როგორ ამოვხსნათ განტოლება ორმაგი ფრჩხილებით. ფრჩხილების გახსნა: წესები და მაგალითები (კლასი 7). მარტივი ხაზოვანი განტოლებების რეალურ ცხოვრებაში მაგალითების გადაჭრა
განტოლება ერთ უცნობთან, რომელიც ფრჩხილების გახსნისა და მსგავსი ტერმინების შემცირების შემდეგ იღებს ფორმას
ცული + ბ \u003d 0, სადაც a და b არის თვითნებური რიცხვები, ეწოდება ხაზოვანი განტოლება ერთი უცნობით. დღეს ჩვენ გაერკვევა, თუ როგორ უნდა მოგვარდეს ეს წრფივი განტოლებები.
მაგალითად, ყველა განტოლება:
2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0.3x \u003d 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - წრფივი.
უცნობი სიდიდე, რომელიც განტოლებას ნამდვილ თანასწორობად აქცევს, ეწოდება გადაწყვეტილება ან განტოლების ფუძე .
მაგალითად, თუ 3x + 7 \u003d 13 განტოლებაში უცნობი x შეცვლის რიცხვს 2, მივიღებთ სწორ ტოლობას 3 · 2 +7 \u003d 13. აქედან გამომდინარე, მნიშვნელობა x \u003d 2 არის განტოლების ამოხსნა ან ფუძე.
X \u003d 3 მნიშვნელობა არ აქცევს განტოლებას 3x + 7 \u003d 13 ნამდვილ თანასწორად, რადგან 3 · 2 +7 ≠ 13. აქედან გამომდინარე, მნიშვნელობა x \u003d 3 არ წარმოადგენს განტოლების ამოხსნას ან ფესვს.
ნებისმიერი ხაზოვანი განტოლების ამოხსნა იკლებს ფორმის განტოლების ამოხსნამდე
ცული + ბ \u003d 0.
განტოლების მარცხენა მხრიდან თავისუფალი ტერმინის გადატანა მარჯვნივ, b- ის წინა ნიშნის შეცვლას საპირისპიროდ, მივიღებთ
თუ a ≠ 0, მაშინ x \u003d - b / a .
მაგალითი 1. ამოხსენით 3x + 2 \u003d 11 განტოლება.
განტოლების მარცხენა მხრიდან გადაადგილდით მარჯვნივ მარჯვნივ, ხოლო 2 – ის წინა ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლისას მივიღებთ
3x \u003d 11 - 2.
გამოაკელით
3x \u003d 9.
X- ის მოსაძებნად, თქვენ უნდა დაყოთ პროდუქტი ცნობილ ფაქტორზე, ანუ
x \u003d 9: 3.
აქედან გამომდინარე, მნიშვნელობა x \u003d 3 არის განტოლების ამოხსნა ან ფუძე.
პასუხი: x \u003d 3.
თუ a \u003d 0 და b \u003d 0, მაშინ მივიღებთ განტოლებას 0x \u003d 0. ამ განტოლებას უსასრულოდ მრავალი ამოხსნა აქვს, რადგან როდესაც ნებისმიერი რიცხვი გავამრავლოთ 0-ზე, მივიღებთ 0-ს, მაგრამ b ასევე ტოლია 0. ნებისმიერი რიცხვი ამ განტოლების ამოხსნაა.
მაგალითი 2.ამოხსენით განტოლება 5 (x - 3) + 2 \u003d 3 (x - 4) + 2x - 1.
გავაფართოვოთ ფრჩხილები:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.
5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.
აქ მოცემულია მსგავსი ტერმინები:
0x \u003d 0.
პასუხი: x არის ნებისმიერი რიცხვი.
თუ a \u003d 0 და b ≠ 0, მაშინ მივიღებთ განტოლებას 0x \u003d - b. ამ განტოლებას არ აქვს ამოხსნები, რადგან ნებისმიერი რიცხვის 0-ზე გამრავლებით მივიღებთ 0-ს, მაგრამ b ≠ 0-ს.
მაგალითი 3.ამოხსენით განტოლება x + 8 \u003d x + 5.
მოდით დავაჯგუფოთ ტერმინები, რომლებიც შეიცავს უცნობებს მარცხნივ, და თავისუფალი წევრები მარჯვნივ:
x - x \u003d 5 - 8.
აქ მოცემულია მსგავსი ტერმინები:
0x \u003d - 3.
პასუხი: გამოსავალი არ არსებობს.
Ზე სურათი 1 აჩვენებს წრფივი განტოლების ამოხსნის სქემას
შევადგინოთ განტოლების ამოხსნის ზოგადი სქემა ერთი ცვლადით. განვიხილოთ მე -4 მაგალითის ამოხსნა.
მაგალითი 4. დაე განტოლება ამოხსნან
1) განტოლების ყველა ტერმინების გამრავლება მნიშვნელების ყველაზე ნაკლებად საერთო მრავლზე, 12-ის ტოლი.
