Вектор модульдерінің нүктелік көбейтіндісін қалай есептеуге болады. Векторлардың нүктелік көбейтіндісі. Векторлық ұзындық. Координаттардағы нүктелік өнім

Дәріс: Векторлық координаттар; векторлардың нүктелік көбейтіндісі; векторлар арасындағы бұрыш

Векторлық координаттар

Сонымен, бұрын айтылғандай, векторлар - өзіндік басы мен аяғы бар бағытталған сегмент. Егер басы мен соңы кейбір нүктелермен бейнеленсе, онда олардың жазықтықта немесе кеңістікте өзіндік координаттары болады.

Егер әр нүктенің жеке координаттары болса, онда біз бүкіл вектордың координаталарын ала аламыз.

Бізде вектордың басы мен соңы келесі белгілеулер мен координаттарға ие болатын векторлар бар делік: A (A x; Ay) және B (B x; By)

Осы вектордың координаталарын алу үшін вектордың соңындағы координаталардан басының сәйкес координаталарын алып тастау керек:

Кеңістіктегі вектордың координаталарын анықтау үшін келесі формуланы қолданыңыз:

Векторлардың нүктелік көбейтіндісі

Нүктелік өнімді анықтаудың екі әдісі бар:

• Геометриялық жол. Оның ойынша, нүктелік көбейтінді осы модульдердің мәндерінің арасындағы бұрыштың косинусымен көбейтіндісіне тең.

• Алгебралық мағынасы. Алгебра тұрғысынан екі вектордың нүктелік көбейтіндісі - сәйкес векторлар көбейтінділерінің қосындысының нәтижесінде алынған белгілі бір шама.

Егер векторлар кеңістікте берілген болса, онда ұқсас формуланы қолдану керек:

Қасиеттері:

• Егер сіз екі бірдей векторды скалярға көбейтсеңіз, онда олардың нүктелік көбейтіндісі теріс болмайды:

• Егер екі бірдей вектордың скаляр көбейтіндісі нөлге тең болса, онда бұл векторлар нөлге тең деп есептеледі:

• Егер вектор өздігінен көбейтілсе, онда скаляр көбейтінді оның модулінің квадратына тең болады:

• Скаляр көбейтінді коммуникативті қасиетке ие, яғни векторлардың орнын ауыстырудан скаляр көбейтінді өзгермейді:

• Нөлдік емес векторлардың скаляр көбейтіндісі векторлар бір-біріне перпендикуляр болған жағдайда ғана нөлге тең болады:

• Векторлардың скаляр көбейтіндісі үшін орын ауыстыру заңы векторлардың бірін санға көбейту жағдайында қолданылады:

• Нүктелік өніммен көбейтудің үлестірімділік қасиетін де қолдануға болады:

Векторлар арасындағы бұрыш

Жазықтық есебінде a \u003d (a x; a y) және b \u003d (b x; b y) векторларының скаляр көбейтіндісін келесі формула арқылы табуға болады:

a b \u003d a x b x + a y b y

Кеңістіктегі мәселелерге арналған векторлық нүктелік өнім формуласы

Кеңістіктегі мәселе жағдайында a \u003d (a x; a y; a z) және b \u003d (b x; b y; b z) векторларының скаляр көбейтіндісін келесі формула арқылы табуға болады:

a b \u003d a x b x + a y b y + a z b z

N -өлшемді векторлардың нүктелік көбейтіндісі

N өлшемді кеңістік жағдайында a \u003d (a 1; a 2; ...; a n) және b \u003d (b 1; b 2; ...; b n) векторларының скаляр көбейтіндісін келесі формула арқылы табуға болады:

a b \u003d a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... ... a n b n

Векторлардың нүктелік өнім қасиеттері

1. Вектордың скаляр көбейтіндісі әрдайым нөлден үлкен немесе оған тең:

2. Вектордың скаляр көбейтіндісі нөлге тең, егер вектор нөлдік векторға тең болса:

a a \u003d 0<=> a \u003d 0

3. Вектордың скаляр көбейтіндісі өздігінен оның модулінің квадратына тең:

