განტოლების ამოხსნის მაგალითები მოდულით. რიცხვის მოდული (რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა), განმარტებები, მაგალითები, თვისებები. რიცხვის მოდული - განმარტება, აღნიშვნა და მაგალითები

ჩვენ მათემატიკას არ ვირჩევთმისი პროფესია და ის გვირჩევს ჩვენ.

რუსი მათემატიკოსი იუ. მანინი

განტოლებები მოდულთან

სკოლის მათემატიკის პრობლემების გადაჭრა ყველაზე რთულია მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადების შემცველი განტოლებები. ამგვარი განტოლებების წარმატებით გადასაჭრელად საჭიროა იცოდეთ მოდულის განმარტება და ძირითადი თვისებები. ბუნებრივია, სტუდენტებს უნდა ჰქონდეთ ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნის უნარი.

ძირითადი ცნებები და თვისებები

რეალური რიცხვის მოდული (აბსოლუტური მნიშვნელობა) აღინიშნა და განისაზღვრება შემდეგნაირად:

მოდულის მარტივი თვისებები მოიცავს შემდეგ ურთიერთობებს:

Შენიშვნა, რომ ბოლო ორი თვისება მოქმედებს ნებისმიერი ლუწი ხარისხისთვის.

გარდა ამისა, თუ სად, მაშინ

უფრო რთული მოდულის თვისებები, რომლის ეფექტურად გამოყენება შესაძლებელია მოდულებთან განტოლებების ამოხსნისთვის, ფორმულირებულია შემდეგი თეორემების საშუალებით:

თეორემა 1. ნებისმიერი ანალიტიკური ფუნქციისთვის და უთანასწორობა მოქმედებს

თეორემა 2. თანასწორობა უტოლობის ტოლფასია.

თეორემა 3. Თანასწორობა უტოლობის ტოლფასია.

განვიხილოთ პრობლემების გადაჭრის ტიპიური მაგალითები თემაზე ”განტოლებები, რომელიც შეიცავს ცვლადებს მოდულის ნიშნის ქვეშ ".

განტოლებათა ამოხსნა მოდულთან ერთად

სკოლის მათემატიკაში მოდულის საშუალებით განტოლებების ამოხსნის ყველაზე გავრცელებული მეთოდი არის მეთოდი, მოდულების გაფართოების საფუძველზე. ეს მეთოდი მრავალმხრივია, თუმცა, ზოგადად, მისმა გამოყენებამ შეიძლება გამოიწვიოს ძალიან რთული გამოთვლები. ამ მხრივ, სტუდენტებმა უნდა იცოდნენ სხვა, ასეთი განტოლებების ამოხსნის უფრო ეფექტური მეთოდები და ტექნიკა. Კერძოდ, თქვენ უნდა გქონდეთ თეორემის გამოყენების უნარები, მოცემულია ამ სტატიაში.

მაგალითი 1.ამოხსენით განტოლება. (1)

გადაწყვეტილება. (1) განტოლება გადაწყდება "კლასიკური" მეთოდით - მოდულების გაფართოების მეთოდით. ამისათვის ჩვენ გავყოფთ რიცხვის ღერძს წერტილები და ინტერვალებში და განიხილოს სამი შემთხვევა.

1. თუ, მაშინ ,,, და განტოლება (1) იღებს ფორმას. აქედან გამომდინარეობს. ამასთან, აქ, შესაბამისად, ნაპოვნი მნიშვნელობა არ წარმოადგენს განტოლების ფუძეს (1).

2. თუ, შემდეგ (1) განტოლებიდან ვიღებთ ან

Მას შემდეგ განტოლების ფესვი (1).

3. თუ, შემდეგ განტოლება (1) იღებს ფორმას ან Ჩაინიშნე.

პასუხი:,.

მოდულით მომდევნო განტოლებების ამოხსნისას, აქტიურად გამოვიყენებთ მოდულების თვისებებს, ამგვარი განტოლებების ამოხსნის ეფექტურობის ასამაღლებლად.

მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება.

გადაწყვეტილება. მას შემდეგ, რაც, მაშინ განტოლება გულისხმობს... Ამ მხრივ,,, და განტოლება იღებს ფორმას... აქედან ვიღებთ... თუმცა, ამიტომ, თავდაპირველ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

პასუხი: ფესვები არ არსებობს.

მაგალითი 3. ამოხსენით განტოლება.

გადაწყვეტილება. Მას შემდეგ. თუ, მაშინ და განტოლება იღებს ფორმას.

აქედან ვიღებთ.

მაგალითი 4. ამოხსენით განტოლება.

გადაწყვეტილება.ჩვენ გადავწერთ განტოლებას ეკვივალენტური ფორმით. (2)

მიღებული განტოლება მიეკუთვნება ტიპის განტოლებებს.

2 თეორემის გათვალისწინებით შეიძლება ითქვას, რომ განტოლება (2) უთანასწორობის ტოლფასია. აქედან ვიღებთ.

პასუხი:

მაგალითი 5. ამოხსენით განტოლება.

გადაწყვეტილება. ამ განტოლებას აქვს ფორმა... ამიტომ, თეორემა 3-ის თანახმად, აქ ჩვენ გვაქვს უთანასწორობა ან

მაგალითი 6. ამოხსენით განტოლება.