2) შემცირების შემდეგ, მივიღებთ
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 \u003d 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)
3) უცნობი და თავისუფალი წევრების შემცველი წევრების გამოყოფისთვის, ჩვენ გავაფართოებთ ფრჩხილებს:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.
4) მოდით, ერთ ნაწილში დავაჯგუფოთ უცნობი შემცველი წევრები, ხოლო მეორე ნაწილში - უფასო წევრები:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) აქ მოცემულია მსგავსი ტერმინები:
- 22x \u003d - 154.
6) გაყოფა - 22, მივიღებთ
x \u003d 7.
როგორც ხედავთ, განტოლების სათავეა შვიდი.
საერთოდ ასეთი განტოლებები შეიძლება გადაწყდეს შემდეგი სქემის მიხედვით:
ა) მიიტანეთ განტოლება მთლიანი ფორმით;
ბ) ფრჩხილების გახსნა;
გ) განტოლების ერთ ნაწილში დააჯგუფეთ უცნობი შემცველი ტერმინები, ხოლო მეორეში თავისუფალი ტერმინები;
დ) მოიყვანოს მსგავსი წევრები;
ე) ამოხსნას ax \u003d b ფორმის განტოლება, რომელიც მიღებულია მსგავსი ტერმინების შემოტანის შემდეგ.
ამასთან, ეს სქემა არ არის საჭირო ყველა განტოლებისთვის. მრავალი მარტივი განტოლების ამოხსნისას უნდა დაიწყოს არა პირველი, არამედ მეორე ( მაგალითი. 2), მესამე ( მაგალითი. 13) და მეხუთე ეტაპიდანაც კი, როგორც 5 მაგალითი.
მაგალითი 5.ამოხსენით განტოლება 2x \u003d 1/4.
იპოვნეთ უცნობი x \u003d 1/4: 2,
x \u003d 1/8 .
განვიხილოთ ძირითადი ხაზის გამოცდაში ნაჩვენები ზოგიერთი წრფივი განტოლების ამოხსნა.
მაგალითი 6.ამოხსენით განტოლება 2 (x + 3) \u003d 5 - 6x.
2x + 6 \u003d 5 - 6x
2x + 6x \u003d 5 - 6
პასუხი: - 0, 125
მაგალითი 7.ამოხსენით განტოლება - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.
- 30 + 18x \u003d 8x - 7
18x - 8x \u003d - 7 +30
პასუხი: 2.3
მაგალითი 8. ამოხსენით განტოლება
3 (3x - 4) \u003d 4.7x + 24
9x - 12 \u003d 28x + 24
9x - 28x \u003d 24 + 12
მაგალითი 9.იპოვნეთ f (6), თუ f (x + 2) \u003d 3 მე -7
გადაწყვეტილება
მას შემდეგ, რაც ჩვენ გვჭირდება f (6), და ჩვენ ვიცით f (x + 2),
შემდეგ x + 2 \u003d 6.
ამოხსენით წრფივი განტოლება x + 2 \u003d 6,
მივიღებთ x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.
თუ x \u003d 4, მაშინ
f (6) \u003d 3 7-4 \u003d 3 3 \u003d 27
პასუხი: 27.
თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვა, თუ გსურთ უფრო საფუძვლიანად გაიგოთ განტოლების ამოხსნა, დარეგისტრირდით ჩემს გაკვეთილებზე განრიგში. მოხარული ვიქნები დაგეხმაროთ!
TutorOnline ასევე გირჩევთ უყუროთ ჩვენი ვიდეო რედაქტორის, ოლგა ალექსანდროვნას ახალი ვიდეო სახელმძღვანელოს, რომელიც დაგეხმარებათ გაიგოთ როგორც ხაზოვანი განტოლებები, ასევე სხვები.
საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.
ხაზოვანი განტოლებები. გამოსავალი, მაგალითები.
ყურადღება!
არსებობს დამატებითი
მასალები სპეციალური განყოფილება 555.
მათთვის, ვინც "არც თუ ისე ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან კი ...")
ხაზოვანი განტოლებები.
ხაზოვანი განტოლებები არ არის ყველაზე რთული თემა სასკოლო მათემატიკაში. მაგრამ იქ არსებობს ხრიკები, რომლებსაც შეუძლია გააცნობიეროს გაწვრთნილი სტუდენტი. გავიგოთ?)
ჩვეულებრივ, წრფივი განტოლება განისაზღვრება, როგორც ფორმის განტოლება:
ნაჯახი + ბ = 0 სად ა და ბ - ნებისმიერი რიცხვი.
