავს u \u003d 0 პოტენციალი (გაფართოებული) Moutard ტრანსფორმაციას და სისტემის (4) შესაბამის ამოხსნებს. მოდით დავასახელოთ როგორც Mu და Ma. შედეგად მიღებული პოტენციალი ჩვენ

ჩვენ აღვნიშნავთ u1 \u003d Myu (u0), u2 \u003d Myu (u0).

მოდით δ1 e My (ω2), ე.ი. b1 მიიღება ω2– დან M ω– ის გარდაქმნით. გაითვალისწინეთ, რომ Moutard- ის ტრანსფორმაცია φ- ზე დამოკიდებულია ინტეგრაციის მუდმივაზე. ჩვენ ვირჩევთ მუდმივს ისეთს, რომ b1 რეალური ფუნქციაა. მუდმივის არჩევა საშუალებას გვაძლევს ხშირად გავაკონტროლოთ განმეორებადი პოტენციალის არაინსგულურობა (ამას გამოვიყენებთ კონკრეტულ მაგალითებში).

მარტივი შემოწმება გვიჩვენებს, რომ b2 \u003d - b1 f

ე მუ (უი). კარგად იცნობს ლემას, რაც შეესაბამება თვითნებურ პოტენციალს u0.

ლემა 1. მოდით u12 \u003d M01 (u2) და u21 \u003d M02 (u2). შემდეგ u12 \u003d u21.

U0 \u003d 0 საქმისთვის გვაქვს Lemma 2. მოდით ω1 და ω2 ფორმას (5). შემდეგ u \u003d Mb (My (u0)) პოტენციალი, სადაც u0 \u003d 0 და b1 e My (u2) მოცემულია ფორმულით

u \u003d 2EE 1nI ((/ I - fya) +) ((f "I - fя") dr + + (GY - G I) dr) +1 (Г "I - fя" "+ 2 (f" I " - GZ) + + GY "" - G "" I + 2 (zi - zi ")) dz).

გაითვალისწინეთ, რომ თუნდაც სისტემის (4) ω1, ω2 სტაციონარული საწყისი ამოხსნებისთვისაც შეგვიძლია მივიღოთ ვესელოვი-ნოვიკოვის განტოლების ამოხსნა არატრივიალური დინამიკით r- ში.

თეორემა 1. მოდით U (z, z) იყოს რაციონალური პოტენციალი, რომელიც მიღებულია ორმაგი მუტარის გარდაქმნით ω1 \u003d iz2 - i ~ z, ffl2 \u003d z2 + (1 +)

I) z + ~ z + (1 - i) z. პოტენციური U არასასურველია და მცირდება, როგორც r-3 r ^ ვესელოვი-ნოვიკოვის განტოლების ამოხსნა (1) საწყისი მონაცემებით

U \\ t \u003d 0 \u003d U სასრულ დროში ხდება სინგულარული და აქვს ფორმის სინგულარობა

(3 x4 + 4 x3 + 6 x2 y2 + 3 y4 + 4 y3 + 30 - 12 t)

კომენტარი ვესელოვი-ნოვიკოვის განტოლება უცვლელია გარდაქმნის t ^ -t, z ^ -z. ადვილი მისახვედრია, რომ ამის გამოსავალია

განტოლება საწყის მონაცემებთან U (z, z, 0) \u003d U (-z, - z) ყველა t\u003e 0– სთვის რეგულარულია.

ნაწარმოებში მოცემული რაციონალური პოტენციალი (1) მცირდება r-6– ით და იძლევა ვესელოვ – ნოვიკოვის განტოლების სტაციონარულ არაინსგულურ ამოხსნას. F (z) \u003d a3z3 + a2z2 + a1z2 + a0 + 6a3t, g (z) \u003d b3z3 + b2z2 + b1z2 + b0 + 6b3t არჩევა, ადვილია ვესელოვი-ნოვიკოვის განტოლების ამოხსნების მიღება, უსასრულოდ შემცირება, არასასურველი t \u003d 0 და სინგულარობა სასრულ დროებში t\u003e t0.

გაითვალისწინეთ, რომ Korteweg-de Vries- ის განტოლების ამონახსნები გლუვი, სწრაფად მზარდი საწყისი მონაცემებით t\u003e 0– ით რჩება არასასურველი (იხ., მაგალითად).

ეს სამუშაო შესრულდა რუსეთის ძირითადი კვლევის ფონდის ნაწილობრივი ფინანსური მხარდაჭერით (პროექტის კოდები 06-01-00094 I.A.T და 06-01-00814 S.P.Ts.).