გადაწყვეტილება. მოდით ვივარაუდოთ, რომ. როგორც, მაშინ მოცემული განტოლება კვადრატული განტოლების სახეს იღებს, (3)

სად ... ვინაიდან (3) განტოლებას აქვს ერთი პოზიტიური ფუძე და მერე ... ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ორიგინალური განტოლების ორ ფესვს: და

მაგალითი 7. ამოხსენით განტოლება. (4)

გადაწყვეტილება. განტოლების შემდეგ უდრის ორი განტოლების კომბინაციას: და, შემდეგ (4) განტოლების ამოხსნისას აუცილებელია ორი შემთხვევის განხილვა.

1. თუ, მაშინ ან.

აქედან ვიღებთ და.

2. თუ, მაშინ ან.

Მას შემდეგ.

პასუხი: ,,,.

მაგალითი 8. ამოხსენით განტოლება . (5)

გადაწყვეტილება. მას შემდეგ და. აქედან და ექ. (5) -დან გამომდინარეობს, რომ და, ე.ი. აქ გვაქვს განტოლებების სისტემა

ამასთან, განტოლებების ეს სისტემა არათანმიმდევრულია.

პასუხი: ფესვები არ არსებობს.

მაგალითი 9. ამოხსენით განტოლება. (6)

გადაწყვეტილება.თუ აღვნიშნავთ, მაშინ და (6) განტოლებიდან ვიღებთ

ან (7)

რადგან განტოლებას (7) აქვს ფორმა, ეს განტოლება უთანასწორობის ტოლფასია. აქედან ვიღებთ. მას შემდეგ, რაც, ან.

პასუხი:

მაგალითი 10. ამოხსენით განტოლება. (8)

გადაწყვეტილება. თეორემის 1 თანახმად, შეგვიძლია დავწეროთ

(9)

(8) განტოლების გათვალისწინებით დავასკვნათ, რომ ორივე უტოლობა (9) გადაიქცევა ტოლობებად, ე.ი. განტოლებების სისტემა ინახავს

ამასთან, თეორემა 3-ს თანახმად, განტოლებების ზემოხსენებული სისტემა უთანასწორობის სისტემის ტოლფასია

(10)

უთანასწორობის სისტემის მოგვარებას (10), ვიღებთ. რადგან უტოლობების სისტემა (10) ტოლფასია (8), თავდაპირველ განტოლებას აქვს ერთი ფუძე.

პასუხი:

მაგალითი 11. ამოხსენით განტოლება. (11)

გადაწყვეტილება. მოდით და, შემდეგ თანასწორობა გამომდინარეობს განტოლებიდან (11).

აქედან გამომდინარეობს, რომ და. ამრიგად, აქ ჩვენ გვაქვს უთანასწორობის სისტემა

უთანასწორობის ამ სისტემის გადაჭრა არის და

პასუხი:,.

მაგალითი 12. ამოხსენით განტოლება. (12)

გადაწყვეტილება. (12) განტოლება გადაწყდება მოდულების თანმიმდევრული გაფართოების მეთოდით. ამისათვის განვიხილოთ რამდენიმე შემთხვევა.

1. თუ, მაშინ.

1.1. თუ, მაშინ და.

1.2. თუ, მაშინ. თუმცა, ამიტომ, ამ შემთხვევაში (12) განტოლებას არ აქვს ფესვები.

2. თუ, მაშინ.

2.1. თუ, მაშინ და.

2.2. თუ, მაშინ და.

პასუხი: ,,,,.

მაგალითი 13. ამოხსენით განტოლება. (13)

გადაწყვეტილება. ვინაიდან ეკვ-ის (13) მარცხენა მხარე არ არის ნეგატიური და. ამასთან დაკავშირებით და განტოლება (13)

იღებს ფორმას ან.

ცნობილია, რომ განტოლება უდრის ორი განტოლების კომბინაციას და, იმის გადაწყვეტა, თუ რომელი მივიღებთ, როგორც, მაშინ განტოლებას (13) აქვს ერთი ფესვი.

პასუხი:

მაგალითი 14. განტოლებების სისტემის ამოხსნა (14)

გადაწყვეტილება. მას შემდეგ, რაც, და შემდეგ და. ამიტომ, განტოლებათა სისტემიდან (14) მივიღებთ განტოლების ოთხ სისტემას:

განტოლებების ზემოხსენებული სისტემების ფესვები განტოლებების სისტემის ფესვებია (14).

პასუხი: ,,,,,,,.

მაგალითი 15. განტოლებების სისტემის ამოხსნა (15)

გადაწყვეტილება. Მას შემდეგ. ამასთან დაკავშირებით, განტოლებათა სისტემიდან (15) ვიღებთ განტოლების ორ სისტემას

განტოლების პირველი სისტემის ფესვებია და, და განტოლების მეორე სისტემისგან ვიღებთ და.

პასუხი: ,,,.

მაგალითი 16. განტოლებების სისტემის ამოხსნა (16)

გადაწყვეტილება. სისტემის (16) პირველი განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ.

Მას შემდეგ ... განვიხილოთ სისტემის მეორე განტოლება. Იმდენად, რამდენადაცშემდეგ, და განტოლება იღებს ფორმას, ან

თუ თქვენ შეცვლით მნიშვნელობას სისტემის პირველ განტოლებაში (16), მაშინ, ან.

პასუხი:,.