2x + 7 \u003d 0. აქ a \u003d 2, b \u003d 7
0.1x - 2.3 \u003d 0 აქ a \u003d 0,1, b \u003d -2.3
12x + 1/2 \u003d 0 აქ a \u003d 12, ბ \u003d 1/2
არაფერია რთული, არა? მით უმეტეს, თუ ვერ შეამჩნიეთ სიტყვები: "სადაც a და b არის ნებისმიერი რიცხვი"... და თუ შეამჩნიეთ, მაგრამ დაუფიქრებლად იფიქრეთ?) ბოლოს და ბოლოს, თუ a \u003d 0, b \u003d 0 (შესაძლებელია რაიმე რიცხვი?), შემდეგ მიიღებთ სასაცილო გამონათქვამს:
მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის! თუ, ვთქვათ, a \u003d 0, და b \u003d 5, გამოდის რაღაც სრულიად არაჩვეულებრივი:
რაც ძაბავს და ძირს უთხრის მათემატიკისადმი ნდობას, დიახ ...) განსაკუთრებით გამოცდებში. მაგრამ ამ უცნაური გამონათქვამებიდან საჭიროა X- ის პოვნაც! რაც საერთოდ არ არის იქ. გასაკვირია, რომ ამ X– ის პოვნა ძალიან მარტივია. ჩვენ ვისწავლით თუ როგორ უნდა გავაკეთოთ ეს. ამ სახელმძღვანელოში.
საიდან იცით წრფივი განტოლება მისი გარეგნობის მიხედვით? ეს დამოკიდებულია იერსახეზე.) ხრიკი ისაა, რომ წრფივი განტოლებები არ არის მხოლოდ ფორმის განტოლებები ნაჯახი + ბ = 0 , არამედ ნებისმიერი განტოლებები, რომლებიც ამ ფორმაში შემცირდება გარდაქმნებით და გამარტივებით. ვინ იცის შეიძლება შემცირდეს თუ არა?)
წრფივი განტოლება გარკვეულ შემთხვევებში შეიძლება მკაფიოდ აღიარდეს. თქვით, თუ გვაქვს განტოლება, რომელშიც მხოლოდ უცნობია პირველი ხარისხით და რიცხვები. განტოლებაში არ არსებობს წილადები იყოფა უცნობი , ეს არის მნიშვნელოვანი! დაყოფა ავტორი ნომერი, ან რიცხვითი წილი - გთხოვთ! Მაგალითად:
ეს არის წრფივი განტოლება. აქ არის წილადები, მაგრამ არ არსებობს x –ები კვადრატში, კუბში და ა.შ., და არც x –ებია მნიშვნელობებში, ე.ი. არა დაყოფა x- ზე... აქ არის განტოლება
არ შეიძლება წრფივი ეწოდოს. აქ ყველა პირველი ხარისხისაა, მაგრამ არსებობს დაყოფა გამოხატვით x- ით... გამარტივებისა და გარდაქმნების შემდეგ შეგიძლიათ მიიღოთ წრფივი განტოლება, კვადრატული და ყველაფერი რაც მოგეწონებათ.
გამოდის, რომ შეუძლებელია წრფივი განტოლების გარკვევა გარკვეულ რთულ მაგალითში, სანამ თითქმის არ ამოხსნი. ეს აღმაშფოთებელია. დავალებები, როგორც წესი, არ ეკითხება განტოლების ტიპს, არა? ამოცანებს მოცემულია განტოლებები ამოხსნა. ეს მახარებს.)
წრფივი განტოლებების ამოხსნა. მაგალითები.
წრფივი განტოლების მთელი ამოხსნა შედგება განტოლებების იდენტური გარდაქმნები. სხვათა შორის, ეს გარდაქმნები (როგორც ორი!) საფუძვლად უდევს გადაწყვეტილებებს მათემატიკის ყველა განტოლება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გამოსავალი ნებისმიერი განტოლება იწყება სწორედ ამ გარდაქმნებით. წრფივი განტოლების შემთხვევაში, იგი (ამოხსნა) ემყარება ამ გარდაქმნებს და სრულდება სრულყოფილი პასუხით. აზრი აქვს ბმულზე გადასვლას, არა?) უფრო მეტიც, არსებობს ხაზოვანი განტოლებების ამოხსნის მაგალითებიც.
დავიწყოთ მარტივი მაგალითით. არავითარი ხაფანგი. დავუშვათ, რომ უნდა განვსაზღვროთ ეს განტოლება.
x - 3 \u003d 2 - 4x
ეს არის წრფივი განტოლება. X ყველაფერი პირველ ხარისხშია, X– ზე არ არის დაყოფა. სინამდვილეში, ჩვენ არ გვაინტერესებს რა განტოლებაა ეს. უნდა მოვაგვაროთ. სქემა მარტივია. შეაგროვეთ ყველაფერი x განტოლების მარცხენა მხარეს, ყველაფერი x (რიცხვის) გარეშე მარჯვნივ.