ცნობარი

1. Veseloe AP, Novikov SP // DAN. 1984. T. 279, No 1. S. 20-24.

2. დუბროვინი B A., Krichever I. M., Novikov SP. // DAN. 1976. T. 229. No 1. S. 15-19.

მასწავლებელი ესალმება მოსწავლეებს და აცხადებს:

დღეს ჩვენ გავაგრძელებთ თქვენთან მუშაობას თემაზე: მთლიანი განტოლებები

ჩვენ უნდა გავაერთიანოთ განტოლებების ამოხსნის უნარები მეორეზე მაღალი ხარისხით; გაეცანით მთლიანი განტოლების სამი ძირითადი კლასის შესახებ, დაეუფლეთ მათი გადაჭრის გზებს

დაფის უკანა მხარეს, ორმა სტუდენტმა უკვე მოამზადა გამოსავალი # 273 და მზად არის უპასუხოს სტუდენტის შეკითხვებს

ბიჭებო, მე გთავაზობთ ცოტათი გავიხსენოთ ის თეორიული ინფორმაცია, რომელიც წინა გაკვეთილზე ვისწავლეთ. გთხოვთ, უპასუხოთ კითხვებს

რომელი ერთ ცვლადის განტოლებას უწოდებენ მთელ რიცხვს? მოიყვანეთ მაგალითები

როგორ პოულობთ მთლიანი განტოლების ხარისხს?

რა ფორმით შეიძლება შემცირდეს პირველი ხარისხის განტოლება

რა იქნება ასეთი განტოლების ამოხსნა

რა ფორმით შეიძლება შემცირდეს მეორე ხარისხის განტოლება?

როგორ გადავჭრათ ასეთი განტოლება?

რამდენი ფესვი ექნება მას?

რა ფორმით შეიძლება შემცირდეს მესამე ხარისხის განტოლება?

მეოთხე ხარისხის განტოლება?

რამდენი ფესვი შეიძლება ჰქონდეს მათ?

დღეს, ბიჭებო, ჩვენ გავეცნობით მთელ განტოლებებს: ჩვენ შეისწავლით განტოლების 3 ძირითადი კლასის ამოხსნის გზებს:

1) ბიკვადრატული განტოლებები

ეს არის ფორმის განტოლებები
, სადაც x არის ცვლადი, a, b, c არის რამდენიმე რიცხვი და a ≠ 0.

2) გახრწნილი განტოლებები, რომლებიც შემცირდება A (x) * B (x) \u003d 0 ფორმაზე, სადაც A (x) და B (x) მრავალწევრებია X– ს მიმართ.

თქვენ წინა ნაწილში უკვე ნაწილობრივ გადაჭერით გახრწნილი განტოლებები.

3) განტოლებები, რომლებიც ამოხსნილია ცვლადის შეცვლით.

ინსტრუქციები

ახლა თითოეული ჯგუფი მიიღებს ბარათებს, რომლებიც დეტალურადაა აღწერილი გადაჭრის მეთოდი, თქვენ ერთად უნდა გაანალიზოთ ეს განტოლებები და შეავსოთ ამ თემაზე დავალებები. თქვენს ჯგუფში შეამოწმეთ პასუხები თქვენს ამხანაგებთან, იპოვნეთ შეცდომები და მივედით საერთო პასუხზე.

მას შემდეგ, რაც თითოეულმა ჯგუფმა შეიმუშავა თავისი განტოლებები, მათ უნდა აეხსნათ სხვა ჯგუფებისთვის დაფაზე. იფიქრეთ იმაზე, თუ ვის აძლევთ ჯგუფს.

მუშაობა ჯგუფებში

მასწავლებელი დროს ჯგუფური სამუშაო აკვირდება თუ როგორ მსჯელობენ ბიჭები, შეიქმნა თუ არა გუნდები, ჰყავთ თუ არა ბიჭებს ლიდერები.

საჭიროების შემთხვევაში დახმარებას უწევს. თუ ჯგუფმა სხვაზე ადრე გაართვა თავი დავალებას, მაშინ მასწავლებელს კვლავ აქვს განტოლებები გაზრდილი სირთულის ამ კარტიდან.

ბარათების დაცვა

მასწავლებელი სთავაზობს გადაწყვიტოს, თუ ბიჭებმა ეს ჯერ არ გააკეთეს, ვინ დაიცავს ბარათს დაფაზე.

მასწავლებელს შეუძლია, ლიდერების მუშაობის დროს შეცვალოს შეცდომა, თუ გამოსცემს მათ.

ბიჭებო, თქვენ მოუსმინეთ ერთმანეთს, დაფაზე წერია საკუთარი ამოხსნის განტოლებები. შეუდექით საქმეს

ურ იგრ.