პრობლემის გადაჭრის მეთოდების უფრო ღრმად შესასწავლად, განტოლებების ამოხსნასთან დაკავშირებული, შეიცავს ცვლადებს მოდულის ნიშნის ქვეშ, შეიძლება ვურჩიო გაკვეთილები რეკომენდებული ლიტერატურის ჩამონათვალიდან.

1. მათემატიკაში არსებული პრობლემების კრებული ტექნიკური კოლეჯების განმცხადებლებისთვის / რედ. მ.ი. სკანავი. - მ.: მშვიდობა და განათლება, 2013 წ. - 608 გვ.

2. Suprun V.P. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: გაზრდილი სირთულის პრობლემები. - მ.: CD "Librokom" / URSS, 2017 .-- 200 გვ.

3. სუპრუნი V.P. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: პრობლემების გადაჭრის არასტანდარტული მეთოდები. - მ.: CD "Librokom" / URSS, 2017 .-- 296 გვ.

კიდევ გაქვთ შეკითხვები?

დამრიგებლისგან დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

მოდული არის გამოხატვის აბსოლუტური მნიშვნელობა. იმისათვის, რომ როგორმე აღინიშნოს მოდული, ჩვეულებრივი ფრჩხილების გამოყენება ჩვეულებრივია. სწორი ფრჩხილებში თანდართული მნიშვნელობა არის მოდულის აღებული მნიშვნელობა. ნებისმიერი მოდულის ამოხსნის პროცესი შედგება ძალიან სწორი ფრჩხილების გაფართოებაში, რომლებსაც მათემატიკურ ენაში უწოდებენ მოდულურ ფრჩხილებს. მათი გამჟღავნება ხდება გარკვეული რაოდენობის წესების შესაბამისად. ასევე, მოდულების ამოხსნის მიზნით, ასევე მოცემულია იმ გამონათქვამების მნიშვნელობების ერთობლიობა, რომლებიც მოდულის ფრჩხილებში იყო. უმეტეს შემთხვევაში, მოდული გაფართოებულია ისე, რომ გამოხატვა, რომელიც იყო ქვემოდულური, იღებს დადებით და უარყოფით მნიშვნელობებს, ნულის მნიშვნელობის ჩათვლით. თუ ჩვენ დავიწყებთ მოდულის დადგენილი თვისებებიდან, ამ პროცესში დგება ორიგინალური გამონათქვამიდან სხვადასხვა განტოლებები ან უტოლობები, რომელთა გადაჭრაც საჭიროა. მოდით გაერკვნენ, თუ როგორ უნდა გადაწყვიტოს მოდულები.

ამოხსნის პროცესი

მოდულის ამოხსნა იწყება თავდაპირველი განტოლების მოდულით დაწერით. კითხვაზე პასუხის გასაცემად, თუ როგორ უნდა გადავწყვიტოთ განტოლებები მოდულით, საჭიროა მისი სრული გაფართოება. ამგვარი განტოლების ამოხსნისთვის მოდული გაფართოვდა. გასათვალისწინებელია ყველა მოდულური გამონათქვამი. აუცილებელია იმის დადგენა, თუ რა მნიშვნელობა აქვს მის შემადგენლობაში შეტანილი უცნობი სიდიდეების მნიშვნელობას, ფრჩხილებში მოდულური გამოხატულება ნულის ტოლია. ამისათვის საკმარისია მოდულურ ფრჩხილებში გამოხატული ნულის ნულოვანი გაანგარიშება, შემდეგ კი გამოთვალოთ განტოლების ამოხსნა. ნაპოვნი მნიშვნელობები უნდა ჩაიწეროს. ანალოგიურად, ასევე აუცილებელია ამ განტოლების ყველა მოდულისთვის ყველა უცნობი ცვლადის მნიშვნელობის დადგენა. შემდეგ, თქვენ უნდა გაუმკლავდეთ გამოთქმებში ცვლადების არსებობის ყველა შემთხვევის განსაზღვრას და განხილვას, როდესაც ისინი განსხვავდებიან ნულოვანი მნიშვნელობისგან. ამისათვის თქვენ უნდა დაწეროთ უტოლობების ზოგიერთი სისტემა თავდაპირველი უტოლობის ყველა მოდულის შესაბამისად. უტოლობები ისე უნდა იყოს დაპროექტებული, რომ ისინი მოიცავდეს ყველა არსებულ და შესაძლო მნიშვნელობას ცვლადისთვის, რომლებიც გვხვდება რიცხვის წრფეზე. შემდეგ თქვენ უნდა დახაზოთ ეს ძალიან რიცხვითი ხაზი ვიზუალიზაციისთვის, რომელზეც მომავალში გადადეთ ყველა მიღებული მნიშვნელობა.