ამისათვის თქვენ უნდა გადარიცხოთ - 4x მარცხნივ, ნიშნის ცვლილებით, რა თქმა უნდა, მაგრამ - 3 - მარჯვნივ. სხვათა შორის, ეს არის განტოლებების პირველი იდენტური ტრანსფორმაცია. Გაოცებული ხარ? ასე რომ, ჩვენ არ გავყევით ბმულს, მაგრამ ამაოდ ...) მივიღებთ:
x + 4x \u003d 2 + 3
ჩვენ ვაძლევთ მათ მსგავსს, გვჯერა:
რა გვაკლია სრული ბედნიერებისთვის? დიახ, ისე, რომ მარცხნივ სუფთა X იყო! ხუთი გზაშია. ხუთეულში მოშორება განტოლებების მეორე იდენტური ტრანსფორმაცია. კერძოდ, განტოლების ორივე მხარე გავყოთ 5-ზე. მივიღებთ მზა პასუხს:
რა თქმა უნდა, ელემენტარული მაგალითია. ეს გასათბობად არის.) გაუგებარია, რატომ ვიხსენებ აქ იდენტურ გარდაქმნებს? Კარგი. ჩვენ რქებს ვიღებთ.) მოდით, გადავწყვიტოთ რამე უფრო შთამბეჭდავი.
მაგალითად, აი განტოლება:
საიდან დავიწყოთ? X– ით მარცხნივ, x– ს გარეშე - მარჯვნივ? შეიძლება ასე იყოს. გრძელი გზის გასწვრივ პატარა ნაბიჯები. ან შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ, უნივერსალური და ძლიერი გზით. თუ, რა თქმა უნდა, თქვენს არსენალში გაქვთ განტოლებების იდენტური გარდაქმნები.
მე გთხოვ საკვანძო კითხვას: რა არ მოგწონთ ყველაზე მეტად ამ განტოლებაში?
100 ადამიანიდან 95 ადამიანი უპასუხებს: წილადები ! პასუხი სწორია. მოდით, თავი დავაღწიოთ მათ. ამიტომ, მაშინვე ვიწყებთ მეორე პირადობის ტრანსფორმაცია... რა გჭირდებათ მარცხენა მხარეს არსებული წილადის გასამრავლებლად, რომ მნიშვნელი მთლიანად შემცირდეს? მართალია, 3. და მარჯვნივ? 4. 4. მათემატიკა საშუალებას გვაძლევს ორივე მხარე გავამრავლოთ იგივე ნომერი... როგორ გავიდეთ? და მოდით გავამრავლოთ ორივე მხარე 12-ზე! იმ საერთო მნიშვნელით. მაშინ სამიც და ოთხიც შემცირდება. არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ საჭიროა თითოეული ნაწილის გამრავლება მთლიანად... პირველი ნაბიჯი ასე გამოიყურება:
ფრჩხილების გაფართოება:
Შენიშვნა! მრიცხველი (x + 2) მე ფრჩხილებში მოვეკიდე! ეს იმიტომ ხდება, რომ წილადების გამრავლებისას, მრიცხველი გამრავლებულია მთლიანად, მთლიანად! ახლა ფრაქციები შეიძლება შემცირდეს:
გააფართოვეთ დარჩენილი ფრჩხილები:
არა მაგალითი, მაგრამ უზარმაზარი სიამოვნება!) ახლა გავიხსენებთ შელოცვას დაწყებითი კლასებიდან: x- ით - მარცხნივ, x- ის გარეშე - მარჯვნივ! გამოიყენეთ ეს ტრანსფორმაცია:
აქ არის მსგავსი:
და ორივე ნაწილს ვყოფთ 25-ზე, ე.ი. გამოიყენეთ მეორე გარდაქმნა ისევ:
Სულ ეს არის. პასუხი: x=0,16
გაითვალისწინეთ: ორიგინალი დაბნეული განტოლების სასიამოვნო ფორმაში მისასვლელად, ჩვენ გამოვიყენეთ ორი (მხოლოდ ორი!) იდენტური გარდაქმნები - მარცხნივ-მარჯვნივ გადავიდეთ ნიშნის ცვლილებით და განტოლების გამრავლება-გაყოფა იმავე რიცხვზე. ეს უნივერსალური გზაა! ჩვენ ამ გზით ვიმუშავებთ ნებისმიერი განტოლებები! აბსოლუტურად ნებისმიერი. ამიტომ მე მუდმივად ვიმეორებ ამ იდენტურ გარდაქმნებს.)
როგორც ხედავთ, წრფივი განტოლებების ამოხსნის პრინციპი მარტივია. აიღეთ განტოლება და გაამარტივეთ იგი იდენტური გარდაქმნები პასუხის მიღებამდე. აქ მთავარი პრობლემები გამოთვლაშია და არა გადაჭრის პრინციპში.
მაგრამ ... ყველაზე ელემენტარული წრფივი განტოლებების ამოხსნის პროცესში ისეთი სიურპრიზები არსებობს, რომ მათ ძლიერი წუწუნისკენ გიბიძგებთ ...) საბედნიეროდ, მხოლოდ ორი ასეთი სიურპრიზი შეიძლება იყოს. მოდით, მათ განსაკუთრებულ შემთხვევებს ვუწოდებთ.
წრფივი განტოლებების ამოხსნისას განსაკუთრებული შემთხვევები.