4. Скалярлық көбейту операциясы коммуникативті болып табылады:

5. Егер нөлдік емес екі вектордың скаляр көбейтіндісі нөлге тең болса, онда бұл векторлар ортогоналды болады:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b \u003d 0<=> a ┴ b

6. (αa) b \u003d α (a b)

7. Скалярлық көбейту операциясы дистрибутивті:

(a + b) c \u003d a c + b c

Векторлардың нүктелік көбейтіндісін есептеуге арналған мысалдар

Жазықтық есептер үшін векторлардың нүктелік көбейтіндісін есептеу мысалдары

A \u003d (1; 2) және b \u003d (4; 8) векторларының нүктелік көбейтіндісін табыңыз.

Шешім: a b \u003d 1 4 + 2 8 \u003d 4 + 16 \u003d 20.

A және b векторларының скаляр көбейтіндісін табыңыз, егер олардың ұзындықтары | а | \u003d 3, | b | \u003d 6, ал векторлар арасындағы бұрыш 60˚.

Шешім: a b \u003d | a | · | B | cos α \u003d 3 6 cos 60˚ \u003d 9.

P \u003d a + 3b және q \u003d 5a - 3 b векторларының скаляр көбейтіндісін табыңыз, егер олардың ұзындықтары | a | \u003d 3, | b | \u003d 2, ал а және b векторлары арасындағы бұрыш 60˚.

Шешім:

p q \u003d (a + 3b) (5a - 3b) \u003d 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b \u003d

5 | а | 2 + 12 a b - 9 | b | 2 \u003d 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 \u003d 45 +36 -36 \u003d 45.

Кеңістіктегі есептер үшін векторлардың нүктелік көбейтіндісін есептеу мысалы

A \u003d (1; 2; -5) және b \u003d (4; 8; 1) векторларының нүктелік көбейтіндісін табыңыз.

Шешім: a b \u003d 1 4 + 2 8 + (-5) 1 \u003d 4 + 16 - 5 \u003d 15.

N -өлшемді векторлар үшін нүктелік көбейтіндіні есептеуге мысал

A \u003d (1; 2; -5; 2) және b \u003d (4; 8; 1; -2) векторларының нүктелік көбейтіндісін табыңыз.

Шешім: a b \u003d 1 4 + 2 8 + (-5) 1 + 2 (-2) \u003d 4 + 16 - 5 -4 \u003d 11.

13. Векторлар мен векторлардың векторлық көбейтіндісі деп аталады үшінші вектор келесідей анықталды:

2) перпендикуляр, перпендикуляр. (1 «»)

3) векторлар бүкіл кеңістіктің негізі сияқты бағытталады (оң немесе теріс).

Белгілеу:.

Векторлық көбейтіндінің физикалық мәні

- О нүктесіне қатысты күш моменті; - радиус - күш қолдану нүктесінің векторы, сонда

сонымен қатар, егер О нүктесіне ауыстырылса, онда триплет базалық вектор ретінде бағдарлануы керек.

Анықтама 1

Векторлардың скаляр көбейтіндісі - бұл векторлардың dyn мен олардың арасындағы бұрыштың косинусының көбейтіндісіне тең сан.

A → және b → векторларының көбейтіндісінің жазбасы a →, b → түріне ие. Келесі формулаға ауысайық:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^. a → және b → векторлардың ұзындығын, a →, b → ^ берілген векторлар арасындағы бұрышты белгілейді. Егер кем дегенде бір вектор нөлге тең болса, яғни 0 мәні болса, онда нәтиже нөлге тең болады, a →, b → \u003d 0

Векторды көбейткенде оның ұзындығының квадратын аламыз:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, a → ^ \u003d a → 2 cos 0 \u003d a → 2

Анықтама 2

Векторды скалярлық көбейтуді скаляр квадрат деп атайды.

Формула бойынша есептеледі:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^.

A →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ \u003d a → npa → b → \u003d b → npb → a → жазбасы npb → a → - бұл → → санының проекциясы екенін көрсетеді. b →, npa → a → - сәйкесінше b → -нің a → проекциясы.

Екі векторға арналған өнімнің анықтамасын тұжырымдайық:

Екі вектордың a → by b → скаляр көбейтіндісі a → векторының ұзындығының а → проекциясы бойынша → → а → бағытымен немесе b → ұзындығының көбейтіндісі a → проекциясы бойынша аталады.

Координаттардағы нүктелік өнім

Нүктелік көбейтуді берілген жазықтықтағы немесе кеңістіктегі векторлардың координаталары арқылы есептеуге болады.

Жазықтықтағы, үш өлшемді кеңістіктегі екі вектордың скаляр көбейтіндісі берілген a → және b → векторларының координаталарының қосындысы деп аталады.

Декарттық жүйеде берілген a → \u003d (a x, a y), b → \u003d (b x, b y) векторларының скаляр көбейтіндісін есептегенде:

a →, b → \u003d a x b x + a y b y,

үш өлшемді кеңістік үшін келесі өрнек қолданылады:

a →, b → \u003d a x b x + a y b y + a z b z.

Шын мәнінде, бұл нүктелік өнімнің үшінші анықтамасы.

Дәлелдейік.

Дәлел 1

Дәлелдеу үшін a → \u003d (ax, ay), b → \u003d (bx, by) векторлары үшін a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ \u003d ax bx + ay by пайдаланыңыз. Декарттық жүйе.

Векторларды кейінге қалдыру керек

O A → \u003d a → \u003d a x, a y және O B → \u003d b → \u003d b x, b y.

Сонда A B → векторының ұзындығы A B → \u003d O B → - O A → \u003d b → - a → \u003d (b x - a x, b y - a y) тең болады.

O A B үшбұрышын қарастырайық.

A B 2 \u003d O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) косинус теоремасына негізделген.

Шарт бойынша O A \u003d a →, O B \u003d b →, A B \u003d b → - a →, ∠ A O B \u003d a →, b → ^, сондықтан векторлар арасындағы бұрышты басқаша табудың формуласын басқаша жазамыз

b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^).

Сонда бірінші анықтамадан b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), демек (a →, b →) \u003d 1 2 (a → 2 + b) шығады. → 2 - b → - a → 2).

Векторлардың ұзындығын есептеу формуласын қолдана отырып, біз мынаны аламыз:
a →, b → \u003d 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) \u003d \u003d 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) \u003d \u003d ax bx + ay by

Теңдіктерді дәлелдейік:

(a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^) \u003d \u003d a x b x + a y b y + a z b z

- сәйкесінше үш өлшемді кеңістіктің векторлары үшін.

Координаталары бар векторлардың скаляр көбейтіндісі вектордың скаляр квадраты оның сәйкесінше кеңістіктегі және жазықтықтағы координаталарының квадраттарының қосындысына тең дейді. a → \u003d (a x, a y, a z), b → \u003d (b x, b y, b z) және (a →, a →) \u003d a x 2 + a y 2.

Нүктелік өнім және оның қасиеттері

→, b → және c → үшін қолданылатын нүктелік өнім қасиеттері бар:

1. коммутативтілік (a →, b →) \u003d (b →, a →);
2. үлестірімділік (a → + b →, c →) \u003d (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) \u003d (a →, b →) + (a → , c →);
3. біріктіретін қасиет (λ a →, b →) \u003d λ (a →, b →), (a →, λ b →) \u003d λ (a →, b →), λ кез келген сан;
4. скаляр квадрат әрқашан нөлден үлкен (a →, a →) ≥ 0, мұндағы (a →, a →) \u003d 0, егер → → нөлге тең болса.

1-мысал

Қасиеттер жазықтықтағы нүктелік көбейтіндінің анықталуына және нақты сандарды қосу мен көбейтуге байланысты айқын болады.

Коммутативтілік қасиетін дәлелде (a →, b →) \u003d (b →, a →). Анықтамадан бізде (a →, b →) \u003d a y b y + a y b y және (b →, a →) \u003d b x a x + b y a y болады.

Коммутативтілік қасиеті бойынша a x b x \u003d b x a x және a y b y \u003d b y a y теңдіктері ақиқат, сондықтан a x b x + a y b y \u003d b x a x + b y a y.

Бұдан шығатыны (a →, b →) \u003d (b →, a →). Q.E.D.

Тарату кез келген нөмірге жарамды:

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, b →) \u003d (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. ... ... + (a (n) →, b →)

және (a →, b (1) → + b (2) → + .. + b (n) →) \u003d (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) + ... ... ... + (a →, b → (n)),

сондықтан бізде бар

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, b (1) → + b (2) → + ... + b (m) →) \u003d (a ( 1) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. ... ... + (a (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. ... ... + (a (2) →, b (m) →) +. ... ... + + (a (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. ... ... + (a (n) →, b (m) →)

Мысалдар мен шешімдер көрсетілген нүктелік өнім

Мұндай жоспардың кез-келген мәселесі нүктелік өнімге қатысты қасиеттер мен формулалар көмегімен шешіледі:

1. (a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^);
2. (a →, b →) \u003d a → n p a → b → \u003d b → n p b → a →;
3. (a →, b →) \u003d a x b x + a y b y немесе (a →, b →) \u003d a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a →, a →) \u003d a → 2.

Шешім мысалдарын қарастырайық.

2-мысал

Ұзындығы a → 3, ұзындығы b → 7. Егер бұрышы 60 градус болса, нүктелік көбейтіндісін табыңыз.

Шешім

Шарт бойынша бізде барлық деректер бар, сондықтан формула бойынша есептейміз:

(a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^) \u003d 3 7 cos 60 ° \u003d 3 7 1 2 \u003d 21 2

Жауап: (a →, b →) \u003d 21 2.

3-мысал

Берілген a → \u003d (1, - 1, 2 - 3), b → \u003d (0, 2, 2 + 3) векторлары. Нүктелік өнім дегеніміз не?

Шешім

Бұл мысалда координаттар бойынша есептеу формуласы қарастырылады, өйткені олар есептерде көрсетілген:

(a →, b →) \u003d ax bx + ay by + az bz \u003d \u003d 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) \u003d \u003d 0 - 2 + ( 2 - 9) \u003d - 9

Жауап: (a →, b →) \u003d - 9

4 мысал

A B → және A C → нүктелік көбейтіндісін табыңыз. А (1, - 3), В (5, 4), С (1, 1) нүктелері координаталық жазықтықта келтірілген.

Шешім

Бастапқыда, векторлардың координаталары есептеледі, өйткені нүктелердің координаттары шартпен берілген:

A B → \u003d (5 - 1, 4 - (- 3)) \u003d (4, 7) A C → \u003d (1 - 1, 1 - (- 3)) \u003d (0, 4)

Координаттарды қолданып формулаға ауыстырып аламыз:

(A B →, A C →) \u003d 4 0 + 7 4 \u003d 0 + 28 \u003d 28.

Жауап: (A B →, A C →) \u003d 28.

Мысал 5

A → \u003d 7 m → + 3 n → және b → \u003d 5 m → + 8 n → векторлары берілген, олардың көбейтіндісін табыңыз. m → 3-ке тең, ал n → 2 бірлікке тең, олар перпендикуляр.

Шешім

(a →, b →) \u003d (7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →). Тарату қасиетін қолдана отырып, біз мынаны аламыз:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) \u003d \u003d (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3) n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →)

Өнімнің белгісіне коэффициентті шығарамыз және аламыз:

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) \u003d \u003d 7 5 (m →, m →) + 7 8 (m →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) \u003d \u003d 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →)

Коммутативтілік қасиеті бойынша:

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) \u003d 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (m →, n →) + 24 (n →, n →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) ) + 24 (n →, n →)

Нәтижесінде біз мыналарды аламыз:

(a →, b →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →).

Енді шартпен көрсетілген бұрышпен нүктелік көбейтіндіге формула қолданайық:

(a →, b →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) \u003d \u003d 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m →, n → ^) + 24 n → 2 \u003d \u003d 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 \u003d 411.

Жауап: (a →, b →) \u003d 411

Егер сандық проекция болса.

6-мысал

А → және b → нүктелік көбейтіндісін табыңыз. A → векторында a → \u003d (9, 3, - 3) координаттары, b → координаттарымен проекциясы (- 3, - 1, 1) болады.

Шешім

Гипотеза бойынша а → және в → проекциялары векторлары қарама-қарсы бағытталған, өйткені a → \u003d - 1 3 · n p a → b → →, сондықтан b → проекциясы n p a → b → → ұзындығына сәйкес келеді және «-» белгісімен:

n p a → b → → \u003d - n p a → b → → \u003d - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 \u003d - 11,

Формулаға ауыстырып, өрнек аламыз:

(a →, b →) \u003d a → n p a → b → → \u003d 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) \u003d - 33.

Жауап: (a →, b →) \u003d - 33.

Вектордың ұзындығын немесе сандық проекцияны табу қажет болатын белгілі нүктелік көбейтіндіге қатысты мәселелер.

7-мысал

Берілген скаляр көбейтінді үшін λ қандай мән қабылдауы керек a → \u003d (1, 0, λ + 1) және b → \u003d (λ, 1, λ) -1 -ге тең болады.

Шешім

Формула координаталар көбейтіндісінің қосындысын табу керек екенін көрсетеді:

(a →, b →) \u003d 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ \u003d λ 2 + 2 λ.

Бізде (a →, b →) \u003d - 1 болады.

Λ табу үшін теңдеуді есептейміз:

λ 2 + 2 λ \u003d - 1, демек λ \u003d - 1.

Жауабы: λ \u003d - 1.

Нүктелік өнімнің физикалық мағынасы

Механика нүктелік өнімнің қолданылуын қарастырады.

Денені M нүктесінен N-ге ауыстырған тұрақты күшпен А жұмыс істегенде, олардың арасындағы бұрыштың косинусымен F → және M N → векторларының ұзындықтарының көбейтіндісін табуға болады, яғни жұмыс күш пен орын ауыстыру векторларының көбейтіндісіне тең:

A \u003d (F →, M N →).

8-мысал

Материалдық нүктенің 5 нтонға тең күштің әсерінен 3 метрге жылжуы оське қатысты 45 градус бұрышта бағытталған. А-ны табыңыз.

Шешім

Жұмыс күш векторы мен орын ауыстырудың көбейтіндісі болғандықтан, бұл F → \u003d 5, S → \u003d 3, (F →, S → ^) \u003d 45 ° шарттарына сүйене отырып, біз A \u003d (F →, S →) \u003d F аламыз дегенді білдіреді → S → cos (F →, S → ^) \u003d 5 3 cos (45 °) \u003d 15 2 2.

Жауабы: A \u003d 15 2 2.

9-мысал

F → \u003d (3, 1, 2) күшінің әсерінен M (2, - 1, - 3) -тен N (5, 3 λ - 2, 4) -ге ауысқан материалдық нүкте, 13 Дж-ге тең жұмыс жасады. Қозғалыс ұзындығын есептеңіз.

Шешім

M N → векторының берілген координаттары үшін бізде M N → \u003d (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) \u003d (3, 3 λ - 1, 7) болады.

F → \u003d (3, 1, 2) және MN → \u003d (3, 3 λ - 1, 7) векторларымен жұмыс табудың формуласы бойынша біз A \u003d (F ⇒, MN →) \u003d 3 3 + 1 (3 λ) аламыз - 1) + 2 7 \u003d 22 + 3.

Гипотеза бойынша 22 \u003d 3 λ \u003d 13 дегенді білдіретін A \u003d 13 Дж деп берілген. Демек λ \u003d - 3, демек M N → \u003d (3, 3 λ - 1, 7) \u003d (3, - 10, 7).

Ауыстыру ұзындығын табу үшін M N → формуланы қолданып, мәндерді ауыстыр:

M N → \u003d 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 \u003d 158.

Жауап: 158.

Егер сіз мәтінде қате байқасаңыз, оны таңдап, Ctrl + Enter пернелерін басыңыз

Векторлар арасындағы бұрыш

$ \\ Overrightarrow (a) $ және $ \\ overrightarrow (b) $ берілген екі векторды қарастырайық. $ \\ Overrightarrow (a) \u003d \\ overrightarrow (OA) $ және $ \\ overrightarrow (b) \u003d \\ overrightarrow (OB) $ векторларын бөліп, ерікті түрде таңдалған $ O $ нүктесінен шығарайық, сонда $ AOB $ бұрышы $ \\ overrightarrow (векторлары) арасындағы бұрыш деп аталады $ a) $ және $ \\ overrowarrow (b) $ (сурет 1).

Сурет 1.

Егер $ \\ overrightarrow (a) $ және $ \\ overrightarrow (b) $ векторлары кодиректорлы болса немесе олардың біреуі нөлдік вектор болса, онда векторлар арасындағы бұрыш $ 0 ^ 0 $ болады.

Белгісі: $ \\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overrightarrow (b)) $

Векторлардың нүктелік көбейтіндісі

Математикалық тұрғыдан бұл анықтаманы келесідей жазуға болады:

Нүктелік өнім екі жағдайда нөлге тең болуы мүмкін:

Егер векторлардың бірі нөлдік вектор болса (Содан бері оның ұзындығы нөлге тең).

Егер векторлар өзара перпендикуляр болса (яғни $ cos (90) ^ 0 \u003d 0 $).

Егер бұл векторлар арасындағы бұрыш өткір болса ($ (cos \\ left (\\ widehat (\\ overrightarrow (a), \\ overrightarrow (b)) \\ \u200b\u200bright) \\)\u003e 0 $) болғандықтан, нүктелік көбейтінді нөлден үлкен болатынын ескеріңіз. егер бұл векторлар арасындағы бұрыш доғал болса ($ (cos \\ left (\\ widehat (\\ overhatarrow (a), \\ overrightarrow (b)) \\ \u200b\u200bright) \\) болғандықтан)

Скаляр квадраты ұғымы скаляр көбейтіндісімен байланысты.

Анықтама 2

$ \\ Overrightarrow (a) $ векторының скаляр квадраты осы вектордың скаляр көбейтіндісі болып табылады.

Біз скаляр квадрат дегенді аламыз

\\ [\\ үстіңгі сызық (а) \\ үстіңгі сызық (а) \u003d \\ сол | \\ үстіңгі тарма (а) \\ оң | \\ сол | \\ үстіқара (а) \\ оң | (cos 0 ^ 0 \\) \u003d \\ сол жақта \\ ) \\ оң | \\ сол | \\ үстіңгі тарма (а) \\ оң | \u003d (\\ сол | \\ үстіңгі тарма (а) \\ оң |) ^ 2 \\]

Векторлардың координаталарынан нүктелік көбейтіндіні есептеу

Анықтамадан шығатын нүктелік өнім мәнін табудың стандартты тәсілінен басқа, тағы бір әдіс бар.

Қарастырайық.

$ \\ Overrightarrow (a) $ және $ \\ overrightarrow (b) $ векторлары сәйкесінше $ \\ sol (a_1, b_1 \\ right) $ және $ \\ left (a_2, b_2 \\ right) $ координаталарына ие болсын.

Теорема 1

$ \\ Overrightarrow (a) $ және $ \\ overrightarrow (b) $ векторларының скаляр көбейтіндісі сәйкес координаттар көбейтінділерінің қосындысына тең.

Математикалық тұрғыдан мынаны жазуға болады

\\ [\\ үстіңгі сызық (а) \\ үстірт тарма (b) \u003d a_1a_2 + b_1b_2 \\]

Дәлелдемелер.

Теорема дәлелденді.

Бұл теореманың бірнеше салдары бар:

Қорытынды 1: $ \\ Overrightarrow (a) $ және $ \\ overrightarrow (b) $ векторлары $ a_1a_2 + b_1b_2 \u003d 0 $ болған жағдайда ғана перпендикуляр болады.

Қорытынды 2: Векторлар арасындағы бұрыштың косинусы $ cos \\ alpha \u003d \\ frac (a_1a_2 + b_1b_2) (\\ sqrt (a ^ 2_1 + b ^ 2_1) \\ cdot \\ sqrt (a ^ 2_2 + b ^ 2_2)) $

Векторлардың нүктелік өнім қасиеттері

Кез келген үш вектор мен $ k $ нақты саны үшін ол дұрыс:

$ (\\ overrightarrow (a)) ^ 2 \\ ge 0 $

Бұл қасиет скаляр квадратының анықтамасынан шығады (2-анықтама).

Саяхат заңы: $ \\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b) \u003d \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (a) $.

Бұл қасиет нүктелік өнім анықтамасынан туындайды (1-анықтама).

Тарату туралы заң:

$ \\ sol (\\ overrightarrow (a) + \\ overrightarrow (b) \\ right) \\ overrightarrow (c) \u003d \\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (c) + \\ overrightarrow (b) \\ overrightarrow (c) $). \\ end (санау)

Теорема 1 бойынша бізде:

\\ [\\ сол жақ (\\ үстіңгі сызық (а) + \\ үстірт сызық (б) \\ оң)) үстіңгі сызық (с) \u003d \\ сол жақ (a_1 + a_2 \\ оң) a_3 + \\ сол жақ (b_1 + b_2 \\ оң) b_3 \u003d a_1a_3 + a_2a_3 + b_1b_3 + b_2b_3 \u003d\u003d \\ үстіңгі тарма (а) \\ үстірт сызық (с) + \\ үстірт сызық (б) \\ үстіңгі тарма (с) \\]

Аралас заң: $ \\ sol (k \\ overrightarrow (a) \\ right) \\ overrightarrow (b) \u003d k (\\ overrightarrow (a) \\ overrightarrow (b)) $. \\ end (санау)

Теорема 1 бойынша бізде:

\\ [\\ сол жаққа (к \\ үстіңгі тарма (а) \\ оң жаққа) \\ үстірт сызыққа (б) \u003d ka_1a_2 + kb_1b_2 \u003d k \\ солға (a_1a_2 + b_1b_2 \\ оңға) \u003d k (\\ үстіңгі сызыққа (а) \\ үстіңгі сызыққа (б)) \\]

Векторлардың нүктелік көбейтіндісін есептеуге арналған мысал

1-мысал

$ \\ Overrightarrow (a) $ және $ \\ overrightarrow (b) $ векторларының нүктелік көбейтіндісін табыңыз, егер $ \\ left | \\ overrightarrow (a) \\ right | \u003d 3 $ және $ \\ left | \\ overrightarrow (b) \\ right | \u003d $ 2, ал олардың арасындағы бұрыш $ ((30) ^ 0, \\ 45) ^ 0, \\ (90) ^ 0, \\ (135) ^ 0 $.

Шешім.

1-анықтаманың көмегімен біз аламыз

$ (30) ^ 0 үшін: $

\\ [\\ үстіңгі сызық (a) \\ үстіңгі тарма (b) \u003d 6 (cos \\ сол ((30) ^ 0 \\ оң) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (3)) (2) \u003d 3 \\ sqrt ( 3) \\]

$ (45) ^ 0 үшін: $

\\ [\\ үстіңгі сызық (a) \\ үстіңгі тарма (b) \u003d 6 (cos \\ сол ((45) ^ 0 \\ оң) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt (2)) (2) \u003d 3 \\ sqrt ( 2) \\]

$ (90) ^ 0 үшін: $

\\ [\\ пересекретная (а) \\ переодобная (b) \u003d 6 (cos \\ сол ((90) ^ 0 \\ оңға) \\) \u003d 6 \\ cdot 0 \u003d 0 \\]

$ (135) ^ 0 үшін: $

\\ [\\ пересекретная а (а) \\ переулка (b) \u003d 6 (cos \\ сол ((135) ^ 0 \\ оңға) \\) \u003d 6 \\ cdot \\ сол (- \\ frac (\\ sqrt (2)) (2) \\ Ұқсас мақалалар