ახლა თითქმის ყველაფერი შეიძლება გაკეთდეს ინტერნეტში. მოდული არ არის გამონაკლისი წესიდან. მისი მოგვარება შეგიძლიათ ინტერნეტით მრავალი თანამედროვე რესურსიდან. ცვლადის ყველა ის მნიშვნელობა, რომლებიც ნულოვან მოდულშია, იქნება სპეციალური შეზღუდვა, რომელიც გამოყენებული იქნება მოდულური განტოლების ამოხსნის პროცესში. თავდაპირველ განტოლებაში საჭიროა მოდულის ყველა ფრჩხილის გაფართოება, ხოლო გამოხატვის ნიშნის შეცვლა ისე, რომ სასურველი ცვლადის მნიშვნელობები დაემთხვეს იმ მნიშვნელობებს, რომელთა ნახვა შეიძლება რიცხვითი ხაზით. მიღებული განტოლება უნდა ამოხსნან. ცვლადის მნიშვნელობა, რომელიც მიიღება განტოლების ამოხსნის დროს, უნდა შემოწმდეს თვით მოდულის მიერ დადგენილი შეზღუდვისთვის. თუ ცვლადის მნიშვნელობა სრულად აკმაყოფილებს პირობას, ეს სწორია. ყველა ფესვი, რომელიც მიიღება განტოლების ამოხსნის დროს, მაგრამ არ შეესაბამება შეზღუდვებს, უნდა განადგურდეს.

სტუდენტების ერთ-ერთი ყველაზე რთული თემაა განტოლებების ამოხსნა, რომლებიც შეიცავს ცვლადს მოდულის ნიშნის ქვეშ. თავიდანვე გაერკვნენ, რას უკავშირდება ეს? მაგალითად, რატომ აკეთებენ კვადრატულ განტოლებებს, რომ ბავშვების უმეტესობა კაკალივით მოსწონთ, მაგრამ მოდულის ისეთი რთული შთაბეჭდილებისგან, რომელსაც ამდენი პრობლემა აქვს?

ჩემი აზრით, ყველა ეს სირთულე ასოცირდება მოდულთან განტოლებების ამოხსნის მკაფიოდ ჩამოყალიბებული წესების არარსებობასთან. ასე რომ, გადამწყვეტი კვადრატული განტოლება, სტუდენტმა დანამდვილებით იცის, რომ მან ჯერ უნდა გამოიყენოს განმასხვავებელი ფორმულა, შემდეგ კი კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულა. მაგრამ რა მოხდება, თუ განტოლებაში არის მოდული? ჩვენ შევეცდებით ნათლად აღვწეროთ აუცილებელი სამოქმედო გეგმა იმ შემთხვევისთვის, როდესაც განტოლება შეიცავს უცნობი მოდულის ნიშნის ქვეშ. აქ მოცემულია რამდენიმე მაგალითი თითოეული შემთხვევისთვის.

პირველ რიგში, გავიხსენოთ მოდულის განმარტება... ასე რომ, რიცხვის მოდული ა ამ რიცხვს თავად ეწოდება თუ ა არაუარყოფითი და -ათუ ნომერი ა ნულზე ნაკლები. თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ასე:

| ა | \u003d ა თუ a ≥ 0 და | a | \u003d -ა თუ ა< 0

მოდულის გეომეტრიულ განცდაზე საუბრისას უნდა გვახსოვდეს, რომ თითოეული რეალური რიცხვი შეესაბამება ციფრული ღერძის გარკვეულ წერტილს - მისი k კოორდინაცია. ასე რომ, რიცხვის მოდული ან აბსოლუტური მნიშვნელობა არის მანძილი ამ წერტილიდან რიცხვითი ღერძის წარმოშობამდე. მანძილი ყოველთვის მითითებულია, როგორც დადებითი რიცხვი. ამრიგად, ნებისმიერი უარყოფითი რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა არის დადებითი რიცხვი. სხვათა შორის, ამ ეტაპზეც ბევრი სტუდენტი იბნევა. ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება იყოს მოდულში, მაგრამ მოდულის გამოყენების შედეგი ყოველთვის არის დადებითი რიცხვი.

ახლა პირდაპირ განტოლებების ამოხსნაზე გადავიდეთ.

1. განვიხილოთ ფორმის | x |. განტოლება \u003d c, სადაც c არის ნამდვილი რიცხვი. ამ განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია მოდულის განსაზღვრის გამოყენებით.

ჩვენ ყველა რეალურ რიცხვს ვყოფთ სამ ჯგუფად: ისინი, რომლებიც ნულზე მეტია, ნულზე ნაკლები და მესამე ჯგუფში არის 0. მოდით, ამოვწეროთ ამოხსნა დიაგრამის სახით:

(± c თუ c\u003e 0

თუ | x | \u003d c, მაშინ x \u003d (0, თუ c \u003d 0

(ფესვები არ აქვს თუ არა< 0

1) | x | \u003d 5, რადგან 5\u003e 0, შემდეგ x \u003d ± 5;

2) | x | \u003d -5, რადგან -ხუთი< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | x | \u003d 0, შემდეგ x \u003d 0.

2. ფორმის განტოლება | f (x) | \u003d b, სადაც b\u003e 0. ამ განტოლების გადასაჭრელად საჭიროა მოდულის მოშორება. ჩვენ ამას ვაკეთებთ ასე: f (x) \u003d b ან f (x) \u003d -b. ახლა საჭიროა თითოეული მიღებული განტოლების ცალკე გადაჭრა. თუ თავდაპირველ განტოლებაში ბ< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | \u003d 4, რადგან 4\u003e 0, მაშ

x + 2 \u003d 4 ან x + 2 \u003d -4

2) | x 2 - 5 | \u003d 11, რადგან 11\u003e 0, მაშ

x 2 - 5 \u003d 11 ან x 2 - 5 \u003d -11

x 2 \u003d 16 x 2 \u003d -6

x \u003d ± 4 ფესვები არ არის

3) | x 2 - 5x | \u003d -8, რადგან -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. | F (x) | ფორმის განტოლება \u003d გ (x) მოდულის მნიშვნელობით, ასეთ განტოლებას ექნება ამოხსნები, თუ მისი მარჯვენა მხარე მეტია ან ტოლია ნულის, ე.ი. g (x) 0. მაშინ გვექნება:

f (x) \u003d g (x)ან f (x) \u003d -g (x).

