მოედანი ur. კვადრატული განტოლებები. სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა. შემცირებული და შემცირებული კვადრატული განტოლებები

იმედი მაქვს, ამ სტატიის შესწავლის შემდეგ თქვენ შეისწავლით თუ როგორ იპოვოთ სრული კვადრატული განტოლების ფესვები.

დისკრიმინატორის დახმარებით მხოლოდ სრული კვადრატული განტოლებები იხსნება, არასრული კვადრატული განტოლებების გადასაჭრელად გამოიყენება სხვა მეთოდები, რომლებსაც ნახავთ სტატიაში ”არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა”.

რა კვადრატულ განტოლებებს ეწოდება სრული? ეს ფორმის ax 2 + b x + c \u003d 0 განტოლებებისადაც a, b და c კოეფიციენტები არ არის ნულის ტოლი. ასე რომ, სრული კვადრატული განტოლების გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ დისკრიმინაციული დ.

D \u003d b 2 - 4ac.

იმისდა მიხედვით, თუ რა მნიშვნელობა აქვს დისკრიმინატორს, პასუხს ჩამოვწერთ.

თუ დისკრიმინატორი უარყოფითია (დ< 0),то корней нет.

თუ დისკრიმინატორი ნულოვანია, მაშინ x \u003d (-b) / 2a. როდესაც დისკრიმინატორი არის დადებითი რიცხვი (D\u003e 0),

შემდეგ x 1 \u003d (-b - √D) / 2a და x 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

Მაგალითად. ამოხსენით განტოლება x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

პასუხი: 2.

ამოხსენით განტოლება 2 x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

პასუხი: ფესვები არ არის.

ამოხსენით განტოლება 2 x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4 · 2 · (–7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

პასუხი: - 3.5; 1.

ასე რომ, ჩვენ წარმოგიდგენთ სრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნას წრიული სქემით 1 ნახაზზე.

ნებისმიერი სრული კვადრატული განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია ამ ფორმულების გამოყენებით. თქვენ უბრალოდ უნდა იყოთ ფრთხილად, რომ ეს დარწმუნდეთ განტოლება დაიწერა როგორც სტანდარტული მრავალწევრი

და x 2 + bx + c, წინააღმდეგ შემთხვევაში, შეგიძლია შეცდომა დაუშვა. მაგალითად, განტოლების x + 3 + 2x 2 \u003d 0 წერისას, თქვენ არასწორად შეგიძლიათ გადაწყვიტოთ ეს

a \u003d 1, b \u003d 3 და c \u003d 2. შემდეგ

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 და შემდეგ განტოლებას აქვს ორი ფესვი. ეს არ არის სიმართლე. (იხილეთ ზემოთ მოცემული მაგალითის ამოხსნა).

ამიტომ, თუ განტოლება არ არის დაწერილი, როგორც სტანდარტული ფორმის პოლინომი, პირველი სრული კვადრატული განტოლება უნდა დაიწეროს, როგორც სტანდარტული ფორმის პოლინომი (პირველ რიგში, უნდა იყოს უდიდესი გამოსახულების მქონე მონომი, ეს არის და x 2 , შემდეგ ნაკლებით – bxშემდეგ კი თავისუფალი წევრი დან

შემცირებული კვადრატული განტოლებისა და კვადრატული განტოლების თანაბარი კოეფიციენტით ამოხსნისას მეორე ტერმინში, სხვა ფორმულების გამოყენებაც შეიძლება. გავეცნოთ ამ ფორმულებსაც. თუ მეორე ტერმინთან სრულ კვადრატულ განტოლებაში კოეფიციენტი თანაბარია (b \u003d 2k), მაშინ განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია ნახაზის 2 დიაგრამაზე ნაჩვენები ფორმულების გამოყენებით.

სრულ კვადრატულ განტოლებას ეწოდება შემცირებული, თუ კოეფიციენტი at x 2 ტოლია ერთისა და განტოლება ფორმას იღებს x 2 + px + q \u003d 0... ასეთი განტოლება შეიძლება მივიღოთ ამოხსნისთვის, ან ის მიიღება განტოლების ყველა კოეფიციენტის კოეფიციენტის გაყოფით დაიდგა x 2 .

ნახაზი 3 გვიჩვენებს შემცირებული კვადრატის ამოხსნის სქემას
განტოლებები. მოდით განვიხილოთ ამ სტატიაში განხილული ფორმულების გამოყენების მაგალითი.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

მოდით ამოვხსნათ ეს განტოლება 1-ლი დიაგრამაზე ნაჩვენები ფორმულების გამოყენებით.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (363) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d –1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + √3

პასუხი: -1 - √3; –1 + √3

შეიძლება აღინიშნოს, რომ x ამ კოეფიციენტში კოეფიციენტი არის ლუწი რიცხვი, ანუ b \u003d 6 ან b \u003d 2k, საიდანაც k \u003d 3. შემდეგ შევეცდებით განტოლებას ამოვხსნათ ფორმულები, რომლებიც ნაჩვენებია დიაგრამაზე ნახაზი D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6 ) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

პასუხი: -1 - √3; –1 + √3... შევამჩნიეთ, რომ ამ კვადრატულ განტოლებაში ყველა კოეფიციენტი იყოფა 3-ზე და განყოფილების შესრულებით, მივიღებთ შემცირებულ კვადრატულ განტოლებას x 2 + 2x - 2 \u003d 0 ამ განტოლების ამოხსნა შემცირებული კვადრატული ფორმულების გამოყენებით
განტოლების ფიგურა 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

პასუხი: -1 - √3; –1 + √3.

როგორც ხედავთ, ამ განტოლების ამოხსნისას, სხვადასხვა ფორმულის გამოყენებით, იგივე პასუხი მივიღეთ. ამიტომ, კარგად რომ აითვისეთ დიაგრამაზე ნაჩვენები ფორმულები 1-ზე, ყოველთვის შეგიძლიათ ამოხსნათ სრული კვადრატული განტოლება.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

ჩვენ ვაგრძელებთ თემის შესწავლას განტოლებების ამოხსნა" ჩვენ უკვე შევხვდით წრფივ განტოლებებს და გადავდივართ გასაცნობად კვადრატული განტოლებები.

პირველი, ჩვენ გავაანალიზებთ რა არის კვადრატული განტოლება, როგორ იწერება იგი ზოგადი ფორმით და მივცემთ მასთან დაკავშირებულ განმარტებებს. ამის შემდეგ, მაგალითების გამოყენებით, დეტალურად გავაანალიზებთ, თუ როგორ არის ამოხსნილი არასრული კვადრატული განტოლებები. შემდეგ გადავდივართ სრული განტოლებების ამოხსნაზე, ვიღებთ ფესვების ფორმულას, გავეცნობით კვადრატული განტოლების დისკრიმინატორს და განვიხილავთ ტიპიური მაგალითების ამოხსნებს. დაბოლოს, მოდით განვიხილოთ ურთიერთობა ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის.

გვერდის ნავიგაცია.

რა არის კვადრატული განტოლება? მათი ტიპები

პირველ რიგში თქვენ ნათლად უნდა გაიგოთ რა არის კვადრატული განტოლება. ამიტომ, ლოგიკურია კვადრატულ განტოლებებზე საუბარი დავიწყოთ კვადრატული განტოლების განმარტებით, ასევე მასთან ასოცირებული განმარტებებით. ამის შემდეგ შეგიძლიათ გაითვალისწინოთ კვადრატული განტოლების ძირითადი ტიპები: შემცირებული და არა-შემცირებული, ასევე სრული და არასრული განტოლებები.