პირველი სიურპრიზი.
დავუშვათ, რომ შეგხვდებათ ელემენტარული განტოლება, მსგავსი რამ:
2x + 3 \u003d 5x + 5 - 3x - 2
ოდნავ შეწუხებული, ჩვენ გადავიტანოთ იგი x მარცხნივ, x გარეშე მარჯვნივ ... ნიშნის შეცვლით, ყველაფერი ნიკაპია ... ჩვენ ვიღებთ:
2x-5x + 3x \u003d 5-2-3
ჩვენ ვთვლით და ... მივიღებთ:
თავისთავად ეს თანასწორობა არ არის გასაჩივრებული. ნული ნამდვილად ნულია. მაგრამ X წავიდა! და პასუხი უნდა დავწეროთ რა არის x წინააღმდეგ შემთხვევაში, გადაწყვეტილება არ ითვლება, დიახ ...) ჩიხი?
მშვიდი! ასეთ საეჭვო შემთხვევებში, ზოგადი წესები ზოგავს. როგორ გადავჭრათ განტოლებები? რას ნიშნავს განტოლების ამოხსნა? Ეს ნიშნავს, იპოვნეთ ყველა x მნიშვნელობა, რომლებიც ორიგინალურ განტოლებაში ჩანაცვლების შემთხვევაში, მოგვცემს სწორ თანასწორობას.
მაგრამ ჩვენ გვაქვს ნამდვილი თანასწორობა უკვე მოხდა! 0 \u003d 0, რამდენად უფრო ზუსტია?! ეს რჩება იმის გასარკვევად, თუ რა xx გამოდის. რა x მნიშვნელობებით შეიძლება შეიცვალოს საწყისი განტოლება, თუ ეს x არის შემცირდება ნულამდე მაინც? Მოდი?)
დიახ !!! X შეიძლება შეიცვალოს ნებისმიერი! Რა გინდა. მინიმუმ 5, მინიმუმ 0,05, მინიმუმ -220. ისინი მაინც შემცირდებიან. თუ არ გჯერათ, შეგიძლიათ შეამოწმოთ.) შეცვალეთ x x მნიშვნელობები საწყისი განტოლება და რაოდენობა. მთელი დროის განმავლობაში მიიღება სუფთა ჭეშმარიტება: 0 \u003d 0, 2 \u003d 2, -7.1 \u003d -7.1 და ა.შ.
აი პასუხი: x - ნებისმიერი რიცხვი.
პასუხი შეიძლება დაიწეროს სხვადასხვა მათემატიკურ სიმბოლოებში, არსი არ იცვლება. ეს აბსოლუტურად სწორი და სრული პასუხია.
მეორე სიურპრიზი.
ავიღოთ იგივე ელემენტარული წრფივი განტოლება და მასში შევცვალოთ მხოლოდ ერთი რიცხვი. ეს არის ის, რასაც ჩვენ მოვაგვარებთ:
2x + 1 \u003d 5x + 5 - 3x - 2
იგივე იდენტური გარდაქმნების შემდეგ, ჩვენ დამაინტრიგებელ რამეს მივიღებთ:
Ამგვარად. ამოხსნა წრფივი განტოლება, მიიღო უცნაური ტოლობა. მათემატიკური თვალსაზრისით, მივიღეთ არასწორი თანასწორობა. და საუბარი მარტივი ენა, ეს არ არის სიმართლე. Rave. ამის მიუხედავად, ეს სისულელე არის ძალიან კარგი მიზეზი განტოლების სწორად გადაჭრისთვის.)
ისევ ვფიქრობთ, ზოგადი წესების საფუძველზე. რას მოგვცემს x, როდესაც ჩაირთვება თავდაპირველ განტოლებაში მართალია თანასწორობა? დიახ, არცერთი! ასეთი x არ არსებობს. რასაც ჩაანაცვლებთ, ყველაფერი შემცირდება, დელირიუმი დარჩება.)
აი პასუხი: გამოსავალი არ არის
ესეც სრული პასუხია. მათემატიკაში ასეთი პასუხები ჩვეულებრივია.
Ამგვარად. იმედი მაქვს, x- ის დაკარგვა ნებისმიერი (არა მხოლოდ ხაზოვანი) განტოლების ამოხსნის პროცესში საერთოდ არ დაგაბნევთ. საქმე უკვე ნაცნობია.)
ახლა, როდესაც მივხვდით, რომ ყველა ხაფანგში სწორხაზოვანი განტოლებებია, აზრი აქვს მათ ამოხსნას.
თუ ეს საიტი მოგწონთ ...
სხვათა შორის, კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი მაქვს თქვენთვის.)
შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაზე და გაეცნოთ თქვენს დონეს. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)
შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.
ფრჩხილებში გამოიყენება რიგითი მოქმედებების რიცხვითი, პირდაპირი და ცვლადი გამოთქმებით. ფრჩხილებთან ერთად გამონათქვამიდან მოსახერხებელია ფრჩხილების გარეშე იდენტურად თანაბარი გამოთქმა. ამ ტექნიკას ფრჩხილების გაფართოება ეწოდება.