1) | 2x - 1 | \u003d 5x - 10. ამ განტოლებას ექნება ფესვები, თუ 5x - 10 ≥ 0. სწორედ აქედან იწყება ასეთი განტოლებების ამოხსნა.

1. O.D.Z. 5x - 10 ≥ 0

2. ამოხსნა:

2x - 1 \u003d 5x - 10 ან 2x - 1 \u003d - (5x - 10)

3. ჩვენ ვაერთიანებთ ODZ- ს. და გამოსავალია:

ფესვი x \u003d 11/7 არ ჯდება O.D.Z.– ს მიხედვით, ის 2 – ზე ნაკლებია და x \u003d 3 აკმაყოფილებს ამ პირობას.

პასუხი: x \u003d 3

2) | x - 1 | \u003d 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. მოდით, ამ უთანასწორობა მოვაგვაროთ ინტერვალების მეთოდით:

(1 - x) (1 + x) ≥ 0

2. ამოხსნა:

x - 1 \u003d 1 - x 2 ან x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 \u003d 0 x 2 - x \u003d 0

x \u003d -2 ან x \u003d 1 x \u003d 0 ან x \u003d 1

3. ჩვენ ვაერთიანებთ ხსნარს და ODZ:

მხოლოდ ფესვები x \u003d 1 და x \u003d 0 შესაფერისია.

პასუხი: x \u003d 0, x \u003d 1.

4. ფორმის | f (x) | განტოლება \u003d | გ (x) |. ასეთი განტოლება ექვივალენტურია შემდეგი ორი განტოლების f (x) \u003d g (x) ან f (x) \u003d -g (x).

1) | x 2 - 5x + 7 | \u003d | 2x - 5 |. ეს განტოლება ექვივალენტურია შემდეგ ორთან:

x 2 - 5x + 7 \u003d 2x - 5 ან x 2 - 5x +7 \u003d -2x + 5

x 2 - 7x + 12 \u003d 0 x 2 - 3x + 2 \u003d 0

x \u003d 3 ან x \u003d 4 x \u003d 2 ან x \u003d 1

პასუხი: x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4.

5. განტოლებები, რომლებიც ამოხსნილია ჩანაცვლების მეთოდით (ცვლადი ჩანაცვლება). ხსნარის ამ მეთოდის ახსნა უმარტივესია კონკრეტული მაგალითის საშუალებით. მოდით მოცემული იყოს კვადრატული განტოლება მოდულთან ერთად:

x 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. მოდულის თვისებით x 2 \u003d | x | 2, ასე რომ განტოლება შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

| x | 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. ჩავანაცვლოთ | x | \u003d t ≥ 0, მაშინ გვექნება:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. ამ განტოლების ამოხსნით მივიღებთ t \u003d 1 ან t \u003d 5. დავუბრუნდეთ ჩანაცვლებას:

| x | \u003d 1 ან | x | \u003d 5

x \u003d ± 1 x \u003d ± 5

პასუხი: x \u003d -5, x \u003d -1, x \u003d 1, x \u003d 5.

მოდით ვნახოთ კიდევ ერთი მაგალითი:

x 2 + | x | - 2 \u003d 0. მოდულის თვისებით x 2 \u003d | x | 2, ამიტომ

| x | 2 + | x | - 2 \u003d 0. მოდით განვახორციელოთ ჩანაცვლება | x | \u003d t ≥ 0, შემდეგ:

t 2 + t - 2 \u003d 0. ამ განტოლების ამოხსნით ვიღებთ t \u003d -2 ან t \u003d 1. დავუბრუნდეთ ჩანაცვლებას:

| x | \u003d -2 ან | x | \u003d 1

ფესვები არ არის x \u003d ± 1

პასუხი: x \u003d -1, x \u003d 1.

6. განტოლების სხვა ტიპი - განტოლებები "რთული" მოდულით. ამ განტოლებებში შედის განტოლებები, რომლებსაც აქვთ ”მოდულები მოდულში”. ამ ტიპის განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია მოდულის თვისებების გამოყენებით.

1) | 3 - | x || \u003d 4. ჩვენ გავაგრძელებთ ისე, როგორც მეორე ტიპის განტოლებებში. რადგან 4\u003e 0, შემდეგ მივიღებთ ორ განტოლებას:

3 - | x | \u003d 4 ან 3 - | x | \u003d -4.

ახლა ჩვენ გამოვხატავთ მოდულს x თითოეულ განტოლებაში, შემდეგ | x | \u003d -1 ან | x | \u003d 7

ჩვენ ამოვხსნით თითოეულ მიღებულ განტოლებას. პირველ განტოლებაში ფესვები არ არის, რადგან -1< 0, а во втором x = ±7.

პასუხია x \u003d -7, x \u003d 7.