კვადრატული განტოლების განმარტება და მაგალითები

განმარტება

Კვადრატული განტოლება ფორმის განტოლებაა a x 2 + b x + c \u003d 0 , სადაც x არის ცვლადი, a, b და c არის რამდენიმე რიცხვი, ხოლო a არის არასულოვანი.

მაშინვე ვთქვათ, რომ კვადრატულ განტოლებებს ხშირად უწოდებენ მეორე ხარისხის განტოლებებს. ეს იმიტომ ხდება, რომ კვადრატული განტოლება არის ალგებრული განტოლება მეორე ხარისხი.

გაჟღერებული განმარტება საშუალებას გვაძლევს მოვიყვანოთ კვადრატული განტოლებების მაგალითები. ასე რომ 2 x 2 + 6 x + 1 \u003d 0, 0.2 x 2 + 2.5 x + 0.03 \u003d 0 და ა.შ. კვადრატული განტოლებებია.

განმარტება

ნომრები a, b და c ეწოდება კვადრატული განტოლების კოეფიციენტები a x 2 + b x + c \u003d 0, და კოეფიციენტს a ეწოდება პირველი, ან ყველაზე მაღალი, ან კოეფიციენტი x 2, b არის მეორე კოეფიციენტი, ან კოეფიციენტი x- ზე, და c არის თავისუფალი ტერმინი.

მაგალითად, ავიღოთ კვადრატული განტოლება 5 x 2 −2 x - 3 \u003d 0 ფორმის კვადრატული განტოლება, აქ წამყვანი კოეფიციენტია 5, მეორე კოეფიციენტი −2, და ჩაჭრა არის −3. გაითვალისწინეთ, რომ როდესაც b და / ან c კოეფიციენტები უარყოფითია, როგორც ახლახან მოცემულ მაგალითში, მაშინ კვადრატული განტოლების მოკლე ფორმაა 5 x 2 −2 x - 3 \u003d 0 და არა 5 x 2 + (- 2 ) X + (- 3) \u003d 0.

უნდა აღინიშნოს, რომ როდესაც a და / ან b კოეფიციენტები ტოლია 1 ან −1, მაშინ ისინი, როგორც წესი, მკაფიოდ არ არის წარმოდგენილი კვადრატულ განტოლებაში, რაც განპირობებულია ამის დაწერის თავისებურებებით. მაგალითად, კვადრატულ განტოლებაში y 2 −y + 3 \u003d 0, წამყვანი კოეფიციენტი არის ერთი, ხოლო კოეფიციენტი y- ზე −1.

შემცირებული და შემცირებული კვადრატული განტოლებები

შემცირებული და არ შემცირებული კვადრატული განტოლებები განასხვავებენ წამყვანი კოეფიციენტის მნიშვნელობიდან გამომდინარე. მოდით მივცეთ შესაბამისი განმარტებები.

განმარტება

კვადრატული განტოლება, რომელშიც წამყვანი კოეფიციენტია 1, ეწოდება შემცირებული კვადრატული განტოლება... წინააღმდეგ შემთხვევაში კვადრატული განტოლებაა შემცირებული.

Მიხედვით ეს განმარტება, კვადრატული განტოლებები x 2 − 3 x + 1 \u003d 0, x 2 −x - 2/3 \u003d 0 და ა.შ. - მოცემულია, თითოეულ მათგანში პირველი კოეფიციენტი უდრის ერთს. და 5 x 2 −x - 1 \u003d 0 და ა.შ. - შემცირებული კვადრატული განტოლებები, მათი წამყვანი კოეფიციენტები განსხვავდება 1-ისგან.

ნებისმიერი შემცირებული კვადრატული განტოლებიდან, მისი ორივე ნაწილის გაყოფა წამყვანი კოეფიციენტის მიხედვით, შეგიძლიათ გადახვიდეთ შემცირებულზე. ეს მოქმედება ექვივალენტური ტრანსფორმაციაა, ანუ ამ გზით მიღებულ შემცირებულ კვადრატულ განტოლებას აქვს იგივე ფესვები, როგორც თავდაპირველ შეუზღუდავ კვადრატულ განტოლებას, ან, მის მსგავსად, არ აქვს ფესვები.

ავიღოთ მაგალითი, თუ როგორ ხდება გადასვლა შემცირებული კვადრატული განტოლებიდან შემცირებულზე.

მაგალითი.

3 x 2 + 12 x - 7 \u003d 0 განტოლებიდან გადადით შესაბამის შემცირებულ კვადრატულ განტოლებაზე.

გადაწყვეტილება.

ჩვენთვის საკმარისია ორიგინალური განტოლების ორივე მხარე გავყოთ წამყვანი ფაქტორით 3, ეს არის ნულოვანი, ამიტომ ამ მოქმედების შესრულება შეგვიძლია. ჩვენ გვაქვს (3 x 2 + 12 x - 7): 3 \u003d 0: 3, რაც იგივეა, (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 \u003d 0 და მის შემდეგ (3: 3) x 2 + (12: 3) x - 7: 3 \u003d 0, საიდანაც. მივიღეთ შემცირებული კვადრატული განტოლება, რომელიც ექვივალენტურია ორიგინალის.

პასუხი:

სრული და არასრული კვადრატული განტოლებები

კვადრატული განტოლების განმარტება შეიცავს a condition 0 პირობას. ეს პირობა აუცილებელია იმისთვის, რომ განტოლება a x 2 + b x + c \u003d 0 იყოს ზუსტად კვადრატული, რადგან a \u003d 0 ის რეალურად ხდება წრფივი განტოლება b x + c \u003d 0.

რაც შეეხება b და c კოეფიციენტებს, ისინი შეიძლება იყოს ნულის ტოლი, როგორც ცალკე, ასევე ერთად. ამ შემთხვევებში კვადრატულ განტოლებას არასრულს უწოდებენ.

განმარტება

კვადრატული განტოლება a x 2 + b x + c \u003d 0 ეწოდება არასრულითუ b კოეფიციენტიდან ერთი მაინც, c უდრის ნულს.

თავის მხრივ

განმარტება

სრული კვადრატული განტოლება არის განტოლება, რომელშიც ყველა კოეფიციენტი არის ნულოვანი.

ამ სახელებს შემთხვევით არ აძლევენ. ეს ნათელი გახდება შემდეგი მოსაზრებებიდან.

თუ b კოეფიციენტი ნულის ტოლია, მაშინ კვადრატული განტოლება იღებს x 2 + 0 x + c \u003d 0 ფორმას, და ეს ექვივალენტურია a x 2 + c \u003d 0 განტოლებასთან. თუ c \u003d 0, ანუ კვადრატულ განტოლებას აქვს ფორმა x 2 + b x + 0 \u003d 0, მაშინ მისი გადაწერა შესაძლებელია x 2 + b x \u003d 0 სახით. და b \u003d 0 და c \u003d 0, მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას a · x 2 \u003d 0. მიღებული განტოლებები განსხვავდება სრული კვადრატული განტოლებისგან იმით, რომ მათი მარცხენა მხარეები არ შეიცავს არც ცვლადის ტერმინს, არც თავისუფალ ტერმინს, ან ორივე ერთად. აქედან მოდის მათი სახელი - არასრული კვადრატული განტოლებები.

X 2 + x + 1 \u003d 0 და −2 x 2 −5 x + 0.2 \u003d 0 განტოლებები არის სრული კვადრატული განტოლებების მაგალითები და x 2 \u003d 0, −2 x 2 \u003d 0,5 x 2 + 3 \u003d 0, −x 2 −5 · x \u003d 0 არასრული კვადრატული განტოლებებია.

არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა

წინა პუნქტში მოცემული ინფორმაციადან გამომდინარეობს, რომ არსებობს სამი სახის არასრული კვადრატული განტოლებები:

• a x 2 \u003d 0, კოეფიციენტები b \u003d 0 და c \u003d 0 შეესაბამება მას;
• a x 2 + c \u003d 0, როდესაც b \u003d 0;
• და a x 2 + b x \u003d 0, როდესაც c \u003d 0.

მოდით, გავაანალიზოთ, თუ როგორ გადაწყდა თითოეული ამ ტიპის არასრული კვადრატული განტოლებები.

a x 2 \u003d 0

დავიწყოთ არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნით, რომელშიც b და c კოეფიციენტები ნულის ტოლია, ანუ a · x 2 \u003d 0 ფორმის განტოლებებით. A · x 2 \u003d 0 განტოლება ექვივალენტურია x 2 \u003d 0 განტოლებისა, რომელიც მიიღება ორიგინალისგან მისი ორივე ნაწილის გაყოფით ნულოვანი რიცხვის a. ცხადია, x 2 \u003d 0 განტოლების ფუძე ნულოვანია, რადგან 0 2 \u003d 0. ამ განტოლებას სხვა ფესვები არ აქვს, რაც აიხსნება, ნებისმიერი ნულოვანი რიცხვისთვის p, უთანასწორობა p 2\u003e 0 მოქმედებს, საიდანაც გამომდინარეობს, რომ p ≠ 0 თანასწორობა p 2 \u003d 0 არასოდეს მიიღწევა.

ასე რომ, არასრული კვადრატული განტოლება a · x 2 \u003d 0 აქვს ერთი ძირის x \u003d 0.

მაგალითად, მოდით მივცეთ ამოხსნა არასრული კვადრატული განტოლების −4 · x 2 \u003d 0. განტოლება x 2 \u003d 0 მისი ექვივალენტურია, მისი ერთადერთი ფუძეა x \u003d 0, შესაბამისად, თავდაპირველ განტოლებას აქვს უნიკალური ძირეული ნულოვანი.

ამ შემთხვევაში მოკლე გამოსავალი შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად:
X4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x \u003d 0

a x 2 + c \u003d 0

ახლა ჩვენ განვიხილავთ, თუ როგორ იხსნება არასრული კვადრატული განტოლებები, რომელშიც b კოეფიციენტი ნულოვანია, და c ≠ 0, ანუ a · x 2 + c \u003d 0 ფორმის განტოლებები. ჩვენ ვიცით, რომ ტერმინის გადატანა განტოლების ერთი მხრიდან მეორეზე საპირისპირო ნიშნით, ისევე როგორც განტოლების ორივე მხარის დაყოფა ნულოვანი რიცხვით, იძლევა ექვივალენტურ განტოლებას. ამიტომ, ჩვენ შეგვიძლია შევასრულოთ არასრული კვადრატული განტოლების a x 2 + c \u003d 0 შემდეგი ექვივალენტური გარდაქმნები:

• გადაადგილება c მარჯვნივ, რაც იძლევა განტოლებას 2 \u003d −c,
• და ორივე ნაწილი გავყოთ a -ზე, მივიღებთ.

შედეგად მიღებული განტოლება საშუალებას გვაძლევს გავაკეთოთ დასკვნები მისი ფესვების შესახებ. A და c მნიშვნელობიდან გამომდინარე, გამოხატვის მნიშვნელობა შეიძლება იყოს უარყოფითი (მაგალითად, თუ a \u003d 1 და c \u003d 2, მაშინ) ან დადებითი, (მაგალითად, თუ a \u003d −2 და c \u003d 6, მაშინ), ეს არ არის ნულის ტოლი , ვინაიდან c. 0 პირობით. განვიხილოთ ცალკეული შემთხვევები და.

თუ, მაშინ განტოლებას არ აქვს ფესვები. ეს განცხადება გამომდინარეობს იქიდან, რომ ნებისმიერი რიცხვის კვადრატი არის უარყოფითი რიცხვი. აქედან გამომდინარეობს, რომ როდესაც, p ნებისმიერი რიცხვისთვის ტოლობა არ შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი.

თუ, მაშინ განტოლების ფესვებთან დაკავშირებით სიტუაცია განსხვავებულია. ამ შემთხვევაში, თუ გახსოვთ ამის შესახებ, მაშინ განტოლების ფესვი მაშინვე აშკარა ხდება, ეს რიცხვია, ვინაიდან. ადვილი მისახვედრია, რომ რიცხვი ასევე განტოლების ფუძეა. ამ განტოლებას არ აქვს სხვა ფესვები, რაც შეიძლება აჩვენოს, მაგალითად, წინააღმდეგობამ. Მოდი გავაკეთოთ ეს.

მოდით აღვნიშნოთ განტოლების ფესვები, რომლებიც ახლა გამოითქვა x 1 და andx 1. დავუშვათ, რომ განტოლებას აქვს კიდევ ერთი ფესვი x 2 განსხვავებული მითითებული ფესვების x 1 და −x 1-ისგან. ცნობილია, რომ მისი ფესვების ჩანაცვლება განტოლებაში x- ის ნაცვლად, განტოლებას ნამდვილ რიცხვით თანასწორად აქცევს. X 1 და −x 1 გვაქვს და x 2 გვაქვს. რიცხვითი ტოლობების თვისებები საშუალებას გვაძლევს შევასრულოთ ჭეშმარიტი რიცხვითი ტოლობების დროდადრო გამოკლება, ამიტომ ტოლობების შესაბამისი ნაწილების გამოკლებით ხდება x 1 2 - x 2 2 \u003d 0. მოქმედებების თვისებები რიცხვებით საშუალებას გაძლევთ გადაწეროთ მიღებული თანასწორობა როგორც (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. ჩვენ ვიცით, რომ ორი რიცხვის პროდუქტი ნულის ტოლია, თუ მხოლოდ ერთი მათგანი ნულის ტოლია. შესაბამისად, მიღებული თანასწორობიდან გამომდინარეობს, რომ x 1 - x 2 \u003d 0 და / ან x 1 + x 2 \u003d 0, რომელიც იგივეა, x 2 \u003d x 1 და / ან x 2 \u003d −x 1. ასე მივედით წინააღმდეგობამდე, რადგან დასაწყისში ვთქვით, რომ x 2 განტოლების ფესვი განსხვავდება x 1 და −x 1-ისგან. ეს ადასტურებს, რომ განტოლებას სხვა ფესვები არ აქვს და.

მოდით შევაჯამოთ ამ პუნქტის ინფორმაცია. არასრული კვადრატული განტოლება a x 2 + c \u003d 0 უდრის განტოლებას, რომელიც

• არ აქვს ფესვები, თუ,
• აქვს ორი ფესვი და, თუ.

განვიხილოთ a · x 2 + c \u003d 0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლების ამოხსნის მაგალითები.

დავიწყოთ კვადრატული განტოლებით 9 x 2 + 7 \u003d 0. განტოლების მარჯვენა მხარეს თავისუფალი ტერმინის გადატანის შემდეგ ის მიიღებს 9 · x 2 \u003d −7 ფორმას. მიღებული განტოლების ორივე მხარის დაყოფა 9-ზე, მივიღებთ. ვინაიდან მარჯვენა მხარეს არის უარყოფითი რიცხვი, ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები, ამიტომ თავდაპირველ არასრულ კვადრატულ განტოლებას 9 · x 2 + 7 \u003d 0 არ აქვს ფესვები.