II გრ.

III გრ.

თქვენ უნდა ამოხსნათ ის განტოლებები, რომლებიც არ გაქვთ.

No 276 (ბ, დ), 278 (ბ, დ), 283 (ა)

ბიჭებო, დღეს ჩვენ ჯგუფებში შევისწავლეთ ახალი განტოლებების ამოხსნა. როგორ ფიქრობთ, ჩვენმა მუშაობამ კარგად ჩაიარა?

მივაღწიეთ ჩვენს მიზანს?

რა გიშლით ხელს მუშაობაში?

მასწავლებელი აფასებს ყველაზე აქტიურ ბავშვებს.

გმადლობთ გაკვეთილისთვის !!!

უახლოეს მომავალში მიზანშეწონილია ჩატარდეს დამოუკიდებელი სამუშაო, რომელიც შეიცავს ამ გაკვეთილზე გაანალიზებულ განტოლებებს.

"უფრო მაღალი ხარისხის განტოლების ამოხსნა" - რას ნიშნავს განტოლების ამოხსნა? პირველი ეტაპის ამოცანები. WARM-UP (შეამოწმეთ d / h). უფრო მაღალი ხარისხის განტოლებების ამოხსნა. რა სახის განტოლებები იწერება დაფაზე? Ფსიქიკური განათლება. ეტაპი II დამოუკიდებელი სამუშაო ვარიანტი 1 ვარიანტი 2. რას უწოდებენ განტოლების ფესვს? ამოხსნის სქემა ხაზოვანი განტოლება კვადრატული განტოლება ბიკვადრატული განტოლება.

"განტოლებების ამოხსნის მეთოდები და უტოლობები" - Უძველესი ეგვიპტე... კუბური განტოლებები. განტოლებისა და უტოლობების ამოხსნის არასტანდარტული მეთოდები. ჰომოგენურობის იდეა. მოდულის შემცველი განტოლებების ამოხსნის გრაფიკული გზა. უტოლობები მოდულთან. კოეფიციენტების განტოლებების ამოხსნა. თავდაპირველი უთანასწორობა არ შეიცავს გამოსავალს. კვადრატის ჯამი.

"განტოლებები და უტოლობები" - ჩანაცვლება. იპოვნეთ ფუნქციის დიაგრამების გადაკვეთის წერტილის აბსისი. ა-ს რომელ მნიშვნელობაზეა განტოლების ფესვების რაოდენობა. "გრაფიკული მეთოდი. იგი შედგება შემდეგში: ორი ფუნქციის გრაფიკის გრაფიკა ერთ კოორდინატულ სისტემაში. განტოლებების ამოხსნები და უტოლობები." იპოვნეთ უთანასწორობის ყველაზე პატარა ბუნებრივი გადაწყვეტა.

"ფრაქციული განტოლებები" - ამოხსენით მიღებული განტოლება. Კვადრატული განტოლება აქვს 2 ფესვი, თუ …… გამორიცხეთ ფესვები, რომლებიც არ შედიან განტოლების წილადების დასაშვებ მნიშვნელობებში. … Შენი წერილი. მაღალი სული ”. წილადური რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი. და დაიმახსოვრე - რა არის მთავარი ადამიანი? ფრაქციული რაციონალური განტოლებები. რამდენი ფესვი აქვს ამ განტოლებას? 4. რა ჰქვია ამ განტოლებას?

"ლოგარითმული განტოლების ამოხსნა" - თუ განტოლება შეიცავს სხვადასხვა ბაზის მქონე ლოგარითმებს, პირველ რიგში, გარდამავალი ფორმულების გამოყენებით უნდა შეამციროთ ყველა ლოგარითმი ერთ ბაზაზე. გამოთვალეთ გამოხატვის მნიშვნელობები. განმარტება: შევაჯამოთ მასალა ლოგარითმების თვისებების შესახებ, ლოგარითმული ფუნქცია; გაითვალისწინეთ ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები; განავითარონ ზეპირი უნარები.

"ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები" - იპოვნეთ. ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნა. რასაც ლოგარითმს უწოდებენ. სტუდენტური ცოდნის სისტემატიზაცია. შემოქმედებითი სამუშაო... იპოვნეთ შეცდომა. განტოლებების სისტემა. ლოგარითმული განტოლების ამოხსნა სხვადასხვა მეთოდით. I ვარიანტი II ვარიანტი. მოცემული ფუნქცია. ახალი ცვლადის დანერგვის მეთოდი. შედარება ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები.

სულ 49 პრეზენტაციაა