2) | 3 + | x + 1 || \u003d 5. ამ განტოლებას ანალოგიურად ვაგვარებთ:

3 + | x + 1 | \u003d 5 ან 3 + | x + 1 | \u003d -5

| x + 1 | \u003d 2 | x + 1 | \u003d -8

x + 1 \u003d 2 ან x + 1 \u003d -2. ფესვები არ არის.

პასუხი: x \u003d -3, x \u003d 1.

ასევე არსებობს მოდულით განტოლებების ამოხსნის უნივერსალური მეთოდი. ეს არის ინტერვალით დაშვების მეთოდი. მაგრამ ამას მოგვიანებით გავითვალისწინებთ.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

ლათინურიდან სიტყვასიტყვით თარგმნილი ტერმინი (მოდული) ნიშნავს „ზომას“. ეს კონცეფცია მათემატიკაში შეიტანა ინგლისელმა მეცნიერმა რ. კოტემ. გერმანელმა მათემატიკოსმა კ. ვეისტრაშმა შემოიღო მოდულის ნიშანი - სიმბოლო, რომელიც აღნიშნავს ამ კონცეფციას წერისას.

კონტაქტში

პირველად ეს კონცეფცია შეისწავლება მათემატიკაში მე -6 კლასის საშუალო სკოლის სასწავლო გეგმაში. ერთი განმარტების თანახმად, მოდული არის ნამდვილი რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნამდვილი რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობის გასარკვევად უნდა უგულებელყოთ მისი ნიშანი.

გრაფიკულად აბსოლუტური მნიშვნელობა და აღინიშნა როგორც | ა |.

ამ კონცეფციის მთავარი გამორჩეული თვისება ის არის, რომ ის ყოველთვის არის არაუარყოფითი სიდიდე.

რიცხვებს, რომლებიც ერთმანეთისგან მხოლოდ ნიშნით განსხვავდება, საპირისპირო ეწოდება. თუ მნიშვნელობა პოზიტიურია, მაშინ მისი საპირისპირო უარყოფითი იქნება, ხოლო ნული თავისთავად საწინააღმდეგო იქნება.

გეომეტრიული მნიშვნელობა

თუ განვიხილავთ მოდულის კონცეფციას გეომეტრიის თვალსაზრისით, მაშინ იგი აღნიშნავს მანძილს, რომელიც იზომება ერთეული სეგმენტებით წარმოშობიდან მითითებული წერტილი... ეს განმარტება სრულად ავლენს შესწავლილი ტერმინის გეომეტრიულ მნიშვნელობას.

ეს გრაფიკულად შეიძლება გამოიხატოს შემდეგნაირად: | a | \u003d OA.

აბსოლუტური სიდიდის თვისებები

ქვემოთ განვიხილავთ ამ კონცეფციის მათემატიკურ თვისებებს და წერის მეთოდებს ლიტერატურული გამონათქვამების სახით:

განტოლების ამოხსნის თავისებურებები მოდულით

თუ ჩვენ ვსაუბრობთ მათემატიკური განტოლებების და უტოლობების ამოხსნაზე, რომლებიც შეიცავს მოდულს, მაშინ უნდა გახსოვდეთ, რომ მათი ამოხსნისთვის საჭიროა ამ ნიშნის გახსნა.

მაგალითად, თუ აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშანი შეიცავს მათემატიკურ გამოხატვას, მოდულის გახსნამდე საჭიროა გაითვალისწინოთ მიმდინარე მათემატიკური განმარტებები.

| A + 5 | \u003d A + 5თუ, A ნულზე მეტია ან ტოლი.

5-ათუ, და მნიშვნელობა ნულზე ნაკლებია.

ზოგიერთ შემთხვევაში, ნიშანი შეიძლება გაფართოვდეს ერთმნიშვნელოვნად ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის.

ავიღოთ კიდევ ერთი მაგალითი. ავაშენოთ კოორდინატთა ხაზი, რომელზეც აღვნიშნავთ ყველა რიცხობრივ მნიშვნელობას, რომელთა აბსოლუტური მნიშვნელობა იქნება 5.

პირველ რიგში, თქვენ უნდა დახაზოთ კოორდინატების ხაზი, აღნიშნოთ მასზე კოორდინატების წარმოშობა და დააყენოთ ერთეულის სეგმენტის ზომა. გარდა ამისა, ხაზს უნდა ჰქონდეს მიმართულება. ახლა ამ სწორ ხაზზე აუცილებელია მარკირების გამოყენება, რომელიც ტოლი იქნება ერთეულის სეგმენტის მნიშვნელობას.

ამრიგად, ჩვენ ვხედავთ, რომ ამ კოორდინატთა ხაზზე იქნება ჩვენთვის საინტერესო ორი წერტილი 5 და -5 მნიშვნელობებით.

რიცხვის ერთეულის პოვნა მარტივია და პრობლემის გადაჭრისას მნიშვნელოვანია მისი თეორია.

სავარჯიშოების გადაჭრისა და გამოცდების დროს გამოქვეყნების თვისებები და წესები სასარგებლო იქნება სკოლის მოსწავლეებისა და სტუდენტებისათვის. გამოიმუშავეთ ფული თქვენი ცოდნით https://teachs.ru!

რა არის მოდული მათემატიკაში

რიცხვის მოდული აღწერს მანძილს რიცხვითი წრფეზე ნულიდან წერტილამდე, განურჩევლად იმისა, თუ რა მიმართულებით მდებარეობს წერტილი ნულიდან. მათემატიკური აღნიშვნა : | x |.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა. განმარტება ამტკიცებს, რომ მნიშვნელობა არასოდეს არის უარყოფითი.