კიდევ ერთი არასრული კვადრატული განტოლების ამოხსნა −x 2 + 9 \u003d 0. გადაადგილეთ ცხრა მარჯვნივ: −x 2 \u003d −9. ახლა ორივე მხარე გავყოთ −1-ზე, მივიღებთ x 2 \u003d 9. მარჯვენა მხარეს არის დადებითი რიცხვი, საიდანაც დავასკვნათ, რომ ან. შემდეგ ჩავწერთ საბოლოო პასუხს: არასრული კვადრატული განტოლება −x 2 + 9 \u003d 0 აქვს ორი ფესვი x \u003d 3 ან x \u003d −3.

a x 2 + b x \u003d 0

რჩება გარიგება ბოლო ტიპის არასრული კვადრატული განტოლებების ამოხსნაზე c \u003d 0. A x 2 + b x \u003d 0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლებები საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ ფაქტორიზაციის მეთოდი... ცხადია, ჩვენ შეგვიძლია განტოლების მარცხენა მხარეს განლაგებული, რისთვისაც საკმარისია x ფაქტორის საერთო ფაქტორი. ეს საშუალებას გვაძლევს გადავიდეთ ორიგინალური არასრული კვადრატული განტოლებიდან x · (a · x + b) \u003d 0 ფორმის ექვივალენტური განტოლება. და ეს განტოლება ექვივალენტურია x \u003d 0 და x + b \u003d 0 ორი განტოლების კომბინაციისა, რომელთაგან ბოლო წრფივია და აქვს ფესვი x \u003d −b / a.

ასე რომ, არასრული კვადრატული განტოლება a x 2 + b x \u003d 0 აქვს ორი ფესვი x \u003d 0 და x \u003d −b / a.

მასალის კონსოლიდაციისთვის ჩვენ გავაანალიზებთ კონკრეტული მაგალითის ამოხსნას.

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლება.

გადაწყვეტილება.

ფრჩხილებიდან x გადაადგილება იძლევა განტოლებას. ეს ექვივალენტურია ორი განტოლების x \u003d 0 და. ჩვენ გადაჭრით მიღებულს ხაზოვანი განტოლება:, და შერეული რიცხვის ჩვეულებრივი წილადის გაყოფის შემდეგ ვხვდებით. ამიტომ, საწყისი განტოლების ფესვებია x \u003d 0 და.

საჭირო პრაქტიკის მიღების შემდეგ, მოკლედ შეგიძლიათ დაიწეროთ ასეთი განტოლებების ამოხსნები:

პასუხი:

x \u003d 0 ,.

დისკრიმინაციული, კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ძირეული ფორმულა არსებობს. Მოდი დავწეროთ კვადრატული ფორმულა: სად D \u003d b 2 −4 a გ - ე. წ კვადრატული დისკრიმინატორი... აღნიშვნა არსებითად ნიშნავს იმას.

სასარგებლოა იმის ცოდნა, თუ როგორ იქნა მიღებული ფესვის ფორმულა და როგორ გამოიყენება იგი კვადრატული განტოლების ფესვების ძიებისას. მოდით გაერკვნენ.

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის წარმოება

დავუშვათ, რომ უნდა ამოვხსნათ კვადრატული განტოლება a x 2 + b x + c \u003d 0. მოდით შევასრულოთ ექვივალენტური ტრანსფორმაციები

• ამ განტოლების ორივე მხარე შეგვიძლია დავყოთ ნულოვანი რიცხვით a, შედეგად მივიღებთ შემცირებულ კვადრატულ განტოლებას.
• ახლა შეარჩიეთ სრული კვადრატი მის მარცხენა მხარეს :. ამის შემდეგ განტოლება მიიღებს ფორმას.
• ამ ეტაპზე შესაძლებელია განხორციელდეს ბოლო ორი ტერმინის გადატანა მარჯვენა მხარეს საპირისპირო ნიშნით, ჩვენ გვაქვს.
• ჩვენ ასევე გარდაქმნის გამოხატვას მარჯვენა მხარეს:.

შედეგად, ჩვენ მივალთ განტოლებამდე, რომელიც ექვივალენტურია ორიგინალი კვადრატული განტოლების a x 2 + b x + c \u003d 0.

ჩვენ უკვე გადავწყვიტეთ წინა აბზაცებში მსგავსი ფორმით განტოლებები, როდესაც გავაანალიზეთ ისინი. ეს საშუალებას გვაძლევს გავაკეთოთ შემდეგი დასკვნები განტოლების ფესვებთან დაკავშირებით:

• თუ, მაშინ განტოლებას არ აქვს რეალური ამოხსნები;
• თუ, მაშინ განტოლებას აქვს ფორმა, შესაბამისად, საიდანაც ჩანს მისი ერთადერთი ფესვი;
• თუ, მაშინ ან, რაც იგივეა, ანუ, განტოლებას აქვს ორი ფესვი.

ამრიგად, განტოლების ფესვების არსებობა ან არარსებობა და, შესაბამისად, თავდაპირველი კვადრატული განტოლება, დამოკიდებულია მარჯვენა მხარეს გამოხატვის ნიშანზე. თავის მხრივ, ამ გამოთქმის ნიშანი განისაზღვრება მრიცხველის ნიშნით, რადგან მნიშვნელი 4 · a 2 ყოველთვის დადებითია, ანუ გამოხატვის ნიშანი b 2 − ·4 · a · c. ამ გამოთქმას b 2 −4 a c ეწოდა კვადრატული განტოლების დისკრიმინატორი და აღნიშნულია ასოთი დ... აქედან აშკარაა დისკრიმინატორის არსი - თავისი მნიშვნელობითა და ნიშნით დაასკვნიან აქვს თუ არა კვადრატულ განტოლებას რეალური ფესვები და თუ ასეა, რა არის მათი რიცხვი - ერთი ან ორი.

განტოლებას დავუბრუნდით, ჩვენ მას გადავწერთ განმასხვავებელი ნიშნის გამოყენებით:. ჩვენ დავასკვნათ დასკვნები:

• თუ დ<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• თუ D \u003d 0, ამ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი;
• დაბოლოს, თუ D\u003e 0, მაშინ განტოლებას აქვს ორი ფესვი ან, რომლის ძალითაც შეიძლება გადაიწეროს ფორმაში, ან წილადების საერთო მნიშვნელობამდე გაფართოებისა და შემცირების შემდეგ მივიღოთ.

ჩვენ მივიღეთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულები, მათ აქვთ ფორმა, სადაც დისკრიმინაციული D გამოითვლება ფორმულით D \u003d b 2 −4 · a · c.

მათი დახმარებით, პოზიტიური განმასხვავებლის საშუალებით შეგიძლიათ გამოთვალოთ კვადრატული განტოლების ორივე რეალური ფესვი. როდესაც დისკრიმინატორი ნულის ტოლია, ორივე ფორმულა აძლევს ერთსა და იმავე ძირეულ მნიშვნელობას, რომელიც შეესაბამება კვადრატული განტოლების უნიკალურ ამოხსნას. ნეგატიური დისკრიმინაციით, როდესაც კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის გამოყენებას ვცდილობთ, ჩვენ მოპოვების წინაშე ვდგავართ კვადრატული ფესვი უარყოფითი რიცხვიდან, რომელიც მიღმა გვაცილებს და სკოლის სასწავლო გეგმა... უარყოფითი დისკრიმინაციის შემთხვევაში, კვადრატულ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები, მაგრამ მას აქვს წყვილი რთული კონიუგატი ფესვები, რომელთა პოვნაც იგივე ფესვების ფორმულების გამოყენებით, რაც ჩვენ მივიღეთ.

კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი ძირეული ფორმულების გამოყენებით

პრაქტიკაში, კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გამოიყენოთ ძირეული ფორმულა, რომლითაც შეგიძლიათ გამოთვალოთ მათი მნიშვნელობები. მაგრამ ეს უფრო მეტად რთული ფესვების პოვნას ეხება.

ამასთან, სკოლის ალგებრის კურსში, როგორც წესი, საქმე ეხება არა კვადრატული განტოლების რთულ, არამედ რეალურ ფესვებს. ამ შემთხვევაში სასურველია, პირველ რიგში იპოვოთ დისკრიმინატორი კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულების გამოყენებამდე, დარწმუნდეთ, რომ იგი არაუარყოფითია (წინააღმდეგ შემთხვევაში შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ განტოლებას რეალური ფესვები არ აქვს) და მხოლოდ ამის შემდეგ გამოითვალოთ ფესვების მნიშვნელობები.

ზემოხსენებული მსჯელობა საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ კვადრატული განტოლების ამოხსნა... კვადრატული განტოლების a x 2 + b x + c \u003d 0 გადასაჭრელად საჭიროა:

• დისკრიმინაციული ფორმულით D \u003d b 2 −4 · a · c გამოთვალეთ მისი მნიშვნელობა;
• დაასკვნეთ, რომ კვადრატულ განტოლებას რეალური ფესვები არ აქვს, თუ დისკრიმინატორი უარყოფითია;
• გამოთვალეთ განტოლების ერთადერთი ფესვი ფორმულით, თუ D \u003d 0;
• იპოვნეთ კვადრატული განტოლების ორი რეალური ფესვი ფესვის ფორმულის გამოყენებით, თუ დისკრიმინატორი დადებითია.

აქ უბრალოდ აღვნიშნავთ, რომ თუ დისკრიმინატორი ნულის ტოლია, ფორმულის გამოყენებაც შეიძლება, ის იგივე მნიშვნელობას მისცემს, რაც.

შეგიძლიათ გააგრძელოთ კვადრატული განტოლების ამოხსნის ალგორითმის გამოყენების მაგალითები.

კვადრატული განტოლების ამოხსნის მაგალითები

განვიხილოთ სამი კვადრატული განტოლების ამონახსნები დადებითი, უარყოფითი და ნულოვანი განმასხვავებელი ნიშნით. მათი ამოხსნის საკითხის განხილვისას, ანალოგიით, შესაძლებელი იქნება ნებისმიერი სხვა კვადრატული განტოლების ამოხსნა. Დავიწყოთ.

მაგალითი.

იპოვნეთ x 2 + 2 x - 6 \u003d 0 განტოლების ფესვები.

გადაწყვეტილება.

ამ შემთხვევაში, კვადრატული განტოლების შემდეგი კოეფიციენტები გვაქვს: a \u003d 1, b \u003d 2 და c \u003d −6. ალგორითმის მიხედვით, ჯერ უნდა გამოთვალოთ დისკრიმინატორი, ამისათვის ჩვენ ჩავანაცვლებთ a, b და c დისკრიმინაციის ფორმულას, გვაქვს D \u003d b 2 −4 a c \u003d 2 2 −4 1 (−6) \u003d 4 + 24 \u003d 28... 28\u003e 0-დან, ანუ დისკრიმინატორი ნულზე მეტია, კვადრატულ განტოლებას ორი რეალური ფესვი აქვს. ჩვენ მათ ვხვდებით ძირეული ფორმულის მიხედვით, მივიღებთ, აქ შეგიძლიათ გაამარტივოთ მოქმედებით მიღებული გამონათქვამები ფესვის ნიშნის ფაქტორირება ფრაქციის შემდგომი შემცირებით:

პასუხი:

გადავიდეთ შემდეგ ტიპურ მაგალითზე.

მაგალითი.

ამოხსენი კვადრატული განტოლება x4x2 + 28x - 49 \u003d 0.

გადაწყვეტილება.

ჩვენ ვიწყებთ დისკრიმინატორის პოვნით: D \u003d 28 2 −4 (−4) (−49) \u003d 784−784 \u003d 0... ამ კვადრატულ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი, რომელსაც ვხვდებით,

პასუხი:

x \u003d 3.5.

რჩება კვადრატული განტოლებების ამოხსნის უარყოფითი დისკრიმინატორის განხილვა.

მაგალითი.

ამოხსენით განტოლება 5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0.

გადაწყვეტილება.

აქ მოცემულია კვადრატული განტოლების კოეფიციენტები: a \u003d 5, b \u003d 6 და c \u003d 2. ჩანაცვლებით ფორმულაში ამ მნიშვნელობებით, ჩვენ გვაქვს D \u003d b 2 −4 a c \u003d 6 2 4 5 2 \u003d 36−40 \u003d −4... დისკრიმინატორი უარყოფითია, ამიტომ ამ კვადრატულ განტოლებას რეალური ფესვები არ აქვს.

თუ თქვენ გჭირდებათ რთული ფესვების მითითება, ჩვენ ვიყენებთ კვადრატული განტოლების ფესვების ცნობილ ფორმულას და ვასრულებთ რთული რიცხვითი ოპერაციები:

პასუხი:

რეალური ფესვები არ არსებობს, რთული ფესვები ასეთია:.

კიდევ ერთხელ აღვნიშნავთ, რომ თუ კვადრატული განტოლების განმასხვავებელი უარყოფითია, მაშინ სკოლაში ისინი ჩვეულებრივ დაუყოვნებლივ წერენ პასუხს, რომელშიც მითითებულია, რომ არ არსებობს რეალური ფესვები და რთული ფესვები არ გვხვდება.

ძირეული ფორმულა თუნდაც მეორე კოეფიციენტებისათვის

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა, სადაც D \u003d b 2 −4 a c, საშუალებას იძლევა მივიღოთ უფრო კომპაქტური ფორმის ფორმულა, რომელიც საშუალებას იძლევა კვადრატული განტოლებების ამოხსნა თანაბარი კოეფიციენტით x (ან უბრალოდ 2 n ფორმის კოეფიციენტით, მაგალითად, ან 14 ln5 \u003d 2 7 ln5). ამოვიღოთ.

ვთქვათ, ჩვენ უნდა ამოვხსნათ ფორმის x კვადრატული განტოლება a x 2 + 2 n x + c \u003d 0. მოდით ვიპოვნოთ მისი ფესვები, ჩვენთვის ცნობილი ფორმულის გამოყენებით ამისათვის გამოთვალეთ დისკრიმინატორი D \u003d (2 n) 2 4 a c \u003d 4 n 2 −4 a c \u003d 4 (n 2 ca c)და შემდეგ გამოიყენეთ ძირეული ფორმულა:

მოდით აღვნიშნოთ გამოთქმა n 2 ca · c, როგორც D 1 (ზოგჯერ იგი აღინიშნება D "). შემდეგ განიხილება კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა მეორე კოეფიციენტის 2 n- სთან ერთად , სადაც D 1 \u003d n 2 - a · c.

ადვილი გასაგებია, რომ D \u003d 4 · D 1, ან D 1 \u003d D / 4. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, D 1 არის დისკრიმინატორის მეოთხე ნაწილი. ნათელია, რომ D 1 ნიშანი იგივეა, რაც D ნიშანი. ეს არის ის, რომ D 1 ნიშანი არის ასევე კვადრატული განტოლების ფესვების არსებობის ან არარსებობის მაჩვენებელი.