ფრჩხილების გაფართოება ნიშნავს ამ ფრჩხილების გამოხატვის მოცილებას.
განსაკუთრებულ ყურადღებას იმსახურებს კიდევ ერთი პუნქტი, რომელიც ეხება ფრჩხილების გახსნისას გადაწყვეტილების ჩაწერის თავისებურებებს. ჩვენ შეგვიძლია ფრჩხილებით დავწეროთ საწყისი გამოთქმა და ფრჩხილების გაფართოების შემდეგ მიღებული შედეგი, როგორც თანასწორობა. მაგალითად, ფრჩხილების გაფართოების შემდეგ, გამოხატვის ნაცვლად
3− (5−7) ვიღებთ გამოხატვას 3−5 + 7. ორივე ეს გამონათქვამი შეგვიძლია დავწეროთ, როგორც თანასწორობა 3− (5−7) \u003d 3−5 + 7.
და კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი მომენტი. მათემატიკაში, ჩანაწერების შესამცირებლად, ჩვეულებრივია, რომ არ დაიწეროს პლუსის ნიშანი, თუ ის პირველად ჩანს გამოხატვაში ან ფრჩხილებში. მაგალითად, თუ დავამატებთ ორ დადებით რიცხვს, მაგალითად, შვიდი და სამი, მაშინ ვწერთ არა + 7 + 3, არამედ უბრალოდ 7 + 3, მიუხედავად იმისა, რომ შვიდი ასევე დადებითი რიცხვია. ანალოგიურად, თუ ხედავთ, მაგალითად, გამოთქმას (5 + x) - იცოდეთ, რომ ფრჩხილის წინ არის პლუსი, რომელიც არ არის დაწერილი, ხოლო ხუთის წინ არის + (+ 5 + x).
ფრჩხილების გაფართოების წესი დამატებით
ფრჩხილების გაფართოებისას, თუ ფრჩხილების წინ არის პლუსი, ეს პლუსი ფრჩხილებთან ერთად გამოტოვებულია.
მაგალითი. ფრჩხილების გაფართოება გამოხატვაში 2 + (7 + 3) ფრჩხილებამდე, პლუს, ასე რომ, ფრჩხილებში რიცხვების წინა ნიშნები არ იცვლება.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
გამოკლების ფრჩხილების გაფართოების წესი
თუ ფრჩხილების წინ არის მინუსი, მაშინ ეს მინუსი გამოტოვებულია ფრჩხილებთან ერთად, მაგრამ ფრჩხილებში არსებული ტერმინები შეცვლის მათ ნიშანს საპირისპიროდ. ფრჩხილებში პირველი ტერმინის წინ ნიშნის არარსებობა გულისხმობს + ნიშანს.
მაგალითი. ფრჩხილების გაფართოება გამოხატვაში 2 - (7 + 3)
ფრჩხილების წინ არის მინუსი, რაც ნიშნავს, რომ საჭიროა ფრჩხილებიდან ციფრების შეცვლა. ფრჩხილებში არ არის ნიშანი 7 რიცხვამდე, ეს ნიშნავს, რომ შვიდი პოზიტიურია, ითვლება, რომ მის წინ არის + ნიშანი.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
ფრჩხილების გაფართოებისას, ჩვენ მაგალითს ვხსნით მინუსს, რომელიც იყო ფრჩხილების წინ, ხოლო ფრჩხილები თვითონ არის 2 - (+ 7 + 3), ხოლო ნიშნები, რომლებიც ფრჩხილებში იყო, შებრუნებულია.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
გამრავლების დროს ფრჩხილების გაფართოება
თუ ფრჩხილების წინ არის გამრავლების ნიშანი, მაშინ ფრჩხილების შიგნით თითოეული რიცხვი მრავლდება ფრჩხილების წინა ფაქტორით. ამ შემთხვევაში, მინუსზე მინუსზე გამრავლება იძლევა პლუსს, და მინუსზე გამრავლებით პლუსზე, ასევე პლუსის გამრავლებით მინუსზე მოცემულია მინუსი.
ამრიგად, ნამუშევრებში ფრჩხილები ფართოვდება გამრავლების განაწილების თვისების შესაბამისად.
მაგალითი. 2 (9 - 7) \u003d 2 9 - 2 7
როდესაც ფრჩხილს ამრავლებ ფრჩხილზე, პირველი ფრჩხილის თითოეული წევრი მრავლდება მეორე ფრჩხილის თითოეულ წევრზე.
(2 + 3) (4 + 5) \u003d 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5
სინამდვილეში, არ არის საჭირო ყველა წესის დამახსოვრება, საკმარისია მხოლოდ ერთი გახსოვდეთ, ეს არის: c (a-b) \u003d ca-cb. რატომ? იმიტომ, რომ თუ მასში ჩაანაცვლებთ მას c- ს ნაცვლად, მიიღებთ წესს (a - b) \u003d a - b. და თუ გამოვცვლით მინუს ერთს, მივიღებთ წესს - (a - b) \u003d - a + b. კარგად, თუ c- ს ნაცვლად სხვა ფრჩხილს ჩაანაცვლებთ, შეგიძლიათ მიიღოთ ბოლო წესი.
ფრჩხილების გაფართოება გაყოფაში
თუ ფრჩხილების შემდეგ არის დაყოფის ნიშანი, მაშინ ფრჩხილების შიგნით თითოეულ რიცხვს ყოფს ფრჩხილების შემდეგ გამყოფი და პირიქით.
მაგალითი. (9 + 6): 3 \u003d 9: 3 + 6: 3
როგორ გავაფართოვოთ ჩასმული ფრჩხილები
თუ გამოხატვაში არის ჩასმული ფრჩხილები, მაშინ ისინი გაფართოვდებიან წესრიგში, დაწყებული გარედან ან შიდადან.
ამავე დროს, ერთ-ერთი ფრჩხილის გახსნისას მნიშვნელოვანია, რომ არ შეეხოთ დანარჩენ ფრჩხილებს, უბრალოდ გადაწეროთ ისინი ისე, როგორც არის.
მაგალითი. 12 - (a + (6 - b) - 3) \u003d 12 - a - (6 - b) + 3 \u003d 12 - a - 6 + b + 3 \u003d 9 - a + b
განტოლება ერთ უცნობთან, რომელიც ფრჩხილების გახსნისა და მსგავსი ტერმინების შემცირების შემდეგ იღებს ფორმას
ცული + ბ \u003d 0, სადაც a და b არის თვითნებური რიცხვები, ეწოდება ხაზოვანი განტოლება ერთი უცნობით. დღეს ჩვენ გაერკვევა, თუ როგორ უნდა მოგვარდეს ეს წრფივი განტოლებები.
მაგალითად, ყველა განტოლება:
2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0.3x \u003d 0; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - წრფივი.
უცნობი სიდიდე, რომელიც განტოლებას ნამდვილ თანასწორობად აქცევს, ეწოდება გადაწყვეტილება ან განტოლების ფუძე .
მაგალითად, თუ 3x + 7 \u003d 13 განტოლებაში უცნობი x შეცვლის რიცხვს 2, მივიღებთ სწორ ტოლობას 3 · 2 +7 \u003d 13. აქედან გამომდინარე, მნიშვნელობა x \u003d 2 არის განტოლების ამოხსნა ან ფუძე.
X \u003d 3 მნიშვნელობა არ აქცევს განტოლებას 3x + 7 \u003d 13 ნამდვილ თანასწორად, რადგან 3 · 2 +7 ≠ 13. აქედან გამომდინარე, მნიშვნელობა x \u003d 3 არ წარმოადგენს განტოლების ამოხსნას ან ფესვს.
ნებისმიერი ხაზოვანი განტოლების ამოხსნა იკლებს ფორმის განტოლების ამოხსნამდე
ცული + ბ \u003d 0.
განტოლების მარცხენა მხრიდან თავისუფალი ტერმინის გადატანა მარჯვნივ, b- ის წინა ნიშნის შეცვლას საპირისპიროდ, მივიღებთ
თუ a ≠ 0, მაშინ x \u003d - b / a .
მაგალითი 1. ამოხსენით 3x + 2 \u003d 11 განტოლება.
განტოლების მარცხენა მხრიდან გადაადგილდით მარჯვნივ მარჯვნივ, ხოლო 2 – ის წინა ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლისას მივიღებთ
3x \u003d 11 - 2.
გამოაკელით
3x \u003d 9.
X- ის მოსაძებნად, თქვენ უნდა დაყოთ პროდუქტი ცნობილ ფაქტორზე, ანუ
x \u003d 9: 3.
აქედან გამომდინარე, მნიშვნელობა x \u003d 3 არის განტოლების ამოხსნა ან ფუძე.
პასუხი: x \u003d 3.
თუ a \u003d 0 და b \u003d 0, მაშინ მივიღებთ განტოლებას 0x \u003d 0. ამ განტოლებას უსასრულოდ მრავალი ამოხსნა აქვს, რადგან როდესაც ნებისმიერი რიცხვი გავამრავლოთ 0-ზე, მივიღებთ 0-ს, მაგრამ b ასევე ტოლია 0. ნებისმიერი რიცხვი ამ განტოლების ამოხსნაა.
მაგალითი 2.ამოხსენით განტოლება 5 (x - 3) + 2 \u003d 3 (x - 4) + 2x - 1.
გავაფართოვოთ ფრჩხილები:
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.
5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.
აქ მოცემულია მსგავსი ტერმინები:
0x \u003d 0.
პასუხი: x არის ნებისმიერი რიცხვი.
თუ a \u003d 0 და b ≠ 0, მაშინ მივიღებთ განტოლებას 0x \u003d - b. ამ განტოლებას არ აქვს ამოხსნები, რადგან ნებისმიერი რიცხვის 0-ზე გამრავლებით მივიღებთ 0-ს, მაგრამ b ≠ 0-ს.
მაგალითი 3.ამოხსენით განტოლება x + 8 \u003d x + 5.
მოდით დავაჯგუფოთ ტერმინები, რომლებიც შეიცავს უცნობებს მარცხნივ, და თავისუფალი წევრები მარჯვნივ:
x - x \u003d 5 - 8.
აქ მოცემულია მსგავსი ტერმინები:
0x \u003d - 3.
პასუხი: გამოსავალი არ არსებობს.
Ზე სურათი 1 აჩვენებს წრფივი განტოლების ამოხსნის სქემას
შევადგინოთ განტოლების ამოხსნის ზოგადი სქემა ერთი ცვლადით. განვიხილოთ მე -4 მაგალითის ამოხსნა.
მაგალითი 4. დაე განტოლება ამოხსნან
1) განტოლების ყველა ტერმინების გამრავლება მნიშვნელების ყველაზე ნაკლებად საერთო მრავლზე, 12-ის ტოლი.
2) შემცირების შემდეგ, მივიღებთ
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 \u003d 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)
3) უცნობი და თავისუფალი წევრების შემცველი წევრების გამოყოფისთვის, ჩვენ გავაფართოებთ ფრჩხილებს:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.
4) მოდით, ერთ ნაწილში დავაჯგუფოთ უცნობი შემცველი წევრები, ხოლო მეორე ნაწილში - უფასო წევრები:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.
5) აქ მოცემულია მსგავსი ტერმინები:
- 22x \u003d - 154.
6) გაყოფა - 22, მივიღებთ
x \u003d 7.
როგორც ხედავთ, განტოლების სათავეა შვიდი.
საერთოდ ასეთი განტოლებები შეიძლება გადაწყდეს შემდეგი სქემის მიხედვით:
ა) მიიტანეთ განტოლება მთლიანი ფორმით;
ბ) ფრჩხილების გახსნა;
გ) განტოლების ერთ ნაწილში დააჯგუფეთ უცნობი შემცველი ტერმინები, ხოლო მეორეში თავისუფალი ტერმინები;
დ) მოიყვანოს მსგავსი წევრები;
ე) ამოხსნას ax \u003d b ფორმის განტოლება, რომელიც მიღებულია მსგავსი ტერმინების შემოტანის შემდეგ.
ამასთან, ეს სქემა არ არის საჭირო ყველა განტოლებისთვის. მრავალი მარტივი განტოლების ამოხსნისას უნდა დაიწყოს არა პირველი, არამედ მეორე ( მაგალითი. 2), მესამე ( მაგალითი. 13) და მეხუთე ეტაპიდანაც კი, როგორც 5 მაგალითი.
მაგალითი 5.ამოხსენით განტოლება 2x \u003d 1/4.
იპოვნეთ უცნობი x \u003d 1/4: 2,
x \u003d 1/8 .
განვიხილოთ ძირითადი ხაზის გამოცდაში ნაჩვენები ზოგიერთი წრფივი განტოლების ამოხსნა.
მაგალითი 6.ამოხსენით განტოლება 2 (x + 3) \u003d 5 - 6x.
2x + 6 \u003d 5 - 6x
2x + 6x \u003d 5 - 6
პასუხი: - 0, 125
მაგალითი 7.ამოხსენით განტოლება - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.
- 30 + 18x \u003d 8x - 7
18x - 8x \u003d - 7 +30
პასუხი: 2.3
მაგალითი 8. ამოხსენით განტოლება
3 (3x - 4) \u003d 4.7x + 24
9x - 12 \u003d 28x + 24
9x - 28x \u003d 24 + 12
მაგალითი 9.იპოვნეთ f (6), თუ f (x + 2) \u003d 3 მე -7
გადაწყვეტილება
მას შემდეგ, რაც ჩვენ გვჭირდება f (6), და ჩვენ ვიცით f (x + 2),
შემდეგ x + 2 \u003d 6.
ამოხსენით წრფივი განტოლება x + 2 \u003d 6,
მივიღებთ x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.
თუ x \u003d 4, მაშინ
f (6) \u003d 3 7-4 \u003d 3 3 \u003d 27
პასუხი: 27.
თუ თქვენ ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები, არსებობს სურვილი, რომ უფრო საფუძვლიანად გაუმკლავდეთ განტოლებების ამოხსნას. მოხარული ვიქნები დაგეხმაროთ!
TutorOnline ასევე გირჩევთ უყუროთ ჩვენი ვიდეო რედაქტორის, ოლგა ალექსანდროვნას ახალი ვიდეო სახელმძღვანელოს, რომელიც დაგეხმარებათ გაიგოთ როგორც ხაზოვანი განტოლებები, ასევე სხვები.
ბლოგი. საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.