მოდულის თვისებები

მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს შემდეგი თვისებები:

რთული ნომრის მოდული

რთული რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა არის მიმართული სეგმენტის სიგრძე, რომელიც შედგენილია რთული სიბრტყის დასაწყისიდან წერტილამდე (a, b).

ეს მიმართულების ხაზი ასევე წარმოადგენს ვექტორს, რომელიც წარმოადგენს რთულ რიცხვს a + bi, ამიტომ რთული რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა იგივეა, რაც წარმოადგენს ვექტორის სიდიდეს (ან სიგრძეს) a + bi.

როგორ ამოვხსნათ განტოლებები მოდულით

განტოლება მოდულთან არის ტოლობა, რომელიც შეიცავს აბსოლუტური მნიშვნელობის გამოხატვას. თუ რეალური რიცხვისთვის იგი წარმოადგენს მის დაშორებას რიცხვითი ხაზის წარმოშობისგან, მაშინ მოდულის უტოლობები არის უტოლობის ტიპი, რომელიც შედგება აბსოლუტური მნიშვნელობებისგან.

განტოლებები, როგორიცაა | x | \u003d ა

განტოლება | x | \u003d აქვს ორი პასუხი x \u003d a და x \u003d –a, რადგან ორივე ვარიანტია კოორდინატთა ხაზზე 0 – ის დაშორებით.

აბსოლუტურ მნიშვნელობასთან ტოლობას არ აქვს გამოსავალი, თუ მნიშვნელობა უარყოფითია.

თუ | x |< a представляет собой расстояние чисел от начала координат, это значит, что нужно искать все числа, чье расстояние от начала координат меньше a.

განტოლებები, როგორიცაა | x | \u003d | y |

როდესაც განტოლებების ორივე მხარეს არის აბსოლუტური მნიშვნელობები, თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ მისაღები განმარტებების ორივე შესაძლებლობა - დადებითი და უარყოფითი გამოთქმები.

მაგალითად, თანასწორობისთვის | x - a | \u003d | x + b | არსებობს ორი ვარიანტი: (x - a) \u003d - (x + b) ან (x - a) \u003d (x + b).

განტოლებები, როგორიცაა | x | \u003d წ

ამ ტიპის განტოლებები შეიცავს გამოხატვის აბსოლუტურ მნიშვნელობას ნულის მარცხნივ ცვალებადი, ხოლო მარჯვნივ უცნობი ცვლადით. Y ცვლადი შეიძლება იყოს ნულზე მეტი ან ნაკლები.

ასეთ თანასწორობაში პასუხის მისაღებად უნდა გადაწყვიტოთ რამდენიმე განტოლების სისტემა, რომელშიც უნდა დარწმუნდეთ, რომ y არის არაუარყოფითი მნიშვნელობა:

უტოლობების ამოხსნა მოდულთან ერთად

იმისათვის, რომ უკეთ გაიგოთ, თუ როგორ უნდა გააფართოვოთ მოდული სხვადასხვა ტიპის ტოლობებში და უტოლობებში, საჭიროა მაგალითების ანალიზი.

ფორმის განტოლებები | x | \u003d ა

მაგალითი 1 (ალგებრა 6 კლასი). ამოხსენით: | x | + 2 \u003d 4.

გადაწყვეტილება.

ასეთი განტოლებები წყდება ისევე, როგორც ტოლობები აბსოლუტური მნიშვნელობების გარეშე. ეს ნიშნავს, რომ უცნობების მარცხნივ და მუდმივების მარჯვნივ გადაადგილებით, გამოხატვა არ იცვლება.

მუდმივის მარჯვნივ გადაადგილების შემდეგ მივიღეთ: | x | \u003d 2.

ვინაიდან უცნობები აბსოლუტურ მნიშვნელობასთანაა დაკავშირებული, ამ თანასწორობას ორი პასუხი აქვს: 2 და −2 .

პასუხი: 2 და −2 .

მაგალითი 2(ალგებრა 7 კლასი). გადაჭრის უტოლობა | x + 2 | ≥ 1

გადაწყვეტილება.

პირველი, რაც უნდა გააკეთოთ არის წერტილების პოვნა, სადაც აბსოლუტური მნიშვნელობა იცვლება. ამისათვის გამოთქმა უტოლდება 0 ... მიღებულია: x \u003d –2.

Ეს ნიშნავს, რომ –2 - გარდამტეხი წერტილი.

გავყოთ ინტერვალი 2 ნაწილად:

1. x + 2 ≥ 0-ისთვის

[−1; + ∞).

1. x + 2-ისთვის< 0

ამ ორ უტოლობაზე საერთო პასუხი არის ინტერვალი (−∞; –3].

Საბოლოო გადაწყვეტილება – ცალკეული ნაწილების პასუხების გაერთიანება:

x∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞).

პასუხი: x∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞) .

ფორმის განტოლებები | x | \u003d | y |

მაგალითი 1 (ალგებრა 8 კლასი). განტოლების ამოხსნა ორი მოდულით: 2 * | x \u200b\u200b- 1 | + 3 \u003d 9 - | x - 1 |.

გადაწყვეტილება:

პასუხი: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d − 1.