ასე რომ, კვადრატული განტოლების გადასაჭრელად მეორე კოეფიციენტით 2 n, გჭირდებათ

• გამოთვალეთ D 1 \u003d n 2 ·a · c;
• თუ D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• თუ D 1 \u003d 0, მაშინ გამოთვალეთ განტოლების ერთადერთი ფესვი ფორმულით;
• თუ D 1\u003e 0, მაშინ იპოვნეთ ორი რეალური ფესვი ფორმულით.

განვიხილოთ მაგალითის გადაწყვეტა ამ პარაგრაფში მიღებული ძირეული ფორმულის გამოყენებით.

მაგალითი.

ამოხსენი კვადრატული განტოლება 5x2 6x - 32 \u003d 0.

გადაწყვეტილება.

ამ განტოლების მეორე კოეფიციენტი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს 2 · (−3) სახით. ანუ, თქვენ შეგიძლიათ გადაწეროთ ორიგინალური კვადრატული განტოლება 5 x 2 + 2 (−3) x - 32 \u003d 0, აქ a \u003d 5, n \u003d −3 და c \u003d −32 და გამოთვალოთ დისკრიმინატორის მეოთხე ნაწილი: D 1 \u003d n 2 ca c \u003d (- 3) 2 −5 (−32) \u003d 9 + 160 \u003d 169... ვინაიდან მისი მნიშვნელობა დადებითია, განტოლებას ორი რეალური ფესვი აქვს. მოდით ვიპოვნოთ ისინი შესაბამისი ძირეული ფორმულის გამოყენებით:

გაითვალისწინეთ, რომ შესაძლებელი იყო კვადრატული განტოლების ფესვების ჩვეულებრივი ფორმულის გამოყენება, მაგრამ ამ შემთხვევაში უფრო მეტი სამუშაო უნდა შესრულებულიყო.

პასუხი:

კვადრატული განტოლებების გამარტივება

ზოგჯერ, სანამ კვადრატული განტოლების ფესვების გაანგარიშებას დაიწყებთ ფორმულებით, არ მწყინს კითხვის დასმა: "შესაძლებელია თუ არა ამ განტოლების ფორმის გამარტივება?" ვეთანხმები რომ გამოთვლების თვალსაზრისით უფრო ადვილი იქნება კვადრატული განტოლების ამოხსნა 11 x 2 −4 x - 6 \u003d 0 ვიდრე 1100 x 2 −400 x - 600 \u003d 0.

ჩვეულებრივ, კვადრატული განტოლების ფორმის გამარტივება მიიღწევა მისი ორივე ნაწილის გამრავლებით ან გაყოფით რაიმე რიცხვზე. მაგალითად, წინა აბზაცში ჩვენ შევძელით 1100x2 −400x - 600 \u003d 0 განტოლების გამარტივება, ორივე მხარე გავყოთ 100-ზე.

მსგავსი გარდაქმნა ხორციელდება კვადრატული განტოლებებით, რომელთა კოეფიციენტები არ არის. ამ შემთხვევაში, განტოლების ორივე მხარე ჩვეულებრივ იყოფა აბსოლუტური ღირებულებები მისი კოეფიციენტები. მაგალითად, ავიღოთ კვადრატული განტოლება 12 x 2 −42 x + 48 \u003d 0. მისი კოეფიციენტების აბსოლუტური მნიშვნელობები: GCD (12, 42, 48) \u003d GCD (GCD (12, 42), 48) \u003d GCD (6, 48) \u003d 6. თავდაპირველი კვადრატული განტოლების ორივე მხარის დაყოფა 6-ზე, მივიღებთ ექვივალენტ კვადრატულ განტოლებას 2 x 2 −7 x + 8 \u003d 0.

და კვადრატული განტოლების ორივე მხარის გამრავლება ჩვეულებრივ ხდება წილადური კოეფიციენტების მოსაცილებლად. ამ შემთხვევაში გამრავლება ხორციელდება მისი კოეფიციენტების მნიშვნელობებით. მაგალითად, თუ კვადრატული განტოლების ორივე მხარე გამრავლებულია LCM (6, 3, 1) \u003d 6-ზე, მაშინ ის მიიღებს უფრო მარტივ ფორმას x 2 + 4 x - 18 \u003d 0.

ამ პუნქტის დასასრულს, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ თითქმის ყოველთვის მოვიცილეთ მინუსი კვადრატული განტოლების წამყვანი კოეფიციენტის დროს, შეცვალეთ ყველა ტერმინის ნიშნები, რაც შეესაბამება ორივე ნაწილის ply1 გამრავლებას (ან გაყოფას). მაგალითად, ჩვეულებრივ კვადრატული განტოლებიდან −2x2 −3x + 7 \u003d 0 გადადის ამოხსნისთვის 2x2 + 3x - 7 \u003d 0.

კვადრატული განტოლების ფესვებსა და კოეფიციენტებს შორის კავშირი

კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა გამოხატავს განტოლების ფესვებს მისი კოეფიციენტების მიხედვით. ფესვის ფორმულის საფუძველზე, შეგიძლიათ მიიღოთ სხვა დამოკიდებულებები ფესვებს და კოეფიციენტებს შორის.

ყველაზე ცნობილი და გამოყენებული ფორმულებია ვიეტას ფორმის თეორემიდან და. კერძოდ, მოცემული კვადრატული განტოლებისთვის, ფესვების ჯამი ტოლია მეორე კოეფიციენტის საპირისპირო ნიშნით, ხოლო ფესვების პროდუქტი თავისუფალი ვადის ტოლია. მაგალითად, კვადრატული განტოლების ფორმით 3 x 2 −7 x + 22 \u003d 0, დაუყოვნებლივ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მისი ფესვების ჯამია 7/3, ხოლო ფესვების პროდუქტი 22/3.

უკვე დაწერილი ფორმულების გამოყენებით შეგიძლიათ მიიღოთ რიგი სხვა კავშირების ფესვებსა და კვადრატული განტოლების კოეფიციენტებს შორის. მაგალითად, თქვენ შეგიძლიათ გამოხატოთ კვადრატული განტოლების ფესვების კვადრატების ჯამი მისი კოეფიციენტების საშუალებით:.

ცნობების სია.

• Ალგებრა: სწავლა. 8 კლ. ზოგადი განათლება. ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ. გ. მინდიუკი, კ. ი. ნეშკოვი, ს. ბ. სუვოროვა]; რედ. ს. ა. ტელიაკოვსკი. - მე -16 გამოცემა - მ .: განათლება, 2008 წ. - 271 გვ. : ავად - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovich Ალგებრა. მე -8 კლასი. 14 საათზე ნაწილი 1. სახელმძღვანელო სასწავლო დაწესებულებების სტუდენტებისათვის / A. G. Mordkovich. - მე -11 გამოცემა, წაშლილია. - მ.: მნემოსინა, 2009 წ. - 215 გვ. ავად. ISBN 978-5-346-01155-2.

Უბრალოდ. ფორმულებითა და მკაფიო, მარტივი წესებით. პირველ ეტაპზე

აუცილებელია მოცემული განტოლების შემცირება სტანდარტული ხედი, ე.ი. შეხედვა:

თუ განტოლება ამ ფორმით უკვე მოგეცათ, პირველი ნაბიჯის გაკეთება არ დაგჭირდებათ. მთავარია სწორი

განსაზღვრავს ყველა კოეფიციენტს, და, ბ და გ.

კვადრატული განტოლების ფესვების პოვნის ფორმულა.

ფესვის ნიშნის ქვეშ გამოთქმას ეწოდება დისკრიმინაციული ... როგორც ხედავთ, x– ს პოვნა, ჩვენ

გამოყენება მხოლოდ a, b და c. იმ კოეფიციენტებიდან კვადრატული განტოლება... უბრალოდ ფრთხილად შეცვალეთ

მნიშვნელობა ა, ბ და გ ამ ფორმულაში და ითვლიან. შეცვალეთ მათ მიერ ნიშნები!

მაგალითადგანტოლებაში:

და =1; ბ = 3; გ = -4.

შეცვალეთ მნიშვნელობები და დაწერეთ:

მაგალითი თითქმის ამოხსნილია:

ეს არის პასუხი.

ყველაზე გავრცელებული შეცდომებია დაბნეულობა მნიშვნელობის ნიშნებთან. ა, ბდა დან... უფრო მეტიც, ჩანაცვლებით

უარყოფითი მნიშვნელობები ფესვების გაანგარიშების ფორმულაში. აქ ფორმულის დეტალური აღნიშვნა ზოგავს

სპეციფიკური ციფრებით. თუ გამოთვლითი პრობლემები გაქვთ, გააკეთეთ ეს!

დავუშვათ, თქვენ უნდა მოაგვაროთ ეს მაგალითი:

Აქ ა = -6; ბ = -5; გ = -1

ჩვენ ყველაფერს ვხატავთ დაწვრილებით, ფრთხილად, ყველაფრის დაკარგვის გარეშე, ყველა ნიშნით და ფრჩხილებით:

კვადრატული განტოლებები ხშირად ოდნავ განსხვავებულად გამოიყურება. მაგალითად, ასე:

ახლა გაითვალისწინეთ საუკეთესო პრაქტიკა, რომელიც მკვეთრად შეამცირებს შეცდომებს.

პირველი მიღება... მანამდე ნუ იზარმაცებ კვადრატული განტოლების ამოხსნა სტანდარტულ ფორმაში მოყვანა.

Რას ნიშნავს ეს?

ვთქვათ, ნებისმიერი გარდაქმნის შემდეგ, თქვენ მიიღეთ შემდეგი განტოლება:

ნუ იჩქარებთ ფესვის ფორმულის დაწერას! თითქმის უეჭველად აურიეთ შანსები. ა, ბ და გ.

ააშენეთ მაგალითი სწორად. პირველი, X არის კვადრატი, შემდეგ კვადრატის გარეშე, შემდეგ თავისუფალი ტერმინი. Ამგვარად:

მოიცილეთ მინუსი. Როგორ? თქვენ უნდა გაამრავლოთ მთელი განტოლება -1-ზე. მივიღებთ:

მაგრამ ახლა თქვენ შეგიძლიათ უსაფრთხოდ დაწეროთ ფესვების ფორმულა, გამოთვალოთ დისკრიმინატორი და შეავსოთ მაგალითი.

Თვითონ გააკეთე. თქვენ უნდა გქონდეთ 2 და -1 ფესვები.

მიღება მეორე. შეამოწმეთ ფესვები! ავტორი ვიეტას თეორემა.

მოცემული კვადრატული განტოლებების ამოხსნა, ე.ი. თუ კოეფიციენტი

x 2 + bx + c \u003d 0,

შემდეგ x 1 x 2 \u003d გ

x 1 + x 2 \u003d -ბ

სრული კვადრატული განტოლებისთვის, რომელშიც ა 1 ფუნტი სტერლინგი:

x 2 +ბx +გ=0,

მთელი განტოლების გაყოფა და:

→ →

სად x 1 და x 2 - განტოლების ფესვები.

მიღება მესამე... თუ თქვენი განტოლება შეიცავს ფრაქციულ კოეფიციენტებს, მოიცილეთ წილადები! გამრავლება

საერთო მნიშვნელის განტოლება.

გამომავალი პრაქტიკული რჩევები:

1. ამოხსნამდე, კვადრატული განტოლება მოვიტანეთ სტანდარტულ ფორმაში, ვაშენეთ იგი მართალი.

2. თუ x- ის წინ არის უარყოფითი კოეფიციენტი კვადრატში, მას გამოვრიცხავთ ჯამის გამრავლებით

განტოლებები -1-ით.

3. თუ კოეფიციენტები წილადია, ჩვენ გამოვრიცხავთ წილადებს, მთლიანი განტოლების შესაბამისზე გამრავლებით

ფაქტორი

4. თუ x კვადრატში სუფთაა, მასზე კოეფიციენტი უდრის ერთს, ხსნარი მარტივად შეგიძლიათ შეამოწმოთ

კვადრატული განტოლებები... Ზოგადი ინფორმაცია.

IN კვადრატული x უნდა იყოს წარმოდგენილი კვადრატში (ამიტომ მას უწოდებენ

"მოედანი"). მის გარდა, განტოლება შეიძლება (ან არ იყოს!) უბრალოდ x (პირველ ხარისხში) და

მხოლოდ ნომერი (თავისუფალი წევრი). და არ უნდა არსებობდეს x– ები ორზე მეტი ხარისხით.

ზოგადი ალგებრული განტოლება.

სად x - უფასო ცვლადი, ა, ბ, გ - კოეფიციენტები და ა≠0 .

მაგალითად:

გამოხატვა დაურეკა კვადრატული სამეული.

კვადრატული განტოლების ელემენტებს აქვთ საკუთარი სახელები:

ეწოდება პირველ ან ყველაზე მაღალ კოეფიციენტს,

ეწოდება მეორე ან კოეფიციენტი,

· გამოიძახეს თავისუფალ წევრად.

სრული კვადრატული განტოლება.

ამ კვადრატულ განტოლებებს აქვს ტერმინების სრული ნაკრები მარცხნივ. X კვადრატში

კოეფიციენტი და, x პირველი სიმძლავრით კოეფიციენტით ბ და უფასო წევრი დან INყველა შანსები

უნდა იყოს ნულოვანი.

არასრული ეწოდება კვადრატულ განტოლებას, რომელშიც ერთ – ერთი კოეფიციენტი მაინც, გარდა

უმაღლესი (ან მეორე კოეფიციენტი ან თავისუფალი ვადა) ნულის ტოლია.

მოდით ვითომ ასე ბ \u003d 0, - x ქრება პირველ ხარისხში. აღმოჩნდება, მაგალითად:

2x 2 -6x \u003d 0,

და ა.შ. და თუ ორივე კოეფიციენტი, ბ და გ ნულის ტოლია, მაშინ ყველაფერი კიდევ უფრო ადვილია, მაგალითად:

2x 2 \u003d 0,

გაითვალისწინეთ, რომ x კვადრატი ყველა განტოლებაშია.

რატომ და არ შეიძლება იყოს ნული? შემდეგ x კვადრატი ქრება და ხდება განტოლება ხაზოვანი .

და ეს სულ სხვაგვარად არის გადაწყვეტილი ...

არასრული კვადრატული განტოლება განსხვავდება კლასიკური (სრული) განტოლებებისგან იმით, რომ მისი ფაქტორები ან ჩაჭრა ნულის ტოლია. ასეთი ფუნქციების გრაფიკი არის პარაბოლა. მათი ზოგადი გარეგნობიდან გამომდინარე, ისინი იყოფა 3 ჯგუფად. ყველა ტიპის განტოლების ამოხსნის პრინციპები ერთნაირია.

არასრული მრავალწევრის ტიპის განსაზღვრა რთული არაფერია. უმჯობესია განვიხილოთ ძირითადი განსხვავებები საილუსტრაციო მაგალითების გამოყენებით:

1. თუ b \u003d 0, მაშინ განტოლება არის ax 2 + c \u003d 0.
2. თუ c \u003d 0, მაშინ უნდა გამოიხსნას გამოხატვა ax 2 + bx \u003d 0.
3. თუ b \u003d 0 და c \u003d 0, მაშინ მრავალწევრი ხდება ax ax \u003d 2 ტიპის ტოლობა.

ეს უკანასკნელი უფრო თეორიული შესაძლებლობაა და ცოდნის ტესტირების ამოცანებში არასდროს გვხვდება, რადგან x ცვლადის ერთადერთი მოქმედი მნიშვნელობა ნულოვანია. მომავალში განიხილება არასრული კვადრატული განტოლებების 1) და 2) ტიპების ამოხსნის მეთოდები და მაგალითები.

ცვლადების და მაგალითების ამოხსნის ზოგადი ალგორითმი

განტოლების ტიპის მიუხედავად, ამონახსნის ალგორითმი შემდეგ ნაბიჯებზე გადადის:

1. გამოიტანეთ გამონათქვამი ფესვების მოსაძებნად მოსახერხებელ ფორმაში.
2. გამოთვლების შესრულება.
3. ჩაიწერეთ თქვენი პასუხი.

არასრული განტოლებების ამოხსნის უმარტივესი გზაა მარცხენა მხარის ფაქტორირება და ნულის დატოვება მარჯვნივ. ამრიგად, ფესვების მოძიების არასრული კვადრატული განტოლების ფორმულა მცირდება თითოეული ფაქტორის x- ის მნიშვნელობის გამოთვლამდე.

თქვენ შეგიძლიათ ისწავლოთ მხოლოდ მისი მოგვარების პრაქტიკაში, ამიტომ განვიხილოთ არასრული განტოლების ფესვების პოვნის კონკრეტული მაგალითი:

როგორც ხედავთ, ამ შემთხვევაში b \u003d 0. მოდით განვახორციელოთ მარცხენა მხარე და მივიღოთ გამოთქმა:

4 (x - 0,5) ⋅ (x + 0,5) \u003d 0.

ცხადია, პროდუქტი ნულის ტოლია, როდესაც ერთ – ერთი ფაქტორი მაინც ნულოვანია. X1 \u003d 0.5 და (ან) x2 \u003d -0.5 ცვლადის მნიშვნელობები აკმაყოფილებს ამ მოთხოვნებს.

იმისათვის, რომ მარტივად და სწრაფად გაუმკლავდეთ კვადრატული ტრინიუმის ფაქტორებად დანიშვნის პრობლემას, უნდა გახსოვდეთ შემდეგი ფორმულა:

თუ გამოხატვაში თავისუფალი ტერმინი არ არის, ამოცანა მნიშვნელოვნად გამარტივდება. საკმარისი იქნება მხოლოდ საერთო მნიშვნელის პოვნა და ამოღება. სიცხადისთვის განვიხილოთ მაგალითი, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ ax2 + bx \u003d 0 ფორმის არასრული კვადრატული განტოლებები.

ფრჩხილებიდან ამოვიღოთ ცვლადი x და მივიღოთ შემდეგი გამოხატვა:

x ⋅ (x + 3) \u003d 0.

ლოგიკით ხელმძღვანელობით მივიდეთ დასკვნამდე, რომ x1 \u003d 0, და x2 \u003d -3.

ტრადიციული ამოხსნა და არასრული კვადრატული განტოლებები

რა მოხდება, თუ გამოიყენებთ დისკრიმინაციის ფორმულას და შეეცდებით იპოვოთ მრავალწევრის ფესვები, კოეფიციენტები ნულის ტოლი? ავიღოთ მაგალითი მათემატიკაში გამოცდისთვის დამახასიათებელი დავალებების კრებულიდან 2017 წელს, გადავჭრათ სტანდარტული ფორმულების და ფაქტორინგის მეთოდის გამოყენებით.

7x 2 - 3x \u003d 0.

მოდით გამოვთვალოთ დისკრიმინატორის მნიშვნელობა: D \u003d (-3) 2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 \u003d 9. გამოდის, რომ პოლინომს აქვს ორი ფესვი:

ახლა, მოდით, განვსაზღვროთ განტოლება ფაქტორინგით და შევადაროთ შედეგები.

X ⋅ (7x + 3) \u003d 0,

2) 7x + 3 \u003d 0,
7x \u003d -3,
x \u003d -.

როგორც ხედავთ, ორივე მეთოდი ერთსა და იმავე შედეგს იძლევა, მაგრამ განტოლების ამოხსნა მეორე მეთოდით ბევრად უფრო მარტივი და სწრაფი აღმოჩნდა.

ვიეტას თეორემა

და რა უნდა გააკეთოს საყვარელ ვიეტას თეორემასთან? შეიძლება თუ არა ამ მეთოდის გამოყენება არასრული სამეულით? შევეცადოთ გავიგოთ არასრული განტოლებების კლასიკური ფორმის ax2 + bx + c \u003d 0 შემცირების ასპექტები.

სინამდვილეში, ამ შემთხვევაში შესაძლებელია ვიეტას თეორემის გამოყენება. საჭიროა მხოლოდ გამოხატვის ზოგადი ფორმით მიტანა, დაკარგული წევრების ნულით ჩანაცვლება.

მაგალითად, b \u003d 0 და a \u003d 1, დაბნეულობის ალბათობის აღმოსაფხვრელად, დავალება უნდა დაიწეროს ფორმით: ax2 + 0 + c \u003d 0. შემდეგ მრავალწევრის ფესვებისა და ფაქტორების ჯამისა და პროდუქტის თანაფარდობა შეიძლება შემდეგნაირად გამოვხატოთ:

თეორიული გამოთვლები ეხმარება გაეცნონ საკითხის არსს და ყოველთვის საჭიროებენ პრაქტიკულ უნარებს კონკრეტული პრობლემების გადაჭრისას. კვლავ მივმართოთ გამოცდისთვის დამახასიათებელ დავალებების ცნობარი წიგნს და მოვიძიოთ შესაფერისი მაგალითი:

მოდით, დავწეროთ გამონათქვამი ვიეტას თეორემის გამოყენების მოსახერხებელ ფორმაში:

x 2 + 0 - 16 \u003d 0.

შემდეგი ნაბიჯი არის პირობების სისტემის შექმნა:

ცხადია, კვადრატული მრავალწევრის ფესვები იქნება x 1 \u003d 4 და x 2 \u003d -4.

ახლა მოდით ვივარჯიშოთ განტოლების ზოგად ფორმაში მოყვანაზე. მიიღეთ შემდეგი მაგალითი: 1/4 × x 2 - 1 \u003d 0

იმისთვის, რომ ვიეტას თეორემა გამოვიყენოთ გამონათქვამზე, საჭიროა განვათავისუფლოთ ფრაქცია. გავამრავლოთ მარცხენა და მარჯვენა მხარეები 4-ზე და გადახედეთ შედეგს: x2– 4 \u003d 0. შედეგად მიღებული თანასწორობა მზადაა ვიეტას თეორემის გადასაჭრელად, მაგრამ პასუხის მიღება ბევრად უფრო ადვილი და სწრაფია c \u003d 4 განტოლების მარჯვენა მხარეს გადატანით: x2 \u003d 4.

შეჯამებისას უნდა ითქვას, რომ არასრული განტოლებების ამოხსნის საუკეთესო გზაა ფაქტორიზაცია, რაც ყველაზე მარტივი და სწრაფი მეთოდია. თუ ფესვების ძიების პროცესში შეხვდებით სირთულეებს, შეგიძლიათ მიმართოთ ფესვების ძიების ტრადიციულ მეთოდს დისკრიმინატორის მეშვეობით.