მაგალითი 2 (ალგებრა 8 კლასი). გადაჭრის უთანასწორობა:

გადაწყვეტილება:

ფორმის განტოლებები | x | \u003d წ

მაგალითი 1 (ალგებრა 10 კლასი). იპოვნეთ x:

გადაწყვეტილება:

ძალიან მნიშვნელოვანია, რომ შეამოწმოთ მარჯვენა მხარე, წინააღმდეგ შემთხვევაში შეგიძლიათ დაწეროთ მცდარი ფესვები საპასუხოდ. სისტემაში ხედავთ, რა არ არის სიცარიელეში.

პასუხი: x \u003d 0.

ჯამი მოდული

სხვაობის მოდული

ორ რიცხვს შორის განსხვავების აბსოლუტური მნიშვნელობა x და y ტოლია კოორდინატებით წერტილებს შორის დაშორება X და ი კოორდინატთა ხაზზე.

მაგალითი 1.

მაგალითი 2.

უარყოფითი რიცხვის მოდული

იმისათვის რომ იპოვოთ ნულოვანზე ნაკლები რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა, უნდა იცოდეთ, რამდენად შორსაა იგი ნულიდან. მას შემდეგ, რაც მანძილი ყოველთვის პოზიტიურია (შეუძლებელია "ნეგატიური" ნაბიჯების გავლა, ისინი უბრალოდ ნაბიჯებია სხვა მიმართულებით), შედეგი ყოველთვის პოზიტიურია. ე.ი.

მარტივად რომ ვთქვათ, უარყოფითი რიცხვის აბსოლუტურ მნიშვნელობას საპირისპირო მნიშვნელობა აქვს.

ნულოვანი მოდული

ცნობილი ქონება:

ამიტომაც არ შეიძლება ითქვას, რომ აბსოლუტური მნიშვნელობა არის დადებითი რიცხვი: ნული არც უარყოფითია და არც დადებითი.

კვადრატული მოდული

კვადრატის მოდული ყოველთვის ტოლია კვადრატის გამოხატვისა:

გრაფიკის მაგალითები მოდულით

ხშირად ტესტებსა და გამოცდებში არსებობს ამოცანები, რომელთა მოგვარება მხოლოდ გრაფიკების ანალიზითაა შესაძლებელი. მოდით განვიხილოთ ასეთი ამოცანები.

მაგალითი 1.

მოცემულია f (x) \u003d | x | ფუნქცია. საჭიროა გრაფიკის აგება - 3 – დან 3 – მდე 1 – ლი საფეხურით.

გადაწყვეტილება:

განმარტება: ფიგურა გვიჩვენებს, რომ გრაფიკი სიმეტრიულია Y- ღერძის მიმართ.

მაგალითი 2... აუცილებელია f (x) \u003d | x - 2 |. ფუნქციების გრაფიკების შედგენა და შედარება და g (x) \u003d | x | –2.

გადაწყვეტილება:

განმარტება: აბსოლუტური მნიშვნელობის შიგნით მუდმივი გადააქვს მთელ გრაფიკს მარჯვნივ, თუ მისი მნიშვნელობა უარყოფითია და მარცხნივ, თუ იგი დადებითია. მაგრამ მუდმივი გარეთ დიაგრამაზე გადაადგილდება, თუ მნიშვნელობა დადებითია და ქვემოთ თუ ის უარყოფითია (მაგ. - 2 ფუნქციაში გ (x)).

ვერტექსის კოორდინატი x (წერტილი, რომელზეც ორი ხაზი აკავშირებს, გრაფის ზედა ნაწილი) არის ის რიცხვი, რომლითაც გრაფიკი გადაადგილდება მარცხნივ ან მარჯვნივ. და კოორდინატი y არის მნიშვნელობა, რომლითაც გრაფიკი მოძრაობს ზემოთ ან ქვემოთ.

თქვენ შეგიძლიათ შექმნათ ასეთი გრაფიკები ონლაინ ნახაზის საშუალებით. მათი დახმარებით ვიზუალურად ხედავთ, თუ როგორ მოქმედებს მუდმივები ფუნქციებზე.

ინტერვალის მეთოდი დავალებებში მოდულით

ინტერვალით დაშვების მეთოდი ერთ-ერთი საუკეთესო გზაა პასუხის პოვნაში მოდულის პრობლემებში, განსაკუთრებით იმ შემთხვევაში, თუ გამოხატვაში რამდენიმე მათგანია.

მეთოდის გამოსაყენებლად უნდა გააკეთოთ შემდეგი:

1. დააყენეთ თითოეული გამოხატვა ნულზე.
2. იპოვნეთ ცვლადების მნიშვნელობები.
3. რიცხვით წრფეზე 2-ე ეტაპზე მიღებული წერტილების გამოყენება.
4. ინტერვალებში განსაზღვრეთ გამონათქვამების ნიშანი (უარყოფითი ან დადებითი მნიშვნელობა) და დახაზეთ შესაბამისად სიმბოლო - ან +. ნიშნის დადგენის უმარტივესი გზაა ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენება (ინტერვალისგან ნებისმიერი მნიშვნელობის ჩანაცვლება).
5. ამოიღეთ უტოლობები მიღებულ ნიშნებთან.

მაგალითი 1... წყდება ინტერვალების მეთოდით.

გადაწყვეტილება: